Решение обратной задачи для электромагнитного поля, созданного электрическим или магнитным дипольным моментом тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Янц Юлия Геннадьевна

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ, СОЗДАННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ИЛИ МАГНИТНЫМ ДИПОЛЬНЫМ

МОМЕНТОМ

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 ПАП 2014

Томск - 2014

005548964

005548964

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «ТЪмский государственный педагогический университет», па кафедре теоретической физики.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Эпп Владимир Яковлевич Официальные оппоненты:

Ласуков Владимир Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский политехнический университет», кафедра «Высшая математика», доцент

Тлячев Вячеслав Бесланович, доктор физико-математических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Адыгейский государственный университет», г. Майкоп, кафедра «Теоретическая физика», заведующий кафедрой

Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет», г. Ростов-на-Дону

Защита диссертации состоится «19» июня 2014 года в 14.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.07, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке и на сайте федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» www.tsu.ru.

Автореферат разослан_апреля 2014 года.

Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ: http://www.tsu.ru/content/news/announcement_of_the_dissertations_in_the_tsu.php

Ученый секретарь диссертационного совета

Киреева Ирина Васильевна

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Обратными задачами называют задачи математической физики, в которых значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных [1]. Задачи такого рода возникают в разных областях знания, например, таких как физика, геофизика, астрономия, радиолокация, медицинская томография и др.

В электродинамике под обратной задачей понимают задачу восстановления плотности зарядов и током по известному электромагнитному полю, которое они создают. Частным случаем обратной задачи электродинамики в сформулированной выше форме является обратная задача излучения, которая состоит н том, что по известному полю излучения определяется динамика распределения зарядов, создающих это излучение. В частности, если излучение генерируется отдельным зарядом, то требуется определить закон движения заряда [2,3].

В настоящей работе решена обратная задача для ноля, создаваемого электрическим или магнитным диполем.

Достаточно много информации о поле дипольного момента можно найти в учебниках. Известны выражения для напряженностей электрического и магнитного поля [4], в учебнике [5] представлены Фурье-разложение для электрического и магнитного поля диполя. Также в литературе можно найти выражения для мощности и спектра излучения диполя. В то же время, обратная задача для поля произвольно изменяющегося дипольного момента ранее не рассматривалась.

Обращение к данной теме связано с тем, что в последнее время возникают задачи, в которых требуется найти источник электромагнитного поля, если само поле известно. Например, проводятся эксперименты по регистрации электромагнитных полей, возникающих при образовании микротрещин в твердых телах. При этом по измеряемым электромагнитным полям определяют местоположения трещин [6]. Другим примером является генерация электромагнитного сигнала при землетрясениях [7,8]. Согласно концепции активных излучателей, электромагнитные предвестники землетрясения возникают на стадии интенсивного растрескивания в процессе разрушения земной коры. При этом, расстояния между источником ноля и наблюдателем много больше размеров источника. В то же время, на практике эти расстояния малы в сравнении с характерной длиной волны, что позволяет использовать диполыюе приближение. Аналогичные задачи возникают при определении электрического состояния кучевых облаков, при исследовании поляризации отдельных областей живых организмов и во многих других случаях.

Степень разработанности

Поле произвольного, в целом нейтрального, распределения заряда можно в первом приближении мультипольного разложения представить как поле диполя. Такое представление является хорошим приближением, если размеры области, в которой распределен заряд, много меньше расстояния между наблюдателем и данной областью. Поэтому решение обратной задачи для поля точечного диполя применимо к довольно широкому кругу явлений.

В работе решена обратная задача для поля электрического диполя. В силу дуальной симметрии уравнений Максвелла полученные решения справедливы и для поля магнитного диполя если сделать замену р —> т, Е —> Н, Н — Е, где р, то - векторы дипольного электрического и дипольного магнитного моментов соответственно, Е и Н напряженности электрического и магнитного полей.

В диссертационной работе исследовано поле диполя в ближней и дальней зонах. Получены формулы для плотности потока энергии ноля, создаваемого произвольно изменяющимся

дипольным моментом. Построены и проанализированы картины силовых линий вектора Умова-Пойнтинга для поля линейно изменяющегося дипольного момента. Изучено ноле создаваемое прецессирующим дипольным моментом.

Решена обратная задача для ноля дипольного момента, т.е. найдены уравнения определяющие величину дипольного момента и его положение относительно наблюдателя. Исследованы частные случаи решения, и проведена проверка полученных формул на примере конкретной модельной задачи.

Развит спектральный подход к решению обратной задачи для поля диполя. Найдены выражения, определяющие координаты и величину амплитуды Фурье-компоненты дипольного момента. Предложены альтернативные методы решения задачи. Полученные решения исследованы на единственность и устойчивость. Полученные формулы апробированы на примере решения частной модельной задачи.

Цели и задачи работы

Основной целью данной работы является решение обратной задачи для электромагнитного поля точечного электрического или магнитного диполя. Модель точечного диполя применима к достаточно компактному распределению нерелятивистских зарядов, удовлетворяющему известным условиям.

Целью работы, так же, является исследование ноля дипольного момента в ближней и дальней зоне, в том числе, инвариантность поля диполя относительно определенных преобразований и изучение процессов переноса энергии в окрестности диполя, а также изучение поля дипольного момента, изменяющегося в соответствии с конкретными, частными законами движения.

Другой, не менее значимой, целью работы является построение метода решения обратной задачи для случая, когда известна Фурье-составляющая электрического или магнитного поля в некоторой точке пространства. Такая формулировка обратной задачи имеет большое значение для практических приложений, поскольку измерение электромагнитных нолей происходит на практике на определенной частоте или в некотором диапазоне частот.

Для достижения поставленных целей были сформулированы следующие задачи:

1. Рассмотреть вопрос единственности решения обратной задачи. Исследовать поле диполя в ближней и дальней зоне, в том числе, изучить процессы переноса энергии в этих областях, а также изучить поле произвольно изменяющегося диполя с фиксированным направлением и поле прецессирующего дипольного момента.

2. Решить обратную задачу для поля электрического диполя. Из известных выражений для напряженностей электрического и магнитного полей в некоторой точке найти величину дипольного момента и его положение в пространстве. С помощью решения модельной задачи проверить полученные результаты, а также исследовать возможные частные случаи. Найти альтернативный метод решения обратной задачи для случая, когда найденное решение имеет особенности.

3. Решить обратную задачу в случае, когда известна Фурье-составляющая магнитного поля в некоторой точке пространства. Исследовать возможность получения однозначного решения при такой постановке задачи. Решить и исследовать полученное решение если известен еще и градиент Фурье-компоненты. Показать справедливость выведенных уравнений и продемонстрировать погрешности вычислений на примере частной модельной задачи. Найти возможные альтернативные методы решения для Фурье-компонент магнитного поля. Полученные решения исследовать на единственность и устойчивость.

Научная новизна

1. Доказано, что электромагнитное поле, создаваемое точечным дипольным моментом в произвольной точке Л не изменяется при добавлении к дигюльному моменту вектора, направленного к точке А и изменяющегося по экспоненциальному закону. Данное обстоятельство ограничивает однозначность решения обратной задачи.

2. Показано, что плотность потока энергии электромагнитного поля н ближней зоне можно разбить на две компоненты - поток, связанный с обменом энергии между полем и изменяющимся диполем, и радиально направленный поток энергии излучения. Вычислены обе компоненты плотность потока энергии.

3. Решена обратная задача для ноля дипольного момента в случае, когда исходными данными являются напряженности электрического и магнитного полей как функции времени в некоторой точке пространства. Найдены координаты дипольного момента и закон его изменения.

4. Получено решение обратной задачи поля дипольного момента для случая, когда исходными данными являются амплитуда и фаза Фурье-компоненты магнитного поля. Показано, что этих данных недостаточно для получения однозначного решения. Решена обратная задача при условии, что известны производные по координатам от Фурье-амплитуд и фаз магнитного поля в некоторой точке пространства. Полученные решения апробированы на конкретном примере методом численного моделирования.

5. Доказано, что полученные решения являются устойчивыми. При использовании достаточного количества исходных данных решения являются однозначными. В случаях, когда решение не является единственным, указано в чем проявляется неоднозначность полученного решения. Получены формулы, показывающие как погрешности решения обратной задачи зависят от погрешности исходных данных.

Теоретическая и практическая значимость

1. Исследование поля дипольного момента в ближней и дальней зонах позволяет понять процессы переноса энергии в этих областях. Информация о величине и направлении потока энергии электромагнитного поля позволяет, например, рассчитать давление излучения на поглощающую среду в атмосфере небесных тел, обладающих магнитным моментом.

2. При решении обратной задачи для ноля диполя были найдены уравнения для дипольного момента и выражения, позволяющие определить положение диполя в пространстве. Полученный результат может быть использован для восстановления динамики диполя по создаваемым им нолям. В частности, для неразрушающего контроля напряжений в твердых телах, исследования зарядов грозовых облаков и во многих других практических задачах.

3. Результаты решения обратной задачи для Фурье-компонент магнитного поля могут быть использованы для исследования процессов, сопровождаемых возникновением и изменением локализованного распределения электрического заряда, если создаваемое зарядом поле регистрируется на определенной частоте.

Методология и методы исследования

В расчетах диссертационной работы были использованы стандартные методы математического анализа и классической электродинамики.

Положения, выносимые на защиту

1. Расчет вектора плотности потока энергии электромагнитного поля диполыгого момента в ближней и дальней зонах. Анализ процессов переноса энергии в этих областях. Построение и исследование картины силовых линий вектора Умова-Пойнтинга для частных случаев динамики дипольного момента.

2. Решение обратной задачи для произвольно изменяющегося дипольного момента. По известным выражениям для напряженностей электрического и магнитного поля найдены величина дипольного момента и его радиус-вектор. Проверка полученных формул методом численного моделирования.

3. Альтернативный метод решения обратной задачи для случаев, когда общее решение имеет особенности.

4. Спектральная формулировка обратной задачи. Решение обратной задачи для Фурье-компонент магнитного поля диполя. Найдены выражения, определяющие радиус-вектор диполя и Фурье-компоненты вектора дипольного момента.

5. Исследование полученных решений на единственность и устойчивость. Доказана устойчивость полученных решений и показано, в каких случаях решение является единственным. В случаях, когда решение не является единственным, указано в чем проявляется неоднозначность полученного решения.

Степень достоверности

Поиск решения осуществлялся с применением стандартах методов теоретической физики и математического анализа. В предельных случаях полученные формулы дают известные результаты. Исследования, проведенные в диссертационной работе, опубликованы в российских и международных рецензируемых журналах.

Личный вклад автора

Совместно с руководителем осуществлена постановка задачи, обсуждение результатов работы, формулировка выводов и положений, выносимых на защиту, написание научных статей по теме диссертации. Лично диссертантом произведены теоретические расчеты диссертационной работы.

Апробация работы

Результаты, положенные в основу диссертации, докладывались на следующих конференциях:

1. Наука и образование: "X Всерос. конференция студ., асп. и молодых ученых", 15 -19 мая 2006. - Томск.

2. VII International Symposium "Radiation from Relativistic Electrons in Periodic Structures", Prague, the Czech Republic, September 24 - 28, 2007.

3. Наука и образование: "XII Всерос. конференция студ., асп. и молодых ученых", 21 -25 апреля 2008. - Томск.

4. Наука и образонание: "XIII Всерос. конференция студ., асп. и молодых ученых", 20

- 24 апреля. 2009. - Томск.

5. Международная научно-практическая конференция "Развитие научно-технического сотрудничества российских научных и научно-образовательных центров с учеными-соотечественниками, работающими за рубежом", 2-4 апреля, 2010. — Томск.

6. IV международная конференция "Квантовая теория поля и гравитация РРТС'Ю", 5

- 9 июля, 2010. - Томск.

7. IX Сибирское совещание но климатоэкологическому мониторингу. Институт мониторинга климатических и экологических систем СО РАН, 3-6 октября 2011. - Томск.

Содержание работы

Во введении представлен обзор литературы по теме диссертации, обоснована актуальность исследуемой работы, приведены полученные в диссертации новые результаты, указана их практическая ценность и дано описание структуры диссертации. Первая глава диссертации содержит оригинальные результаты, полученные соискателем и посвящена исследованию поля диполмгого магнитного момента в ближней и дальней зонах.

В разделе 1.1 рассмотрены свойства инвариантности электромагнитного поля, создаваемого дииольным моментом относительно преобразования этого момента. Найдены такие преобразования дипольного момента, которые не изменяют электромагнитное поле в определенной области пространства.

Формулы для векторов напряженности электрического ноля Е(1) и напряженности магнитного поля Н(1.), создаваемых электрическим дииольным моментом p(i') в точке с радиус-вектором г выглядят следующим образом (см., например, [4]):

щц = (nx(nxp)) | 3п(пр)-р | Зп(п • р) — р

= ¿(р х n) + х п)> (2)

где п = r/r, г - радиус-вектор, проведенный от дипольного момента до наблюдателя, г - модуль радиус-вектора, с - скорость света. Точки обозначают производную по времени. Вектор дипольного момента р в правой части и его производные берутся в запаздывающий момент времени /.'. Времена /. и I' связаны соотношением

t = ч + т-. (3)

Введем вспомогательный вектор Р = р' +р, где штрих означает производную по безразмерному времени г = ci/r. Тогда формулы (1) и (2) запишутся в виде:

г3Е(1) = (п х (п х р")) + Зп(п • Р) - Р, (4)

г3Н(1) = (Р'хп). (5)

Из последней формулы видно, что преобразование вектора дипольного момента

р(4)->р(0+Ро(0 (6)

не изменяет магнитное поле, если это преобразование не изменяет вектор Р' или приращение вектора Р' параллельно вектору п, т.е. вектор ро(0 имеет вид:

Ро(0 = С1 + С2еГт + Спт, (7)

С - произвольная константа, С\, С2 - произвольные постоянные векторы, г - безразмерное время.

Таким образом, преобразование дипольного момента (6), где вектор р0(/.) задается уравнением (7), не изменяет напряженности магнитного поля. Формула (7) содержит расстояние г и единичный вектор направления п. Следовательно, данное преобразование не изменяет магнитное поле в определенной точке пространства

Условие сохранения вектора напряженности электрического поля является более жестким, чем для магнитного поля - для каждой точки пространства имеется свое преобразование, оставляющее инвариантным вектор Е(1). Преобразование дипольного момента

р(<)->р(0 + <?пе-<", (8)

где яиС - произвольные константы, не изменяет электромагнитное иоле диполя в точке г = пс./а.

Таким образом, по известным значениям напряженности электрического и магнитного полей, в принципе, невозможно однозначно определить вектор дипольного момента, создающего это поле. Этот вектор может быть определен с точностью до преобразования (8). Если в качестве исходных данных берется только вектор напряженности магнитного поля, то обратная задача может быть решена с точностью до преобразования (7). Для однозначного решения обратной задачи необходимо задание дополнительных условий. Например, должен быть известен градиент напряженности электрического или магнитного поля в точке, где находится наблюдатель.

В разделе 1.2 рассмотрены свойства вектора Умова-Пойнтинга для электромагнитного поля, создаваемого произвольно изменяющимся электрическим или магнитным диполем. В данном разделе вычислено распределение потока энергии на любых расстояниях от источника поля. Так же показано, что в ближней зоне вектор Умова-Поинтинга имеет не только радиальную, но и существенную составляющую, ортогональную радиальному направлению.

Вектор Умова-Поинтинга для данных напряженностей имеет вид:

3 = 1^гг[(р".Р')-(п-р")(п-Р')-5(п-Р)(п-Р')+ (9)

+(Р,-Р)] + Р'(п-Р), где штрих означает производную по т.

Радиальная часть вектора Умова-Пойнтинга полностью определяется выражением в квадратных скобках. В зависимости от величин, входящих в это выражение, оно может принимать как положительное, так и отрицательное значение. Нерадиальная часть вектора 5 полностью определяется последним слагаемым, пропорциональным вектору Р'. В ближней зоне пространственное распределение потока энергии имеет довольно сложный вид, но радиальная часть потока, усредненная за достаточно большой отрезок времени, должна совпадать с потоком излучения на любом расстоянии от диполя, включая ближ-

нюю зону.

После усреднения по времени т от — оо до оо получили выражение, описывающее интенсивность излучения в радиальном направлении:

= ¿(«хрТ (10)

Таким образом, усредненная по времени радиальная компонента плотности потока энергии равна плотности потока энергии излучения. Мгновенное значение вектора Умова-Пойнтинга описывает процессы переноса энергии из одной области пространства в другую и, в частности, процессы обмена энергией между электромагнитным полем и источником поля.

Раздел 1.3 посвящен детальному анализу поля произвольно изменяющегося дипольного момента, сохраняющего свое направление. Здесь рассматривается свойства электромагнитного поля дипольного момента, построены картины силовых линий вектора плотности потока энергии для ближней и дальней зоны, а также дан анализ полученных картин. В данном разделе, мы предполагаем, что направление дипольного момента не меняется со временем, изменяется только его величина. Закон изменения дипольного момента со временем имеет вид:

p(t)=<p(l), Р = Ст, P = <iKt), (И)

где введен единичный вектор направления дипольного момента £ = const, и |£| = 1. Получены выражения для вектора Умова-Пойнтинга на произвольном расстоянии от диполя. В качестве примера рассмотрен гармонически изменяющийся дипольный момент

р(') = Posinwi. p(i') = Posin(wi - —). (12)

с

Тогда вектор Умова-Пойнтинга S будет выглядеть следующим образом:

s = х С)2 п[р4 s'n2 Ф ~ РЪ sin 2ф + ^p(sin 2i/> — 2/jcos 2-0)]+

+ (n • <) (n х (n х С)) (sin20 - 2pcos2ф - p2sin20)} .

Здесь p определено уравнением p = ru/c, а ф = ш1. - p. Первое слагаемое в этом выражении есть вектор, параллельный вектору п, который представляет собой радиальный ноток энергии. Второе слагаемое есть вектор, ортогональный вектору п. Поток излучения представлен слагаемым с наибольшей степенью р. При усреднении по времени остается только это слагаемое.

Векторное поле вектора S для момента времени ait, = — приведено на рис. 1. Вектор £ направлен по оси OZ. Как видно из рисунка, в этот момент времени энергия переносится, в основном, из «экваториальных» зон к «полярным» зонам. Большая часть излучения (наибольшая радиальная компонента) приходится на «экваториальную» зону. Это согласуется с известным фактом, что диаграмма направленности излучения диполя имеет максимум в экваториальной плоскости. В окрестности оси OZ вектор Умова-Пойнтинга имеет малую радиальную составляющую. По осям отложены координаты х, z в единицах длин волн. На больших расстояниях от диполя поток энергии, как и следовало ожидать, имеет существенно радиальное направление (рис. 2).

В разделе 1.4 детально исследовано поле прецессирующего дипольного момента, рассмотрены процессы переноса энергии в ближней и дальней зоне. Построены и проанализированы картины силовых линий вектора Умова-Пойтинга.

Закон движения вектора магнитного момента т в декартовой системе координат (х, у, z)

Рис. 1. Картина поля вектора Умова-Пойнтинга

Рис. 2. Картина поля вектора Умова-Пойнтинга на больших расстояниях

задан в виде:

ТП = ш(8шасозо)^81п«8шш/.,соза), (13)

где т и ш — модуль и угловая скорость прецессии дипольного момента, а — угол между вектором т и осью прецессии.

В любой точке пространства вектор Умова-Пойнтинга представляет собой осциллирующую функцию. Практический интерес представляет средний за период поток энергии. Поэтому компоненты вектора Умова-Пойнтинга в сферической системе координат (г, О,

<р) усредним по времени, получим:

5г = 0(1 + 008

= 0, (14)

ч в

_ тгьг . , . ,

¿V = —гт™ авт" Р +!)• ^ 4тгс5/У5

Здесь, в отличие от дипольного момен'1'а постоянного направления, имеется азимутальная компонента потока энергии. Более того, из формул (14) следует, что в области /5 -С 1 она имеет преобладающее значение. На больших расстояниях р> 1 вектор Умова-Пойнтинга представлен, в основном, радиальной компонентой.

На рисунках (3) и (4) показана проекция одной силовой линии вектора Умова-Пойнтинга на плоскость ХУ в сферических координатах (р, <р).

Таким образом, силовая линия вектора 5 представляет собой спираль, навитую на конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающий с осью OZ. В области малых р шаг спирали мал и силовая линия близка к окружности. С ростом р шаг спирали увеличивается и при /) > 1 силовая линия асимптотически приближается к лучу, исходящему из начала координат.

В разделе 1.5 подведены итоги первой главы.

Во второй главе решена обратная задача поля изменяющегося со временем электрического диполя. В условиях такой задачи предполагается, что электромагнитное поле создается дипольным электрическим моментом. Напряженности электрического и магнитного полей известны как функции времени. Требуется найти источник этого электромагнитного поля, т.е. величину дипольного момента, его зависимость от времени и положение диполя в пространстве.

Рис.. 3. Картина силовых линий при

7Г

(' = —,/•) изменяется от 0 до 1 6

Рис. 4. Картина силовых линий при

7Г

(' = —,/) изменяется от 0 до 4. о

В первом разделе представлено решение обратной задачи для поля диполя, а также найдено ограничение на применимость полученного решения.

Векторы напряженности электрического поля Е(1) и напряженности магнитного поля Н(1.), создаваемого электрическим дипольным моментом р(1') на расстоянии г определяются формулами (1) и (2).

Из уравнения (2) видно, что вектор напряженности магнитного поля Н изменяется в плоскости, ортогональной вектору га, что позволяет найти единичный вектор га. Выражение для вектора га получено в виде:

ЯхЯ

п = ±г)-Г4Т. (15)

ЯхЯ

)Г

Здесь мы полагаем, что векторное произведение ^Н х Н^ ^ 0. Знак в формуле (15) в соответствии с (10) определяется из условия

(га (Е х Н)) > 0. (16)

Черта над выражением означает усреднение по времени.

Зная направление единичного вектора га и используя исходные уравнения для напряжен-ностей (1) и (2), можно определить вектор дииольного момента р(1')\

р(/.') = г3<Гт [ [(пхН1) + ^п-(пЕ)]еЧт. (17)

Векторы напряженностей электрического и магнитного ноля Е и Н не являются независимыми, поскольку они создаются одним и тем же источником. Уравнение связи между векторами Е и Н можно представить в следующем виде:

г2

'-^Н+'-Н + Н = (18)

Последнее уравнение позволят записать решение для р в другой форме:

р = г3 |(п х (га х Е)) - (га х Н) + ^пр~т J(га • Е)ктс1.т| . (19)

С помощью уравнения связи (18) можно найти расстояние между диполем и точкой наблюдения:

(п-(СхЛ)) (п-(ВхС))

(п-(АхВ)) (п-(СхА))' v '

где векторы А, В и С — известные величины, записанные следующим образом:

А =

В = Н-(пх.Е), С = Н.

Кроме того, коэффициенты А, В и С должны удовлетворять уравнению связи

(А х С)2 = ((Л х В) ■ (В х С)).

В подразделе 2.1.1 рассмотрено применение полученных формул (15), (17), (20) для решения конкретной обратной задачи.

Полученное в разделе 2.1 решение обладает особенностью в случае, если вектор напряженности магнитного поля в точке наблюдения параллелен скорости изменения этого вектора. В разделе 2.2 мы представили решение обратной задачи другим способом, не содержащим такой особенности.

Зависимость между векторами Е и Н выраженную уравнением (18) можно представить в виде:

Н2 = (п х Е2), (21)

где

2

Н2 = Н + -Н+Г-Н, (22)

с. с1 2

Е2 = -Ё+Г-Ё. (23)

с (Г

Векторное уравнение (21) позволяет выразить вектор г через производные от известных векторов Н и Е. Эту задачу можно разбить на вычисление единичного вектора п и модуля вектора г из уравнения (Е2Н2) = 0, которое является уравнением третьего порядка на г

(ЁН) + (J-)* (ЕЙ + ЁН) + (24)

+ '-(ЁН + ЁН) + (ЁН) = 0.

Последнее уравнение может иметь один или три действительных корня в зависимости от вида функций H(t) и E(t). В случае трех корней критерием выбора правильного решения является условие г = const.

Если известен модуль радиус-вектора г, то единичный вектор п можно найти из уравнения (21):

(Е2 х Н2) ± Егу/Щ - Щ п = -щ-. (25)

Знак плюс или минус выбирается так, чтобы усредненный по времени вектор Умова-

Пойнтинга образовывал острый угол с направлением п.

Зная радиус-вектор и выражение для единичного вектора, можно записать уравнение для дипольного момента:

р = г3[п х ((п х Е) - Н)] + 1пг3е-т У(Е ■ п)етс1т. (26)

Поскольку неопределенный интеграл содержит аддитивную постоянную, решение (26) определено с точностью до аддитивной функции п6'«т, где С — произвольная константа. В диссертации так же представлен вывод доказательства эквивалентности этого выражения уравнению (17) с точностью до постоянных интегрирования.

В подразделах 2.3.1 и 2.3.2 подробно исследованы частные случаи решения обратной задачи, полученного в разделе 2.1. В разделе 2.4 приведены основные выводы главы.

В третьей главе диссертации представлено решение обратной задачи для случая, когда известна Фурье-составляющая магнитного поля в некоторой точке пространства или известны производные по координатам Фурье-компоненты в окрестности этой точки. Кроме того, показано, что знание Фурье-компоненты вектора магнитного поля только в одной точке пространства недостаточно для полного решения обратной задачи. Но если известны и градиенты Фурье-компонент магнитного поля в окрестности некоторой точки, то решение обратной задачи позволяет определить координаты источника поля и Фурье-компоненты дипольного момента.

В разделе 3.1 сформулирована обратная задача для Фурье-компонент магнитного поля. При этом предполагается, что магнитное поле создается некоторым достаточно компактным распределением заряда. Амплитуда магнитного поля измерена на фиксированной частоте ш в некоторой точке пространства. Задача состоит в нахождении положения дипольного момента и соответствующей Фурье-амплитуды диполя. Разложение Фурье для магнитного поля точечного диполя р имеет вид [5]:

Нш(г) = ^(рихп)(гкг-1)^т, (27)

гДе Рш ~ преобразование Фурье электрического диполя, к = и/с — волновой вектор. В этом разделе мы считаем, что магнитное поле не является линейно поляризованным. Поскольку вектор магнитного поля Ни ортогонален единичному вектору п, выберем систему координат так, чтобы проекция магнитного поля на ось ОХ была равна нулю

= 0 (см. рис.5). Тогда гармоническая составляющая вектора магнитного поля Ние~'"1 на частоте и> описывает эллипс в плоскости ХУ. Назовем его эллипсом поляризации вектора Н„. Таким образом, источник поля находится на оси ОЯ. Вектор дипольного момента рш представим в виде проекций на оси координат:

Ри, = (РохС'"*- РоуР'"у- Роге'"*). (28)

где - начальные фазы, рш - вещественные рис 5 Система коордннат.

положительные амплитуды комплексной Фурье-компоненты соответствующей проекции. Проекции вектора магнитного поля Ни на координатные оси можно представить в сле-

дующем виде:

= -^роАгкг - (29)

где е = пг = ±1 - пока неизвестная величина.

Размеры и ориентацию осей эллипса поляризации можно выразить через экспериментально измеряемые квадратичные комбинации компонент Них и Ншу. Например, с помощью параметров Стокса, которые в данной задаче найдены в виде:

«о = -Нр1х + Р1у),

«1 = ~'(Роу-Рах)-

.ч2 = -2.1р0хр0усоз(пх - пу), (30)

л3 = 2.1р0хр0увт(ах - ау).

Здесь:

У = (31)

В работе найдены соотношения определяющие эллипс поляризации дипольного момента с точностью до масштабного множителя:

6Х =

А'о — «1

«О + «1

2

со а(ах-ау) =--*2 , (32)

ч/?

8т(ах - ау)

о ' лз

где Si = т/7р01-

Таким образом, измеряя Фурье-компоненту магнитного поля, мы можем определить линию, соединяющую дипольный момент с наблюдателем и, с точностью до масштабного множителя, проекцию эллипса поляризации момента на плоскость, ортогональную этой линии. Остальные неизвестные — абсолютная величина амплитуды дипольного момента, его проекция на линию, соединяющую дипольный момент с наблюдателем, знак направления на источник поля и расстояние до него найдены в следующем разделе. В разделе 3.2 при решении обратной задачи, предполагается что известен градиент Фурье-компоненты магнитного поля в точке наблюдения. В общем случае полагается, что известны производные по всем декартовым координатам от всех трех Фурье-компонент вектора магнитного поля. Координаты вектора Я„ в произвольной декартовой системе координат (х!,х2,хз) запишем следующим образом:

Яш„. = (33)

где т = 1, 2, 3.

Возьмем от этого выражения производную по координате х; и разделим на Ншт. В ре-

зультате получим матрицу:

А1т = = 1 д\И.т\ | .дуп

Нит 0X1 \Нит\ дхI дх1 ' 1 '

Вещественная часть элемента матрицы представляет собой относительную скорость изменения амплитуды Фурье-компоненты магнитного поля вдоль соответствующей координаты. Мнимая часть Д¡т есть скорость изменения фазы.

Как говорилось ранее, при расчетах мы предполагаем, что все элементы матрицы Д;т известны. Экспериментально вещественную часть элемента матрицы можно найти, измеряя приращение амплитуды Фурье-компоненты магнитного ноля при изменении соответствующей координаты наблюдателя. Соответственно, мнимая часть находится как отношение приращения фазы к приращению координаты.

В данном разделе при вычислениях введена безразмерная матрица Д„, = Д 1т/к\

(О ¿2рш3 -¿зРалХ /Р1 р1 рЛ

0 <13риХ I - а р2 Р2 />2 , (35)

~<12рШ1 0 / \р3 р3 рзу

где:

р = кг> а = 3рЧ1Р1~Х- (36)

Матрица (35) позволяет записать два выражения для нахожденя р:

« " ОТ

+р-

где Нт и /,„ — вещественные и мнимые части диагональных элементов матрицы Расстояние г между диполем и наблюдателем можно найти, например, из (38):

г = \i~i- № Проекции единичного вектора п имеют следующий вид:

В диссертационной работе также найдено соотношение

1ЯШ = -Шт, (41)

которое представляет собой три уравнения связи между диагональными элементами матрицы Еще одно уравнение связи найдено путем исключения р из соотношений (37) и (38):

Е?1 = (3 - /)2(1 - /). (42)

Для определения вектора дипольного момента рш, в ходе математических преобразований,

найдено следующее матричное уравнение:

/ 0 <12р^ з ~<1зРы2\ Р | -¿¡риз 0 = ¡4

Л\Ри2 0 /

Нетрудно убедиться в том, что уравнения для диагональных элементов выполняются тождественно. Для недиагональных элементов имеем шесть линейных однородных уравнений:

ЛгЯзКл + (1 - = О

Р13«2Ри,1+(1- = О

1'21^з1>ш2 + (1 - 1'21Нг)УшЗ = О

(1 - ^23Я2)рш1 + = о

(1- ^31^3)^2 + ^3! Я2р„з = 0.

(1-^32^3^1+^32^3 = 0.

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

Непосредственно из уравнения (43) следует, что = 1. Это определяет еще три

уравнения связи между элементами матрицы Дш:

Н21-21 + Н31'1п = ■^1^12 + йзР32 =

+ -/?2^23 =

Соотношения (50) переводят первую тройку уравнений (44) Представим -Р},,, в виде:

(50)

(49) во вторую и наоборот.

•о

Яп. =

где и ф1т — вещественные числа. Тогда последняя система уравнений распадается на шесть уравнений:

РпРоу = ^1°2Р0Х = ^2Рог, ^1зР0* = ¡~2зРЧу,

(51)

ау - аг = ф31 - 1021 + (2и + 1);г, ах-аг = '032 - '012 + (2к + 1)7Г, а.т - <*„ = ^23 - Ф\з + (2га + 1)тг,

(52)

где п — целые числа.

Первая тройка этих уравнений определяет отношения декартовых компонент Фурье-образа дипольного момента, а вторая тройка - разности фаз. Все шесть уравнений задают эллипс поляризации дипольного момента с точностью до масштабного множителя. Определить величину этого масштабного множителя в рамках данного подхода невозможно, так как исходное матричное уравнение (34) содержит только отношения декартовых компонент дипольного момента. Определить абсолютное значение дипольного момента или масштабный множитель можно, например, измеряя параметр Стокса «о-

В разделе 3.3 показано, что обратная задача может быть решена с использованием недиагональных элементов матрицы Д1т.

В ходе решения было получено выражение для скорости изменения амплитуды:

1 <Ц!и = 1 <1\Ни2\ 2 + ,? к\11и11 Лт ¿1/4,21 ,1т р{1+р2)' 1 ^

В ближней зоне, на расстояниях много меньше длины волны (г -С к~1, р 1) скорость спадания амплитуды поля с расстоянием пропорциональна — 2/г, а в дальней, волновой зоне относительная скорость спадания в 2 раза меньше. Формула (53) позволяет найти расстояние г - оно удовлетворяет кубическому уравнению.

Найдено уравнение для скорости изменения фазы уз' с расстоянием:

= = = ^

У кйг кЛг 1 + р2 >

Сравнивая выражения (53) и (54) видим, что на малых расстояниях (г < к_1) скорость изменения фазы значительно ниже скорости изменения амплитуды. На больших расстояниях скорость изменения фазы равна к и не зависит от г, что и следовало ожидать, поскольку в волновой зоне мы имеем сферическую волну излучения, фаза которой изменяется на 2тг на расстоянии длины волны.

Решение последнего уравнения относительно расстояния до источника имеет вид:

к V 1 - ¡р1'

(55)

При нахождении радиус-вектора следует учитывать, что уравнение (55) не применимо на больших расстояниях поскольку 1р' —» 1.

В резделе 3.4 полученное решение обратной задачи исследовано на единственность и устойчивость. Единственность следует непосредственно из используемых методов. А именно, все найденные решения вытекают из системы алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений.

Устойчивость полученных решений оценивается с помощью вычисления отклонения решения от «точного» при малых изменениях исходных данных. Выражение для относительной погрешности для р имеет вид:

+ Ж + (56)

и\

¿(Д|//„|) <5|Дх„| т

где ч является индексом наибольшего значения среди —тттт. и т-, ■ Таким образом,

Д|//9| |Д.тг|

относительная погрешность в р, заданным формулой (37) линейно зависит от относительной погрешности измерения магнитного поля в двух близких точках пространства, погрешности в измерении абсолютного значения магнитного поля, и погрешности в измерении расстояния между двумя близкими точками. В этом случае, говорят, что обратная задача является корректно поставленной задачей.

Проведем аналогичный анализ решения (39). Продифференцируем это уравнение с использованием выражений (34) и (38). В результате получим

Ьф+П

¿(Дуа)

Ду9

+

6(Ахд)

Ах.

(57)

где у является индексом наибольшего значения среди |Д</^/Д:с;|. Опять же, ошибка в реконструированных данных зависит линейно от ошибки в измерениях. Но на этот раз коэффициент пропорциональности 1 Л- ¡? растет с расстоянием г. Таким образом, на боль-

ших расстояниях г 3> А выражение (37) дает лучшие результаты, чем уравнения (38) или

(39). Такое же заключение применимо к паре решений (53) и (55).

В разделе 3.5 представлена проверка полученных формул на примере модельной задачи.

В разделе 3.6 представлены основные итоги третьей главы.

Заключение содержит основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Изучены свойства вектора Умова-Пойтинга для поля, созданного произвольно изменяющемся дипольным моментом. Показано, что в дальней (волновой) зоне поток энергии имеет радиальное направление от источника и является полем излучения. В ближней зоне вектор Умова-Пойтинга имеет не только радиальную составляющую, но и ортогональную. Это свойство имеет значение как с теоретической, так и с практической точки зрения, в частности, учитывается при решении обратной задачи для поля дипольного момента в данной диссертации. Построены и изучены картины силовых линий вектора Умова-Поинтинга для линейного и нрецессирую-щего дипольного момента.

2. Решена обратная задача для поля произвольно изменяющегося дипольного момента. Исходными данными при постановке задачи являются напряженности электрического и магнитного поля диполя. Определены выражения для нахождения величины и положения диполя в пространстве, рассмотрены ограничения на полученное решение. Для тех же условий задачи предложен альтернативный метод решения, не содержащий ограничений. Для проверки полученных формул решена модельная обратная задача.

3. Решена обратная задача для Фурье-компонент магнитного ноля диполя. По известным величинам Фурье-компонент магнитного поля определена линия, соединяющая дипольный момент с наблюдателем и проекция эллипса поляризации дипольного момента на плоскость, ортогональную этой линии. Оставшиеся величины найдены в предположении, что известны градиенты Фурье-компонент в окрестности некоторой точки. Это позволило найти величину амплитуды дипольного момента, его проекцию на линию, соединяющую дипольный момент с наблюдателем, знак направления на источник поля и расстояние до него. Показано, что решение может быть представлено в разных формах, но все они переходят друг в друга с учетом уравнений связи. В диссертации приведен один из альтернативных методов решения обратной задачи. Также проведена проверка основных результатов на устойчивость и единственность. Кроме того, в работе приведены примеры решения обратной задачи с использованием полученных формул. На модельных примерах продемонстрирована зависимость погрешности вычислений от погрешности измерений.

Цитированная литература

[1] Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин.

- изд. 2-е. - Москва: Наука,1979. - 284 с.

[2] Bagrov, V. G. Inversion of the theory for electromagnetic radiation from charged particles / V. G. Bagrov, M. M. Nikitin, V. F. Zalmezh, N. I. Fedisov, V. Ya. Epp // Nucl. Instrnm. Methods. - 1985. - A. 239. - P. 579.

[3] Bessonov, E.G. General and some particular solutions of the inverse problem of the particle radiation theory in external fields / E. G. Bessonov // Nucl. Instr. Meth. A.

- 1989. - V. 282. - P.405.

[4| Терлецкий, Я. П. Электродинамика / Я. П. Терлецкий. - Москва : Высшая школа 1990. - 129 с.

[5] Ландау, Л.Д. Теория ноля / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - Москва : Наука, 1988. -Т.2. - 378 с.

[6] Fursa, Т. V. The effect of the filler particle size on the efficiency of mechanoelectrical transformations in concretes / Т. V. Fursa, V. F. Gordeev // Technical Physics Letters. - 2000. - V. 26. - P. 105 - 106.

[7| Low-frequency magnetic field measurements near the epicentre of the ms 7.1 Loma Prieta earthquake / A. C. Fraser-Smith [and etc.] // Geophysical Research Letters. - 1990. - V. 17. - P. 1465 - 1472.

[8| Malyshkov, Yu.P. Periodicity of geophysical fields and seismicity: possible link with core motion / Yu. P. Malyshkov, S. Yu. Malyshkov // Russian Geology and Geophysics. -2009. - V.50. - P. 115 - 130.

Публикации по теме диссертации

Публикации в журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК при Ми-нобрнауки для опубликования основных научных результатов диссертаций, и в библиографическую базу Web of Since:

1. Epp V., Janz J. The inverse problem for the dipole field / V. Epp, J. Janz // Nucl. Instrum. Methods. B. - 2008. - V. 266. - P. 3700-3702. - 0.13 / 0.6 п.л.

2. Эпп В. Я. Восстановление динамики дииольного момента по его электромагнитному нолю / В. Я. Эпп, Ю. Г. Янц // Экологический вестник научных центров ЧЭС - 2010 -№3. - С. 49-52. - 0.19 / 0.09 п.л.

3. Epp V., Janz J. G. Spectral approach to the inverse problem for the field of arbitrary changing electric dipole. / V. Epp, J. G. Janz // Inverse Problems in Science and Engineering. - 2014 - V. 22. - P. 625-640. - 0.9 / 0.46 п.л.

Публикации в других научных изданиях:

4. Янц Ю.Г. Поле днполыюго момента в ближней зоне / Ю. Г. Янц // Наука и образование (15 - 19 мая 2006 г.): материалы X Всерос. конф. студ., асп. и молодых ученых. - Томск, 2006. - Т. 1. Ч. 2.: Естественные и точные науки. - С. 250-254. - 0.25 / 0.13 п.л.

5. Янц Ю. Г. Обратная задача для ноля диполыюго момента / Ю. Г. Янц // Наука и образование (21 - 25 апреля 2008 г.): материалы XII Всерос. конф. студ., асп. и молодых ученых. - Томск, 2009. - Т. 1. Ч. 1.: Естественные и точные науки. - С. 276-980 - 0 37 / 0.18 п.л.

6. Янц Ю. Г. Частный случай решения обратной задачи для диполыюго момента / Ю. Г. Янц // Наука и образование (20 - 24 апреля 2009 г.): материалы XIII Всерос. конф. студ., асп. и молодых ученых . - Томск, 2009. - Т. 1. Ч. 1.: Естественные и точные науки. - С 169-172. - 0.43 / 0.21 п.л.

7. Эпп В. Я., Янц Ю. Г. Восстановление динамики дипольного момента но его нолю // Международная научно-практическая конференция: Развитие научно-технического сотрудничества российских научных и научно-образовательных центров с учеными-соотечественниками, работающими за рубежом (2-4 апреля 2010 г.). - Томск, 2010. http//www.dialog.extecli.ru, дата обращения 11.04.2014. - 0.25 / 0.13 п.л.

8. Янц Ю. Г. Восстановление динамики дипольного излучателя по создаваемому им электромагнитному полю / Ю, Г. Янц // Наука и образование (19-23 апреля 2010 г.): материалы XIV Всерос. с междунар. участием конф. студентов, аспирантов и молодых

ученых . - Томск, 2010. - Т. 1. Ч. 1.: Естественные и точные науки. - С. 55-59. - 0.25 / 0.13 п.л.

9. Янц Ю. Г. Обратная задача для Фурье-компонент поля диполя / Ю. Г. Янц // Наука и образование: материалы XV Всерос. конференция студ., асн. и молодых ученых (19 - 23 апреля 2010 г.). - Томск, 2009. - Т. 1. Ч. 1: Естественные и точные науки. - С. 154-158. -0.25 / 0.13 п.л.

10. Мастерова М.А. Вектор Умова-Пойтинга дипольного электрического и дипольного магнитного моментов / М. А. Мастерова, Ю. Г. Янц // Вестник Адыгейского государственного университета. - 2011. - №4. - С. 33-42. - 0.56 / 0.28 п.л.

Подписано к печати 14.04.2014. Формат 60x84/16. Бумага «Снегурочка». Печать XEROX. Усл. печ. л. 1,16. Уч.-изд. л. 1,05.

_Заказ 296-14. Тираж 100 экз._

" \ Национальный исследовательский Томский политехнический университет f i V Система менеджмента качества

"''' ' Издательства Томского политехнического университета

сертифицирована в соответствии с требованиями ISO 9001:2008

ИЗДАТНЬСТВО^ТПУ. 634050, г.Томск, пр. Ленина,30 Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный педагогический университет»

На правах рукописи

04201460237

Янц Юлия Геннадьевна

Решение обратной задачи для электромагнитного поля, созданного электрическим или магнитным дипольным

моментом

01.04.02 Теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико -математических наук, профессор В.Я. Эпп

Томск - 2014

Оглавление

Введение 4

1 Поле произвольно изменяющегося дипольного момента 20

1.1 Свойства инвариантности поля диполя..................................21

1.2 Вектор Умова-Пойнтинга дипольного электрического и дипольного магнитного моментов......................................................25

1.3 Поле линейно изменяющегося дипольного момента....................30

1.4 Поле прецессирующего дипольного момента............................34

1.5 Выводы......................................................................41

2 Обратная задача для поля дипольного момента 42

2.1 Решение обратной задачи в общем виде..................................44

2.1.1 Пример. Численное моделирование решения обратной задачи ... 52

2.2 Альтернативный метод решения обратной задачи......................57

2.3 Решение в случае (яхя|=0..........................................62

2.3.1 Решение задачи при условии Н ^ 0, Н = 0..........................63

2.3.2 Решение задачи при условии, что векторы II и Н параллельны . . 68

2.4 Выводы......................................................................70

3 Спектральная формулировка обратной задачи 72

3.1 Обратная задача для Фурье-компонент магнитного поля..............73

3.2 Обратная задача для производных от Фурье-компонент магнитного поля..........................................................................76

3.3 Альтернативный метод решения..........................................81

3.4 Единственность и устойчивость решения................................84

3.5 Пример решения обратной задачи для Фурье-компонент магнитного поля..........................................................................87

З.б Выводы................................... 93

Заключение 95

Список литературы 96

Введение

Актуальность темы

Обратными задачами называют задачи математической физики, в которых значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных [1-5]. Интерес к подобного рода задачам стал проявляться относительно недавно. Первые публикации, посвященные обратным задачам, появились в первой половине XX века. Данные работы возникли в связи с исследованиями ученых в разных областях знания. Например, в области физики это задачи квантовой теории рассеяния, обратная задача электродинамики и акустики, в области геофизики - обратные задачи сейсмики, электроразведки, теории потенциала. Помимо этого, имеется большое число работ посвященное обратным задачам в астрономии [6], медицине [7], компьютерной томографии, а так же во многих других областях естествознания. В последнее время, с развитием компьютерных технологий область применения обратных задач затронула большинство научных дисциплин, пользующихся математическими методами.

В электродинамике под обратной задачей понимается задача определения координат зарядов и их динамики по известному полю, которое они создают. Обратные задачи электродинамики охватывают очень широкий круг явлений [8-12]. Наиболее известная и широко изученная обратная задача — это задача определения характеристик объекта по его электромагнитному излучению, так называемая пассивная локация. Не менее распространены задачи в которых требуется восстановить параметры объекта но отраженному излучению — задачи активной локации. Данный класс задач также представляет большой интерес и изучен довольно хорошо. В простейшем случае, под локацией понимают задачу нахождения расстояния до источника и направления от него до наблюдателя. В более сложном, задача локации состоит в определении формы источника и нахождении его электрофизических свойств.

Одними из первых с необходимостью решать обратные задачи столкнулись геофизики при разведке полезных ископаемых [13-16]. Оказалось, что метод акустической разведки полезных ископаемых намного экономичнее бурения пробных скважин и позволяет получать более полную картину состояния земных недр. Обратные задачи геоакустики довольно сложны, поскольку, из-за присутствия многих типов волн, приходится иметь дело со сложным строением рассеянного волнового поля. Тем не менее, проводя анализ статистических характеристик радиосигналов, отраженных от земной поверхности, геофизики могут определить местонахождение источников различных физических полей, получать более точную информацию о структуре подземных слоев и прогнозировать их дальнейшее развитие [17-19].

Обратные задачи имеют большое значение для астрофизики. Основная причина по которой астрофизикам приходится решать обратные задачи — невозможность работать с космическими объектами напрямую. Этому вопросу посвящено множество статей. Например, в работе [20] с помощью интегральных уравнений Фредгольма первого рода решена обратная задача для звезд тииа Вольфа-Райе в тесных двойных системах. В этой задаче по наблюдаемым данным изменения светимости звезды при затмении определенно распределение яркости по диску звезды. Здесь же исследован случай затмения звезды диском Луны. По наблюдаемым следствиям затмения можно судить о распределении яркости по диску звезды, а также появляется возможность узнать ее угловой диаметр. Интересна задача в которой по известному распределению поверхностной плотности звезд найдено их радиальное распределение плотности в шаровом скоплении [21]. Кроме этого, существует много других примеров решения обратных задач в астрофизике [22.23].

В 60-х годах прошлого века астрофизиками были предприняты попытки из результатов измерений свойств излучения от внеземных источников получить информацию о характеристиках и свойствах этих источников. Например, задача излучения релятивистского электрона, находящегося в магнитном поле

космического объекта. При условии, что мы имеем дело с однородным магнитным полем, заряженная частица является ультра релятивистской, и ряде других предположений, можно решить обратную задачу синхротронного излучения [24, 25]. По известным поляризационным свойствам синхротронного излучения можно судить о направлении магнитного поля в области излучения. При условии, что измерено зеемановское расщепление спектральных линий и известен угол между силовой линией магнитного поля и лучом зрения, можно найти так же величину этого поля. Решение задачи в совокупности позволяет найтн распределение магнитного поля в нашей Галактике [26].

Восстановить свойства объекта, генерирующего излучение, довольно сложно. Например, в результате прохождения через звездную плазму происходит изменение спектра и поляризации излучения, иногда нет возможности узнать распределение по энергиям излучающих частиц, а так же многое другое. Точность решения обратных задач во многом зависит от качества полученной в ходе эксперимента информации. В работе [27] показано, что точность решения таких задач достигает 80 процентов.

Особый интерес для физики атмосферы представляет обратная задача о квазистатических источниках электрического ноля, таких как, например, грозовые облака. По зарегистрированным параметрам сигналов, отраженных от молний, или непосредственно генерируемых молниями, ученые оценивают среднее время их существования, мощность разряда, зависимость тока разряда от времени, а так же другие характеристики [28]. Эти знания позволяют в дальнейшем воздействовать на электрическое состояние кучевых облаков с целью регулирования последующих грозовых стадий развития, используя, к примеру, лазеры [29-33]. Однако отметим, что все перечисленные рапсе классы обратных задач есть, в значительной степени, итог наблюдений и анализа полученных данных и носят эмпирический характер.

В теории распространения радиоволн приоритетной является обратная задача, в которой требуется восстановить диэлектрические свойства среды, с ко-

торой эти волны взаимодействуют. Например, в статье [34], рассмотрена задача отражения плоских гармонических радиоволн, падающих нормально относительно границы плоско-слоистой среды. Здесь в аналитическом виде решена одномерная задача отражения радиоволн от поглощающего слоя, лежащего на однородном полупространстве, при нормальном падении радиоволн.

Особую роль играют обратные задачи в навигации. К примеру, получить информацию о том или ином типе волнения на море можно с помощью анализа свойств доплеровского спектра радиолокационного СВЧ сигнала, отраженного от морской поверхности. Так же появляется возможность определить направление распространения волны, ее высоту и доминантную длину. Для ветрового волнения можно определить такие характеристики как скорость и направление ветра [35,36].

Частным случаем обратной задачи электродинамики в сформулированной выше форме является обратная задача излучения. Обратная задача излучения состоит в том, что по известному полю излучения определяется динамика распределения зарядов, создающих это излучение. В частности, если излучение генерируется отдельным зарядом, то требуется определить закон движения заряда. Задачи такого тина решались в работах [37-44]. В работах [37,38,45] дано общее теоретическое решение обратной задачи в случае излучения одной частицы. В этих статьях показано, что при условии известного излучения движущегося заряда, можно восстановить закон движения этого заряда. Решение задачи найдено с точностью до произвольной скалярной функции. Если скорость заряда есть постоянная величина, то обратная задача излучения имеет однозначное решение. Произвол в решении можно исключить если поле излучения задать в двух различных направлениях [43].

Поля, созданные электрическими дииольными моментами и представляющие интерес с точки зрения обратной задачи, возникают при образовании трещин в кристаллах. В работах [46-48] исследованы электромагнитные явления, сопровождающие процесс образования трещин в твердых телах. Предложены

методы регистрации возникающего электромагнитного поля и использования результатов измерения для локализации трещин в исследуемом образце. В качестве основного механизма генерации электромагнитного поля рассматривается образование зарядов противоположного знака при образовании трещин. В середине 70-х годов прошлого века физики заинтересовались другим аспектом обратной задачи излучения — возможностью создать источник излучения, генерирующий излучение с наперед заданными спектральными и поляризационными свойствами. Например, при исследовании ондуляторного излучения и конструировании ондуляторов и лазеров на свободных электронах возник вопрос о создании приборов, генерирующих излучение с заданными свойствами. В работах [45,49,50] было предложено несколько способов формирования параметров излучения в системах типа ондулятора. В статьях [51,52] для системы типа «короткого» магнита фактически решена задача о создании излучения с наперед заданной формой спектра для ограниченного интервала частот путем подбора эффективного поля на траектории заряда.

В работе [53] представлено решение обратной задачи, в которой найдено такое движение заряда, при котором электрический вектор поля излучения в точке наблюдения является наперед заданной функцией времени. Решения, полученные в этих работах, позволяют вычислить траекторию точечного заряда, если известно поле его излучения в волновой зоне.

Большой интерес представляет собой механизм генерации изгибного излучения. По-другому, такой вид излучения называется магнитодрейфовым (англ. curvature radiation). Данный вид излучения возникает вследствие движения заряженной частицы по спирали с осью, направленной почти вдоль искривленных силовых линий магнитного поля. При этом у частицы кроме скорости направленной вдоль магнитного поля обнаруживается дрейфовый компонент, который перпендикулярен этому полю. Этот компонент скорости и обеспечивает появление силы Лоренца, искривляющей траекторию частицы в соответствии с формой силовой линии [24.54]. Чем больше напряженность магнитного поля и чем

меньше энергия частицы, тем точнее траектория частицы совпадает с формой силовой линии. Возникающее при этом изгибное излучение обладает, в основном, теми же характерными особенностями, что и сиихротронное излучение, но роль радиуса ларморовской окружности играет радиус кривизны силовой линии магнитного поля [55-57].

Методы решения обратной задачи для изгибного излучения практически совпадают с методами, применяемыми для обратных задач синхротронного излучения.

Большой интерес представляет решение обратной задачи для электромагнитного поля, созданного точечным зарядом. Такая задача рассматривалась в работах [58-62]. В этих статьях по известным выражениям для полей найдено решение обратной задачи для поля точечного заряда, а также для дипольного электрического и магнитного моментов.

Не менее интересно решение обратной задачи но известным компонентам тензора энергии-импульса. В рамках работ [63-65] получено решение обратной задачи с использованием заданных компонент тензора энергии-импульса взаимодействующих частиц и тензора энергии-импульса электромагнитного поля без зарядов и токов. Также в этой статье показано, что решение обратной задачи для тензора энергии-импульса электромагнитного поля не однозначно, оно может быть представлено только с точностью до дуальных поворотов векторов нанряженностей электрического и магнитного полей.

Решение обратной задачи для поля дипольного момента уже рассматривалось ранее [66,67], но только для случая статического электромагнитного поля. Однако, в последнее время возникают задачи, в которых требуется найти источник электромагнитного поля, создаваемого изменяющимся со временем дипольным моментом, если само поле известно. Плотность потока энергии поля произвольно изменяющегося диполя была подробно изучена в работе [68], а. обратная задача для диполя была решена в статье [69]. Это решение обладает некоторыми ограничениями, поэтому в работе [70] получено альтернативное

решение, не обладающее такими особенностями.

В статьях [69] и [70] в качестве известных величин берутся напряженности электрического и магнитного поля диполя как функций времени в некоторой точке пространства. Неизвестными величинами являются координаты диполя и его динамика. Но с практической точки зрения удобнее измерить амплитуду и фазы колебаний электромагнитного поля на некоторой частоте. В таком случае в качестве исходных данных используют Фурье-составляющую магнитного поля и ее фазу в некоторой точке пространства или производные этих величин по координатам. Решение обратной задачи при такой постановке описано в работе [71].

Степень разработанности темы

Поле произвольного, в целом нейтрального, распределения заряда можно в первом приближении мультипольного разложения представить как поле диполя. Такое представление является хорошим приближением, если размеры области, в которой распределен заряд, много меньше расстояния между наблюдателем и данной областью. Поэтому решение обратной задачи для поля точечного диполя применимо к довольно широкому кругу явлений.

В работе решена обратная задача для поля электрического диполя. В силу дуальной симметрии уравнений Максвелла полученные решения справедливы и для поля магнитного диполя если сделать замену р —> га, Е Н, Н —» —Е, где р.т - векторы дипольного электрического и дипольного магнитного моментов соответственно, Е и Н - напряженности электрического и магнитного полей.

В диссертационной работе исследовано поле диполя в ближней и дальней зонах. Получены формулы для плотности потока энергии поля, создаваемого произвольно изменяющимся дипольным моментом. Построены и проанализированы картины силовых линий вектора Умова-Пойнтинга для поля линейно изменяющегося дипольного момента. Изучено поле создаваемое прецесспрую-

щим дипольиым моментом.

Решена обратная задача для поля дипольного момента, т.е. найдены уравнения определяющие величину дипольного момента и его положение относительно наблюдателя. Исследованы частные случаи решения, и проведена проверка полученных формул на примере конкретной задачи. Найдено альтернативное решение обратной задачи. Кроме того, проведена проверка полученных уравнений на устойчивость и единственность.

Развит спектральный подход к решению обратной задачи для поля диполя. Найдены выражения, определяющие координаты и величину амплитуды Фурье-компоненты дипольного момента. Предложен альтернативный метод решения задачи и исследованы единственность и устойчивость найденного решения. Полученные формулы апробированы на примере решения частной �