Метод полного расщепления численного решения параболических уравнений со смешанными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

г ; П УН

1 8 окт та

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАВДОННЫЙ ИНСТИТУТ (Технический университет)

На правах рукописи УДК 519.633

ТЮКИН Олег Александрович

МЕТОД ПОЛНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СО СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Специальность 01.01.07 "Вычислительная математика"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена в Московском государственном авиационном институте (Техническом университете).

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор В.Ф.Формалев.

Официальные ояпоненты: доктор физико-математических

наук, профессор В.Ф.Тинлсин,

Ведущая организация: факультет Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова.

заседании диссертационного совета К 053.18.09 в Московском государственном авиационном институте (Техническом универ-

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Адрес института: 125871, Москва, ГСП, А-80, Волоколамское шоссе, 4.

кандидат физико-математических наук, доцент А.В.Янин.

Защита состоится

ситете).

Автореферат разослал " " ^Си 1996 г.

»

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Физические явления, описываемые дифференциальными уравнениями параболического типа со смешанными производными, встречаются во многих областях науки и техники ( многомерные задачи анизотропной теплопроводности, теория пограничного слоя, задачи с уравнениями Навье - Стокса, Фоккера - Планка -Колмогорова и др.). Требовалие наиболее полного учета самых разнообразных сторон этих явлений приводит, как правило, к нелинейным уравнениям и системам уравнений. Аналитическое исследование задач в такой постановке возможно лишь в исключительных случаях. Поэтому особое значение приобретают численные методы интегрирования дифференциальных уравнений со смешанными производными.

При решении многомерных нестационарных задач для дифференциальных уравнений в частных производных возникает проблема поиска эффективных вычислительных алгоритмов, требующих минимального машинного времени для получения приближенного решения с достаточной точностью. Таковыми, безусловно, являются экономичные разностные схемы.

Наличие смешанных производных в исходной дифференциальной задаче создает, наряду с многомерностью дополнительные трудности при построении эффективных разностных схем. Однако большинство существующих в настоящее время схем численного интегрирования параболических уравнений со смешанными дифференциальными операторами представляют собой лишь формальное обобщение известных классических схем на случаи уравнений со смешанными производными. При этом смешанные операторы полностью, либо частично аппроксимируются с помощью значений сеточных функций на уже известных слоях по времени. Это приводит к тому, что схемы переменных направлений оказываются условно устойчивыми, а схемы расщепления значительно теряют запас устойчивости при переходе к решению нелинейных задач. Поэтому разработка полностью неявных, а потому абсолютно устойчивых, и экономичных схем, использующих только скалярные прогонки по координатным направлениям, является традиционно актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является разработка и обоснование

нового экономичного, абсолютно устойчивого метода полного расщепления численного интегрирования уравнений математической физики параболического типа, ориентированного специально на решение задач со смешанными производными.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации.

1. Предложен новый экономичный, абсолютно устойчивый метод полного расщепления численного решения задач для многомерных дифференциальных уравнений параболического типа, содержащих смешанные производные.

2. Доказаны теоремы об аппроксимации, абсолютной устойчивости и сходимости метода полного расщепления применительно к линейным параболическим задачам со смешанными дифференциальными операторами произвольной размерности.

3. Построены разностная схема переменных направлений, регуля-ризованная схема расщепления и схема полного расщепления с усреднением на основе метода полного расщепления для решения линейных задач теплопроводности с постоянными коэффициентами и с тензором теплопроводности.

4. Проведено исследования разностных схем на основе метода полного расщепления для многомерных нелинейных уравнений параболического типа со смешанными производными, их аппроксимационных свойств и сходимости в случае разностной схемы с опережением.

5. Получено аналитическое решение трехмерной нестационарной задачи анизотропной теплопроводности в бесконечной пластине и проведено исследования этого решения в частном случае первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в двумерной анизотропной полосе.

6. Дан численный анализ новых схем метода полного расщепления в сравнении с известными разностными методами на примерах линейных задач анизотропной теплопроводности и первой начально-краевой задачи для нелинейного параболического уравнения в прямоугольнике.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные теоретические результаты могут стимулировать появление новых работ по численным методам решения параболических уравнений со смешанными производными и математическому моделированию процее-

сов, описываемых дифференциальными уравнениями со смешанными дифференциальными операторами. Предложенный метод может быть эффективно использован в инженерной практике при аэро- и газодинамическом расчетах элементов конструкций летательных аппаратов, исследовании процессов тепломассообмена и идентификации тепловых состояний конструкций, выполненных из анизотропных материалов, для нахождения плотности переходных функций, описывающих непрерывные марковские процессы диффузионного типа и др.

Достоверность исследования и полученных результатов вытекает из математической строгости постановок рассматриваемых задач, применения корректных методов их исследования и подтверждается проведенными вычислительными экспериментами, сравнениями с аналитическими решениями.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры "Вычислительная математика и программирование" под руководством.профессора Пирумова У.Г., 2-ой Международной конференции "Идентификация динамических систем и обратные задачи" (С.-Петербург, 20-27 августа 1994 г.), XII Школе-семинаре по , пакетам прикладных программ математической физики (Новосибирск, 28-30 сентября 1992 г.), XIII Школе-семинаре по комплексам программ математической физики (Новосибирск, 26 сентября-4 октября 1994 г.), 1-ой Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Москва, 26-30 июня 1995 г.), Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошной среды", посвященной памяти академика Яненко H.H. (Новосибирск, 26 мая-2 июня 1996 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 105 наименований. Работа изложена на 157 страницах машинописного текста, содержит 34 рисунка и б таблиц.

о

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении раскрывается актуальность темы исследования, дается

краткий обзор литературы по теме диссертации, излагаются структура работы и результаты, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации посвящена построению неявных схем полного расщепления численного решения линейных параболических уравнений, содержащих смешанные производные.

В параграфе 1.1 на примере уравнения параболического типа (/ = О, ка/з = const, а,[3 — Т!~р, р — 2 (метод разработан для любого р))

| = Ь*+П*А L = Ь** = (1)

излагаются основные исходные положения нового метода, основанного на более глубоком в отличие от классического метода дробных шагов расщеплении разностного оператора Л, аппроксимирующего дифференциальный оператор L, на сумму в определенном смысле более простых шифитороп, Дицтигаптси что ян с.чот ирпнстаиллния копочио-ралпостных операторов A„/j, аппроксимирующих смешанные произьод-ные, в виде суммы двух асимметричных операторов

= + (2) Л~ри - (kaputjl)Xal A^ju = (ka0UXf)Xa,

или

V = + ' ^

= (ka/}Ut/)sa, A+,u = (kapuXf)Xai

каждый из которых, будучи записан неявно на верхнем временном слое, допускает использовгание только скалярных прогонок для реализации конечно-разностных схем, получаемых в результате такого построения.

Применение нового метода к решению начально-краевой задачи первого рода для уравнения (1), описывающего процесс распространения тепла в прямоугольнике Q в случае постоянных кар, / = 0, р = 2,

краевого условия

иО,г) = о, xedQ, о <t<T, (4)

и начального условия

ф,о) = щ{х), жед, г = о, (5)

приводит к схеме

• у{х>о) = и0(х), X ед, у>+а>2 = хедС}, « = 1,2,

где Ааау = {коаща)Ха, а = 1,2, <т = 31511 у(г,<) — сеточная функция, заданная в узлах равномерной пространственно-временной сетки с шагами Л1,А2,г, покрывающей цилиндр <?г = Я х [О, Т].

Существенным в (6) является то, что вид конечно-разностных аппроксимаций зависит от знака коэффициента теплопроводности при смешанной производной. Абсолютная устойчивость предлагаемой полностью неявной разностной схемы имеет место только в том случае, когда конечно-разностный оператор, аппроксимирующий смешанную производную, ориентирован но вектору тсплопого потока. 13 противном случае требуется выполнение дополнительного условия на шаги пространственно-временной сетки

т.е. схема оказывается условно устойчивой.

Поскольку используются только скалярные прогонки и матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений (б) обладает диагональным преобладанием, то описываемый метод полного расщепления оказывается экономичным.

Исследование аппроксимации разностной задачи основано на принадлежности схемы (6) к классу составных конечно-разностных схем, аппроксимирующих исходную задачу в суммарном смысле. Доказана Теорема 1. Схема (б) обладает свойством суммарной аппроксимации на достаточно гладком решении и(х,1) задачи (1), (4)>(5) с погрешностью аппрокымации 0(т -I- Ь.\ + ).

Исследование устойчивости проводится гармоническим методом Неймана и методом энергетических неравенств. В первом случае имеет место

Теорема 2. Для схемы (6) выполнено необходимое условие устойчивости Неймана и на гармонических решениях она абсолютно устойчива.

Во втором случае, использование аппарата теории устойчивости двухслойных схем приводит к выводу об абсолютной устойчивости разностной схемы полного расщепления по начальным данным и по правой части при выполнении условия сильной эллиптичности для коэффициентов исходной задачи. Верна

Теорема 3. Если коэффициенты kap схемы (6) удовлетворяют условию

11 i-Cl Е Tll < Е карч alp < С2 Е

о=1 а,/?=1 а=1

где 7) € R2, cj, сг = const > 0., то для решения у справедлива оценка

!l2/;41||<l|uo||+Er||/A||.

А=О

Далее в параграфе 1.1 приводится обобщение метода полного расщепления на многомерный случай. Обсуждаются основные вопросы, связанные с особенностями реализации схем, учитывающих направление вектора теплового потока в пространстве р(р > 3) измерений.

Исследованию схем метода полного расщепления для уравнений с переменными коэффициентами посвящен параграф 1.2. Этот случай, в отличие от уравнений с постоянными коэффициентами, характеризуется наличием дополнительных прогонок по координатным направлениям, что приводит к характерному для методов расщепления решения параболических уравнений со смешанными производными их общему числу - 2р (р - размерность задачи). Рассмотрение вопросов аппроксимации и реализации разностных схем повторяет рассуждении, проведенные и параграфе 1.1, однако исслодонапие сходимости требует построения специальных априорных оценок, использующих свойства схем полного расщепления аппроксимировать задачу в суммарном смысле. Используя результаты теории устойчивости аддитив-

ных схем, удается доказать сходимость метода полного расщепления для уравнений с переменными коэффициентами и оценить точность приближенного решения,

В параграфе 1.3 на основе метода полного расщепления сформулирована и решена задача о построении конечно-разностных схем переменных направлений для двумерных параболических уравнений с постоянными коэффициентами, содержащих смешанные производные. Используя идею о представлении смешанных конечно-разностных операторов в виде суммы двух асимметричных операторов, один из которых записан на верхнем временном слое, а другой - на нижнем, получаем для уравнения (1) схему

у т/2 У = (Ли + ЛГ2) ?/+1/2 + (Л+ + Л22) у> + (8)

„;'+! _ „/+1/2

-- (Л22 + Л+) у+ (ЛГ2 + Л„) у^ +

в которой половина всех конечно-разностных операторов, аппроксимирующих дифференциальный оператор исходной задачи, оказываются записанными неявно. В результате асимметричная схема переменных направлений обладает большим запасом устойчивости, чем классическая схема Писмена-Рэкфорда.

В том же параграфе проведено исследование аппроксимации и сходимости асимметричных схем. Оказывается, что п отличие от известных схем переменных направлений предлагаемая схема имеет второй порядок точности по времени и по пространственным переменным.

В параграфе 1.4 предпринимается попытка преодоления зависимости вида схем метода полного расщепления от знаков коэффициентов при смешанных производных. Для этого в разностные схемы вводятся операторы^ специальной структуры - так называемые регуляриза-торы. Обеспечивая диагональное преобладание получаемых при этом матриц систем линейных алгебраических уравнений для любых коэффициентом, исходной задачи, они значительно• номшшшт униморедль-ность метода полного расщепления. Однако, такого эффекта удается достичь только за счет ухудшения аппроксимационных свойств. Исследования, проведенные методами теории аддитивных схем, показы-

вают, что регуляризованные схемы полного расщепления аппроксимируют исходную задачу при определенных ограничениях на шаги пространственно-временной сетки. Тем не менее, некоторое усложнение разностного алгоритма, а именно введение в схему процедуры усрсднсиия, предложенной Саульсным В. К., позволяет преодолеть условность аппроксимации. Несмотря на увеличение общего количества трехточечных прогонок и памяти ЭВМ, требуемой для хранения промежуточных результатов, схемы полного расщепления с усреднением оказываются экономичными и пригодными к решению широкого круга задач.

Вторая глава диссертационной работы посвящена построению и обоснованию схем метода полного расщепления для решения нелинейных параболических уравнений вида

ди * д , , . . , . . .

—- = + q0{x,t,u,gт7ldu). (9)

а1 а=1 аха

Предполагается, что условие параболичности выполнено только на решении исходного дифференциального уравнения.

В параграфе 2.1 предлагается следующая схема численного интегрирования уравнения (£)), имеющая первый порядок точности но времени и второй порядок точности по пространственным переменным

уцзаг-1) - \{чАх>Ку{2а-1)>У(2с,-1)и))Ха + -^-доС^,

У 2о) = \ (<7а(г,г, У(2с),У(2а)х))£а + У(2р), У(2р)х), (Ю)

где а = 17?, 6а<Р - символДронекера, уг(о) = (у^ - 1/(„_1))/т-

Для реализации разностной схемы (10) предлагается итерационный процесс типа Ньютона, в котором каждая итерация находится методом скалярной прогонки, что обусловливает экономичность разностного алгоритма.

Теоретическое исследование сходимости схемы (10) и реализующего ее итерационного процесса удается провести полностью только в случае, когда исходное дифференциальное уравнение не содержит смешанные производные. Для уравнений со смешанными дифференциаль-

ными операторами оценка скорости сходимости получена для модельной схемы с опережением

!/< = Ау, (И)

построение и изучение которой проводится в параграфе 2.2. Доказана следующая

Теорема 4. Если и(х, t) 6 С2 (Qt)i выполняются известные условия гладкости для qaiq0) т = Л", к > 4/3, то при достаточно малых г < Го, h < ho существует единственное решение задачи (11), которое сходится к решению дифференциальной задачи, и для погрешности метода z = и — у справедлива оценка

||*у|| < U (Л2 + т), з = М = const > 0.

Рис. 1: Поведение максимальной абсолютной погрешности схем: 1 - схемы полного расщепления, 2 - схемы расщепления, 3 - явной схемы, 4 - регуляризованной схемы расщепления с усреднением, 5 - асимметричной схемы переменных налр&ялеиий, 6 - схемы переменных направлений, с течением времени при г = 0.1,Л = 0.01, к. = 0.001, Ки = 1.0 .

Экспериментальному исследованию схем метода полного расщепления применительно к решению нелинейной нестационарной задачи анизотропной теплопроводности в прямоугольнике посвящен параграф 2.3. Сравнительный численный анализ с известными разностными методами показал, что классические явная схема, схема переменных направлений и схема расщепления являются устойчивыми только при числах Куранта Ки = кг/Л2 меньших 1.0, в то время как схема полного расщепления, асимметричная схема переменных направлений и

регуляризованная схема расщепления с усреднением дают устойчивое решение при всех числах Куранта (рис. 1).

Аналитическому решению линейной задачи анизотропной теплопроводности с постоянными коэффициентами в бесконечной пластине и сравнению результатов численного интегрирования методом полного . расщепления с полученным решением посвящена глава 3.

В параграфе 3.1 приведена математическая модель трехмерной нестационарной задачи теплопроводности без каких-либо ограничений на тензор теплопроводности (кроме требования параболичности уравнения)

дТ , д2'Г д2Т . д2Т д2Т , д2Т ср— = Ап— + ± а22~ + + Азз-

зг

дх2

дхду

'ду2

дудг

х € (-оо,+оо), у 6 (0,/), 2 е (-оо,+6о), ¿ > О,

дТ дТ дТ а1(Те, - Т) - + А22~ + Л23—) = О, у = О,

дТ дТ дТ а2(Те, - Г) - + Л22~ + Л23-^) - 0, у =

Т(®,у,*) = 0, ¿ = 0.

В условиях теплового воздействия на ограниченных участках пластины, с помощью аппарата прямого и обратного преобразований Фурье и Лапласа получено точное аналитическое решение задачи в дехсар-товых координатах, которое в частном случае задачи для двумерной анизотропной полосы имеет вид

Т '

Т(х,у,г) = у/Я (У, О

ег{

Ьх- ту + х 2 у/цт

¿г + ^/Жу.т)

"Ч-Ш-1

¿г,

где

Ыу,Т)

6(т) = 6(т +0), у= 0, 0,! У—1,

, 0 < у < /,

Лт, - главные компоненты тензора теплопроводности, ¿(г) - дельта-функция. егДх) - функция ошибок.

Параграф 3.2 посвящен исследованию температурных полей на основе аиллитлчоскот решения первой начально-красной задачи для уравнения анизотропной теплопроводности в двумерной бесконечной полосе. Проводится количественный и качественный анализ поведения' тепловых полей в зависимости от характеристик тензора теплопроводности. Выявлен ряд новых закономерностей прогрева анизотропных тел.

Результаты вычислительного эксперимента,, представляющего собой численное моделирование методом полного расщепления задачи, аналитическое исследование которой проведено в параграфах 3.1-3.2, обсуждаются в параграфе 3.3. Проведенные исследования показали, что новые асимметричная схема полного расщепления, асимметричная схема переменных направлений и схема расщепления с усреднением являются абсолютно устойчивыми, в то время как классические явная схема и схема переменных направлений при возрастании числа Куранта Кч — кг/Л2 разваливают решение (рис. 2). Анализируется поведение погрешностей упомянутых методов при выход« решения на стационарный режим. Проводитсяосравнительное исследование зависимости точности приближенного решения от числа Куранта, подтверждающее более высокую эффективность схем нового метода

полного расщепления в сравнении с известными методами численного

Рис. 2: Поведение максимальной абсолютной погрешности схем: 1 - схемы полного расщепления, 2 - схемы расщепления, 3 - явной схемы, 4 - регулярмэованной схемы расщепления с усреднением, 5 - асимметричной схемы переменных направлений, 6 - схемы переменных направлений, с течением времени при т = 0.1, Л = 0.0025,« = 0.009375, К и = 150.0 .

В заключении диссертационной работы сформулированы ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Предложен новый экономичный, абсолютно устойчивый метод полного расщепления численного решения параболических задач, содержащих смешанные дифференциальные операторы, основанный на более глубоком, чем в существующих методах, расщеплении смешанных производных и их неявной аппроксимации. '

2. Доказаны теоремы об аппроксимации, абсолютной устойчивости и сходимости метода полной? расщепления применительно к линейным параболическим задачам со смешанными дифференциальными операторами произвольной размерности.

3. На основе предложенного метода полного расщепления разработаны и обоснованы экономичные, абсолютно устойчивые схемы переменных направлений, регуляризовапная схема расщепления и схема полного расщепления с усреднением для решения двумерных уравнений параболического типа с постоянными коэффициентами, принципиально отличающиеся от классических схем неявной алпроксимацией

/

смешанных производных. Схемы апробированы на примерах анизотропных задач теплопроводности.

4. Исследования метода полного расщепления на примерах решения многомерных задач анизотропной теплопроводности показали зависимость вида конечно-разностной схемы, а следовательно и устойчивости, от знаков коэффициентов теплопроводности при смешанных производных. Оказалось, что абсолютная устойчивость схем метода полного расщепления имеет место в случаях, когда смешанный конечно-разностный оператор ориентирован по вектору теплового потока. В связи с этим разработан специальный алгоритм, сохраняющий абсолютную устойчивость метода.

5. Предложены и изучены разностные схемы метода полного расщепления для нахождения приближенных решений многомерных нелинейных параболических уравнений со смешанными дифференциальными операторами. При этом экспериментальное исследование устойчивости и точности осуществлялось в сравнении со специально подобранным аналитическим решением нелинейной задачи. Оказалось, что в то время как все существующие схемы разрушают решение при числе Куранта, равном ~ 1, разработанные схемы остаются устойчивыми.

6. Получено точное аналитическое решение трехмерной нестационарной задачи анизотропной теплопроводности в пластине для случая произвольного тензора теплопроводности.

7. Проведенные исследования аналитического решения для двумерной анизотропной полосы позволили, во-первых, получить температурные поля для практически важных задач, во-вторых, выявить новые явления в распределении тепловых полей, в частности, появление седловых точек, и в-третьих, осуществить апробацию нового метода полного расщепления применительно к той же задаче.

Полученные результаты могут использоваться как при теоретических исследованиях, так и в экспериментальной практике. Разработанные алгоритмы являются достаточно общими и могут быть применены к решению не только задач анизотропной теплопроводности, но и задач, содержащих системы уравнений параболического типа со смешанными производными, например, для пространственных уравнений пограничного слоя, параболлэованных уравнений На.вье-Стокса

И Др.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Формалев В.Ф., Тюкин О.А. Исследование температурных шлей на основе аналитического решения двумерной задачи анизотропной теплопроводности // Теплофизика высоких температур. 1994. Т.32. N4. С.518-523.

2. Формалев В.Ф., Тюкин О.А. Экономичный абсолютно устойчивый метод расщепления с экстраполяцией численного решения задач, содержащих смешанные дифференциальные операторы // Вычислительные технологии. Новосибирск: ИВТ СО РАН. 1995. Т.4. N10. С.290-295.

3. Формалев В.Ф., Тюкин О.А. Неявный метод численного решения параболических задач с расщеплением смешанных дифференциальных операторов // Тезисы докладов на Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошной среды". Новосибирск, 26 мая-2 июня, 1996. С.33-34.

4. Формалев В.Ф., Мартыхина Т.Ю., Тюкин О.А. Пакет прикладных программ численного решения задач сопряженного теплообмена при пленочном охлаждении анизотропных тел // Вычислительные технологии. Новосибирск: ИВТ СО РАН. 1993. Т.2. N6. С.79-86.

5. Формалев В.Ф., Мартыхина Т.Ю., Тюкин О.А. Идентификация математической модели анизотропной теплопроводности и фильтрации при пленочном охлаждении элементов конструкций JIA // Сборник трудов 2-ой международной конференции "Идентификация динамических систем". С.-Петербург, 1994. С.С-3-1-С-3-12.

6. Tjukiu О.А. An implicit method of splitting for numerical solving the parabolic equations with mixed derivatives // Collected abstracts of the 1-st International conference on the nonequilibrium processes in nozzles and jets. Moscow: MAI, 1995. C.148.

7. Formalev V.F., Tjukin O.A. The identification of the mathematical model for anisotropic blunted bodies film cooling //J. Inverse Problems. Canada, 1996. (Ad. for publ.)