Самоорганизация критического состояния в гранулированных сверхпроводниках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Основные понятия и определения

1.1 Системы дифференциальных уравнений (СДУ) для ГСП.

1.2 Упрощенные модели (УМ) ГСП.

1.3 Граничные условия.

1.4 Возмущение системы.

1.5 Средний ток и интеграл от напряжения.

2 Самоорганизация критического состояния в одномерном многоконтактном СКВИДе

2.1 Выводы.

3 Самоорганизация критического состояния в двумерном многоконтактном СКВИДе при закрытых граничных условиях

3.1 Сравнение СДУ и УМ.

3.2 Процесс аннигиляции.

3.3 Выводы.

4 Двумерный многоконтактный СКВИД с открытыми граничными условиями.

4.1 Выводы.

5 Хаос в модельных отображениях для одноконтактного и двухконтактного СКВИДов

5.1 УМ с учетом ненулевой температуры.

В последнее десятилетие ведутся интенсивные теоретические и экспериментальные исследования гранулированных сверхпроводников (ГСП) (см., например, [1]—[11]). Повышенный интерес именно к гранулированным структурам объясняется тем, что после открытия высокотемпературной сверхпроводимости было установлено, что большинство ВТСП-материалов может быть реализовано в виде гранулированной системы — керамики. Одно из активно разрабатываемых направлений в исследованиях ГСП — это изучение их магнитных свойств. Среди теоретических работ, посвященных этому вопросу, имеется ряд публикаций [5]—[11], в которых подробно рассматривается необратимая магнитная динамика ГСП.

В качестве модели ГСП в этих работах бралась упорядоченная система сверхпроводящих гранул, бесконечных по оси £ и соединенных джозефсоновскими контактами, то есть дискретная решетка джозефсоновских контактов с постоянной решетки а(рис.1). Поведение такой системы во внешнем магнитном поле изучалось методом машинного моделирования, исходя из системы дифференциальных уравнений для калибровочно-инвариантной разности фаз на контактах. Основной задачей было изучение распределения магнитного поля в образце при увеличении внешнего магнитного поля до определенного значения, а также распределение магнитного поля, оставшегося в образце после того, как внешнее поле сначала повышалось до определенного значения, а затем знсвь сбрасывалось до нуля.

В результате этих исследований было обнаружено, что малые внешние поля не проникают в образец, при увеличении же поля оно

Рисунок 1: Сечение гранулированного сверхпроводника в модели, используемой в работах [5]—[11]. начинает проникать в систему в виде "вихрей" (рисунок 2а). "Вихрь" представляет собой такое распределение поля внутри образца, при котором магнитное поле максимально в центре "вихря", то есть в области размером а, и далее убывает на расстоянии ЛJ от центра (AJ = а/у/У, где V — основной параметр системы; V ~ у'са3/Ф0, ¿с — плотность критического тока контактов, Ф0 — квант потока магнитного поля). С каждым из таких вихрей связан квант потока магнитного поля Ф0 (рисунок 3). Было также показано, что после сбрасывания внешнего магнитного поля, часть внутреннего поля в образце остается (рисунок 26).

Такая картина аналогична ситуации, давно известной в сверхпроводниках второго рода [12]. Сопротивление в идеальном сверх

Рисунок 2: а) Профиль магнитного поля Ф/Ф0,"проникшего в образец (из работы [11]); б) профиль магнитного поля, оставшегося в образце, после сброса внешнего поля (из работы [5])

Рисунок 3:

Рисунок 4: Распределение токов 3 и полей к для "вихревой нити" в зависимости от расстояния до центра нити г [12] проводнике второго рода отсутствует лишь в магнитных полях, меньших некоторого первого критического поля , поля же превышающие это критическое значение, но меньшие второго критического значения Нс2, начинают Проникать в сверхпроводник в виде так называемых "вихревых нитей" или "вихрей". В этом случае нить представляет собой тонкий остов радиуса £ , в котором значение магнитного поля максимально, окруженный круговыми токами (рисунок 4). Магнитное поле в такой "нити" также спадает на расстоянии равном глубине проникновения Л от центра. С каждой такой нитью также связан один квант потока магнитного поля Ф0.

Однако в случае идеальных сверхпроводников второго рода магнитная динамика образца обратима, и, после сбрасывания внешнего поля, "вихри" выходят из образца. Наличие остаточного магнитного поля в образце возможно в случае жесткого сверхпроводника, то есть сверхпроводника с искусственно созданными структурными дефектами (центрами пиннинга), за которые и "зацепляются" вихревые нити.

Таким образом, можно сказать, что свойства ГСП аналогичны свойствам жестких сверхпроводников второго рода, где роль длины когерентности £ играет характерный размер гранулы а, а глубина проникновения равна Aj. Однако, если в жестких сверхпроводниках второго рода необходимо искусственно создавать дефекты для закрепления вихревых нитей, то в ГСП "зацепление" вихрей происходит благодаря дискретности системы, то есть они обладают собственным или внутренним (intrinsic) пиннингом.

Благодаря наличию пиннинга в жестких сверхпроводниках второго рода возможно возникновение так называемого критического состояния. Так как в жестких сверхпроводниках на вихревую нить действуют две силы: сила отталкивания вихрей, стремящаяся установить одинаковую плотность нитей во всех точках образца и сила пиннинга, удерживающая вихри на определенных местах, то в результате в образце устанавливается такая плотность вихрей, при которой эти силы уравновешивают друг друга. Такое состояние сверхпроводника и называется критическим.

Критическое состояние жесткого сверхпроводника второго рода при абсолютном нуле было впервые рассмотрено Бином [13] более 30 лет назад. Бином же была предложена модель критического состояния, согласно которой плотность тока по образцу в критиче

Рисунок 5: Распределение магнитного поля в образце В в критическом состоянии в зависимости от расстояния до центра образца х (модель Бина) [13], Но — величина внешнего поля ском состоянии постоянна, а следовательно индукция магнитного поля линейно зависит от расстояния до центра образца (рисунок

5).

По аналогии с жестким сверхпроводником второго рода, мета-стабильное состояние, возникающее в ГСП, в результате уравновешивания сил пиннинга и отталкивания вихрей называется критическим. Однако его структура и свойства сильно отличаются от случая жестких сверхпроводников.

Так в работах [5]—[11] было показано, что магнитные свойства ГСП, и в частности профиль магнитного поля в образце, сильно зависят от основного параметра системы V ~ Jcaл{],, — плот

Рисунок 6: Профиль остаточного магнитного поля в образце при а) У = 0.1 и б) V = 12 (из [5]) ность критического тока контактов ). При малых V профиль поля в образце представляет собой совокупность пиков одинаковой высоты, в этом случае каждый вихрь захватывает большое число ячеек системы (рисунок ба). При увеличении параметра V картина резко меняется. При переходе V через единицу каждая ячейка в такой системе становится центром пиннинга и при дальнейшем увеличении V способна удерживать все большее число квантов магнитного потока. При V 1 величина магнитного поля в образце линейно меняется с расстоянием от центра. Такая картина названа Bean-like critical state (рисунок 66).

Простейшим примером гранулированной системы, на котором можно приллюстрировать зависимость магнитных свойств от параметра V может служить одноконтактный СКВИД, представляющий собой сверхпроводящее кольцо, замкнутое джозефсоновским переходом [14]. При малых значениях V магнитное поле внутри кольца почти линейно зависит от внешнего поля и система имеет одно устойчивое состояние. При переходе V через единицу ситуация резко меняется и эта зависимость становится неоднозначной, то есть система становится гистерезисной (рисунок), и случае когда V 1 система обладает большим числом метастабильных состояний (рисунок 7). В более сложных ГСП при V 1 также имеется большое число метастабильных состояний.

Наличие большого числа метастабильных критических состояний является характерной чертой систем, в которых наблюдается явление самоорганизованной критичности (СОК).

Концепция СОК была предложена в 1987 году Баком, Тангом и Визенфельдом [15], [16] для объяснения специфики поведения дис-сипативных динамических систем с большим числом степеней свободы, примерами которых могут служить и земная кора, и рынки акций, и гигантские популяции. Неотъемлемой частью динамики таких систем являются цепные реакции любых масштабов от малых, незначительных, событий до катастроф, охватывающих всю систему (сходы снежных лавин, финансовые кризисы, землетрясения и т.п.). При рассмотрении таких систем наиболее интересен вопрос являются ли катастрофы результатом мощного внешнего воздействия на систему, либо это результат накопления малых воздействий.

Согласно концепции СОК гигантские динамические системы, накапливая малые возмущения, естественным образом эволюционируют к критическому состоянию, которое в дальнейшем является самоподдерживающимся, то есть не требует для своего существования точной подстройки внешних параметров. По своей структуре это критическое состояние является набором большого числа метастабильных критических состояний, по которым блуждает система. Очередное малое внешнее воздействие выводит систему из одного метастабильного критического состояния и порождает в ней динамический процесс ("лавину"), по окончании которого система оказывается в другом метастабильном критическом состоянии. Лавины могут быть как малыми, так и гигантскими, охватывающими всю систему, но и те и другие порождаются одинаково малыми возмущениями. Именно такой тип поведения и был назван самоорганизованной критичностью. Находящаяся в самоорганизованном критическом состояниии система теряет характерные масштабы как длины, так и времени и ее корреляционные функции имеют степенные асимптотики. В частности, математическим критерием наличия в системе СОК является степенное распределение размеров лавин.

Наиболее простой моделью для наблюдения СОК является обычная песчаная куча. При насыпани кучи она сначала растет до тех пор пока ее наклон не достигнет некоторого критического значения, а затем при очередном добавлении песчинки, песок начинает соскальзывать со склонов, возникает "лавина". После остановки "лавины" оказывается, что часть песка осыпалась с кучи, а остальной перераспределился так, что наклон кучи остается критическим, хотя она и находится уже в другом метастабильном состоянии. По аналогичному сценарию развиваются и многие другие природные и социальные процессы, например, землятресения. В случае, когда напряжение в земной коре, постепенно незначительно увеличиваясь, превысит некий порог, появляется излом. В результате происходит переход в новое метастабильное состояние и процесс повторяется. Тому же закону подчиняются и экономические, и многие биологические системы.

В работе [16] была предложена и математическая модель для такого типа поведения — модель кучи песка, а затем была предложена ее модификация, названная Абелевой моделью кучи песка [20], которая активно исследовалась теоретически (см., например, [20]—[23]) и методом машинного моделирования (см., например, [24]—[30]) и являющаяся в настоящее время основной для изучения СОК. Помимо этой модели был предложен и изучен целый ряд математических моделей, которые, как было показано, демонстрируют СОК. Это не только модели типа кучи песка ([15]—[19]), но и модель лесных пожаров ([31],[32]), "игра в Жизнь" ([33],[34]), модели землетрясений ([35], [36], [37], [38]), модель "рисовой кучи" ([39]), модель развития популяций ([40]), Eulerian Walker model ([41]), ряд одномерных моделей ([42], [43], [44], [45]) и другие (см., например, [46], [47],[48] ).

Несмотря на то, что в настоящее время концепция СОК применена для описания таких далеких друг от друга явлений как землетрясения [49], течение рек [50], зарождение, воспроизводство и гибель популяций [51] , а также для описания процессов в нейронных сетях [52] и некоторых социальных и экономических явлений, до сих пор не найдено удобного практического объекта для изучения СОК. Эксперименты были проведены лишь на реальной куче песка [53].

В то же время сходство динамики "песчанного холма" и жестких сверхпроводников второго рода подчеркивалось еще в [12]. В случае, если в какой-либо точке образца нарушается равенство сил пиннинга и отталкивания вихрей, то нити начинают двигаться, причем двигаются они не поодиночке, а лавинообразно, группами. Движение будет продолжаться до тех пор, пока равенство сил вновь не восстановится и образец не вернется в то же критическое состояние. Однако у жестких сверхпроводников при конкретных внешних условиях имеется единственное критическое состояние, в которое система возвращается каждый раз после очередного возмущения, а характерными признаками существования в системе СОК являются наличие у нее большого числа метаста-бильных состояний. Именно такая ситуация реализуется в ГСП при У > 1 и следовательно они являются естественным кандидатом на обнаружение в них СОК.

В 1994 году в работе [54] было показано, что, используя физические особенности поведения гранулированных сверхпроводников при V 1, систему дифференциальных уравнений (СДУ) для калибровочноинвариантной разности фаз на контактах можно заменить системой связанных отображений для токов через контакты. Получающаяся в этом случае система отображений для двумерного многоконтактного СКВИДа, например, эквивалентна алгоритмам изменения высот (осыпания) в Абелевой модели кучи песка, а для одномерного гранулированного сверхпроводника является обобщением на случай двух порогов одномерной модели СОК, предложенной в [43]. Роль добавления песчинки здесь играет инжекция тока в образец. Таким образом, можно предположить, что критическое состояние различных гранулированных сверхпроводников действительно является самоорганизованным.

Однако при переходе к отображениям делается ряд упрощающих предположений, что может привести к потере системой некоторых свойств, а также к приобретению ею новых, не свойственных исходной системе качеств. Поэтому остается проблема исследования критического состояния гранулированных сверхпроводников, исходя непосредственно из системы дифференциальных уравнений для разности фаз на контактах.

В настоящей работе, исходя непосредственно из СДУ, мы подтверждаем предположение, что критическое состояние гранулированных сверхпроводников в одномерном и двумерном случаях действительно является самоорганизованным и при одинаковых граничных условиях и воздействии на систему его свойства эквивалентны свойствам СОК в ранее изучаемых моделях. Этот вывод меняет привычный взгляд на критическое состояние гранулированного сверхпроводника, поскольку из концепции СОК следует, что критическое состояние в гранулированном сверхпроводнике устроено весьма сложным образом и представляет собой набор большого числа метастабильных состояний по которым блуждает система. К тому же флуктуации основных исследуемых величин, таких как средний по образцу ток или напряжение в таком критическом состоянии очень сильны. В частности, в системе могут возникать гигантские "лавины", которые в нашем случае представляют собой мощные всплески напряжения в образце.

Однако обнаружение СОК в ГСП не только дает новый взгляд на критическое состояние таких систем, но также позволяет исследовать свойства самоорганизованного критического состояния в условиях, которые являются нефизическими для всех ранее рассматриваемых систем с СОК, но вполне естественны для ГСП.

Например, для всех предложенных ранее моделей основным условием для существования СОК являлись открытые граничные условия. В АМКП они означали возможность для песка покидать систему, в модели землятресений — возможность диссипации освобождающейся энергии и т.д. В работе [54] было впервые сказано, что благодаря своим физическим свойствам, ГСП являются совершенно новым классом систем с СОК, в которых возможна самоорганизация при закрытых граничных условиях. В настоящей работе мы покажем, что ГСП, помещенный во внешнее магнитное поле, действительно является закрытой системой, в которой реализуется СОК. Такая постановка задачи близка к эксперименту и является наиболее естественной для ГСП. В этом случае внешнее магнитное поле индуцирует в системе как положительные, так и отрицательные токи, которые могут аннигилировать между собой. Процесс аннигиляции в этом случае заменяет сток и обеспечивает существование СОК в закрытой системе. В АМКП, например, такая ситуация невозможна, так как там все величины положительны по своему физическому смыслу, а для ГСП она является наиболее естественной.

Другой пример, когда проявляются более богатые свойства СОК в ГСП, это ситуация, когда инжекция тока идет во все контакты образца одновременно малыми порциями. Подобное добавление песчинок в АМКП невозможно, так как там принципиально, что песчинка имеет определенный конечный размер. Изучая в данной работе систему с таким, ранее не исследуемым методом инжек-ции, мы показали, в частности, что в такой самоорганизованной в общепринятом смысле системе возможно возникновение квазипериодических процессов. В этом случае ситуация напоминает описанное в ряде работ и до сих пор не получившее удовлетворительного объяснения явление bulk-squid [55], которое заключается в том, что при определенных условиях СКВИД с большим числом контактов начинает вести себя, как один одноконтактный СКВИД.

Таким образом исследование СОК в ГСП, проведенные в настоящей работе, как дают новую информацию о структуре критического состояния в гранулированных сверхпроводниках, так и помогают обнаружить ранее неизвестные свойства самоорганизованного критического состояния.

В последнее время также обсуждается вопрос о связи явления СОК и детерминированного хаоса (см. например [56]—[59]). В настоящей работе мы не рассматриваем подробно эту проблему на примере сложных ГСП, но используя наиболее простые системы: одноконтактный и двухконтактный СКВИДы, показываем, что возникновение хаоса в сложной системе следует ожидать только при учете ненулевой температуры.

Структура настоящей работы следующая.

В первой главе в разделе 1.1 приведены системы дифференциальных уравнений (СДУ), описывающие изучаемые в работе ГСП — одномерный и двумерный многоконтактные СКВИДы, а также одно- и двухконтактный СКВИДы.

Далее в разделе 1.2 кратко приводится краткий вывод упрощенных моделей (УМ) для всех исследуемых ГСП, которые были впервые выведены в работе [54] и имеют аналоги среди ранее известных математических моделей для изучения СОК.

В разделе 1.3 рассмотрены два основных вида граничных условий, обычно используемые в задачах с СОК: открытые и закрытые. Показано, каков их физический смысл, как они могут быть реализованы и что означают для ГСП.

В разделе 1.4 описаны различные способы инжекции тока в систему, которые будут далее использоваться при изучении КС. Среди них, как используемые ранее в задачах с СОК (инжекция тока в случайно-выбранный контакт и в центральный контакт), так и новые, не имеющие физического смысла для АМПК, но естественные для ГСП: возбуждение токов противоположных знаков магнитным полем, инжекция тока во все контакты одновременно малыми порциями и специальный метод возмущения для одномерной системы, аналогичный предложенному в [43].

В разделе 1.5 вводятся основные характеристики системы — средний ток (аналог полной массы системы в АМКП) и интегральное напряжение (аналог размера лавины). Также здесь приводятся выражения для изучаемых далее функций: плотности вероятности, функции спектральной плотности и межлавинной корреляционной функции.

Во второй главе изучается критическое состояние одномерного многоконтактного СКВИДа при закрытых граничных условиях, в случае, когда возмущение системы производится путем инжектирования в соседние узлы одинаковых по величине токов противоположных знаков. Параллельно с СДУ для этого случая изучается УМ.

Показано, что как для СДУ, так и для УМ возникающее в системе метастабильное состояние представляет собой набор метастабильных состояний, преходящих друг в друга посредством лавин, индуцированных внешним возмущением. При этом в каждом метастабильном состоянии значения токов в левой части системы положительны и близки к критическому, а в правой отрицательны и также близки к отрицательному критическому значению тока. Показано также, что плотность вероятности для интегральных напряжений в "положительной" части системы, как в случае УМ, так и для СДУ ведет себя степенным образом, то есть в "положительной" части системы реализуется СОК. Кроме того, результаты для УМ и СДУ в этом случае практически совпадают.

В третьей главе диссертации изучается критическое состояние в двумерном многоконтактном СКВИДе, помещенном во внешнее магнитное поле. В этом случае естественными являются закрытые граничные условия, а ток в системе индуцируется изменением магнитного поля. Тогда токи противоположных знаков каждый раз инжектируются в случайно-выбранные узлы на правой и левой границе. Такой способ не нарушает основного физического требования о равенстве нулю полного тока, инжектируемого в систему, но в то же время помогает избежать вырождения системы в набор одномерных полос, где СОК не реализуется.

В разделе 3.1 приведены результаты моделирования описанной системы для СДУ и УМ в стандартном для систем с СОК режиме на решетке размером N х М(N = 31, М = 15). Показано, что как для СДУ, так и в УМ возникающее в системе критическое состояние, как и в предыдущем случае, представляет собой набор переходящих друг в друга метастабильных состояний. В каждом из них токи в правой части решетки отрицательны, в левой — положительны. Далее, рассчитывая плотности вероятности для интегрального напряжения для СДУ и УМ мы показываем, что в положительной части системы реализуется СОК и результаты для СДУ и УМ опять практически совпадают.

В разделе 3.2 подробно рассмотрен процесс аннигиляции токов противоположных знаков, благодаря которому СОК реализуется в закрытой системе. В описанной геометрии аннигиляция происходит на контактах, находящихся на границе между "положительной" и "отрицательной" подсистемами. Далее для того, чтобы выяснить влияние процесса аннигиляции на свойства СОК в системе, рассматриваются два вида систем: с четным значением ./V, в которых аннигиляция происходит на контактах, включенных в "положительную" подсистему и с нечетным ТУ, где она имеет место на столбце контактов, расположенном между "положительной" и " отрицательной" подсистемами и не учитываемом при расчетах.

С помощью УМ показано, что в случае нечетного N свойства СОК в "положительной" подсистеме полностью эквивалентны свойствам СОК в системе того же размера с одной открытой границей и инжекцией положительного тока в контакты на противоположной границе. В случае же четного N различие наблюдается в лишь спектральных функциях на низких частотах.

В четвертой главе изучается КС двумерного многоконтактного СКВИДа при открытых граничных условиях. В этом случае УМ полностью эквивалентна алгоритмам изменения высот в АМКП. Система рассматривлась при различных способах возмущения системы: инжекция тока в случайно-выбранный и центральный контакт, что рассматривалось ранее для АМКП, инжекция во все или определенную часть контактов одновременно малыми порциями, что нереализуемо в АМКП. Изучение КС проводилось с использованием СДУ и УМ, полученные результаты сравнивались.

Установлено, что при всех способах возмущения системы результаты для СДУ и УМ совпадают, а также показано, что в то время как плотности вероятности во всех рассмотреных случаях ведут себя степенным образом, межлавинные корреляторы демонстрируют различное поведение. В частности, в случае инжекции тока во все контакты одновременно малыми порциями в спектрах процесса наблюдается пик на частоте, пропорциональной величине инжектируемого в каждый контакт тока. Это означает, что в самоорганизованной в общепринятом смысле системе имеет место квазипериодический процесс. Установлено, что относительная величина пика растет при увеличении количества тока, инжектируемого в систему за один шаг. Показано также, что периодичность в поведении системы связана с такой величиной, как среднее число контактов с которых каждый раз начинается лавина. При увеличении этой величины поведение системы становится более периодическим.

Пятая глава посвещена изучению условий возникновения хаоса в отображениях для одно- и двухконтактных СКВИДов при ненулевой температуре.

В разделе 5.1 рассматривается вопрос о модификации УМ СКВИДа в случае учета ненулевой температуры. В данной работе в УМ температура учитывается путем замены в отображениях вольт-амперной характеристики (ВАХ) контакта для случая нулевой температуры на ВАХ для случая конечной температуры. ВАХ для конечной температуры берется в виде ступеньки Ферми из соображений, что конечная температура должна приводить к экспоненциальному размыванию порога.

В разделе 5.2 показано, что при учете ненулевой температуры в модельном отображении для одноконтактного СКВИДа происходит переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума через каскад последовательных бифуркаций удвоения.

В разделе 5.3 исследуется отображение для разности токов в двухконтактном СКВИДе как при нулевой, так и при конечной температуре. Как в случае нулевой, так и для конечной температуры в поведениии отображения имеется интересная особенность. Существует область значений параметров, в которой в зависимости от начальных условий здесь возможна реализация либо устойчивой точки, которая далее путем последовательных бифуркаций удвоения переходит в хаотический аттрактор, или устойчивой двухпериодической орбиты, которая переходит в составной двойной хаотический аттрактор.

В Заключении сформулированны основные научные результаты и выводы диссертационной работы.

1. Показано, что при V >> 1 КС в одномерном и двумерном многоконтактных СКВИДах является самоорганизованным, то есть представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин, возникающих после локального внешнего возмущения системы. Таким образом описана физическая система с СОК, которую можно изучать не только теоретически, но и экспериментально.

2. Показано, что при одинаковых граничных условиях и способах возмущения системы свойства СОК в ГСП и в ранее предложенных математических моделях, таких, как АМКП, одинаковы.

3. Физические особенности ГСП дают возможность рассмотреть СОК в этих системах при условиях, нефизических для ранее предложенных математических моделей.

• Показано, что в ГСП СОК может существовать даже при закрытых граничных условиях. В этом случае существование СОК обеспечивается не возможностью стока, как во всех ранее изученных открытых системах, а принципиально иным механизмом — аннигиляцией токов противоположных знаков.

• В результате изучения особенностей СОК в ГСП было показано, что для всех рассмотренных граничных условий и способов возмущения системы она остается самоорганизованной в общепринятом смысле, то есть плотности вероятности для напряжений имеют степенное распределение. В то же время межлавинные корреляторы, как более чувствительные к особенностям системы характеристики, ведут себя различно. Их изучение показало, что в системе с СОК возможно существование квазипериодических процессов.

4. В работе также изучены модельные отображения для одноконтактного и двухконтактного СКВИДов в случае ненулевой температуры. Показано, что в случае ненулевой тем

Основные результаты, изложенные в данной главе, опубликованы в (66]

5.1 УМ с учетом ненулевой температуры

Исследуемые нами упрощенные модели многоконтактных СКВИДов при V 1 (37), (39) описываются системами связанных отображений. Подобные системы связанных отображений на пространственных решетках или решетки связанных отображений (PCO) также интенсивно изучаются в последние годы в связи с вопросом о возникновения в них пространственно-временного хаоса [68], [69].

Ранее в работах [54],[64],[63], [62] и в настоящей работе многоконтактные СКВИДы рассматривались при нулевой температуре. В этом случае система описывается отображениями, включающими в себя обобщенные функции, поэтому корректное определение показателя Ляпунова, а, следовательно, и понятия хаоса в этом случае затруднительно.

Обсуждать появление пространственно-временного хаоса возможно при учете конечной температуры. При учете температурных флуктуаций в токе всегда присутствует связанная с ними компонента, I/, которая является случайной величиной. Точный учет температурных флуктуаций можно осуществить по методу Лан-жевена, включая в уравнения для разности фаз дополнительную случайную "силу" //.

Гт. . Ьд(р ЪтЬ . <р = (ре - [V БШ 9 + —— + /у] р дЬ ' Ф0

Однако при таком способе учета температуры, из-за стохастического характера возникающих уравнений, мы не можем в них осуществить переход к приближению дискретного времени так, как это было сделано в случае нулевой температуры. Однако, следуя классической идее Кима и Андерсена [70] и пользуясь физическим соображением о том, что ненулевая температура дает экспоненциальное размытие порога в ВАХ контакта , мы можем написать ВАХ контакта в случае конечной температуры в виде ступеньки Ферми: 1

Ф(*) -

85) здесь 7 — параметр, пропорциональный температуре. Для случая, когда необходимо учитывать оба порога, имеем соответственно:

1 1

Ф(*) - г

-\-ехр(-~^) 1 + ехр( 2 — гс \ '

86)

7 / ■ * ч 7

Отображения, с ВАХ такого вида будут достаточно хорошо моделировать "крип" потока магнитного поля [12] — основное явление, возникающее при конечной температуре.

Однако прежде чем рассматривать вопрос об условиях возникновения хаоса в полной системе, целесообразно было бы рассмотреть системы с меньшим числом степеней свободы, но обладающие теми же основными свойствами.

В данной главе мы аналитически и численно изученим модельные отображения для наиболее простых систем — одноконтактного и двухконтактного СКВИДов при нулевой и конечной температурах и выяснение условий возникновения хаоса в них.

5.2 Изучение модельного отображения для од-ноконтактого СКВИДа.

Модельное отображение для одноконтактного СКВИДа (20) представляет собой нелинейное отображение, способное при определенных условиях порождать хаос. В этом разделе мы исследуем поведение этого отображения в зависимости от параметра р, связанного со скоростью изменения внешнего магнитного поля.

1. В случае нулевой температуры при г < через контакт течет лишь сверхпроводящий ток г = и СКВИД представляет собой единое сверхпроводящее кольцо, стенки которого в силу эффекта Мейсснера не могут пропускать магнитное поле внутрь кольца, так что количество квантов потока внутри кольца остается постоянным. При увеличении внешнего магнитного поля ток в кольце возрастает и при £ > уже не может переноситься лишь сверхпроводящим током. В токе появляется также нормальная составляющая, то есть сверхпроводимость контакта как бы разрушается, и магнитное поле проникает внутрь кольца. При этом разница между потоками внутри и вне кольца уменьшается, ток падает ниже критического значения и сверхпроводимость кольца восстанавливается. Так как в нашей модели внешнее магнитное поле постоянно увеличивается, то далее процесс повторяется.

В нашем случае условие I 1 требует, чтобы гс было достаточно велико, а при гс 1 и положительном р в ВАХ достаточно учитывать лишь положительный порог. Тогда поведе

3.5-)—■—|—>—|—■—|—■—1—'—|—1—I—1—|—■—\—>—| 100 200 300 400 500, 600 700 800 900 1000

Рисунок 24: Зависимость г{к) при (а)^> = 0.01, (Ь)р = ^(0.07). ние СКВИДа достаточно хорошо описывается отображением (20) с функцией Ф(2г) = — гс], которая является ВАХ контакта вблизи критического значения при нулевой температуре.

На рис.24 показана зависимость г(к), полученная итерированием отображения (20) с гс = 4.5, которая полностью соответствует описанной физической картине поведения СКВИДа. В случае р = 0.01 эта зависимость периодична с периодом Тр = 1 /р. В случае же р = \/0-07 она более сложная. Однако мы не можем точно сказать является ли поведение хаотичным, так как в отображение входит обобщенная функция и исследование поведения показателя Ляпунова в этом случае является довольно сложной задачей, которой мы не будем касаться в данной работе.

2. В случае ненулевой температуры мы имеем иную картину.

84

Это связано с тем, что в токе постоянно присутствует, кроме сверхпроводящей компоненты, еще и компонента, связанная с температурными флуктуациями. Таким образом даже при г < гс СКВИД не является единым сверхпроводящим кольцом, и магнитное поле может все время проникать внутрь. Поэтому теперь характер поведения СКВИДа зависит от соотношения параметра р, определяющего скорость изменения внешнего поля и температурного параметра, определяющего скорость проникновения поля в кольцо.

Отображение с ВАХ контакта, отвечающей конечной температуре имеет вид : х(к + 1) = }^{к) (87) оно отражает указанные особенности поведения нашей системы. Фиксируем температурный параметр 7 и исследуем поведение данного отображения в зависимости от соотношения 7 и параметра р.

Это отображение имеет одну неподвижную точку

Она устойчива при р < 27 и при р > 1 — 27. В точке р « 27 производная /'(г*, 27,7) = — 1 и происходит бифуркация удвоения. Далее, образовавшаяся двухпериодическая орбита также претерпевает бифуркацию удвоения и т.д. На рис.25 представлена бифуркационная диаграмма в случае гс = 4.5 и 7 = 0.01 и показатель Ляпунова для отображения (87). В точке р0 показатель Ляпунова становится положительным.

Рисунок 25: Бифуркационная диаграмма и показатель Ляпунова А (р) для модельного отображения для одноконтактного СКВИДа при (7 = 0.01).

Таким образом наше модельное отображение порождает хаос, переход к которому осуществляется через каскад последовательных бифуркаций удвоения [71].

Заметим, что для р существует еще критическое значение р = 1 — 27, в этой точке происходит обратная бифуркация удвоения, но мы не будем анализировать эту область на диаграмме, так как в этом случае нарушается условие адиабатичности р <С 15.3 Изучение модельного отображения для двухконтактного СКВИДа.

В Главе 1 мы получили систему отображений для двухконтактного СКВИДа, мы можем упростить ее. Поскольку у нас в системе имеется следующее равенство для токов: + = ze\ то удобно перейти к переменной г = г1~22. Из уравнений (11) видно, что эта величина, как и ток 2 в случае одноконтактного СКВИДа выражается через потоки внутри и вне кольца:

Для этой переменной получим отображение: г(к + 1) = г (к) - Ъ(г(к))+р. (89) Ф(г(А:)) - Щг{к) - (ге - ге/2)} - д[-г(к) - (гс - ге/2)).

Таким образом, модельное отображение для полуразности токов в двухконтактном СКВИДе имеет такой же вид, что и модельное отображение для тока в одноконтактном СКВИДе в случае, если в В АХ учтены оба порога и критический ток контакта ^е/2.

Заметим, что в этом случае у нас имеется двухпараметриче-ское отображение: параметром является не только р, но и гс\ , и благодаря тому, что представляет собой разность гс и тока ин-жекции, мы можем менять этот параметр в широком диапазоне, оставляя при этом гс достаточно большим, как того требует условие / 1.

В этом разделе мы исследуем поведение модельного отображения для двухконтактного СКВИДа в случае нулевой и конечной температуры в зависимости от соотношения параметров 7,р, гс\.

1. Рассмотрим сначала случай нулевой температуры и на этом примере выделим основную особенность пэзедения модельного отображения, которая сохраняется и в случае конечной температуры.

Отображение для нулевой температуры имеет вид: г (к + 1) = г (к) - д[г - гс1] + -д[-г - гс1] + р; (90)

Как и в случае модельного отображения для одноконтактного СКВИДа это отображение не имеет неподвижных точек и зависимость г (к) по истечении переходного периода имеет пилообразный вид. Судить о наличие хаоса в системе в этом случае сложно по тем же причинам, что и ранее.

Но в поведении этого отображения есть интересная особенность, связанная с наличием двух порогов в функции Ф(^), которая проявляется в случае р = 0, когда в отображении остается лишь один параметр хс\.

При этом любое г* , такое, что \г*\ < 2с1 является устойчивой неподвижной точкой. В случае же если \г\ > гс1 возможно существование двухпериодической орбиты г1*, г2*, для которой справедливы неравенства хи>ге1,г2* = ги-1<-гс1. (91)

Из неравенств (91) видно, что такая двухпериодическая орбита устойчива при малых < 0.5. В случае же гс1 > 0.5 даже начальное условие \г\ > гс\ приводит к существованию устойчивой точки, поскольку в этом случае в отображении (90) один раз "срабатывает" один порог, а второй после этого не достигается.

Таким образом при малых гс\ возможна реализация как устойчивой точки, так и двухпериодической орбиты. Какой из типов поведения реализуется при гс1 < 0.5 зависит от начальных условий, на рисунке 26 показан случай, когда начальные условия находятся в промежутке [—1,1].

Заметим, что в рамках нашей модели мы можем, например, создать ненулевое начальное условие "включив" магнитное поле, тогда согласно модельным отображениям (27), в момент включе

Рисунок 26: Реализация устойчивой точки или двухпериодической орбиты при различных начальных условиях и г а для модельного отображения (90) ния поля в первом контакте возбуждается ток а во втором — —р и создается начальная полуразность токов г0 = р.

Устойчивая точка 2:* для модельного отображения для разности токов отвечает тому, что сами величины токов в контактах ^, г2 имеют устойчивые значения : + ze|2] (92)

2 = + ze|2.

А двухпериодическая орбита 2:1*, г1* соответствует "мерцающему" режиму для каждой из величин г2: г1(2п) = ги + ге/2; г,{2п + 1) = г2* + ге/2; (93) г2(2п) = -г1* + ге/2-г2{2п + 1) = + ге/2.

Возможность реализации одного из типов поведения — устойчивой точки или двухпериодической орбиты — в зависимости от начальных условий , сохраняется для модельного отображения для двухконтактного СКВИДа и в случае конечной температуры.

2. Модельное отображение для двухконтактного СКВИДа при конечной температуре будем рассматривать в случае фиксированного 7 и сначала при р = 0. Тогда отображение зависит лишь от параметра гс\ и имеет вид:

М)

При малых значениях параметра гс1, < 7/77(1/7) данное отображение имеет одну неподвижную точку = 0, которая является неустойчивой, а также устойчивую двухпериодическую орбиту 2:]*, 2^*.

Заметим, что, как и в случае нулевой температуры, для такой двухпериодической орбиты также имеется условие, аналогичное (91) г]* > гс1, « г1; - 1 < -2сЬ (95) что означает | г (к + 1) — г (к) | « 1. Кроме того, так как функция /(г{к), гс1) является нечетной,то для точек двухпериодической орбиты имеется выражение г1* = —2гс1).

В точке г*с1 « 7/71(1/7) неустойчивая неподвижная точка становится устойчивой и возникает неустойчивый цикл 2^*, г^*. Двух-периодическая орбита 2]*, г28* продолжает оставаться устойчивой.

При дальнейшем увеличении гс1 устойчивый и неустойчивый циклы сближаются и при гс1 = гЦ, гЦ « 0.5 + 7/77,(27),> г*с1

1.0

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ъ

Рисунок 27: Устойчивые и неустойчивые точки для модельного отображения для двухконтактного СКВИДа при различных значениях гС1 (р = 0, 7 = 0.1). происходит бифуркация складки, и устойчивый и неустойчивый циклы сливаются. Далее при 2с1 > гЦ отображение имеет только устойчивую точку г* = 0 (рис.27).

Таким образом при 7/72(1/7) < < 0.5 +7/71(2/7) устойчивая точка и устойчивая двухпериодическая орбита сосуществуют. В случае р ф 0 модельное отображение имеет вид

При фиксированном 7 оно зависит от двух параметров р, 2с1 Отображение (96) имеет неподвижную точку

96)

97) которая при фиксированном р неустойчива при малых гс\ 2с1 <

В этой области возможна также реализация устойчивого "цикла" (г*15-г*2), который является двухпериодической орбитой прир < 7, а далее в каждой из ветвей этой орбиты происходит переход к хаосу. Однако для точек "цикла" по-прежнему справедливо условие

В точке гС1 = г^р) неустойчивая точка г* становится устойчивой и появляется неустойчивый цикл, который далее при гс1 = гс1 (р) 5 г*1 > г*1 сливается с существующим устойчивым " циклом", после чего отображение имеет лишь устойчивую точку.

Обобщая приведенные результаты, молено получить "фазовую" диаграмму для отображения (96) в случае р < 27, то есть в области, где существует неподвижная точка (рис.28).

Как показывает численный эксперимент, полученную аналитическим путем "фазовую диаграмму" можно обобщить и на ту область параметров, где точный аналитический расчет уже невозможен (р > 2-у). Там также при малых значениях гС1, любое начальное условие приводит к "двухпериодической орбите", которая представлена двойным составным хаотическим аттрактором, точки на котором при фиксированном р удовлетворяют условию | г {к + 1) — z{k)\ ~ 1. При дальнейшем увеличении 2с1 существует область, где в зависимости от начальных условий реализуется либо "двухпериодическая орбита", либо "устойчивая точка", представленная теперь одинарным хаотическим аттрактором. Этот аттрактор по своей структуре аналогичен тому, который возни

98) г{к + 1)~ г(к)\ и 1. fixed point (a) (b)

A (c)

0 (d) fixed point + cycle i—Д-A-&&<КгСКЮ<Ю<Ю<г , cyclq . 1 р

Рисунок 28: "Фазовая диаграмма" для модельного отображения для двухконтактного СКВИДа. (а) численно полученная функция 2*1(р); (Ь) численно полученная функция (с) оценка (98) для г*г(р) для р 0, г*с1(р) « 7/71(1/7) = 0.046; (с!) оценка (98) для 2^(р) для р 27, г*с1 « (7/2)/п(-?^-т). кает для модельного отображения для одноконтактного СКВИДа (87) с соответствующим zc. Далее, при zcl > 0.5 возникает лишь одинарный хаотический аттрактор, аналогичный аттрактору, возникающему в случае одноконтактного СКВИДа.

Для иллюстрации на рисунках 29-31 представлены бифуркационные диаграммы и показатели Ляпунова для нашего отображения при 7 = 0.01 и различных соотношениях параметров zci и р.

На рисунке 29 представлена бифуркационная диаграмма для фиксированного zci — 0.045 < z*cl{p), в этом случае для р < 2 j при любом начальном условии реализуется устойчивая двухпериодиче-ская орбита. При дальнейшем увеличении р в каждой из ветвей орбиты происходит переход к хаосу через каскад последовательных бифуркаций удвоения и возникает двойной составной хаотический аттрактор. В этом случае точка z{k) постоянно переходит с одной ветви аттрактора на другую, то есть \z(k -f 1) — z(k)| « 1. При p > Pi обе ветви сливаются в единый аттрактор. Однако в нем сохраняется структура двойного аттрактора: расстояние между двумя последовательными точками примерно равно единице. При р > р2 остается лишь одинарный аттрактор.

Далее на рисунках 30 показана бифуркационная диаграмма для zci < zci < ¿cl** при различных начальных условиях. Рисунок 30а отвечает начальному условию z0 = 0, а рисунок 30b — z0 = —0.5. Из данных диаграмм видно, что в области р < 2"у, в зависимости от начальных условий, возможна реализация и устойчивой точки и устойчивого цикла. При увеличении р устойчивая точка переходит в хаотический аттрактор, а устойчивый цикл в двойной составной хаотический аттрактор, а начиная со значения р = р1 для обоих

Рисунок 29: Бифуркационная диаграмма и показатель Ляпунова (А(р)) для модельного отображения для двухконтактного СКВИДа (96) (7 = 0.01) для гС1 = 0.045 и произвольных начальных условий. случаев имеется единый хаотический аттрактор, который, как и в предыдущем случае, сохраняет структуру двойного аттрактора. При р > р2 остается лишь одинарный аттрактор.

Случай гС1 > гЦ представлен на рисунке 31, здесь при любых начальных условиях при р < 27 возможна лишь реализация устойчивой точки. При дальнейшем увеличении р происходит переход к хаосу, но по-прежнему имеется лишь одинарный аттрактор.

На рисунке 32 представлена бифуркационная диаграмма, отвечающая фиксированному р — 0.015 < 27. При построении этой диаграммы для каждого ггЛ брались несколько начальных условий из промежутка (—0.5,0,5). Из рисунка видно, что при малых гС1 при любых начальных условиях реализуется устойчивый цикл, далее существует область г*1(р) < гсЛ < г*1[(р), в которой некоторые начальные условия приводят к реализации устойчивой точки,

0.01

11111 I I I II ПШ |М1||||1П1ПГЧП11р|

0.1 0.2 0.5 "1

Рисунок 31: Бифуркационная диаграмма и показатель Ляпунова (Л(р)) для модельного отображения для двухконтактного СКВИДа (96) (7 = 0.01) для гС1 = 0.5 и произвольных начальных условий. а некоторые — к устойчивому циклу, а при дальнейшем увеличении гС1 > (р) у отображения при любых начальных условиях имеется лишь устойчивая точка.

Интересно, что даже при достаточно больших р > 27 характер поведения отображения сохраняется: в зависимости от начальных условий возможна либо реализация устойчивой "точки", представленной теперь хаотическим аттрактором, либо "двухпериодиче-ской орбиты", которая имеет теперь вид составного двойного хаотического аттрактора. На рисунке 33 представлена бифуркационная диаграмма для р = 0.03. При построении этой диаграммы мы брали для каждого гс\ несколько начальных условий из промежутка (—0.5,0.5). Из рисунка видно, что при малых гс1 возможна лишь реализация двойного хаотического аттрактора, далее при увеличении гс\ имеется область, где некоторые начальные условия zcl(P) 01 0 2 Z^ (p) zcl

Рисунок 32: Бифуркационная диаграмма для модельного отображения для двухконтактного СКВИДа (96)(7 = 0.01) р = 0.015 и начальных условий из промежутка (—0.5,0.5) приводят к реализации двойного составного хаотического аттрактора, а некоторые ■— к одинарному хаотическому аттрактору, и наконец при zcí близких к 0.5 имеется лишь одинарный хаотический аттрактор.

Таким образом, в настоящей главе мы исследовали модели одноконтактного и двухконтактного СКВИДов, помещенных во внешнее магнитное поле, при большом значении основного параметра V 1 в случае нулевой и конечной температуры. Получены следующие результаты.

1. В отображении для одноконтактного СКВИДа с В АХ отвечающей непулевой температуре при увеличении параметра- р., связанного со скоростью изменения внешнего магнитного поля, наблюдался переход к хаосу через каскад последовательных бифуркаций удвоения.

Рисунок 33: Бифуркационная диаграмма для модельного отображения для двухконтактного СКВИДа для р = 0.03.

2. В случае двухконтактного СКВИДа с инжекцией постоянного тока как при нулевой, так и при конечной температуре, модельное отображение для разности токов зависит от параметра р. а также параметра 2с1 = — ге/2, где величина 2С представляет собой безразмерный критический ток контактов, а величина 2е — безразмерный ток инжекции. Возникающее отображение имеет тот же вид, что и отображение для одноконтактного СКВИДа при условии, что в В АХ контакта учтены оба порога, а критический ток равен гс].

3. В случае нулевой температуры при р = 0 в поведениии отображения для разности токов в двухконтактном СКВИДе имеется интересная особенность. Существует область значений в которой в зависимости от начальных условий здесь возможна реализация либо устойчивой точки, либо устойчивой двухпериодической орбиты.

Заключение

В настоящей работе изучалось критическое состояние двумерного и одномерного многоконтактных СКВИДов с большим значением параметра V 1, исходя непосредственно из системы дифференциальных уравнений для разностей фаз на контактах. Было показано, что в этом случае КС в системе является самоорганизованным, то есть представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин, возникающих после локального внешнего возмущения системы. Таким образом описана физическая система с СОК, которую можно изучать не только теоретически, но и экспериментально.

Параллельно с исходными системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, изучались упрощенные модели одноконтактного и двухконтактного СКВИДов, описываемые системами отображений и имеющие аналоги среди стандартных моделей для изучения СОК, такие как АМКП. Показано, что для каждого из рассмотренных в работе граничных условий и способов возмущения системы, поведение основных величин для обеих систем одинаково, то есть они попадают в один класс универсальности. Следовательно, введенные упрощения не изменяют основных физических свойств системы. Данный вывод важен и в связи с тем, что упрощенная модель ГСП гораздо более удобна для изучения и компьютерного моделирования, чем исходная СДУ. Таким образом дальнейшее изучение СОК в ГСП можно проводить, пользуясь введенными для различных случаев в [54] упрощенными моделями ГСП.

Физические свойства ГСП позволили рассмотреть систему в условиях, которые являются нефизическими в ранее предложенных математических моделях для изучения СОК. В результате изучения особенностей СОК в ГСП было показано, что для всех рассмотренных граничных условий и способов возмущения системы она остается самоорганизованной в общепринятом смысле, то есть плотности вероятности для напряжений имеют степенное распределение. В то же время межлавинные корреляторы, как более чувствительные к особенностям системы характеристики, ведут себя различно. Их изучение показало, что в системе с СОК возможно существование квазипериодических процессов. Кроме того, было показано, что в ГСП СОК может существовать даже при закрытых граничных условиях. В этом случае существование СОК обеспечивается не возможностью стока, как во всех ранее изученных открытых системах, а принципиально иным механизмом — аннигиляцией токов противоположных знаков. Таким образом обнаружение СОК в ГСП дает новую информацию об этом явлении.

В работе также изучены модельные отображения для одноконтактного и двухконтактного СКВИДов в случае ненулевой температуры. Они были получены из модельных отображений для случая нулевой температуры, в которых мы, базируясь на идее Кима и Андерсона, заменили входящие в них ВАХ контактов при нулевой температуре на ВАХ контактов в случае конечной температуры. Показано, что в случае ненулевой температуры в модельных отображениях происходит переход к хаосу через каскад последовательных бифуркаций удвоения. Кроме того, в поведе-ниии отображения для разности токов в двухконтактном СКВИДе наблюдалась интересная особенность. Существует такая область параметров, где в зависимости от начальных условий возможна реализация либо устойчивой точки, переходящей в одинарный аттрактор, либо устойчивой двухпериодической орбиты, переходящей в составной двойной хаотический аттрактор.

Таким образом на защиту выдвигаются следующие результаты:

• показано, что критическое состояние в многоконтактных СКВИ-Дах является самоорганизованным, то есть представляет собой набор переходящих друг в друга метастабильных критических состояний.

• при одинаковых граничных условиях и способах возмущения системы свойства СОК в многоконтактных СКВИДах полностью эквивалентны свойствам самоорганизованного КС в стандартных математических моделях для изучения СОК, таких как АМКП и модель одномерной кучи песка [43].

• ГСП представляют собой принципиально новый класс систем с СОК, в отличие от ранее известных моделей с СОК в многоконтактных СКВИДах СОК может реализовываться и при закрытых граничных условиях. Возможность самоорганизации в закрытой системе обеспечивается в этом случае^ чием процесса аннигиляции существующих в сигпротивоположных знаков. те

• показано, что ранее4 не рассматрив?'4^^? 0п е реляторы являются более чувс ^^гстемы характеристиками ные плотности вероятности. В то время как плотности вероятности во всех рассмотренных случаях демонстрируют степенное поведение, межлавинные корреляторы ведут себя различно. В частности их изучение показало, что в самоорганизованной системе возможно наличие квазипериодических процессов.

• показано, что при учете температуры в модельных отображениях для одноконтактного и двухконтактного СК ВИДов происходит переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума. Как в случае нулевой, так и в случае конечной температуры в поведении отображения для двухконтактного СКВИДа обнаружена интересная особенность. Имеется область параметров, в которой сосуществуют два типа поведения отображения: устойчивая точка (или хаотический аттрактор) и устойчивый цикл (или составной двойной хаотический аттрактор). Реализация того или иного типа поведения зависит от начальных условий.

В заключение я хочу выразить мою искреннюю благодарность научному руководителю Саулу Лейбовичу Гинзбургу. Я также благодарю М.А.Пустовойта и О.В.Геращенко за постоянную помощь и заинтересованное обсуждение результатов работы.

1. J.G.Bednorz, K.A.Müller, "Possible High-Tc Superconductivity in the Ba-La-Cu-0 system", Z.Phys.B, 64, 189-193(1986).

2. L.Morgenstern, K.A.Müller, J.G.Bednorz, "Numerical simulations of High-Tc-superconductive Glass model", Z.Phys.B, 69, 33-47(1987).

3. K.A.Müller, M.Takashige, J.G.Bednorz, "Flux trapping and superconductive glass state in La-iCuO^-y : 2?a", Phys.Rev.Lett., 58, 1143-1146(1987).

4. J.R.Clem, "Granular and Superconducting Glass properties of the high-temperature superconductors", Physica C, 153-155, 50-55(1988).

5. D.-X.Chen, J.J.Moreno, A.Hernando, "Evolution from the vortex state to the critical state in a square-columnar Josephson-junction array", Phys.Rev.B, 53,6579-6584(1996).

6. D.-X.Chen, A.Sanchez, A.Hernando, "Magnetic properties of slablike Josephson-junction arrays",Phys.Rev.B,50, 13735-13743(1994)

7. D.-X.Chen, A.Sanchez, "Magnetic properties of High-Tc superconducting grains", Phys.Rev.B,45, 10793-10796 (1992)

8. D.-X.Chen, A.Sanchez, A.Hernando, "Magnetic dynamic his-teresis of a resestively shunted Josephson Junction Array", Phys.Rev.B,50, 10342-10345(1994)

9. D--X.Chen, J.J.Moreno, \ Hernando, "Nucleation-controlled vortex entry in square-co\mnar Josephson junction array", phys.Rev.B, 56, 2364-2367(1997).reV

10. T.WoIf, A.Manjofer, "ac su^ceptibilities of a network of sistively shunted Josephson junctions with self-inductance Phys.Rev.B., 47, 5383-5389 (I993).

11. ГЦ. A.Manjhofer, T.Wolf, W.Dietetich, "Irreversible magnetization effect in a network of resistivity shunted tunnel junctions", phys.Rev.B, 44, 9634-9638(1991).

12. П. Де Жен, Сверхпроводимость металлов и сплавов, "Мир", Москва, 1968.

13. C.P.Bean, "Magnetization of High-Field Superconductors" Rev.Mod.Phys.,36,31-39(1964).

14. К.К.Лихарев, Введение в динамику джозефсоновских переходов, Наука, Москва, 1985.

15. P.Bak, C.Tang, K.Wisenfeld, "Self-organized criticality: An Explanation of 1/f Noise" Phys.Rev.Lett.,59,381-384(1987).

16. P.Bak, C.Tang, and K.Wiesenfeld, "Self-organized criticality" Phys.Rev.A,38, 364-374(1988).

17. C.Tang and P.Bak, "Critical exponents я*1. Sr>во ioi

18. Self-organized critical phenonie^ 2350(1988). (Щ8) q.fiL18. C.Tangan'

19. P.Bak, "Self-organized criticality in non-conservative models", Physica A, 191, 41-44 (1992).

20. D.Dhar,"Self-organized critical state of Sandpile Automaton Models", Phys.Rev.Lett., 64, 1613-1616(1990)

21. D.Dhar, S.N.Majumdar, "Abelian sandpile model on the Bethe lattice", J.Phys.A, 23, 4333-4350(1990).

22. D.Dhar, S.N.Majumdar, "Height correlations in the Abelian Sandpile model", J.Phys.A, 24, L357-L362(1990).

23. V.B.Priezzhev, "Structure of 2D sandpile. Height Probabilities", J.Stat.Phys, 74, 955-979(1994).

24. S.S.Manna and J.Kertesz, "Correlations and scaling in the outflow statistics of a sandpile automaton", Physica A, 173 , 49-59 (1991).

25. Manna S.S. "Large-Scale Simulation of Avalanche Cluster Distribution in Sand Pile Model", J.Stat.Phys. 59,509-521(1990).

26. S.S.Manna, "Critical exponents of the sand pile models in two dimensions", Physica A,179, 249-268 (1991)

27. H.J.Jensen, K.Christensen, H.C. Fogedby, "1// noise, distribution of lifetime and a pile of sand", Phys.Rev.B, 40, 7425-7427(1989).

28. В заключение я хочу выразить мою искреннюю благодарность научному руководителю Саулу Лейбовичу Гинзбургу. Я также благодарю М.А.Пустовойта и О.В.Геращенко за постоянную помощь и заинтересованное обсуждение результатов работы.1. Литература

29. J.G.Bednorz, K.A.Mûller, "Possible High-Tc Superconductivity in the Ba-La-Cu-0 system", Z.Phys.B, 64, 189-193(1986).

30. L.Morgenstern, K.A.Mûller, J.G.Bednorz, "Numerical simulations of High-Tc-superconductive Glass model", Z.Phys.B, 69, 33-47(1987).

31. K.A.Mûller, M.Takashige, J.G.Bednorz, "Flux trapping and superconductive glass state in La2Cu04-y : Bci", Phys.Rev.Lett., 58, 1143-1146(1987).

32. J.R.Clem, "Granular and Superconducting Glass properties of the high-temperature superconductors", Physica C, 153-155, 50-55(1988).

33. D.-X.Chen, J.J.Moreno, A.Hernando, "Evolution from the vortex state to the critical state in a square-columnar Josephson-junction array", Phys.Rev.B, 53,6579-6584(1996).

34. D.-X.Chen, A.Sanchez, A.Hernando, "Magnetic properties of slablike Josephson-junction arrays",Phys.Rev.B,50, 13735-13743(1994)

35. D.-X.Chen, A.Sanchez, "Magnetic properties of High-Tc superconducting grains", Phys.Rev.B,45, 10793-10796 (1992)

36. D.-X.Chen, A.Sanchçz, A.Hernando, "Magnetic dynamic liis-teresis of a resestively shunted Josephson Junction Array", Phys.Rev.B,50, 10342-10345(1994)

37. D.-X.Chen, J.J.Moreno, A.Hernando, "Nucleation-controlled vortex entry in square-columnar Josephson junction array", Phys.Rev.B, 56, 2364-2367(1997).

38. T.Wolf, A.Manjofer, "ac susceptibilities of a network of re-sistively shunted Josephson junctions with self-inductance" Phys.Rev.B., 47, 5383-5389 (1993).

39. A.Manjhofer, T.Wolf, W.Dieterich, "Irreversible magnetization effect in a network of resistively shunted tunnel junctions", Phys.Rev.B, 44, 9634-9638(1991).

40. П. Де Жен, Сверхпроводимость металлов и сплавов, "Мир", Москва, 1968.

41. C.P.Bean, "Magnetization of High-Field Superconductors" Rev.Mod.Phys.,36,31-39(1964).

42. К.К.Лихарев, Введение в динамику джозефсоновских переходов, Наука, Москва, 1985.

43. Р.Вак, С.Tang, K.Wisenfeld, "Self-organized criticality: An Explanation of 1 // Noise" Phys.Rev.Lett.,59,381-384(1987).

44. P.Bak, C.Tang, and K.Wiesenfeld, "Self-organized criticality", Phys.Rev.A,38, 364-374(1988).

45. C.Tang and P.Bak, "Critical exponents and Scaling Relation for Self-organized critical phenomena", Phys.Rev.Lett., 60, 2347-2350(1988).

46. C.Tang and P.Bak, "Mean Field Theory of Self-Organized Critical Phenomena", J.Stat.Phys., 51, 797-802 (1988).

47. P.Bak, "Self-organized criticality in non-conservative models", Physica A, 191, 41-44 (1992).

48. D.Dhar,"Self-organized critical state of Sandpile Automaton Models", Phys.Rev.Lett., 64, 1613-1616(1990)

49. D.Dhar, S.N.Majumdar, "Abelian sandpile model on the Bethe lattice", J.Phys.A, 23, 4333-4350(1990).

50. D.Dhar, S.N.Majumdar, "Height correlations in the Abelian Sandpile model", J.Phys.A, 24, L357-L362(1990).

51. V.B.Priezzhev, "Structure of 2D sandpile. Height Probabilities", J.Stat.Phys, 74, 955-979(1994).

52. S.S.Manna and J.Kertesz, "Correlations and scaling in the outflow statistics of a sandpile automaton", Physica A, 173 , 49-59 (1991).

53. Manna S.S. "Large-Scale Simulation of Avalanche Cluster Distribution in Sand Pile Model", J.Stat.Phys. 59,509-521(1990).

54. S.S.Manna, "Critical exponents of the sand pile models in two dimensions", Physica A,179, 249-268 (1991)

55. H.J.Jensen, K.Christensen, H.C. Fogedby, "1// noise, distribution of lifetime and a pile of sand", Phys.Rev.B, 40, 7425-7427(1989).

56. K.Christensen, H.C. Fogedby, H.J.Jensen, "Dynamical and Spatial Aspects of sandpile Cellular Automata", J.Stat.Phys., 63, 653-684 (1991).

57. J.K.Kertesz, L.B.Kiss, "The noise spectrum in the model of self-organized criticality", J Phys.A, 23, L433-L438(1990).

58. P.Grassberger, S.S.Manna, "Some more sandpile" , J. de Physique, 51, 1077-1085 (1990).

59. B.Drossel, F.Schwabl, "Self-organized critical forest fire model", Phys.Rev.Lett,69, 1629-1632 (1992)

60. B.Drossel, S.Clar, F.Schwabl, "Exact results for one-dimensional critical forest fire model", Phys.Rev.Lett,71, 3739-3742 (1993)

61. P.Bak, T.Chen, Creutz, "Self-organized criticality in the "Game of Life", Nature,342, 780-781 (1989)

62. Preben Alstrom, Joao Leao, "Self-organized criticality in the "Game of Life", Phys.Rev.E,49, R2507-R2508 (1994)

63. Z.Olami, H.J.S.Feder, and K.Christensen, "Self-organized criticality in a continuous Nonconservative Cellular Automaton Modelling Earthquakes", Phys.Rev.Lett.,68, 1244-1247(1992).

64. K.Christensen, Z.Olami, and P.Bak, "Deterministic 1// Noise in Nonconservative Models of Self-organized Criticality", Phys.Rev.Lett.,68, 2417-2420 (1992).

65. J.M.Carlson, J.S.Langer, "Properties of Earthquakes Generated by Fault Dynamics", Phys.Rev.Lett., 62, 2632-6635 (1989).

66. P.Bak, K.Sneppen, "Punctuated Equilibrium and Criticality in Simple Model of Evolution", Phys.Rev.Lett, 71, 4083-4086(1993).

67. V.B.Priezzhev, D.Dhar, A.Dhar, S.Krishnamurty, "Eulerian Walker as a model of SOC", Phys.Rev.Lett.,77, 5079-50821996).

68. Y.-C.Zhang, "Scaling theory of self-organized criticality", Phys.Rev.Lett.,63, 470-473 (1989).

69. L.Kadanoff, S. R.Nagel, L.Wu, S.-m. Zhou, "Scaling and universality in avalanches", Phys.Rev.A, 39, 6524-6537 (1989)

70. S.T.R.Pinho, C.P.C.Prado, S.R.Salinas, "Complex behavior in one-dimensional sandpile models", Phys.Rev.E, 55, 2159-21651997)

71. A.B.Chhabra, M.J.Feigenbaum, L.P.Kadanoff, A.J.Kolan, I.Procaccia, "Sandpiles, avalanches, and the statistical mechanics of nonequilibrium stationary states", Phys.Rev.E, 47, 30993121 (1993)

72. V.Frette, "Sandpile models with dynamically varying Critical Slope", Phys.Rev.Lett., 70, 2762-2765 (1993).

73. J.Suzuki, K.Kaneko, "Imitation games", Physika D, 75, 328-342 (1994).

74. A.Papa, C.Tsallis, "Imitation games: Power-law sensitivity to initial conditions and nonextensivity", Phys.Rev.E, 57, 39233927 (1998).

75. K.Chen, P.Bak, S.P.Obukhov "Self-organized criticality in crack-propogation model of earthquakes", Phys.Rev.A, 43, 625630 (1990).

76. H.-H. St0lum, "Fluctuations at self-organized critical state", Phys.Rev.E., 56, 6710-6718 (1997).

77. E.V.Albano, "Self-Organized Collective Displasement of Self-Driven Individuals", Phys.Rev.Lett., 77, 2129-2132 (1996).

78. N.Miranda,D.Hermann "Self-organized criticality with disoder and fluctuation", Physica A, 175, 339-344(1991).

79. G.A.Held, D.H.Solina, D.T.Keane, W.G.Hang, P.M.Horn, G.Grinstein, "Experimental study of critical-mass fluctuations in an evolving sandpile" Phys.Rev.Lett.,65,1120-1123 (1990).

80. С.Л.Гинзбург,"Саморганизация критического состояния в гранулированных сверхпроводниках и решетках джозефсо-новских контактов" ЖЭТФ, 106, 607-626 (1994).

81. C.E.Gough, "Flux Quantisation and SQUID Magnetometry using ceramic superconductors", Physica C, 153-155, 1569-1573 (1988).

82. Akos Csilling, Imre Janosi, Gabriella Pasztor, Istvan Scheuring, "Absence of chaos in self-organized critical coupled map lattice", Phys.Rev.E,50, 1083-1092 (1994)

83. Maria de Sousa Vieira, Allan Lichtenberg, "Presence of chaos in self-organized critical system", Phys.Rev.E, 53, 1441-1445 (1996)

84. S.Berndt, W. Martiensen, "Criticality and transient chaos in a sandpile model", Phys.Rev.E,52, R5749-R5752 (1995)

85. Ayse Ersan, Sudeshna Sinha, "Spatiotemporal intermittency on the sandpile", Phys.Rev.Lett,66, 2750-2753 (1991)

86. О.И.Кулик, И.К.Янсон, Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах, Наука, М., 1970.

87. Дж.Бендат, А.Пирсол, Прикладной анализ случайных данных., "Мир", М., 1989.

88. S.L.Ginzburg, M.A.Pustovoit, N.E.Savitskaya, " Interavalanche correlations in self-organized critical state of multifunction SQUID", Phys.Rev.E, 57,1319-1326(1998)

89. С.Л.Гинзбург, Н.Е.Савицкая, "Самоорганизация критического состояния в гранулированных сверхпроводниках", препринт ПИЯФ N 2324, Гатчина, 1999

90. С.Л.Гинзбург, Н.Е.Савицкая, "Хаос в модельных отображениях для одноконтактного и двухконтактного СКВИДов", Препринт ПИЯФ N 2318, Гатчина (1999).

91. K.Wiesenfeld, J.Theiler, B.McNamara, "Self-organized critical-ity in deterministic automaton" Phys.Rev.Lett., 65, 949-952 (1990).

92. K.Kaneko, "Spatioteporal chaos in coupled map lattices", Phys-ica D,37,60-82(1989).

93. K.Kaneko, "Lyapunov analysis and information flow in coupled map lattices", Physica D,23, 436-440(1986).

94. P.W.Anderson and Y.B.Kim,"Hard Superconductivity: Theory of the Motion Flux Lines" Rev.Mod.Phys, 36, 39-45(1964)

95. Г.Шустер Детерминированный хаос, "Мир", М., 1988.