Сферическая задача Стефана и ее приложения к расчету дуговой эрозии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

[АВДЮНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

РГ6 од

На правах рукописи

Г

УДК 517.948

Городничев Станислав Петрович ^^Чс^^Х^-^У)

Сферическая задача Стефана и ее приложения к расчету

дуговой эрозии

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алматы, 1996 г.

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной математики Национальной Академии наук Республики Казахстан

Научные консультанты : член-корр.НАН РК, д.ф.-м.н., проф. Е.И.Ким

член-корр.НАН РК, д.ф.-м.н., проф. С.Н.Хари: Ведущая организация : Институт теплофизики СО РАН Официальные оллоаеяхы : д.ф.-м.н., проф. С.И.Темирбулатов

к.ф.-м.н. Е.М.Хайруллин

Защита диссертации состоится

в 15 час. на заседали

Специализированного совета Д. 53.04.01 при Институте теоретической прикладной математики HAH PK по адресу: 480021, Алматы, ул. Пухе кина, 125.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТПМ HAH PK.

Автореферат разослан

1996 г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д - 53.04.01, л кандидат физико-математических наук

А .Т.Кулахыетова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

актуальность исследования. Исследование элекгродуговых процес-зв является одной из важнейших задач дальнейшего развития та-их областей, как электроаппаратостроение, релейная техника, системы правления, контроля и связи, плазменные и лазерные технологии. Тен-гнция к повышению быстродействия работы аппаратов, а также к ис-эльзованмю как сверхслабых так и сверхвысоких токов и напряжений, резвьгчайно затрудняет их экспериментальное исследование. В раде слу-аев только математическое моделирование способно дать представление быстротечной динамике взаимодействия электрической дуги с электро-эм.

Физико-химические явления, сопровождающие зги взаимодействия, акие как плавление и испарение материала электрода, приводят к до-эльно сложным математическим моделям, базирующимся на нелиней-ых задачах стефановского типа.

Разработка математических моделей и методов решения таких задач гсьма важна для понимания явлений, сопровождающих процессы элек-роконтактной коммутации, эрозии, решения проблемы повышения на-ежности и ресурса работы электрсдутовых систем. С другой стороны атематические модели, описывающие эти явления, приводят к новым остановкам задач в теории дифференциальных и интегральных уравне-ий не исследованных ранее, для решения которых необходима разработ-а специфичных методов.

Состояние проблемы. Качественному изучению задач стефановско-э типа посвящено много исследований, среди которых можно выделить гундаментальные работы А. Фридмана, Р. Рубинштейна, М. Мейермано-а, й.й. Данилюка, H.H. Никитенко, Н.Н.Уральцевой, Г.Н. Бижановой, а исленные методы решения таких задач разрабатывались СЛ. Камено-остской, O.A. Олейник, A.A. Самарским, Б.М. Будаком и некоторыми

другими. Двухфазные задачи Стефана, рассматриваемые в этих работах, содержат, как правило, предположение об одновременном существовании обеих фаз в начальный момент времени. Это позволяет использовать метод неподвижной точки, оценки шаудеровского типа, вариационные и ко-нечнораэностные методы, дающие возможность установить существование, единственность решений и их дифференциальные свойства.

Конструктивные методы решения задач для параболических уравнений, основанные на использовании тепловых потенциалов и редукции исходных краевых задач к интегральным уравнениям, были развиты Е.И.Кимом. Эти методы с успехом перенесены на случай задач стефа-новского типа.

Случай вырождения одной из фаз в начальный момент времени исследован лишь в отдельных частных случаях, а аналитические решения построены лишь для автомодельных вариантов задач. Это связано с тем, что соответствующие интегральные уравнения, к которым сводятся задачи стефановского типа, становятся сингулярными при вырождении одной из фаз. Уравнения такого типа впервые .рассмотрены в работах С.Н.Харина, в которых изучалась асмптогика интегралов типа потенциалов двойного слоя, и построены приближенные решения некоторых прикладных задач.

В работах А.А.Кавокина выяснена асимптотика движения границы, определяющая закон зарождения фазы в начальный момент времени. Спектральные свойства решений подобных интегральных уравнений изучены вработах М.Рамазанова, а решение в весовых пространствах - в диссертации Т.Е.Омарова,. А.Т.Кулахметовой рассмотрены аналогичные задачи применительно к процессам мостиковой эрозии электрических контактов. Численным методам вычисления сингулярных интегралов посвящена работа Р.Н.Кантаевой. Г.И.Бяжановой исследована задача Стефана, когда температура на свободной границе изменяется во времени.

Особый класс среди задач стефановского типа занимают задачи, нели-йность которых обусловлена наличием не только свободной границы, ) и нелинейностью граничного условия, что соответствует многим ре-[ьным физическим процессам. Вторую краевую задачу такого типа ис-[едовали в своих работах M.Niezgcdka, I. Pavlow, F. Vizintin, E. Magenes C. Verdi- Ими доказаны теоремы существования и единственности, од-ш> проблемы конструктивного построения решений остались за преде-ши рассмотрения. Целью работы является изучение характера сингулярности инте-эальных операторов, входящих в систему интегральных уравнений, от эторых зависит структура решения при малых значениях времени.

Главной задачей при этом является не только построение соответству-ицей асимптотики, но и явные оценки членов более высокого порядка ма-ости. Это дает возможность установить диапазон начального периода, котором построенная асимптотика будет давать хорошее приближение ешения.

Другая актуальная проблема состоит в разработке методов решения ;ля тех:промежутков времени, которые выходят за рамки вышеуказан-юго диапазона. При этом важным является экспериментальная проверка каждого из этих методов.

Методика исследования. Основным методом исследований в работе является использование аппарата тепловых потенциалов для сведения гсходной задачи к системе интегродифференциальных уравнений с последующим исследованием ее асимптотики и численным решением для побых значений времени.

В качестве другого метода построения приближенных решений являйся интегральный метод типа Кармана-Польгаузена, при котором задается структура искомого решения по пространственным переменным, а неизвестные временные функции определяются из уравнения теплового

баланса, которым заменяется уравнение теплопроводности.

Для решения интегральных уравнений в отдельных случаях используется также комбинированный метод прямоугольников н трапеций.

Новизна работы. Изучена двухфазная задача Стефана для сферического уравнения теплопроводности с нелинейным краевым условием в случае вырождения области в начальный момент времени.

Исследована асимптотика интегральных операторов и связанная с ней структура решения при малых значениях времени.

Путем введения дополнительного параметра получено развитие интегрального метода применительно к задачам стефанов ского типа.

На базе этих методов решен ряд прикладных задач по расчету дуговой эрозии и сваривания электрических контактов.

Практическая ценность проведенных исследований состоит в их использовании при разработке моделей и методов расчета теллофизических процессов в электрических контактах, плазматронах и новых электротехнических устройствах, защищенных авторским свидетельством [1]. Эти методы могут эффективно использоваться и в смежных областях как лазерная техника, дуговая сварка, релейные системы.

Достоверность и обоснованность- Результаты работы, изложенные в виде теорем, лемм и расчетных формул, обоснованы и доказаны. Найдены строгие оценки асимптотик. Результаты расчетов ло интегральному методу достаточно хорошо совпадают с экспериментальными данными.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на: Казахстанских межвузовских конференциях в г. Алма-ты в 1974 - 1989 гг., 8 Международной конференции по явлениям в электрических контактах (Япония, август, 1976 г.), Всесоюзном научно-техническом совещании "Пути повышения и надежности электрических контактов" (Ленинград, 1978 г.), Всесоюзной конференции по асимпто-

тическим методам, Алма-Ата, 1979 г., Симпозиуме с международным участием "Перспективы и проблемы электрических аппаратов низкого напряжения", Пловдив, 1980 г., Всесоюзном совещании по применению лазеров в технологии машиностроения, Звенигород, 1982 г., Зап. Берлин, 1982 г., Республиканской конференции по нелинейным задачам математической физики, Донецк, 1983 г., Всесоюзной крнференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании, Клев, 1883 г., Всесоюзном научно-технической конференции "Специальные коммутационные элементы". Рязань, 1985 г., Звенигород, 1985 г., Всесоюзной конференции "Электрические контакты и электроды. Бути повышения качества и надежности". Канев, 1989 г., VI Всесоюзной конференции "Генераторы низкотемпературной плазмы". Новосибирск, 20-23.06.89, Всесоюзной школе-семинаре "Электрические контакты и электроды. Материалы. Физические процессы". Одесса, апрель 1990 г., Всесоюзном совещании "Физические исследования и математическое моделирование приэлектродных процессов в коммутационной аппаратуре". Алма-Ата, 14-18.05.90, Всесоюзном семинаре по дуговым и призлекгродным процессам в электрических аппаратах и плазмотронах. Улан-Удэ. 1991 г., Международной конференции КЕСТА'ЭЗ, Алматы, 1993 г., Общегогодском научном семинаре по уравнениям математической физики Б.И.Кима.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 11 публикациях [2] - [12]

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 127 страницах и соостоит из Введения, 2-х глав, 12-и параграфов, списка литературы и содержит 11 рисунков и 2-е таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении проведены обоснование актуальности темы, методологии подхода к решению проблемы, краткие сведения из истории вопроса

и схематическое изложение содержания диссертации.

В Главе 1 исследуется двухфазная сферическая задача стефановскогс типа, которая является математической моделью процесса дуговой эрозии.

В п. 1.1 привадится описание физических процессов и явлений, учет которых при построении математической модели, которое сделано в пл. 1.2 и 1.3, приводит к сферической краевой задаче Стефана, с существенной нелинейностью второго граничного условия, отражающего зависимость теплового потока от температуры поверхности. Более того, получается условие Стефана, имеющее вид отличный от классического. В безразмерных величинах и переменных задача имеет вид

дщ -¡д2щ

Ж= В ^{(М)-' 0<*<а(0. 0<<<<о}, (1;

ди2 _ 202и2

1Й ~ °25гГ

в Х?1 ={(£,*): а(г)<х<оо, 0 < * < ¿0}, (2) а(0)=0, - (3]

дщ "дх

г=0

"2|ы> = Ф(г)> 0 < Ж < ОО

= 0. = 0|

дщ "дх

_ 1 диз г=а(0 • А дх

1 дщ

х 4-1 дх

№£»(<) Л <Н

(4)

(5)

(6) (7) №

де а2, - безразмерные величины.

Имеет место

Лемма 2. Если Р(и^) возрастающая непрерывная функция I существует непрерывное, монотоннонеубывающее, положительное решение а(£) задачи (1) - (9) и аъ > с272, то имеет десто оценка

<де

а(<) < со*, Ртал^

(10)

В п. 1.4 задача (1) -(9) сведена к системе интегродифференциаль-шх уравнений, которые можно отнести к сингулярным уравнениям типа ^аммерштейна и Вольтерра. Система имеет вид

+

а(*) 4- а(г)

+

/_!

I \2ал/ж

а(()

- г)з/2

ехр

-ехр|-а\1)

4а\1 - г) {а(1) + а(т)У

1)х(г)с1г +

4- г)

[РМт),г)-г7о(т)№т, (Н)

Ы*) = У

<*(*) - «(г)

2Д(* - г)3/2

ехр

(а(0-а(г))2

4(«-г)

К«)" ог

тз2{т)<1г

4«

(12)

/ ¿1 1

+/

л/5?(< - г)1/«

(Р(»о(г),т)- »о(г)]йт,

(13)

= и*;

где

дх

= «>0М)> » = 1,2; ajsao = i?o(<),

№0

Система (11)-(14) не разрешима методом последовательных приближений и потому применен метод асимптотического представления решения для малых значений времени, который реалиэуется в пп. 1.5 - 1.7. Изучены асимптотические свойства операторов системы, (11)-(14), ипользуя которые найдено приближенное аналитическое решение задачи для малых значений времени в виде рядов по половинным степеням времени t :

= Vl+Vl(0> a(t) = ¿+â(0, (15)

где

Vi (<) = ViO + Vii<1/2 + tv2i3/î +- vat\ .¿ = 1,2, . â(t) - + +

Далее с помощью Леммы 2, свойств интегральных операторов и их оценок представления (15) преобразуют (11)-(14) в систему интегральных неравенств относительно остатков в (15), решение которой приводит к оценке остаточного члена â(i) ;

\â{t)\<At3,Q <t <t0,

где A - постоянная, выражающаяся через параметры задачи, & 1о выбирается так, чтобы обеспечить заданную точность.

В п. 1.8 найдено асимптотическое представление решения для случая, когда в начальный момент времени не имеет место условие согласования

потоков. В этом случае граница раздела фаз движется по закону

а (<) = ait + о(1).

В п. 1.9 предложен и реализован несколько нетрадиционяй метод 'Стеленного решения системы (11)-(14) для любых значений времени. Асимптотическое решение (15) позволило исключить сингулярность. Далее система решается путем замены неизвестных кусочнопостоянными и ку-сочнолинейными непрерывными функциями, что позволяет вычислить все интегралы в системе и привести ее к системе трансцендентных алгебраических уравнений относительно коэффициентов апроксимацми, которая решена методом простых итераций. Показано, что решение может быть найдено с наперед заданной точностью путем выбора достаточно малого шаха.апроксимации ло времени [12]. Приведен пример'Численного счета .

В Главе 2 рассматриваются задачи стефалойского типа йримейитель-но к описанию как к дуговой эрозии контак*ов так я их свариванию. Методологический подход к решению этих задав состоял в применении интегрального метода основанного на априорной представлении профиля температуры с последующим ее усреднением в характерных областях, выбирая параметры профиля таким образом, чтобы удовлетворить начальным и граничным условиям и уравнению теплового баланса, которым заменяется уравнение телопроъодностн. Такой подход устранил трудности при численном решении данной краевой задачи, возникающие вследствие вырождения области в начальный момент времени. Практика применения этого метода показала относительную простоту получения приближенного решения при хорошей точности даже в асимптотическом смысле [3].

В п. 2.1 решены однофазные задачи Стефана на отрезке и в сферической области применительно к описанию дуговой эрозии в жидкокалель-

ном виде несколько видоизмененым интегральным методом. Во втором

случае задача имеет вид:

2 дТ\

dt " V дг2' Т г дг)

+ p(t)< г <оо, /?(0) = ,i>0,

i=0

f(r),

-т xdS

t=p(t) àr

r = = — = t> 0.

p at

После замены T(r, i) = решение задачи найдено в виде

v{r,t) = Tnp{t)

s(t)

p(t) < г < s(t),

ф) - fi(t)j

где s(t) - глубина теплового воздействия, причем «(0) = sо, а /(¿) и значения о в зависимости от безразмерното теплофизического параметра А = определены из решения тепловой задачи для времени до начала плавления.

Глубина теплового воздействия s(t) и закон движения границы плавления p(t) найдены численным решением системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, являющейся уравнением теплового баланса

" . + 1-4-1W,

s-р

¡p(s-р)}'(6+1)рр' = 0.4(6 + 1)

s- р

Здесь

Lj_

ТПА'

5(0) = зо, р(0) = р\. - начальные условия.

Расчеты показали хорошее совпадение приближенного решения при t — Ос начальным условием задачи (ошибка < 1%), что является следствием выбора дополнительного параметра <5 таким образом, чтобы точное и приближенное значения на границе были равными. Установившееся же положение границы и стационарное распределение температуры

г

тождественно совпадают с точным решением соответствующей стационарной задачи.

В п. 2.2 рассмотрена физическая и построена математическая модель процесса сваривания электрических контактов на основе краевой задачи теплопроводности в цилиндрической области с условием Стефана необычного вида, связанного с нагревом внутренним источником:

дв 1д,дв\ д2е ,,вЧ

С7~ш = гЗг ( Эр) + Р} ' (16)

1 = 0 ■. е = р(г,г), (17)

—' 1=°. <»>

г = гп(г,г): 0 = ©те,

~ Эп = /о ««Г-^и-,

, , 90 30

г' + г^ос: = (19)

где р - удельное электрическое сопротивление, с - теплоемкость, 7 - плотность, Л - теплопроводность, 0т - температура плавления, Ь - теплота плавления, г = гт(»*,£) - поверхность между твердой и жидкой фазами, п - внешняя нормаль к этой поверхности.

Впервые удалось применить интегральный метод к решению пространственной задачи и получить хорошее совпадение с экспериментом [11].

Представляемая математическая модель учитывает все стадии джо-улевого нагрева, влючая процессы размягчения н плавления, как очень важные в динамике контактного сваривания при больших токах. Рассмотрены четыре стадии процесса во временных периодах нагрева, размягчения, плавления и сваривания, на каждом из которых выбирается подходящий профиль температур, а границы зон размягчения и плавления представляются в виде тороидальных поверхностей.

В п. 2.3 рассматривается задача теплопроводности в сферической области с двумя неизвестными подвижными границами (плавления и испарения) с условиями Стефана на каждой из них:

сгТ;

= + Т.<*<00, ¿ = 1,2,

3< \ дт2 г дг )

(20)

Ни) = а(<„) = Ъ,

(21)

- <Р{т), г е д-,

(22)

> Ъ2 . т сНь

= + ^ Л - Р Л)

(23)

<и

= /го ехр

(24)

г=/?(г)

= Т„,

(25)

^2|г=Й(т1 - Тп,

-X

т

дг

-ДМ

, ЗГ2 г=Кт) 8Т

Г дР

г=/?(г) дт

т

дг

о,

(26)

(27)

(28)

Предложенный подход, как и в п. 2.2, поэтапного во времени представления решения и применения интегрального метода к решению этой задачи приводит и к достаточно точным результатам [10].

В заключение следует отметить, что результаты проведенных исследований могут быть применены не только к расчету тепловых процессов в электрических контактах, но и к описанию и расчету параметров процессов, протекающих в электродах плазмотронов, на поверхностях, подвергаемых воздействию лазерным излучением, при электродуговой сварке.

Литература

1. Городничев С.П. и др. Мостиковая контактная пара. //Авторское свидетельство. - № 783934. - 1980.

2. Городничев С.П. Об улучшении точности интегрального метода решения однофазных задач Стефана //Известия АН КазССР, серия физ.-мат. - № 5. - 1977. - с. 16-21.

3. Городничев С.П. Об асимптотике приближенных решений одномерной и сферической задач Стефана //Тезисы VI Казахстанской межвузовской научной конференции по математике я механике. - Алма-Ата, 1977. - с. 32.

4. Городничев С.П. Приближенный расчет температурного поля электрического контакта под действием дуги с учетом внутренних ис-

* %

точников тепла и теплоты фазового перехода //Известия АН КазССР, серия физ.-маг. - Деп. ВИНИТИ, № 5. - 1979. - N 3187-79, от 30.08.1979.

5. Городничев С.П. и др. Математическая модель процессов сваривания электрических контактов при наличии вибрации //Известия ВУЗов, серия электромеханика. - № 8. - 1982. с. 986-988.

6. Городничев С.П. Двухфазная задача стефановского типа с учетом расходов тепла на испарение //В кн. Республиканская конференция

по нелинейным задачам математической физики. Тездокладов. - Донецк, 1983 - с. 35

7. Городничев С.П. Приближенное решение второй краевой задачи типа Стефана для малых значений времени //В кн. Аналитические и численные методы решения задач математики и механики. - Алма-Ата: Наука, 1987. - с. 26-30.

8. Городничев С.П. Расчет дуговой эрозии составного контакта с нелинейным тепловым потоком //Электрические контакты и электроды. Пути повышения качества и надежности. Сборник научных докладов. - Киев: ИТПМ АН УССР, 1990. - с. 178-182.

9. Городничев С.П. Решение задачи Стефана с нелинейным потоком на границе методам граничных интегральных уравнений //Задачи для параболических уравнений и их приложения. - Алма-Ата, 1991. -

с. 21

10. Городничев С.П. Сферическая модель злектрсдуговых процессов плавления и испарения потоком, зависящим от глубины эрозии //В сб.докладов Всесоюзного семинара "Нестационарные дуговые и лри-электрсщные процессы в электрических аппаратах и плазмотронах." - Алма-Ата, 1991. - с. 113-119.

11. Bramovic М., Gorodnichev S.P., Kharin S.N. The mathematical model of contact welding at high current //Pros, of International Symposium on Electrical Contacts. Thiory and Applications. - Almaty, 1993. - p. 192-198.

12. Городничев С.П. Решение задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений //Тезисы докладов Юбилейной научной конференции. - Алматы: ИТПМ HAH АН PK, 1995. - с. 7

Городничев С.П. Стефанныц сфералъщ мзселеа мен пота, олырылу-ын есепхеу угшн оныц кджега врлданбалары

Сызык,сыз шеттш шарттарды канагаттандыратын азБЫнды айма^-тардагы Стефан мэселеа уа^ыттъщ kíxhí мэндер1 упшн тешшп, жо-FapFM ретт! мушелердщ айцындалган багалары алынган. Стефан типтес мэселелерд! шешуге цолданылатын мтегралдык, эдк сдан api дамытылган жэне дораньщ опырылуъш есептеу мен электрлж туйЬ сулерд1 бал1сытып 6ipÍKTÍpy мэселелер! зерттелген.

(01.01.03 - магематикалык физика)

Gorodnishev S.P. Spherical Stefan problem and its applications to the calculation oí arc erosion.

Spherical Stefaa problem with non-linear boundary conditions in a disappeared domain for a small time is solved. The estimations of main members of solution's expansion are obtained. The integral method of the solution of Stefaa boundary problems is developed for the applied problems of arc erosion and welding of electical contacts.

(01.01,03-Mathematical Physics)