Решение некоторых краевых задач в областях со сложным строением границы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

•д

российская академия наук

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи УДК 517.9

РАЧКОВ Александр Владимирович

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ СО СЛ01НЫМ СТРОЕНИЕМ ГРАНИНЫ

(01.01.07 - вычислительная математика и 01.01.03 - математическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена в Вычислительном центре РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук В.И.Власов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.К.Гущин, доктор физико-математических наук В.М.Грынь

Ведущая организация:

Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН

30

Защита состоится "23" 199/~года в " часов

на заседании Специализированного совета Д 002.32.01 при Вычислительном центре РАН по адресу: 117967, Москва, ул. Вавилова 40, конференц зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор физико-математических наук

Е.Д.Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке новых эффективных анали-тико-численных методов решения краевых задач для уравнения Пуассона в плоских областях со сложным строением границы, теоретическому обоснованию этих методов, а такке их численной реализации и применению к некоторым прикладным задачам.

Актуальность темы. Краевые задачи математической физики, возникающие в приложениях, приходится решать, как правило, в областях сложной конфигурации, граница которых может содержать скругленные углы, длинные полки, раструбы и другие структурные элементы. Создание эффективных вычислительных методов решения таких задач является важным направлением в современной вычислительной и прикладной математике. При этом к создаваегам методам нередко предъявляется требование, чтобы они надежно и с высокой точностью обеспечивали нахождение не только искомой функции в сложной области, но и ее производных вблизи криволинейных участков границы, где эти производные имеют резко переменый характер. Необходимость разработки подобных методов неоднократно подчеркивалась в литературе, поскольку при применении традиционных численных методов для вычисления производных на границе вблизи особенностей возникают известные трудности.

Построение таких методов часто ищут на основе сочетания аналитического и численного подаодов с использованием информации о поведении решения вблизи сложных структурных элементов границы (например, нередко применяются так называемые сингулярные функции или система функций В.А.Стеклова). Это научное направление приобретает в последнее время все большее развитие, причем наблюдается тенденция к усилению аналитической стороны методов.

Цель работы. В последние годы в Вычислительном центре РАН получил развитие метод мультиполей - новый аналитико-численный метод решения краевых задач для уравнения Лапласа в областях с криволинейной границей. Этот метод представляет искомую функцию, в аналитическом виде, адекватно отражающем структуру решения

вблизи интересующего криволинейного участка границы, благодаря чему он позволяет вычислять требуемые производные на этом участке с высокой точностью, а танке проводить качественные исследования зависимости дифференциальных и интегральных характеристик решения от параметров задачи, в том числе от геометрических параметров области. С его помощью был решен ряд важных прикладных задач.

Целью диссертационной работы является:

1) создание на основе развития метода мультиполей ряда новых аналитико-численных методов решения уравнещя Пуассона со специальной и произвольной правой частью, которые бы позволяли эффективно строить решение задачи,-в том числе с высокой точностью находить производные решения вблизи криволинейных участков границы сложной структуры;

2) теоретическое обоснование этих методов, включая построение теории весовых пространств типа Харда;

3) численная реализация и применение разработанных методов к решению прикладных задач.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) построен аналитико-численный метод решения уравнения Пуассона в областях с криволинейной границей с произвольной правой частью из Ъг, позволяющий находить' производные решения не только в области, но и на части границы вблизи особенностей;

2) дано теоретическое обоснование этого метода, исследована скорость сходимости, получены оценки для решения и его градиента;

3) предложен и обоснован блочный метод решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в широком классе областей сложной формы, основанный на сочетании метода мультиполей с блочным подходом и итерационной процедурой Шварца;

4) дано применение этого метода к задаче кручения некоторых важных для практики типов стержней сложного профиля с концентраторами напряжений; проведена численная реализация метода, подтвердившая его эффективность и высокую точность при вычислении напряжений (градиента решения краевой задачи) вплоть до границы;

5) построена теория весовых пространств типа Харди аналитических и гармонических функций в областях со спрямляемой границей; в том числе доказано обобщение на весовой случай теоремы М.В.Келдыша и М.А.Лаврентьева о полноте многочленов;

6) с помощью этой теории проведено обоснование некоторых модификаций метода мультиполей; получены равномерные оценки решения и его производных.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе результаты представляют интерес для специалистов в области вычислительной математики и математической физики, а также для специалистов по функциональному анализу и теории функций. Они могут быть использованы как в теоретических исследованиях, так и при решении прикладных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах Вычислительного центра РАН, в Математическом институте им. В.А.Стеклова (на семинаре под рук. С.М.Никольского и Л.Д.Кудрявцева и на семинаре под рук. А.К.Гущина и В.П.Михайлова), в ИПМ им. М.В.Келдыша (на семинаре под рук. Р.П.Федоренко и В.С.Рябенького), в МГУ им. М.В.Ломоносова (на семинаре под рук. Н.С.Бахвалова и на семинаре под рук. В.А.Ильина, А.В.Бицадзе и Е.И.Моисеева), в Московском энергетическом институте (на семинаре под рук. А.М.Седлецкого).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ; их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 212 страниц машинописного текста, включая 25 рисунков и' 2 таблицы, а список литературы содержит 150 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении к диссертации отмечена актуальность тематики, указаны цели работы и кратко изложено ее содержание.

В первой главе построена теория весовых пространств типа Харди е (В;р) гармонических и аналогичных пространств Е (В;р)

аналитических функций с весом р в плоских областях В со спрямляемой границей; норма в них определяется как предел Бесовых Ьр-норм по семейству контуров, приближающихся к границе С области В. Получены аналоги ряда основных результатов теории классических-пространств Харда, относящиеся к граничным свойствам, приближению многочленами, разрешимости задачи Дирихле и др.

В §1 приведены основные- результаты о классических пространствах Харда h и соответственно гармонических и аналитических функций в единичном круге (U = {Ç: |Ç| 1>, включая каноническое разложение функций из Нр на внутреннюю и Енешнюю функции, введенные А.Бёрлингом. Здесь же даны краткие сведения о преобразовании Гильберта, пространствах ВМО и VMO, уолоеии Макенхаупта (А ) и условии Смирнова

В этом же параграфе изучена свойства конформного отображения ' некоторых классов областей. Получены представления для функции ш, конформно отображающей круг QJ на область В с кусочно-гладкой грающей (ш: (L) ?onfb- В), и для ее производной; они являются обобщениями резулвтатов К.Гаттеньо, А.Островского и С.Варшавского, рассматривавших области с кусочно-ляпуновскими границами.

В §2 введены весовые классы Ер(В;р), р > 0, аналитических функций в конечных односвязных областях В со спрямляемой границей С; при этом в качестве веса выбирается модуль такой аналитической в В функции p(z), образ которой в круге- (при отображении %: В con£> D) является внешней функцией из пространства ffs при некотором б > о.-

Обозначим Сг образ окружности CÇ: |Ç| = г}, г е (0,1), при отображении со: D Poni> В. Пусть р € (0,®); назовем Ер{В;р) класс аналитических в В функций /(г), удовлетворяющих условию

sup \\f\\L <оо,

0<r<1 ^риг'р'

где II/I есть норма (квазинорма при р < 1 ) в простран-

р г'р

стве L (С ;р):

р г'г'

ll/l!

"Vcr!p)

/(г)Г |p(z)| |ciz|

При p н 1 введеные классы совпадают с пространствами Смирнова Ер(В>.

Отметим некоторые свойства введенных классов, установленные в диссертации: 1) функция /(z) е Ер(В;р) имеет на С след f(z') из Lp(C;р), понимаемый как некасательные предельные значения, и выполняется равенство lim ||/||т ,„ , = IlflL 2) про-

странства Ер(В;р) при р е [1,оо) являются банаховыми, если в них

ввести норму |/| = lim Ц/|| .

р,р г-1 ьр^г'Р>

Пусть В - жорданова область; следующая теорема о приближении многочленами в Вр(В;р) является обобщением известных утверждений В.И. Смирнова, М.В. Келдыша и М.А. Лаврентьева.

Теорема 1. Для того чтобы селейстбо полиномов an z било полнил в Ер(3;р), р > О, т.е. для любой функции f(z) из Ер(В;р) и заданного е > Q существовал такой полином q(z), что

||/ - q||L (С ) < е. необходимо и достаточно, чтобы область В

принадлежала классу Смирнова (S).

Отметим, что последовательность полиномов qn(z) из теоремы 1, для которых выполняется соотношение lim ||/-<7 ||, (С. .= О,

fl XJ v L * р )

tv-K» р

сходится к /(z) равномерно внутри В вместе со всеми производными.

В §3 введены весовые пространства типа Харда ер(В;р), р > > 1, гармонических функций; при р = 1 они совпадают с пространствами ер(В), рассмотренными в работах В.И.Власова.

Пусть требования §2 на область В и вес |p(z)| выполнены. Если функция |А(С) = [р ° u(Q] является внешней и выраже-

ние |ц(еС0)|, рассматриваемое как функция переменного 0, подчиняется условию Макенхаупта (Ар) при некотором ре (1,»), то будем говорить, что пара (В;р) удовлетворяет условиям согласования (Ь) . р

В работе установлен следующий критерий выполнения условия

- б -

(Ъ)р для кусочно-гладкой области и степенного веса. Пусть ш.к -

величины внутренних углов в точках г! границы области, а весо-

w

ГП Pfc-1

вая функция имеет вид p(z) = j | (z - г!) ; тогда для выполнения условия Ф)р необходимо и достаточно, чтобы для всех k имели место неравенства 0 < < р.

Пусть (В;р) € (b)p, р € (1,«>); назовем ер(В;р) класс гармонических в В функций u(z), для которых выполняется соотношение

sup ||U[| <со.

0<r < 1 ■bpiLr'P'

Для введенных классов получены следующие результаты:

1) функция u(z) е е^(В;р) имеет на границе С области В след u(z') € Lp(C;p) и справедлив аналог теоремы Ф. Рисса:

»Ulli (С ; р) = мх (С:р); г-<1 р г к р к

Р г р

Ilm |]и[ш»(г аГ1 (2')) ] - и(2')||х (С:р) = 0;

2) класс ер(В;р) является пространством с нормой Ju||p р = = lim J/|| , нэ зависящей от выбора отображения 2 = со(0;

3) функция и(2) е ер(В;р) имеет гармонически сопряженную v(z) е е (В;р), =0, zQ i В, и выполняется аналог неравенства М. Рисса: ||и||р sä Мр ||u||p р, где величина Ыр не зависит от u(z).

Осноеным результатом этого параграфа является

Теорема 2. Оператор 5: u(z) u(z') осуществляет изометрический изоморфизм пространств ер(В;р) и L (С;р), р > 1.

В §4 дано применение построенной теории к задаче Дирихле для уравнения Лапласа с граничной функцией из Lp(C;p)

Au(z) = О, z с В; u(z') = g{z'), z'e C, (1)

решение которой согласно теореме 2 существует и единственно в классе ep(ß;p). Найдены равномерные внутри В оценки решения задачи (1) и всех его производных через L (С;р)-норму функции g(z') и доказана теорема о полноте и минимальности в пространстве ер(В;р) системы гармонических многочленов, т.е. функций

2„ . (z) = Re г""'1, 3„ (2) = Im zn, п t [N,

¿n-l С.П

с помощью которой проведено обоснование весового метода наименьших квадратов для решения задачи (1) при g(z') е I (С;р).

В соответствии с весовым методом наименьших квадратов решение задачи (1 ) ищется в виде предела при К -*■ со последователь-

к

ности приближенных решений uK(z) = ^ а^ 2^(2), где коэффици-

П=1

енты ак определяются из условия \\ик - g|j = min, что

2 * Р

приводит к системе линейных уравнений относительно а^, матрицей которой является матрица Грама системы функций 3 .

Теорема 3. Пусть В - жорданова область, содержащая начало координат, (В;р) е (Ь) и функция и е ег(В;р) яЗляется решением задачи Дирихле (1), аЗе g(z') € 12(С;р). Тогда:

1) lim ||ик - g|| = 0;

К-*» Ьг(С.р)

2) при К -*■ оэ последовательность г•m)uK(2i)| равномерно

внутри В сходится к D(l'm)u{z), где 1 > 0, т ^ 0 - целые числа;

3) Зля бсег п существует предел 11т ак = а и имеет место

К-> оо п п

со

разложение u(z) = ^ аД^г), сходящееся внутри круга i\z\ <

< min)z'|>, гЭе его можно дифференцировать любое число раз. z ■ ее

Вторая глава посвящена развитию метода мультиполей. Сам метод изложен в §1, в §2 дано его обобщение на весовой случай, а в §3 доказана сходимость одной его модификации, заключающейся в изменении способа представления мультиполей (т.е. базисных функций). Эти обобщения позволяют расширить область применения метода.

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа с граничной функцией ф из Ь (Г):

Аф(ш) = 0, ioeg; Ф(ш') = о, ш'ет; Ф(ш') = ф(ш'), ш'еТ, (2)

в конечной односвязной области g с границей dg = 7 U Г. Сущность метода мультиполей *) заключается в построении полной и

*) - Власов В.И. Краевые задачи в областях с криволинейной границей. М.: ВЦ АН СССР, 1937. 272 с.

минимальной в I (Г) системы функций {fi (ш)}, п € IN, тождественно удовлетворяющей уравнению в области g и однородному условию на дуге 7. Тогда решение ф(ш) записывается в виде предела при К оо сумм

к

фк(ш) = Y2 ^ nu(a;)' (3)

и=1

где коэффициенты 0х определяются из условия минимальности к 71

отклонения ф (ш') от ф(ш') в норме £2(Г). Если известно конформное отображение z = :F(u>) некоторого расширения G исходной области g через дугу Г (т.е. G g, ÖG => 7, G int Г и контур dG в некоторых окрестностях точек пересечения 7 П Г представляет собой дугу Ляпунова) на верхнюю полуплоскость И = iz: Im £ > О), удовлетворяющее условиям

1(Л) = О, ТШ =00, л t Ш 7, Л £ öGVy, (4)

то функции ß (w) удается выразить при помощи простой формулы

Qn(?y) = Im п е Ш. (5)

Метод обеспечивает равномерную при !-»-<» сходимость последовательности {ф^а;)} к искомой функции ф(») внутри (g U int 7) и

последовательности производных {—-—т- фк(ш)1 к производной

1<Эгх д*у J

а l-t t ,

решения -т- ф(ш) внутри множества g ü int 7 \ U tu' ,

д х дъу к KJ

где w^ - точки, в которых дуга 7 неаналитична.

В §2 дано обобщение метода мультиполей на случай, когда граничная функция ф принадлежит бесобому классу Ь2(Г;у).

Пусть область g удовлетворяет условию (7,Г), т.е. является конечной односвязной областью с границей, состоящей из двух звеньев - дуги 7, являющейся в некоторых окрестностях концевых точек кривой Ляпунова, и жордановой кусочно-гладкой дуги Г, гладкие звенья которой соединяются между собой под ненулевыми углами; при этом величины внутренних углов в точках соединения 7 и Г больше 0 и меньше it. Обозначим через внешнюю функцию, принадлежащую классу Hß, ö >0, и обладающую свойством

= (Р(С)1, а через vi = - конформное отображение

верхнего полукруга (U+ = -CÇ: |Ç| <1, lu С > 0) на область g, удовлетворяющее дополнительным условиям ^(-1) = А, ц(0) = Я, (х(1 ) = V, где через Л и V обозначены точки соединения дуг j и Г. Тогда в качестве веса в области g будем рассматривать модуль аналитической функции v(w) = Р ° цГ1(ш). Введем также вспомогательную функцию

т(С) = РЮ Ц'(С), С е Будем говорить, что область g и функция v(w) подчиняются

I Q

условию (В) . р € (Ь»), если вес |ч(е )\, рассматриваемый как функция переменного Q, удовлетворяет условию Макенхаупта (Ар).

В работе получен следующий критерий выполнения условия (В)р для "степенного" веса, т.е. для такой функции г>(»), модуль

m I ifV1

следа которой на дуге Г имет вид I и»' - шл . Для того

Js=1

чтобы область g и вес |v(w)| удовлетворяли условию (В)р, необходимо и достаточно выполнение неравенств

О < afepfc < р, k = 2, ÎT-1; 0 < 2агрг < р, I е t1.iT>, где та^ - величины внутренних углов в угловых точках дуги Г,

к = 1 ,N, и u>j = V, w'N = Л.

Обозначим через Гг образ полуокружности t|Ç|=r, Im Ç > 0>, г е (0,1), при отображении го = ц.(С). Пусть р € (1,») и выполнено условие (В)р; назовем ep(g,T;v) класс (действительнозначных) гармонических в области g функций ф(«>), непрерывных на множестве (g U int у) и удовлетворящих однородному условию Дирихле на int т. 7 = dg\T, для которых выполняется соотношение

sup Г |ф(*у)|Р |v(ui)| |dz| <оо при некотором г е(0,1 ). г <r<1 J 1 1 г

г

В работе доказано, что класс ep(g,V\v) является банаховым пространством с нормой Цф||е , Г V) = 11m (Г причем

р * " н-М р г *

каждый его элемент ф(ш) имеет на Г след ф(гу') € Z (Г;v) и выполяются аналоги теорем Ф.Рисса и М.Рисса.

Теорема Л. Оператор S: ф(ш) —*■ ф(;о') осуществляет изометрический изоморфизм пространств е (g,T;v) и L (Г;г>).

Из этой теоремы вытекает, что решение задачи (2) в классе ep(g,riv) существует и единственно при любой граничной функции cp(w') из Z (F;v). В работе даны равномерные внутри В оценки

решения задачи (2) и его производных через |ф(|ь (r.v)-

р '

Теорема 5. Система функций (5) является полной и минимальной в пространстве е (g,T',v).

Пусть выполнено условие (В)2; в области g рассмотрим задачу Дирихле (2) с граничной функцией <р(и>') из L (F;v). Приближенное решение фк(») этой задачи будем искать в виде суммы (3), коэффициенты которой будем определять из условия Цф^фЦ^ =min.

Сходимость этого метода устанавливается следующей теоремой.

Теорема 6. Пусть ф(w) - решение задачи (2), а фк(и>) построены указанным бытие способом. Тогда:

1) Ilm 1фк - ф|| = 0;

K-wo ь21' '

2) последовательность {фк(ш)> сходится при К —»• со к ф(w)

3) бля любьа ZelN и ielN последовательность {—-— фк(ш)!

равномерно внутри g U int 7;

тпг. i£>flnfinm<=> fhunrvmu

сходится при К —*■ » к —-— ф(ш) равномерно внутри множества

д1х дгу

g U Гint 7 \ U vj'I, где w' - точки, в которых 7 неаналитична.

^ ж '

Третий параграф посвящен обоснованию одной модификации метода мультиполей, заключающейся в замене отображения Ссоп:{»Ш в функциях П (ш), определяемых по формуле (3), на отображение

- -irrf ^ +

F: g --* (U , преобразующее исходную область g е (7,Г) на

некоторую область Ш+ € (7,Г), бжзкую к полукругу QJf и расположенную в верхней полуплоскости IH так, что 7 = F(7) - отрезок действительной оси, содержащий начало координат 0 = F(Jf). Подставляя F в формулу (5) вместо отображения получаем новые "базисные" функции :

an(w) = Im [F(w)]n, n e IN. (6)

Ясно, что эти функции являются гармоническими в g, непрерывными в g и удовлетворяют однородному условию Дирихле на 7. В настоя-

щем параграфе с помощью теории весовых пространств типа Харда, развитой в §3-§4, гл.1, доказана полнота и минимальность системы (6) в пространстве e2(g,T) (т.е. в пространстве e2(g,r;v) при V = 1), а также аналог теоремы б. Тогда решение задачи (2) может быть построено тем же путем, что и в методе мультиполей.

В третьей главе предложен и обоснован аналитико-численный метод решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в областях со сложным строением границы. Он является развитием метода мультиполей и, сохраняя его основные достоинства, позволяет преодолеть некоторые возникающие при его использовании трудности. Это удается сделать при помощи сочетания метода мультиполей с блочным подходом и итерационной процедурой Шварца. Излагаемый блочный метод адекватно учитывает геометрию области и структуру решения, что позволяет с высокой степенью точности находить как интегральные, так и дифференциальные характеристики решения (в том числе требуемые производные внутри области и на ее границе). Дано применение этого метода к задаче кручения некоторых важных для практики типов стержней сложного профиля с концентраторами напряжений; проведена численная реализация метода, подтвердившая его эффективность и высокую точность при вычислении напряжений (градиента решения краевой задачи) вплоть до границы.

В §1 изложена альтернирующая процедура Шварца для решения задачи Дирихле

а Ф(ш) = f{w), wag, Ф(ш') = cp(ty'), w е дд, (Ю)

где / e С(£) П Ca<5), а e (0,1), и cp e C(ö<J), в объединении двух областей д = g1 У Рассмотрено обобщение этой поцедуры на случай покрытия исходной области д произвольным конечным числом Ж подобластей gm, предложенное Л.Бадеа *). Это обобщение предполагает, что подобласти gm циклически перебираются на каждой итерации. Исправлены неточности, допущенные в работе *) при определении знаменателя сходимости див способе покрытия

*) - Badea L. A Generalization оГ the Schwarz Alternating Method to an Arbitrary Number oi Subdomains // Numer. Math. 1989, V. 55. P. 61-81.

исходной области пересекающимися подобластями. Для цепочки областей приведено подробное доказательство сходимости указанного обобщения со скоростью геометрической прогрессии и дан вывод оценки погрешности.

В §2 изложен предлагаемый блочный метод для решения задачи (10) с постоянной правой частью в кусочно-гладких областях, допускающих представление в виде объединения цепочки подобластей (блоков) двух типов: прямоугольника и области с входящим углом, плавно скругленным дугой окружности. В прямоугольнике краевая задача решается методом разделения переменных, а в области со скругленным углом - методом мультиполей в сочетании с методом разрывных функций *); решения на отдельных блоках сшиваются между собой с помощью рассмотренного в §1 обобщения альтернирующей процедуры Шварца.

В §3 блочный метод применен к решению проблемы кручения упругих призматических стержней, поперечное сечение которых допускает разбиение на блоки двух типов: прямоугольники и уголки (уголок - это Ь-образная область со скругленными углами). Приведены численные результаты (распределение напряжений на контуре сечения и внутри области) для ряда конкретных профилей: П-образного, г-образного, П-образного и гофрообразного профилей. Для представления решения в уголке использовалось по 40 базисных фушадай (мультиполей) для каждого из двух расширений -через входящий скругленный угол и через выходящий. При этом точность вычисления решения в целом по сечению составила Ю-4, а для градиента (через который выражаются напряжения) - 10~3. Отметим, что точность вычисления напряжений на закруглении входящего угла (представляющего собой концентратор напряжений) была существенно выше и составила 10~т.

Четвертая глава посвящена аналитико-численному методу решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона Ли = / с произвольной правой частью из Ь (§) в областях £ с криволинейной границей.

*) - Власов В.И., Волков Д.Б. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в области, ограниченной многоугольником со скругленным углом // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306, * б. С. 1294-1297.

Этот метод ориентирован на то, чтобы эффективно находить не только само решение, но и его производные в области g вплоть до части ее границы - дуги 7, которая может иметь сложное строение и содержать геометрические особенности и на которой предполагается заданным однородное краевое условие.

Сущность метода заключается в том, что указан явный алгоритм построения весовых собственных функций vn(w) оператора Лапласа в области g при помощи конформного отображения 2 = w) расширения G исходной области g через дугу Г = dg\7. Тогда решение u(w) исходной краевой задачи представляется в виде суммы и = и + ф, где решение v(u>) однородной задачи Дирихле для уравнения Пуассона записывается в виде ряда Фурье по системе {un>, а гармоническая функция ф(ш), удовлетворяющая неоднородному условию Дирихле на Г, строится при помощи метода мультипо-лей, использующего то же конформное отображение T{w).

В §1 приведены вспомогательные утверждения, касающиеся существования, единственности и гладкости решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона, а также свойства конформного отображения областей с кусочно-ляпуновской границей.

В §2 введен функциональный класс 2(g,Г), доказана теорема о существовании и единственности задачи Дирихле в этом классе, сформулирован метод построения функций vn, изложен предлагаемый метод решения исходной краевой задачи и доказаны теоремы о равномерной сходимости полученного представления для u(w) и о возможности его дифференцирования в точках гладкости дуги 7.

Пусть на плоскости комплексного переменного w задана конечная односвязная область g класса (7,Г) с кусочно-гладкой границей без нулевых внутренних и внешних углов, т.е. О < шк < 2тс. Введем класс 3), „(g,Г) непрерывных на (g U int 7) функций u(w), равных нулю (тождественно) на Int-7, принадлежащих ïï^ loo(g) и

для которых sup ||и||ь <оо при некотором rQ € (0,1).

Гф<т<1 2 г

Постановка задачи (,Р). Пусть / е L^(g) и <р е 12(Г). В области g требуется найти функцию u(w) класса ®2 2(g,T), которая почти всюду в g удовлетворяет уравнению Пуассона с правой частью f(w) и почти всюду на Г равна ф(ш').

Теорема 7. При любых / t L2(g) u <р f 12(Г) решение

задачи (®) существует и едшствено, имеет почти всюду на Г

некасательные предельные значения, равные <p(ty'), и выполняется

аналог равентсва Ф.Рисса: lim ||uj| = ||cp||

г-1 2 г -Ь2и)

Схема предлагаемого метода включает в себя следующие этапы. Во-первых, представление решения и исходной задачи в виде суммы и = и + ф решения v уравнения Пуассона с однородным краевым условием и решения ф задачи (2) для уравнения Лапласа с неоднородным граничным условием на Г. Во-вторых, построение системы функций vn(w) = V ° (w), п € IN, обращающихся в нуль на dg и образующих ортонормированный базис в b2(g;p) с весом р(w) =

= 2 | (м--1 (ш)] | » где Vn - собственные функций оператора Лапласа в круге Ш, занумерованные в порядке возрастания собственных чисел Л, , а w = ц(£) - конформное отображение полукруга Ш+ на область g. В-третьих, построение гармонических в g функций П (ш) по формуле (5), тождественно удовлетворяющих однородному условию на 7 и образующих полную систему в Ь2(Г). В-четвертых, представление решения в виде предела

u(w) = lim uK(w) (11)

„ К-»оо

последовательности {и } приближенных решений

к

uK(w) vniw) + ^W« (12)

n= 1

где Ъп = - 2 ^ ig)' а ФУ1®1*1™ задаются равен-

ством (3) с коэффициентами а^, которые в соответствии с методом мультиполей определяются из условия ||фк-ср||ь =min.

Теорема 8. Пусть область g ограничена кусочно-лялу-новскил контуром. Тогда последовательность сум (12) сходится при К —*■ оо к решению задачи (©) равномерно внутри (g U int 7).

Теорема 9. Пусть выполнены условия теорем. 8, а также следующие дополнительные условия:

1) функция / является ограниченной в окрестностях угловых точек w^ контура dg с углами меньшими ж;

2) существует татя подобласть g'c g, примыкающая к дуге 7, т.е. 7 с dg', для которой f (. L (g') при некотором р > 2;

3) величины ш внутренних углов б точках Л и V контура Sg удовлетворяют, неравенству а^ > 1Д, а 6 остальных точках -неравенству ак > 1/2.

Тогда последовательность сулил (12) сходится к решению задачи (35) равномерно в представление (11)-(12) допускает дифференцирование по нормали р(ш') к дуге 7 и последовательность

сходится при К -> со к равномерно внутри

множества ¡Ш 7 \ и и' 1, где ш' - угловие точки. 7.

I К ] 9С

1 я '

В §3 изложен алгоритм построения конформного отображения С = ц~1(ш), состоящий в следующем. Представим функцию рГ1(т) в виде р."1 (ги) = х ° где функция г = конформно отобра-

жает некоторое расширение С области ё е (7,Г) через дугу Г на верхнюю полуплоскость И с условиями (4), а функция С = %(2) осуществляет отображение области J:{g) на полукруг Ш+ так, что = -1, %(0) = 0, \>7(Т)) = 1. Функцию %(2) будем строить следующим образом:

1 Г ? 1 II II2

%(г) = 11т Х-(а), = - «¿(г) вг. Як = — к I

К~*оо К в J К К 2% • (С)

К О 2

где С = и {г: г е ^(Г)}, а (Ыя) - полиномы вида

а

к

V2' =1 +

Р=1

с действительными коэффициентами, которые находятся из условия

II II2 к

Ю„ = т1п. Введем обозначение Б' (ту) = у •

II II х^ (С ) к

Теорема 10. Пусть область в класса (7, Г) ограничена кусочно-ляпуновской кривой без нулевых внутренних и внешних углов. Тогда последовательность {Бк(ю)> равномерно сходится при К -* оо к функции р."1 (ш) 6 замкнутой области 1. Если 7 - кусочно- аналитическая дуга, то для всех п £ И последовательность по К производных п-го порядка [Зк(ш)](п) сходится при К -*-<*> к

(ш)](п) равномерно внутри множества ( В и Ш 7 \ и ),

где т'к - точки, б которых дуга 7 не аналгтична.

лк гр

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Власов В.И., Волков Д.Б., Рачков А.В. Решение задачи о кручении швеллера // Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ АН СССР, 1989. 40 с.

2. Власов В.И., Волков Д.Б., Рачков А.В. Численно-аналитический метод решения уравнения Пуассона в сложных областях // Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ АН СССР, 1990. 37 с.

3. Рачков А.В. Блочный метод решения уравнения Пуассона в сложных областях // Третья всесоюзная конференция "Новые подхода к решению дифференциальных уравнений", Дрогобыч, 1991 г. Тезисы докладов. М.: ВЦ АН СССР, 1991. С. 113.

4. Власов В.И., Рачков А.В. Весовые пространства типа Харда // Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ РАН, 1991. 64 с.

5. Власов В.И., Волков Д.Б., Рачков А.В. Оптимизация формы высоконагруженных элементов конструкций аэрокосмической и другой современной техники // Межгосударственная научная конференция "Экстремальные задачи и их приложения", Нижний Новгород, 1992. Тезисы докладов. С. 25.

6. Власов В.И., Рачков А.В. О весовых пространствах типа Харди // Доклада РАН. 1993. Т. 328, Ш 3. С. 281-284.

7. Rachkov A.V., Vlasov V.I., Volkov D.B. On Optimization of Some Highly Loaded. Elements of Engineering Constructions // 3rd IFIP .WG-7.6 Working Conference on "Optimization-Based Computer-Aided Modelling and Design", Prague, Czech Republic, May 24-26, 1994. Abstracts. P. 136-137.

А.В.Рачков

Решение некоторых краевых задач в областях со сложным строением границы

Подписано в печать 14.11.94. Формат бумаги 60«84 1/16. Тираж 100 экз. Заказ 62. Бесплатно.

Отпечатано на ротапринтах в ВЦ РАН 117333, Москва, ул. Вавилова, 40