Решение обратной задачи гравиметрии методом "линейного фильтра" тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.12 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ .^

1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕОРИИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДАННЫХ ГРАВИРАЗВЕДКИ

1.1. Краткий исторический очерк развития теории решения обратной задачи гравиразведки.

1.2. Некоторые методы решения обратной задачи.li

1.3. Методы эквивалентных перераспределений .2?

1.4. Выводы.

2. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЛ.

2.1. Постановка задачи

2.2. Построение распределений масс с нулевым гравитационным эффектом .зз

2.3. £ - эквивалентные перераспределения масс

3. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННО "Л ЗАДАЧИ ГРАВИРАЗВЕДКИ НА КЛАССАХ ЕДИНСТВЕННОСТИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ ТИПА СВЕРТКИ.6Т

3.1. Постановка задачи

3.2. Сверточные представления классов единственности.£

3.3. Получение регуляризованного решения .эц

3.4. Построение решения обратной задачи на классе сверток, удовлетворяющего некоторым системам ограничений на носитель и значения функции плотности .J-PS

3.5. Выводы и результаты экспериментов .U1*

4. ВОПРОСЫ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ И НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

4.1. Вычислительные вопросы решения обратной задачи гравиразведки на классах со сверточным представлением 4.2, Процедуры предобработки гравиразведочной информации при использовании метода решения обратной задачи на классе сверток.

4.3. Алгоритм решения прямой задачи

4.4. Примеры обработки полевого материала.

Современный этап развития разведочной геофизики характеризуется, во-первых, увеличением глубинности исследований и, во-вторых, необходимостью построения геологически содержательных картин распределения физических параметров источников для весьма сложных геологических ситуаций. Одним из основных методов здесь выспупает разведочная гравиметрия (в дальнейшем для краткости - гравиразведка).

Важнейшим этапом при проведении гравиразведочных работ является этап интерпретации экспериментальных данных. Высокие требования к конечному результату интерпретации приводят к необходимости использования сложных аппроксимационных конструкций среды, т.е. "расширению" модельного класса единственности. Последнее, как правило, чревато резким повышением неустойчивости или даже выходом за рамки класса единственности. При этом т.н. эффект эквивалентности становится практически неуправляемым. Возникает противоречивая ситуация, С одной стороны усложнение требующих решения геологических задач ведет к необходимости усложнения аппроксимационного модельного класса, с другой стороны последнее приводит к повышению некорректности задачи и, в свою очередь,необходимости "сужения" этого класса.

Выход из ситуации представляется в следующем. По аналогии с классическими задачами математической физики будем рассматривать обратную задачу гравиметрии, как задачу,характеризующуюся некоторым общим решением. Получение конкретного частного решения в задачах матфизики достигается, как известно, использованием априорных начальных и граничных условий. В нашем случае естественно потребовать,чтобы в качестве некоторого эквивалента этих условий выступало условие совпадения гравитационных полейнаблюденного и от решения и условие соответствия в определенном смысле решения априорной геолого-геофизической информации, Фор-мализованое выражение такого соответствия назовём критерием оптимальности.

Таким образом ставится задача не доказательства теоремы единственности для какого либо нового аппроксимацинного класса моделей, а задача построения одной из конструктивных форм общего решения, практического использования её для формирования частного решения удовлетворяющего критерию оптимальности.

Такой подход позволит,во-первых, обойти противоречие между геологическими и математическими требованиями к классам единственности и, во-вторых, в какой-то мере продвинуться вперед в решении проблемы унификации методов интерпретации. Важность этой проблемы в последнее время резко возросла. Причина заключается в том, что становится всё более очевидной необходимость повышения оперативного анализа полевых материалов, приближения камеральных работ к полевым партиям. И элементная база для этого уже существует. Это серийные микро-ЭВМ и микропроцессорные комплексы, которые могут служить основой для создания специализированных микроинтерпретационных систем со стандартным унифицированным матобеспечением.

Всё вышеизложенное определяет актуальность работы, целью которой является разработка метода ( условное название - метод "линейного фильтра") решения обратной задачи гравиразведки на достаточно "широком" (параметрическом) классе функций плотности, позволяющего строить решение, оптимальное различным качественно и количественно наборам априорных геолого-геофизических данных. Подобный подход известен под названием критериального и представляет собой дальнейшее развитие одной из сторон идеи, основы которой заложены А.И.Кобруновым [34 - Зб].

Цель работы достигается использованием в процессе исследований аппарата математического моделирования.

Решался ряд задач,которые состояли в:1) разработке одного из способов эквивалентных перераспределений частных решений;2) построении аналитического представления одной из форм общего решения обратной задачи гравиразведки в явном виде на основании разработанного аппарата эквивалентного перераспределения;3) изучении возможностей и путей ввода априорной геологической информации в процессе решения обратной задачи на построенном классе, способа математической формализации этой информации;4) анализе устойчивости получаемых решений и разработке регуля-ризущих алгоритмов;5) разработке устойчивых итеративных схем построения решения, удовлетворяющего некоторым системам ограничений на носитель и значения функции плотности,описывающей это решение;6) разработке алгоритмов,детальных вычислительных схем и составлении программ решения задачи на ЭВМ;7) выяснении некоторых методических вопросов решения обратной задачи разработанными методами.

Научная новизна работы определяется тем,что впервые:1. Построено аналитическое представление элементов из ядра оператора прямой задачи.

2. С единых позиций рассмотрены задачи эквивалентных перераспределений гравитирующих масс и обратные. Построены интегральные представления для класоов эквивалентности и единственности решений обратной задачи гравиразведки в виде свёртки.

3. Определена функциональная связь между ядром свёртки и формализованной в виде начального приближения априорной геологической информацией,обеспечивающая корреляционную близость решения начальному приближению,4. Разработаны итерационные алгоритмы проектирования непрерывных свёрточных представлений решений обратной задачи на множества, определяемые различными типами ограничений.

5. Исследованы вопросы устойчивочти и регуляризации решений обратной задачи,имеющих свёрточное представление.

Практическая ценность исследований состоит в программной реализации разработанного метода в виде подсистем автоматизированного анализа гравиметрической информации для двух- и трёхмерных вариантов распределений плотностных неоднородностей в земной коре. Данные подсистемы используются во многих производственных и научно-исследовательских геофизических организациях, опыт эксплуатации в которых показал геологическую и экономическую эффективность метода. В настоящее время отделом геофизической аппаратуры специального конструкторского бюро средств автоматизации Йвано-Франковского ПО "Геофизприбор" выполняется НИР по разработке программного обеспечения для специализированных микропроцессорных интерпретационных устройств. Одним из основных программируемых методов решения обратных задач является метод "линейного фильтра".

Основные теоретические положения работы изложены в семи опубликованных статьях и трех отчетах НИР. Работа проходила ап-пробацию на конференциях профессорско-преподавательского состава Ивано-Франковского института нефти и газа, на ЯП - IX конференциях молодых ученых и аспирантов МГУ, на П конференции молодых ученых Института геологии и геохимии горючих ископаемых АН УССР, на конференции молодых ученых,посвященной 1500-летию г.Киева, на семинарах отделов Института геофизики АН УССР, на78-м Общемосковском семинаре "Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных анамалий", на Всесоюзном семинаре "Вопросы геологической интерпретации геофизических полей".Программы обработки гравиразведочной информации,составленные на основании результатов исследований,используются кафедрой геофизики МГУ,геофизическими экспедициями ПО "Укргеофизика",комплексной геофизической экспедицией ПО "Севукргеология",геофизической экспедицией ПО "Архангельскеология", вычислительным центром треста "Грознефтегеофизика", КТО УкрНИГРИ,предполагается использование программ в качестве подчиненных модулей в Автоматизированной Прогнозной Системе "Припять" (БелНИГРИ).

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Содержит 131 страниц машинописного текста, 10 страниц списка литературы, 54 рисунка.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность за постановку задачи, постоянную помощь в теоретических исследованиях и советы, сделанные в процессе практической реализации результатов этих исследований, научному руководителю кандидату физико-математических наук Кобрунову А.И. А также поблагодарить доктора физико-математических наук Страхова В.Н. за замечания и советы, сделанные в процессе обсуждения работы на научных совещаниях,семинарах и в личной беседе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обобщая результаты теоретических и экспериментальных исследований, изложенные в главах 2-4, можно отметить следующее.

1. Разработан эффективный алгоритм получения ненулевых распределений масс с нулевым полем силы тяжести. Аналитическое представление позволяет достаточно эффективно с точки зрения затрат машинного времени счета (больной вопрос для любых задач гравиразведки в трехмерном варианте) строить подобное распределение.

2. Попытка избавиться от свойств гармоничности "интерференционного" (эквивалентно перераспределенного нормального в метрике L^ ) решения привела к выводу о том, что эквивалентно перераспределенное относительно наблюденного поля силы тяжести любое частное решение можно рассматривать как линейное интегральное преобразование типа свертки этого решения с ядром, удовлетворяющим некоторому условию (см. (2.19)). Получено интегральное представление для классов эквивалентности любого произвольного распределения масс, принадлежащего пространству .

3. Сконструирован обширный класс единственности решения обратной задачи гравиразведки с интегральным представлением типа свертки. 3 качестве сворачиваемой функции выступает наблюденное поле силы тяжести (объективная информация), а ядро строится на основании априорных геоплотностных данных о районе исследований (необходимый элемент субъективизма, говорящий не о слабости, а о перспективности данного подхода к решению обратной задачи). Решение, получаемое на данном классе единственности, оптимально относительно критерия, являющегося формализованным выражением базовой геологической гипотезы.

4. Исследованы вопросы устойчивости решения задач на классах со сверточным представлением. Предложены некоторые регуляризующие алгоритмы. Показано, что решение задач по регуляризующим алгоритм мам не выводит решения из выбранного класса функций.

5. Построены устойчивые итеративные схемы решения обратной задачи гравиразведки на классе сверток, позволяющие использовать различные типы ограничений на решение и носитель.

Решение этих вопросов в свою очередь позволило разработать группу методов решения обратной задачи гравиразведки с диапазоном эффективного применения: от почти качественного анализа информации (решение обратной задачи без использования каких-либо ограничений по вертикальному градиенту плотности) до построения детальных гео-плотностных разрезов для сложных геологических сред. Реализация методов совместно с процедурами сервиса и предобработки осуществлена пакетами программ "MACQA-2", "МАССА-3" (анализ гравиразведочной информации в дву- и трехмерном варианте), составленных на алгоритмическом языке FORTRA/V(ЭОС! (ОС) EG ЭВМ).

Проведенные в работе исследования позволяют рекомендовать применение разработанных методов решения обратной задачи гравиразведки как для построения общей картины распределения масс в исследуемой области по наблюденному полю (решение в классе непрерывных функций), так и для получения более конкретизованной картины участков земной коры (класс кусочно-непрерывных функций). В случае недостаточного объема априорной информации о геологии района или даже отсутствия таковой разработанная технология построения распределений масс, удовлетворяющих наблюденному полю силы тяжести, может быть применена на этапе предварительного анализа с целью выбора класса аппроксимирующих конструкций (т.е. фактически, метода решения обратной задачи) для дальнейшей обработки полевых данных съемки. Наиболее эффективен разработанный способ решения обратной задачи для случая построения локализованных в пространстве гравити-рующих объектов (рудные тела, одиночные разломы, включения осадочного чехла типа штоков и т.п.).

Представляется необходимым продолжить теоретические и экспериментальные исследования многих затронутых в диссертации вопросов. Вот некоторые из них. Зто проблема ввода геологической априорной информации в процесс решения задач (задача эквивалентного перераспределения, обратная задача), поскольку предложенный нами путь является, очевидно, лишь одним из возможных; вопросы получения решения на классах кусочно-непрерывных (кусочно-постоянных) функций. Весьма интересна на наш взгяд перспектива комбинирования разработанного подхода со статистическими методами, а именно, на этапе формирования "оптимального фильтра". Следует также уделить внимание вычислительным аспектам, поскольку при решении трехмерных задач именно этот вопрос начинает превращаться в проблему.

Исследования, проведенные в работе, являются дальнейшей разработкой одной из сторон направления, основы которого заложены в l3t| ] . Разработанные пакеты программ, являющиеся практической реализацией результатов этих исследований, представ лют собой фрагменты Автоматизированной Системы Интерпретации Гравиразведочных Материалов (АСИГМ) "Карпаты", разрабатываемой в Ивано-Франковском институте нефти и газа.

1. Афанасьев 10.В. К вопросу интерпретации гравитационных и магнитных аномалий прямыми методами. Изв. Днепропетровского горного института. Вып.51, 1971.

2. Балк П.И. О надежности результатов количественной интерпретации гравитационных аномалий. Изв.АН СССР, Физика Земли, № б, 1980, с.43-57.

3. Балк П.И. Об устойчивом методе локализации однородных геологических объектов по гравитационным аномалиям. "Геология и геофизика", № 10, 1980, с.89-98.

4. Баранов В. Потенциальные поля и их трансформации в прикладной геофизике. "Недра", 1980, с.152.

5. Булах Е.Г. Автоматизированная система интерпретации гравита^-ционных аномалий. Киев, "Наукова думка", 1973.

6. Булах Е.Г., Ржаницын В.А., Маркова М.Н. Применение метода минимизации для решения задач структурной геологии по данным гравиразведки. Киев, "Наукова .думка", 1976, с.220.

7. Васин В.В., Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода. Мат.зап.Уральского ун-та, тетр,2, 1968,с.27-37.

8. Варфоломеев В.А., Кобрунов А.И. Об одном подходе к разделению гравитационных полей. В сб. "Разведка и разработка нефтяныхи газовых месторождений". Львов, вып.19, 1982, сЛЯЛА

9. Варфоломеев В.А. Некоторые вопросы теории и практики эквивалентных перераспределений решений обратной задачи гравиразведки. Докл. АН УССР, Б, 1981, № 8, с.9-13.

10. Варфоломеев В.А. Об эквивалентности решений обратной задачи гравиразведки. Изв.вузов; Геология и разведка, 1982, № I, с.88-96.

11. Винокуров В.А. О погрешности приближенного решения линейных задач. ГВМ и МФ, 12, № 3, 1972. v

12. Данилов В.Л. Методы гидродинамической фильтрации в обратных задачах теории потенциала. Изв. АН СССР, Физика Земли, К? 7, с.43-53.

13. Данилов В.Л., Щульман И.И. Решение плоских обратных задач гравиразведки методом гидродинамической теории фильтрации. Изв. АН СССР, Физика Земли, № I, 1980, с.94-104.

14. Данилов В.Л., Шульман И.И. К решению обратной задачи гравиметрической разведки методами установления. Доклады АН СССР, т.250, № I, 1980, с.62-66.

15. Жданов М.С. Развитие теории аналитического продолжения потенциальных полей в криволинейных трехмерных областях. Изв. АН v СССР, Физика Земли, Кг 2, 1973.

16. Жданов М.С. Некоторые вопросы теории интерпретации гравитационных аномалий, зависящих от трех пространственных координат. Изв. АН СССР, Физика Земли, № 9, 1974, с.32-46.

17. Зидаров Д. О решении обратной задачи потенциала и его применения в геофизике. Изв. Болг. АН. София, 1968. V

18. Иванов В.К. О разрешимости обратной задачи теории потенциала в конечном виде. Доклады АН СССР, т. 106, № 5, 1956. V

19. Иванов В.К. Об устойчивости обратной задачи логарифмического потенциала. Изв. вузов. Математика. 1958,с4.

20. Иванов В.К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи теории потенциала. Доклады АН CCCS т. 142, № 5, 1962, с. 997-1000.

21. Иванов В.К. Задача Коши для уравнений Лапласа в бесконечной полосе. Диф. уравнения, I, № I, 1965. v

22. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М., "Наука", 1978. V

23. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., "Наука", 1974. с из ,

24. Каратаев Г.И. Корреляционная схема геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. Новосибирск,"Наука", Сиб. отд-ние, 1966, с. 135.

25. Каратаев Г.И., Черный А.В., Гусев 10.М. Построение линейныхvоператоров в корреляционной схеме геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. Изв. АН СССР, Физика Земли, № 12, 1966.

26. Каратаев Г.И. Методика комплексной геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. Новосибирск.,"Наука", Сиб. отд-ние, 1973, с. 167.

27. Кобрунов А.И. О построении решения обратной задачи гравиразведки в классе распределения плотностей. Доклады АН УССР. Сер. Б, 1977, №12, с. 1078-1080.

28. Кобрунов А.И. О поиске решения обратной задачи гравиразведкив классе распределения плотностей. С сб. Разведка и разработка нефтяных и газовых месторождений. Львов., вып. 15, 1978, с. 48-50.

29. Кобрунов А.И. О методе оптимизации при решении обратной задачи гравиразведки. Изв. АН ССОР, Физика Земли, № 8, 1978, с. 73-78.

30. Кобрунов А.И. О детерминистическом подходе к теории комплексной интерпретации геофизических полей. В кн.'Теофизиче-ские исследования глубинного строения Земной коры". Сб. научи . тр. Киев, "Наукова думка", 1978, с.60-65.

31. Кобрунов А.И. Построение адаптивной системы решения обратной задачи гравиразведки в классе распределения плотностей. Сб. "Материалы 5-й Конф. молод, учен. Львов, фил. мат. физики Ин-та мат. АН УССР. Секция геофиз." Львов, 1978, с. 19-22.

32. Кобрунов А.Л. О методе поиска оптимальных решений обратной ^ задачи гравиразведки. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Киев, 1978.

33. Кобрунов А.И. К вопросу об интерпретации аномальных гравитационных полей методом оптимизации (трехмерная задача). Изв. АН СССР, Физика Земли, № 10, 1979, с. 67-76.

34. Кобрунов А.И. К теории комплексной интерпретации. Геофизический журнал, т.П, № 2, 1980, с. 31-37.

35. Кобрунов А.И., Варфоломеев В.А. О распределении масс с нулевым гравитационным эффектом. В сб. "Разведка и разработка нефтяных и газовых месторождений". Львов, вып. 18,1981, с. 27-33.

36. Кобрунов А.И., Варфоломеев В.А. Об одном методе в эквивалентных перераспределений и его использовании при интерпретации гравитационных полей. Изв. АН СССР, Физика

37. Земли, 1981, №10, с. 25-44.

38. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., "Наука", 1976. с. Ь1^ ^

39. Крейн;> С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М., "Наука", 1971. <

40. Лаврентьев М.М. К вопросу об обратной задаче потенциала. Доклады АН СССР, т. 106, № 3, 1956, с. 389-390.

41. Лаврентьев М.М. Количественное уточнение внутренних теорем единственности. Доклады АН СССР, т. ПО, № 5, 1956,с. 731-734.

42. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа. Изв. АН СССР, сер. матем., № 20, 1956, с. 819-842.

43. Лаврентьев М.М., Романов В.Г. Шишатский С.П. Некоторые задачи математической физики и анализа. М., "Недра", 1980,с. 286.

44. Ли B.C. Решение обратной трехмерной задачи гравиразведки с использованием метода набухания. Алма-Ата., "Вопросы прикладной геофизики", 1979, с. 39-53.

45. Ломтадзе В.В. Интерпретация гравитационных аномалий способом эквивалентных призм. Вопросы разведочной геофизики, вып. 8, ^ 1968.

46. Миронов B.C. Курс гравиразведки. Л., "Недра", 1980, с.543.

47. Морозов В.А. О принципе оптимальности невязки при решении несовместных уравнений методом регуляризации А.Н.Тихонова. IBM и МФ, 13, № 5, 1973. У

48. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно-поставленных задач. М., Из-во МГУ, 1974. V

49. Никонова Ф.И.,Цирульский А.В. К вопросу о граничных особых точках логарифмического потенциала. Изв.АН СССР, Физика Земли, № 6,1975, с.76-80.

50. Никонова Ф.И.,Цирульский А.В. Интерпретация гравитационных аномалий на основе классов потенциалов,для которых обратная ^ задача разрешима в конечном виде. Изв. АН СССР,Физика Земли,1. Р 2,1978. ^

51. Новоселицкий В.М. К теории определения изменения плотностив горизонтальном пласте по аномалиям силы тяжести. Изв. АН N{ СССР,Физика Земли, W 5,1967,

52. Оганесян С.М. Решение обратной задачи гравиметрии в классе1. распределения плотностей. Докл. АН СССР,1981,Б,1 6, с.39-43.

53. Рис Ф., Се кефаль ви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.,"Мир",1979,с.588.

54. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиразведки. Кие в, "Наукова думка",1978,с.227.

55. Старостенко В.И.,Заворотько А.Н. Методика и Алгол (Фортран)-программы устойчивого решения обратных линейных и нелинейных задач гравиметрии.Киев,"Наукова думка",1980,с.203.

56. Страхов В.Н. О решении некорректных задач магнито- и грави-метрии,представляемых интегральным уравнением типа свертки. Изв.АН СССР,Физика Земли, № 4,1967. с

57. Страхов В.Н. О решении некорректных задач магнито- и гравиметрии, представляемых интегральным уравнением типа свертки.П. Изв. АН СССР,Физика Земли, № 5,1967. с- . ьЪ

58. Страхов В.Н. О численном решении некорректных задач,представляемых интегральным уравнением типа свертки. Доклады АН СССР,т. 179,Р6,1968. сЛ^^оЬ ^

59. Страхов В.Н. Теория приближенного решения линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве и ее использова- ^ ние в разведочной геофизике.I. Изв.АН СССР,Шизика Земли,№8, 1969. с,$о~ъЪ

60. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве. Диф. Уравнения, 6, Р 8,1970, с.1490-1495.

61. Страхов В.Н. О теории метода подбора. Изв.АН СССР, серия геофиз., Р 4, 1971. V

62. Страхов В.Н. Об алгоритмеп приближенного решения линейных1. N/условно-корректных задач. Доклады АН СССР,207, № 5,1972.

63. Страхов В.Н. О построении оптимальных по порядку приближений решений линейных условно-корректных задач.Диф.уравнения, 9, Р 10, 1973, с.1862-1874.

64. Страхов В.Н. Об обратной задаче логарифмического потнциала для контактной поверхности. Изв. АН СССР,Физика Земли, Р 2, J 1974. С, !iS-6b*

65. Страхов В.Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхности. Изв. АН СССР,Физика Земли, v № 6, 1974.

66. Страхов В.Н.,Лапина И.И. О монтажном принципе построения решений обратной задачи гравиметрии. Геофизический сборник. К., "Наукова думка", Р 74,1976,с.3-19.

67. АН СССР, т.236, Р 1,1977,С.54-57.

68. Страхов В.Н. К теории плоской задачи гравиметрии и магнитометрии "аналитический мир",порождаемый выметанием Пуанка- ^ ре. Изв. АН СССР,Физика Земли, Р 2,1978.

69. Страхов В.Н. Об одной общей форме решения обратной задали гравимагниторазведки. Доклады АН СССР,т.235,№ 6,1977,с.1281-1284.

70. Страхов В.Н. Об общих решениях обратных задач гравиметрии и магнитометрии. Изв.вузов. Геология и разведка, Р 4, 1978, с.104-117.

71. Страхов В.Н. Основные идеи и методы извлечения информации из данных гравитационных и магнитных наблюдений. Сб."Теория иметодика интерпретации гравитационных и магнитных аномалий". М.,1979, с.146-269.

72. Страхов В.Н. Эквивалентные по внешнему полю перераспределения масс и их использование при интерпретации гравитационных аномалий. Доклады АН УССР, Б, Р 8, 1979, с.627-630.

73. Страхов В.Н. Эквивалентность в обратной задаче гравиметриии возможность ее практического использования при интерпретации гравитационных аномалий. I. Изв. АН СССР,Физика Земли, Р 2, 1980,с.44-64.

74. Страхов В.Н. Эквивалентность в обратной задаче гравиметриии возможность ее практического использования при интерпретации гравитационных аномалий. П. Изв.АН СССР,Физика Земли, Р 9, 1980, с.38-69.

75. Страхов В.Н. Физический смысл и прикладное значение сингулярных источников комплекснозначных масс и мультиполей. Изв. АН СССР,Физика Земли, Р 8, 1981, с.62-91.8081,82,83,84,85,6687,88,89,90,91,92,93

76. Танана В.П. Приблеженное решение операторных уравнений первого рода в локально-выпуклых пространствах. Изв.вузов. v) Математика, 1969.

77. Тихонов А.Н.,Аосенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.,"Наука",1979,с.288.

78. Hadamar-d Sur ies proUemeS auoc derivees partletes e"t teur sic^n^ deatlon physi- ^ cpe. BuU. Univ. PrLnseton , 13; 1902,.

79. Повышение эффективности сейсморазведки и развитие методов интерпретации данных гравиразведки. ( ОИП 18/79 № Гос.per. 39-79-135/36, ОМП 18/80 № Гос.per. 80-97/31 ).

80. Развитие комплексного подхода к интерпретации гравиметриче- J ских данных ( № Гос.per. 79070745 ).

81. Совершенствование методики пространственной сейсморазведки ^ и методов комплексной интерпретации геофизических данных с целью изучения строения осадочных отложений Предкарпатского прогиба ( If- Гос.per. 8I0I9900 ).