Самосогласованные и дифракционные задачи для открытых структур при наличии угловых точек тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный

\

ч"

^ ^ Университет

% - - ..........................На правах рукописи

Майсон Евгений Семенович

Самосогласованные и дифракционные задачи для открытых структур при наличии угловых точек

________01.04.03 - радиофизика_______

Автореферат диссертации на сбисканиё ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена в научно-исследовательском институте радиофизики при Санкт-Петербургском Государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Макаров Г.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Барсуков К.А.

кандидат физико-математических наук Мачевариани М.М.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский Государственный

технический университет.

Защита состоится " ^еа^е ¿^Р_1997 года в часов

на заседании диссертационного совета Д 063.57.36 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в СПбГУ по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СПбГУ.

Автореферат разослан " 1997

г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

и

/Рыбачек С.Т./

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В широком классе проблем электродинамики возникает необходимость построения решений граничных задач для уравнений Максвелла в областях, границы которых содержат угловые точки. Как примеры подобных вопросов могут быть приведены исследования распространения волн при наличии неоднородностей, проблемы анализа и синтеза антенных систем, генерации и передачи энергии в СВЧ диапазоне и т.д. Кратко остановимся на специфике граничных задач в случае наличия угловых точек и обзоре существующих методов их решения.

В большинстве задач исследуемая область имеет сложную структуру и выбрать в ней единое представление для искомого поля не удается. В этом случае производится разбиение всей области на подобласти, в каждой из которых искомое поле представимо в виде разложения по полной в классе решений уравнения Гельмгольца системе функций, и использование непрерывности тангенциальных компонент полей на "фиктивных" (т.е. не существующих реально, а введенных для обеспечения полноты базисной системы функций в классе решений с заданными условиями) границах частичных областей (метод частичных областей - МЧО). Далее, производя разложение условий сппгвания по полным системам функций, можно перейти к бесконечной системе алгебраических либо интегральных уравнений относительно искомых коэффициентов разложений. В зависимости от выбора базисного набора функций возможны два варианта реализации МЧО.

Во-первых, возможен такой выбор системы функций, при котором оператор бесконечной системы нормируем. Это имеет место в том случае, когда каждый член разложения правильно описывает особенность поля в окрестности угловой точки. Реализация данного подхода в общем случае

приводит к построению решения с неизвестной погрешностью (так, в работах, использующих такой метод, о величине ошибки судят по зависимости решения, полученного путем численного исследования усеченной системы, от ее размерности).

Второй вариант реализации МЧО состоит в использовании "естественных" (т.е. определяемых выбором системы координат) наборов базисных функций, не обеспечивающих, как правило, правильного поведения искомого решения в окрестности угловых точек. Это приводит к получению матричного либо интегрального уравнения первого или второго рода с оператором не обладающим конечной нормой в классах 12 или Ц соответственно. Методы, позволяющие находить решения бесконечных систем без усечения, в общем случае отсутствуют. Для уравнения первого рода построение решения методом усечения не является строгой в математическом плане процедурой и в общем случае неприменимо. Это обусловлено отсутствием у соответствующего оператора свойства вполне непрерывности. При получении бесконечной ненормируемой системы второго рода каждый элемент матричного оператора представляет собой бесконечную сумму, которая в общем случае не может быть вычислена явно. Отсюда, для систем второго рода с ненормируемым оператором помимо вопроса о способе усечения бесконечной системы следует рассматривать возможность ограничения числа слагаемых в вышеупомянутых суммах; однако, с учетом свойств оператора замена матричных элементов приближенными значениями (происходящая при ограничении числа слагаемых в вышеуказанных суммах) в большинстве задач делает невозможным как построение строгого решения, так и оценку погрешности приближенного.

Поэтому в общем случае для решения ненормируемых систем (интегральных уравнений) должны быть применены специальные методы, основанные на явном или неявном обращении сингулярной части. В ряде случаев оказывается эффективным решение системы методом вычетов (МВ) в

основе которого лежит процедура построения функции с заданными свойствами, модифицированным метод вычетов (ММВ), либо методом Винера-Хопфа [1]. Однако общей чертой МВ, ММВ и метода Винера-Хопфа является их применимость лишь к координатным задачам и значительное усложнение решения при модификации исследуемой области. Поэтому можно сделать вывод о предпочтительности приведения задачи к уравнению с нормируемым оператором. Это может быть достигнуто посредством выделения с последующим обращением сингулярной части матричного либо интегрального оператора (метод полуобращения - МПО).

Одним из первых примеров реализации метода полуобращения в задачах электродинамики является [2], где для обращения сингулярной части оператора использован аппарат задачи Римаяа-Гильберта. В ряде работ разрабатывается метод выделения и точного обращения сингулярной части матричного оператора системы, полученной в результате сшивания в МЧО.

В исследу емых в этих работах задачах обращается сингулярная часть матричного оператора, обусловленная наличием неубывающих при движении вдоль некоторых диагоналей элементов. Такой подход применяется рядом авторов в основном для исследования дифракции на открытых периодических структурах.

Несколько иной способ получения регулярных систем предложен в [3]. Здесь исходным при построении системы является не уравнение Гельмгольца, а равносильное ему интегральное, получаемое посредством точного обращения статической части оператора Гельмгольца - лапласиана. Оно может быть выполнено, например, с помощью стандартного метода, основанного на теории конформных отображений. Показано, что такая процедура соответствует обращению сингулярной части оператора Гельмгольца, связанной с наличием угловых точек на границе исследуемой области. Это позволяет предложить схему, аналогичную МЧО, но приводящую к построению регулярной алгебраической системы относительно коэффициен-

тов разложения решений в частичных областях. Данный метод получил название метода квазистатической функции Грина (МКФГ).

Основные проблемы, возникающие при реализации этого метода, обусловлены необходимостью вычислять сложные интегралы кратности от двух до четырех - суть коэффициенты разложения функции Грина уравнения Пуассона в рассматриваемой области в ряд Фурье. Данный метод использовался автором для рассмотрения дифракции на периодической структуре. Впоследствии он был применен для исследования разветвления в волноводе [4], и распространен на случай наличия в одной из подобластей диэлектрического заполнения.

Остановимся еще на одном способе сведения граничной задачи при наличии угловых точек к регулярному уравнению 2-го рода. Суть его состоит в использовании в качестве регуляризатора оператора (Д су+г]2(х,у))"1 (здесь (Аху - оператор Лапласа в переменных (х,у)), где функция г|(х,у) выбирается таким образом, чтобы оператор (Дху+г12(х,у))",(Дху+1с2) был ре1улярен (очевидно, что МКФГ является частным случаем этого метода, соответствующим выбору т](х,у)=0 ). Преимуществом такого способа является получение решения, по построению удовлетворяющего условию на бесконечности.

В этом случае ключевым моментом решения является построение регу-ляризующего оператора (Дху+г^ху))*1, которое в двумерных задачах может быть выполнено на основе теории конформных отображений. К настоящему времени этот метод был использован для решения задач волноводного типа (дифракция на изломе и т.п.).

Итак, основное внимание при исследовании задач в случае наличия угловых точек уделялось задачам дифракции в волноводах и на открытых периодических структурах. В связи с этим представляет интерес разработка методов исследования задач с угловыми точками в открытых областях в случае непериодических структур. Кроме того, актуальной проблемой яв-

б

ляется также применение существующих методов решения дифракционных задач (в частности - метода полуобращения) для нахождения самосогласованного электромагнитного поля. Это позволит как вычислять поля, создаваемые реальными антеннами, так и исследовать параметры антенн в случае наличия угловых точек на поверхности рассеивающей области.

Пель работы. Целью работы является модификация существующих методов полуобращения для решения самосогласованных и дифракционных задач в открытых областях с непериодическими границами. Важным моментом является получение формул для поля и входных характеристик в виде, допускающем извлечение физических следствий. Существенный интерес представляет исследование вопроса о возможности увеличения мощности, излучаемой антенной (при фиксированном токе) в случае ее расположении в окрестности угловых точек границы раздела сред.

Научная новизна. Исследованы поля, создаваемые как идеализированными источниками, так и излучателями, учитывающими геометрию и свойства реальных антенн. Задачи, содержащиеся в работе, содержат принципиальную новизну: приближение самосогласованного поля при наличии угловых точек, рассмотрение открытой непериодической структуры (в том числе в некоординатном случае, т.е. когда границы раздела сред не являются поверхностями одной системы координат), задача со сферической геометрией при наличии углов ранее не являлись предметом исследований. В работе произведена оценка погрешностей, возникающих при редукции нормируемых матричных и интегральных операторов.

Научная и практическая ценность работы. Предложен способ применения МКФГ при наличии подобластей, в которых затруднен выбор функций, удовлетворяющих требуемым граничным условиям. В отличие от разработанной недавно автором МКФГ схемы, в которой построение решения в области сложной формы достигается "ценой" увеличения кратности ин-

тегралов, входящих в коэффициенты системы, предлагаемый способ приводит к увеличению числа этих интегралов (на единицу доя каждой области сложной формы). В ряде случаев это может являться предпочтительным; зкр<?ме того, при таком подходе отпадает необходимость во введении дополнительных представлений для поля в переходных областях.

Производится модификация МКФГ, позволяющая производить частичное обращение оператора Лапласа, при которой выделяется и точно обращается часть оператора, связанная с угловыми точками, и игнорируется часть, связанная с гладкими границами. Это позволяет существенно упростить процедуру построения регуляризующего оператора в областях с несвязными границами.

Предложен метод позволяет свести задачу о вычислении возмущения поля, создаваемого малой (в терминах длин волн) неоднородностью к нахождению конформного отображения исследуемой области на полуплоскость.

На примере рассмотренной в гл.3 задачи иллюстрируется схема, позволяющая при соответствующем обосновании применять метод полуобращения в ряде статических задач со сферической геометрией.

Это не только представляет интерес в самостоятельном плане, но и может быть использовано при решении задачи статики как ключевой (например, в МКФГ).

Положения, выносимые на защиту:

- решение задачи о нахождении самосогласованного электромагнитного поля для антенны над открытой непериодической структурой. Основой решения является частичное обращение оператора Лапласа, при котором выделяется и точно обращается часть оператора, связанная с наличием угловых точек на границе рассматриваемой области.

- новый способ реализации метода квазистатической функции Грина в областях сложной формы. Предложенный способ позволяет искать решение в областях произвольной формы в виде разложения по произвольной полной системе функций.

- эффективный метод исследования влияния малых неоднородностей на параметры антенны.

- решение трехмерной статической задачи со сферической геометрией при наличии углов.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения общим объемом 112 стр. Работа содержит 14 рисунков и диаграмм, 1 таблицу. Библиография включает 81 наименование.

Основное содержание работы

В представленной работе рассматриваются задачи о возбуждении поля различными источниками, расположенными над идеально проводящим полупространством с неоднородностями цилиндрического и сферического типов.

В введении содержится общая характеристика класса задач, исследованию которых посвящена работа и приводится обзор основных методов их решения. Приводится обоснование выбора методов, используемых в данной работе для решения поставленных задач. Введение завершается кратким обзором содержания представленной работы.

В первой главе рассматривается возбуждение поля антенной, расположенной над полупространством с цилиндрической ямой в случае, когда граница ямы и плоскости, ограничивающей полупространство, образуют прямой угол. Производится вычисление поля и входных параметров бесконечно длинной антенны, расположенной над идеально проводящим полу-

пространством с цилиндрической ямой, т.е. рассматривается задача о нахождении самосогласованного поля.

В параграфе 1.1 содержится формулировка задачи, вводятся системы координат и ограничения на параметры. Производится сведение задачи к граничной для вектора Герца в рассматриваемой области. В результате применения метода разделения переменных в параграфе 1.2 граничная задача в пространстве К3 сводится к задаче на плоскости в области, граница которой содержит угловые точки. Для решения последней в параграфе 1.3 применен метод квазистатической функции Грина и задача сводится к нахождению решения, удовлетворяющего полученному функциональному соотношению и условию на бесконечности. Далее, в соответствии с общей схемой МКФГ функциональное соотношение приводится к бесконечной нормируемой системе алгебраических уравнений (параграф 1.4). Коэффициенты системы содержат сомножителями комбинации цилиндрических функций (определяющие зависимость решения от поперечного волнового числа) и коэффициентов Фурье функции Грина, "учитывающих" геометрию задачи и граничные условия. Вычисление последних, как показано в параграфе 1.5, может быть эффективно произведено на основе асимптотических методов, позволяющих получить простые выражения, обеспечивающие малую погрешность уже при нахождении первых коэффициентов. В параграфе 1.6 производится замена матричного оператора на приближенный, допускающий построение решения в явном виде, строится приближенное решение. Здесь также приведены результаты вычисления нормы разности точного и приближенного операторов, что позволяет вычислить относительную погрешность решения и оценить границы применимости. На основании построенного решения системы производится вычисление полей в дальней зоне и анализ сопротивления излучения рассматриваемой антенны (параграф 1.7).

Во второй главе рассматривается возбуждение поля коротким линейным вибратором с заданным (линейным) распределением тока, расположенным над ямой, ограниченной дугой произвольной угловой величины. Производится вычисление поля в дальней зоне и сопротивления излучения источника. В параграфе 2.1. производится сведение исходного трехмерного уравнения Гельмгольца для вектора Герца к двумерному путем применения преобразования Фурье по одной из координат. Для решения этого уравнения, описывающего дифракцию фурье-компоненты поля на идеальном проводнике с границей, содержащей угловые точки, в параграфе 2.2 применено конформное преобразование исследуемой области, позволяющее перейти от исходной граничной задачи для поперечных функций в области со сложной (кусочно-гладкой) границей к задаче для уравнения типа Гельмгольца с переменным волновым числом в полуплоскости.

Проводится частичное обращение оператора Гельмгольца, в результате граничная задача для поперечной функции приводится к интегральному уравнению. Регулярность последнего показывается в параграфе 2.3, где получена оценка для нормы интегрального оператора и определены границы применимости метода сжатых изображений для решения полученного уравнения. В параграфе 2.4 получены приближенные представления для поля в случае таких значений параметров задачи, которые позволяют при решении интегрального уравнения ограничиться нулевым приближением, показана корректность решения в некоторых предельных случаях.

Приведены диаграммы направленности для поля и зависимость сопротивления излучения ог параметров задачи и представлен их анализ.

Третья глава посвящена рассмотрению статической задачи о поле диполя, расположенного в окрестности сферической ямы на поверхности идеально проводящего полупространства. Решение строится на основе метода полуобращения оператора Лапласа. В качестве регуляризатора применен интегральный оператор, ядром которого является функция Грина лапла-

и

сиала соответствующей двумерной задачи. При таком подходе необращенной оказывается часть дифференциального оператора, равная разности трехмерного и двумерного лапласианов и "содержащая" эффекты типа сферической сходимости и пр., характерные для задач со сферической геометрией. В предположении, что такие эффекты не меняют характер поля в окрестности ребра (что равносильно независимости показателя Мейкснера от кривизны ребра) можно ожидать, что необращенная часть трехмерного лапласиана не содержит сингулярности, обусловленной наличием угловых точек.

Отметим, что хотя глава не содержит строгого обоснования примененной схемы, косвенные признаки (предельные переходы, результаты решения редуцированной алгебраической системы численными методами) позволяют предположить правомочность использованного метода регуляризации. В параграфе 3.1 содержится формулировка рассматриваемой задачи. В параграфе 3.2 предлагается процедура построения решения трехмерной задачи, основанная на применении регуляризующего оператора соответствующей двумерной задачи. Это позволяет перейти к интегро-дифференциальному уравнению, в котором исключена сингулярность, связанная с наличием угловых точек на границе рассматриваемой области. В дальнейшем (параграф 3.3) производится сведение полученного уравнения к бесконечной системе алгебраических уравнений. В параграфе 3.4 приведены результаты численного решения полученной системы и построено квазистатическое приближение для поля в случае 'Малого (в терминах длинны волны) радиуса ямы. ' .. : :

В заключе!нйи производится обзор полученных результатов и извлечение физических следствий.

В приложениях приводятся доказательства вспомогательных утверждений, включение которых в основной текст нежелательно вследствие их громоздкости.

Публикация основных результатов

Результаты, полученные в ходе работы над настоящей диссертацией, опубликованы в [5,6], а также представлены в виде докладов на Второй Всероссийской конференции по распространению воли (С.-Петербург, 1995) и XVIII Всероссийской конференции по распространению радиоволн (С.Петербург, 1996).

Список литературы

1. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. - М.: Изд. "Мир", 1974.

2. Агранович З.С., Марченко В.А., Шестопалов В.П. Дифракция электромагнитных волн на плоских ленточных решетках. - Журн. техн. физики, 1962. 32(4). с.381-394.

3. Вербицкий И.Л. Обобщенный проекционный метод. - Докл. АН СССР, 1987. т.294(1). с. 72-75.

4. Коноров Д.П., Макаров Г.И. Дифракция электромагнитных волн в плоских волноводах с границами, содержащими ребра,- В сб. Проблемы дифракции и распространения волн. Изд. ЛГУ, вып. 21, 1987.

5. Майсон Е.С., Макаров Г.И. Поле дипольного источника в области, содержащей угловые точки // Вестник СПбГУ, Сер.4, 1996, вып. 3/11.

6. Майсон Е.С., Макаров Г.И. Метод полуобращения для оператора Гельм-гольца в сингулярных граничных задачах // Вестник СПбГУ,сер.4, 1996, вып.3/18.