Решение задач неупругого деформирования конструкций с учетом геометрической нелинейности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО

ТЕЛА.

1.1. Использование тензорного аппарата в механике сплошной среды

1.2. Тензорные величины, характеризующие деформированное состояние твердого тела.

1.3. Практические расчеты с учетом геометрической нелинейности

1.4. Задачи данного исследования.

ГЛАВА 2. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕЛА ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

2.1. Тензоры.

2.2. Полярное разложение тензоров.

2.3. Напряженно-деформированное состояние тела при конечных деформациях.

2.3.1. Напряжения в геометрически нелинейных задачах.

2.3.2. Тензорные величины, характеризующие конечные деформации.

2.3.3. Упругие, пластические и тепловые деформации.

2.3.4. Лабораторная система отсчета.

2.4. Графическая интерпретация тензора деформаций.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ ВОЗМОЖНОСТЕЙ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ НЕКОТОРЫМИ СУЩЕСТВУЮЩИМИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫМИ ПАКЕТАМИ.

3.1. Обзор современных программ конечно-элементного анализа.

3.2. Программа-полигон «ТРЕУГОЛЬНИК».

3.3. Тестирование формул, применяемых в ANS YS.

3.4. Пакет COSMOSM. Нелинейное деформирование конечного элемента.

Рост научно-технического уровня проектирования, появление новых материалов и конструкций требуют совершенствования методов расчета. На различных этапах развития техники применялись прикладные теории и методы расчета, основанные на использовании схематизированных моделей среды и идеализации протекающих в ней процессов. В частности, методы расчетов в механике твердого деформируемого тела до недавнего времени обычно базировались на предположении о том, что деформации являются малыми. Использование этого исходного положения приводило к постановке геометрически линейной задачи, имеющей относительно простое решение. Однако, в ряде актуальных практических задач предположение о малости деформаций не обеспечивает получения корректного решения. Так, учет геометрической нелинейности необходим для описания деформирования конструкций из эластомерных и композитных материалов, для расчета процессов, связанных с большими пластическими деформациями (например, задачи обработки металлов давлением (ОМД)), для исследования процессов деформирования облегченных конструкций: гладких или подкрепленных тонких оболочек, тонколистовых висячих оболочек, пневмонапряженных мягких оболочек и различных амортизирующих устройств из высокоэластичных материалов. Развитие теории и методов расчета таких конструкций стало возможным во многом благодаря развитию вычислительной техники.

Теория конечных деформаций изучалась с самого начала развития механики сплошной среды. Этой теме посвящены работы Ильюшина, Кирхгофа, Новожилова, Ли, Лява, Лурье, Мурнагана, Седова, Синьорини. Однако геометрически нелинейные задачи, как правило, могут быть решены лишь численно и, поэтому, до недавнего времени практическое использование теории конечных деформаций затруднялось большими объемами необходимых расчетов и отсутствием достаточно мощной вычислительной техники. С ростом производительности компьютеров становятся возможными все более сложные, с минимальным количеством вводимых допущений, расчеты. В силу этого, в последние годы появилось значительное количество работ по различным аспектам решения задач с учетом геометрической нелинейности. Это работы таких авторов, как A.A. Адамов, C.B. Бакушев, Э.И. Григолюк, B.JI. Колмогоров, В.А. Крысько, Г.С. Писаренко, Б.Е. Победря, А.А.Роговой, В.И. Шалашилин, К.Ф. Черных, J.H. Argiris, Y.M. Cheng, K.Ch. Le , R.W. Ogden, H. Stumpf и многих других. Одним из наиболее часто используемых методов при численном решении задач механики твердого деформируемого тела является метод конечных элементов (МКЭ). Применению этого метода к геометрически нелинейным задачам посвящены работы таких авторов, как Р. Галлагер, О. Зенкевич, Дж. Оден, Л. Сегерлинд, K.J. Bathe, P.G. Bergan, X. Chen, . Однако, в силу значительной сложности рассматриваемой проблемы, теорию конечных деформаций нельзя назвать законченной. Так, например, в литературе нет общепринятого подхода к вопросу разделения процесса деформирования твердого тела на жесткий поворот, упругую и пластическую деформации. В работах, посвященных практическим расчетам с учетом геометрической нелинейности, как правило, рассматриваются лишь отдельные частные случаи.

В данной диссертации рассматриваются некоторые проблемы, возникающие при отказе от гипотезы малости деформаций. В ней предлагается новый взгляд на напряженно-деформированное состояние тела в условиях конечности деформаций, анализируются существующие методы расчетов и предлагаются новые. Работа направлена на развитие инженерных методов расчета, основанных на минимально возможном количестве допущений и ориентированных на использование вычислительной техники.

Следует отметить, что в последнее время значительное распространение получили расчетные пакеты программ, основанные на методе конечных элементов, которые позволяют решать, среди прочих, геометрически нелинейные задачи. Однако, как будет показано ниже, использование этих пакетов далеко не всегда приводит к корректному решению. При этом относительная легкость их применения и значительная степень закрытости приводят к тому, что пользователи этих пакетов не всегда четко представляют детали производимых расчетов и, как следствие, не всегда могут оценить достоверность полученных результатов. Оценка корректности работы конечноэлементных пакетов является одной из целей данной диссертации.

В первой главе диссертации выполнен критический анализ работ, посвященных теории тензоров, теории конечных деформаций, практических расчетов с учетом геометрической нелинейности. На основании этого анализа сформулированы задачи исследования.

Во второй главе вводится понятие тензора в геометрической интерпретации, описываются особенности описания напряженно-деформированного состояния тела при отказе от гипотезы малости деформаций, предлагается графическая интерпретация деформированного состояния, представляющая собой обобщение круга Мора (для деформаций).

В третьей главе описывается программа-полигон «ТРЕУГОЛЬНИК», позволяющая исследовать закономерности геометрически нелинейного деформирования; производится критический анализ решения геометрически нелинейных задач существующими конечноэлементными пакетами, описываются новые методы конечноэлементных расчетов.

В четвертой главе предлагается методика решения геометрически и физически нелинейных задач методом конечных элементов, описывается программа, реализующая ее, проводится ряд сравнительных модельных численных экспериментов для сопоставления предлагаемой программы с известными конечно-элементными пакетами, а также решается реальная задача деформирования резиновой гусеницы снегоболотоходной машины ТМ-1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе были получены следующие результаты:

1. Для анализа деформированного состояния тела разработан инвариантный тензорный подход, что облегчило запись основных деформационных соотношений механики деформируемого твердого тела.

2. Предложено понятие лабораторной системы отсчета, что позволило корректно записывать уравнения равновесия и осуществлять разложение деформаций на упругую и неупругую составляющие.

3. Предложена графическая интерпретация деформаций и поворотов при отказе от гипотезы малых деформаций (обобщение круга Мора на случай конечных деформаций).

4. Разработана программа ТРЕУГОЛЬНИК, предназначенная для тестирования различных методов расчета конечных деформаций; с помощью этой программы протестирован алгоритм решения геометрически нелинейных задач пакета ANSYS и выявлены случаи, при которых использование этого алгоритма может приводить к ошибочным результатам. Кроме того, при решении тестового примера геометрически нелинейного деформирования конечного элемента в программе COSMOS/M было выявлено нарушение закона сохранения энергии. На основании тестовых примеров были даны рекомендации по использованию этих пакетов в различных ситуациях.

5. Создан метод линеаризации при расчете кинетики неупругого деформирования конструкций при больших деформациях, поворотах, перемещениях. Для реализации этого метода разработана программа на языке MATLAB, с помощью которой проведены расчеты резиновых уширителей трака гусеницы снегоболотоходной машины ТМ-1, причем сопоставление расчетных величин с полученными экспериментально показывает их удовлетворительное соответствие.

1. Адамов A.A. Кручение вязкоупругого цилиндра из несжимаемого материала при конечных деформациях. — В кн.: Напряженно-деформированное состояние и прочность конструкций. — Свердловск, 1982. — С.61-65.

2. Адамов A.A., Дегтярев А.И. Построение математической модели термо-реологически простого материала при конечных деформациях. —В кн.: Динамика и прочность механических систем. Пермь, 1983, с.61-66.

3. Бакушев C.B. К вопросу о замыкающих уравнениях при центрально- и осесимметричном деформировании геометрически нелинейной сплошной среды // Изв. вузов. Стр-во. — 1996.— С. 30-35.

4. Бакушев C.B. Некоторые вопросы центрально- и осесимметричного деформирования геометрически нелинейной сплошной среды. Изв. вузов. Стр-во. — 1996. — № 8. — С. 25-31.

5. Бердичевский B.JL Вариационные принципы механики сплошной среды. — М.: Наука, 1983. — 448 с.

6. Бокаев К.Б. Устойчивость решений нелинейных итерационных систем уравнений // Динам, сплош. среды — 1999. — № 114 —С. 16-20.

7. Бондарь В. Д. Об условиях эллиптичности статических уравнений нелинейной упругости // Прикл. мех. и техн. физ. — 1999. — 40, № 2. — С. 196-203.

8. Васидзу К. Вариационный метод и метод монотонных операторов. — М.: Наука, 1972. —416 с.

9. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. —320 с.

10. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Пер. с англ. — М.: Мир, 1984, — 428с.

11. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения задач по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. — М.: Наука, 1988. — 232 с.

12. Дыченко А. Внутренний мир МКЭ // САПР и графика. — 2000. — № 5. — С. 93-95.

13. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975. — 544 с.

14. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во МГУ, 1971.

15. Карасик М.И., Шалашилин В.И. Об одном шаговом методе решения нелинейных уравнений теории упругости // Прочность конструкций.: Межвузовский научный сборник. — Уфа, 1976. — №1. — С.87-92.

16. Кисиль Р.И., Муха И.Е. Безусловно устойчивые численные схемы для решения задач нелинейного деформирования твердых тел. // Прикл. мех.(Киев). — 1996. — 32, № 6. — С. 66-73.

17. Клигман Т.И. Расчет круглой пластины, учет геометрической нелинейности / ИМСС УрО РАН. — Пермь, 1993.

18. Колмогоров В Л. Краевые задачи обработки давлением, их решение вариационными методами и некоторые математические модели. — Свердловск, Ротапринт ИМАШ УрО АН СССР, 1990.

19. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. — М.: Металлургия, 1986. — 687 с.

20. Колмогоров B.JI. Напряжения. Деформации. Разрушение. — М.: Металлургия, 1970. — 230 с.

21. Колмогоров B.JI., Федотов В.П. Неклассическая задача теории пластического течения и ее решение вариационным методом //В кн.: Пластическое деформирование легких и специальных сплавов. — М.: Металлургия, 1982. — С. 20-27.

22. Колмогоров В.Л., Федотов В.П. О постановке краевой задачи ОМД и ее решении вариационным методом //В сб.: II Всесоюзная конференция «Смешанные задачи механики деформируемого тела». — Днепропетровск, 1981. — С.52-53.

23. Колтунов М.А., Кривчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. — М.: Высш.шк., 1983. -— 349 с.

24. Крысько В.А., Жигалов М.В. Метод решения геометрически нелинейных задач механики твердого деформируемого тела // Тр. 18 Междунар. конф. по теории оболочек и пластин, Саратов, 29 сен. 4 окт., 1997. Т 3

25. Саратов, 1997. — С. 118-122.

26. Лагалли М. Векторное исчисление. — М.-Л.: ОНТИ, 1936.

27. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. — М.: ГИТТЛ, 1954.

28. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1978. — 280 с.

29. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. — 512 с.

30. Лурье А.И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970. — 940 с.

31. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ, 1935.

32. Мак-Конел А.Дж. Введение в тензорный анализ. — М.: Физматгиз, 1963.

33. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. — М.: Мир, 1974318с.

34. Назаров Д. О «достоверности» расчета конструкций методом конечных элементов // САПР и графика. — 2000. — № 7. — С. 23-25.

35. Назаров Д. Обзор современных программ конечно-элементного анализа // САПР и графика. — 2000. — № 2. — С. 52-55.

36. Новожилов B.B. Основы нелинейной теории упругости. — М.: Гостех-издат, 1947.

37. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.1. М.: Мир, 1976. — 464 с.

38. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. — М.: ИЛ, 1963.

39. Роговой A.A. Уравнение состояния и функционал для слабосжимаемых и несжимаемых материалов при конечных деформациях // Механика эластомеров. — Краснодар, 1988. —С. 72-88.

40. Роговой A.A., Кузнецова В.Г. Построение аналитических решений задач с большими деформациями слабосжимаемых материалов// Мат. моде-лир. физ-хим. процессов: Тез. докл. Всерос. конф. мол. ученых, Пермь, сент., 1996. —Пермь, 1996.—Р. 155-175.

41. Роговой A.A., Кузнецова В.Г. Эффект учета слабой сжимаемости материала в упругих задачах с конечными деформациями // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. — 1999. — № 4 — С. 64-77.

42. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — М.:Мир, 1979. —392 с.

43. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. — М.: ГИФМЛ, 1962.284 с.

44. Сокольников И.С. Тензорный анализ. — М.: Наука, 1971.

45. Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов / В.В. Мошев, А.Л. Свистков, O.K. Гар-шин и др.; под ред. В.В. Мошева. — Екатеринбург: типография УрО РАН, 1997. — 506 с.

46. B.JI. Колмогоров. — Екатеринбург, 1998. — 248 с.

47. Цыхановский В.К. К решению сильно-нелинейных задач механики твердого деформируемого тела // Прикл. мех.— Киев — 1999. — 35, № 3. —1. C. 22-26.

48. Шалашилин В.И. и др. Об использовании метода конечных элементов при решении геометрически нелинейных задач // САПР и графика. — 2000. — №4. —С. 26-31.

49. Argiris J.H., Dunne Р.С., Haase М., Orkisz J. Higher-order simplex element for large strain analysis. Natural approach. // Computer Methods in Applied Mechanics. a.Eng., 1978. — vol. 16, N3, pt.1. — P.369-403.

50. Basar Y., Weichert D. A finite rotation theory for elastic-plastic shells under consideration of shear deformation. // ZAMM — 1991. — № 71- — P. 379389.

51. Bathe K.J. and Dvorkin E.N. On the automatic solution of nonlinear finite element equations. // Computer and Structure, vol.17, 1983. — P.871-879.

52. Bazant Zdenek P. Easy-to-compute tensors with symmetric inverse approximating Hencky finite strain and its rate. // Trans. ASME. J. Eng. Mater, and Technol. — 1998. — 120, №2. — P. 131-136.

53. Bergan P.G., Horrimoe G. Incremental variational principle and finite element models for nonlinear problems. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — vol.7, 1976. — P.201-217.

54. Bergan P.G., Horrimoe G., Krakeland B. and Soreide Т.Н. Solution techniques for nonlinear finite element problems. // International Journal for Numerical Methods in Engineer. — vol.12, 1978. — P.1677-1696.

55. Celigoj C.C. An assumed enchanced displacement gradient ring element for finite deformation axisymmetric and torsional problems // Int. J. Numer. Meth. Eng. — 1998. — 43, № 8. — P. 1369-1382.

56. Che Jiun-Shyan, Pan Chunhui. A pressure projection method for nearly incompressible rubber hyperelasticity // Trans. ASME J. Appl. Mech. — 1996. — 63, № 4. — P. 862-876.

57. Chen Mian, Liang Jingwei, Chen Xi, Chen Zhida. On uniqueness, existence and objectivity of S-R decomposition theorem. // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. — 1997. —18, № 9. — P. 817-823.

58. Chen Xian, Nakamura Kazuhiro. Finite element analysis for large deformation frictional contact problems with finite sliding// JSME Int. J. A. — 1999. — 42, № 2. — P. 201-208.

59. Choe Se. Yong. Convergence of nonlinear finite element multigrid algorithm for finite elastic problem // Kwahagon thoungbo = Bull. Acad. Sci. DPR Korea. — 1996. — № 3. — P.4-8.

60. Chroscielevski J., Makovski J., Stumpf H. Genuinely resultant shell finite elements accounting for geometric and material non-linearity. // Int. J. Num. Meth. Engng. — 1992. — № 35. — P. 63-94.

61. Dafalias Y.F. Corotational rates for kinematic hardening at large plastic deformations. // J.Appl.Mech. — 1983. — №50. — P. 561-565.

62. Dahan Noel, Nefussi Lermaine. Ralation entre la rotation polaire et le corotationnel // C. r. Acad. Sci. Ser. 2 Facs. b. — 1998. — 326, №2. — P. 196-203. (p?)

63. Dohrmann G.R., Key S.W., Heinstein M.W., Jung J. A least-squares approach for uniform strain triangular and tetrahedral finite elements. // Int.J.Numer.Meth.Eng. — 1998. — 42, № 7. — P. 1181-1197.

64. Ericksen J.L., Rivlin R.S., Large Elastic deformations of homogeneous anisotropic elastic materials // Journ. Rational Mech. and Anal., v.3, № 3, 1954, P. 281-301.

65. Gescotto S., Fonder C. A finite element approach for large strain of nearly incompressible rubber-like materials // Int. J. Solids Structures. — 1975. — V. 15. —P. 589-605.

66. Green A.E., Zerna W. Theoretical elasticity. — Oxford Univ. Press, 1954.

67. Imai Hideo, Takahashi Susumu. Структура аналитического метода решения осесимметричных задач теории упругости при конечных деформациях. // Nikon kikai gakkai ronbunsku. A = Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. — 1999. — 65, № 636 — P. 162-169.—Яп.

68. Jovancovic V.T., Kazerounian K. Using chaos to obtain global solutions in computational kinematics // Trans. ASME J. Mech. Des. — 1998. — 120, № 2. — P. 299-304.

69. Kouhia Reijo. Techniques for the analysis of non-linear systems. With applications to solid and structural mechanics // Acta polytechn. Scand. Civ. Eng. and Build. Constr. Ser — 1999. — № 116. — P. 1-87.

70. Kvamsdal Trong, Ok Stad, Knut Morten. Error estimation based on superconvergent patch recovery using statically admissible stress fields // Int. J. Numer. Meth. Eng. — 1998. — 42, № 3. — P. 443-472.

71. Lee E.H., Liu D.T. Finite strain elastic plastic theory with application to plane-wave analysis. // J. Appl. Phys. — 1967. — № 38 — P. 19-27.

72. Liao S.-J. Numerically solving nonlinear problems by the homotopy analysis method // Comput. Mech. — 1997. — 20, № 6. — P. 530-540.

73. Liu C.H., Hofstetter G., Mang H,A. 3D finite element analyses of rubber like materials at finite strains// Eng. Comput. — 1994. — 11, № 2. — P. 111-128.

74. Lu Jia, Papadopoulos Panayiotis. On direct determination of the rotation tensor from the deformation gradient // Math, and Mech. Solids. — 1997. — 2,№1.—P. 17-26. (p)

75. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. — John Wiley, Chapman, New York, 1951.

76. Nagtegaal J.C., Parks D.M., Rice J.R. On numerically accurate finite element solutions in the fully plastic range // Compute Meth. Appl. Mech. Eng. — 1974. — № 4. — P. 153-177.

77. Negron-Marrero Pablo V. An analysis of the linearized equations for axisymmetrical deformations of hyperelastic cylinders // Math, and Mech. Solids — 1999. — 4, № 1. — P. 109-133.

78. Nemat-Nasser S. Certain basic issue in finite-deformation continuum plasticity. // Meccanica. — 1990. — № 25/4. — 223-229.

79. Noor A.K., Green W.H. and Hartley S.J. Nonlinear finite element analysis of curved beams. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — vol.12, 1977. — P.289-307.

80. Ogden R.W. Non-linear elastic deformations. — Chichester: Ellis Horwood, 1984. —532 p.

81. Ogden R.W. Recent advances in the phenomenological theory of rubber elasticity. // Rubb. Chem Techn. — 1986. — V. 14. — P. 509-517.

82. Papodopoulos Panyiotis, Taylor Robert L. A generalized Newton method for higher order finite element approximations in non-linear elasticity// Int. J. Numer. Meth. Eng. —1996. —39, № 15 — P. 2635-2646.

83. Paulun J.E., Pecherski R.B. On the relation of the plastic spin. // Arch. Appl. Mech. — 1992. — № 62. — P. 376 -385.

84. Peric D., Owen D.R.J. Finite element applications to the nonlinear mechanics of solids // Repts. Progr. Phys. — 1998. — 61, № 11. — P. 1495-1574.

85. Rivlin R.S. Some topics in finite elasticity, Structural Mechanics.— Pergamon Press, 1960.

86. Schieck B., Stumpf H. Exact formulae of plastic and elastic spin and constitutive model for finite elastoplasticity // Int. J. Solids Structures. — 1994.

87. Signorini A., Questioni di Elastica non linearezzata. — Roma, 1960.

88. Simo J.C. A framework for finite strain elastoplasticity based on the maximum plastic dissipation and multiplicative decomposition. // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng. — 1988. — № 66. — P. 199-219.

89. Stumpf H. Constitutive model and incremental shakedown analysis in finite elastoplasticity//Inelastic behavior of structures under variable loads. — Kluwer academic publishers, 1995. — P. 293-307.

90. Stumpf H., Badur J. On missing links of rate-independent elasto-plasticity at finite strain. // Mech. Res. Comm. — 1990. — № 17. — P. 353-364.

91. Truesdell C. The mechanical foundation of elasticity and fluid dynamics // J. Rational Mech. and Anal., v.l, 1952, P. 125, v.2, № 3, 1953, P. 593-616.

92. Van Der Giessen, E. Micromechanical and thermodynamic aspects of the plastic spin. // Int. J. Plasticity. — 1991. — № 7. — P. 365-386.

93. Wunderlich W. Incremental formulations for geometrically nonlinear problems. Formulation and algorithm in finite element analysis // edited by K.J. Bath, J.T. Oden and W. Wun. — M.I.T. Press, Cambrige, MA, 1977. — P. 193-239.

94. Weber G.G., Lush A.M., Zavaliangos A. An objective time-integration procedure for isotropic rate-independent elastic-plastic constitutive equations. // International journal of plasticity. — vol. 6., 1990. — P. 701-749.

95. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Logarithmic strain, logarithmic spin, logarithmic rate // Acta mech. — 1997. — 124, № 14. — P. 89-105.