Решение основных задач упругости для перфорированных полосы, плоскости и сплошного слоя на основе связи между граничными значениями напряжений и смещений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

л/./:

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ '

МИРОНЕНКО НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ

Решение основных задач упругости для перфорированных полосы, плоскости и сплошного слоя на основе связи между граничными значениями напряжений и смещений

Специальность 01.02.04 — механика

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ПРЕЗИДИУМ

На правах рукописи

УДК 539.3

деформируемого тпёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ

Новосибирск—1989

Работа выполнена d Институте математики и механики АН КазССР

Официальные оппоненты: Заслужошшй деятель науки и техники УССР, член-корреспондонт АН УССР,

доктор технических наук, профессор А.С.К0СМ0ДАШАНСКШ1 Доктор физико-математических наук,

профессор Ю.И.СОЛОВЬЕВ Доктор физико-математических наук,

профоссор Л.А.<ШЫ1ГГИНСКИу1

Ведущая организация: Институт механики АН УССР.

Защита состоится "_"_1989 г. в _час. на заседании' Специализированного Совета Д.003.33.01 при Президиуме СО АН СССР по адресу:

630090, Новосибирск 90, Институтская 4/1, ИЫЛ СО АН СССР.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной механики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_"_198Э г.

Учении секретарь ¡'

специализированного совета

Д.003.33.01, к.ф.-ы.н. В.И.САМСОНОВ

( ■

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность про&лемц. Зсо более возрастающие нагрузки на конструкции, вызванные, например, усложнением режимов их эксплуатации, технологические соображения и т.д. приводят к усложнению сак самих конструкций, так и отдельных конструктивных элементов, шогие из которцх зачастую ослаблены отверстиями. Одним из весь-й распространенных элементов в машино- и приборостроении, в су-;о-,авиа- и ракетостроении, а также в других отраслях промыииен-юсти и техники является перфорированная полоса. Следовательно юзнккает необходимость в современных элективных методах опре-,ело1шя напряженно-деформированного состояшш конструктивных эле-ентов такого типа. Необходимо отметить, что в то время, как для бластей типа перфорированной плоскости (полуплоскости) разрабо-ояы элективные методы решения всех основных задач теории упру-ости, для перфорированной полосы изучены в основном задачи с ракичными условиями первой основной задачи (заданными являются нешние напряжения) на гранях полосы.

Поэтому разработка эффективных методов решения всех основ-ых задач теории упругости для перфорированной полосы является ктуальной и в теоретическом и в практическом отношениях.

Краткий обзор состояния воптюсд. Как отмечалось выше, пер-эрированная полоса (слой) является довольно распространенным цементом в промышленности, технике, горном доле и т.д. Следова-эльно постояшю существовала и существует необходимость в опре-1лсшп! напряженно-деформированного состояшш элементов такого ша. Отсутствие методов решения, граничных задач для областей гоа перфорированной полосы приводило к току, что ееодглись ог-шичения на размер отверстий в полосе. Отверстия предполагались ИШ1 по сравнению с шириной полосы и это позволяло заменять

полосу плоскостью, для которой ухо давно разработаны многие эф- • фективные матоды. В разработку последних, равно как и в разработку общих методов теории упругости в частности и механики деформируемого твердого тела вообще большой вклад внесли такие советские ученые, как Ш.М.АЙталиев, А.Я.Александров, В.М.Александров,10.А. Амензаде, Б.Д.Аннин, Н.Х.Арутюнян, В.А.Бабешко, и.Ю.Бабич,Н.В.Ба-ничук, И.А.Бахтияров, С.М.Белоносов, В.В.Болотин, Т.В.Бурчуладзе, И.И.Ворович, Л.А.Галин, Т.Г.Гегелиа, И.И.Гольденблат, Р.В.Гольд-штейн, Э.И.Григолш, Д.В.ГрилицкиЙ, В.Т.ГРИЬченко, А.Н.Гузь.Ж.С. Ераанов, А.А.Лшашш, А.Ю.Ишлинский, А.И.Каландия, Я.Ф.Каюк,Г.С. Кит, В.Д.Клшников, Г.В.Колосов, H.A.Колтунов, A.C.Космода-,шанс-кий, А.Н.Коновалов, В.Д.Купрадзе, Л.С.Лейбензон, С.Г.Лехницкий, А.И.Лурье, Т.А.Мартынович, Г.С.Михлин, Н.О.Морозов, В.И.Ыоссаков-ский, Н.И.Мусхелишвили, й.В.Немировский, B.C.Никифоровекий, В.Но-ьадкий, В.В.Новожилов, Е.И.Оболашвили, В.А.Осадчук, В.В.Панасюк, Д.ф.Папкович, В.З.Партон, П.И.Перлин, Г.С.Писареико, Б.Е.Победря, Ю.Н.Подильчук, Я.С.Подстригая, Г.Я.Попов, И.А.Прусов, Ю.Н.Работ-нов, В.Л.Рвачев, Г.Н.Савин, М.П.Саврук, Р.Л.Салганик, В.С.Саркисян, Л.И.Седов, Л.И.Слепян, И.Н.Снеддон, И.С.Сокольников, Ю.И.Соловьев,' М.В.Степаненко, И.Д.Суздальницкий, И.Г.Торегулов, С.П.Тимошенко, А.Г.Угодчиков, А.Ф.Улитко, Ю.А.Устинов, Я.С.Уфлянд, Л.А. фильштинский, Л.П.Хорошун, С.А.Христианович, И.А.Цурпал, Г.П.Черепанов, К.Ф.Черных, Г.С.Шапиро, В.П.Шевченко, Ю.К.Шевченко, Д.И. Шерман, С.А.Шестериков, С.Я.Ярема и другие.

Из большого числа разнообразных методов, разработанных в плоской теории упругости, следует вцделить методы основанные на применении комплексных потенциалов - как наиболее эффективные. Основателями этого направления являются Г.В.Колосов, Н.И.Мусхелишвили и Д.И.Шерман, идеи которых оказывали и продолжают оказываи •плодотворное влияние на развитие плоской теории упругости.Упоыя-

нутые методы нашли широкое применение и в задачах касающихся перфорированной полосы. Соответствую и 019 задачи для сплошной полосы довольно часто рассматривались в действительных переменных.Здесь можно назвать работы Б.А.Берга, С.Е.Бирмана,П.Ф.Папковича, Я.С. /флянца и др.

Систематическое и весьма плодотворное применение комплексных потенциалов в задачах сплошной полосы (а также - сплошного клина, кругового кольца и т.д.) связано о работами С.М.Белоносо-ва. Методы комплексных потенциалов применялись и в публикациях Л.Я.Беленького, посвященных сплошной полосе.

Первые работы, относящиеся к перфорированной полосе, принадлежат Р.Хауленду, который в начало тридцатых годов рассмотрел растяжение полосы с одним круговым отверотием и с бесконечным рядом одинаковых круговых отверстий (диаметр отверстия не превосходит половины ширины полосы). Спустя почти два десятилетия появ-1ЯЮТСЯ публиглции Исиды (чистый изгиб в своей плоскости полосы з одним круговым отверстием; растяжение полосы с одним криволи-мйным квадратным отверстием) и Ацуми (растяжение полосы с двумя равными круговыми отверстиями). Полоса (балка) с двумя круговыми зтверстиями рассматривалась и в работах М.А.Саврука, использующего биполярные координаты и полагавшего отверстия малыми по сравнила с шириной полосы.

Далее появляются статьи, касающиеся периодических задач для юлосы. Растяжение и изгиб полосы с двумя бесконечными рядами >динаковых круговых отверстий, расположенных в шахматном порядке, рассмотрел Линг. Такие же задачи для полосы с од]ЩМ бесконечным эядом одинаковых круговых отверстий, сдвинутым относительно оси юлосы, изучил Т.Зелиско.

Первой работой, посвященной исследованию влияния упругого зключения, явилась работа Р.Уильсона. В ней рассмотрена полоса

с круговым отверстием, в которое впаяна упругая шайба.

Влияние физической нелинейности на распределение напряжений в полосе с круговым отверстием исследовано И.А.Цурпалом.

Начиная с двадцатых годов появляются экспериментальные работы по изучению концентрации напряжений в полосе с отверстиями различной фор:лы. Первыми публикациями этого характера являются, по всей видимости, статьи Э.Кокера и Л.Файлона.

Семидесятые годы ознаменовались резким увеличением числа публикаций, относящихся к перфорированной полосе. В первую очередь здесь следует назвать работы А.С.Космодамианского и его учеников С.А.Калоерова, Б.И.Гулика и др. В этих работах рассмотрена полоса с одним и двумя круговыми отверстиями, а также - с одним некруговым отверстием. Здесь нашел свое дальнейшее развитие метод комплексных потенциалов. А.С.Космодамианским и Б.'Л.Гуликом впервые решена контактная задача для полосы с одним круговым отверстием (два абсолютно жестких штампа сжимают полосу).

В эти же годы в школе Ж.С.Ержанова начинаются интересные и интенсивные исследования, связанные со слоистой тяжелой полуплоскостью, одним из элементов которой является перфорированная полоса.

Кусочно-однородную плоскость, содержащую полосу с одним круговым отверстием, впервые рассмотрел с помощью потенциалов Колосо-ва-Мусхелишвили Д.З.Гршшцкий с учениками.

Первыми работами, в которых применялся метод граничных интегральных уравнений к перфорированной полосе, явились публикации Ю.А.Мельникова, посвященные периодическим задачам для волосы с отверстиями сложной формы.

Полоса с одним или двумя эллиптическими отверстиями исследовалась в работах Ю.А.Амензаде, м.Л.Бурыакина и других.

растяжение и изгиб полосы с восьмиугольными отверстиями

'изучены в публикации М.М.Копытова и др. с помощью метода конеч-' ных элементов.

Граничные интегральные уравнения используются в исследованиях Г.А.Маковкина, посвященных перфорированной полосе.

Далее следует назвать работу м.Хамада и др., в которой рассматривается полоса с двумя равными круговыми отверстиями, расположенными кососимметрично относительно оси полосы. Этим же авторам принадлежат еще две работы, в которых изучается растяжение и. чистый изгиб полосы с произвольным числом равных кругов!« отверстий, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга.

Полоса с произвольным числом отверстий и разрезов исследована о.а.ТваиаарЬугоа и Е.Н.Т11ес^ок<^1ои, которые сводят задачу к сингулярному интегральному уравнении на контурах отверстий и разрезов. Численный анализ проведен для одного наклонного разреза.

Приведенный краткий обзор показывает, что публикации, касающиеся контактных периодических задач для перфорированной полосы, отсутствуют вообще. Отсутствуют и публикации по задачам с граничными условиями (на гранях полосы) второй и третьей основных задач (речь идет об апериодических задачах). Контахтные апериодические задачи представлены только одной работой А.С.Косыодамиан-ского и Б.И.Гулика. Только одна работа (Ю.А.Мельникова) посвящена и периодической задаче для перфорированной полосы с граничными условиями третьей основной задачи (заданы внешнее касательное напряженке и нормальное смещение) на одной из граней полосы. Нет публикаций, касающихся периодических задач для перфорированной полосы, когда на ее гранях заданы условия второй основной задачи.Поэтому важной представляется разработка эффективных методов решения перечисленных и некоторых других задач.

Целью данной работы является разработка эффективного анали-

тического метода решения основных задач теории упругости - в первую очередь плоских задач; изучение на его основе новых классов задач для перфорированной полосы; исследование напряженного состояния полосы для конкретных вадов перфорации с выявлением механически* эффектов, соответствующих той или иней перфорации.

Научная новизна и значимость результатов исследований. Предложен метод, основанный на связи между граничными значениями напряжений и смещений (далее для краткости будем называть его единым методом), позволяющий однотипно и сравнительно просто рассматривать основные задачи упругости для некоторых плоских и пространственных областей - в том числе задачи поперечного изгиба тонких плит. Особенно отчетливо проявляется его эффективность при численном анализе тех или иных задач - несколько осношых задач для данной области легко реализуются в одной программе.

Указан новый подход к решению периодических и двоякопериоди-ческих задач для плоскости.

Предложен новый, являющийся весьма эффективным в случае круговых отверстий, метод решения основных задач плоской упругости.

Предложен также новый эффективный метод решения первой основной задачи (периодической и апериодической) для сплошной полосы и полуплоскости.

Указан метод решения впервые полученных парных сумматорных и интегральных уравнений, заданных на произвольном числе отрезков. Это дало возможность рассмотреть контактные задачи для полосы с произвольным числом штампов (если задачи периодические, то в основном периоде произвольное число штампов).

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной постановкой задач, строгостью применяемого математического аппарата, высокой степенью удовлетворения граничных условий и совпадением численных результатов данной работы с некоторыми икеющи-ыяся результатами других авторов.

Практическая ценность диссертации состоит в том, что полученные в ней результаты позволяют оценить влияние геометрических параметров и упругих постоянных на концентрацию напряжений, дать определенные рекомендации по расположения, форле и подкрепления отверстия в конструктивных элементах типа перфорированных полосы и плоскости (однородной и кусочно-однородной).

Эти результаты могут быть использованы в Институте проблем механики АН СССР, Институте механики АН УССР, Институте прикладных проблем механики и математики АН УССР, Институте математики и механики АН АзССР и ряде НИИ и предприятий авиа-, ракетно- и судостроения, машино-и приборостроения, строительства и т.д.

Результаты диссертации вошли в два заключительных отчета по научно-исследовательским работам координированным АН СССР и АН КазССР: "Теоретические основы расчета подземных сооружений в неоднородной толще", (1976-1980, № г.р.78033496) и "Разработать методы расчета напряженного состояния подземных сооружений в упругом кусочно-однородном массиве при статическом и динамическом нагружен иях", ( 1981-1985, .4 г.р. 61085565).

Методы и некоторые разработки диссертации используются в выполняемом Институток математики и механики АН КазССР задании 4.7 "Усовершенствовать методы и методики оценки напрякенно-де-^ормированиого состояния, критериев прочности и устойчивости целиков, кровли очистных: камер и подготовительных выработок с учетом реологических свойств горных пород", (1986-1990, № г.р. 31870031667).

Основные научные результаты диссертации моясно квалифицировать как новое научное направление, заключающееся в разработке !дипого метода решения оснозных задач упругости, разработке новых методов решения для сштояной и перфорированной полосы.

На защиту выносятся:

новый метод решения основных задач упругости, основанный на связи мевду граничными значениями напряжений и смещений;

новый, являющийся довольно эффективным в случае круговых отверстий, метод решения основных задач плоской теории упругости;

новый эффективный метод решения иервой основной задачи (периодической и апериодической) для сплошной полосы и полуплоскости;

решение новых парных интегральных и сумматорных уравнений, определенных на произвольном числе отрезков;

решение контактных задач для полосы с произвольным числом штампов (в периодических задачах - произвольное число штампов в основном периоде);

результаты численного анализа большого числа конкретных задач для перфорированных полосы и плоскости.

Апробация работы« Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на У1 Всесоюзной конференции по механике горных пород (Фрунзе,1979),на Всесоюзной конференции по теории упругости (Ереван,1979), на УП Казахстанской межвузовской конференции по математике и механике (Караганда,1981),на Республиканском симпозиуме "Концентрация напряжений"(Донецк,1983),на УШ республиканской конференции по математике и механике (Алма-Ата,1984),на П Всесоюзной конференции по теории упругости (Тбилиси,1984) и на У1 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной мехашже(Таш-кент,1986).В целом диссертация обсуждалась на семинаре.руководимом проф^Г.С.Шапиро| (ИШ1 АН СССР),на семинаре им.Л.А.Галина,руководимом академиком АН АрмССР Н.Х.Арутюняном и проф.В.¡,1.Александровым (ИПМ АН СССР),на семинаре, руководимом член-корреспондентом АН УССР А.С.Космодамианским (ДонГУ),на семинаре, руководимом академиком АН УССР А.Н.Гузём (ИМ АН УССР),на семинаре, руководимом проф.Н.И.Пригоровским (Шлаш.им.А.А.Благонравова АН СССР),на семинаре,руководимом член-корреспонденом АН СССР Э.И.Григолгаком

(МАШ), на семинаре, руководимом академиком АН КазССР К.С.Ермаковым (№Ж АН КазССР), на семинаре, руководимом проф.Ю.И.Соловьевым (НИМИ), на семинаре, руководимом проф.Ю.В.Некировским (И1ТГ,1 СО АН СССР), на семинаре, руководимом проф.О.В.Сосниным (ИГ им. М.А.Лаврентьева СО АН СССР) и на семинаре, руководимом проф.Л.А, Фильштинским (СФХПИ).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 35работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, основных выводов, списка литературы и шести приложений оформленных отдельным томом. Объем работы составляет 306 страниц машинописного текста. Она содержит 64 иллюстрации и 56 таблиц (таблицы и 27 иллюстраций помещены в приложения). Библиография включает 287 наименований.

Работа выполнена в Институте математики и механики АН Каз. ССР. Автор выражает глубокую благодарность) Д.И.Шерману!, 2.С.Ермо-

лову и Ш.М.АЗталиеву за ценные советы и постоянное внимание к работе, во многом способствовавшие улучшению ее содержания и качества.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение посвящено обоснованию актуальности работы и ее новизны. Здесь дан обзор литературы.Сформулирована цель исследования, указаны основные научные положения, которые выносятся на защиту. Дан краткий обзор диссертации по главам.

Первая глава состоит из девяти пунктов. Она носит вспомогательный характер и содертег исследование основных задач упругости [апериодических и периодических) для сплошной полосы. На простей-иих задачах демонстрируется суть единого метода.

В первом пункте этой главы приводятся все необходимые формулы.

коториэ постоянно используются далее.

Второй пункт содержит вывод эффективного решения первой основной задачи для сплошной полосы, которое затем используется на протяжении всей работы (заметим, что в диссертации рассматриваются в основном задачи, обладающие двумя осями симметрии). В первой основной задаче на гранях полосы заданными являются нормальное

Ну -+- и касательное Худ(%) напряжения (/у^СОпг! ).

Кроме того на бесконечности задается нормальное напряженно Мх — = СОЛг! (ось иксов является продольной осью симметрии полосы: |^[<оо О. ). Граничное условие на верхней грани у— О.

в потенциалах Колосова-!,'.усхолишвши имеет такой вид:

уг(£)+ + ¡£Гй)= (1.П

Искомые потенциалы естественно представать следующим образом:

у0(н)=Гн + «р(2), ^.(2)= Г'г+ , (12)

Известно, что эффективное решение граничных задач для областей типа полосы и полуплоскости достигается с помощью интегралов фурьэ. Но представить искомые потенциалы и ^ этими

интегралами сразу не представляется возможным, так как при этом не удается удовлетворить граничному условии (1.1) - мешает множитель í в третьем слагаемом. Введение ноьо 11 функции ^С (2) тати/, соотношением

= у(н)-г у'(г) (1-3)

позволяет избавиться от упомянутого мнокитоля. Представляя

Потенциалы и , а также заданные напряжения '

Ууа{%) и А*уд(X) интегралами Фурье, используя поолоднио в граничном услозии (1.1) и требуя его тождественного выполнения, определяем неизвестные функции (плотности), входящие в интегралы Фурье для потенциалов ^(н) и }С(Н) , и тем самым получаем решение задачи:

(1А)

Здесь Г{ (\) и Ш действительные, чет!ше функции, выражающиеся через трансфоргланты Фурье Уу*а (X) и функций Ууа (лг) и ^Суд(х) соответственно.

Используя потенциалы (1.2),(1.4) в известной формуле Колосо-ва-Мусхелишвшш, получим смещения точек верхней грани полосы:

М(и+1г)~Г*х + 1аГ?+ Ц.5)

0 , ^ Ь=х/а , и = ка , у-а .

Здесь Г,# и Г, некоторые постоянные, (з - модуль сдвига, а

"Ц|1)~ функция, зависящая от трансформант Ууа (X) и

ХудСХ.) .

Выражению (1.5) в едином методе отводится важная роль - оно постоянно используется при решении всех остальных задач.

Далее в этом же пункте рассматривается задача с граничными условиями симметричными относительно оси Оу и обратнориммотрич-ными относительно оси Ох . Она используется в исследованиях чистого изгиба (в свое« плоскости) перфорированной полосы. Потенциалы и <|/(н) для этой задачи (здесь Г= Г= 0 ) имеют евд (1.4), но функции /"((X) и Рг[\) в них теперь нечетные.

Последней задачей этого пункта является задача для слоистой полосы (границы слоев параллельны оси Ох ).

В третьем пункте рассматривается вторая основная задача для той же полосы. В этой задаче на гранях полосы задаются смещения:

¿/(Х)= UoX + UiiX) , //o=C0nsl,

S , U.6)

v(х) — v0а + vt{x), v0= const,

функции ¿/x [X], Vi (X\ предполагаются представимыми интегралами Фурье. Данная задача решается с помощью единого метода. Для того, чтобы здесь воспользоваться решением первой основной задачи (1.2) необходимо знать постоянные NxtJft/ и переменные - Ууа и Хуа [Х) напряжения (или трансформанты последних - Yy* [X] и Хуа[\) , входящую в ^Ск) ). Перечислешше ве-

личины в рассматриваемой задаче неизвестны. Для их определения и служит выражение (1.5), в котором теперь левая часть согласно (1.6) задана. Подставляя (1.6) в (1.5), лредстааляя функции ¿/i(x) и Ц.(Х) интегралами Фурье и требуя тождественного выполнения полученного соотношения, получим две независимых системы линейных алгебраических уравнений. Каздая из этих систем состоит из двух уравнений с даумя неизвестными. Из одной системы определяем Nx и -Лу , а из другой - Ш и Хуа Ш • Тем самым задача решена.

Еще проще решается третья основная задача (на гранях полосы заданы касательное напряжение и нормальное смещение):

XyUJeXyal*), ТГо Я ч-Vi(x), у=а. (1.6')

Кроме того считается заданным напряжение Nx — const . здесь также применяем единый метод. Чтобы воспользоваться решением первой основной задачи (1.2),(1.4), необходимо определить две неизвестных: Ny и Yya (X) . Они находятся в полной аналогии

•о предыдущим решением. Но здесь необходимо использовать только мнимую часть в (1.5), так как согласно (1.6') задана именно она.

Подчеркнем, что во всех трех рассмотренных задачах используются одни и те же потенциалы (1.2),(1.4). Для каждой задачи различными будут только транофорланты Ууа (Л.) и Худ Отмеченное обстоятельство является особенно важным для перфорированной полосы. 3 случае численного анализа несколько задач сравнительно просто реализуются в одной программе.

В пятом пункте рассматривается контактные задачи для той же полосы. Полоса сжимается двумя одинаковыми штампами (на каждой грани действует один штамп). Трение под штампами отсутствует. Основания штампов юлеют произвольную, выпуклую, симметричную относительно их осей форду. С боков штампы ограничены прямыми у-±6 . Исследуются два случая. Первый - углы штампов на доходят до полосы (ширина площадки контакта 28{ неизвестна), второй - углы штампов давят на полосу (ширина площадки контакта известна и равна ширине штампа 28 ). Решение задачи в первом случае сводится к такому парному интегральному уравнению:

оа

о

%-х/а, <б1 , У=а } (1.7)

оо

I. о

Здесь

(1.8)

К'П

"функция f{X) связана с формой основания штампов. Парное уравнение ввда (1.7) в литературе ранее не встречалось, решение его разыскивается в виде следующего ряда Неймана по функциям Бесселя первого рода Jm (X) :

^w-^r^i-im^Docj/u.tiec)!), U.9)

где (L* - коэффициенты, подлежащие определению. На основании одного из разрывных интегралов Вебера-Шафхейтлина убеждаемся,что второе уравнение в (1.7) удовлетворяется при этом тождественно. Удовлетворение первого уравнения в (1.7) приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСДАУ) относительно коэффициентов оL* .В приложении показано, что эта система принадлежит к нормально;^ типу. Обращение выражения (1.9) позволяет найти давление под штампом:

ЧИ^^СО.^),!*!^. (UM

Здесь UiK (х/§{) - многочлены Чебышева второго рода.

Во втором случав (углы штампов давят на полосу) решение задачи сводится к парному интегральному уравнению, встречавшемуся ранее в работах Л.А.Галина и его учеников. Схема решения этого уравнения аналогична предыдущему. Для давления под штампом получаем следующее выражение:

где Ти[х/б) - многочлены Чебышева первого рода. Частным случаем последней задачи является периодическая по координата у задача для плоскости с полубесконечшши разрезш-л (трещинами).

Далее рассматриваются вое отмеченные выше задачи, только в периодическом случае. Решения этих задач затем используются при иссподовалии соответствующих периодических задач дпя порфориро-

'ванной бесконечноовязной полоси. Принципиальное отличие периодических задач от рассмотренных вилс состоит в том, что вместо интегралов Фурье здесь используются комплексные ряди Фурье. Креме того в представлении (1.2) Г и Г' теперь неизвестны - в них входит постоянная, которую приходится определять в процессе решения. Этот факт для перфорированной полосы впервые отмечен в работе /32/.

Приведем потенциалы ^(н) и (см.(1.2)) для первой

основной периодической задачи:

1

ежд

у(2)=2^Ця/эеяЬ1пэел2 ,

П'1

РО

ф (г) (£л/эе„) вш эе„г - Ая 005 .

(1.12)

/7=1

/7 = 1

Здесь А„,Вп - некоторые постоянные, 1пЪ/б , 6 - душ-

на периода. Решение (1.2),(1.12) и выражение.для смещений, полученное на его основании, используются при исследовании всех остальных периодических задач - в том числе и контактных (как для сплошной, так и для перфорированной полосы). Контактные задачи (периодическая система одинаковых штампов действует с двух сторон на полосу) рассматриваются для двух отмеченных выше случаев, исследование их сводится к парным сумматорннм уравнениям, не встречавшимся ранее в литературе. Для решения этих уравнеш1й строятся разрывные ряды - дискретные аналоги упоминавшихся ранее разрывных интегралов Бзбера-Шафхейтлина:

т +У~!п'1 Л«*1 соя эе„лг =

л ли £.—. т Л-1

(1.13)

О, е^\х\<*б/2 ;

С оо

¥ +ГУ» Л " £■*) соS Э€я X = (1 .14)

л» 1

'(-«ii-SsMJ 1 '11

О, ¿<|*М/2»

где - символ Кронекера, - ширина площадки контакта, - ширина штампа.

Использование разрывных рядов (I.13),(1.14) позволяет свести решение отмеченных вше парных сумматорных уравнений к ЕСЛАУ нормального типа. Для давления под штампами в первом случав (углы штампов не доходят до полосы) получено выражение аналогичное

(1.10), а во втором (углы штампов давят на полосу) - аналогичное

(1.11). Частным случаем последней задачи является задача для плоскости с двоякопериодичоской системой разрозов (трещин).

Глава вторая посшпдона выводу эффективного решения дая полуплоскости в случав первой основной задачи (апериодической и периодической) и использованию его для остальных задач. Выкладки здесь во многом аналогичны соответствующим вшсладкам первой главы: в случае апериодических задач также вводится новая неизвестная функция Х(г) соотношением (1.3), а в случае периодических задач для нее используется известное представление

y(z)-;C(z)-ZY'(z). (2.1)

На основании этих представлен^ и удаотся получить упомянутые эффективные решения в виде интегралов и радов Фурье. Эти рошешш используются затем при исследовании кусочно-однородной плоскости, содержащей перфорированную полосу.

13 содьмом-десятом пунктах второй главы демонстрируется

■применение единого метода в случае пространственных осесимметрич-ных задач для слоя, хотя он применим и к другим пространственным задачам: критерием его применимости является возможность построения функции напряжений. Здесь рассмотрены все основные задачи, в том числе и контактная, решение которой сначала сводится к известному парному интегральному уравнению, затем к - интегральному уравнению Шлемильха и, наконец, к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Частным случаем контактной задачи является периодическая задача для пространства с бесконечным числом параллельных кольцевых разрезов (внешний радиус кольца стремится к бесконечности). Для многосвязных осесиыметричных областой применимость единого метода обеспечивают известные работы А.Я.Александрова и Ю.И.Соловьева, а также - Г.Н.Положил, А.Ф.Улитко, В.СЛе-мориса и других.

В третьей главе рассмотрено большое число конкретных задач для перфорированной полосы, однородной п кусочно-однородной плоскостей с отверстиями. В основу исследований положен известный метод (л) -функции (метод Д.И.Шерыана), позволяющий (на основании представления потенциалов интегралами типа Коши с неизвестной плотностью, последующего применения формул Племаля-Сохоцкого и аналитического продолжения) свести задачу к некоторой вспомогательной для сплошной полосы, а далее - к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Приближенное решение последних

приводит к БСЛАУ относительно коэффициентов Фурье функции шЦ) . В этом методе удалось существенно упростить процесс построения БСЛАУ. Оказалось возможным получить ту же самую БСЛАУ без промежуточных весьма громоздких выкладок, связанных о построением системы интегральных уравнений Фредгольма - необходимость в последних отпадаот. О методике получения требуемой БСЛАУ сказано далее

(в четвертой главе).

Перечислим задачи, изучение в третьей главе. Лдя полосы с двумя (равными), тремя и четырьмя круговыми отверстиями (центры которых лежат на продольной оси полосы) рассмотрена первая основная задача. Численный анализ (он приведен в приложении) для названных задач дан в случае продольного и поперечного (отдельно) растяжения полосы, а также в случае равномерного давления по контурам отверстий. Счет проводился для большого числа вариантов геометрических параметров. Изучено действие сосредоточенных сил на полосу с двумя круговыми отверстиями. Рассмотрен чистый изгиб этой же полосы с обширным численным анализом. Исследовано влияние упругого подкрепления отверстий в упомянутой полосе (здесь также проводился многовариаитнып счет на ЭВМ). Рассмотрены контактные задачи для этой же полосы с двумя круговыми отверстиями для двух случаев, отмеченных в первой главо. Решение этих задач сведено к парным интегральным уравнения!.! - более сложным, чем в первой главе. Одно из этих уравнений исслодовано впервые. Частным случаем одно;'; из контактных задач является периодическая задача для плоскости с двумя бесконечными рядами круговых отверстий и бесконечным числом полубескопечных разрезов (трещин).

На основании упомянутых вше решений и решешш длл полуплоскости (полученного во второй главе) дало исследование (с довольно подробным численным анализом и рекомендациями, касающимися сварных конструкций и горного дела) кусочно-однородной плоскости, содержащей полосу с двумя или четырьмя круговыми отверстиями. Частным случаем задач для перфорированной полосы являются соответствующие задачи для однородной плоскости. Поэтому в приложении приведены всевозможные варианты численного исследования напряженного состояния плоскости с двумя, тремя или четырьмя круговыми отверстиями.

- 21 -

И в заключение рассмотрена полоса с двумя одинаковыми круговыми отверстиями, центры которых лежат на поперечной оси полосы. Для этой полосы изучены две задачи: первая основная задача и чистый изгиб. Для обеих задач дан подробный численный анализ.

Обилие численного материала, приведенного для многих задач данной главы, позволило сделать некоторые интересные в практическом отношении выводы о напряженном состоянии перфорированной полосы или плоскости, об оптимальном расположении отверстий и т.д. Отмечошые задачи совместно с численным анализом можно рассматривать, как модельные душ численных методов, применяемых к соответствующим областям с более сложными границами.

Четвертая глава обобщает исследования предыдущей главы. В ней рассматриваются более сложные задачи для полосы с произвольным числом круговых отверстии, центры которых лежат либо на продольной, либо на поперечной осях полосы. Здесь исследуются такие задачи:

задача I - на гранях полосы заданы напряжения, а на контурах отверстий - либо напряжения, либо - смещения, либо на одной части контуров - напряжения, а на другой смещения;

задача П - на гранях полосы заданы смещения, на контурах отверстий условия те же, что и в задаче I;

задача Ш - на гранях полосы заданы касательное напряженно и нормальное смещение, на контурах отверстий выполняются условия, отмеченные в задаче I.

При решении этих задач в значительной мере проявляются достоинства единого метода. Кроме того он дает возможность нового подхода к периодическим задачам для плоскости: частным случаем задачи Ш является периодическая задача для плоскости с произвольным числом бесконочных рядов круговых отверстий (или периодическая задача дая плоскости с одним бесконечным рядом отверстий, 1з

основном периоде которого содержится произвольное число попарно равных круговых отверстий).

В этой же главе показана возможность применения единого метода и в задачах поперечного изгиба тонких плит - рассматриваются некоторые задачи для плиты в виде полосы с произвольным числом круговых отверстий.

В предыдущей главе отмечалось, что для решения всех, изученных в ней задач, применялся метод (л) -функции. Но с увеличением числа отверстий он становится неэффективным - в литературе его иногда называют методом "для двусиязных областей" (см..например, известную монографию по теории упругости Н.И.Мусхелишвили), хотя в третьей главе он применен, как утке отмечалось, к трех-,четырех-и даже пятисвязной полосе (при наличии симметрии относительно обеих осей). Кроме того этот метод применим (без модификаций). только к первой основной задаче теории упругости (если говорить о бигар-монических задачах). Все сказанное побудило к поискам путей упрощения данного метода (о чем было сказано выше) и к созданию новых методов. Для областей с круговыми отверстиями в случае всех основных задач оказался эффективным новый метод, названный модифицированным методом Д.И.Шермана, так как он корнями своими восходит к идеям метода ш -функции. Он проще последнего поскольку нет необходимости вводить новую неизвестную функцию шИ) , строить для нее интегральное уравнеше и т.д. Суть этого метода заключается в том, что потенциалы у (н) и ^(н) в граничных условиях на конторах отверстий представляются рядами Оурье с неизвестными коэффициентами, затем эти представления продляются аналитически на всю полосу, а это позволяет ввести функции аналитические в сплошной полосе. После определения последних (с точностью до упомянутых неизвестных коэффициентов Фурье) строится БСЛАУ. Построение этой системы осуществляется так. Для функций аналитических в

сплошной полосе в процессе решения получается по два соотношения. Разложегаю этих соотношений в рады Тейлора должны совпадать в каждой точке круга сходимости, а, следовательно, долины совпадать и выражения при соответствующих степенях переменной. Это приводит к требуемой системе. Данная идея и использовалась во всех задачах третьей главы.

Задача I для двух, упомянутых выше, вариантов расположения отверстий решается с помощью метода наложения - как самого естественного и простого. Искомые потенциалы представляются в таком виде:

где для Г и Г справедливы формулы, приведенные в (1.2), а для у (г) и 1р(н) - формулы (1.4). Для потенциалов ^г(н), (2) справедливо следующее представление Аппеля:

Й2>

Здесь Л; - радиусы отверстий, 6у - абсциссы (или ординаты) центров отверстий, оСгу , - коэффициенты, подлежащие опре-

делению, 2Ж+1 - количество отверстий. Потенциалы ц

(н) определяются формулами, аналогичными (1.4), в которые входят коэффициенты ОС*/ , /ху • БСЛАУ для этих коэффициентов строится методом рядов. Частным случаем задачи I является задача для плоскости с 1М+{ . отверстием. Для решения задач П и Ш используется единый метод. Подчеркнем, что во всех трех задачах потенциалы имеют один и тот ко внешний ввд (4.1),(1.4),(4.2).

Различными будут только функции /^(А) и Гг(К\ .входящие в' (1.4). Отмеченное обстоятельство позволяет сравнительно просто проводить численный анализ упомянутых трех задач по одной программе.

В заключение отметим следующее обстоятельство. Названными тремя методами (методом Си -секции, модифицированным методом и методом наложения) была рассмотрена первая основная задача (метод ии -функции, как отмечалось, применим только к этой задаче) для полосы с произвольным числом круговых отверстий. Все три метода привали (с точностью до обозначений) к одним и тем же потенциалам и к одним и тем же БСЛАУ для коэффициентов, входящих в потенциалы. И поскольку метод наложения наиболее прост из этих методов, применим не только к первой основной задаче (к тому же в случае не только круговых отверстий), то ему и следует отдавать предпочтение.

В приложении к данной главе приведены исследования БСЛАУ для двух варинатов расположения отверстий (показано, что эти системы принадлежат к нормальному типу). Здесь же дан обширный численный анализ для полосы с одним круговым отверстием, с тремя большими и весьма сближенными отверстиями, а также - для плоскости с тремя бесконечными радами круговых отверстий (периодическая задача).

Пятая глава посвящена отмеченным вше задачам, но для поло-си (и плоскости) с некруговыми отверстиями. Последнее обстоятельство требует привлечения конформного отображения. Здесь рассмотрена первг - основная задача для полосы с двумя криволинейными квадратными отверстиями и для полосы с одним криволинейным квадратным и двумя эллиптическими отверстиями (отмечены частные случаи этих задач - задачи для плоскости с этими же отверстиями). С помощью единого метода изучены далее периодические задачи для плоскости с двумя бесконечным: рядами квадратных отверстий и для

плоскости о тремя бесконечными рядами отверстий (один ряд шэд- • ратных и два ряда эллиптических отверстий).

В основу исследования названных задач положен метод наложения в сочетании с конформным отображением. Искомые потенциалы принимаются в виде (4.1), но потенциалы и ,

например в случае полосы с квадратными отверстиями, представляются при этом такими рядами:

удовлетворении граничных условий на х'ранях полосы используется физическая плоскость Z , а при удовлетворении граничных условий на контурах отверстии необходимо переходить на параметрическую плоскость , используя отображающую функцию Z— W [ ?>;) Из условий на контурах отверстий следует БСЛАУ для коэффициентов, входящих в потенциалы. В приложении дано исследование одной из систем - показано, что она является системой нормального типа.

В шестой главе изучаются периодические задачи для полосы о одним бесконечным рядом криволинейных треугольных, криволинейных квадратных или эллиптических отверстий, а также - для полосы о двумя бесконечными рядами круговых отверстий. Отмечены частные случаи этих задач - периодические задачи для плоскости с соответствующими отверстиями. .

Решения названных задач достигаются с помощью метода наложения, единого метода и конформного отображения (в первых трех случаях). Как уже отмечалось, величины Г и Г (см.(4.1)) теперь неизвестны - в них входит постоянная, подлежащая определению

(5.1)

Кш I

Здесь сСх и Рк ~ коэффициенты, подлежащие определению, 2 и связаны между собой некоторой зависимостью Н = иг{%>;) . при

'в процессе решения. Для искомых потенциалов и здесь принимается ' представление (4.1), но все функции (кроме линейных), входящие сюда, теперь либо выражаются через периодические функции, либо сами являются периодическими. Скажем, для потенциалов и

справедливы формулы (1.12), потенциалы Iрг(£) и <]/г(н) выражаются через периодические функции ^(н) и следующим образом:

J^s-C^a К'1 ;=-оо Х«1

Коэффициенты $>к подлежат определению. 3 случае круговых отверстий потенциалы У>ю(2)> $10(2) имеют вид, аналогичный (4.2) при »о . Потенциалы уЛн) ^(е) в (4.1) выра-

жаются формулами, аналогичными (1.12), но с коэффициентами, зависящими от сС к , . Удовлетворение гршмчных условий на контурах отверстий позволяет получить БС1АУ. Последние принадлежат к нормальному типу - это доказывается для полосы с треугольными отверстиям!.

Перечислим теперь рассмотренные задачи. Первая основная задача изучена для полосы (и плоскости) со всеми, отмеченными ранее, видами отверстий. Задача Д изучена для полосы с треугольными, квадратными и круговыми отверстиями. Задача Ш исследована для полосы с треугольными и круговыми отверстиями. Двоякопериодические задачи рассмотрены для плоскости с отмоченными четырьмя видами отвэрстий. Для полосы с двум бесконечными рядами круговых отверстий впервые поставлены и решены периодические контактные задачи, отмеченные в главе первой. Решения этих задач сводятся к парны:,1 сумматорным уравнениям, не встречавшимся ранее в литературе. С помощью разрывных радов (1.13),(1.14) решения самих уравнений

приводятся к БСЛАУ, принадлежащим к нормальному типу.

Рассмотрена также двоякопериодическая задача для плоскости о круговыми отверстиями и разрезами (трещинами) - частный случай одной из контактных задач.

Численный анализ (довольно обширный) проведен для полосы и плоскости с периодической системой треугольных отверстий (/770 = 1/3,1/9,0), а также - для плоскости с двоякопериодической системой тех же отверстий. Отмеченный выше параметр т0 входит в отображающую функцию и определяет форму отверстия (при л?0«0 криволинейный треугольник вырождается. в окружность).

Приложение 5 содержит исследование сходимости ряда, входящего в выражение (1.11). Здесь же приведено большое число эпюр напряжений для всевозможных перфораций в полосе и плоскости.

В приложении б дано решение впервые полученных парных интегральных и сумматорных уравнений, заданных на произвольном числе отрезков. Это позволило рассмотреть две апериодические и две периодические контактные задачи для полоса с произвольным числом штампов (в периодических задачах в основном периоде произвольное число штампов). Частными случаями двух из этих задач являются периодическая и двоякопериодическая задачи для плоскости с разрезами (трещинами).

Основные выводы. Полученные в диссертации основные научные результаты заключаются в следующем:

I. Предложен новый метод,основанный на связи между граничными значениями напряиений и смещений, позволяющий однотипно и сравнительно просто рассматривать все основные задачи для многосвязной и бесконечносвязной паюсы как с круговыми, так и некруговыми отверстиями. Он применим и к другим областям.

Основным достоинством данного метода является тот факт, что потенциалы и БСЛАУ, полученные при решении одно;* задачи (первой

основной), используются при решении всех остальных задач для данной области. В случав полосы различными для каждой задачи будут только трансформанты Фурье (от напряжений по граням полосы) или коэффициенты Фурье (в периодических задачах), входящие в потенциалы и БСЛАУ.

На простейших осзсимметричных задачах показана эффективность метода и в случае пространственных задач (критерием его применимости здесь является возможность построения функции напряжений); он эффективен и в случае поперечного изгиба тонких плит типа перфорированной полосы.

Данный метод позволил предложить новый подход к решению периодических и двоякопериодических задач для плоскости.

2. Предложен новый эффективный метод решения первой основной задачи (периодической и апериодической) для сплошной полосы и полуплоскости.

3. При решении первой основной задачи для многих конкретных областей (полоса с двумя, тремя и четырьмя отверстиями) применялся метод СО - функции, в котором удалось упростить процесс построения БСЛАУ (не прибегая к промежуточному построению системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода). Это существенно сокращает и упрощает многие выкладки.

4. Предложен новый (довольно эффективный в случае круговых отверстий) метод решения основных задач плоской теории упругости, названный модифицированным методом Д.И.Шермаяа.

о. П; а решении первой основной задачи (метод СО -функции применим только к этой бигармонич^сксй задаче) показана эквивалентность метода 1л) -функции, модифицированного метода Д.И. Шермана и метода наложения. Под эквивалентностью понимается совпадение во всех этих методах как потенциалов, так и БСЛАУ для ко"»6{-ипиентоп, вхохд:;их в потенциалы.

6. Даны решения впервые полученных парных интегральных и оумматорных уравнений, определенных на произвольном числа отрезков. Ери решений этих уравнений построены разрывные ряды - дискретные аналоги разрывных интегралов Вабера-Шафхейтляна. Все это позволило рассмотреть контактные задачи для полосы с произвольным числом штампов, а в случае периодических задач - для полосы с произвольным числом штампов в основном периоде.

Впервые рассмотрены периодические контактные задачи для бес-конечносвязной полосы.

Частными случаями некоторых из названных задач являются периодические и двоякопериодические задачи для плоскости с отверстиями и разрезами.

7. Получены весьма полезные неравенства и оценки суш некоторых рядов - в том числе и рядов по Бесселевым функциям первого рода.

й. Рассмотрено большое число конкретных задач (для полосы, а также для однородной а кусочно-однородной плоскостей) о обширным численным и графическим материалом (не ветречавшимся зачастую ранее в литературе). Это придает практическую значимость работе и кроме того позволяет использовать упомянутые-задачи в качестве модельных в случае применения численных методов при решении аналогичных задач для областей о более сложными грани -цами.

Основное содержание диссертации отсажено в работах:

1. Мироненко Н.И. О напряженном состоянии полосы,ослабленной двумя одинаковыми круговыми отверстиями,расположенными в поперечном направлении //ПШ.1978.Т.42.Л5.С.930-935.

2. Мироненко Н.И. Об одном способе решения основных задач плоской теории упругости для двусвязных облаотей //Изв.АН КазССР.Сер. физ.-мат.1978.№5.С.81-82.

3. Мироненко Н.И. О чистом изгибе полосы, ^слабленной двумя одинаковыми круговыми отверстиями //Изв.АН СССР.МТТ.1978.№6.0.83-83.

4. Мироненко Н.И. Чистый изгиб полосы с двумя круговыми отверстиями //Сборник "Прикладные проблемы прочности и пластичности". Горький: Изд-во Горьковск.ун-та,1978.Ш,С.93-98.

5. Ержанов S.O., Айталиев Ш.М., Мироненко Н.И., Туебаев М.К., Казешев А.К. Определение напряженного состояния пластовых выработок для целей прогноза удароопасности //Материалы У1 Всесоюзной конференции по механике горных пород "Горные удары, методы оценки и контроля удароопасности массивов горных пород". Фрунзе,1979.С.51-58.

6. Мироненко Н.И. О напряженном состоянии многосвязной полосы и кусочно-однородной плоскости,-содержащей многосвязную полосу // Всесоюзная конференция по теории упругости.Тезисы докладов. Ереван: Изд-во АН АрмССР,197Э.С.225-226.

7. Мироненко Н.И. Напряженное состояние кусочно-однородной плоскости, содержащей полосу с двумя одинаковыми круговыми отверстиями //Изв.АН СССР.МТТ.1980.^6.С.63-71.

8. Мироненко Н.И. О напряженном состоянии полосы, ослабленной двумя одинаковыми круговыми отверстиями, расположенными в продольном направлении //Прикл.механика.1980.Т.I6.JS4.С.95-100.

9. Мироненко Н.И., Еэтписов Т.Х. Сравнительный анализ напряжен-

ного состояния полосы с двумя и четырьмя круговыми отверстиями //механика.Тезисы докладов седьмой казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике. Караганда, I98I.C.85.

10. Мироненко Н.И., Еетписов Т.Х. Действие произвольных симметричных усилий на полосу с четырьмя круговыми отверстиями / Изв. АН КазССР.Сер.физ.-мат. 1981. Й5. 10 е.: ил.Библиогр. 3 назв. Деп. в ВИНИТИ 08.07.1981, »3356-81.

11. Мироненко Н.И. Действие сосредоточенных сил на полосу о одним или двумя круговыми отверстиями //Изв.АН КазССР.Сер.физ.-мат.

1981. й5. С.29-34.

12. Ержанов E.G., Мироненко Н.И., Еетписов Т.Х. Напряженное состояние полосы с четырьмя сближенными круговыми отверстиями // Прикл.механика. 1982.Т.18.Ш.С.66-69.

13. Мироненко Н.И. Напряженное состояние полосы с одним или двумя упругоподкрепленными круговыми отверстиями //Изв.АН СССР.МТТ.

1982.JJ6.С.73-80.

14. Мироненко Н.И. Об одной смешанной задаче для полосы //Изв. АН КазССР.Сер.физ.-мат. 1983. Ж. С.26-31.

15. Мироненко Н.И., Еетписов Т.Х. О напряженном состоянии полосы с четырьмя попарно равными или двумя неравными круговыми отверстиями //Сборник "Механика тектонических процессов".Алма-Ата: Наука, 1983. С.166-175.

16. Ержанов Ж.С., Мироненко Н.И. Некоторые задачи для перфорированной полосы //Тезисы докл.на Республ.симпоз. "Концентрация напряжений".ДонГУ.Донецк,1983.С.37-38.

17. Ержанов 2.С., Мироненко Н.И., Нетписов Т.Х. О напряженном состоянии кусочно-однородной плоскости, содержащей полосу с четырьмя круговыми отверстиями //Прикл.механика.I983.Т.19. .'¿5. С.61-67.

■18. Мироненко Н.И. Периодическая задача для полосы, ослабленной криволинейными квадратными отверстиями / Изв.АН КазССР.Сер. физ.-мат. 1983. №5. II е.: ил.Библиогр. 4 назв. Деп.в ВИНИТИ 31.05.1983. №2905-83.

19. Мироненко Н.И., Кетписов Т.Х. Напряженное состояние кусочно-однородной плоскости, содержащей полосу с двумя неравными круговыми отверстиями / Изв. АН КазССР.Сер.физ.-мат. 1983.№5. II е.: ил.Библиогр. 3 назв. Дел. в ВИНИта 07.07.83,№3751-83.

20. Мироненко Н.И. Об одной смешанной задаче для полосы с двумя круговыми отверстиями //Изв.АН СССР.МТТ.1983.Ж5. С.72-79.

21. Мироненко Н.И. Периодическая задача для полосы о эллиптическими отверстиями //Изв.АН КазССР.Сер.физ.-мат. 1984. №1. С.47-50.

22. Мироненко Н.И. Об одной периодической смешанной задаче для полосы //ИМ.1984.Т.48.№3.0.447-453.

23. Мироненко Н.И. Напряженное состояние полосы, симметрично ослабленной квадратным и двумя эллиптическими отверстиями // Изв. АН Азерб.ССР.Сер.ф^з.-тех. и матем.наук. 1984. №3. С.119-123.

24. Мироненко Н.И., Яетписов Т.Х., Туманова М.Е. О напряженном состоянии полосы о круговыми.отверстиями //Теоретическая и прикладная механика. Часть Ш. Тезисы докл. УЩ республиканской межвузовской конференции по математика и ме^шке. Алма-Ата, 1984. С.95.

25. Мироненко Н.И. Периодическая смешанная задача для полосы с отверстиями //Вторая Всесоюзная конференция по теории упругости. Тезисы докладов. Тбилиси,1984.С.188-189.

26. Мироненко Н.И. Напряженное состояние полосы с двумя одинаковыми криволинейными квадратными отверстиями и соответствующая периодическая задача для плоскости //Изв.АН КазССР. Сер.

физ.-мат. 1985. Ж. С.49-52.

27. Ыироненко Н.И. Об одном методе решония основных задач для полосы //Изв.АН КазССР.Сер.фиэ.-мат. 1986. ЖЗ. C.63-6G.

28. Мироненко Н.И. К решению основных периодических задач для полосы //Изв.АН КазССР.Сер.физ.-мат. 1986. ИЗ. С.66-69.

29. Ыироненко Н.И. Напряженное состояние полосы с конечным числом круговых отверстий и соответствующая периодическая задача для плоскости //Изв.АН СССР.МТТ.1986.Л4. С.54-61.

30. Миронбнко Н.И. Периодические задачи для полосы с некруговыми отверстиями и соответствующие периодические и двоякопериоди-ческие задачи для плоскости // Шестой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов.Ташкент, 1986. С.456.

31. Мироненко Н.И. Модифицированный метод Д.И.Шершна //Изв. АН СССР. МТТ. 1987. М. C.I43-I47.

32. Ыироненко Н.И. Периодические и двоякопериодические плоские задачи теории упругости для областей с криволинейными отверстиями //Прикл.механика.1988.Т.24.)&. С.91-97.

33. Ыироненко Н.И. Напряженное состояние полосы и плоскости с круговыми отверстиями / Изв.АН КазССР. Сер .физ.-мат. i960. iSI. 24 о.: ил.Библиогр. 13 назв.Деп.в В1ШТИ 11.07.86, № 5570 - В88.

34. Айталиев Ш.М., Мироненко Н.И.. Туманова U.E. Периодическая задача для плоскости о тремя бесконечными рядаш неравюа круговых отверстий //Изв.АН КазССР. Сер.физ.-мат. 1988.КЗ.С.58-61.

35. Айталиев ¡U.M., Мироненко Н.И., Туманова U.E. Напряженное состояние полосы и плоскости с тремя круговыми отверстиями // Сборник "Прикладные проблемы прочности и пластичности".Горький: Изд-во Горьковск. ун-та,1988. С.15-19.