Резонансы и хаос в квазилинейных динамических системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

РГ6

О Д ХАРКІВ СЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 621.373

Резонанси та хаос в квазилінійних динамічних системах

01.04.03 - радіофізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Харків - 1998

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Радіоастрономічному інституті HAH України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Ваврів Дмитро Михайлович, Радіоастрономічний інститут HAH України, _яди. відділом_

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Буц Вячеслав Олександрович, ННЦ "Харківський фізико-технічний інститут", зав. лабораторією;

доктор фізико-математичних наук, професор Третьяков Олег Олександрович, Харківський державний університет, . зав. кафедрою.

Провідна установа: Інститут радіоафізики та електроніки HAH України, відділення теоретичної фізики, м. Харків

Захист відбудеться 12 червня 1998 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.051.02 Харківського державного університету (310077, м. Харків, м. Свободи 4, ауд. 3.9)

З дисертацією можна ознайомитися у Центральній науковій бібліотеці ХДУ (310077, м. Харків, м. Свободи 4)

Автореферат розісланий " ^ " І 1998 р

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ' Чеботарьов В.І.

Актуальність роботи. Дослідження квазілінійних динамічних систем є одним із найбільш розроблених розділів сучасної теорії нелінійних коливань. З одного боку, це пов'язане з наявністю потужного апарату асимптотичних засобів, які дозволяють істотно спростувати робочі рівняння та зробити достатньо точні припущення про якісну поведінку конкретної фізичної системи. З іншого боку, квазілінійний підхід дозволяє описати широке коло фізичних задач в рамках декількох стандарних моделей взаємодіючих мод. Незалежність вигляду цих моделей від конкретної фізичної природи початкової задачі визначає універсальність одержаних результатів та їх широке застосування. Останнім часом квазілінійні системи викликають значний інтерес у дослідників, що пов'язано з відкриттям явища динамічного хаосу. Особливість виникнення хаосу в таких системах пов'язана з тим, що хаотичні коливання можуть виникати тільки в результаті взаємодії і руйнування резонансів. Принциповою відзнакою "квазілінійного" хаосу від звичайного є великі характерні часи розвитку хаотичної нестікості, що потребує розробки спеціальних методів для теоретичного і експериментального дослідження хаотичних коливань. До останнього часу були вивчені тільки найпростіші типи резонансів в системах з одним ступенем вільності і квазіперіодичним збудженням, а також були проведені окремі дослідження двохмодових систем. При цьому однією із актуальних проблем залишається розробка аналітичних методів для передбачення умов виникнення хаотичних нестійкостей. Ця робота присвячена подальшому вивченню ролі резонансів у виникненні хаотичних станів як в одномодових, так і в двохмодових системах з наголосом на дослідження вищих та параметричних резонансів. Разом з цим, у роботі розроблено відповідні аналітичні методи для вивчення як властивостей

відповідних квазілінійних систем, так і передбачення умов виникненя хаотичних коливань. Виходячи із сучасного

-стану—досліджень. були—сфор?ігульоваііі—наступні—цілі_та—задачі-роботи:

• дослідження вищих типів резонансів в одномодових системах з квазіперіодичним збудженням для довільних типів нелінійностей, а також вивчення ефектів, які виникають при їх зруйнуванні;

• вивчення хаотичних станів в автономних і неавтономних дисипативних двохмодових системах;

• розробка аналітичних методів для передбачення умов виникнення хаосу шляхом застосування методів осереднення, Мельникова, та поточних показників Ляпунова;

• застосування розроблених методів дослідження для аналізу динаміки різноманітних радіо- і астрофізичних систем, зокрема, дослідження варіацій випромінювання змінних зір певних типів.

Наукова новизна результатів дисертації полягає

• у рішенні задачі про поведінку квазілінійних осциляторів при параметричному резонансному збудженні довільного порядку і при довільному типі нелінійності;

• у з'ясуванні області застосування класичного критерію перекриття резонансів Чирікова;

• у дослідженні характерних особливостей виникнення хаосу в двохмодових автономних і неавтономних системах;

• у аналітичному дослідженні умов виникнення хаосу у двохмодових системах методами Мельникова і поточних показників Ляпунова;

• у одержанні порога хаотізадіі засобом Мельникова для квазілінейних систем з ступенями вільності волі;

• у з'ясуванні можливого механізму хаотизації пульсацій змінних зірок.

Обгрунтування та вірогідність одержаних в роботі результатів обумовлюється застосуванням обгрунтованих методів теоретичного аналізу, та відповідністю результатів теоретичних досліджень даним чисельних та натурних експериментів, виконаних як автором, так і іншими дослідниками. У граничних випадках теоретичні результати співпадають з результатами інших авторів. Чисельні алгоритми та відповідне програмне забезпечення, що використовувалися для проведення чисельних експериментів, мали контроль похибок.

Практичне і наукове значення роботи.

• Запропонована схема аналізу взаємодії та руйнування резонансів може використовуватися для вивчення стійкості різноманітних фізичних систем.

• Отримані умови хаотизації конкретних радіоелектронних пристроїв дозволяють вибрати їх параметри, при яких забезпечується висока стійкість їх роботи та мінімальний рівень їх шумів, обумовлених хаотичними коливаннями.

• Запропонований механізм хаотизації поведінки змінних зір типів W Vir та RV Tau дозволяє дати пояснення результатам астрономічних спостережень нерегулярних пульсацій світньості цих зір.

Особистий внесок автора у працях, які написані у співавторстві, полягає у вирішенні поставлених завдань; застосуванні методів Мельнікова, критерію Чирікова, поточних показників Ляпунова для отримання аналітичних умов виникнення

хаосу; розробці чисельних алгоритмів для дослідження хаотичних коливань; порівняння теоретичних і експериментальних

результатів._

Основні положення дисертації, що виносяться на захист :

• Методика застосування критерію Мельникова для визначення умов зруйнування параметричних резонансів вищих типів при

-квазіпсріодичному—виливі—на—осціля-тор—із—нелінійністю

довільного типу.

• Аналітичні критерії хаотизадії руху в двохмодових системах отримані шляхом аналізу глобальних і локальних властивостей фазового потоку.

• Закономірності зміни хаотичних і регулярних коливальних режимів двохмодових автономних і неавтономних систем, а також осцілятора з параметричним збудженням.

• Двохмодова модель, що описує хаотичні пульсації випромінювання змінних зір, та аналіз їх динаміки.

Зв'язок роботи з науковими програмами. планами^_темами. Дослідження, що склали дисертаційну роботу, є частиною досліджень, проведених в PI HAH України по держбюджетним темам «Динамічний хаос в квазілінійньїх системах і нові принципи створення джерел стохастичних коливань» (номер Держреєстрації 01.89.0 084058), «Динамічний хаос у нелінійних коливальних системах та нові методи аналізу даних спостережень в астрофизиці» (шифр «Динаміка»), «Хаотична динаміка астрофізичних об'єктів і фрактальні методи обробки сигнаїів» (номер Держреєстрации 0193U009125, шифр «Сідло»), «Дослідження динамічних характеристик процесів енерговиділення на Сонці» (номер Держреєстрации 0193U009127, шифр «Корона»),

«Динамічний хаос в процесах генерації і перетворення електромагнітних та гідродинамічніх хвиль» (номер Держреєстрації 2.4./296), а також програм, підтріманих Міжнародним науковим фондом.

Апробація роботи. Основні результати роботи доповідалися і обговорювалися на міжнародних наукових конференціях: « 12th International Conference on Noise in Physical Systems and 1/f Fluctuations», St. Louis, 1993, USA; «First Eurasian Symposium on Space Sciences and Technologies», Marmara Research Center-Gebze, Kocaeli, 1993, Turkey; «Dynamics Days - 96», Lyon, 1996, France, «Unsolved Problems on Noise». Szeged, 1996, Hungary; «Fourth Experimental Chaos Conference», Boca Raton, FL, 1997, USA; на наукових семінарах PI HAH України і опубліковані в 10 працях [1-101.

Структура і обсяг дисертаційної роботи. Основний текст дисертації складається із вступу, трьох розділів і висновку (113 сторінок машинописного тексту). Робота містить 21 ілюстрацію і включає список літератури, що складається із 73 бібліографічних найменувань, (9 стор. ). Загальний обсяг роботи - 113 стор.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі освітлено сучасний стан досліджень резонансів, що виникають у квазілінійних системах і їх ролі в розвитку стохастичної нестійкості. Приведено короткий огляд аналітичних та чисельних методів, які застосовуються для аналізу цих систем. Там же обгрунтована актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовані ЇЇ цілі і завдання, викладено зміст роботи по розділах.

У першому розділі розглянуто динаміку квазілінійних динамічних систем з одним ступенем вільності при

квазіперіоднчному зовнішньому впливі. Роль квазіперіодичності є особливо важливою для розвитку хаотичної нестійкості, бо в даному випадку фазовий простір вкороченої системи має розмірність 3, що достатньо для перемішування траєкторій. В разі періодичного зовнішнього впливу атрактори системи можуть бути тільки регулярними. В першому параграфі цього розділу розглянуто загальні проблеми отримання вкороченних рівнянь для резонансів і нелінійностей довільного порядку. В наступних параграфах розглянуто два підходи до аналізу систем цього типу з точки зору можливості розвитку стохастичної нестійкості. Спочатку приведено результати точного аналізу деяких найпростіших випадків нелінійності та резонансів малого порядку. Далі проаналізовані біфуркації в гамільтонових системах, що є необхідним для розуміння динаміки дисипативних систем, близьких до відповідних гамільтонових. Запропоновано аналітичний алгоритм розрахунку біфуркаційних діаграм для таких систем, що дозволяє визначити області параметрів системи з різноманітною кількістю та типом сепаратрисних петель. Нарешті, в кінці розділу розглянуті випадки резонансів і нелінійностей довільного порядку в наближенні малої величини зовнішнього параметричного впливу [6, 9].

В разі найпростішого типу ангармонізму, коли врахована тільки кубічна нелінійність системи, а також при невеликих порядках резонансів (т<4), рішення на петлі сепаратриси близької гамільтонової системи вдається виразити в елементарних функціях і, відповідно, використати для отримання аналітичного значення інтегралів Мельникова. Разом з тим проведено чисельне визначення цих інтегралів.

Для дослідження параметричних резонансів високого порядку узагальнено підхід, запропонований Заславським, де

сепаратриси системи при нелінійному резонансі апроксимуються послідовністю маятникоподібних петель. Встановлено, що поріг виникнення хаосу відносно амплітуди зовнішнього збудження 5] при великих т змінюється по закону:

де О • частота зовніншньго прямого збудження, а - дисипація, А, І0 та О0 ~ -Іт ~ параметри, які залежать від амплітуди і частоти параметричного збудження, ангармонізму системи та порядку резонансу; перші два визначають геометрію сепаратриси, а останній - швидкість руху на неї, відповідно.

Крім цього в першому розділі приведені детальні чисельні розрахунки біфуркацій осціляторів з параметричним збудження, а також приведено порівняння результатів чисельного моделювання з аналітичними розрахунками і показана їх добра відповідність.

Темою другого розділу являється дослідження нелінійної двохмодової неавтономної коливальної системи, в якій реалізується взаємодія двох пасивних мод. Класичним зразком такої системи можуть служити два зв'язаних радіотехнічні контури. Фазовий простір вкороченних рівнянь такої системи при монохроматичному зовнішньому впливі має розмірність 4, тому в такій системі можуть виникати хаотичні нестійкості. В першому параграфі цього розділу спочатку розглянуто лінійний випадок такої системи, коли її коливання можуть бути тільки регулярними. Далі приведено систему вкорочених рівнянь, яка є зручною для чисельного і аналітичного дослідження. В наступному параграфі розглянуті стаціонарні стани такої системи, їх стійкість, а також показана можливість народження стійкого циклу в фазовому просторі системи. Тим самим доведена можливість виникнення

коливань на новій незалежній частоті фізичної системи. В подальшому показано, що цей цикл через серію біфуркацій подвоєння періоду перетворюється на дивний аттрактор [Ц. Проведені аналітичні дослідження умов такого перетворення при резонансній взаємодії осциляторів та при низькому рівні зовнішнього впливу. Для цього використано модіфікований метод

-Мельникова_їа_поточні_показники_Ляпунова,_Тим_самим

продемонстровано, що деякі результати стосовно порогу хаотизації систем, що були отримані раніше при вивченні одномодових систем, можуть бути узагальнені і для випадку двох ступенів вільності. При цьому вдалося розширити область застосування методу Мельникова за рахунок його викоритання спільно з концепцією нелінійного резонансу (8, 10]. Такий підхід, застосований для системи двох зв'язаних квазілінійних осциляторів без дисипації і зовнішнього впливу, дозволяє знайти другий інтеграл руху і, таким чином, виразити рішейня у квадратурах. Доказано, що у 4-мірному фазовому просторі системи можна виділити послідовність поверхностей, які гомеоморфні 3-мірним сферам, на яких здійснюється рух в гамільтонівському випадку. Якщо енгармонізм системи вище деякого критичного рівня на сферах існує пара стаціонарних станів типу сідло та цешр (в додаток до уже існуючої пари центрів) разом із замкнутою на це сідло петлею сепаратриси. Це явище обумовлене резонансною взаємодією між двома пасивними нелінійними осциляторами, тобто нелінійним резонансом. Конкретна "сфера", що є відповідною до величини дії системи, визначається через резонансні співвідношення між частотами мод та частотою зовнішньої накачки. Рішення системи на петлі сепаратриси вдалося одержати в елементарних функціях. При наявності ненульової зовнішньої накачки спільно із дисипацією гомоклінична петля розщіплюється.

Умови існування гомокліничної структури при заданих співвідношеннях між параметрами системи знайдено шляхом розрахунку інтегралу Мельникова.

Третій розділ присвячений дослідженню динаміки двохмодових автономних систем. Спочатку в ньому розглянуто резонанс 1:1 в моделі двох зв'язаних генераторів з жорстким і м'ягким режимами збудження. Показано, що в цій системі при деяких умовах існує сепаратрисна петля для якої вдається знайти рішення в аналітичному вигляді. Прийнято до уваги як резонансний, так і нерезонансний зв'язок між генераторами. Показано, що за рахунок нерезонансного зв'язку при сформульованих в роботі умовах формується набір гетерокліничніх петель. В свою чергу, резонансний зв'язок може призводити до їх зруйнування і утворення гомокліничної структури.

Друга частина розділу присвячена актуальному додатку теорії динамічних систем - дослідженню динаміки випромінювання змінних зірок, що демонструють хаотичні пульсації. Рівняння в часткових похідних, що описують явища енергообміну та масопереносу всередині зірки зводяться до рівнянь взаємодіючих мод коливань зоряної оболонки навколи стаїгу рівноваги. При цьому для зірок типів W Vir, RV Tau ці рівняння виявляються подібними до рівнянь нагруженого додатковим контуром генератору за умов резонансу 1 : 2. При достатньо великому значенні фактору ангармонізму (або, еквівалентно, при достатньо великій амплітуді пульсацій) в такій системі виникають хаотичні коливання - зірка починає випрмінювати нерегулярно [2-5]. Показано, що ненульова величина ангармонізму є головним фактором, відповідним за складну динаміку змінної зірки. Основні закономірності зміни коливальних режимів таких зірок вивчені за

допомогою біфуркаційної діаграми на площині контрольних параметрів системи. Передбачено явище багатостійкості в поведінці таких зірок. Уявляється, що запропонована модель пульсацій випромінювання змінної зірки є найпростішою, яка якісно описує основні результати астрономічних спостережень таких зірок.

-У—висновку—сформульовані головні наукові результати

дисертації та накреслені шляхи подальшого розвитку напрямків досліджень.

ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ РОБОТИ

1. Д.М. Ваврив, Ю.А. Царин, И.Ю. Чернышов, "Вынужденные колебания двух связанных пассивных осцилляторов", Радиотехника и электроника, 36, 2015-2023, 1991.

2. D.M. Vavriv, Yu.A Tsarin, "Two-mode model of the chaotic stellar pulsations", AIP Conf. Proc. 285, ed. P.H. Handel, A.L.Chung, AIP, New York, 1993, p.553-557.

3. Д.М. Ваврив, Ю.А. Царин, "Двухмодовая модель хаотических звездных пульсаций" Доклады АН Украины, 1993, № 7, 58-62

4. D.M. Vavriv, Yu.A Tsarin, "Nonlinear dynamics methods in astrophysics: the simplest chaotic stellar pulsations model", Turkish Journal of Physics, 1994, 18, 973-977 .

5. Д.М. Ваврив, Ю.А. Царин, "Неизохронность: причина хаотизации пульсаций переменных звезд", Кинематика и физика небесных тел 1994, № 6, 80-87.

6. Yu.A. Tsarin "Chaos in quasilinear weakly dissipative dynamical systems", Dynamics Days-96 17th Informal Annual Workshop, ENS-Lyon, 1996 p. 117.

7. Yu.A. Tsarin, V.B. Ryabov , D.M. Vavriv, "Problems of the application of Melnikov method for chaos forecast in dissipative dynamical systems", Proc. Of UPoN, Szeged, Hungary, 1996.

8. Yu.A. Tsarin, "Analytical criterion for the chaos onset in two-mode dynamical systems", Proceedings of German-Ukrainian Seminar "Microwave Electronics: Theory, Devices, and Applications", Eds. K. Schuenemann and D. Vavriv, RINAN Press, 1996, p. 78-82.

9. A.Yu. Levandovsky, D.M. Vavriv, Yu. A. Tsarin, "The interaction of resonances in a weakly nonlinear oscillator with a quasiperiodic excitation", Chaos, 7, #2, 1997, p.280.

10. Yu.A. Tsarin "Bifurcations and chaos in two-mode quasilinear dynamical system", 4th Experimental Chaos Conference booklet, Boca Raton, 1997, p. 106.

Царін Ю. А. Резонанси і хаос в квазілінійних динамічних системах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.03 - радіофізика. -Харьківський державний університет, 1998.

У дисертації запропоновані нові та поширені старі засоби дослідження важливого класу нелінійних динамічних систем -систем із слабкою нелінійністю. Значну увагу в дослідженні приділено отриманню аналітичних критеріїв умов виникнення та розвитку багатостійкості та хаосу в динаміці таких систем. Шляхом застосування методу Мельникова сформульовані аналітичні умови хаотізації коливань в осциляторних системах з однією і двома ступенями вільності. Запропоновано та реалізовано чисельні та аналітичні алгоритми дослідження таких систем. Виявлено основні закономірності впливу резонансної та нерезонансної взаємодії мод,

їх енгармонізму, дисипації та зовнішньного збудження на якісне ускладнення динаміки систем. Отримані результати застосовані для вивчення динаміки одного та двох зв'язаних радіотехнічних осциляторів, а також змінних зірок типів W Vir, RV Tau.

Ключові слова : нелінійний резонанс, квазілінійні системи, хаос, взаємодія мод, параметричне збудження, метод Мельникова, зоряні пульсації.--

Царин Ю.А. Резонанси и хаос в квазилинейных

динамических системах,- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.03 -радиофизика.- Харьковский государственный университет, 1998.

В диссертации предложены новые и расширены старые методы исследования важного класса нелинейных динамических систем - систем со слабой нелинейностью. Значительное внимание в исследовании уделено получению аналитических критериев возникновения и развития мультистабильности и хаоса в динамике таких систем. Путем применения метода Мельникова сформулированы аналитические условия хаотизации колебаний в осцилляторных систем с одной и двумя степенями свободы. Предложены и реализованы численные и аналитические алгоритмы исследования таких систем. Установлены основные закономерности влияния резонансного и нерезонансного взаимодействия мод, их энгармонизма, диссипации и внешнего возбуждения на качественное усложнение динамики систем. Полученные результаты применены для изучения динамики одного и двух связанных радиотехнических осцилляторов, а также переменных звезд типов W Vir, RV Tau.

Ключевые слова: нелинейный резонанс, квазилинейные системы, хаос, взаимодействие мод, параметрическое возбуждение, метод Мельникова, звездные пульсации.

Tsarin Yu.A. Resonances and chaos in quasilinear dynamical systems.- Manuscript.

Thesis for a candidate degree by speciality 01.04.03 - Radio Physics.- Kharkov state university, 1997.

In dissertation novel methods are proposed and old ones are extended for investigation of important class of nonlinear dynamical systems - the systems with a weak nonlinearity. In the investigation the significant attention is paid to getting the analytical criteria of the onset and development of the multistability and chaos in such systems. The analytical conditions of the oscillation chaotization for the oscillatory systems with one and two degrees of freedom are formulated using the Melnikov approach. Numerical and analytical algorithms for the investigation of these systems are proposed and realized. The main peculiarities of the influence of the resonant and nonresonant modes interaction, their anharmonism, the dissipation, and the external excitation on the qualitative increasing of the system dynamics complexity were found. Obtained results are applied for the investigation of the dynamics of one and two coupled radio technical oscillators and W Vir, RV Tau variable stars.

Keywords: nonlinear resonance, quasilinear systems, chaos, modes interaction, parametric excitation, Melnikov's approach, stellar pulsations.

Подписано к печати 07.05.98г., Зак. №153., 13 стр., тираж 100 зкз. Отпечатано Производственно инвестиционной фирмой «БЛБ», копировально-множительный центр: Госпром, 6 под., 4 этаж, к. 581