Обратные задачи электродинамики заряженных частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Митрофанова Татьяна Геннадьевна

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

01.04.02 Теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2004

Работа выполнена в Томском государственном педагогическом университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Эпп Владимир Яковлевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Федосов Николай Иосифович;

кандидат физико-математических наук, доцент Царегородцев Леонид Иллирикович

Ведущая организация:

Кубанский государственный университет

Защита состоится ^ ^""февраля 2004 года в 14.00 часов на заседании диссертационного совета К 212.266.01 при Томском государственном педагогическом университете по адресу: 634041, г. Томск, пр. Комсомольский, 75.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан

января 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Румбешта Е. А.

2004-4

24985 Актуальность исследования. Классическая электродинамика является детально разработанной теорией. Почти все практически важные задачи решены. Тем не менее и здесь возникают время от времени актуальные проблемы. Такими проблемами в свое время стали, например, теория излучения равномерно ускоренного заряда, динамика и излучение точечной частицы, обладающей магнитным моментом и ряд других. В настоящее время одной из таких задач является обратная задача электромагнитного поля, созданного точечным зарядом. Решение прямой задачи хорошо известно и дается потенциалами Лиенара-Вихерта, которые определяют поле, создаваемое произвольно движущимся зарядом, если известны его скорость и ускорение. Обратная задача - задача определения координат заряда и его динамики по известному полю, которое он создает, не была решена до появления серии наших работ [1] - [3].

Большой интерес в последнее время вызывает также обратная задача излучения. Наиболее актуальными сейчас являются два аспекта этой задачи: а) определение характера движения частицы по известным (наблюдаемым) параметрам излучения; б) создание источников излучения с заранее заданными спектральными и поляризационными свойствами.

Не меньший интерес представляет и решение обратной задачи по известным компонентам тензора энергии-импульса. Кроме естественного академического интереса эта задача имеет прикладное значение в теории гравитации. При разработке новых методов аналитического интегрирования полевых уравнений существенное значение имеет вид тензора энергии-импульса. При этом возникает вопрос — соответствует ли данный тензор энергии-импульса какой-либо физической системе, и если да, то какой именно.

Цель работы. Решение обратной задачи для электромагнитного поля, созданного точечными зарядами. Определение координат зарядов или их плотности и скорости движения по электромагнитному полю, или создаваемому электрическим и магнитным дипольными моментами, произвольно движущимся зарядом или по заданным компонентам тензора энергии-импульса.

Научная новизна и практическая ценность работы.

1. С помощью известных выражений для полей в дипольном приближении решена обратная задача для поля точечного заряда, дипольного электрического и магнитного моментов. Полученный результат может быть использован для восстановления макроскопического распределе-

ния электрических зарядов по полю, создаваемому этими зарядами на значительных расстояниях, когда применимо мультиполыюе разложение.

2. Впервые решена обратная задача для произвольно движущейся точечной заряженной частицы с помощью потенциалов Лиенара-Вихерта. Показано, что одно и тоже поле может быть создано разными по знаку зарядами, движущимися по различным траекториям.

3. Получены формулы для нахождения параметров траектории частицы по ее синхротронному излучению, которые могут быть использованы, например, в астрофизике для определения величины и направления магнитного поля в источниках нетеплового электромагнитного излучения.

4. Решена обратная задача для тензора энергии-импульса невзаимодействующих частиц без зарядов, для тензора энергии-импульса электромагнитного поля без зарядов и токов. Установлено, что обратная задача для тензора энергии-импульса электромагнитного поля не имеет однозначного решения. Показано, что обратная задача может быть решена с точностью до дуальных поворотов.

5. Впервые исследовано спектрально-угловое распределение излучения частицы, движущейся в квазиоднородном магнитном поле для случая, когда питч-угол меньше обратного релятивистского фактора, когда существенную роль играет как ондуляторный механизм излучения, так и излучение кривизны. Получены формулы для усредненного по времени углового распределения, которые в предельных случаях онду-ляторного излучения и излучения кривизны, совпадают с известными формулами. Полученные формулы использованы для решения обратной задачи восстановления траектории частицы при движении в квазиоднородном магнитном поле.

Апробация работы. Результаты, положенные в основу диссертации, докладывались на следующих конференциях: II международная конференция " Квантовая теория поля и гравитация QFTG - 97", 28 июля - 2 августа, 1997. - Томск; Third International Symposium "Radiation of Relativistic Electrons in Periodical Structures" (RREPS - 97), September 8-12, 1997. - Nuclear Physics Institute Tomsk Politechnic University, Tomsk; The Inter. Conf. of Math. Methods in Electromagnetic Theory "MMET -98", June 2-5, 1998. - Kharkov, Ukraine; The Ninth Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics, September 20-26, 1999. - Moskw; III сибирская школа молодого ученого, 2001. - ТГПУ, Томск; V общероссийская межвузовская конференция студентов, аспирантов и молодых

ученых "Наука и образование", 23-26 апреля, 2001. - Томск; Всероссийская астрономическая конференция, 6-12 августа, 2001. - СПбГУ, С.-Петербург; The Intern. Conf. "Theoretical and Experimental Problems of General Relativity and Gravitation", July 1-7, 2002. - Tomsk.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных изданиях, указанных в списке публикаций.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и списка литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации составляет 98 страниц.

Основное содержание работы.

Во введении представлен обзор литературы по теме диссертации, обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, приведены полученные в диссертации новые результаты, указана их практическая ценность, а также перечислены положения, выносимые на защиту и дано описание структуры диссертации.

Первая глава диссертации посвящена исследованию различных ас -пектов обратной задачи для поля точечной заряженной частицы, точечного дипольного электрического и дипольного магнитного моментов, а также решена обратная задача синхротронного излучения. Глава состоит из трех разделов.

В разделе 1.1 рассмотрено решение обратной задачи для электростатической системы зарядов и токов, находящейся в некоторой области однородного пространства, достаточно удаленной от наблюдателя, который фиксирует поля, созданные этой системой. Задача решена с использованием известных выражений для полей в дипольном приближении

(1)

(2)

где д - заряд системы, й - ее электрический, am- магнитный моменты. Начало координат совпадает с положением наблюдателя; г -радиус-вектор удаленной системы. Производные от выражений (1)-(2)

по координате х^ имеют вид

Предполагаются известными напряженности стационарных электрического Е и магнитного Н полей в некоторой точке вдали от зарядов и токов, а также первые производные от этих векторов по координатам: Яу = дЕ^дх} и Нц = ОЩ/дХу

В итоге получено два решения для величины заряда, дипольного момента и положения источника электрического поля

/Гз ± М^У |,

X =

3 Е

1 Щ:

3 Е

2 Е12 ± ■

2^12 —

= тЕ10(Е12(Е12 + (~Е12 ± Я)2) Т

_27*?_

Х (5)4(^2 + (-£12±5)2)5/2'

= ± 81Е^Е33

где введены следующие обозначения:

= Е22 — Езз, ^2 = £?зз —Я = Егг - Ег2,

Б = ^JË^+F\F2.

Физически это означает, что одно и тоже поле с его производными в данной точке может быть создано двумя разными источниками, находящимися в разных точках пространства относительно наблюдателя.

Система уравнений для магнитного поля (2), (4) оказывается переопределенной, поскольку из числа неизвестных выпадает заряд системы. Это означает, что задача может быть решена, если известны не все компоненты #¿ и Нц. Если же заданы все вели 1ны>г о они не являются независимыми. Получено уравнение связи между компонентами вектора Н и тензора которое можно рассматривать как условие того, что поле создается точечным магнитным моментом:

Координаты и компоненты дипольного магнитного момента выражаются однозначно:

ЗЯ(ЗЯ33 + Яп) ЗЯЯ12(ЗЯ33 + Нц)

Раздел 1.2 посвящен» исследованию полЯ^Вйжущеис3Я »заряженной частицы. Обратная задача ставится следующим образом: восстановить закон движения заряженной частицы по ее/ЭШктррмагнитЙому полю, т.е. наити/радиус-ректорзточечнои /Наряженной чдст1шы/как »функцию времени, если известш>1 напряженности электрического и^агнитного полей Е[г) и #(*) ърЬкШрт д» |

" \ 9 *»«» У ч -4» К //„о \ А/о»» /

_ е(п — /3)(1 —/З2) в [п[(п — /3)а]] Я2(1-0п)3 Яс2 (1 — /Зп)3 '

я(«) = [«ад

где - вектор скорости заряда, е - величина заряда,

а- ускореннее частицы.

Поскольку напряженности полей Е{Ь) и Н(4) выражаются через радиус-вектор Я0) и его производные Д(4) и данная задача сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений второго порядка. Задача усложняется тем, что уравнения нелинейны и, кроме того, левая и правая части уравнений зависят от разных переменных: времени на траектории / и запаздывающего времени £'„ которое связано со временем t известным соотношением I' = £—|Я(4)|/с, которое, в свою очередь, содержит неизвестную функцию Я0).

С другой стороны, в данной постановке обратной задачи:требуется найти одну векторную функцию Я0) по двум известным: Щ) и Н^). Таким образом, система уравнений переопределена. Это позволяет решить задачу чисто алгебраическим методом, не прибегая к интегрированию дифференциальных уравнений. Исключение составляет случай, когда Н0) = 0. Тогда решение обратной задачи сводится к интегрированию уравнения Риккати.

В первой части раздела решается обратная задача поля произвольно движущегося заряда в общем виде. Радиус-вектор частицы выражен через известные напряженности электрического и магнитного полей, создаваемых этой частицей. Для решения обратной задачи использована формула, полученная Фейнманом:

E{t) = е

[JL + M fiUi-^1

R2 с dt \R?) с2 dt2 J

Показано, что радиус-вектор частицы выражается через известные напряженности электрического и магнитного полей следующим образом:

где

Е[ЕН] + ^Еу/Ё^ПР ec(H[nñ})

Е3 с*Н2 - е(Я[пп])'

[EH] ± Еу/Е2 - Н2 П = "-&-'

(5)

а величина е/Je] есть знак заряда, создающего поле. Это уравнение дает решение поставленной задачи в случае H(t) ф 0. Случай для заряженной частицы, создающей только электрическом поле (H(t) = 0) рассмотрен отдельно. Выражение для радиус-вектора точки R(t) в этом случае принимает вид:

R =

е ch2 Е

|е| (An) Е-

Как видно из полученных решений, они неоднозначны. Одно и тоже поле может быть создано как положительным, так и отрицательным зарядами. При этом траектория положительного заряда отличается от траектории отрицательного.

Во второй части раздела рассмотрен пример заряженной частицы, движущейся равномерно и прямолинейно с постоянной скоростю V. Зависимость от знака заряда в формуле (5) дает не только траекторию исходной точки, которая движется равномерно и прямолинейно, но и траекторию другой точки, движущейся по криволинейной траектории, но создающей такое же электромагнитное поле.

В третьей части раздела 1.2 показано решение относительно простой задачи — нахождение положения и скорости равномерно движущегося точечного заряда в некоторый момент времени, если известны поля E(t) и H(t) в тот же момент времени. В этом случае обратная задача существенно упрощается тем, что время запаздывания не входит в формулы

для напряженностей полей:

еД (1-02) 1

В? (1-^28Щ2^)3/2' с

£7 =

Н = Чуя],

где 0- угол между векторами V и Е. В итоге имеем Я = ±2Е{дЕ/дК)~\

0

а 2 \з/2

Как видно из последних формул это решение неоднозначно и зависит от выбора знака перед квадратным корнем.

И, наконец, в разделе 1.3 первой главы решается обратная задача синхротронного излучения с использованием его поляризационных свойств.

Как известно, синхротронное излучение генерируется заряженными частицами, движущимися в магнитном поле. Если радиус кривизны силовой линии этого поля много больше размеров области, из которой наблюдается излучение, магнитное поле можно считать однородным. Известно, что в таком поле частица движется по спирали. Параметрами траектории являются: радиус спирали а, продольная /Зц и поперечная относительно оси спирали состовляющие скорости частицы, а также ориентация оси спирали в пространстве, которую можно задать двумя углами: углом между проекцией оси спирали на плоскость, перпендикулярную лучу зрения, и некоторой осью в этой плоскости и углом между осью спирали и лучом зрения. Таким образом, для восстановления закона движения частицы необходимо вычислить пять параметров.

В качестве заданных величин берутся а- и 7Г- компоненты поляризации спектральной плотности и з л у ч а также спектральные индексы этих компонент:

Формулы для спектральной плотности излучения комопнент поляризации имеют вид:

(6)

где q - заряд частицы, и - частота излучения, с - скорость света, а - радиус орбиты движения частицы, в - угол между направлением на наблюдателя и образующей конуса, который описывает вектор скорости частицы, 7 = у/1 — р2 - релятивистский фактор, К,,(т)) - функции Бесселя. Величины 07 и t) даются следующими соотношениями:

Используя формулу (б) и рекуррентные соотношения для функции Бесселя, удается выразить ф = ву п г] через известные величины:

Другие параметры траектории выражаются через известные величины следующим образом:

Полученное решение не позволяет найти отдельно поперечную Р±_ и продольную /Зц составляющие скорости частицы, потому что они не входят в исходные формулы для излучения (7). Можно определить, зная 72, лишь величину скорости: /З2 = 1 — 7-2. Это объясняется тем, что формулы (7) описывают излучение ультрарелятивистских частиц, которое определяется только радиусом траектории в точке, в окрестности которой происходит излучение. Результаты раздела 1.3 использованы в третьей главе для решения обратной задачи для поля излучения частицы, движущейся в квазиоднородном магнитном поле. Результаты первой главы диссертации вошли в работы [1] - [3].

При решении обратных задач электродинамики, рассмотренных в первой главе, заданными считаются либо квадраты напряженностей электрического и магнитного полей (как, например, в обратной задаче

излучения), либо сами напряженности (в обратных задачах электростатики). В том случае, если в пространстве присутствует и статическое поле и поле излучения, возникает нетривиальная задача восстановления напряженностей электрического и магнитного полей по их квадратичным комбинациям.

Исследованию этого вопроса посвящена вторая глава диссертационной работы. В качестве "квадратичной комбинации" напряженностей электрического и магнитного полей берется тензор энергии-импульса. Задача формулируется следующим образом: в некоторой области пространства известен тензор энергии-импульса, для некоторой системы, состоящей из заряженных частиц и электромагнитного поля. Требуется восстановить нарпяженности электрического и магнитного полей и плотность распределения зарядов как функции координат и времени.

В связи с тем, что тензор взаимодействующих зарядов и полей можно представить в виде суммы тензоров энергии-импульса полей и частиц, причем частицы считаются невзаимодействующими, обратная задача разбивается на две: а) в рассматриваемой области есть только невзаимодействующие частицы, тензор энергии-импульса которых известен и надо найти плотность их распределения и скорости; б) в данной области имеется только электромагнитное поле с известным тензором энергии-импульса и нужно найти напряженности полей. В соответствии с такой постановкой задачи, глава содержит три раздела.

В разделе 2.1 решается обратная задача для тензора энергии-импульса частиц в области, где отсутствует электромагнитное поле и заряды, плотность энергии и импульса определяются только массами движущихся частиц. Тензор энергии-импульса такой системы по определению есть

где - плотность масс, - безразмерные четырехскорости части-

цы.

После несложных математических действий получим

Таким образом, все неизвестные величины найдены, и тем самым решена поставленная обратная задача.

В разделе 2.2 восстановлено электромагнитное поле по известному тензору энергии-импульса этого поля. Задача решена применительно к электромагнитному полю в отсутствие зарядов и токов. Тензор энергии-

Г"" = и^и" у/1-02,

/у^ГОО гох

-, V, = С.-—ГТ

Ьу = с

и

импульса симметричен и его вид определяется известной формулой

Г" = +

4тг

где Р1" - тензор электромагнитного поля, а д^" — —1,1,1,1}- -метрический тензор. Вследствии того, что уравнения Максвелла без зарядов и токов инвариантны относительно дуальных преобразований, тензор энергии-импульса также не изменяется при дуальных поворотах. Следовательно, обратная задача не имеет однозначного решения -оно может быть найдено, по крайней мере, с точностью до дуального преобразования вида

Определение тензора энергии-импульса (8) представляет собой систему десяти квадратных уравнении на компоненты Ег и Н,. Ее удалось свести к линейной по Б и Н с помощью соотношений, которые следуют из определения тензора энергии-импульса (8).

Матрица полученной системы десяти линейных уравнений имеет ранг равный 4, поэтому для решения задачи выбраны четыре уравнения. Как известно, число линейно-независимых решений системы уравнений есть разность между количеством неизвестных переменных и рангом матрицы системы. Следовательно, имеется два линейно-независимых решения. Их линейная комбинация дает общее решение. Как и следовало ожидать, общее решение обратной задачи имеет вид:

где 9 - произвольная постоянная угла, имеющая смысл дуального поворота, Р*" - дуальный тензор, а можно записать в одной из следующих форм

р^ =Ff^^, &тв + Р^ сазв,

рг

V?(0,-с2юз,сГ02,Л1,-Т12,-Г13), V

(сТ°3,0, -сТ01, —Т12, Л2, -Г23) , ^ (-¿Г02, ¿г°\о, -Т13, -Т23, Лз) ,

(10)

(9)

(И)

где А{ = Т00 - Т".

В частных случаях одно из А, может быть равно нулю, тогда соответствующее решение /¡Г имеет особенность. Но все не могут одновременно принимать нулевые значения, поскольку Л,- = Е? + Щ и тогда это означало бы, что Е = Я = 0, откуда У" = 0. Таким образом, из набора эквивалентных решений (9-11) всегда найдется одно без особенностей.

В качестве проверки рассмотрено несколько частных случаев, в которых решения обратной задачи легко находятся непосредственно из определения тензора энергии-имлульса.

В процессе решения задачи получен ряд полезных соотношений на компоненты тензора энергии-импульса, которые использовались в разделе 2.3 этой главы, где рассматривается обратная задача для тензора энергии-импульса в пространстве, содержащем и частицы и электромагнитное поле. В этом случае имеется десять неизвестных: компоненты векторов напряженностей Е и Н, компоненты вектора скорости частиц /3 и плотность масс Ц.

Решена обратная задача для случая диагонального тензора энергии-импульса; для случая, когда вектора напряженностей Е и Н лежат в одной плоскости; рассмотрены также случаи для параллельных электрического и магнитного полей и взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей. В процессе решения для каждого частного случая выведены свои соотношения связи между компонентами тензора энергии-импульса. Эти соотношения показывают, что не всякий тензор энергии-импульса может описывать заданную систему полей и частиц. Материалы этой части были изложены в публикациях [4] - [7].

В главе 3 рассмотрено движение и излучение заряженной частицы в квазиоднородном магнитном поле, а именно, исследовано излучение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле в условиях, когда траектория движения представляет собой искривленную спираль. Рассмотрен случай, когда питч-угол порядка или меньше обратной величины релятивистского фактора. Показано, что спектрально-угловое распределение излучения состоит из двух частей, существенно разнесенных по частоте. Одна из составляющих представляет собой излучение кривизны, поляризованное преимущественно линейно, а вторая обладает типичными свойствами ондуляторного излучения с высокой степенью круговой поляризации. Раздел 3.1 можно назвать вводным. Здесь приведено классическое решение уравнений движения для частицы, движущейся в магнитном поле, созданном линейным током хорошо аппроксимирующем квазиоднородное магнитное поле. Эта задача решается с помощью уравнепий Лагранжа. Считается, что разме-

ры участка траектории, с которого частица излучает в заданном направлении, много меньше локального радиуса кривизны силовой линии магнитного поля, а изменением радиуса кривизны в пределах траектории частицы можно принебречь. Тогда в рассматриваемой области пространства силовую линию можно заменить дугой окружности. Решение уравнений движения находится в квадратурах:

где ц = т/л/Т—~(Р, е = el/zxc2, Е - полная энергия частицы, U -эфективная потенциальная энергия частицы, Р^п Pz - обобщенные импульсы, величины постоянные.

Полученные интегралы не выражаются через элементарные или известные специальные функции. Наибольший интерес в рассматриваемой задаче представляет движение заряженной частицы в малой (относительно радиуса кривизны силовой линии) области пространства. Исследованию такого движения посвящен раздел 3.2 диссертационной работы.

Для решения уравниний движения можно использовать приближение малых колебаний. Если частица имеет энергию, равную минимальной эфективной потенциальной энергии, то точное решение уравнений движения примет вид:

где П - угловая скорость, V - скорость частицы, arm - положение равновесия. Если же частица обладает большей, чем минимум потенциальной энергии, то она будет совершать колебания около положения равновесия по гармоническому закону: где о - амплитуда

колебаний, Шо - частота, ф - начальная фаза. Условие применимости приближения малых колебаний заключается в том, что амплитуда колебаний частицы около положения равновесия должна быть много меньше значения

Если данное условие выполняется, то решением уравнений движения частицы в поле линейного тока в приближении малых колебаний этой частицы в окрестности положения равновесия являются следую -щие функции:

х = (rm + a sin(u0t — ф)) cos Ш,

У — (Тт + а,5т(и01 - ф)) &шШ, (12)

г = Уг* — осо8(и>о* - ф).

Таким образом, в магнитном поле Н ~ 1/г в приближении малых колебаний частица движется в плоскости, проходящей через ось г по окружности радиуса а с угловой скоростью и>о, медленно дрейфуя вдоль оси г со скоростью Уг. Сама плоскость равномерно поворачивается вокруг оси г с угловой скоростью П. В результате траектория частицы представляет собой спираль радиуса о. Ось этой спирали сама является спиралью гораздо большего радиуса гт, навитую на ось г.

Вопрос об излучении частицы в таком поле рассматривается в разделе 3.3. Причем акцент сделан на случай, когда угол а между направлением вектора скорости частиц и касательной к силовой линии (питч-угол) порядка или меньше обратного релятивистского фактора В этом случае генерируется излучение, обладающее свойствами излучения кривизны, поляризованного в основном линейно,и ондуля-торного излучения с высокой степенью круговой поляризации. Анализ спектрального распределения показывает, что излучение ондуляторно-го типа генерируется на частотах, значительно больших, чем излучение кривизны. Этот факт может объяснить свойство излучения пульсаров: с ростом частоты степень линейной поляризации в импульсах многих пульсаров уменьшается, а степень круговой поляризации увеличивается.

Получены следующие формулы для спектрально-углового распределения энергии С], излученной частицей:

^гГ2/3 [4Х2^2(0 + Аг*({-)(™х2 - кг1)2 -4ХА1(0А1(^)(™Х2 ~ кГ1)«аф] , (13)

где ¿0 - элемент телесного угла, х - малый угол между направлением на наблюдателя и касательной к силовой линии, А{(£) А1(£-) - функции Эйри, т, = = оыь/с.С = гГ1/3^(1+^2). = 1Г1/3(#(1+

ф2)-ш0).

Первое слагаемое в формулах (13) совпадает с выражениями для синхротронного излучения частицы, движущейся по окружности ради-

+

уса гт, и описывает излучение кривизны. Слагаемое, содержащее функцию Ai2(f_), пропорционально квадрату радиуса спирали и, следовательно, представляет излучение ондуляторного типа. Член, пропорциональный sin^, описывает, в некотором смысле, "интерференцию" полей синхротронного и ондуляторного типов и существенно зависит от начальной фазы движения. В реальных условиях приходится иметь дело с ансамблем частиц и усреднять свойства излучения по начальным параметрам. В результате такого усреднения третий член в формулах (13) исчезает.

Влияние питч-угла а на форму спектра очевидно из формул (13): с уменьшением а уменьшается ондуляторный параметр k и, следовательно, уменьшается вклад ондуляторного излучения.

Получены также формулы для спектрально-углового распределения энергии компонент круговой поляризации:

^V2/3 [(хМО - п„-1/3МО)2 + (%х2)2А?($-) -(xAiiO-nr^AÜitj) ^х2М£-)5тф\ ,

^V2'3 {(»НЮ + шг1/3МО)2 + (^x2 - kr1)' x

Ai2(S-) ~ 2(XAi(0 + ПтГ^-'Ш^Х2 - sin,*}

В разделе 3.4 рассчитано усредненное по времени угловое распределение излучения заряженной частицы, движущейся по закону (12).'

Интенсивность излучения в единицу телесного угла dQ определяется известной формулой. Чтобы определить угловое распределение полного излучения усредненное за время одного периода движения с частотой

необходимо проинтегрировать интенсивность излучения по времени. При этом учтено, что интегрируемое выражение является функцией запаздывающего времени а интегрирование производится по Поставленная задача решается для ультрарелятивистской

частицы.

После интегрирования по времени получено искомое угловое распределение излучения заряженной частицы, движущейся в квазиоднородном магнитном поле:

Л -ePftufr?-Л + _L_ (i___V (14)

2(Ф2 + Ф2) \ .

(1 + ^ +

d£+ dQdui

d£_ dQduj

где

Из формулы (14) следует, что максимум излучения приходится на направление ф = 0, ф = 0, т.е. на направление касательной к силовой линии магнитного поля. Основная часть энергии излучения приходится на углы порядка что и следовало ожидать, исходя из

общих свойств излучения релятивистских частиц.

Предельные выражения формулы (14) для случая прямой спирали и излучения кривизны согласуются с известными формулами.

Например, чтобы перейти к случаю прямой спирали, надо устремить радиус кривизны силовой линии к бесконечности, или П 0. При этом N1: -> оо и формула (14) принимает вид

что совпадает с известной формулой для углового распределения излучения частицы, движущейся по прямой спирали.

Излучение кривизны представляет собой предельный случай, когда радиус спирали стремится к нулю и частица движется вдоль искривленной силовой линии. Устремляя в (14) (3± —> 0, получим известное распределение излучения кривизны

Таким образом, формула (14) обобщает рассмотренные частные случаи и описыает угловое распределение излучения в переходной области значений питч-угла

И, наконец, в разделе 3.5 решена обратная задача восстановления параметров движения заряженной частицы в квазиоднородном магнитном поле по известному спектрально-угловому распределению (13).

Как уже отмечалось, исследуемое движение заряженной частицы -это суперпозиция трех движений. Следовательно, чтобы задать такое движение надо знать радиус спирали частоты вращения угол

Xи энергетическую характеристику 7. Тот факт, что синхротронное и ондуляторное излучения далеко разнесены по частоте и не оказывают влияния друг на друга, позволяет решить обратную задачу раздельно: сначала для синхротронного излучения (аналогично задаче в разделе 1.4), а затем для ондуляторного излучения с использованием уже найденных в первой части величин:

(15)

(II _ е%П2-у2 ¿9 аг{1 + ф2 + ф2)3

Я =

4е3и,

рЗсЗ/2

ev/cAt'CS-

где о»,, wu - фиксированные част ыД - поляризационные компоненты спектрально-углового распределения синхротронного излучения, Q2, - соответствующие компоненты ондуляторного излучения;

- известные спектральные индексы синхротронного излучения. Приведенные формулы являются решением поставленной задачи. Результаты третьей главы вошли в работы [8] — [10].

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Решение обратной задачи для поля точечного заряда, дипольного электрического и магнитного моментов удаленной системы.

2. Решение обратной задачи для произвольно движущегося заряда. Решение неоднозначно - одно и то же поле может быть создано разными по знаку зарядами, движущимися по различным траекториям.

3. Исследование спектрально-углового и углового распределения компонент поляризации излучения заряженной частицы в квазиоднородном магнитном поле.

4. Решение задачи восстановления параметров траектории частицы, движущейся в квазиоднородном магнитном поле.

5. Решение обратной задачи - восстановления напряженностей электрического и магнитного полей, распределения масс и скоростей системы невзаимодействующих частиц по известным компонентам тензора энергии-импульса.

Список публикаций.

[1] Т.Г. Митрофанова, В.Я. Эпп - К обратной задаче электростатики дипольного момента // Труды второй международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация QFTG - 97", Томск. - Изд-во ТГПУ, с. 286-290,1997

[2] V.Ya. Epp and T.G. Mitrofanova - Solution of inverse problem for a charge combined with a point-lake dipole // Proceedings of Inter. Conf. of Math. Methods in Electromagnetic Theory "MMET - 98" Kharkov, Ukraine, p. 167-168, 1998

[3] Т. Г. Митрофанова, В.Я. Эпп - Обратная задача для поля заряда и точечного дипольного момента. Известия вузов, Физика, 7, 1999

[4] Т.Г. Митрофанова - Нахождение электромагнитного поля по известному тензору энергии-импульса // Труды конференции "Третья сибирская школа молодого ученого" - ТГПУ, Томск, 2001

[5] Т. Г. Митрофанова, В.Я. Эпп - Нахождение электромагнитного поля по тензору энергии-импульса. Известия вузов, Физика, 1, 2002

[6] T.G. Mitrofanova - Calculation of matter density and electromagnetic fields from energy-momentum tensor // Abstracts of the Intern. Conf. "Theoretical and Experimental Problems of General Relativity and Gravitation", p. 84-85, Изд-во ТГПУ, Томск, 2002

[7] О.В. Вержбицкая, Т.Г. Митрофанова- Нахождение электромагнитного поля по тензору энергии-импульса // Труды пятой общероссийской межвузовской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование", Томск. - Изд-во ТГПУ, с. 51-56, 2003

[8] V.Ya. Epp and T.G. Mitrofanova - Synchrotron radiation in adiabatically varying magnetic field // Abstracts of the Third Intern. Symposium "Radiation of Relativistic Electrons in Periodical Structures" (RREPS - 97) - Nuclear Physics Institute Tomsk Politechnic University, Tomsk, 1997

[9] Т.Г. Митрофанова, В.Я. Эпп - Излучение зарядов при движении вдоль искривленной силовой линии магнитного поля // Всероссийская астрономическая конференция (тезисы докладов), с. 201, Санкт-Петербург, 2001

[10] V.Ya. Epp and T.G. Mitrofanova - Radiation of relativistic particles in a quasi-homogenions magnetic field // Proceedings of the Ninth Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics. "Particle Physics at the Start of the New Millennium", p. 193, World Scientific, Singapore, 2001

».15 27

РНБ Русский фонд

2004-4 24985

Подписано в печать: 24.12.2003 г. Бумага: офсетная Тираж: 100 экз. Заказ: № 132/Х

Печать: трафаретная Формат: 60x84/16

Издательство Научной литературы

Томского государственного

педагогического университета

634041, г. Томск, пр. Комсомольский, 75.

Тел. (3822) 59-81-66, E-mail: publish @tspu.edu.ra

Введение.

1 Обратная задача для электромагнитного поля точечной заряженной частицы.

1.1 Обратная задача для поля точечного заряда, диполыюго электрического и дипольного магнитного моментов.

1.1.1 Формулировка задачи.

1.1.2 Обратная задача для точечного заряда и дипольного электрического момента.

1.1.3 Обратная задача для магнитного момента.

1.2 Восстановление закона движения заряженной частицы по ее электромагнитному полю.

1.2.1 Обратная задача для полей Лиенара - Вихерта.

1.2.2 Решение задачи для прямолинейно движущегося заряда.

1.2.3 Пример.

1.3 Восстановление параметров траектории частицы по синхротронному излучению.

2 Обратная задача для тензора энергии-импульса.

2.1 Тензор энергии-импульса для частиц.

2.2 Тензор энергии-импульса для полей.

2.3 Обратная задача для суммарного тензора энергии-импульса.

2.3.1 Случай 1. Тензор энергии-импульса, приведенный к диагональному виду.

2.3.2 Случай 2. Вектор Умова-Пойтинга перпендикулярен векторам напряженностей полей.

2.3.3 Случай 3. Параллельные поля.5G

2.3.4 Случай 4. Перпендикулярные поля.

3 Движение и излучение заряженной частицы в квазиоднородном магнитном поле.

3.1 Движение заряженной частицы в квазиоднородном магнитном поле. Решение в квадратурах.GO

3.2 Приближение малых колебаний.G

3.3 Спектрально-угловое распределение излучения частицы.G

3.4 Угловое распределение излучения.

3.5 Решение обратной задачи для заряженной частицы в квазиоднородном магнитном поле.

Под обратными задачами электродинамики понимаются задачи восстановления источников электромагнитного поля по известным значениям этого поля. Обратные задачи электродинамики охватывают очень широкий круг явлений [1]-[3]. Наиболее известная и хорошо изученная обратная задача - задача локации объекта по его электромагнитному излучению (пассивная локация) или по отраженному излучению (активная локация). В простейшей форме локация заключается в определении направления на объект и расстояния до него. В более сложной форме цель локации заключается в определении формы объекта и его электрофизических свойств.

Обратная задача в отношении квазистатических источников электрического поля возникает при исследовании атмосферного электричества, например, грозовых облаков, когда по зарегистрированным параметрам сигналов, отраженных от молний, оценивается среднее время ее существования и другие характеристики. Такие данные позволяют человеку в дальнейшем воздействовать на электрическое состояние кучевых облаков, чтобы регулировать последующую грозовую стадию развития, используя, к примеру, лазеры [4]-[8].

Однако, стоит отметить, что перечисленные выше классы обратных задач имеют эмпирический характер и являются итогом наблюдений и анализа полученных данных.

Неоценима роль обратных задач в астрофизике, ибо исследование радиосигналов от удаленных источников является на данный момент единственно возможным методом изучения характеристик звездных объектов. Неудивительно, что вопросу решения обратных задач в области астрофизики посвящено множество статей. К примеру, решение уравнения Фредгольма, описывающее распределение по радиусу яркости в различных длинах волн в двойных системах типа звезд Вольфа-Райе по наблюдаемым данным изменения их светимости во времени; решение с определением угловых размеров ближайших звезд и распределений интенсивностей их излучения по радиусу звезды по наблюдаемым кратковременным изменениям светимости звезды при ее заслонении лунным диском [9]; нахождение радиального распределения плотности звезд в шаровом скоплении по видимому распределению их поверхностной плотности [10]; а также многое другое [11], [12].

Начиная с GO-х годов прошлого века астрофизики пытаются использовать результаты измерения свойств излучения внеземных источников для анализа свойств этих источников. Речь идет об излучении релятивистских электронов в магнитном поле космических объектов. При определенных предположениях (однородность магнитного поля, ультрарелятивистские частицы, степенной закон распределения частиц по энергиям и т.д.) удалось существенно продвинуться в решении обратной задачи синхротронного излучения (см. обзор в [13], [14]). Используя поляризационnue свойства синхротронного излучения можно найти направление магнитного поля, в котором движутся релятивистские частицы, в области излучения. Измерение зсемановского расщепления спектральных линий позволяет определить величину магнитного поля, если известен угол между силовой линией и лучом зрения. Такое комплексное решение задачи позволило вычислить распределение магнитного поля в нашей Галактике (см., например, [15]).

Восстановление свойств источника излучения в астрофизике затруднено многими факторами, такими как изменение спектра и поляризации излучения при прохождении через межзвездную плазму, неизвестным распределением излучающих частиц по энергиям и т.д. В результате, при решении обратной задачи приходится использовать более или менее правдоподобные предположения. Тем не менее, точность полученных результатов оценивается достаточно высоко - около 80 процентов [16].

Круг проблем, связанных в той или иной мере с решением обратных задач в сфере радиолокации огромен. Например, интерпретация электроразведочных данных сводится к восстановлению строения и свойств среды по наблюдаемым значениям поля. Такая задача относится к классу обратных задач, в которых по известному следствию требуется установить причину. В геофизике, к примеру, анализ статистических характеристик радиосигналов, отраженных от земной поверхности, позволяет определить местонахождение источников различных физических полей, получать более емкую картину о структуре подземных слоев и прогнозировать их дальнейшее развитие [2], [3], [17]-[20].

Одна из основных задач теории распространения радиоволн - задача о восстановлении диэлектрических свойств среды, с которой эти волны взаимодействуют. В статье [21], к примеру, рассмотрена задача отражения плоских гармонических радиоволн, падающих по нормали к границе плоско-слоистой среды. Представлено аналитическое решение в частотной области одномерной задачи отражения радиоволн от поглащающего слоя, лежащего на однородном полупространстве, для случая нормального падения.

Немаловажную роль обратные задачи играют и в навигации. Так, анализ свойств доплеровского спектра радиолокационного СВЧ сигнала, отраженного от морской поверхности, позволяет сделать оценки о наличии на море того или иного типа волнения (развивающееся ветровое; ветровое; зыбь), определить доминантную длину волны, направление ее распространения и ее высоту, а для ветрового волнения -скорость и направление ветра [22], [23].

В середине 70-х прошлого века стал актуальным другой аспект обратной задачи излучения - создание источников излучения с заранее заданными спектральными и поляризационными свойствами. Например, предложено несколько способов формирования параметров излучения в системах типа ондуляторов ([24]-[32]). В работах ([33]-[3б]) для систем типа "короткого" магнита фактически решена задача о создании наперед заданного спектра для ограниченного интервала частот путем подбора эффективного поля на траектории заряда. В работах ([37]-[41]) дано общее теоретическое решение одночастичной обратной задачи излучения. Показано, что если известно поле излучения движущегося заряда, то его закон движения можно восстановить с точностью до произвольной скалярной функции. Если известно, что скорость заряда постоянна, то обратная задача излучения решается однозначно. Другая возможность исключить произвол в решении заключается в том, чтобы задать поле излучения в двух направлениях [38].

В связи с обсуждением механизмов излучения вблизи пульсаров привлекло к себе внимание излучение, возникающее при движении заряда вдоль силовых линий неоднородного магнитного поля. Такое излучение получило название магнитодрей-фовым или изгибным (curvature radiation). Сейчас более употребляем термин "излучение кривизны". Фактически, в неоднородном поле заряд движется не строго вдоль силовой линии, он также дрейфует в направлении, перпендикулярном к плоскости, в которой лежит рассматриваемая линия [12], [13]. В результате появляется сила Лоренца, искривляющая его траекторию так, что в первом приближении заряд можно считать движущимся вдоль искривленной силовой линии. Возникающее при этом излучение кривизны обладает в основном теми-же характерными особенностями, что и синхротронное излучение, но роль радиуса ларморовской окружности играет радиус кривизны силовой линии магнитного поля [42], [45].

Квазиоднородное магнитное ноле хорошо аппроксимируется магнитным полем, созданным линейным током. Движение частиц в таком поле хорошо изучено. Впервые движение частицы в магнитном поле линейного тока исследовал Хертвик [40]. Позже Лениерт [47], комбинируя закон сохранения энергии с уравнениями Лагран-жа, получил формулу для определения запрещенных областей движения частицы и показал, что частица будет двигаться в пространстве между двумя цилиндрами, "стенки" которого являются границами возможной зоны движения частицы. Им же была определена средняя дрейфовая скорость частицы при таком движении. В настоящей диссертации для частицы, движущейся в магнитном поле, созданном линейным током, получено решение уравнений движения в квадратурах и найден закон движения частицы в приближении малых колебаний.

В настоящее время изучению свойств изгибного излучения посвящено множество научных работ, т.к. подобный механизм излучения присущ большенству космических объектов. Излучению релятивистского электрона, движущегося по искривленной спирали в плазме, посвящена статья [48], в которой получены формулы для полной энергии излучения для частицы, движущейся в вакууме. В работе [49] рассматривается излучение электрона, движущегося по спиральной траектории, навивающейся на искривленную магнитную силовую линию. Показано, что для получения правильных формул синхротронного излучения необходимо использовать траекторию, которая наряду с дрейфом учитывает наклон ларморовской окружности к магнитному полю. Получены формулы, имеющие в качестве предельных случаев синхротронное и изгибное излучения. Найдены спектрально-угловое распределение излучаемой энергии, спектральное распределение мощности излучения, поляризационные характеристики излучения. В работе [50] исследовано движение и излучение релятивистской заряженной частицы в магнитном поле в приближении малого угла отклонения вектора скорости от оси траектории (приосевое приближение). Получены выражения для спектрально-углового распределения излучения, не содержащие скорости или ускорения заряженной частицы, а определенные через векторный потенциал магнитного поля на прямой, в окрестности которой движется частица. Показано, что спектрально-угловое, угловое и спектральное распределения излучения содержат энергию только в виде общего множителя, откуда следует, что форма спектрально-углового распределения излучения не зависит от энергии частицы. С изменением энергии изменяется лишь масштаб в распределении по частоте и угол между вектором направления излучения и осью траектории. В работах

51]-[55] были выведены формулы излучения ультрарелятивистской частицы, движущейся по спиральной траектории, навивающейся на магнитную силовую линию. В работе [51] показано, что свойства излучения существенно зависят от угла между направлением вектора скорости частицы и касательной к силовой линии магнитного поля, который называется питч-углом. Рассмотрено два крайних случая - очень большого питч-угла от (а >> 7-1) и очень малого угла (о: << 7-1), где 7 - релятивистский фактор. В первом случае генерируется синхротронное излучение, во втором - излучение кривизны. Промежуточный случай or ~ 7-1 исследован только численно. В работе [53] рассмотрен случай синхротронно-изгибного излучения, а в работе [55] - ондуляторно-изгибное излучение. В наших работах [56]-[58] получены аналитические выражения для спектрально-углового и углового распределений излучения релятивистской заряженной частицы, движущейся по спирали, навивающейся на искривленную силовую линию магнитного поля, для промежуточного случая о; ~ 7-1.

Цель работы. Решение обратной задачи для электромагнитного поля, созданного

- электрическим динольным моментом и точечным зарядом;

- магнитным моментом;

- произвольно движущимся точечным электрическим зарядом;

- произвольно распределенными в пространстве движущимися зарядами по известному тензору энергии-импульса такой системы.

Научная новизна и практическая ценность работы.

1. С помощью известных выражений для полей в дипольном приближении решена обратная задача для поля точечного заряда, дипольного электрического и магнитного моментов. Полученный результат может быть использован для восстановления макроскопического распределения электрических зарядов по полю, создаваемому этими зарядами на значительных расстояниях, когда применимо мульти-польное разложение.

2. Впервые решена обратная задача для произвольно движущейся точечной заряженной частицы с помощью потенциалов Лиенара-Вихерта. Показано, что одно и тоже поле может быть создано разными по знаку зарядами, движущимися по различным траекториям.

3. Получены формулы для нахождения параметров траектории частицы по ее сиихротрониому излучению, которые могут быть использованы, например, в астрофизике для определения величины и направления магнитного поля в источниках нетеплового электромагнитного излучения.

4. Решена обратная задача для тензора энергии-импульса невзаимодействующих частиц, для тензора энергии-импульса электромагнитного поля без зарядов и токов. Установлено, что обратная задача для тензора энергии-импульса электромагнитного поля не имеет однозначного решения. Показано, что обратная задача может быть решена с точностью до дуальных поворотов.

5. Впервые исследовано спектрально-угловое распределение излучения частицы, движущейся в квазиоднородном магнитном иоле для случая, когда питч-угол меньше обратного релятивистского фактора, когда существенную роль играет как ондуляторный механизм излучения, так и излучение кривизны. Получены формулы для усредненного но времени углового распределения, которые в предельных случаях ондуляторного излучения и излучения кривизны, совпадают с известными формулами. Полученные формулы использованы для решения обратной задачи восстановления траектории частицы при движении в квазиоднородном магнитном поле.

Апробация работы. Результаты, положенные в основу диссертации, докладывались на следующих конференциях: II международная конференция " Киантовая теория поля и гравитация QFTG - 97", 28 июля - 2 августа, 1997. - Томск; Third International Symposium "Radiation of Relativistic Electrons in Periodical Structures" (RREPS - 97), September 8-12, 1997. - Nuclear Physics Institute Tomsk Politechnic University, Tomsk; The Inter. Conf. of Math. Methods in Electromagnetic Theory "MMET - 98", June 2-5, 1998. - Kharkov, Ukraine; The Ninth Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics, September 20-26, 1999. - Moskow; III сибирская школа молодого ученого, 2001. - ТГПУ, Томск; V общероссийская межвузовская конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование", 23-2G апреля, 2001. - Томск; Всероссийская астрономическая конференция, 6-12 августа, 2001. -СПбГУ, С.-Петербург; The Intern. Conf. "Theoretical and Experimental Problems of General Relativity and Gravitation", July 1-7, 2002. - Tomsk.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и списка литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации составляет 91 страницы.

Заключение

Перечислим кратко основные результаты, полученные в диссертации.

1. В дипольиом приближении решена обратная задача для системы заряженных частиц, находящейся на большом расстоянии от наблюдателя. Найден заряд, ди-польные электрический и магнитный моменты и положение системы относительно наблюдателя. Полученное решение не однозначно - одно и тоже поле может быть создано разными системами зарядов в зависимости от суммарного заряда системы.

Решена обратная задача для произвольно движущегося заряда, которая также дает неоднозначное решение - поле, определенное одинаковыми потенциалами Ли-енара-Вихерта, может быть создано разными частицами, отличающимися знаком заряда, и, движущимися соответственно по различным траекториям.

Рассмотрен пример, когда заряд создает постоянное электрическое поле и магнитное поле отсутствует. Решение в этом случае несколько неожидано - такое поле может быть создано не только покоящимся зарядом в соответствии с законом Кулона, но и зарядом, приближающимся к наблюдателю из бесконечности по определенному закону. При этом его скорость изменяется от скорости света на бесконечности до нуля в точке, где должен покоиться заряд в соответствии с законом Кулона.

2. Решена обратная задача синхротронного излучения. При решении задачи восстановления параметров траектории частицы по ее синхротронному излучению, считалось, что известны спектральные индексы. Это позволило найти все интересующие параметры: радиус спирали, по которой движется частица; угол 0 между направлением на наблюдателя и образующей конуса, который описывает вектор скорости частицы; релятивистский фактор 7. Показано, что в ультрарелятивистском случае нельзя найти отдельно поперечную /?х и продольную /Уц скорости частицы, т.к. они не входят в исходные формулы для излучения ультрарелятивистских частиц, которое определяется, как известно, только радиусом траектории в точке, где происходит излучение.

3. Исследовано движение и излучение заряженных частиц в квазиоднородном магнитном поле. Полученные результаты позволили решить обратную задачу -восстановить параметры траектории частицы по ее синхротронному и ондулятор-ному излучениям. Тот факт, что синхротронное и ондуляторное излучения сильно разнесены по частоте и не влияют друг на друга, позволил решить задачу в два этапа - сначала для синхротронного излучения, а затем для ондуляторного, используя уже найденные величины.

Получена формула для углового распределения полного излучения, усредненного за время одного периода движения с заданной частотой. Полученная формула в частных случаях излучения частицы, движущейся по прямой спирали и для излучения кривизны, полностью совпадает с известными формулами, полученными ранее другими авторами.

4. Решена обратная задача для тензора энергии-импульса. Случай для системы невзаимодействующих частиц в отсутствии полей дает однозначное решение для плотности распределения частиц и их скоростей. В случаи системы электромагнитного ноля без зарядов и токов компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного полей находятся с точностью до дуальных преобразований.

1. A. Tarantola - 1.verse Problem Theory, Elsevier Health Sci., 2002

2. One-day Workshop on Inverse Problems Oxford University Computing Laboratory, 17 September, Oxford, 2003

3. Б.М. Наймарк Обратная задача гравитационной неустойчивости // Доклад РАН, 1999, 4, с.364

4. Радиолокационные методы исследования Земли, под ред. Ю.Л. Мельник, С.Г. Зубкович, В.Д. Степаненко. М: Совет, радио, 1980

5. С.М. Гальперин, В.Д. Степаненко, А.С. Осетров Радиолокационное обнаружение молний // Труды ГГО, 1974, вып.301, с.81-87

6. G. В.М. Мучник, Б.Е. Фишман Электризация грубодисперсных аэрозолей в атмосфере. Гидрометеоиздат, 1982

7. JI.T. Матвеев Основы общей метеорологии. Физика атмосферы. Гидрометеоиздат, 19G5

8. Р. Флигль, Дж. Бузингер Введение в физику атмосферы. М: Мир, 19G5

9. A.M. Черепащук Обратные задачи в астрофизике // Сорос, образ, ж. 1997, 12

10. N. Iliotelis, I.V. Bamias Nonparametric methods in density profile estimation of stellar systems // Astrophys. and Space Sci., 1995, v.229, N1

11. D. Nicholson Inverse problems in gravitational wave astronomy // Inverse Probl., 1995, v.ll, N4

12. Е.Г. Булах Прямая и обратная задачи магниторазведки в классе звездных тел // Доп. Нац. АН Украти, 199G, N6

13. В.Л. Гинзбург Теоретическая физика и астрофизика. М.: Наука, 1981

14. Теория излучения релятивистских частиц. Под ред. В.А. Бордовицына М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002

15. Г.Л. Векслер Магнитное поле Галактики. В сб. Галактическая и внегалактическая астрономия, под ред. Г.Л. Векслера и К.И. Келлермана, М.: Мир, 197G1G. В.В. Железняков Излучение в астрофизической плазме М.: "Янус-К", 1997

16. А.Д. Петровский Радиоволновые методы в подземной геофизике. М: Недра, 1971

17. Г.Я. Черняк О.М. Мясковский Радиоволновые методы исследования в гидрологии и инженерной геологии. М: Недра, 1973

18. В.Р. Кирейтов Метод кулоновского и диффузионного потенциалов с поправками в задачах определения источников. // Ред. Сиб. мат. ж. COPAII, Новосибирск, 1998

19. С.Г. Зубкович Статистические характеристики радиосигналов, отраженных от земной поверхности. М: Совет, радио, 1970

20. О.В. Юшкова Восстановление параметров слоистой среды // Радиофизика, 1995, N7, с.648

21. М.Б. Каневский, В.Ю. Караев Спектральные характеристики радиолокационного СВЧ сигнала, отраженного морской поверхностью при малых углах падения // Радиофизика, 1996, N5, с.517-525

22. J1.C. Долин, М.И. Кондратьев О возможности восстановления анизотропного спектра ветрового волнения методом двухпозиционной локации // Радиофизика, 1995, N1-2, с.139-145

23. М.М. Никитин, В.Я. Эпп Влияние параметров электронного пучка на свойства ондуляторного излучения // ЖТФ, 1979, т.46, с.2386

24. А.Ф. Медведев, М.М. Никитин, В.Я. Эпп Влияние параметров электронного пучка на спектр ондуляторного излучения // Изв. вузов-Физика, 1980, N9, с.113-115

25. A.F. Medvedev, V.Ya. Epp, M.L. Shinkeev and V.F. Zalmezh- On the construction of block-periodic undulators with metrologically pure radiation kernels // Nucl. Instr. and Meth., A308, 1991, p.124-127

26. М.М. Никитин, Н.И. Федосов Генерация электромагнитного излучения заданной формы спектра // ЖТФ, 1977, т.47, с.2478

27. М.Б. Моисеев, М.М. Никитин, Н.И. Федосов Изменение вида поляризации ондуляторного излучения // Изв. вузов-Физика, 1978, N3, с.76

28. М.М. Никитин, А.Ф. Медведев Исследование зависимости ондуляторного излучения от параметров ондулятора // ЖТФ, 1975, т.45, вып.5, с.950-951

29. М.Б. Моисеев, М.М. Никитин, Н.И. Федосов Движение и излучение релятивистских электронов в ондуляторе специального вида // Изв. вузов-Физика, 1978, N4, с.14-17

30. В.Н. Байер, B.M. Катков, ВлМ. Страховенко Излучение релятивистских частиц в периодических структурах // ЖЭТФ, 1972, т.СЗ, вып.б(12), с.2121-2128

31. Е.Г. Бессонов, Л.В. Серов О формировании спектра электромагнитного излучения заданной формы, испускаемого при пролете релятивистских заряженных частиц во внешних магнитных полях // Препринт NG2, ФИЛИ СССР, М., 1982

32. В.Г. Багров, М.М. Никитин, И.М. Тернов, Н.И. Федосов Излучение электро- • нов, движущихся в "коротком" магните // Изв.вузов-Радиофизика, 1983, t.2G, N2, с.253

33. V.G.Bagrov, М.М. Nikitin, I.M. Ternov, N.I. Fedosov Radiation from an electron moving in a "short" magnet // Nucl.Instr. Meth., 1983, v.208, N1-3, p.lG7

34. В.Г. Багров, М.М. Никитин, Н.И. Федосов, В.Я. Эпп Формирование электромагнитного излучения заданного состава и поляризации // Изв.вузов-Радиофизика, 1984, N10, с.1287

35. В.Ф. Зальмеж, М.М. Никитин, В.Я. Эпп К обратной задачи теории электромагнитного излучения // ЖТФ, 1984, т.51, с.1218

36. В.Г. Багров, М.М. Никитин, Н.И. Федосов, В.Я. Эпп Обратная задача теории электромагнитного излучения //В кн.: Тез. докл. на московской городской школе молодых ученых. М., 1983, с.21

37. V.G.Bagrov, М.М. Nikitin, V.F. Zal'mezh, N.I. Fedosov and V.Ya. Epp Inversion of the theory for electromagnetic radiation from chaged particles // Nucl.Instr. and Meth., A239, 1983, p.579

38. V.G.Bagrov, V.F. Zal'mezh, N.I. Fedosov and V.Ya. Epp Generation of a given linear polarized radiation in plane undulator // Nucl.Instr. and Meth., A2G1, 1987, p.51-55

39. B.B. Железняков Электромагнитные волны в космической плазме. М.: Наука, 1977

40. Yu.V. Chugunov, V.J. Eidinan, E.V. Suvorov // Astrophys. a. Space. Sci., 1975, v.32, p.L7

41. Yu.P. Ochelkov, V.V. Usov // Astrophys. &. Space. Sci.,1980, v.G9, p.439

42. V. Radkhakrishnan // Proc. Astron. Soc. Austr. 19G9, v.l, p.2544G. F.Z. Hertweck Naturforsch, 1959.

43. Л.Л. Леннерт Динамика заряженных частиц. М.: Лтомиздат.,1967.

44. Н. Wang, X. Li Излучение релятивистского электрона в искривленном магнитном поле // J. Nanjing Norm. Univ. Nat. Sci., 1999, v.22, N4

45. Я.М. Соболев Дрейфовая траектория и синхротронное излучение ультрарелятивистского электрона, движущегося в магнитном поле с искривленными силовыми линиями // Вопросы атомной науки и техники. 2000, N1, с.27-30.

46. В.Я. Эпп, Г.Ф. Копытов, И.II. Жукова Исследование движения и излучения релятивистской заряженной частицы в магнитном поле в приосевом приближении // Тр. Физ. об-ва Респ. Адыгея, 199G, N1

47. J. Zhang and K.S. Cheng Radiation formulae for a relativistic charged particle moving in a curved spiral trajectory // Phys. Lett. A, 1995, v.208, N1-2, p.47

48. R. Coisson On synchrotron radiation in nonuniform magnetic field // Opt. Commun., 1977, v.22, N2, p.375-380

49. K.S. Cheng and J. Zhang General radiation formulae for a relativistic charged particle moving in curved magnetic field lines: The synchrocurvature radiation mechanism // ApJ, 199G, v.4G3, p.271

50. Д.В. Сивухин Дрейфовая теория движения заряженной частицы в электромагнитных полях // Вопр. теор. пл. 19G3, т.1, с.7

51. Т.Г. Митрофанова, В.Я. Эпп Излучение зарядов при движении вдоль искривленной силовой линии магнитного поля // Всероссийская астрономическая конференция (тезисы докладов), Санкт-Петербург, 2001, с.201

52. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц Теория поля. М.: Наука, 1973

53. GO. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс Фейнмановские лекции по физике. Мир, 197G

54. Т.Г. Митрофанова, В.Я. Эпп К обратной задаче электростатики дипольного момента // Труды второй международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация QFTG - 97", Томск. - Изд-во ТГПУ, 1997, с.286-290

55. V.Ya. Epp and T.G. Mitrofanova Solution of inverse problem for a charge combined with a point-lake dipole // Proceedings of Inter. Conf. of Math. Methods in Electromagnetic Theory "MMET - 98" Kharkov, Ukraine, 1998, p.167-168

56. Т.Г. Митрофанова, В.Я. Эпп Обратная задача для поля заряда и точечного дипольного момента. // Известия вузов, Физика, N7, 1999

57. Т.Г. Митрофанова Нахождение электромагнитного поля по известному тензору энергии-импульса // Труды конференции "Третья сибирская школа молодого ученого" - ТГПУ, Томск, 2001

58. Т.Г. Митрофанова, В.Я. Эпп Нахождение электромагнитного поля по тензору энергии-импульса. // Известия вузов, Физика, N1, 2002

59. T.G. Mitrofanova Calculation of matter density and electromagnetic fields from energy-momentum tensor // Abstracts of the Intern. Conf. "Theoretical and Experimental Problems of General Relativity and Gravitation", Изд-во ТГПУ, Томск, 2002, c.84-85

60. О.В. Вержбицкая, Т.Г. Митрофанова Нахождение электромагнитного поля по тензору энергии-импульса // Труды пятой общероссийской межвузовской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука, и образование;", Томск. - Изд-во ТГПУ, 2003, с.51-56

61. М. Muller, K.Z. Dietrich Classical motion of a chrged particle in the magnetic field of a rectilinear current // Phys. D. 1995, v.33, N2

62. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц Механика. M.: Наука., 1988.

63. В. Паули Теория относительности. М.: Наука, 1983

64. Synchrotron Radiation Tneory and Its Development Ed by V.A. Bordovitsin, World Scientific, 1999.

65. Д. Джексон Классическая электродинамика. M.: Мир, 1965

66. В. Пановский, М. Филипс Классическая электродинамика. М.: Физматгиз, 1963

67. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1981 г.

68. Э. Камке Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.-М.: Наука, 1976

69. Handbook on synchrotron radiation // Ed. by Koch E.E. Amsterdam: North Holland Publ. Сотр., 1983, v.la

70. Л. А. Соколов, И.М. Тернов Релятивистский электрон. N1.: Наука, 1983

71. А.А. Соколов, И.М. Тернов О поляризационных эффектах в излучении "светящегося" электрона // ЖЭТФ, т.31, 195G, с.473

72. Л. Лайтман, В. Пресс, Р. Прайс, С. Тюкольски Сборник задач по теории относительности и гравитации. М., Мир, 1979

73. В.Н. Байер, В.М. Катков, B.C. Фадин Излучение релятивистских электронов. М.: Атомиздат, 1973

74. А.А. Соколов, Д.В. Гальцов, Б.Ч. Жуковский Излучение электронов, движущихся по винтовым траекториям с релятивистской продольной скоростью // ЖТФ, 1973, т.43, вып.З, с.682-687

75. В.Н. Байер, В.М. Катков, В.М. Страховенко Излучение релятивистских частиц при квазипериодичееком движении: Препринт // ИЯФ СО АН СССР, N 80-81, Новосибирск, 1980

76. В.А. Базылев, Н.К. Жеваго Излучение быстрых частиц в веществе и во внешних нолях. М.: Наука, 1987

77. И.М. Тернов, В.В. Михайлин, В.Р. Халилов Синхротронное излучение и его применение. М.: Изд-во МГУ, 1980

78. A. von Hoensbrocch, J. Kijak and A. Krawczyk // A&A. 3.3.20018G. Г. Альвен, К.-Г. Фельдхаммар Космическая электродинамика. М.: Мир, 19G7

79. М.М. Никитин, В.Я. Эпп Ондуляторное излучение. М.: Энергоатомиздат, 1988