Схемы расщепления в смешанном методе конечных элементов и их применение для моделирования геотермальных процессов на суперЭВМ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Воронин Кирилл Владиславович

СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ В СМЕШАННОМ МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ГЕОТЕРМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ НА

СУПЕРЭВМ

01.01.07 - вычислительная математика

13 МАЙ 2015

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2015

005568491

005568491

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования "Новосибирском национальном исследовательском государственном университете" (НГУ)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Лаевский Юрий Миронович

Официальные оппоненты:

Вабищевич Петр Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, зав. лабораторией разработки интегральных расчётных кодов Института проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук (ИБРАЭ РАН)

Попов Владимир Николаевич, доктор физико-математических наук, гл. науч. сотр. Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича Сибирского отделения Российской академии наук (ИТПМ СО РАН)

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук (ИВТ СО РАН)

Защита состоится 01 июля 2015 года в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 003.061.01, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук и на сайте www.sscc.ru.

Автореферат разослан 21 апреля 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ^

д.ф.-м.н. У сь Рогазинский Сергей Валентинович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность данной тематики обусловлена следующими факторами. Во-первых, это существование практической потребности в моделировании процессов нестационарной диффузии и теплопереноса как составной части сложных физических явлений. Соответствующие математические модели естественно записывать в терминах законов сохранения и определяющих соотношений. В случае задачи теплопереноса связь между уравнениями в таких моделях осуществляется зачастую не через температуру, а через тепловой поток. Таким образом, используется система дифференциальных уравнений первого порядка в смешанной постановке, где температура и тепловой поток являются независимыми переменными. Одним из наиболее распространенных подходов к аппроксимации по пространству задач в смешанной постановке является используемый в диссертации смешанный метод конечных элементов. Для аппроксимации по времени в нестационарных задачах при этом часто применяется классический метод конечных разностей. Однако в случае решения задачи теплопереноса в смешанной постановке возникает необходимость решения векторного уравнения для теплового потока. Основную трудность представляет вопрос, как избежать обращения возникающего многомерного оператора. В диссертации для решения этого вопроса предложен новый подход к построению схем расщепления для теплового потока.

Во-вторых, численные алгоритмы должны быть надежны, т.е. иметь строгое теоретическое обоснование в виде априорных/апостериорных оценок или теорем о сходимости решения, полученного с помощью предложенных численных методов, к точному решению исходной задачи в некоторых нормах. Для схем расщепления, построенных с помощью предложенного нового подхода, получены априорные оценки глобальной устойчивости для теплового потока.

В-третьих, необходимыми требованиями к современным вычислительным алгоритмам являются экономичность и возможность реализации на многопроцессорных ЭВМ. Численные алгоритмы, полученные с помощью предложенного в данной диссертации подхода, обладают естественными возможностями для эффективного распараллеливания.

Цель представленной диссертационной работы - создание эффективных численных алгоритмов решения задач теплопереноса в смешанной постановке с применением современных суперЭВМ.

Научная задача - разработать и исследовать подход к построению численных алгоритмов для решения задачи теплопереноса на основе смешанного метода конечных элементов и скалярных схем расщепления для дивергенции теплового потока и создать эффективные реализации алгоритмов для

проведения расчетов на современных суперЭВМ с общей и распределенной памятью. Это включает в себя следующие задачи:

1. Разработка схем расщепления для вектора теплового потока в двумерном и трехмерном случаях для решения задач теплопереноса.

2. Исследование аппроксимации, устойчивости и сходимости схем расщепления для вектора теплового потока, построенных с помощью предложенного подхода.

3. Разработка эффективных параллельных реализаций предложенных численных алгоритмов для проведения расчетов на современных многопроцессорных вычислительных системах.

4. Применение разработанных потоковых схем расщепления к решению прикладных задач моделирования термохронологии аккреционно-коллизионных процессов в литосфере Земли.

Теория и методы исследования. Теоретической основой решения поставленной научной задачи являются:

- смешанный метод конечных элементов (смешанный МКЭ), применяемый для аппроксимации по пространству;

- теория разностных схем на основе конечно-разностного подхода для аппроксимации по времени;

- схемы расщепления для решения уравнений математической физики.

При разработке параллельных реализаций предложенных в диссертации

численных алгоритмов применялись технологии MPI и ОрепМР.

Для решения системы линейных алгебраических уравнений в референсной схеме Кранка-Николсон использовалась функциональность PARDISO из библиотеки Intel® MKL.

Верификация разработанных численных алгоритмов проводилась как на серии тестовых расчетов с известными аналитическими решениями, так и на двумерных и трехмерных прикладных задачах численного моделирования термохронологии аккреционно-коллизионных процессов в литосфере Земли.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие паспорту специальности 01.01.07 - вычислительная математика.

1. Новый подход к построению схем расщепления для теплового потока в смешанном методе конечных элементов для задач теплопереноса в смешанной постановке, основанный на использовании скалярных схем расщепления для дивергенции теплового потока.

2. Априорные оценю! устойчивости для температуры и теплового потока по начальным данным в подпространстве и по правой части для потоковых схем расщепления, построенных с помощью предложенного подхода на основе схемы переменных направлений и Дугласа-Ганна для дивергенции теплового потока в двумерном и трехмерном случаях, соответственно,

3. Параллельные реализации построенных схем расщепления для теплового потока с использованием технологий MPI, ОрепМР и MPI/OpenMP, предназначенные для решения двумерных и трехмерных задач теплопе-реноса на современных суперЭВМ с общей и распределенной памятью.

4. Разработанные на основе предложенного подхода двумерные и трехмерные вычислительные модели динамики термохронологии аккреционно-коллизионных процессов в некоторых регионах литосферы Земли.

Научная новизна.

1. С использованием смешанного метода конечных элементов для аппроксимации по пространству и конечно-разностной аппроксимации по времени предложен новый принцип построения схем расщепления для вектора теплового потока на основе скалярных схем расщепления для дивергенции теплового потока.

2. Установлены априорные оценки равномерной устойчивости по начальным данным и по правой части для температуры и теплового потока для потоковых схем расщепления на основе схемы переменных направлений и схемы Дугласа-Ганна для сеточной дивергенции теплового потока в двумерном и трехмерном случаях, соответственно. Кроме того, приведены результаты численных экспериментов, демонстрирующих, что требования повышенной гладкости начального теплового потока в условиях соответствующих теорем действительно необходимы для сходимости.

3. Разработаны высокопроизводительные параллельные реализации предложенных схем расщепления на основе технологий MPI и ОрепМР, позволяющие для проведения расчетов использовать современные суперЭВМ с общей и распределенной памятью.

4. Построенные схемы расщепления для вектора теплового потока применены при численном моделировании аккреционно-коллизионных процессов в литосфере Земли в Татарско-Ишимбипской шовной зоне и в области Таймыр-Северноземельской складчатости.

Личный вклад соискателя. Основные теоретические результаты диссертации, касающиеся предложенного нового подхода к построению потоковых схем расщепления и его исследования, получены соискателем. Кроме того, соискатель самостоятельно выполнил все численные эксперименты для сравнения предложенного подхода с известными ранее, а также разработал параллельные реализации потоковых схем расщепления, показавших лучшую точность в тестовых расчетах, для проведения численного моделирования процессов теплопереноса в смешанной постановке на современных суперЭВМ с общей и распределенной памятью. Прикладные задачи из области моделирования термохронологии аккреционно-коллизионных процессов были решены в ходе совместной работы над Интеграционными проектами СО РАН №54 и №76. В сотрудничестве с участниками Интеграционного проекта соискатель разработал вычислительную модель для решения поставленных задач. Кроме того, соискатель также участвовал в обсуждении постановок задач и анализе полученных результатов.

Научная значимость. Предложенный принцип конструирования схем расщепления для теплового потока в смешанном методе конечных элементов для задач теплопереноса позволяет построить и провести анализ целого класса потоковых схем расщепления. Кроме того, в рамках этого подхода можно в единообразной форме рассматривать также известные ранее схемы расщепления для теплового потока. На основе разложения на сеточном уровне теплового потока на соленоидальную и потенциальную составляющие были получены априорные оценки равномерной устойчивости по начальным данным для теплового потока.

Практическая значимость. Построенные с помощью предложенного в диссертации подхода на основе скалярных схем расщепления для дивергенции теплового потока потоковые схемы расщепления для смешанного МКЭ показывают хорошую точность и могут быть использованы при решении прикладных задач. Разработанные параллельные реализации потоковых схем расщепления позволяют существенно ускорить процесс моделирования, а также эффективно решать прикладные задачи большого размера с использованием суперЭВМ. Результаты численного моделирования термохронологии аккреционно-коллизионных процессов в литосфере Земли позволили проверить ряд геологических гипотез о значении динамики температурного поля в рассматриваемых физических процессах.

Апробация результатов. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на международных конференциях "First Russian-French Conference on Mathematical Geophysics, Mathematical Modeling in Continuum Mechanics and Inverse Problems" (Biarritz, 2012), "The China-Russian Workshop on Computational Methods" (Beijing, 2012), "Mathematical and Numerical Aspects of Waves (WAVES-2013)" (Gammarth, 2013), "75th EAGE Conference & Exhibi-

tion incorporating SPE EUROPEC 2013" (London, 2013), "76th EAGE Conference & Exhibition" (Amsterdam, 2014), "6th Conference on Finite Difference Methods: Theory and Applications" (Lozenetz, 2014), "International Conference On Craton Formation and Destruction" (Beijing, 2011), "European Geosciences Union General Assembly 2012" (Vienna, 2012), "Goldschmidt Conference" (Firenze, 2013), "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики", (Новосибирск, 2014), "Методы создания, исследования и идентификации математических моделей" (Новосибирск, 2013), ''Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2012), "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2010, 2012, 2013), всероссийских конференциях "Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования" (Новосибирск, 2012), III Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование развития северных территорий Российской федерации" (Якутск, 2012),'Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики", посвященной памяти К.И. Бабенко (Абрау-Дюрсо, 2012), "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, 2013), "Конференция молодых учёных ИВМиМГ СО РАН" (Новосибирск, 2010, 2012, 2013, 2014), на всероссийском научном совещании "Геодинамическая эволюция литосферы Центрально-Азиатского подвижного пояса: от океана к континенту" (Иркутск, 2010), семинарах Института вычислительного моделирования СО РАН и Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, а также на втором российско-французском семинаре "Вычислительные методы геофизики" (Новосибирск, 2014).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах [1], [2],[3], [4], [5], [11], [12], из них 7 - в рецензируемых изданиях из списка ВАК [1], [2],[3], [4], [5], [11], [12].

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 159 стр., в том числе 31 таблица и 18 иллюстраций. Список литературы содержит 83 наименования.

Работа была поддержана грантами РФФИ №10-01-00102-а, 12-01-16071,1301-00019 и Интеграционными проектами СО РАН №54 и 76.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен обзор работ по теме диссертации вместе с кратким описанием ее содержания по главам.

Глава 1 диссертации носит вспомогательный характер и содержит постановку рассматриваемой задачи и описание аппроксимации по времени и по пространству.

В пункте 1.1 представлена дифференциальная постановка задачи в виде системы уравнений первого порядка, а также слабая (по пространству) смешанная постановка, являющаяся основной с точки зрения аппроксимации. Пусть П С d = 2,3 - параллелепипед. В области П процесс теплоперено-са может быть описан следующей системой дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, записанной в терминах "температура - тепловой поток":

w = -AVT Cp/9f + vTw = /, xeii,ie(o,i/]

В уравнения входят неизвестные температура Т и тепловой поток w, уд. теплоемкость при постоянном давлении Ср, теплопроводность А, плотность р и правая часть /. На границе области ЭГ2 ставятся краевые условия Неймана и Дирихле Кроме того, в момент времени t = 0 задана начальная температура Т = :Т0(х) в П.

Слабая смешанная постановка задачи имеет следующий вид:

Г а(w, и) + Ь(и, Т) = О V и G V

\m(§,q)+b(w,q) = (f,q) 4q&Q

где неизвестные температура и тепловой поток ищутся в функциональных пространствах Q = L2 и V = а билинейные формы а(-, •), 6(-, •) и тп(-, •) определяются для произвольных р, q 6 Q и u, v, w 6 V так:

a(w, и) = I ^-w-udx, b(u,q) = f Vr • иqdx, m(p,q) = f Cpp-pqdx,

J si * JQ Jn

Пункт 1.2 содержит описание аппроксимации по пространству с помощью смешанного метода конечных элементов.

Область fi = представляется в виде объединения параллеле-

пипедальных ячеек К{Используются конформные конечные элементы Равьяра-Тома наименьшей степени для теплового потока и кусочно-постоянные элементы - для всех скалярных функций. Таким образом, температура Тд и тепловой поток w/, являются решением полудискрстной задачи

Г a(w/„ u,J + b(uh, Th) =0 VuA € Vh

I qh) + b(wft, qh) = (fh, qh) Vqh € Qh '

где конечно-элементные пространства определяются так:

Qh = {Qh G Q I <7л(х) = ^ftj.jtXij.iix)},

где Xij,it(x) - характеристическая функция ячейки Kjj^, а

y h = Hdiv П Vht*, Vft,, = span{<p'x} x span{ipi} x span{ipkz}

где (pi, tpJy и tpkz - стандартные кусочно-линейные функции-'крышечки" аргументов х,у и z соответственно. В этом пункте также приводятся результаты из работ F. Brezzi, M. Fortin (1991), D. Boffi, F. Brezzi, M. Fortin (2013), H. Chen, R. Ewing, R. Lazarov (1998), в которых показано, что для температуры и теплового потока имеет место второй порядок аппроксимации по пространству.

В пункте 1.3 приведено описание сеточной системы, возникающей после проведения аппроксимации по пространству, с указанием структуры соответствующих матриц. В векторно-матричной форме полудискретная система может быть записана как:

Aw h = В7Х, tcin,.

Здесь M - диагональная матрица масс для температуры, А - блочно-диа-гональная с трехдиагональными блоками матрица масс для теплового потока, прямоугольные матрицы В и Вт соответствуют дискретным операторам градиента и дивергенции. Благодаря использованию параллелепипедальных сеток, матрицы А и В допускают вместе с тепловым потоком w следующее блочцо-покомпоцентное представление:

>B"(I)'W=

При этом матрицы BxM'lBJ, ВуМ~1Ву и BzM~1Bj являются трехдиагональными.

В пункте 1.4 приведена схема с весами, построенная для полудискретной системы из п. 1.3. Основной особенностью является то, что главным становится векторное уравнение для теплового потока. После замены производной по времени ^ на разность назад г"' Т~т"' можно записать стандартную схему с весом а:

Г Aw"+1 = ВГП+1 , ,

\ MT^TL + Br(<7w"+1 + (1 - fj)wn) = (Tfn+1 + (1 - а)Г

Полагая а = 1/2, можно получить абсолютно устойчивую схему Кранка-Ни-колсон второго порядка точности

,,,п+1 „,п -I- w™ f"+1 4- fn

A ~W + ВЛ/-1ВГ n+W = ВМ~ 0+J (2)

/л 0 0

A=l 0 Ay 0

1 1 0 0

Т"+1-Тп гп+1+гп

т ^ 2 = 2 ^

Уравнение (2) представляет собой уравнение, куда входит только тепловой поток. Тогда, если построить схему для уравнения (2) на тепловой поток, то температура будет пересчитываться на каждом временном слое через тепловой поток.

Глава 2 содержит основные теоретические результаты диссертации, в частности, описание предложенного подхода к построению схем расщепления для вектора теплового потока. Основной идеей является приближенная замена (факторизация) многомерного оператора в = А + |ВМ_1ВТ в уравнении для теплового потока

-— + ВМ"!В^" = В М~х±-(4)

т 2 4 '

на произведение некоторого числа одномерных. Можно выделить следующие способы построения потоковых схем расщепления: приближенная факторизация оператора С = А + |ВМ_1ВТ в явном виде (п. 2.1); схемы на основе алгоритма Удзавы (п. 2.2); схемы расщепления (полученные с помощью предлагаемого в диссертации нового подхода), основанные на скалярных схемах расщепления для дивергенции теплового потока (п. 2.3). Первый подход рассматривался П.Н. Вабищевичем, а также К.В. Ворониным и Ю.М. Лаевским [1]. Второй подход был предложен в работе Т. Арбогаста и др. (2007). Третий подход получил свое развитие в работах [2], [3], [8], [9].

В пункте 2.1 представлены потоковые схемы расщепления с треугольной факторизацией оператора на верхнем слое по времени. Рассматриваются попеременно-треугольная факторизация (пп. 2.1.1) и факторизация типа ББОЕ (пп. 2.1.2), основанные на следующих блочно-треугольных представлениях оператора ВМ_1ВТ:

ВМ'1ВТ = И + пт, ВМ1ВТ = Б + Ь + ЬТ

где

И =

Б =

Можно показать, что эти потоковые схемы расщепления имеют второй порядок точности по времени и абсолютно устойчивы. Устойчивость удается показать с помощью теорем A.A. Самарского. Недостатком этих схем является их низкая точность по сравнению с другими потоковыми схемами расщепления

М-

В пункте 2.2 приведена потоковая схема расщепления из работы Т. Ар-богаста и др. (2007), основанная на модификации алгоритма Удзавы для смешанной постановки. Схему можно записать в следующем виде

Axw'i+X = BxTl+1 Mt^ldH + ßJH^L + BTyW- =

Ayw^ = ByTn+l (5)

+ + =

Axwx+1 = BxTn+1

Эта схема показала очень хорошую точность в численных экспериментах. Недостатком данной двумерной схемы является ограничение на шаг по времени вида р- < const в теореме сходимости, полученной Т. Арбогастом и соавторами (2007).

Пункт 2.3 содержит описание нового подхода к построению потоковых схем расщепления. Основная идея заключается в построении схем для потока на основе скалярных схем расщепления для сеточной дивергенции потока. В пп. 2.3.1 приведены потоковые схемы расщепления в двумерном случае, в качестве порождающих схем для дивергенции £ = M-1/2Brw рассматривается, в частности, схема переменных направлений

+ Axr+1/2 + A,e+1 = o u

Здесь операторы Лт и Лу - аппроксимируют вторые пространственные производные по х и у. Для получения схемы для теплового потока необходимо подставить в уравнения выражение £ через w и взять в качестве операторов Ах и Лу сеточные операторы из рассматриваемой смешанной постановки -M~l/2BlA~lBxM~1/2 и М'1!2В^А~1ВУМ~1/2, после чего выделить и отдельно приравнять нулю слагаемые с Вх и Ву. В итоге, для схемы переменных направлений соответствующая потоковая схема расщепления будет иметь вид

+ вхм~гвхюх+1^2 + вхм~'в^+1/2 = о

п+1/2 „

Ay^j^ + ByM-'B^ + B.M^B^w^O

+ BxM~1BxWx+1^2 + BxM^B^Wy+1/2 = 0 nJ.l »1 + 1/2

Ay^^W-+ ByM~lBlwnx+l + ByM~1Bjwy+1 = 0

Необходимо отметить, что в качестве порождающей схемы для дивергенции может быть использована любая скалярная схема расщепления. Заметим также, что схемы из п. 2.1 и 2.2 могут быть получены в рамках предложенного подхода при использовании подходящих скалярных схем расщепления для дивергенции.

В пп. 2.3.2 рассматривается трехмерный случай. Потоковые схемы расщепления строятся на основе схемы Дугласа и Ганна (1964) и локально-одномерной схемы второго порядка.

Пп. 2.3.3. содержит формализованное описание процесса получения схем для потока из схем для дивергенции, а также объяснение того, почему схема на основе локально-одномерной имеет лишь первый порядок точности для потока.

В пункте 2.4 рассматривается вопрос об устойчивости [4] для потоковых схем расщепления, построенных с помощью предложенного в пункте 2.3 подхода. В пп. 2.4.1 рассматривается устойчивость по начальным данным и по правой части для температуры, а также устойчивость для теплового потока в полунорме, связанной с оператором дивергенции.

В пп. 2.4.2 получены априорные оценки [4] глобальной устойчивости для потока в потоковой схеме расщепления, основанной на схеме переменных направлений для дивергенции. Основаня идея состоит в разложении теплового потока на сеточном уровне на соленоидальную и потенциальную составляющие. В частности, для перестановочного случая доказана следующая теорема:

Пусть операторы Ах и Ау перестановочны. Тогда потоковая схема расщепления (7) равномерно устойчива в пространстве Н по начальным данным из

подпространства Н с нормой ||v||g = (||v||h + r4||AyBTv||^ , т.е. существует не зависящее от параметров т, han число Ci > 0 такое, что Vw° € Н выполняется неравенство: ||чуп||н < Ci[|w°||g, п = 1,2,.... Также получены априорные оценки в неперестановочном случае для начальных данных из другого подпространства Н.

В пп. 2.4.3 доказана аналогичная теорема для трехмерной потоковой схемы расщепления, основанной на схеме Дугласа и Гана для сеточной дивергенции, в перестановочном случае.

Глава 3 содержит описание результатов численных экспериментов. Основное внимание в пункте 3.1 уделено сравнению различных схем из п. 2.1 - 2.3. в двумерном (пп. 3.1.1) и трехмерном (пп. 3.1.2) случаях по точности в равномерной норме и норме пространства ¿2 для температуры и теплового потока. В двумерном случае приводятся результаты экспериментов как для равномерной, так и для неравномерной сетки, а также в случае переменного коэффициента теплопроводности.

В пункте 3.2 приведены численные результаты, показывающие, что требования дополнительной гладкости в априорных оценках из п. 2.4 не являются недостатком приведенного доказательства. Приведены несколько примеров, для которых требуемой гладкостью начальный тепловой поток не обладает. Неограниченно возрастающей неустойчивости при этом не возникает, но имеет место лишь условная сходимость. В качестве решения данной проблемы предлагается использовать сглаживающие процедуры для начального теплового потока или начальной температуры.

В пункте 3.3 рассматриваются высокопроизводительные параллельные реализации [5], [7], [10] на основе MPI и ОрепМР для трехмерной потоковой схемы расщепления из пп. 2.4.2., показавшей лучшую точность в численных экспериментах. Было проведено исследование гетерогенной MPI/OpenMP реализации с выделением среди всех ОрепМР потоков на каждом узле одного потока-'почтальона", выполняющего обмен данными. С помощью этого достигается одновременное выполнение "полезных" вычислений и обменов данными между MPI процессами.

В главе 4 приведены примеры прикладных задач из области моделирования термохронологии аккреционно-коллизионных процессов, к решению которых были применены построенные с помощью предложенного подхода потоковые схемы расщепления. Основной целью моделирования было отслеживание динамики тепловых полей в верхней коре орогена во время различных аккреционно-коллизионных процессов.

В пункте 4.1 рассматривается задача моделирования геотермальной истории на этапах эволюции магматизма в активной континентальной окраине Сибирского кратона [6], [12]. В пп. 4.1.1 приведена физическая постановка задачи, в пп. 4.1.2 - построенная математическая модель. Далее, в пп. 4.1.3 рассматриваются результаты численного моделирования, проведенного с применением двумерной потоковой схемы расщепления, построенной на основе схемы переменных направлений для сеточной дивергенции теплового потока.

Пункт 4.2 посвящен задаче моделирования динамики тепловых полей в верхней коре орогена во время поздепермианской коллизии между Карским и Сибирским микроконтинентами [6], [7], [12]. Процесс моделирования охватывал последовательные стадии распластования и утолщения коры во время поздепермианской коллизии между Карским и Сибирским микроконтинентами. Для физической модели, построенной на основе геологических и геохимических данных, была предложена трехмерная упрощенная математическая модель рассматриваемого процесса, включающая феноменологическую скоростную модель среды. Для учета утолщения континентальной коры в окрестности зоны контакта в модель были добавлены подобласти с воздухом и мантийной подложкой. Пп. 4.2.3 содержит результаты численных расчетов, проведенных по трехмерной потоковой схеме расщепления на основе схемы

Дугласа и Гана для дивергенции теплового потока. Расчеты были проведены на базе Сибирского СуперКомпьютерного Центра с использованием параллельной реализации трехмерной схемы расщепления на основе MPI из п. 3.3. В результате моделирования был проверен ряд геологических гипотез, а также были сделаны выводы о том, какие факторы оказали наибольшее влияние на распределение температуры во время и после окончания процесса коллизии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе предложен и исследован новый принцип построения схем расщепления для вектора теплового потока в смешанном методе конечных элементов для решения задач теплопереноса в смешанной постановке на основе скалярных схем расщепления для дивергенции теплового потока. Данный подход позволяет сконструировать новый класс потоковых схем расщепления, а также записать и провести анализ известных ранее подходов на основе треугольной факторизации и алгоритма Удзавы в единообразной форме.

Основными преимуществами использованного в работе подхода являются автоматическая консервативность численных алгоритмов и возможность одновременного нахождения температуры и теплового потока. Благодаря использованию смешанного МКЭ для аппроксимации по пространству, построенные схемы расщепления для теплового потока могут быть использованы как составная часть численных алгоритмов моделирования сложных неизотермических физических процессов.

Для потоковых схем расщепления, построенных на основе схемы переменных направлений и схемы Дугласа-Ганна для дивергенции потока в двумерном и трехмерном случаях получены априорные оценки равномерной устойчивости по начальным данным для теплового потока. В отличие от теорем, полученных Т. Арбогастом и соавторами для схем на основе алгоритма Удзавы, в доказанных оценках отсутствует жесткое ограничение р < const.

Предложенные схемы расщепления показали в численных экспериментах более высокую точность по сравнению с известными ранее потоковыми схемами расщепления на основе попеременно-треугольной факторизации и факторизации типа SSOR. Разработанные с использованием MPI и ОрепМР параллельные реализации показали высокую эффективность и были успешно применены к решению прикладных задач на современных суперЭВМ с общей и распределенной памятью.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Воронин К.В. О схемах расщепления в смешанном методе конечных элементов / К.В. Воронин, Ю.М. Лаевский // Сиб. жури, вычисл. матем., 2012, №2(15), с. 183-189.

[2] Воронин К.В. Схемы расщепления в смешанном методе конечных элементов решения задач теплопереноса / К.В. Воронин, Ю.М. Лаевский // Матем. моделирование, 2012, №8(24), с. 109-120.

[3] Воронин, К.В. Об одном подходе к построению потоковых схем расщепления в смешанном методе конечных элементов / К.В. Воронин, Ю.М. Лаевский // Математическое моделирование, 2014, т.26, 12, с. 33-47.

[4] Воронин, К.В. Об устойчивости некоторых потоковых схем расщепления / К.В. Воронин, Ю.М. Лаевский // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. - Новосибирск, 2015. - Т.18, №2. - С. 135-145.

[5] Воронин, К.В. Численное исследование MPI/OpenMP реализации на основе асинхронной работы с потоками для трехмерной схемы расщепления в задачах теплопереноса // Сиб. журн. индустр. матем., 2014, №2(58), с. 41-49.

[6] Voronin, K.V. Splitting Methods for Geothermal Processes Simulation / K.V. Voronin, Y.M. Laevsky // Extended abstracts of 75th EAGE Conference & Exhibition incorporating SPE EUROPEC 2013, [URL]

http://earthdoc.eage.org/publication/publicationdetails/?publication=68493.

[7] Voronin, K.V. High-performance Computing in Thermochronological Modeling / K.V. Voronin, Y.M. Laevsky, M.Y. Matushkin, A.E. Vernikovskaya, V.A. Vernikovsky, O.P. Polyansky // Extended abstracts of 76th EAGE Conference and Exhibition 2014, [URL] http://earthdoc.eage.org/publication/publicationdetails/?publication=76006

[8] Воронин, К.В. Численное моделирование процессов теплопереноса в приложении к некоторым задачам геологии. / К.В. Воронин // Труды конференции молодых ученых. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2010, с. 45-56.

[9] Воронин, К.В. Схемы расщепления в смешанном методе конечных элементов для решения задач теплопереноса. / К.В. Воронин // Труды конференции молодых ученых. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2012, [URL] http://parbz.sscc.ru/fcp/kmu2012/voronin.pdf.

[10] Воронин, K.B. Параллельная реализация трехмерной схемы расщепления для решения задач теплопереноса на современных суперкомпьютерах / К.В. Воронин // Труды конференции молодых ученых. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2013., с. 58-68.

[11] Берниковский В.А. Тектонотермальная модель формирование орогена на постколлизиоппой стадии (па примере Енисейского кряжа, Восточная Сибирь) / В.А. Берниковский, А.Е. Берниковская, О.П. Полянский, Ю.М. Лаевский, Н.Ю. Матушкин, К.В. Воронин // Геология и геофизика, 2011, №1(52), с. 32-50.

[12] Берниковская А.Е. Эволюция магматизма и карбонатит-гранитная ассоциация в неопротерозойской активной континентальной окраине Сибирского кратона: термохронологические реконструкции / А.Е. Берниковская, В.М. Дацеико, В.А. Берниковский, Н.Ю. Матушкин, Ю.М. Лаевский, И.В. Романова, A.B. Травин, К.В. Воронин, E.H. Лепехина // Доклады Академии наук. 2013, №5 (448), с. 555-562.

Подписано в печать 20.04.2015 Формат 60x84 1416 Усл. печ. л. 1 Объем 16 стр. Тираж 100 экз. Заказ №63

Отпечатано Омега Принт 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Лаврентьева, 6 email: omegap@yandex.ru