Режимы сложной динамики в распределенных системах типа электронный поток - электромагнитная волна с нефиксированной структурой поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

БЛОХИНА Елена Владимировна

РЕЖИМЫ СЛОЖНОЙ ДИНАМИКИ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ ТИПА ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОТОК - ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА С НЕФИКСИРОВАННОЙ СТРУКТУРОЙ ПОЛЯ

01.04.03.- Радиофизика 01.04.04 - Физическая электроника

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2005

Работа выполнена на кафедре нелинейной физики

Саратовского государственного университета им. Н Г Чернышевского

Научный руководитель: член-корр. РАН,

доктор физико-матемашческих наук, профессор

Трубецков Дмитрий Иванович

с г. научный сотрудник Рожнев Андрей Георгиевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий сектором Инстигута прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород Гинзбург Наум Самуилович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой технической физики Саратовского государственного технического университета Кац Альберт Маркович

Ведущая организация: Саратовский филиал Института

радиотехники и электроники РАН

Защита состоится 6 октября 2005 I в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 но специальностям 01.04.03 — радиофизика и 01.04.04 — физическая электроника в Саратовском государс гвенном университете по адресу: Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовскою государственного университета.

Автореферат разослан ^^ ав1уста 2005 г.

Ученый секретарь диссершционною совета, кандидат физ. мат наук, доцен г

Аникин В М.

-з-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Главной 1енденцией развития современной СВЧ-эпектроники остается повышение мощности генерации и продвижение в область более коротких волн, и основные достижения в этом направлении связаны с созданием и совершенствованием релятивистских электронных генераю-ров. Значительная часть этих усгройств (релятивистские оротроны, гиротроны, релятивистские ЛОВ в определенных режимах работы) относятся к классу приборов с нефиксированной структурой поля. Это означает, чю пространственное распределение поля в них не определяется жес1ко свойствами электродинамической системы, а устанавливается в результате взаимодействия ноля с элек-фонным пучком, и, при изменении параметров пучка, распределение поля также изменяется Кроме того, чти приборы работают на часто 1 ах, лежащих вблизи критической час юты (частоты отсечки) рабочей моды электродинамической структуры Малая отстройка частоты генерируемого сигнала от критической обуславливает существенную особенное 1Ь рассматриваемых систем: в них существуют не просто сильные отражения от устройств ввода-вывода энерши, но, более того, величина этих отражений сильно меняется при относительно небольшом изменении частоты сигнала. Это обстоятельство необходимо учи-1ывать при моделировании нестационарных процессов в этих приборах.

Нестационарная теория СВЧ-генераторов и усилителей с нефиксированной структурой поля в основном была построена в 80-х годах 20-го века1'2'3,4. Процессы излучения и рассеяния электромагнитных волн при вводе и выводе энер-т ии в этих работах описывались с помощью граничных условий (ГУ) на концах пространства взаимодействия, однако предложенные типы ГУ не учитывали специфики обычно применяемых в оротроне и гироприборах усгройств вывода рупоров с малым утлом раскрыва Исключение составила работа5, в которой, однако, для учета отражений предлагалось решать уравнения возбуждения в области рупора, тде взаимодействия с пучком нет.

Таким образом, важной представляется проблема постановки граничных условий для электромагнитного поля при формулировке нестационарной теории электронных приборов с нефиксированной структурой поля и дифракционным выводом энергии, позволяющих адекватно описать частотную зависимость коэффициента отражения рабочей моды от рупора с малым углом раскрыва.

Поскольку в приборах, работающих вблизи критической частоты, отражения от выходною устройства оказывают существенное влияние на поведение системы в режимам генерации как одпочастотных, 1ак и многочастотных (в том

1 Кузнецов А II, Кузнецов С П // Изв вузов Радиофизика Т1984 N0 12 -С 1575 " Гинзбург II С , Завопьсьий Н А , Нусинович ГС идр/'Изв вузов Радиофизика 1986 Т 29 № 1 -С 106

Булгакова Л В , Кузнецов С П//Изв вузов Радиофизика 1988 Т №5 —С 612 1 I инзбург Н С Завольский Н А Запевалов В Ь и др // ЖТФ - 2000 - 'Г 70 № 4 - С 99 5 Богданов В В , Кузелев М В Стрелков П и др '/ ЖТ

числе хаотических) сигналов, представляется важным исследование вопроса, к каким именно эффектам приводят эти отражения. В диссертации последовательное рассмотрение данной проблемы проводится на примере гиротрона с нефиксированной структурой поля.

С момента обнаружения и исследования многочастотной и хаотической автомодуляции в ЛОВ, режимы сложной динамики были обнаружены практически во всех электронных СВЧ-генераторах. Если некоторое время назад генерация многочастотного сигнала рассматривалась как паразитное явление, то в настояшее время ведутся целенаправленные экспериментальные и теоретические исследования для получения многочастотных и хаотических сигналов с высоким средним КПД и заданными спектральными свойствами6,7 8,9 Чрезвычайно продуктивным в этих исследованиях оказалось использование понятий, методов и аппарата нелинейной динамики интенсивно развивающегося раздела радиофизики. Речь идет как об использовании общих концепций теории динамического хаоса применительно к распределенным автоколебательным системам (исследование сценариев возникновения хаотических колебаний, структуры аттракторов, универсальности и скейлиша, синхронизации и дру1их явлений), так и о применении математического и численного аппарата, развитого при исследовании динамических систем (одновременное построение и анализ временных реализаций, спектров, бифуркационных диаграмм, автокорелляци-онных функций, спектров показателей Ляпунова и т.д.). Использование всего этого инструментария позволило доказать динамическую природу генерируемого в СВЧ-генераторах хаотического сигнала и исследовав возможные сценарии возникновения хаошческих колебаний.

Хотя существование хаотических режимов в гиротроне с нефиксированной структурой поля было обнаружено уже в первых работах по нестационарной теории этих приборов и затем неоднократно отмечалось многими авторами, детальное изучение механизмов возникновения и эволюции таких режимов в гиротронах до настоящего времени не проводилось. Поэтому можно считать, что исследование режимов сложной динамики, в частности изучение сценариев возникновения хаотических колебаний в гиротроне с нефиксированной структурой поля, методами теории динамического хаоса является актуальной задачей радиофизики.

Теория взаимодействия электронного потока с элекгрома! нитным полем вблизи границы полосы пропускания имеет важное практическое приложение к другому типу приборов СВЧ-электроники, а именно, к проблеме разрабо!-ки широкополосных спиральных ЛЕВ. Известно, что нарушение симмефии в конструкции таких ламп может приводить к связи нулевой пространственной

6 Коровин С Д , Месяц ГА , Ростов В В и др // Письма в Ж1Ф - 2002 - Т 28 № 2 С 81

7 Rozental R М , 7aitsev N I, Kulagin IS et al // 1FFF Trans PS 2004 Vol 32 № 2 - P 418

8 Рыскин H M , Титов В H , Трубецков Д И // ДАН - 1998 - Т 358 № 5 С 62

9 Дмитриев Б С , Жарков Ю Д , Кижаева К К и др // ЖТФ - 2003 - Г 73 № 7 С 104

гармоники прямой волны и (-])-й гармоники встречной волны, что проявлявши в обраювании узкой полосы непропускания в дисперсионной характеристике системы Связь между этими гармониками за счет распределенного взаимо-дейстия, а также за счет сильных отражений от концов пространства взаимодействия, которые возникают из-за близости рабочей частоты к граничным частотам полосы непропускания, приводит к угрозе возникновения паразитных колебаний в ЛБВ-усилителе. Построение теории, которая могла бы описать данный механизм паразитной генерации, является важной задачей физической электроники, позволяющей, в перспективе, предложи 1ь методы борьбы с этим явлением. Отметим, что и в данном случае речь идет о системе с нефиксированной струкгурой поля, и взаимодействие осуществляется вблизи границы полосы пропускания.

Укашнные причины позволяют считать тему диссертационной работы актуальной задачей радиофизики и физической электроники.

Целью диссертации является построение нестационарной теории электронных СВЧ-генераторов с нефиксированной структурой поля (па примере ги-ротрона), в которой будут адекватно учтены отражения от выходного рупора с малым углом раскрыва, а также исследование механизма паразитного самовозбуждения колебаний в широкополосных спиральных ЛЕВ вблизи частоты разрыва дисперсионной характеристики. Для достижения поставленной цели в работе решены следующие основные задачи:

1 Исследована проблема носшновки граничных условий в нестационарной теории электронных СВЧ-приборов с дифракционным выводом энергии.

2. Изучено влияние отражений от выходного рупора гиротрона с нефиксированной структурой поля на режимы стационарных линейных и нелинейных колебаний" выяснены механизмы самовозбуждения колебаний в гиротроне, исследовано влияние отражений от выходною рупора на эффективность генерации в нелинейном режиме, а также па возможность существования жесткою возбуждения колебаний.

3. Разработаны алгоритмы и программы для численного моделирования нестационарного взаимодействия винтового электронного потока с электромагнитным нолем вблизи критической частоты и нестационарными нелокальными во времени граничными условиями.

4. Дуально и ¡учена каргина сложной динамики в гиротроне с учетом отражений, исследованы сценарии перехода к хаотической динамике.

5 Получена система уравнений, описывающая в линейном приближении взаимодействие элскфонною потока с полями синхронных пучку пространственных гармоник прямой и встречной волн в условиях разрыва дисперсионной характеристики спиральной замедляющей системы вблизи частоты 7Г-вида и с учетом различной поперечной структуры полей этих волн.

Научная новизна результатов раб01Ы состоит в следующем 1 Предложено два новых типа нелокальных во времени нестационарных гра-

ничных условий (для узкополосного сигнала, спектр которого лежит вблизи критической частоты, и для широкополосного сигнала), применимых для описания процессов отражения электромагнитных волн в устройствах ввода-вывода энергии в виде рупора с малым углом раскрыва.

2 Установлено, что в гиротроне с нефиксированной структурой поля самовозбуждение колебаний может происходить в соответствии с двумя механизмами-резонансным, когда частота собственной моды близка к критической и существуют сильные отражения о г выходного рупора, и самовозбуждение за счет взаимодейсгвия электронного потока со встречной волной. Эти механизмы возбуждения колебаний являются общими для всех СВЧ-устройств, в которых взаимодействие пучка с полем происходит на частотах, близких к критической частоте электродинамической структуры.

3. Найдены области реализации различных режимов (стационарных колебаний, автомодуляции, хаотических колебаний) на плоскости параметров рассинхро-низм - ток пучка для гиротрона. Показано, что в гиротроне с нефиксированной структурой поля существуют два механизма возникновения автомодуляции — амшшгудный и частотный.

4. Обнаружено, что в гиротроне переход к хаосу происходит в соответствии с двумя сценариями — через последовательность бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодического движения. Установлено, что появление хаотических режимов при больших параметрах рассинхронизма связано с влиянием отражений от выходного рупора гиротрона.

5. Проведено исследование показателей Ляпунова динамических режимов в гиротроне. Показано, чю при различных значениях параметров могут наблюдаться хаотические режимы как с одним, так и с двумя и более положительными показателями Ляпунова; установлено, что хаотическим колебаниям в гирогропе с нефиксированной структурой поля соответствуют в фазовом просхранстве аттракторы с аномально высоко размерностью Ляпунова.

6. Проведено исследование влияния разрыва дисперсионной характеристики вблизи частоты 7г-вида в спиральной ЛБВ. Показано, что учет разрыва приводит к качественным различиям в стартовых условиях паразитных колебаний в отличии от аналогичных зависимостей, полученных при учете механизма самовозбуждения на обратной пространственной гармонике.

Положения и результаты, выносимые на защиту.

1 Предложенные в диссертации нестационарные нелокальные во времени граничные условия позволяют корректно описывать процессы излучения и рассеяния электромагнитных волн в электронных СВЧ приборах с дифракционным выводом энергии в виде рупора с малым углом раскрыва В случае генерации или усиления сигнала с узким спектром, лежащим вблизи критической частоты рабочей моды, коэффициент отражения от рупора является универсальной функцией частоты, которая зависит от единственного безразмерного параметра, содержащею данные о геометрии системы и значение критической частоты

2 Отражения электромагнитных волн от выходного рупора в гиротроне с нефиксированной структурой поля приводят к существенному изменению динамики системы в режиме генерации одночастотнот о сигнала. Влияние отражений про являеюя' в появлении зонной структуры на зависимостях стартового тока от параметра рассинхронизма; в существенном (до двух раз) уменьшении стартового тока генерации в центрах зон; в появлении широкого диапазона значений параметра рассинхронизма, при которых наблюдаются режимы жесткого самовозбуждения колебаний, в уменьшении максимального достижимого значения поперечного 'электронного КПД взаимодействия

3 В гиротроне с нефиксированной структурой поля реализуются два механизма вошикновения и эволюции сложных режимов При малых по абсолютной величине значениях параметра рассинхронизма наблюдается амплитудный механизм возникновения авгомодуляции и, при дальнейшем увеличении тока пучка, каскад бифуркаций удвоения на базе основной моды распределенного резонатора, завершающийся возникновением хаотических колебаний При больших положительных значениях параметра рассинхронизма реализуется частотный механизм, когда авюмодуляция обусловлена нелинейным взаимодействием двух мод резона)ора. Хаотическая динамика возникает в этом случае по сценарию разрушения квазипериодического движения.

4. Аномально высокое значение размерности Ляпунова хаотических аттракторов, наблюдаемых в распределенных резонансных электронных СВЧ генераторах, обусловлено существованием в системе большого числа высокодобротных собственных мод, слабо взаимодействующих с электронным потоком.

Научная и практическая значимость работы. Результаты исследования нестационарных процессов и сценариев перехода к хаосу в гиротроне с учетом отражений от выходного рупора способствуют пониманию основных закономерностей возникновения и эволюции нестационарных режимов в распределенных автоколебательных системах электронно-волновой природы. Предложенные в работе методы, разработанные алгоршмы и программы для расчета стартовых условий, стационарных нелинейных колебаний и режимов хаотической динамики могут, при незначительной модификации, использоваться для моделирования нестационарных процессов в различных типах электронных СВЧ-генерагоров с нефиксированной структурой поля и дифракционным выводом энергии. Понимание новых механизмов возникновения паразитной генерации в широкополосных ЛБВ способствует созданию приборов этого класса с улучшенными характеристиками. Программа расчета паразитного самовозбуждения ЛБВ вблизи частоты 7г-вида в условиях разрыва дисперсионной характеристики может быть использована при конефуировании спиральных ЛБВ.

Результаты исследований, представленные в диссертационной работе, использовались при выполнении работ, поддержанных фантами 01ШР (№КЕС-006), РФФИ (№02-02-17317, №03-02-16192, №05-02-16931), ФЦП "Интеграция" (№А0057), программой Минпромнауки РФ поддержки ведущих научных школ (НШ-1250 2003 2), а также при выполнении г/б НИР "Тор" в НИИ Есте-

ственных наук Саратовского госуниверситета.

Достоверность результатов подтверждается использованием хорошо апробированных методов и численных схем, воспроизводимостью всех численных экспериментов, соответствием результатов, полученных аналитическими методами с результатами прямого численного моделирования уравнений Максвелла, хорошим совпадением результатов, полученных разными численными методами, а также соответствием части полученных результатов с данными, известными в литературе.

Апробация работы и публикации Результаты, представленные в работе, докладывались на объединенных научных семинарах кафедры нелинейной физики СГУ, кафедры электроники, колебаний и волн СГУ и базовой кафедры динамических систем, семинарах НОЦ "Нелинейная динамика и биофизика" СГУ, ежегодных школах-конференциях "Нелинейные дни для молодых в Саратове" (1999-2002 г.г.) а также на международных и всероссийских научных конференциях: XI Зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике, Саратов, 1999 г., The 5-th IEEE Saratov-Penza workshop on CAD and Numerical Methods in Applied Electrodynamics and Electronics, Saratov, Russia, 2000, V-я Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, Ст.-Петербург, 2001 г., VIII Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах", Красновидово, 2002 г., X International Workshop and School "Non-linear Dynamics and Complex Systems", Minsk, 2002, ХП Зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике, Саратов, 2003 г, IX Всероссийская школа-семинар "Физика и применение микроволн", Звенигород, 2003 г., The Fourth ШЕЕ International Vacuum Electronics Conference (IVEC 2003), Seoul, Korea, 2003, Международная научно-техническая конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов, 2004 г., Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2005), Hangzhou, China, 2005.

По материалам диссертации опубликовано 18 работ, из них 2 статьи в реферируемых журналах, 12 статей в трудах конференций, 4 тезиса докладов.

Личный вклад соискателя заключается в участии совместно с научными руководителями в постановке задач, анализе и интерпретации полученных результатов. Соискагелсм лично разработаны численные схемы, реализованы компьютерные программы и проведены все численные эксперименты.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Работа содержит 200 страниц текста, включая 86 рисунков и графиков, 3 таблицы и список литерагуры из 116 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, указаны ее цели, научная новизна, практическая значимость и сформулированы положения, выносимые на защиту

Первая глава посвящена проблеме посшновки 1раничных условий для электромагнишого поля в теории электронных приборов с нефиксированной Сфуктурой поля В разделе 1 1 обосновывается важность этой задачи, в частности отмечается, что ГУ должны правильно моделировать частотную зависи-моаь коэффициента отражения Г(^) вблизи критической час юты .

В разделе 1 2 обсуждаются ГУ, предложенные к насюящему времени, указаны модели, используемые для их вывода, а также пояснены условия их применимости к задаче описания взаимодействия в рассматриваемых приборах.

В разделах 1.3 и 1.4 предложены два новых типа граничных условий для моделирования систем, у коюрых вывод энергии осуществляется через рупор с малым углом раскрыва ?/>. Такие устройства ввода-вывода энергии характерны, в частости, для релятивистских черепковских генераторов и гироприборов (гиротронов, I иро-ЛОВ, гиро-ЛБВ и т.д.).

В разделе 1 3 рассматривается случай нестационарного сигнала с узкой полосой спектра и ГУ формулируются для комплексной амплитуды высокоча-сютного поля Вывод граничных условий производится в два этапа. Сначала решается задача о распросфапении волны в рупоре на фиксированной частоте. Для этою осущес шляется сшивание точною аналитическою решения эталонного уравнения, описывающего эволюцию ноля вблизи плоскости вывода шергии, с приближенным ВКБ-решением, справедливым в той области рупора, где поле может быть представлено в виде волны, убегающей 01 плоскости вывода с медленно меняющимися амплитудой и фазовой скоростью. Полученное решение позволяет сформулировать ГУ в "частотной области", то есть для одной спектральной компоненты сигнала. На втором этапе производится обратное преобразование Фурье над граничными условиями в частотной области В результате для комплексной амплитуды сигнала получаются нестационарные граничные условия следующего вида:

дх

ь

где

оо — тс

Здесь А1(х) - функция Эйри, яг() — (2 1ап?/'^'п/(<лЛц))1^3, ф — угол раскрыва рупора, /?0 — радиус волновода, с — скорость света, Ь длина системы. Модучь и фаза функции С(т) показаны на рис 1 сплошными линями, пунктирными тинями отмечены аналогичные зависимости для ядра в ин игральных граничных условиях "идеального согласования", предложенных в работе2 (их

]<з«1

Агв(С(0)

!П

А1В|Г|

4.0

3.0

00

20

1 О

12.4 12.8 13 2 13 6 /, ГГц

160

180

140

120

100

0 0 1.0 2.0 3.0 4.0

Рис. 1

Рис. 2

обсуждение проведено в разделе 1.1 первой главы). Наиболее существенным различием между двумя типами ГУ состоит в том, что, как следует из полученных в работе асимптотических оценок, функция С(т) экспоненциально спадает с характерным масштабом времени Дт = 2сио/(с2Хо), в то время, как для ГУ "идеального согласования" аналогичная функция уменьшается как \j\ft. Такое поведение связано с сильной дисперсией волновых пакетов в области рупора, если их центральная частота близка к частоте отсечки. Экспоненциальное спадание функции С(т) в граничных условиях позволяет построить эффективный численный алгоритм для моделирования нестационарных процессов в электронных СВЧ-приборах с выводом энергии в виде рупора с малым углом раскрыва. Этот алгоритм описан в Приложении.

В рассматриваемом приближении хго является единственным параметром, определяющим всю частотную зависимость комплексного коэффициента отражения собственной волны в волноводе о г рупора вблизи критической частоты Тип (ТЕ или ГМ), а также номер моды оказываются несущественными.

Далее в разделе 1.3 показано, что ГУ (1), (2) в типичном случае могут быть приведены к более простому виду

который по форме совпадает с ГУ "окна прозрачности"10, но параметр х0 = — (0.6313 — ¿0.3645)^<о является в этом случае комплексным Использование ГУ в форме (3) чрезвычайно удобно, поскольку оно сохраняет свой простой вид и при нестационарном моделировании.

В ряде случаев условия узкого спектра, сосредоточенного близи частоты отсечки нарушаются (в частности, это относится к плазменным генераторам и усилителям), поэтому в разделе 1.4 предложен аналог граничных условий (1), (2) для сигналов с произвольной шириной спектра. Метод вывода аналогичен

(3)

10 Кузнецов А П // Электронная техника Сер 1 Электроника СВЧ —1984 №7 — С 3

методу, использованному в предыдущем разделе, в результате снова получаются нестационарные нелокальные во времени ГУ, причем ядро подинтегрально-го выражения вновь экспоненциально спадает со временем. Показано, что при уменьшении угла раскрыва рупора до нуля полученные ГУ переходят в известные ранее граничные условия".

В разделе 1.5 представлены результаты трехмерного численного моделирования методом Р'БТО отражения собственных волн круглого волновода от рупора с малым углом раскрыва. Расчет проводился для первых 9 мод круглого волновода и уыов раскрыва 3 и 5°. Пример расчета для рупора с углом раскрыва V = 5° приведен на рис. 2. На нем показаны зависимости модуля |Г| и фазы ащ(Г) коэффициента отражения от частоты для моды ТЕп. Различные линии соответствуют расчету с ГУ, задаваемыми уравнением (1) ( кривая 1), ГУ для широкополосного сигнала (кривая 2) и результатам трехмерною моделирования (кривая 3). В целом, аналитические результаты показывают хорошее количественное совпадение с численными данными.

В разделе 1.6 сформулированы основные выводы первой главы.

Во второй главе исследуется влияние отражений от выходного рупора на стационарные режимы в гиротроне с нефиксированной С1уктурой ноля. В разделе 2.1 рассмотрена общая постановка нестационарной нелинейной теории гиротрона, приведены уравнения возбуждения электромагнитного поля, уравнения движения электронов, начальные и 1раничные условия для поля и поперечных импульсов в безразмерном виде. Нестационарные нелинейные уравнения I иротрона имеют вид2

2тг

| + *а + и»-1) = 4р. <0

О

Здесь Р(х,Ь) комплексная амплитуда поля, р(х,(ро) — безразмерный поперечный импульс электронов, х и £ — безразмерные координата и время, /о — параметр тока пучка, Д — параметр рассинхронизма, определяющий отстройку циклотронной частоты от критической. Условия для поперечных импульсов на входе пространства взаимодействия имеют вид р(х = 0) = ехр(г<ро), Щ 6 € [0, 2тг]. Начальное условие для поля задается в виде произвольного распределения /'(./;, 0) = £о(х), поле во входной плоскости волновода можно считать с хорошей точностью равным нулю: ^(0. /.) — 0. Учет отражений от выходного рупора в теории производится постановкой соответствующих ГУ — "расширяющегося рупора" (1), (2) или "окна прозрачности" (3).

В разделах 2.2 и 2 3 приведены уравнения линейной теории и получено соотношение, определяющее условия самовозбуждения колебаний в системе На

11 Бобычев Ю В , Кузелев М В , Рухадзе А А , Свешников А Г// Физика плазмы 1999 — Т 25, № 7 С 618

Рис 3 Рис 4

основе уравнений линейной теории в разделе 2.4 проведен численный анализ стартовых условий для различных типов ГУ. Расчет стартовых условий в случае граничных условий (1) (сплошные линии) и (3) (пунктирные линии) на правом конце системы представлен на рис. 3. Каждая линия на зависимости /о(Л) соответствует условию возбуждения одной из линейных мод системы, при одном и том же значении Д существует бесконечное число мод. При изменении параметра рассинхронизма Д распределение поля вдоль длины системы в старювом режиме плавно перестраивается между распределениями, соответствующими различным модам "холодной" электродинамической структуры, демонстрируя нефиксированную структуру поля.

В разделе 2.5 проведено исследование собственных частот линейных мод системы электронный поток - электромагнитное поле в распределенном резонаторе гиротрона. Показано, что в системе существуют два вида собственных линейных мод Моды одной группы эффективно взаимодействует с электронным потоком, с увеличением парамефа тока /о мнимая часть собственной частоты П" у этих мод существенно меняется, они могут либо возбуждаться (если П" становится меньше нуля), либо бысфо затухать за счет эффективной перекачки энер! ии от поля к пучку. Для мод второй группы величина П" слабо меняется при изменении юка пучка. Эти моды демонстрирую! отсутсшие взаимодействия между пучком и полем, они не оказывают влияния на формирование структуры поля в системе в нелинейных и нестационарных режимах, однако, как показано в главе 3, их наличие вносит вклад в определение некоторых "тонких" характеристик хаотических режимов колебаний. Установлено, что в зависимости от типа граничных условий на выходе пространс1ва взаимодействия, эта группа мод может бъпь относительно "высокодобротпой" (для ГУ "окна прозрачности" ) или "низкодобротной" (для ГУ рупора).

Раздел 2.6 посвящен исследованию стационарных нелинейных режимов в гиро троне. На плоскости параметров (Д. /0) рассчитаны линии равных КПД, найдены области жесткого самовозбуждения колебаний (рис. 4). Область генерации ограничена снизу справа сплошной линией -- зависимостью старюпого тога от параметра рассинхронизма по линейной теории и пунктирной линией —

определяющей область жесткого возбуждения колебаний Показано, что если отражения от рупора не учитывать, используя, например, при моделировании ГУ "идеального согласования", то область жесткого возбуждения колебаний оказывается очень малой, так что с практической точки зрения можно считать, что в этом случае жесткого самовозбуждения нет Таким образом установлено, что существование режимов жесткого самовозбуждения в гиротроне связано с отражениями от выходного рупора.

В разделе 2.7 формулируются основные результаты 2-й главы.

Третья глава посвящена исследованию нестационарных режимов в гиротроне. В разделе 3.1 обсуждается актуальность исследования режимов в автомодуляции и хаоса в гироприборах, дается краткий обзор работ по данной теме и приводятся данные о параметрах системы и численной схемы, используемых в данной главе при моделировании.

В разделе 3.2 исследуется общая картина областей режимов сложной динамики (под режимами сложной динамики понимается периодическая, квазипериодическая и хаотическая автомодуляция) на плоскости параметров рассин-хронизма (Д) и тока пучка (Ту) (рис. 5). В данном разделе при расчетах используются ГУ "окна прозрачности" в выходной плоскости. Пунктирными линиями на плоскости нанесены зависимости стартовых токов линейных мод системы, сплошными линиями ограничены области режимов сложной динамики (буквами отмечены А области периодической и квазипериодической автомодуляции, С — области хаотической автомодуляции). Вне этих областей носле сложного переходного процесса устанавливаются стационарные периодические колебания.

В работе показано, что в I иротроне с нефиксированной структурой поля существуют два механизма возникновения авгомодуляции: амплитудный и часто ный. В области малых значений параметра рассинхронизма взаимодействие электронного потока происходит преимущественно со встречной волной в распределенном резонаторе, при этом реализуется амплитудный механизм ав-юмодуляции, связанный с перегруппировкой электронного пучка. При больших положительных значениях Д пучок эффективно взаимодействует одновременно с несколькими резонансными модами системы, при этом реализуется частотный механизм автомодуляции, связанный с конкуренцией этих мод.

Также в этом разделе с помощью нестационарного моделирования исследуются режимы жесткого самовозбуждения колебаний, конкуренции и кооперации мод в процессе установления колебаний.

I о

10

10 -

10""

-1 о

-0 5

о

Рис. 5

> | ■ I |

05

Т~1

Д

Раздсл 3 3 посвящен исследованию сценариев перехода от периодических режимов к хаотическим. Здесь также используются ГУ "окна прозрачности" Обнаружены два сценария перехода к хаосу в исследуемой системе — через последовательность бифуркаций удвоения периода (при малых значениях пара-ме!ра рассинхронизма Д) и через разрушение квазипериодического движения (при больших положи1сльных Д). В работе приведены примеры временных реализаций, фазовые портреты и часютные спектры, характерные для обоих этих сценариев.

Моделирование нестационарных колебаний с использованием ГУ "расширяющегося рупора" проводится в разделе 3.4. Полученные здесь резулыаты качественно, а в целом ряде случаев и коли чес шенно согласуются с результатами разделов 3 2 и 3.3, чю подтверждаеI возможность использования для нестационарного моделирования простых граничных условий (3). В данном разделе также проведено сравнение с результатами моделирования процессов в гиро-троне с использованием ГУ "идеальною согласования", полученными другими авторами1213 Отметим, что обширная область автомодулянии и хаотических режимов при больших положительных значениях парамефа Д в работах'2,13 не наблюдалась, откуда следует вывод, что наличие режимов сложной динамики в этой области параметров в гиротроне связано именно с отражениями от выходного рупора.

В разделе 3 5 проведены исследования характеристических показателей Ляпунова для динамических режимов, реализующихся в гиротроне Вычисление спектра показателей Ляпунова основано на обобщенном алгоритме Бенепи-на, адаптированном для распределенных систем14 Показано, что в гиротроне могут существовать режимы с двумя и более положительными показателями Ляпунова (гиперхаос) Если известно достаточное количество характеристических показаюяей Л,, то можно оцепить ляпуновскую размерность аттрактора

(тп

лI

1=1 т

что <т„, — Л, > 0, но п.гп 1 < 0. Вычисленная таким образом величина дает

г— 1

хорошую оценку фрактальной размерности аттрактора хаотическою режима. Проведена оценка размерности в режиме "гиперхаоса" (т.е. режима, апракюр которого характеризуется более чем одним положительным показателем Ляпунова) На рис 6 показана зависимость суммы <т„ от номера показателя п Оценка размерности по формуле Каплана-Йорке дает I) те 40.7. Полученное высокое значение размерности аттрактора хаотического режима связано с тем, что, как отмечено во второй главе, в рассматриваемой системе существует большое число относительно высокодобротных собственных мод, для которых электро-

12 Airila М I , Dumbrajs О et al //Physics of Plasmas - 2001 - Vol 8, № 10 P 4608

1 f Amla M I , Kill P // ILFt Trans on MTT - 2004 Vol 52, № 2 P 522

14 Кушсцов С П , Трубсцков Д И // Изв вузов Радиофизика - 2004 Т 47, № 5 С 1

J /¡Лт+]|. где 77? такое число,

Рис 6

30-

20 -

1 о

-1-1-1-1-1-1-1—I

-20 0 -10 0 0.0 10 0 Ф

Рис. 7

магнитное поле слабо связано с электронным потоком. При появлении в системе случайных малых флуктуаций при движении вблизи аттрактора, эти моды служат дополнительными каналами диссипации энергии, поэтому каждая такая мода приводи 1 к появлению в спектре показателей Ляпунова значения, величина которого должна быть примерно равна мнимой часги собственной частоты линейной моды. Приведенные в разделе 3.5 данные сопоставления характеристических показателей и мнимых частей частот собственных мод системы подтверждают это предположение.

В разделе 3,6 сформулированы основные результаты третьей главы.

В четвертой главе рассматривается задача о самовозбуждении паразитных колебаний в широкополосных спиральных ЛЕВ В разделе 4.1 отмечаются актуальность проблемы и указываются некоторые из известных механизмов генерации побочных колебаний в ЛЕВ Основной механизм самовозбуждения, исследованию которою уделено внимание в этой главе, связан с возможностью одновременного эффективного взаимодействия электронного потока как с прямой волной, так и со встречной волной на частоте тг-вида (частоте синхронизма основной пространственной гармоники прямой волны и (-1)-ой гармоники встреч ной волны). При этом за счет распределенной связи между волнами (например, из-за нарушения симметрии в расположении диэлектрических опор) в дисперсионной характсрисшке сжпемы появляется разрыв вблизи частоты 7г-вида, и гакая система начинает демонстрировать свойства распределенного резонатора15,16.

В разделе 4 2 методом теории слабо связанных волн получены уравнения, описывающие самовозбуждение колебаний в спиральной ЛЕВ в случае разрыва дисперсионной харак!ерисшки. При выводе была y4iena ортогональная дру! другу поперечная структура полей синхронных пучку гармоник прямой и вс!речной волн Эю значит, чю в линейном режиме юк, возбуждаемый в электронном пучке одной из этих волн, может, в свою очередь, в возбудить только

15 fiyiuyoi! Н Л // Труди 5 ю рабочею семинара IFFF Saratov-Penza Chapter — Саршов ГосУНЦ

"Колледж", 2001 — С 9 If' Antonscn 1 М Safier Р // ITIFF Trans on PS - 2002 - Vol 30, № 3 - P 1089

породившуго'" его волну, гак как для второй волны распределение продольной компоненты поля по поперечному сечению ортотопально распределению тока Полученные уравнения в безразмерных переменных имеют вид

dFi dF2

+ ülFi +ieF2 = — ixh

iSlF\ — te'Fi — h ,

Ж

d

г9

-гв

+ Я2

ixFi ,

h = iF2 .

(5)

Здесь г — комплексные амплитуды гармоник поля, 12 ~~ амплитуды сгруппированного тока, (Л = (л — шо )/(С'Реуд) — безразмерная отстройка час юты от частоты 7г-вида, в —(/?<. - ро)/(0(С) параметр рассинхронизма, — фуп-повая скорооь прямой волны в точке синхронизма гармоник, г/у 2 — параметры пространственного заряда, параметр х определяется через сопротивления связи К\у2 прямой и встречной волн на частоте синхронизма' я — \/Щ1С]/]Щк1, ,2 — волновые числа гармоник, ^'о и /?ц — час юта и волновое число в точке синхронизма, С — параметр Пирса, определенный по сопротивлению связи (-1)-й 1армоники, - — безразмерный параметр связи между прямой и встречной волнами, возникающей за счет нарушения симмефии ¡амедляюгдей стурктуры.

Уравнения (5) дополняются граничными условиями для поля и тока

-Pi(O) = 0 F2(L) = RFy(L),

ад - о, /2(0) =0,

(6)

где R -- коэффициент офажения от правого ко[1ца области взаимодействия. Решение краевой задачи (5), (6) определяет сортовые значения безразмерной длины Lst и частоты генерации Osl.

В разделе 4.3 приведены результаты численного расчета ciap-говых условий в виде зависимостей Ьь1{Ф) и Ф) (Ф = (ßo — ße)l, 1 ~~ размерная длина системы), которые по смыслу представляют собой зависимости стартовою тока и частоты паразитных колебаний от ускоряющею напряжения. Расчеты проводились при фиксированном значении параметров vq/oe — 0.95, gi = 92 = 0 01, параметры ж, s и R варьировались На рис. 7 приведена зависимость Lst(Ф) при R — 0.2, к = 1 и различных значениях £ = 05, 1.0, 2.0, пунктиром приведена линия стартовою тока с учеюм механизма самовозбуждения на обратной гармонике всфечной волны (механизм ЛОВ). Показано, чю в зависимости 01 величины безразмерного параметра связи е можно выделить два механизма возникновения паразитной операции. При слабой связи между волнами (|ej^0 5) механизм самовозбуждения аналошчен механизму самовозбуждения в JIOB Небочьшое отличие состоит в том, что когда стартовая частота генерации лежит в области непропускания замедляющей системы, значение стартовою тока

уведичивастся При г| >05 самовозбуждение происходит за счет взаимодействия пучка с прямой волной. При этом распределенное взаимодействие между прямой и встречной волнами обеспечивает механизм обратной связи в системе. Пусковой ток оказывается при этом значительно меньше, чем токи самовозбуждения системы при взаимодействии с обратной гармоникой. Например, для данных, приведенных на рис 7, минимум стартового тока примерно в 2 3 раза меньше, чем ток, рассчитанный по теории ЛОВ.

В разделе 4.4 сформулированы основные результаты четвертой главы.

В Приложении приведена численная схема решения уравнений нестационарной теории I иротрона с нефиксированной структурой поля (4) с граничными условиями "расширяющегося рупора" (1) и "окна прозрачности" (3). Рассмотрены тестовые примеры, которые показывают, чю результаты расчетов по нестационарной программе согласуются с результатами линейной и стационарной нелинейной теорий

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

Основные результаты и выводы

1. Предложено два новых тина нелокальных нестационарных граничных условий, применимых для описания процессов отражения электромагнитных волн в устройствах ввода-вывода энергии в виде рупора с малым углом раскрыва. Первый вариант граничных условий применим для случая узкополосного сигнала, спектр которого лежит вблизи критической частоты электродинамической структуры. Второй вариант граничных условий применим для случая широкополосною сигнала. Показано, что нелокальность граничных условий во времени обусловлена сильной дисперсией в выходном устройстве для частотных компонент сигнала, близких к критической частоте рабочей моды.

2. Проведено сравнение коэффициентов отражения, рассчитанных с использованием предложенных граничных условий в случае узкополосното и широкополосною сигнала, с данными, полученными при трехмерном численном моделировании методом РОТО электродинамической системы, представляющей собой однородный волновод, переходящий в расширяющийся рупор, и получено хорошее количественное соответствие между результатами этих расчетов.

3 Проведен численный анализ стартовых условий для различных типов граничных условий Показано, что использование приближенных ГУ типа "окна прозрачности" позволяет получать хорошее количественное совпадение результатов для стартовых токов и пусковых частот с данными, полученными более точным методом.

4 Показано, что учет отражений от выходною рупора приводит к появлению режимов жесткого возбуждения колебаний При типичных значениях параметров прибора максимальное значение КПД достигается при таких токах, для которых по типейной теории генерация колебаний еще не наступает

*5 Показано, что в гиротроне с нефиксированной структурой поля существуют дна механизма возникновения автомодуляции амплитудный и частотный.

С этими механизмами связаны два сценария перехода к хаотическим колебаниям — через последовательность бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодического движения Установлено, что появление хаотических режимов при больших параметрах рассинхронизма связано с влиянием отражений от выходного рупора гиротрона, если их не учитывать, то в этой области параметров автомодуляционные и хаотические режимы не наблюдаются

6. Проведено исследование характеристических показателей Ляпунова динамических режимов в гиротроне. Показано, что в этой системе могут наблюдайся хаотические режимы как с одним, 1ак и с двумя и более положительными показателями (1иперхаос). Установлено, что хаотическим колебаниям, реализующимся в гиротроне с нефиксированной структурой поля, соо1ветствуют в фазовом прос[ранете апракторы с аномально высокой размерностью Ляпунова. Это явление обусловлено наличием в системе электронный поток - электромагнитное поле распределенного резонаюра большого числа относительно высокодоброшых мод, для которых характерно слабое взаимодействие между пучком и полем.

7. Получена сисгема уравнений, описывающая линейное взаимодействие прямолинейного электронного потока с полями пространственных гармоник прямой и встречной воли в условиях рафыва дисперсионной хараю ерис гики замедляющей системы вблизи частоты 7г-вида. В уравнениях линейной теории произведен учет различной поперечной структуры полей этих волн.

8. Показано, что учег разрыва дисперсионной характеристики системы приводит к качественным различиям в пусковых зависимостях самовозбуждения паразитных колебаний, в отличии от аналогичных зависимостей, полученных при учете механизма самовозбуждения на обратной пространственной гармонике Показано, что значения пусковых токов возбуждения побочных колебаний могут различаться более чем в два раза от токов, вычисленных с помощью теории ЛОВ.

Список публикаций но теме диссертации

1 Блохина Е.В. Теория I иротрона с нефиксированной структурой поля и отражениями на концах пространства взаимодействия // Материалы научн. школы-конф "Нелинейные дни в Саратове для молодых-1999". Сараюв ГосУНЦ "Колледж". С 95-98

2. Рожнев А.1 , Блохииа Е.В Нестационарные фаничные условия для теории гиротрона // Тезисы докладов XI Межд зимней школы по СВЧ электронике и радиофишке 1999 г. Саратов- ГосУНЦ "Колледж" С. 53-55

3. Блохина Е В Нестационарные граничные условия для моделирования дифракционного излучения широкополосных импульсов // Материалы школы-конф "Нелинейные дни в Саратове для молодых-2000". 2000 г Саратов: ГосУНЦ "Колледж" С 39-43

4 Блохина Е.В Нестационарная теория 1 иротрона с нефиксированной структурой поля и дифракционным выводом энергии // Материалы школы-конф "Нелинейные дни в Саратове для молодых-200 Г' 2001 г. Саратов ГосУНЦ "Колледж" С 70-73 5. Блохина Е В. Сложные режимы динамики в гиротроне с нефиксированной структурой поля // Тезисы докладов V Всероссийской научн конф студентов-радиофизиков

СI -Петербург Изд-во СПбГТУ. 2001 г С 13-15

6 Blokhina Г V Ro/hnev Л G Nonstationary Boundary Conditions for Computer Simulation of the Vacuum and Plasma Devices with Diffraction Energy output // Proc of the 5th 11- EE Saratov-Penza Workshop on CAD and Numerical Methods m Applied Electrodynamics and Electronics Saratov 2001 P 16-20.

7 Блохина E В , Рожнев А Г Сложные режимы динамики в гиротроне с нефиксированной структурой по 1я // Труды VIII Всеросс школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах". М- ООП Физ ф-га Ml У 2002. С 14-15.

8 Блохина Е В Сложная динамика в гиротроне с нефиксированной структурой поля // Материалы школы-конф "Нелинейные дни в Саратове для молодых-2002' 2002 г Саратов ГосУНЦ "Колледж" С. 30-33.

9 Блохина Е В , Рожнев А Г Сложная динамика i иротрона с нефиксированной структурой поля // Материалы XII Зимней школы-семинара по СВЧ электронике и радиофизике 2003 Сараюв: ГосУНЦ "Коллежд" С 37-38

10 Блохина Е В , Рожнев А Г. Влияние отражений от выходного рупора на динамику i иротрона // Труды IX Всеросс школы-семинара "Физика и применение микроволн" М.. ООП Физ ф-та МГУ. 2003. С 15-16.

11. Blokhina Е V., Rozhncv A.G Nonstationary Boundary Conditions for Computer Simulation of the Vacuum and Plasma Devices with Diffraction Energy Output // Proc of the Fourth IFFE International Vacuum Electronics Conference (IVfcC 2003) May 28-30 2003 Seoul Korea. P 116-117

12 Blokhina E.V, Rozhncv A.G Complex Dynamics of Gyrotrons with Non-Fixed Field Structure // Proc of the Fourth IEEE International Vacuum Electronics Conference (IVLC2003) May 28-30. 2003 Seoul. Korea. P 168-169.

13 Blokhina E V, Rozhnev AG Selfexcitation of Wideband Traveling Wave Tube near 7Г point under Conditions of Presence the Stopband in System Dispersion // Fifth IEEE International Vacuum Electronics Conference (IVEC 2004) April 27-29 2004 Monterey С A. USA Technical Digest P. 126-127.

14 Кузнецов А П , Кузнецов С П., Рожнев А I , Блохина Е В , Булгакова JI В Волновая теория ЛЕВ вблизи границы полосы пропускания // Изв. вузов. Радиофизика. 2004 Т. 47, №5-6. С 399-418

1 5 Блохина Г В , Рожнев А Г Влияние отражений от выходного рупора на динамику гирофона II Радиотехника и элеюроника 2004 Т 49, №11 С 1390-1396

16 Блохина F В , Рожнев А Г. Самовозбуждение широкополосных спиральных ЛБВ в условиях разрыва дисперсионной характеристики вблизи часто 1Ы тг-вида // Материалы межл научно-тсхн конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения" Саратов. СГТУ 2004. С 76-81

17 Blokhina Е V, Rozhnev AG. Investigation of "Hyperchaos" m Gyrotron // Proceedings of Sixth International Vacuum Electronics Conference IVEC 2005. 20-22 April. Noordwijk. The Netherlands Pp 133-134.

IX Blokhina E.V, Rozhnev A G , Kuznetsov S P The High Dimension of Chaotic Attractors in Gyrotron with Non-Fixed Field Structure // Progress in Electromagnetics Research Symposium (PILRS 2005) 22-26 August. 2005 Hangzhou China

4 5"-Ь ? О РНБ Русский фонд

2006-4 11726

Блохина Елена Владимировна

( I

РЕЖИМЫ СЛОЖНОЙ ДИНАМИКИ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ ТИПА ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОТОК - ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА С НЕФИКСИРОВАННОЙ СТРУКТУРОЙ ПОЛЯ

Автореферат

Ответственный за выпуск — к ф.-м.н., ст. научн. coip. Соколов Д.В.

Подписано к печати 18.07.05. Формат 60x84 1/16 Печать трафаретная Бумага "Снегурочка" Гарнитура Times. Усл. печ. л. 1.16(1.25). Уч-изд. л. 1 1. Тираж 100 экз. Заказ № 363. ЛР №020773 от 15.05.98.

РИО Редакция журнала "Известия вузов. ПНД" 410012, Саратов, Астраханская, 83. Тел.: (8452) 523864

Содержание

Введение

Глава 1. Проблема граничных условий для электромагнитного поля в теории электронных приборов с нефиксированной структурой поля

1.1. Введение.

1.2. Обзор существовавших ранее типов граничных условий

1.3. Нестационарные граничные условия для рупора с малым углом раскрыва

1.4. Нестационарные граничные условия для широкополосного сигнала.

1.5. Трехмерное численное моделирование отражения собственных волн круглого волновода от рупора с малым углом раскрыва.

3.2. Картина областей режимов сложной динамики на плоскости параметров ( граничные условия "окна прозрачности") 105

3.3. Особенности перехода к хаотической динамике (граничные условия "окна прозрачности") .118

3.4. Картина областей режимов сложной динамики на плоскости параметров ( граничные условия "расширяющегося рупора") .127

3.5. Исследования характеристических ляпуновских показателей динамических режимов в гиротроне.132

3.6. Основные выводы 3-ей главы .149

Глава 4. Самовозбуждение колебаний в распределенной системе типа электронный поток — связанные прямая и встречная электромагнитная волна 151

4.1. Введение.151

4.2. Уравнения линейной теории самовозбуждения паразитных колебаний в ЛБВ с учетом разрыва дисперсионной характеристики вблизи частоты 7г-вида.155

4.3. Условия самовозбуждения ЛБВ с учетом разрыва дисперсионной характеристики .161

4.4. Основные выводы 4-ой главы.168

Заключение 174

Приложение 178

Литература 186

Введение

Главной тенденцией развития современной СВЧ-электроники остается повышение мощности генерации и продвижение в область более коротких волн. Это связано с использованием мощного коротковолнового излучения для нагрева плазмы в установках термоядерного синтеза, термической обработки материалов, передачи энергии на большие расстояния, радиоспектроскопии, радиолокации и связи, а также в других приложениях. Основные достижения в этом направлении связаны с созданием и совершенствованием релятивистских электронных генераторов, особенно в миллиметровом и субмиллиметровом диапазоне длин волн [1]. К ним относятся релятивистские ЛОВ, релятивистские оротроны, лазеры на свободных электронах, гиротроны и другие типы мазеров на циклотронном резонансе. Часть перечисленных устройств (релятивистские оротроны, гиротроны, релятивистские JIOB в определенных режимах работы) относятся к классу приборов с нефиксированной структурой поля. Это означает, что пространственное распределение поля в них не определяется жестко свойствами электродинамической системы, а устанавливается в результате взаимодействия поля с электронным пучком, и при изменении параметров пучка распределение поля также изменяется. Более того, принципиальной особенностью этих приборов является то, что они работают на частотах, лежащих вблизи критической частоты (частоты отсечки) рабочей моды электродинамической структуры. Из-за этого групповая скорость электромагнитных волн в системе мала, и перенос энергии вдоль нее осуществляется главным образом за счет дифракционного расплывания волновых пакетов. Малая отстройка частоты генерируемого сигнала от критической приводит к еще одной важной особенности рассматриваемых систем. В них существуют не просто сильные отражения от устройств ввода-вывода энергии на концах пространства взаимодействия, но, более того, величина этих отражений сильно меняется при относительно небольшом изменении частоты сигнала. Это обстоятельство необходимо учитывать при формулировке самосогласованных уравнений, описывающих нестационарные процессы в приборах, работающих вблизи критической частоты.

Нестационарная теория генераторов и усилителей с нефиксированной структурой поля была построена в 80-х годах прошлого века [2-9]. Процессы излучения и рассеяния электромагнитных волн при вводе и выводе энергии в этих работах описывались с помощью граничных условий на концах пространства взаимодействия, однако предложенные типы граничных условий не учитывали специфики обычно применяемых для вывода излучения в оротроне и гироприборах устройств — рупоров с малым углом раскрыва. Исключение составила работа [4], в которой, однако, для учета отражений предлагалось решать уравнения для электромагнитного поля не только в пространстве взаимодействия, но и в области рупора, где взаимодействия практически нет. Кроме того, результаты, получаемые в рамках этого подхода, в значительной степени привязаны к конкретной геометрии рупора, что ограничивает их общность. При других подходах отражения непосредственно от рупора либо не учитывались [3,9], либо использовались граничные условия, хорошо описывающие соответствующие процессы в приборах типа ЛБВ с цепочкой связанных резонаторов [2,6-8], но мало пригодные для описания генераторов с дифракционным выводом энергии.

Таким образом, важной представляется проблема постановки граничных условий для электромагнитного поля при формулировке нестационарной теории электронных приборов с нефиксированной структурой поля и дифракционным выводом энергии, позволяющих адекватно описать частотную зависимость коэффициента отражения рабочей моды от рупора с малым углом раскрыва.

Как уже сказано, в приборах, работающих вблизи критической частоты электродинамической структуры, отражения от выходного устройства оказывают существенное влияние на поведение системы в режимам генерации как одночастотных, так и многочастотных сигналов, включая хаотические колебания со сплошным спектром. В связи с этим представляется важным исследование вопроса, за какие именно особенности работы этих устройств ответственны отражения. В диссертации последовательное рассмотрение этой проблемы проводится на примере гиротрона с нефиксированной структурой поля.

Если некоторое время назад генерация многочастотного сигнала в электронных СВЧ-генераторах рассматривалась как паразитное явление [1014], то в настоящее время ведутся целенаправленные исследования, как экспериментальные, так и теоретические, с целью получения многочастотных и хаотических сигналов с высоким средним КПД и необходимыми спектральными свойствами [9,15,16]. Аналогичные исследования проводятся и для приборов нерелятивистской электроники, таких, как классическая ЛОВ, генераторы с запаздывающей обратной связью на основе ЛБВ и клистронного усилителя, а также для ряда других систем [17-20]. I

Впервые автомодуляция в электронном СВЧ-генераторе была теоретически предсказана [21], а затем экспериментально и теоретически исследована в конце 70-х годов 20-го века [22]. С тех пор режимы сложной динамики были обнаружены практически во всех перечисленных выше СВЧ-генераторах. Сейчас надежно установлено, что при определенном выборе параметров и постепенном увеличении тока пучка в этих устройствах могут реализовываться одночастотные, многочастотные и хаотические колебания. Чрезвычайно продуктивным для теоретического исследования этих явлений оказалось использование понятий, методов и аппарата нелинейной динамики [23-25] — науки, являющейся одной из наиболее интенсивно развивающихся разделов радиофизики. Речь идет как об использовании общих концепций теории динамического хаоса применительно к распределенным автоколебательным системам (исследование сценариев возникновения хаотических колебаний, структуры аттракторов, универсальности и скейлинга, синхронизации и других явлений), так и о применении математического и численного аппарата, развитого при исследовании динамических систем (одновременное построение и анализ временных реализаций, спектров, бифуркационных диаграмм, ав-токорелляционных функций, спектров показателей Ляпунова и т.д.). Использование всего этого инструментария позволило не только доказать динамическую природу генерируемого в электронных СВЧ-генераторах хаотического сигнала, но и исследовать возможные сценарии возникновения хаотических колебаний. Для ЛОВ тщательные изучение этих явлений было проведено в [17] и ряде других работ. Данные о существовании хаотических колебаний в ЛБВ с запаздывающей обратной связью были впервые опубликованы в [26-29], затем этот тип СВЧ-генератора был подробно исследован в [30-33]. Нестационарная динамика электронных генераторов со встречной (обратной) электромагнитной волной рассматривалась многими авторами, обзор этих работ можно найти в [34]. Проводилось экспериментальное и теоретическое исследование генерации сложных сигналов в клистронных генераторах с запаздывающей обратной связью [20]. Были изучены также некоторые "тонкие" эффекты, такие, как режимы гиперхаоса в ЛОВ [35], различные типы синхронизации в виркаторах и гирогенераторах на встречной волне (см. гл. 7 в книге [36]).

В то же время необходимо отметить, что хотя существование хаотических режимов в гиротроне с нефиксированной структурой поля было обнаружено уже в первых теоретических работах по нестационарной теории этих приборов [3,5], и затем неоднократно отмечалось во многих исследованиях, детальное изучение механизмов возникновения и эволюции режимов сложной динамики в гиротронах до настоящего времени не проводилось. Поэтому можно считать, что исследование режимов сложной динамики, в частности изучение сценариев возникновения хаотических колебаний в гиротроне с нефиксированной структурой поля методами теории динамического хаоса является актуальной задачей радиофизики.

Теория взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем вблизи критической частоты (или, как еще говорят, вблизи границы полосы пропускания) имеет важное практическое приложение к другому типу приборов СВЧ-электроники, а именно, к проблеме разработки широкополосных спиральных ЛБВ-усилителей. Известно, что нарушение симметрии в конструкции таких ламп может приводить к связи нулевой пространственной гармоники прямой волны и (-1)-й пространственной гармоники встречной волны, что проявляется в образовании узкой полосы непропускания в дисперсионной характеристике системы. Сильная связь между прямой и встречной волнами за счет распределенного взаимодействия, а также за счет сильных отражений от концов пространства взаимодействия, которые возникают из-за близости рабочей частоты к граничным частотам полосы непропускания, приводит к угрозе возникновения паразитных колебаний в ЛБВ-усилителе. Построение теории, которая могла бы описать данный механизм паразитной генерации, является важной задачей, позволяющей, в перспективе, предложить методы борьбы с этим явлением. Отметим, что указанная задача имеет много общего с вопросами, обсуждаемыми выше, так как и в данном случае речь идет о системе с нефиксированной структурой поля, и взаимодействие осуществляется вблизи границы полосы пропускания.

Указанные причины позволяют считать тему диссертационной работы актуальной задачей радиофизики и физической электроники.

Целью диссертационной работы является построение нестационарной теории электронных СВЧ-генераторов с нефиксированной структурой поля (на примере гиротрона), в которой будут адекватно учтены отражения от выходного рупора, а также исследование механизма паразитного самовозбуждения колебаний в широкополосных спиральных ЛБВ вблизи частоты разрыва дисперсионной характеристики. Для достижения поставленной цели в работе решены следующие основные задачи:

1. Исследована проблема постановки граничных условий в нестационарной теории электронных СВЧ-приборов с дифракционным выводом энергии.

2. Изучено влияние отражений от выходного рупора гиротрона с нефиксированной структурой поля на режимы стационарных линейных и нелинейных колебаний: выяснены механизмы самовозбуждения колебаний в гиротроне, исследовано влияние отражений от выходного рупора на эффективность генерации в нелинейном режиме, а также на возможность существования жесткого возбуждения колебаний.

3. Разработаны алгоритмы и программы для численного моделирования нестационарного взаимодействия винтового электронного потока с электромагнитным полем вблизи критической частоты и нестационарными нелокальными во времени граничными условиями.

4. Детально изучена картина сложной динамики в гиротроне с учетом отражений, исследованы сценарии перехода к хаотической динамике.

5. Получена система уравнений, описывающая в линейном приближении взаимодействие электронного потока с полями синхронных пучку пространственных гармоник прямой и встречной волн в условиях разрыва дисперсионной характеристики спиральной замедляющей системы вблизи частоты 7г-вида и с учетом различной поперечной структуры полей этих волн.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем: 1. Предложено два новых типа нелокальных во времени нестационарных граничных условий (для узкополосного сигнала, спектр которого лежит вблизи критической частоты, и для широкополосного сигнала), применимых для описания процессов отражения электромагнитных волн в устройствах ввода-вывода энергии в виде рупора с малым углом раскрыва.

2. Установлено, что в гиротроне с нефиксированной структурой поля самовозбуждение колебаний может происходить в соответствии с двумя механизмами: резонансным, когда частота собственной моды близка к критической и существуют сильные отражения от выходного рупора, и самовозбуждение за счет взаимодействия электронного потока со встречной волной. Эти механизмы возбуждения колебаний являются общими для всех СВЧ-устройств, в которых взаимодействие пучка с полем происходит на частотах, близких к критической частоте электродинамической структуры.

3. Найдены области реализации различных режимов (стационарных колебаний, автомодуляции, хаотических колебаний) на плоскости параметров рассинхронизм - ток пучка для гиротрона. Показано, что в гиротроне с нефиксированной структурой поля существуют два механизма возникновения автомодуляции — амплитудный и частотный.

4. Обнаружено, что в гиротроне переход к хаосу происходит в соответствии с двумя сценариями — через последовательность бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодического движения. Установлено, что появление хаотических режимов при больших параметрах рассинхронизма связано с влиянием отражений от выходного рупора гиротрона.

5. Проведено исследование показателей Ляпунова динамических режимов в гиротроне. Показано, что при различных значениях параметров могут наблюдаться хаотические режимы как с одним, так и с двумя и более положительными показателями Ляпунова; установлено, что хаотическим колебаниям в гиротроне с нефиксированной структурой поля соответствуют в фазовом пространстве аттракторы с аномально высокой размерностью Ляпунова.

6. Проведено исследование влияния разрыва дисперсионной характеристики вблизи частоты 7г-вида в спиральной ЛБВ. Показано, что учет разрыва приводит к качественным различиям в стартовых условиях паразитных колебаний в отличии от аналогичных зависимостей, полученных при учете механизма самовозбуждения на обратной пространственной гармонике.

Положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Предложенные в диссертации нестационарные нелокальные во времени граничные условия позволяют корректно описывать процессы излучения и рассеяния электромагнитных волн в электронных СВЧ приборах с дифракционным выводом энергии в виде рупора с малым углом раскрыва. В случае генерации или усиления сигнала с узким спектром, лежащим вблизи критической частоты рабочей моды, коэффициент отражения от рупора является универсальной функцией частоты, которая зависит от единственного безразмерного параметра, содержащего данные о геометрии системы и значение критической частоты.

2. Отражения электромагнитных волн от выходного рупора в гиротроне с нефиксированной структурой поля приводят к существенному изменению динамики системы в режиме генерации одночастотного сигнала. Влияние отражений проявляется: в появлении зонной структуры на зависимостях стартового тока от параметра рассинхронизма; в существенном (до двух раз) уменьшении стартового тока генерации в центрах зон; в появлении широкого диапазона значений параметра рассинхронизма, при которых наблюдаются режимы жесткого самовозбуждения колебаний; в уменьшении максимального достижимого значения поперечного электронного КПД взаимодействия.

3.В гиротроне с нефиксированной структурой поля реализуются два механизма возникновения и эволюции сложных режимов. При малых по абсолютной величине значениях параметра рассинхронизма наблюдается амплитудный механизм возникновения автомодуляции и, при дальнейшем увеличении тока пучка, каскад бифуркаций удвоения на базе основной моды распределенного резонатора, завершающийся возникновением хаотических колебаний. При больших положительных значениях параметра рассинхронизма реализуется частотный механизм, когда автомодуляция обусловлена нелинейным взаимодействием двух мод резонатора. Хаотическая динамика возникает в этом случае по сценарию разрушения квазипериодического движения.

4. Аномально высокое значение размерности Ляпунова хаотических аттракторов, наблюдаемых в распределенных резонансных электронных СВЧ генераторах, обусловлено существованием в системе большого числа высокодобротных собственных мод, слабо взаимодействующих с электронным потоком.

Научная и практическая значимость работы. Результаты исследования нестационарных процессов и сценариев перехода к хаосу в гиро-троне с учетом отражений от выходного рупора способствуют пониманию основных закономерностей возникновения и эволюции нестационарных режимов в распределенных автоколебательных системах электронно-волновой природы. Предложенные в работе методы, разработанные алгоритмы и программы для расчета стартовых условий, стационарных нелинейных колебаний и режимов хаотической динамики могут, при незначительной модификации, использоваться для моделирования нестационарных процессов в различных типах электронных СВЧ-генераторов с нефиксированной структурой поля и дифракционным выводом энергии. Понимание новых механизмов возникновения паразитной генерации в ЛБВ-усилителях способствует созданию приборов этого класса с улучшенными характеристиками. Программа расчета паразитного самовозбуждения ЛБВ вблизи частоты 7г — вида в условиях разрыва дисперсионной характеристики может быть использована при конструировании широкополосных спиральных ЛБВ.

Результаты, представленные а диссертационной работе, использовались при выполнении работ, поддержанных грантами CRDF (№REC-006), РФФИ (№02-02-17317, № 03-02-16192, № 05-02-16931), ФЦП "Интеграция" (№ А0057), программой Минпромнауки РФ поддержки ведущих научных школ (НШ-1250.2003.2), а также при выполнении г/б НИР "Тор" в НИИ "Естественных наук" Саратовского госуниверситета.

Достоверность результатов подтверждается использованием хорошо апробированных методов и численных схем, воспроизводимостью всех численных экспериментов, соответствием результатов, полученных аналитическими методами, с результатами прямого численного моделирования уравнений Максвелла, выполнением необходимых предельных переходов в аналитических соотношениях, хорошим совпадением между собой результатов, полученных разными численными методами, а также соответствием части полученных результатов данным, известным в литературе.

Апробация работы и публикации. Результаты, представленные в работе, докладывались на научных семинарах кафедры нелинейной физики СГУ, кафедры электроники, колебаний и волн СГУ, базовой кафедры динамических систем СГУ, семинарах НОЦ "Нелинейная динамика и биофизика" СГУ, ежегодных школах-конференциях "Нелинейные дни для молодых в Саратове" (1999-2002 г.) а также на международных и всероссийских научных конференциях:

1. XI Зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике, Саратов, 1999 г.,

2. The 5-th IEEE Saratov-Penza workshop on CAD and Numerical Methods in Applied Electrodynamics and Electronics, Saratov, Russia, 2000.

3.У-я Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, Санкт-Петербург, 2001 г.

4. VIII Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах", Красновидово, Московская область, 2002 г.

5.Х International Workshop and School "Non-linear Dynamics and Complex Systems", Minsk, 2002.

6. XII Зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике, Саратов, 2003 г.

7. IX Всероссийская школа-семинар "Физика и применение микроволн", Звенигород, Московская область, 2003 г.

8. The Fourth IEEE International Vacuum Electronics Conference (IVEC 2003), Seoul, Korea, 2003.

9. Международная научно-техническая конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (АПЭП 2004), Саратов, 2004 г.

10. Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2005), Hangzhou, China, 2005.

По материалам диссертации опубликовано 18 работ, из которых 2 статьи в реферируемых журналах, 12 статей в сборниках трудов конференций, 4 тезиса докладов.

Личный вклад автора заключается в участии совместно с научными руководителями в постановке задач, анализе и интерпретации полученных результатов. Соискателем лично разработаны численные схемы, реализованы компьютерные программы и проведены все численные эксперименты.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Работа содержит 200 страниц текста, включая 86 рисунков и графиков, 3 таблицы и список литературы из 116 наименований.

4.4. Основные выводы 4-ой главы

1. Получена система уравнений, описывающая линейное взаимодействие прямолинейного электронного потока с полями пространственных гармоник прямой и встречной волн в условиях разрыва дисперсионной характеристики замедляющей системы вблизи частоты 7г-вида в широкополосных спиральных ЛБВ. В уравнениях линейной теории произведен учет различной поперечной структуры полей этих волн.

4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50

Z,st

•У я ii I • i! h •

I A* Ф

-.—i—i—|—i—i—i—|

-20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00

8-00 QL

4.00 -0.00 --4.00 --8.00 a

-12.00

St

-1—I—I—I—I—I—I—I Ф

-20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00 б

6=0.0----- 10-----

0.5 - 2.0. а

-20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00 б

8=0.0----- "1°-----

-0.5 - -2.0.

4.00 3.503.002.502.00

1.50.

Jst Ф

-20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00

8.00—1 4.000.00-4.00-8.00

-12.00 а ф

I I—|—I—| I | ^

-20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00

0.0 0.5

1.02.0

-20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00 а

8=0.0----- "10-----

-0.5 - -2.0.

2. Установлено, что учет разрыва дисперсионной характеристики системы приводит к качественным различиям в пусковых зависимостях самовозбуждения паразитных колебаний в ЛБВ в отличии от аналогичных зависимостей, полученных при учете механизма самовозбуждения на обратной пространственной гармонике.

3. Показано, что зависимости пусковых токов возбуждения побочных колебаний может различаться более чем в два раза от токов, вычисленных с помощью теории ЛОВ.

Заключение

В диссертационной работе развиты методы исследования режимов сложной динамики в электронных СВЧ-усилителях и генераторах с нефиксированной структурой поля. Особое внимание уделялось исследованию нестационарных процессов в гиротроне с дифракционным выводом энергии с учетом отражений от выходного рупора и изучению механизма паразитной генерации в широкополосной спиральной ЛБВ вблизи частоты 7г-вида. Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Предложено два новых типа нелокальных нестационарных граничных условий, применимых для описания процессов отражения электромагнитных волн в устройствах ввода-вывода энергии в виде рупора с малым углом раскрыва. Первый вариант граничных условий применим для случая узкополосного сигнала, спектр которого лежит вблизи критической частоты электродинамической структуры. Второй вариант граничных условий применим для случая широкополосного сигнала. Показано, что нелокальность граничных условий во времени обусловлена сильной дисперсией в выходном устройстве для частотных компонент сигнала, близких к критической частоте рабочей моды.

2. Проведено сравнение коэффициентов отражения, посчитанных для предложенных граничных условий в случае узкополосного и широкополосного сигнала, с расчетом коэффициентов отражения, полученных при трехмерном моделировании электродинамической системы, представляющей собой однородный волновод, переходящий в расширяющийся рупор.

3. Проведен численный анализ стартовых условий для различных типов граничных условий. Установлено, что в гиротроне с нефиксированной структурой поля самовозбуждение колебаний может происходить в соответствии с двумя механизмами: резонансным механизмом, когда частота собственной моды близка к критической и существуют сильные отражения от выходного рупора, формирующие фиксированную структуру поля, и самовозбуждение за счет взаимодействия электронного потока со встречной волной. Эти механизмы возбуждения колебаний являются общими для всех электронных устройств, в которых взаимодействие пучка с полем происходит на частотах, близких к критической частоте электродинамической структуры.

4. Установлено, что в системе существуют два вида собственных линейных мод. Моды одной группы эффективно взаимодействует с электронным потоком и возбуждаются в системе при увеличении тока пучка. Для другой же группы мод условия взаимодействия не являются благоприятными, и их самовозбуждение не наступает. Вторая группа мод хотя и не оказывает влияние на формирование структуры поля в системе, но вносит вклад в определение характеристик динамических режимов. Показано, что в зависимости от типа граничных условий на выходе пространства взаимодействия, эта группа мод, слабовзаимодействующих с пучком, может быть относительно "высокодобротной" (для граничных условий "окна прозрачности" ) или "низкодобротной" (для граничных условий "расширяющегося рупора").

5. Исследовано влияние отражений на стационарную генерацию в гиротроне. Установлено, что отражения от рупора приводят в появлению обширной области на плоскости параметров, в которой колебания в гиротроне возбуждаются жестким образом.

6. Проведено исследование динамики гиротрона с помощью нестационарной теории с учетом отражений. Показано, что существуют два механизма возникновения автомодуляции: амплитудный и частотный. Амплитудный механизм автомодуляции связан с перегруппировкой электронного пучка, а частотный механизм связан с возможностью одновременного возбуждения нескольких резонансных мод системы. В соответствии с этими механизмами в гиротроне с нефиксированной структурой поля реализуются два сценария перехода к хаотической автомодуляции — через последовательность бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодического движения.

7. Исследованы характеристические показатели Ляпунова динамических режимов в гиротроне. Показано, что при различных значениях параметров могут наблюдаться хаотические режимы как с одним, так и с двумя и более положительными показателями Ляпунова. В последнем случае реализуются режимы гиперхаоса, характеризующиеся относительно широким шумоподобным спектром и сложным видом зависимости амплитуды колебаний от времени.

8. Установлено, что хаотическим колебаниям, реализующимся в гиротроне с нефиксированной структурой поля, соответствуют в фазовом пространстве аттракторы с аномально высоко размерностью Ляпунова. Причиной этого является наличие в распределенной системе большого числа относительно высокодобротных мод колебаний, время затухания которых одного порядка, и для них электромагнитное поле в системе слабо связано с электронным пучком. Время релаксации произвольного малого возмущения, случайно возникшего в системе на фоне основных колебаний, по порядку величины совпадает с этим временем затухания, что обуславливает появления в спектре показателей Ляпунова большого числа малых по абсолютной величине отрицательных показателей.

9. Получена система уравнений, описывающая линейное взаимодействие прямолинейного электронного потока с полями пространственных гармоник прямой и встречной волн в условиях разрыва дисперсионной характеристики замедляющей системы вблизи частоты 7г-вида. В уравнениях линейной теории произведен учет различной поперечной структуры полей этих волн.

10. Показано, что учет разрыва дисперсионной характеристики системы приводит к качественным различиям в пусковых зависимостях самовозбуждения паразитных колебаний в отличии от аналогичных зависимостей, полученных при учете механизма самовозбуждения на обратной пространственной гармонике. Зависимости пусковых токов возбуждения побочных колебаний может различаться более чем в два раза от токов, вычисленных с помощью теории ЛОВ.

1. Братман В. Л. Релятивистские электронные приборы миллиметрового диапазона длин волн // Изв. Вузов. Радиофизика. — 2003. — Т. 46, № 10.-С. 859-873.

2. Кузнецов А. П., Кузнецов С. 77. Нелинейные нестационарные уравнения взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем вблизи границы зоны Бриллюэна // Изв. вузов. Радиофизика. — 1984. Т. 27, № 12. - С. 1575-1583.

3. Установление колебаний в электронных СВЧ генераторах с дифракционным выводом излучения / Н. С. Гинзбург, Н. А. Завольский, Г. С. Нусинович, А. С. Сергеев // Изв. вузов. Радиофизика. — 1986. — Т. 29, № 1.-С. 106-114.

4. Нестационарная теория релятивистского гиротрона с нефиксированной продольной структурой ВЧ поля / В. В. Богданов, М. В. Кузелев, П. С. Стрелков, А. Г. Шкварунец // ЖТФ. 1986. - Т. 56. - С. 2387.

5. Гинзбург Н. С., Завольский 77. А., Нусинович Г. С. Динамика гиро-тронов с нефиксированной продольной структурой высокочастотного поля // Радиотехника и электроника.— 1987.— Т. 32, № 5,— С. 1031-1039.

6. Нестационарные процессы в оротроне с дифракционным выводом излучения / Н. С. Гинзбург, Н. А. Завольский, В. Е. Запевалов и др. // ЖТФ. 2000. - Т. 70, № 4. - С. 99-105.

7. Петелин М. И. Самовозбуждение колебаний в гиротроне // Гиротрон. Сб. научных трудов. — Горький: Институт прикладной физики АН СССР, 1981.-С. 5-25.

8. Побочные колебания в электронных приборах СВЧ / О. В. Бецкий, К. И. Палатов, М. Б. Цейтлин, Ю. Д. Ильин.— Москва: Радио и связь, 1984.-С. 360.11.

9. Petelin М. I. Mode selection in high power microwave sources // IEEE Transactions on ED. 2001. - Vol. 48, no. 1. - Pp. 129-133.

10. Высокоэффективная генерация импульсов субнаносекундной длительности в релятивистской лов миллиметрового диапазона длин волн / С. Д. Коровин, Г. А. Месяц, В. В. Ростов и др. // Письма в ЖТФ. 2002. - Т. 28, № 2. - С. 81-89.

11. Nonstationaty Processes in an X-Band Relativistic Gyrotron With Delayed Feedback / R. M. Rozental, N. I. Zaitsev, I. S. Kulagin et al. // IEEE Transactions on Plasma Science. — 2004. — Vol. 32, no. 2. — P. 418.

12. Рыскин H. M., Титов В. H., Трубецков Д. И. Детали перехода к хаосу в системе электронный поток — обратная электромагнитная волна // ДАН. 1998. - Т. 358, № 5. - С. 62-623.

13. Сложная динамика электронных приборов свч (нелинейная нестационарная теория с позиций нелинейной динамики) / Д. И. Трубецков, В. Г. Анфиногентов, Н. М. Рыскин и др. // Радиотехника. — 1999. — №4. —С. 61-68.

14. Управление сложными колебаниями в распределенных системах свч электроники / Д. И. Трубецков, И. С. Ремпен, Н. М. Рыскин и др. //

15. Радиотехника. 2003. - № 2. - С. 24-34.

16. Сложная динамика многорезонаторных клистронных автогенераторов с запаздывающей обратной связью / Б. С. Дмитриев, Ю. Д. Жарков, К. К. Кижаева и др. // ЖТФ. 2003. - Т. 73, № 7. - С. 105-110.

17. Гинзбург Н. С., Кузнецов С. П., Федосеева Т. Теория переходных процессов в релятивистской ЛОВ // Изв. вузов. Радиофизика. — 1978.— Т. 21, №7. с. 1037.

18. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн.— Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000.-С. 560.

19. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. — Москва: Наука, 1987. — С. 424.

20. Кузнецов С. П. Динамический хаос.— Москва: Изд-во Физико-матемитической литературы, 2001. — С. 296.

21. Дихтяр В. Б., Кислое В. Я. Расчет автогенераторов с внешней запаздывающей обратной связью временным методом // Радиотехника и электроника. — 1977.- Т. 22, № 10. — С. 2141.

22. Кислое В. Я., Мясин Е., Залогин Н. Н. Исследование стохастических автоколебательных режимов в автогенераторах с запаздыванием // Радиотехника и электроника. — 1979. — Т. 24, № 6. — С. 1118.

23. Кислое В. Я. Теоретический анализ шумоподобных колебаний в электронно-волновых системах и автогенераторах с запаздыванием и сильной нелинейностью // Радиотехника и электроника. — 1980. — Т. 25, №8.-С. 1683.

24. Кислое В. Я., Мясин Е., Залогин Н. Н. О нелинейной стохастизации колебаний в электронно-волновом генераторе с задержанной обратной связью // Радиотехника и электроника. — 1980. — Т. 25, № 10. — С. 2160.

25. Кац В. А. Возникновение и эволюция хаоса в распределенном генераторе с запаздыванием, эксперимент // Изв. вузов. Радиофизика. — 1985.-Т. 28, №2.-С. 161.

26. Кузнецов С. П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью II Изв. Вузов. Радиофизика.— 1982.— Т. 25, № 12.— С. 1410.

27. Блиох Ю. П., Бородкин А. В., Любарский М. Г. Применение метода функционального отображения для исследования ЛБВ-генератора с обратной запаздывающей связью И Изв. Вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1993. — Т. 1, № 1-2. — С. 34.

28. Рыскин Н. М. Исследование нелинейной динамики лбв-генератора с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика.— 2004. Т. 47, № 2. - С. 129-142.

29. Трубецков Д. И., Четвериков А. П. Автоколебания в распределенных системах "электромагнитный поток встречная (обратная) электромагнитная волна" // Изв. Вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1994.— Т. 2, № 5.— С. 9-34.

30. Кузнецов С. П., Трубецков Д. И. Хаос и гиперхаос в лампе обратной волны // Изв. Вузов. Радиофизика. — 2004. — Т. 47, № 5. — С. 1-17.

31. Трубецков Д. И, Храмов А. Е. Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. В 2-х томах. Т. 2. — Москва: Физматлит, 2004. — С. 648.

32. Каценеленбаум Б. 3. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися парамтрами. — Москва: Издательство Академии Наук СССР, 1961.-С. 216.

33. Открытые резонаторы в виде волноводов переменного сечения / С. Н. Власов, Г. М. Жислин, И. М. Орлова и др. // Изв. вузов. Радиофизика.- 1969.- Т. 12, № 8.- С. 1236-1244.

34. Юлпатов В. К. Укороченные уравнения автоколебаний гиротрона // Гиротрон. Сб. научных трудов. — Горький: Институт прикладной физики АН СССР, 1981.- С. 26-40.

35. Моисеев М. А., Нусинович Г. С. Некоторые результаты численных исследований уравнений гиротрона // Гиротрон. Сб. научных трудов. — Горький: Институт прикладной физики АН СССР, 1981. — С. 41-52.

36. Власов С. Н, Орлова И. М., Петелин М. И. Резонаторы гиротронов и адиабатическая селекция мод // Гиротрон. Сб. научных трудов. — Горький: Институт прикладной физики АН СССР, 1981. — С. 62-76.

37. Голъденберг А. Л., Нусинович Г. С. Мощные коротковолновые гиро-троны // Итоги науки и техники. Электроника.— Т. 17.— Москва: Всесоюзный институт научной и технической информации, 1985.— С. 3-81.

38. Кузелев М. В., Панин В., Рухадзе А. А. II Кратк. сообщ. по физике. — 1985.-№9.-С. 44.

39. Богданов В. В., Кузелев М. В. Нестационарная теория сильточного релятивистского гиротрона // Кратк. сообщ. по физике.— 1986.— № 6. С. 3-5.

40. Кузелев М. В., Рухадзе А. А. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме.— Москва: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1990.— С. 336.

41. Nonstationary oscillations in gyrotrons / M. I. Airila, О. Dumbrajs, A. Reinfelds, Strautiijg // Physics of Plasmas. — 2001. — Vol. 8, no. 10. — Pp. 4608^4612.

42. Airila M. /., Dumbrajs O. Spatio-Temporal Chaos in the Transverse Section of Gyrotron Resonators // Physics of Plasmas.— 2001.— Vol. 8, no. 10.-Pp. 4608^612.

43. Airila М. I., Kail P. Effect of Reflections on Nonstationary Gyrotron Oscillations // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. — 2004. Vol. 52, no. 2. - Pp. 522-528.

44. M. В. Кузелев, A. P. Майков, А. Д. Поезд, др. И ДАН.— 1988.— Т. 300, №5.-С. 1112.

45. Нестационарные парциальные условия излучения в задачах релятивистской сильноточной плазменной СВЧ-электроники / Ю. В. Бобылев, М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе, А. Г. Свешников // Физика плазмы. 1999.-Т. 25, №7. -С. 618.

46. Кузнецов А. П. Граничные условия в волновой теории ЛБВ вблизи частоты отсечки замедляющей системы // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ.- 1984.- № 7 (367).- С. 3-7.

47. Кузнецов А. П., Рожнев А. Г. О самовозбуждении ЛБВ вблизи границы полосы пропускания // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ.- 1985.- № 9 (381).- С. 3-6.

48. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рожнев А. Г. Волновая линейная теория ЛБВ у границы полосы прозрачности // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике, 7-я зимняя школа-семинар инженеров. — Кн. 2,— Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1986.— С. 4455.

49. Кузнецов А. П., Рожнев А. Г. Учет диссипации в волновой теории ЛБВ, работающей у границы полосы пропускания // Изв. вузов. Радиофизика.- 1988.- Т. 31, № 9.- С. 1113-1119.52.