Роль граничных условий в гамильтоновой динамике теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

и

ф ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

В ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

э

1НЕР1

2004-10

На правах рукописи

Соловьев Владимир Олегович

РОЛЬ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ДИНАМИКЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Протвино 2004

М-24

УДК 539.1.01

Работа выполнена в Отделе теоретической физики ГНЦ РФ Институт физики высоких энергий (г. Протвино).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук И.П. Волобуев (НИИЯФ МГУ, г. Москва), доктор физико-математических наук М.О. Катанаев (МИАН РАН, г. Москва), доктор физико-математических наук В.В. Нестеренко (ОИЯИ, Дубна).

Ведущая организация - ИЯИ РАН, г. Москва.

Защита диссертации состоится "_"_2004 г.

в_часов на заседании диссертационного совета Д 034.02.01

при Институте физики высоких энергий по адресу: 142281, Протвино Московской обл.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФВЭ.

Автореферат разослан "_"_2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 034.02.01 Ю.Г. Рябов

© Государственный научный центр Российской Федерации Институт физики высоких энергий, 2004

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Принцип локальности в теории поля при бесконечном пространстве-времени, на первый взгляд, всегда позволяет свести граничные задачи к тривиальным случаям и рассматривать в качестве действия, гамильтониана и других аналогичных величин локальные функционалы, эквивалентные по модулю интегралов от дивергенций. Однако в современных физических теориях, как правило, присутствует та или иная форма инвариантности относительно преобразований, зависящих от произвольных функций координат. В гравитации — это общекоординатная инвариантность, в теории струн — конформная, для полей Янга-Миллса — калибровочная, в собственном смысле этого слова. Это приводит к появлению дальнодействующих мод, таких как кулоновский потенциал.

Изменение граничных условий оказывает наиболее существенное влияние именно на эти нелокализуемые компоненты, изменяя в результате глобальные характеристики полей, каким бы большим ни был объем рассматриваемой области пространства. В процессе редукции, т.е. исключения нефизических степеней свободы путем наложения калибровок, в таких теориях некоторые дивергенции перестают быть дивергенциями, и интегралы от них по объему начинают влиять на внутреннюю динамику.

В последнее время внимание к граничным эффектам в физике фундаментальных взаимодействий особенно усилилось. Это связано как с появлением в качестве основных моделей фундаментальных взаимодействий протяженных объектов — релятивистских струн и бран, так и с детальным изучением моделей с горизонтами типа черных дыр.

Обсуждаются, например, поведение открытой струны с концами на D-бране и связанная с ним некоммутативность координат, вклад горизонта в число состояний и, следовательно, в энтропию черной дыры, связь объемных и граничных теорий (голография) и т.д.

Цель диссертационной работы — развитие гамильтонова формализма в направлении, позволяющем рассматривать широкие классы граничных условий, а поэтому и физических задач. В частности, это требует нового определения скобки Пуассона взамен стандартного, основанного на отбрасывании членов, возникающих при интегрировании по частям. Также подразумевается существенная роль граничных членов в гамильтониане и в других генераторах теории, кроме того, требуется установить соответствие этих величин с граничными членами в функционале действия.

В диссертации предложено и обосновано новое определение теоретико-полевой скобки Пуассона, которое не требует обращения в ноль граничных членов. Это позволяет существенно расширить область применения гамильтоновых методов и распространить их на новый класс задач.

В качестве примеров физических задач, рассмотренных в диссертации, можно назвать динамику гравитационного поля с учетом поверхностных членов как на пространственной бесконечности, так и на горизонте черной дыры. В формализме Арновитта-Дезера-Мизнера показано, что алгебра генераторов преобразований координат (обобщенных гамильтонианов) может быть замкнута не только по модулю дивергенций, что общепринято, но и с учетом поверхностных членов при трехмерно-ковариантных граничных условиях в асимптотически плоском пространстве-времени. Для переменных Аштекара на границе обнаружено отличие пуассоновой структуры

от канонической. Показано, что учет этой неканоничности необходим для построения замкнутой алгебры генераторов пространственных диффеоморфизмов и калибровочных вращений триад, независимой от вида граничных условий.

При постановке граничных условий на горизонте черной дыры показано, что стандартное определение скобки Пуассона и требование дифференцируемости гамильтониана (подход Редже— Тейтельбойма) оказываются неприменимыми. Необходимо использовать новое определение скобки Пуассона, которое позволяет предложить корректный вывод формулы для энтропии черной дыры.

Отдельный класс образуют задачи со свободной границей, встречающиеся, например, в гидродинамике, теории струн и бран. На примере динамики идеальной сжимаемой жидкости демонстрируется применение развитого в диссертации гамильтонова формализма к задачам со свободной границей.

Научная новизна

• Впервые предложен метод нахождения интегральных (глобальных) законов сохранения в калибровочных теориях, непосредственно основанный на асимптотической линеаризации динамических уравнений движения, возникающей при учете граничных условий.

• Предложено новое определение асимптотически плоского пространства-времени, исходящее из линеаризации поверхностных членов в скобках Пуассона генераторов эволюции в каноническом формализме ОТО.

• Впервые показано, что преобразование Аштекара в гамиль-тоновом формализме общей теории относительности является каноническим лишь с точностью до граничных членов.

• Впервые предложена формула для полевых скобок Пуассона, точно удовлетворяющая тождеству Якоби.

• Новая формула для скобок Пуассона впервые применена к задачам динамики идеальной жидкости со свободной поверхностью и вычисления энтропии черной дыры.

Научная и практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при решении широкого круга задач, таких, например, как изучение асимптотических свойств калибровочных и гравитационных полей, изучение влияния горизонтов на поведение физических полей, описание взаимодействия открытых струн и D-бран, описание динамики сплошных сред со свободной поверхностью и других.

Научные результаты, выносимые на защиту:

1. Предложен метод нахождения глобальных (или асимптотических) законов сохранения в калибровочных теориях, основанный на дополнении классического подхода Э. Нетер учетом граничных условий, которые должны обеспечивать асимптотическую линеаризацию полевых уравнений.

2. Вычислены поверхностные члены в пуассоновой алгебре генераторов координатных преобразований общей теории относительности. Показано, что при граничных условиях, обеспечивающих линеаризацию этих членов на фоне плоской метрики, и при условии, что координатные преобразования асимптотически являются векторами Киллинга этой плоской метрики пуассонова алгебра реализует алгебру Пуанкаре.

3. Найдены не зависящие от выбора пространственных координат граничные условия, являющиеся достаточными для асимптотической реализации алгебры Пуанкаре. Для частного случая декартовых координат эти граничные условия улучшают предшествовавшие результаты.

4. Показано, что преобразование Аштекара, лежащее в основе нового направления квантования гравитации, является каноническим лишь с точностью до поверхностных членов. Вследствие этого оказывается, что при решении задач с нетривиальными граничными условиями необходимо вносить поправки в полученные ранее в рамках подхода Аштекара результаты.

5. Для пуассоновой алгебры генераторов преобразований пространственных координат и калибровочных вращений базисных

триад показано, что учет неканоничности преобразования Аш-текара совместно с использованием новой формулы для скобки Пуассона позволяет обеспечить замыкание алгебры даже в случае, когда и поля и преобразования на границе остаются произвольными (т.е. при свободных граничных условиях).

6. Предложен подход, позволяющий учитывать поверхностные вклады, возникающие при вычислении скобок Пуассона между локальными функционалами, уже на стадии скобок для подынтегральных выражений. Он состоит в явном введении в операции с -функцией характеристических -функций области интегрирования.

7. Впервые указано на ограниченность подхода Редже и Тейтель-бойма к нетривиальным граничным задачам, состоящую в том, что кроме поверхностных вкладов в гамильтониан необходимо учитывать и аналогичные вклады в теоретико-полевые скобки Пуассона или в симплектическую форму.

8. На конкретных примерах (гидродинамика, формализм Аштека-ра в ОТО) продемонстрировано, что в случаях, когда скобки Пуассона между переменными не являются ультралокальными, критерий дифференцируемости гамильтониана, выдвинутый Редже и Тейтельбоймом, неприменим. Взамен предложен более общий критерий, требующий регулярности гамильтоно-вых векторных полей при выполнении граничных условий.

9. Предложена формула для теоретико-полевых скобок Пуассона, обеспечивающая точное выполнение тождества Якоби независимо от граничных условий, в то время как стандартные скобки удовлетворяют тождеству Якоби лишь с точностью до дивергенций.

10. Доказано, что новое выражение для скобок Пуассона является инвариантным при любых локальных, т.е. содержащих конечное число производных, преобразованиях полей независимо от граничных условий.

11. Показано, что основные геометрические конструкции формального вариационного исчисления при учете дивергенций могут

быть расширены таким образом, что новая формула для скобки Пуассона следует из них единственным образом.

12. На примере гидродинамики идеальной (невязкой) жидкости построено приложение новой формулы для скобки Пуассона к задачам со свободной границей. Формализм разработан как для лагранжевых, так и для эйлеровых переменных, и в обоих случаях продемонстрирована связь между гамильтоновым и ла-гранжевым подходами. Показано, что естественные граничные условия вариационного метода соответствуют в гамильтоновом методе требованию регулярности гамильтоновых векторных полей (т.е. гамильтоновых уравнений

движения).

13. Показано, что при определенных граничных условиях (предложенных в работе Карлипа) новая формула для скобок Пуассона позволяет вычислить энтропию черной дыры, в то время как подход Редже и Тейтельбойма оказывается неприменимым.

Апробация работы. Публикации. Результаты диссертации докладывались на 5-, 14-, 16- и 17-ом международных семинарах по физике высоких энергий и теории поля (Протвино, 1982; 1991; 1993; 1994), на 6-, 12- и 14-ом международных семинарах по физике высоких энергий и квантовой теории поля (Лазаревское, 1991; Самара, 1997; Москва, 1999), на 6-ом симпозиуме имени Марселя Гроссмана (Киото, Япония, 1991), на Международном коллоквиуме по дифференциальной геометрии (Москва, 1993), на Сибирской школе по алгебре и анализу (бухта Солнечная, 1993), на 20-ом Международном коллоквиуме по теоретико-групповым методам в физике (Тойонака, Япония, 1994), на семинаре "Калибровочные поля и гравитационное поле" (Киото, Япония, 1994), на Симпозиуме по дифференциальной геометрии и математической физике центра имени Банаха (Варшава, Польша, 1995), на Рабочем совещании "Динамика систем со связями и квантовая гравитация" (Дубна, 1995), на 14-ой Международной конференции по общей теории относительности и гравитации (Флоренция, Италия, 1995), на 29-ом Международном симпозиуме Ареншоп по теории элементарных частиц (Буков, Германия, 1995),

на Международной конференции "Вторичное исчисление и когомологическая физика"(Москва, 1997), на Рабочем совещании "Физические переменные в калибровочных теориях" (Дубна, 1999). Тезисы доклада были представлены также на 13-ой Международной конференции по общей теории относительности и гравитации (Кордоба, Аргентина, 1992).

Результаты диссертации также докладывались на семинарах Отдела теоретической физики ИФВЭ, Отдела квантовой теории поля МИАН имени Стеклова, на семинарах кафедр теоретической физики Красноярского и Самарского университетов, Отдела физики высоких энергий Международного центра теоретической физики имени Абдуса Салама (Триест, Италия), семинарах отделений Национального института ядерной физики (Италия) в Неаполе и Пизе, на семинарах математического и физического факультетов университета Флоренции (Италия).

Результаты диссертации опубликованы в работах [1-24], в том числе 11 статей в журналах, 3 препринта и 10 публикаций в трудах конференций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 8 глав основного текста и заключения, содержит список литературы (132 ссылки). Объем диссертации 229 страниц.

Содержание работы

Во введении показана актуальность темы диссертации и кратко изложена история вопроса.

В главе 1 рассматривается построение алгебры генераторов га-мильтонова формализма общей теории относительности с поверхностными членами. В отличие от подхода Редже-Тейтельбойма в диссертации эти члены получаются прямым вычислением скобок Пуассона с сохранением всех дивергенций. В общем случае найденные выражения не образуют (вместе со связями гамильтонова

формализма) замкнутой алгебры, это позволяет использовать критерий замкнутости для непосредственного поиска удовлетворяющих ему граничных условий. Впервые в гамильтоновом формализме показано, что граничные условия можно ставить независимо от выбора системы пространственных координат. Это позволяет дать новое определение асимптотически плоского пространства-времени.

В частном случае декартовой (или галилеевой) системы координат найденные граничные условия оказываются более общими, чем условия, предложенные Редже и Тейтельбоймом.

В главе 2 рассматривается задача нахождения асимптотических законов сохранения в теориях, обладающих калибровочной, в широком смысле слова, инвариантностью. Помимо собственно калибровочных полей (полей Янга-Миллса) сюда относятся общековариант-ные теории. Показано, что метод нахождения законов сохранения, основанный на первой теореме Нетер, в этом случае не приводит к определенному результату. По своему смыслу асимптотические законы сохранения требуют учета не только свойств инвариантности лагранжиана, но и граничных (асимптотических) условий.

В классической работе Э. Нетер эти вопросы не обсуждались. В то же время там указано на "несобственный" характер законов сохранения в калибровочных теориях. Он выражается в том, что в качестве величин, дивергенции которых обращаются в ноль на решениях уравнений движения, выступают величины, либо сами равные нулю на решениях, либо отличающиеся от них "топологическими", т.е. имеющими тождественно равные нулю дивергенции, выражениями.

В данной главе изложен "глобальный" подход к теореме Не-тер, учитывающий в явном виде граничные условия. Эти условия должны быть такими, чтобы обеспечить асимптотическую линеаризацию уравнений поля. В свою очередь, эта линеаризация позволяет представить интеграл по удаленной на пространственную бесконечность части ^-1)-мерной границы рассматриваемой области ^мерного пространства-времени как интеграл от дивергенции. Последнее дает возможность свести данный интеграл к разности

двух интегралов по (п-2)-мерной границе этой части. Эти интегралы и дают глобально (т.е. более привычные в механике, чем в теории поля) сохраняющиеся величины.

В главе 3 обращается внимание на то, что стандартное выражение для скобок Пуассона в теории поля удовлетворяет тождеству Якоби лишь с точностью до поверхностных интегралов, и предлагается модифицировать стандартные скобки, добавляя к ним поверхностные члены определенного вида, с тем, чтобы новые скобки удовлетворяли тождеству Якоби точно. Здесь полезными оказываются высшие эйлеровы операторы. С их помощью строится новая формула для скобок Пуассона, которая может быть также выражена через производные Фреше.

Приведены различные методы доказательства тождества Якоби в теории поля с сохранением всех дивергенциальных членов.

В главе 4 диссертации выполнено построение наиболее общего доказательства тождества Якоби, где по аналогии с аппаратом формального вариационного исчисления, развитого в работах Гель-фанда, Дикого, Дорфман и других авторов, но без отбрасывания дивергенций, вводятся такие конструкции, как дифференциальные формы, эволюционные векторные поля и мультивекторы. Тогда оказывается возможным определить скобку Схоутена-Нейенхейса и доказать, что ее обращение в ноль для бивектора означает, что построенная на его основе скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби точно.

В главе 5 рассматривается вопрос об инвариантности скобок Пуассона относительно произвольных локальных преобразований полей. Показано, что введенная в предыдущих главах скобка является инвариантной. Попутно делается сравнение с введенной позднее скобкой Беринга и показывается, что скобка Беринга не обладает необходимой инвариантностью. Показано также, что стандартная скобка Пуассона, как и скобка Беринга, инвариантна лишь с точностью до дивергенций.

Глава 6 посвящена приложению новой скобки Пуассона к га-мильтонову формализму ОТО, предложенному Аштекаром. Отличия формализма Аштекара от более раннего формализма Арновитта, Дезера, Мизнера (АДМ) призваны облегчить переход к квантовой теории гравитации. Мы показываем, что преобразование переменных, сделанное Аштекаром, не является каноническим преобразованием, если учитываются поверхностные члены. Поэтому в задачах, где роль поверхностных интегралов может быть существенной, стандартные результаты формализма Аштекара нуждаются в уточнении.

В частности, мы рассматриваем задачу о замыкании алгебры генераторов 3-мерных диффеоморфизмов и калибровочных вращений базисов и показываем, что при учете всех поверхностных членов можно путем добавления к связям поверхностных интегралов добиться замыкания алгебры независимо от граничных условий.

Глава 7 посвящена вычислению энтропии черной дыры, исходя из идеи, что на горизонте меняется смысл координатных преобразований и некоторые из параметров таких преобразований становятся физическими степенями свободы. При граничных условиях, предложенных в работе Карлипа, показано, что построенные в этой работе генераторы не являются допустимыми в смысле Редже-Тейтельбойма и стандартные скобки Пуассона для них плохо определены. Область применимости новой формулы для скобок Пуассона существенно шире, и с ее помощью корректно получается выражение для энтропии.

В главе 8 рассмотрен пример гамильтонова описания задачи со свободной границей — гидродинамика невязкой жидкости. Эта задача рассмотрена с четырех возможных точек зрения: как в переменных Лагранжа, так и в переменных Эйлера, как в рамках вариационного принципа, так и в гамильтоновом подходе. Показано, что применение здесь обобщения формального вариационного исчисления позволяет выяснить роль свободных граничных условий — в гамильтоновом формализме они возникают как требование регулярности уравнений движения, или, иными словами, требование регулярности гамильтонова векторного поля.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Список литературы

[1] В.О. Соловьев. Алгебра генераторов асимптотической группы Пуанкаре в общей теории относительности. ТМФ, 65 (1985) 400.

[2] V.O. Soloviev. How canonical are Ashtekar's variables? Phys. Lett, B292 (1992) 30.

[3] V.O. Soloviev. Boundary values as Hamiltonian variables. I. New Poisson Brackets. J. Math. Phys., 34 (1993) 5747.

[4] V.O. Soloviev. New Poisson brackets: boundary values as Hamiltonian variables. J. Math. Sci, 82 (1996) 3844.

[5] V.O. Soloviev. Boundary terms and their Hamiltonian dynamics. Nucl. Phys. Proc. Suppl, BP49 (1996) 35.

[6] V.O. Soloviev. Difference between admissible and "differenti-able"Hamiltonians. Phys. Rev., D55 (1997) 7793.

[7] B.O. Соловьев. Независимая от граничных условий алгебра в формализме Аштекара. ТМФ, 112 (1997) 142.

[8] V.O. Soloviev.Bering's proposal for boundary contribution to the Poisson bracket. J. Math. Phys., 41 (2000) 5369.

[9] V.O. Soloviev. Black hole entropy from Poisson brackets (demystification of some calculations). Phys. Rev., D61 (2000) 027502.

[10] V.O. Soloviev. Boundary values as Hamiltonian variables. II. Graded structures. J. Math. Phys., 43 (2002) 3636.

[11] V.O. Soloviev. Boundary values as Hamiltonian variables. III. Ideal fluid with a free surface. J. Math. Phys., 43 (2002) 3655.

[12] В.О. Соловьев. Теоремы Нетер в каноническом формализме общей теории относительности. 1. Локальный подход. - Препринт ИФВЭ 81-179, Серпухов, 1981.

[13] В.О. Соловьев. Теоремы Нетер в каноническом формализме общей теории относительности. 2. Глобальный подход. - Препринт ИФВЭ 82-18, Серпухов, 1982.

[14] В.О. Соловьев. Пространство Минковского и асимптотическая группа Пуанкаре в общей теории относительности. - Препринт ИФВЭ 83-193, Серпухов, 1983.

[15] V.O. Soloviev. Surface integrals of Poincare algebra in Ashtekar's formalism. - Proceedings of the Sixth Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, Kyoto, June 23-29, 1991. World Scientific, 1992, pp. 751-753.

[16] V.O. Soloviev. How much canonical are the Ashtekar variables? -Abstracts of the 13th International Conference on General Relativity and Gravitation. Cordoba, Argentina, June 28 - July 4, 1992.

[17] V.O. Soloviev. Poisson brackets for total divergences. - XXth International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics. Toyonaka, Japan, July 4-9, 1994, World Scientific, 1995, pp. 444447.

[18] V.O. Soloviev. New Poisson brackets from new Hamiltonian variables. - Talk given in A2 Section of the 14 International Conference on General Relativity and Gravitation. Florence, August 6-12, 1995. GR-14 Abstracts, Florence, 1995, A79-80.

[19] V.O. Soloviev. Total divergences in Hamiltonian formalism of field theory. - Proceedings of the XVII Workshop, dedicated to the 140th Birth Anniversary of Henri Poincare. Protvino, June 27 -July 1, 1994, Protvino, 1995, pp. 197-201.

[20] V.O. Soloviev. Boundary values as Hamiltonian variables: New Poisson brackets, Problems on High Energy Physics and Field Theory. - Proceedings of the XVI Workshop. Protvino, September 14-17, 1993, Protvino, 1995, pp. 59-69.

[21] V.O. Soloviev. Divergences as a grading of the formal variational calculus. - Talk given at the conference "Secondary Calculus and Cohomological Physics". Moscow, August 25-30, 1997; math.DG/9809103

[22] V.O. Soloviev. Divergences in formal variational calculus and boundary terms. - In: Hamiltonian formalism, Symplectic Singularities and Geometry of Gauge Fields. Banach Center Publications, vol. 39, Warszawa, 1997, pp. 373-388.

[23] V.O. Soloviev. Black hole entropy from Poisson brackets. High Energy Physics and Quantum Field Theory. Eds. B.B. Levchenko, V.I. Savrin. - Proceedings of the XIV International Workshop. Moscow, May 27 — June 2, 1999. Moscow, 2000, pp. 461-466.

[24] B.O. Соловьев. Энтропия черных дыр и поверхностные члены в скобках Пуассона. Теоретическая физика, 1. Самара. Изд-во СамГУ, 2000. cc. 33-39.

Рукопись поступила 25 февраля 2004 года.

В.О. Соловьев.

Роль граничных условий в гамильтоновой динамике теории поля.

Оригинал-макет подготовлен с помощью системы 1ЭДЩХ. Редактор Н.В. Ежела.

Подписано к печати 27.02.2004. Формат 60 х 84/8.

Офсетная печать. Печ.л. 0,8. Уч.-изд.л. 0,35. Тираж 100. Заказ 201. Индекс 3649.

ГНЦ РФ Институт физики высоких энергий 142284, Протвино Московской обл.

№ -5 60 0

Индекс 3649

АВТОРЕФЕРАТ 2004-10,

И Ф В Э, 2004

Введение

1 Алгебра Пуанкаре в асимптотически плоском пространстве-времени

1.1 Постановка задачи.

1.2 Алгебра связей и поверхностные интегралы.

1.3 Асимптотическая группа Пуанкаре.

1.4 Линеаризация поверхностных интегралов.

1.5 Критерий реализации алгебры Пуанкаре.

1.6 Выбор гиперповерхности и фоновой метрики.

1.7 Выводы.

2 Асимптотические законы сохранения

2.1 Постановка задачи.

2.2 Применение к каноническому формализму общей теории относительности.

2.2.1 Первая теорема Нетер.

2.2.2 Вторая теорема Нетер.

2.2.3 Несобственный закон сохранения

2.2.4 Глобальный подход и сохранение поверхностных интегралов.

2.3 Применение к электродинамике.

2.4 Выводы.

3 Скобки Пуассона, удовлетворяющие тождеству Якоби точно •

3.1 Постановка задачи.

3.2 Обозначения и математический аппарат.

3.3 Мотивация новых скобок Пуассона из формулы для полной вариации.

3.4 Поверхностные члены и обобщенные функции.

3.5 Полная вариационная производная и правило умножения: к неформальному вариационному исчислению.

3.6 Доказательства тождества Якоби.

3.6.1 Простейший случай.

3.6.2 Доказательство для ультралокального случая

3.6.3 Доказательство для неультралокального случая

3.7 Выводы.

4 Дивергенции в формальном вариационном исчислении

4.1 Постановка задачи.

4.2 Локальные функционалы и эволюционные векторные поля

4.3 Дифференциалы и функциональные формы

4.4 Дифференциальные операторы и их сопряженные

4.5 Мульти-векторы, смешанные тензоры и скобка Схоуте-на-Нейенхейса.

4.6 Скобки Пуассона и гамильтоновы векторные поля

4.7 Доказательство тождества Якоби.

4.8 Примеры: неультралокальные операторы.

4.9 Выводы.

5 Альтернативное предложение для граничного вклада в скобку Пуассона

5.1 Постановка задачи.

5.2 Дифференциальные подстановки.

5.3 Стандартная скобка.

5.4 Общий подход к скобкам Беринга и автора.

5.5 Дифференциальные подстановки и скобка Беринга

5.6 Дифференциальные подстановки и скобка автора

5.7 Выводы.

6 Особенности канонического формализма Аштекара

6.1 Постановка задачи.

6.2 Преобразование Аштекара.

6.3 Некоммутативность вариационных производных

6.4 Поверхностные члены и 5-функция.

6.5 Поверхностные члены в АДМ формализме.

6.6 Поверхностные члены в формализме Аштекара.

6.7 Выводы.

7 Вычисление энтропии черной дыры из поверхностных членов в скобках Пуассона

7.1 Постановка задачи.

7.2 Обозначения и идея расчета энтропии

7.3 Метод Редже-Тейтельбойма.

7.4 Новые скобки Пуассона.

7.5 Выводы.

8 Гидродинамика идеальной жидкости со свободной поверхностью

8.1 Постановка задачи.

8.2 Вариационный принцип в лагранжевых переменных

8.2.1 Фиксированная граница.

8.2.2 Свободная граница

8.3 Гамильтонов формализм в лагранжевых переменных

8.3.1 Фиксированная граница.

8.3.2 Свободная граница

8.4 Гамильтонов формализм в эйлеровых переменных

8.4.1 Фиксированная граница.

8.4.2 Свободная граница

8.5 Вариационный принцип в эйлеровых переменных

8.5.1 Фиксированная граница.

8.5.2 Свободная граница

8.6 Альтернативный вывод гамильтонова формализма в эйлеровых переменных.

8.6.1 Фиксированная граница.

8.6.2 Свободная граница

8.7 Выводы.

Понятие поля в современной теоретической физике является основным, и в широком смысле вся теоретическая физика сейчас может быть названа теорией поля. Гамильтонов формализм также вездесущ, объединяет своим языком абсолютно непохожие области физики и радует нас несомненным математическим очарованием. Чувство глубокого удовлетворения вызывает возможность немедленно переходить с его помощью от классической к квантовой теории, а также исследовать различные важные свойства физических систем, такие как симметрии, интегрируемость, устойчивость и др.

Гамильтонов формализм теории поля появляется в результате предельного перехода от распределенных систем с конечным числом степеней свободы к системам с бесконечным числом степеней свободы, перехода от суммирования к интегрированию. И гамильтониан, и скобки Пуассона в теории поля обычно выражаются интегралами по области пространства, т.е. по ее объему. Однако в физике бывают существенны не только объемные, но и граничные (поверхностные) интегралы. Примерами могут служить энергия поверхностного натяжения жидкости, точечные массы и заряды на концах открытой струны, энтропия черной дыры и многое другое.

Изложение гамильтонова формализма в стандартных учебниках ничего не говорит нам о том, как работать с этими граничными членами, какова их роль в гамильтониане. Шаг вперед в этом направлении был сделан в работе, написанной в 1974 году Редже и Тейтельбоймом [1], число цитирований ее за год постоянно возрастает. По сути дела была установлена связь между поверхностными членами в гамильтониане и граничными условиями, основанная на вариационном принципе и понятии "свободных граничных условий" [2]. Следующим шагом, по логике вещей, должен был стать учет поверхностных интегралов в скобках Пуассона. Движение в этом направлении намечено уже в самой работе Редже-Тейтельбойма, но в не слишком явной форме, без акцентирования этого шага. А именно, была выведена алгебра Пуанкаре для генераторов гамильтонова формализма, т.е вычислены скобки Пуассона между ними с сохранением поверхностных членов, отличных от нуля при принятых граничных условиях. Однако само вычисление скобок Пуассона производилось по стандартной формуле, которая, как позже выяснилось, не удовлетворяет тождеству Якоби, точнее, удовлетворяет ему лишь по модулю поверхностных членов (интегралов от дивергенций). Иными словами, здесь скрывалось противоречие: с одной стороны при доказательстве тождества Якоби поверхностные члены игнорируются, с другой стороны, при рассмотрении алгебры Пуанкаре эти члены сохраняются и имеют физический смысл.

В диссертации предлагаются новые подходы к описанию в гамиль-тоновом формализме теории поля задач с нетривиальными граничными условиями. Например, предложен метод нахождения асимптотических законов сохранения, основанный на глобальном подходе к теореме Э. Нетер [3]. Предлагается новое определение скобок Пуассона, отличающееся от стандартного поверхностными членами и точно удовлетворяющее тождеству Якоби. Это позволяет с новой точки зрения рассматривать физические задачи с нетривиальными граничными условиями. Новая формула для скобок Пуассона позволяет работать с более широкими классами функционалов и поэтому создает простор для более детального изучения постановки граничных условий и возможностей их изменения в теории гравитационных и калибровочных полей, а также в теории струн и бран, в механике сплошных сред. В диссертации рассматриваются применения новых методов к задачам реализации алгебры Пуанкаре в общей теории относительности, к анализу особенностей формализма Аштекара, к вычислению энтропии черных дыр, к задачам со свободной границей в гидродинамике невязкой жидкости.

Первая глава диссертации посвящена рассмотрению задачи реализации алгебры Пуанкаре в асимптотически плоском пространстве-времени общей теории относительности с точки зрения поверхностных членов, возникающих при вычислении скобок Пуассона. Последнее отличает предложенный автором подход от подхода Редже и Тейтель-бойма. Преимущества излагаемого метода позволили решить задачу при ковариантных граничных условиях, а в частном случае декартовой системы координат обобщить условия, использованные Редже и Тейтельбоймом.

Вторая глава посвящена развитию общего метода нахождения законов сохранения для физических величин, которые выражаются интегралами не по объему пространства, а по границе объема, т.е по поверхности. Эти законы могут быть названы асимптотическими. Метод не является специфически гамильтоновым, а может с успехом применяться и в лагранжевом формализме. Однако исторически сложилось так, что он появился в гамильтоновой формулировке общей теории относительности, поэтому значительное место будет отведено именно этой задаче.

В 3 главе обращается внимание на то, что стандартные скобки Пуассона не удовлетворяют тождеству Якоби, если во внимание принимаются поверхностные члены. Конечно, иногда положение может быть исправлено граничными условиями. Но представляется более интересной возможность модифицировать стандартные скобки, добавляя к ним поверхностные члены определенного вида, с тем чтобы новые скобки удовлетворяли тождеству Якоби точно. Здесь полезными оказываются так называемые высшие эйлеровы операторы. С их помощью строится новая формула для скобок Пуассона, которая может быть также выражена через производные Фреше. В этой главе для новых скобок Пуассона явными вычислениями доказывается тождество Якоби в нескольких важных случаях.

Построение наиболее общего доказательства тождества Якоби выполнено в 4 главе диссертации, где по аналогии с аппаратом формального вариационного исчисления, построенного в работах Гельфанда, Дикого, Дорфман и других авторов, но уже без отбрасывания дивергенций, вводятся такие конструкции как дифференциальные формы, эволюционные векторные поля и мульти-векторы. Тогда оказывается возможным определить скобку Схоутена-Нейенхейса и доказать, что ее обращение в ноль для бивектора означает, что построенная на его основе скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби точно.

В главе 5 рассматривается вопрос об инвариантности скобок Пуассона относительно произвольных локальных преобразований полей. Показано, что введенная в предыдущих главах скобка является инвариантной. Попутно делается сравнение с введенной позднее скобкой Беринга [55] и показывается, что скобка Беринга не обладает необходимой инвариантностью. Показано также, что стандартная скобка Пуассона, как и скобка Беринга, инвариантна лишь с точностью до дивергенций.

Глава 6 посвящена приложению новой скобки Пуассона к гамиль-тонову формализму ОТО, предложенному Аштекаром. Отличия формализма Аштекара от более раннего формализма Арновитта, Дезера, Мизнера (АДМ) призваны облегчить переход к квантовой теории гравитации. Мы показываем, что преобразование переменных, сделанное Аштекаром, не является каноническим преобразованием, если учитываются поверхностные члены. Поэтому в задачах, где роль поверхностных интегралов может быть существенной, ко всем вычислениям, выполненным в предположении о каноничности переменных, должны быть сделаны поправки. В частности мы рассматриваем задачу о замыкании алгебры генераторов 3-мерных диффеоморфизмов и калибровочных вращений базисов и показываем, что при учете всех поверхностных членов можно путем добавления к связям поверхностных интегралов добиться замыкания алгебры независимо от граничных условий.

В главе 7 рассмотрена задача вычисления энтропии черной дыры исходя из идеи, что на горизонте меняется смысл координатных преобразований и некоторые из параметров таких преобразований становятся физическими степенями свободы. При граничных условиях, предложенных в работе Карлипа [56], показано, что построенные там генераторы не являются допустимыми в смысле Редже-Тейтельбойма и стандартные скобки Пуассона для них плохо определены. Область применимости новой формулы для скобок Пуассона существенно шире и с ее помощью корректно получается выражение для энтропии.

Глава 8 посвящена применению формализма главы 4 к задаче со свободной границей, конкретным примером здесь служит гидродинамика сжимаемой идеальной (т.е. невязкой) жидкости. Рассматривается как лагранжев, так и гамильтонов формализм, как в эйлеровых переменных, так и в лагранжевых. Показано, что известные из лагранжева формализма граничные условия возникают в гамильтоновом формализме с поверхностными членами как условия регулярности гамильто-нова векторного поля.

В Заключении формулируются положения, выносимые на защиту.

Эти выводы подтверждаются и другими примерами [42,43]. Мы надеемся, что обсуждаемый подход окажется полезным при рассмотрении различных задач со свободными границами.

Заключение

Перечислим здесь основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Предложен метод нахождения глобальных (или асимптотических) законов сохранения в калибровочных теориях, основанный на дополнении классического подхода Э. Нетер учетом граничных условий, обеспечивающих асимптотическую линеаризацию полевых уравнений.

2. Вычислены поверхностные члены в пуассоновой алгебре генераторов деформаций гиперповерхности общей теории относительности. Показано, что при граничных условиях, линеаризующих эти члены на фоне плоской метрики и при условии, что координатные преобразования асимптотически являются векторами Киллинга этой плоской метрики, пуассонова алгебра реализует алгебру Пуанкаре.

3. Найдены не зависящие от выбора пространственных координат граничные условия, являющиеся достаточными для асимптотической реализации алгебры Пуанкаре. Для частного случая декартовых координат эти граничные условия улучшают предшествовавшие результаты.

4. Показано, что преобразование Аштекара, лежащее в основе нового направления квантования гравитации, является каноническим лишь с точностью до поверхностных членов. Вследствие этого оказывается, что при решении задач с нетривиальными граничными условиями необходимо вносить поправки в полученные ранее в рамках подхода Аштекара результаты.

5. Для пуассоновой алгебры генераторов преобразований пространственных координат и калибровочных вращений базисных триад показано, что учет неканоничности преобразования Аштекара совместно с использованием новой формулы для скобки Пуассона позволяет обеспечить замыкание алгебры даже в том случае, когда и поля и преобразования на границе остаются произвольными (т.е. при свободных граничных условиях).

6. Предложен подход, позволяющий учитывать поверхностные вклады, возникающие при вычислении скобок Пуассона между локальными функционалами, уже на стадии скобок для подинтеграль-ных выражений. Он основан на явном введении в операции с <5-функцией характеристических ^-функций области интегрирования.

7. Впервые указано на ограниченность подхода Редже и Тейтельбой-ма к нетривиальным граничным задачам, состоящую в том, что кроме поверхностных вкладов в гамильтониан, необходимо учитывать и аналогичные вклады в теоретико-полевые скобки Пуассона или в симплектическую форму.

8. На конкретных примерах (гидродинамика, формализм Аштекара в ОТО) продемонстрировано, что в случаях, когда скобки Пуассона между переменными не являются ультралокальными, критерий дифференцируемости гамильтониана, выдвинутый Редже и Тей-тельбоймом, неприменим. Взамен предложен более общий критерий, требующий регулярности гамильтоновых векторных полей при выполнении граничных условий.

9. Предложена формула для теоретике-полевых скобок Пуассона, обеспечивающая точное выполнение тождества Якоби независимо от граничных условий, в то время как стандартные скобки удовлетворяют тождеству Якоби лишь с точностью до дивергенций.

10. Доказано, что новое выражение для скобок Пуассона является инвариантным при любых локальных, т.е. содержащих конечное число производных, преобразованиях полей, независимо от граничных условий.

11. Показано, что основные конструкции так называемого "формального вариационного исчисления" при учете дивергенций могут быть расширены так, что новая формула для скобки Пуассона следует из них единственным образом.

12. На примере гидродинамики идеальной (невязкой) жидкости построено приложение новой формулы для скобки Пуассона к задачам со свободной границей. Формализм разработан как для лагранжевых, так и для эйлеровых переменных и в обоих случаях продемонстрирована связь между гамильтоновым и лагранжевым подходами. Показано, что "естественные граничные условия" вариационного метода соответствуют в гамильтоновом методе требованию регулярности гамильтоновых векторных полей (т.е. га-мильтоновых уравнений движения).

13. Показано, что при определенных граничных условиях (предложенных в работе Карлипа) новая формула для скобок Пуассона позволяет вычислить энтропию черной дыры, в то время как подход Редже и Тейтельбойма оказывается неприменимым.

Благодарности

Приношу глубокую благодарность академику А.А. Логунову за предложенные задачи, за интерес к моей работе и за возможность работать в прекрасных условиях Отдела теоретической физики Института физики высоких энергий. Искренне благодарю директора ИФВЭ и руководителя моей кандидатской диссертации профессора Н.Е. Тюрина за большую помощь в решении многих проблем. Глубоко признателен своему первому научному руководителю профессору О.А. Хрусталеву за неоценимые уроки. Благодарю В.А. Петрова и А.П. Самохина за постоянную поддержку, А.В. Разумова, С.Н. Сторчака и Ю.Г. Строганова за обсуждения результатов и многочисленные полезные советы, а всех сотрудников ОТФ — за благоприятную для работы атмосферу.

1. Т. Regge and С. Teitelboim, Ann. of Phys. 88 (1974) 286.

2. R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. 1, (Wiley, N.Y., 1989) pp.208-211. (Имеется русский перевод: Гильберт Д., Курант Р. Методы математической физики, том 1, М., 1951).

3. Е. Noether, Gott. Nachr. Math.-phys. Kl. 2 (1918) 235 (Имеется русский перевод: Вариационные принципы механики. Сб. статей под ред. Полака Л.С. М.: Физматгиз, 1959, сс. 611-630).

4. Р.А.М. Dirac, Phys. Rev. 114 (1959) 924.

5. Р.А.М. Dirac, Phys. Rev. Lett. 2 (1959) 368.

6. R. Arnowitt, S. Deser and Ch.W. Misner, in Gravitation, an fntro-duction to Current Research, edited by L. Witten (New York, 1963). (Имеется русский перевод: Эйнштейновский сборник. 1967. М.: Мир, 1967).

7. J.A. Schouten, D.J. Struik. Einfuhrung in die neueren methoden der Differentialeometrie. B. 2, Berlin, 1938. (Имеется русский перевод: И.А. Схоутен, Д.Дж. Стройк. Введение в новые методы дифференциальной геометрии, т.2. М. ГИИЛ, 1948.)

8. D. Hilbert, Gott. Nachr. Math.-phys. Kl, 3 (1915) 395 (Имеется русский перевод: Вариационные принципы механики. Сб. статей под ред. Полака JI.C. М.: Физматгиз, 1959, сс. 589-598).

9. F. Klein, Gott Nachr. Math.-phys. Kl (1917) 469;

10. F. Klein, Gott. Nachr. Math.-phys. Kl (1918) 235;

11. F. Klein, Gott. Nachr. Math.-phys. Kl (1918) 394. (Имеется русский перевод: Эйнштейновский сборник. 1980-1981. М.: Наука, 1985, сс. 226-254).

12. A. Einstein, Ann. der Phys. B.49 (1916) 769. (Имеется русский перевод: А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, т.1, М.: Наука, 1965, сс. 452-504.)

13. A. Einstein, Zs. Math, und Phys. B.62 (1913) 225-261 (Mit. M. Grossman). (Имеется русский перевод: А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, т.1, М.: Наука, 1965, сс. 227-266.)

14. И. А.А. Логунов, Лекции по теории относительности, ГНЦ ИФВЭ, Протвино, 2003;

15. А.А. Логунов, Теория гравитационного поля, М.: Наука, 2001.

16. Р.А.М. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Yeshiva Univ., N.Y., 1964. (Имеется русский перевод: Дирак П. Лекции по квантовой механике. М.: Мир, 1968).

17. R. Arnowitt, S. Deser and Ch.W. Misner, J. Math. Phys. 1 (1960) 434.

18. P.W. Higgs, Phys. Rev. Lett. 3 (1959) 66.

19. J. Schwinger, Phys. Rev. 130 (1963) 1253.

20. B.S. DeWitt, Phys. Rev. 160 (1967) 1113.

21. A.J. Hanson, T. Regge, C. Teitelboim, Constrained Hamiltonian systems. Roma: Accademia Nasionale dei Lincei, 1976.

22. R. Benguria, P. Cordero, C. Teitelboim, Nucl. Phys. B122 (1976) 61.

23. K. Kuchaf, J. Math Phys. 17 (1976) 777; 792; 801; 18 (1977) 158.20. 0. Reula, J. Math. Phys. 23 (1982) 810.

24. J.D. Brown and M. Henneaux, J. Math. Phys. 27 (1986) 489.

25. J.D. Brown, M. Henneaux, Commun. Math. Phys. 104 (1986) 207.

26. P.G. Bergmann, A. Komar, Int. J. Theor. Phys. 5 (1972) 15.

27. C. Teitelboim, Ann. of Phys. 79 (1973) 542.

28. D. Christodoulou, N. O'Murchadha, Commun. Math. Phys. 80 (1981) 271.

29. R. McOwen, Commun. Pure Appl. Math. 32 (1979) 783.

30. C. Rovelli, Nuovo Cim. B92 (1986) 49.

31. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц. Теория поля. M. Наука, 1963.

32. Ch.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler, Gravitation. (Имеется русский перевод: Мизнер, Торн, Уилер. Гравитация. В 3-х тт. М. Мир, 1977)

33. А.Е. Пухов. Вестник МГУ, Сер. Физ., Астрон. 24(3) (1983) 41.

34. В.О. Соловьев, Пространство Минковского и асимптотическая группа Пуанкаре в общей теории относительности. Препринт ИФВЭ ОТФ 83-193, Протвино, 1983.

35. В.О. Соловьев, ТМФ 65 (1985) 400.

36. В.О. Соловьев, Теоремы Нетер в каноническом формализме общей теории относительности. 1. Локальный подход. Препринт ИФВЭ ОТФ 81-179, Протвино, 1981.

37. В.О. Соловьев, Теоремы Нетер в каноническом формализме общей теории относительности. 2. Глобальный подход. Препринт ИФВЭ ОТФ 82-18, Серпухов, ИФВЭ, 1982.

38. V.O. Soloviev, Surface integrals of Poincare algebra in Ashtekar's formalism, Proceedings of the Sixth Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, Kyoto, June 23-29, 1991, World Scientific, 1992, pp. 751-753.

39. V.O. Soloviev, Phys. Lett. В 292 (1992) 30.

40. V.O. Soloviev, J. Math. Phys. 34 (1993) 5747.

41. V.O. Soloviev, J. Math. Phys. 43 (2002) 3636.

42. V.O. Soloviev, J. Math. Phys. 43, (2002) 3655.

43. V.O. Soloviev, J. Math. Sci. 82 (1996) 3844.

44. V.O. Soloviev, Nucl. Phys. Proc. Suppl BP49 (1996) 35.

45. V.O. Soloviev, Phys. Rev. D55 (1997) 7793.

46. В.О. Соловьев, ТМФ 112 (1997) 142.

47. V.O. Soloviev, J. Math. Phys. 41 (2000) 5369.

48. V.O. Soloviev, Divergences as a grading of the formal variational calculus, Talk given at the conference "Secondary Calculus and Coho-mological Physics", Moscow, August 25-30, 1997; math.DG/9809103.

49. V.O. Soloviev, Divergences in formal variational calculus and boundary terms. In: Hamiltonian formalism, Symplectic Singularities and Geometry of Gauge Fields, Banach Center Publications, vol. 39, pp. 373-388, Warszawa, 1997; hep-th/9511130.

50. V.O. Soloviev, New Poisson brackets from new Hamiltonian variables, Talk given in A2 Section of the 14 International Conference on General Relativity and Gravitation, Florence, August 6-12, 1995, GR-14 Abstracts, Florence, 1995, A79-80.

51. V.O. Soloviev, Poisson brackets for total divergences, XXth International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics, Toyon-aka, Japan, July 4-9, 1994, World Scientific, 1995, pp. 444-447.

52. V.O. Soloviev, Total divergences in Hamiltonian formalism of field theory, Proceedings of the XVII Workshop, dedicated to the 140th Birth Anniversary of Henri Poincare, Protvino, June 27 July 1, 1994, Protvino, 1995, pp. 197-201; hep-th/9508023.

53. V.O. Soloviev, Boundary values as Hamiltonian variables: New Poisson brackets, Problems on High Energy Physics and Field Theory: Proceedings of the XVI Workshop, Protvino, September 14-17, 1993, Protvino, 1995, pp. 59-69.

54. V.O. Soloviev, How much canonical are the Ashtekar variables? Abstracts of the 13th International Conference on General Relativity and Gravitation, Cordoba, Argentina, June 28 July 4, 1992.

55. V.O. Soloviev, Phys. Rev. D61 (2000) 027502.

56. V.O. Soloviev, Black hole entropy from Poisson brackets. High Energy Physics and Quantum Field Theory, Eds. B.B. Levchenko, V.I. Savrin. Proceedings of the XIV International Workshop, Moscow, May 27 — June 2, 1999. Moscow, 2000. pp. 461-466.

57. B.O. Соловьев, Энтропия черных дыр и поверхностные члены в скобках Пуассона, Теоретическая физика 1 сс. 33-39. Самара. Изд-во СамГУ, 2000.

58. К. Bering, J. Math. Phys. 41 (2000) 7468.

59. S. Carlip, Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 2828.

60. C.-S. Chu and P.-M. Ho, Noncommutative open string and D-brane, Nucl.Phys. B550 (1999) 151;

61. M.M. Sheikh-Jabbari and A. Shirzad, Boundary conditions as Dirac constraints, Eur.Phys. J. C19 (2001) 383;

62. J.M. Romero and J.D. Vergara, Boundary conditions as constraints, hep-th/0212035.

63. В.И. Денисов, A.A. Логунов. Итоги науки и техники. Сер. соврем, проблемы матем., т. 21. М. ВИНИТИ, 1982.

64. Л.Д. Фаддеев, УФЕ, 136 (1982) 435.

65. В.И. Денисов, В.О. Соловьев, ТМФ 56 (1983) 301-314; Л.Д. Фаддеев, ТМФ 56 (1983) 315;

66. В.И. Денисов, В.О. Соловьев, ТМФ 56 (1983) 316-320.

67. Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Гамильтонов подход в теории со-литонов. М.: Наука, 1986, сс. 21-22.

68. L.D. Faddeev and L.A. Takhtajan, Lett. Math. Phys. 10 (1985) 183.

69. V.S. Buslaev, L.D. Faddeev and L.A. Takhtajan, Physica D 18 (1986) 255.

70. B.A. Аркадьев, A.K. Погребков, M.K. Поливанов, ДАН 298 (1988) 324;

71. B.A. Аркадьев, A.K. Погребков, M.K. Поливанов, ТМФ 75 (1988) 170.

72. A. Kundu and B.B. Mallick, J. Phys. A: Math.Gen. 23 (1990) L709.

73. B.E. Захаров. Прикл. мех. и техн. физ., 2 (1968) 86.

74. J.W. Miles, J. Fluid Mech. 83 (1977) 153.

75. D.M. Milder, J. Fluid Mech. 83 (1977) 159.

76. D. Lewis, J. Marsden, R. Montgomery and T. Ratiu, Physica D18 (1986) 391.

77. H.D.I. Abarbanel, R. Brown and Y.M. Yang, Phys. Fluids 31 (1988) 2802.

78. B.A. Kupershmidt, The Variational Principles of Mechanics, World Scientific, Singapore, 1992.

79. J.C. Luke, J. Fluid Mech. 27 (1967) 395.

80. L. Faddeev and R. Jackiw, Phys. Rev. Lett. 60 (1988) 1692.

81. K. Bering, Family of Boundary Poisson Brackets, Phys.Lett. B486 (2000) 426-430.

82. K. Bering, A note on non-locality and Ostrogradski's construction. Preprint UFIFT-HEP-00-18 hep-th/0007192.

83. K. Bering, Product of Boundary Distributions, Preprint RU01-01-B (Rockefeller University), 24 pp. hep-th/0102136.

84. C. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, (Univ. Toronto Press, 1964) pp. 68-73. (Имеется русский перевод: Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965, сс.92-96).

85. Н. Lamb, Hydrodynamics, (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1932) p. 456. (Имеется русский перевод: Ламб Г. Гидродинамика, М.-Л.: ГИТТЛ, 1947).

86. P.J. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations (Graduate texts in mathematics) Springer-Verlag, N.Y., 1986. (Имеется русский перевод: Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989).

87. P.J. Olver, in Fluids and Plasmas: Geometry and Dynamics. Edited by J.E. Marsden, Contemporary Mathematics 28. AMS, Providence, 1984.

88. R.L. Seliger and G.B. Whitham, Proc. Roy. Soc. A305 (1968) 1. (Имеется русский перевод: Механика, 1969, No.5 (117) 99).

89. В.JT. Бердичевский. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.

90. С.А. Габов. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-во МГУ, 1988.

91. И.М. Гельфанд, Л.А. Дикий, УМН 30 (1975) 67.

92. A.M. Astashov, A.M. Vinogradov, J. Geom. Phys. 3 (1986) 263.

93. B.A. Dubrovin and S.P. Novikov, УМН 44 (1989) 29.

94. В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, М., Наука, 1974, с. 186.

95. I.M. Anderson, Mathematical foundations of the Einstein field equations, Ph.D. thesis, University of Arizona, 1976.

96. I.M. Anderson, Aequationes Mathematicae 17 (1978) 255.

97. I.M. Anderson. Introduction to the variational bicomplex. In: Mathematical aspects of classical field theory. Eds. M.J. Gotay, J.E. Mars-den and V. Moncrief, Contemporary Mathematics, 132 AMS, Providence, Rhode Island, 1992.

98. S.J. Aldersley, J. Math. Phys. 20 (1979) 522.

99. M.D. Kruskal, R.M. Miura, C.S. Gardner and N.J. Zabusky, J. Math. Phys. 11 (1970) 952.

100. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды, том 1, М., Наука, 1981.

101. И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов, Обобщенные функции.1 М., Физмат-гиз, 1959;

102. B.C. Владимиров, Уравнения математической физики, М., Наука, 1967.

103. В. Malgrange, Ideals of differentiable functions, Oxford University Press, 1966. (Имеется русский перевод: Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций, М.: Мир, 1968.)

104. Н.Н. Боголюбов, А.А. Логунов, И.Т. Тодоров, А.И. Оксак, Общие принципы квантовой теории поля, М., Наука, 1987.

105. Ю.В. Егоров, УМЕ 45 (1990) 3.

106. G.E. Andrews, R. Askey and R. Roy, Special Functions, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999.

107. H. Nicolai and H.-J. Matschull. Aspects of canonical gravity and supergravity. Preprint DESY 92-099, Hamburg, 1992.

108. A. Nijenhuis, Indagationes Math. 17 (1955) 390.

109. I. Dorfman, Dirac Structures and Integrability of Nonlinear Evolution Equations. John Wiley and Sons, New York, 1993.

110. L. Dickey, Soliton Equations and Hamiltonian Systems. World Scientific, Singapore, 1991.

111. A.M. Виноградов, Математические заметки, 47 (1990) 138.

112. G. Barnich and M. Henneaux, J. Math. Phys. 37 (1996) 5273.

113. G. Barnich, R. Fulp, T. Lada and J. Stasheff, The sh Lie structure of Poisson brackets in field theory, Preprint CGPG-96/1-7, UNC-MATH-97/3; hep-th/9702176.

114. L.A. Dickey, in Higher homotopy structures in topology and mathematical physics, Edited by J. McCleary, Contemporary Mathematics 227. AMS, Providence, 1999; solv-int/9703001.

115. A. Ashtekar, Phys. Rev. Lett. 57 (1986) 2244.

116. A. Ashtekar, Phys. Rev. D36 (1987) 1587.

117. A. Ashtekar, P. Mazur, C.G. Torre, Phys. Rev. D36 (1987) 2955.

118. T. Jacobson, L. Smolin, Nucl. Phys. B299 (1988) 295.

119. C. Rovelli, L. Smolin, Nucl. Phys. B331 (1990) 80.

120. M. Henneaux, J.E. Nelson, C. Schomblond, Phys. Rev. D39 (1989) 434.

121. J.N. Goldberg, Phys. Rev. D37 (1988) 2116.

122. J.L. Friedman, I. Jack, Phys. Rev. D37 (1988) 3495.

123. B.P. Dolan, Phys. Lett. B233 (1989) 89.

124. L. Smolin, J. Math. Phys. 36 (1995) 6417.

125. T. Thiemann, Class. Quant. Grav. 12 (1995) 181.

126. Черные дыры. Сборник статей. ("Новости фундаментальной физики", вып.9) Пер. с англ. М. Мир, 1978.

127. Mu-In Park, Nucl. Phys. B544 (1999) 377;

128. Mu-In Park, Jeongwon Ho, Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 5595.

129. S.N. Solodukhin, Phys.Lett. В 454 (1999) 213.

130. I.M. Anderson and C.G. Torre, Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 4109.

131. C.G. Torre, Local Cohomology in Field Theory (with applications to the Einstein equations), Lectures given at the Second Mexican School on Gravitation and Mathematical Physics held in Tlaxcala, Mexico from December 1-7, 1996. hep-th/9706092.

132. G. Barnich and F. Brandt, Nucl.Phys. В 633 (2002) 3.

133. J. Fjelstad and S. Hwang, Phys.Lett. В 466 (1999) 227.

134. E. Getzler, A Darboux theorem for Hamiltonian operators in the formal calculus of variations, Preprint RIMS, Kyoto, 2000; math.DG/0002164

135. R. Beig and N.O. Murchadha, Ann. Phys. 174 (1987) 463-498.

136. Л.П. Грищук, A.H. Петров, ЖЭТФ 92 (1987) 9-19.

137. R. Bartnik, Commun. Pure Appl. Math. 39 (1986) 661.

138. P.T. Chrusciel, Boundary conditions at spacelike infinity from a Hamiltonian point of view, in Topological and global structure of spacetime, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. В Phys. No. 138, pp. 49-59, Plenum Press, New York, 1986;

139. P.T. Chrusciel, Class. Quant. Grav. 3 (1986) LI 15.

140. S. Carlip, Phys.Rev.Lett. 83 (1999) 5596.

141. S. Carlip, Class. Quant. Grav. 16 (1999) 3327-3348.

142. M. Hotta, K. Sasaki, T. Sasaki, Class. Quant. Grav. 18 (2001) 1823;

143. O. Dreyer, A. Ghosh, J. Wisniewski, Class. Quant. Grav. 18 (2001) 1929;

144. H. Terashima, Phys. Rev. D64 (2001) 064016;

145. M. Cvitan, S. Pallua, P. Prester, Phys. Lett. В 546 (2002) 119; Phys. Lett. В 555 (2003) 248;

146. A. Giacomini and N. Pinamonti, JEEP 0302 (2003) 014.