Многокомпонентные векторные схемы расщепления в методах математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

□0344Э1Б5

Абрашина-Жадаева Наталья Григорьевна

МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ В МЕТОДАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

01 01 07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Казань - 2008

003449165

Работа выполнена в Белорусском государственном университете

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, член-корреспондент РАН Четверушкин Борис Николаевич

Защита состоится «24» апреля 2008 г в «14 30» на заседании диссертационного совета Д212 08121 в Казанском государственном университете по адресу 420008, г Казань, ул Кремлевская 18, корп 2, ауд 217

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им Н И Лобачевского Казанского государственного университета

доктор физико-математических наук, профессор

Монастырный Петр Ильич

доктор физико-математических наук, доцент

Федотов Евгений Михайлович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, д ф -м н , доцент

О А Задворнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке и обоснованию экономичных численных методов для нестационарных и стационарных многомерных дифференциальных уравнений в частных производных В работе рассмотрены вопросы построения численных алгоритмов на основе принципа аддитивности с использованием многокомпонентной векторной аппроксимации, исследованы условия устойчивости и асимптотической устойчивости, получены соответствующие априорные оценки

Актуальность темы диссертации. Математическое моделирование успешно применяется практически во всех областях современных знаний Математические модели, которые детально описывают исследуемые реальные процессы, как правило, являются сложными Сложность задач математической физики обусловлена многомерностью, нелинейностью, наличием одновременно протекающих многих физических процессов в рамках одной системы Получить точные аналитические решения этих задач, за исключением отдельных случаев, практически невозможно, поэтому применяют приближенные методы решения, например, конечно-разностные методы Для возможности их эффективного использования конечно-разностные методы должны обладать основополагающими свойствами аппроксимации, устойчивости, сходимости и экономичности Если первые три гарантируют надежное вычисление приближенного решения с необходимой точностью, то последнее позволяет делать это с относительно небольшими затратами вычислительной работы Эффективным средством приближенного решения сложных многомерных задач математической физики на основе их конечно-разностных аппроксимаций являются методы численного интегрирования дифференциальных уравнений математической физики, называемые методами расщепления Начиная с 50-х годов прошлого столетия такие приближенные методы получили бурное развитие и нашли широкое применение в практике численного решения целого ряда сложных и важных прикладных задач Их достоинством является сведение исходной модели к расщепленной, существенно упрощающей программирование, распараллеливание, модульное структурирование вычислений В результате удается получать гибкие и экономичные разностные схемы

Существенным для развития рассматриваемого класса методов было введение понятия суммарной аппроксимации многомерного уравнения системой одномерных, открывшее возможность производить расщепление

не только по пространственным переменным, но и по различным физическим процессам, отдельным членам дифференциальных и разностных уравнений Различным аспектам экономичных методов расщепления посвящены работы Н Н Яненко, А А Самарского, Е Г Дьяконова, Г В Демидова, В И Лебедева, В Н Абрашина, В И Агошкова, В Б Андреева, К А Багриновского, С К Годунова, Н С Бахвалова, Г М Кобель-кова, Е В Чижонкова, О М Белоцерковского, Н В Булеева, А В Гули-на, И В Фрязинова, П Н Вабищевича, В В Воеводина, Ю А Кузнецова, А Д Ляшко, М М Карчевского, А А Злотника, В П Ильина, В И Кузина, Ю М Лаевского, Ж -Л Лионса, Р Рихтмайера, К Мортона, Д Форсайта, М Малькольма, К Моулера, J Douglas, Н Rachford, D Peaceman, J Gunn, В S Jovanovic, J Ortega, L Hageman, D Young, G Birkhoff, R Varga, O A Widlund, R Temam и др

Интерес к изучению и разработке новых модификаций методов расщепления вызван многочисленными успешными их применениями для решения задач гидродинамики, теории переноса, метеорологии, океанологии, физики и техники Идея расщепления особенно конструктивна при разработке численных методов для многомерных задач При внешней простоте расщепление требует тщательного анализа получаемых систем уравнений, в связи с чем интенсивно развивались и продолжают развиваются теоретические исследования, связанные с проблемами повышения точности, устойчивости, скорости сходимости, быстродействия и расширения класса задач, для которых оно может применяться Как известно, в общем случае, в рамках традиционных подходов, расщепление задачи связано с ухудшением асимптотических свойств и локальной аппроксимации, необходимостью дополнительных ограничений на компоненты операторов расщепления Преодоление указанных и других проблем развития методов расщепления заслуживает внимания как исследователей, так и практиков В связи с необходимостью повышения быстродействия приближенного решения многих прикладных задач, например задач метеорологии, как за счет совершенствования численных методов, так и вычислительной техники требуется построение новых экономичных численных методов расщепления, допускающих глубокое распараллеливание и асинхронную реализацию на ЭВМ

Предлагаемая для защиты диссертация посвящена исследованию перечисленных выше проблем развитию на этой основе более эффективных методов расщепления

Связь работы с крупными научными программами, темами.

Исследования проводились по темам, выполняемым кафедрой высшей математики и математической физики БГУ «Дифференциал-3» (19861990 гг ) «Исследовать конструктивные свойства асимптотических инвариантов многомерных дифференциальных систем с полусвязями и слабыми взаимодействиями подсистем», «Дифференциал-4» (1991-1995 гг) «Исследование асимптотических характеристик решений дифференциальных систем» (по плану НИР БГУ и программам АН) «Разработка научно-методического обеспечения новых учебных планов по прикладной математике и информатике», выполняемую по госбюджету (период 1991-1995 гг) по плану НИР БГУ, «Разработка методического обеспечения учебного процесса по высшей математике и ее приложениям», выполняемую по госбюджетным НИР (период 1996-2000 гг ) по плану НИР БГУ и в отделе численных методов математической физики Института математики НАН Беларуси тема Алгоритм-08 — «Разработка эффективных численных методов решения сложных задач математической физики» (1996-2000 гг, номер гос регистрации №19974682, без финансирования), по теме «Исследования рациональных приближений со свободными полюсами и приложений к решению интегро-дифференциальных уравнений», выполняемой кафедрой высшей математики и математической физики Белорусского госуниверситета по Государственной программе фундаментальных исследований «Исследование основных математических структур и проблем математического моделирования», («Математические структуры-12») (2001-2005 гг, номер гос регистрации №20012145)

Цель и задачи исследования. Развитие аддитивных численных методов, основанных на использовании многокомпонентной векторной аппроксимации Обоснование эффективных методов расщепления с улучшенными свойствами, допускающими асинхронную обработку вычислений на ЭВМ В контексте данной проблемы рассмотрены следующие задачи

— разработка методики построения векторно-аддитивных методов полной аппроксимации с улучшенными асимптотическими свойствами,

— разработка специальных подходов к исследованию векторно-аддитивных методов полной аппроксимации,

— разработка последовательных и параллельных алгоритмов, без ограничений на количество операторов расщепления и без требования их попарной коммутируемости,

— обоснование построенных алгоритмов, их качественный анализ,

— разработка итерационных методов решения стационарных задач,

— построение и обоснование методов декомпозиции области на основе векторно-адцитивных схем,

— построение и обоснование многокомпонентных аддитивных методов расщепления по физическим процессам для задач механики сплошных сред

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются приближенные методы решения задач математической физики Предметом исследования является новый класс векторно-аддитивных схем решения многомерных задач математической физики Основными задачами, решаемыми в диссертации, являются нестационарные и стационарные задачи математической физики

Методология и методы проведенного исследования. Работа носит теоретический характер В диссертации использованы методы общей теории разностных схем, теории прикладных итерационных методов, методы функционального анализа, математический аппарат механики сплошных сред

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Научные положения и основные результаты, которые получены в диссертации и выносятся на защиту, являются новыми

К таким результатам относятся предложенные и обоснованные экономичные методы многокомпонентного расщепления полной аппроксимации с улучшенными асимптотическими свойствами для нестационарных задач математической физики произвольной размерности, итерационные многокомпонентные методы решения стационарных задач, методы декомпозиции (расщепления по подобластям) для многомерных стационарных и нестационарных задач

В частности, доказаны теоремы о безусловной устойчивости без требования попарной перестановочности операторов расщепления, получены оценки скорости сходимости итерационных методов и определен один из вариантов оптимального итерационного шага, построенные алгоритмы эффективны для задач в областях сложной геометрии Для ряда задач механики сплошных сред построены и изучены аддитивные методы расщепления по физическим процессам

Конструкция численных алгоритмов на основе принципа аддитивности с использованием многокомпонентной (векторной) аппроксимации, в

рамках предложенного в работе подхода, позволила преодолеть характерные недостатки, присущие известным аддитивным методам В сравнении с известными модификациями метода переменных направлений предлагаемые методы безусловно устойчивы для нестационарных многомерных задач любой размерности Для выполнения условий устойчивости не требуется попарной перестановочности операторов расщепления, кроме того, эти алгоритмы допускают распараллеливание вычислений в большей степени, чем многие известные экономичные методы, эффективны для задач в областях сложной геометрии

Практическая значимость полученных результатов. Полученные в диссертации теоретические результаты и разработанные приближенные методы решения линейных и нелинейных многомерных уравнений в частных производных могут быть использованы в вычислительном эксперименте при математическом моделировании физических процессов Построенные и исследованные в диссертации новые численные алгоритмы могут найти свое применение в ядерной физике, в механике сплошных сред, биофизике, лазерной технологии, экологии, те там где используются модели типа конвекции-диффузии

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1 Векторно-аддитивная модель построения многокомпонентных алгоритмов расщепления дифференциальных уравнений в частных производных для решения нестационарных многомерных задач математической физики, позволяющая расширить область применимости методов расщепления

2 Построение и обоснование новых классов многокомпонентных методов типа переменных направлений, сохраняющих свойство аппроксимации для каждого разностного уравнения в алгоритме, с последовательной и параллельной вычислительной реализацией их для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка параболического и гиперболического типов

3 Доказательства теорем о безусловной устойчивости многокомпонентных векторных алгоритмов без ограничения на количество операторов аддитивного расщепления и требования их коммутируемости

4 Многокомпонентные итерационные методы с последовательной и параллельной реализацией вычислительных алгоритмов для решения стационарных многомерных задач математической физики без ограничения на размерность и требования попарной перестановочности

компонент в аддитивном представлении оператора исходной задачи

5 Теоремы о сходимости многокомпонентных итерационных алгоритмов для задач произвольной размерности (без обычного в подобных случаях требования перестановочности операторов расщепления) и априорные оценки их скорости сходимости Улучшение аддитивных методов в случае коммутируемости пространственных операторов Априорные оценки скорости сходимости итерационных векторно-аддитивных методов с зависимостью лишь от нижней границы спектра операторов расщепления Итерационные алгоритмы для эллиптических уравнений и их систем, в том числе и со смешанными производными

6 Алгоритмы метода декомпозиции (разбиения) расчетной области на ряд подобластей на основе многокомпонентных аддитивных методов расщепления полной аппроксимации для решения многомерных нестационарных и стационарных задач математической физики Соответствующие этим алгоритмам разностные схемы, имеют более высокую точность по сравнению с методами переменных направлений и покомпонентного расщепления и структурно близки к явным

7 Многокомпонентные аддитивные методы расщепления по физическим процессам системы уравнений Навье — Стокса в переменных «скорость - давление»

Личный вклад соискателя. Результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно и опубликованы в работах [1] — [50] В коллективных публикациях автору принадлежат защищаемые в диссертации модифицированные векторно-аддитивные схемы, основные положения и выводы Все результаты, которые приведены в диссертационной работе, подготовлены непосредственно автором или при ее прямом участии

Апробация результатов диссертации. Результаты, включенные в диссертацию, докладывались на Международной конференции «Математическое моделирование и прикладная математика» (Москва — 1990 г), Международной конференции «Теория приближения и задачи вычисл ма-тем » (Днепропетровск —1993 г), Международной конференции «Проблемы математики и информатики» (Гомель — 1994 г), Всероссийском семинаре «Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач» (Казань —1998, 2004 гг), Second International Conference «Finite-difference methods theory and application» (Minsk — 1998 г), Международной конференции,

посвященной 80-летию со дня рождения академика РАН А А Самарского (Москва — 1999 г), Международной конференции «Еругинские чтения» (Гомель — 1999 г), VIII Белорусской математической конференции (Минск — 2000 г), Международной конференции «Еругинские чтения» (Витебск — 2003 г), Mathematical Modelling Analysis Abstracts of the 8th Intern Conference MMA, (Trakai — 2003, 2005, 2007 г), Международной матем конференции (Воронеж — 2005 г), 6,7-м Всероссийском семинарах «Сеточные методы и их приложения» (Казань — 2005, 2007 г)

Кроме того, результаты докладывались и обсуждались на семинарах академика РАН А А Самарского — Московский государственный университет, профессоров АД Ляшко — Казанский государственный университет, М П Сапаговаса — институт математики и информатики АН Литвы, членов-корреспондентов НАН Беларуси Я В Радыно — Белорусский государственный университет, кафедра функционального анализа, В И Корзюка — Белорусский государственный университет, кафедра уравнений математической физики, на Математическом обществе РБ под председательством Я В Радыно

Публикации. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 50 работах в 26 статьях в рецензируемых научных журналах из них 23 в журналах из Перечня ВАК для опубликования основных результатов на соискание степени доктора наук (редакция июль 2007 года), в 10 статьях в сборниках материалов научных конференций, в 14 тезисах докладов и выступлений на конференциях)

Структура и объём диссертации Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, заключения и списка использованных источников Общий объем работы — 193 страницы Список использованных источников состоит из 191 наименования

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы Во введении идет речь об актуальности проблематики, о близких к теме диссертации исследованиях, кратко характеризуется содержание диссертации Нумерация формул, лемм, теорем, следствий, замечаний соответствует нумерации в диссертации

Основные положения и результаты работы изложены на примере абстрактной задачи Коши Единообразная операторная запись дает возмож-

ность проводить исследования с единой точки зрения для разных схем в различных постановках Следуя классической теории разностных схем, сводим общего вида начально-краевую задачу для параболического уравнения (см , например, Красносельский М А и др Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций — М Наука, 1966 — 499 с ) к абстрактной задаче Коши dn

— + Au = f, 0 <t<T, и(0)=щ, (111)

at

в некотором гильбертовом пространстве Н, в котором норма и скалярное произведение определены следующим образом fG(uvdx) = (uv), ||u|| = у/(и, и)

Здесь А — действующий в Н самосопряженный неограниченный положительно определенный оператор, порожденный эллиптическим дифференциальным оператором и системой граничных условий Мы считаем, что некоторый линейный дифференциальный оператор L, действующий на и(х, t) как функцию х = (xi, Х2, , хр), принадлежащую G, где G — р-мерная область евклидова пространства, заменен с учетом краевых условий оператором А с плотной в Н и не зависящей от t областью определения D(A) С Н и с областью значений R{A) С Н Краевые условия учитываются требованием и = u{t) е D(A), 0 < t < Т и — u(t) — искомая, / — /(0 — заданная функции из Н,

A = (112)

а=1

где Аа — линейные положительные операторы в гильбертовом пространстве Н с теми же областями определения и значений, что и у оператора А, те Г£=1 D{Aa) = D(A) Будем называть Аа, а—1,2. ^компонентами исходного оператора А или «одномерными» операторами Аддитивное представление (112) лежит в основе большинства экономичных методов Пусть f„ = пт, п — 0,1, , т > 0, сетка на отрезке 0 < t < Т Основная алгоритмическая идея всех экономичных методов состоит в написании таких разностных уравнений, что их решение сводится к последовательному применению стандартных алгоритмов (например, метод одномерной прогонки), что при переходе от слоя п к слою п + 1 требуется 0(N) действий, где N — число узлов пространственной сетки

Такие методы сочетают достоинства явных и неявных схем и снимают противоречие между простотой реализации и устойчивостью Суть этих методов в использовании структурных свойств оператора А В экономич-

ных аддитивных методах используется представление оператора А в виде (1 1 2) Вместо обращения оператора Е + тА алгоритмы конструируются так, чтобы последовательно или параллельно обращались более простые операторы, например, операторы вида Е + ~утАа, 7 > О, действующие по одной пространственной переменной Системы с матрицами Е + 7тАа решаются методом прогонки с затратой 0(N) действий Для р = 2 и положительно определенных Аа такие методы были предложены в работах J Douglas, Н Rachford, D Peaceman, Н Rachford, J Douglas Альтернативным подходом к построению экономичных методов решения многомерных задач явился метод расщепления (метод дробных шагов) В данном случае, когда проводится редукция сложного оператора к простейшим, интегрирование исходной задачи сводится к последовательному интегрированию уравнений более простой структуры В этой связи появилось несколько актуальных научных направлений, наиболее значимый вклад в которые внесли Г И Марчук, А А Самарский, Н Н Яненко Предлагались различные модели факторизованных схем Среди этих методов особо отметим метод расщепляющегося оператора (Е Г Дьяконов, 1962), метод приближенной факторизации (Н Н Яненко и Г И Марчук, 1966), метод факторизации, на основе метода регуляризации (А А Самарский, 1963)

Отказ от классического понятия аппроксимации и замена его более слабым условием суммарной (слабой) аппроксимации в методах расщепления позволил дать единую трактовку экономичных методов как аддитивных схем и существенно расширил класс задач, решаемых с их помощью Такие вычислительные алгоритмы, вообще говоря, ориентированы на простую (расщепленную) модель, при этом погрешность аппроксимации всей совокупности простейших разностных подзадач (общего алгоритма) определяется как сумма невязок каждой разностной подзадачи, те имеет место суммарная аппроксимация Введение обобщающего понятия суммарной аппроксимации многомерного уравнения системой одномерных послужило теоретическим обоснованием метода расщепления и позволило производить «расщепление» не только по независимым переменным, но и по различным физическим процессам, отдельным членам дифференциальных и разностных уравнений с целью облегчения решения исходной задачи

Бесспорным достоинством этого класса методов является его безусловная устойчивость для практически произвольной размерности и ослабленные требования к свойствам операторов задачи Изучению алгоритмов и

их разностных аналогов посвящена обширная литература, которая указана во Введении к диссертации Основой конструирования нового класса векторно-адцитивных методов в настоящей работе служит, как и в классических методах расщепления, принцип аддитивности и понятие суммарной аппроксимации Выбор именно такой группы методов в качестве основного объекта исследований определяется их простой реализацией, экономичностью по числу арифметических операций и возможностью распараллеливания вычислений на многопроцессорных вычислительных системах

В первой главе диссертации рассмотрены общего вида линейные начально-краевые задачи параболического типа

Исходная задача записывается в виде эволюционной абстрактной задачи Коши (111), (112) на примере которой изложена суть векторно-аддитивной модели расщепления. А именно вместо одного скалярного решения u(t) вводится вектор решений u(t) = (u\{t), , up(t)) Функ-

ции u\(t), u2(t), , up(t) трактуются как компоненты вектора-решения задачи и их число равно числу слагаемых в сумме (112), причем каждая отдельная компонента иа аппроксимирует решение исходной задачи Простейший способ построения векторной схемы состоит в клонировании исходной задачи

j р

+ = а = ТЭ 0 <t<T, (117)

аг /3=1 с начальными условиями вида

иа( 0) = uo, а = ITp, (11 8)

переходу к промежуточной системе однотипных задач (1 1 7), (1 1 8) Справедлива следующая

ТЕОРЕМА 1.2.1 Пусть в абстрактной задаче Коши (1 1 1) опер

ратор А = Аа, Аа— положительно определенные операторы в Н,

а=1

тогда задача (117), (118), полученная в результате перехода от скалярного решения задачи (1 1 1) к вектор-решению, поставлена корректно, причем ua(t) = u(t), для любых t € [0, Т] а = 1, . ,р и справедлива оценка

£ IM0II2 + 0,5|| ¿Aaibit) - /(i)||2 <

а=1 а—1

< м(о, 5ц ¿л«а(о) - /(о)ц2+£ |ыо)||2 + Г фт,

а=1 а=1

где М > 0 — некоторая постоянная величина

В векторных моделях разностных схем каждая конкретная компонента вектора решения аппроксимирует решение скалярной исходной задачи Полученные в данной главе результаты о корректности некоторых видов векторно-аддитивных методов указывают на их тесную связь с известными методами суммарной аппроксимации, а именно, с локально-одномерными методами В случае дискретной аппроксимации по времени для уравнения (1 1 1) предложена многокомпонентная разностная схема

^Ла + ^лдон- £ Ат = и а = 13, (131)

/3=1 /3=а+1

уа(о) = т

Из данной системы уравнений последовательно на определенном шаге по времени находятся компоненты уа Схема (13 1) представляет собой довольно простое конструктивное изменение классических алгоритмов типа метода переменных направлений Доказана безусловная устойчивость алгоритма (13 1) при любом числе компонент разбиения исходного оператора задачи без дополнительных требований к их свойствам Справедлива следующая

ТЕОРЕМА 1.3 1 Пусть Аа > 0, а = Т^р, тогда схема (131) при всех т < то безусловно устойчива по начальным данным и правой части, и для решения разностной задачи справедлива оценка

11У а 11 < ||Уа|| + т||/(0) — Ащ\\ + т£ тах ||/4||

Конструктивное векторное представление алгоритма позволило избавиться от ограничений, во-первых, на размерность (р = 2) как в классическом методе переменных направлений, а, во-вторых, от условий коммутативности операторов разбиения, характерных, как правило, для методов расщепления В случае рассмотрения многомерного линейного уравнения параболического типа каждое из уравнений (1 3 1) решается методом одномерной трехточечной прогонки по «своему» пространственному направлению Отметим, что безусловная устойчивость и сходимость этого алгоритма изучалась многими авторами, например, В Н Абраши-ным, П Н Вабищевичем, И А Дзюбой, С Н Лапко, С Н Лэхтиковым, А Н Якубеней и другими авторами

В этой же главе рассмотрены и обоснованы новые варианты схем при многокомпонентном векторном расщеплении, те модифицированные алгоритмы вида

~ * а Р

Уа-Уа

т

где

а также

+ Y1А0У0 + Л А№ = /. (14 3)

J3=l /3=0+1

у{ = Уа, Уа = 0,5(уа_! + уа), а = 2,р,

Уа~У

где

+ <т{Аауа - Аауа) + А0УР = /> (1 4 4)

0=1

уа{ 0) = и0, а = Т7р,

1 Р р р=1

При моделировании данных модификаций многокомпонентного расщепления важную роль сыграло стремление минимизировать число операций, требуя при этом, чтобы разностный алгоритм наследовал в пространстве сеточных функций как можно лучше основные свойства дифференциального уравнения Одним из таких свойств является асимптотическая устойчивость

Обоснование асимптотической устойчивости строится на доказательстве утверждения

р

12 4 0 при t —у 0, где ||и||з = У>(а'а_1),г;^1)), = уа-уа^

а=1

При этом компоненты многокомпонентного векторного расщепления в алгоритмах (1 4 3) и (1 4 4) стремятся друг к другу и к решению чисто неявной схемы По сути с увеличением Ь дополнительная погрешность, связанная с аппроксимацией (по сравнению с чисто неявной схемой) аддитивного метода, стремится к нулю, что и гарантирует выполнение асимптотических свойств чисто неявного алгоритма Данная методика исследования применена при доказательстве соответствующих теорем Доказана безусловная устойчивость алгоритмов(1 4 3), (14 4) Имеет место

ТЕОРЕМА 1.4.1 Если Аа — положительно определенные операторы а = 1,р, 0,5 — тсо > 0, то алгоритм (14 3) безусловно устойчив для всех т < то и для его решения справедлива оценка

\\ьп+1\\1 < Л1 + сот)""(|| £ АаУа(0) - Д0)||2), (1 4 22)

\П1 = У{а-0-1] =Уа~ Ус-1, Со > О

а=1

При этом алгоритм (14 3) допускает последовательную реализацию с применением скалярной трехточечной прогонки для соответствующих многомерных задач математической физики А алгоритм (1 4 4) допускает асинхронную реализацию вычислений, когда каждая компонента вектора решения находится на временном слое независимо друг от друга, а при переходе на новый временной слой компоненты связаны условием (14 5) Поэтому алгоритм удобен для использования современных параллельных вычислительных систем Все это говорит об экономичности предложенных схем В заключении главы приведен результат первой работы в построении векторных многокомпонентных методов [28], в которой предложены «собственная» пространственно-временная сетка по каждому направлению и алгоритмы для задач в областях сложной геометрии

Таким образом, в первой главе диссертации исследованы векторно-аддитивные методы полной аппроксимации для нестационарных задач математической физики Схемы относятся к классу экономичных методов, примыкающих к классическому методу переменных направлений Получены результаты о безусловной устойчивости таких методов по начальным условиям и правой части без ограничения на число операторов аддитивного разбиения (на пространственные операторы расщепления накладываются минимальные условия) Эти операторы могут быть как непрерывными, так и дискретными Изучены асимптотические свойства предложенных методов Результаты ориентированы так же на последующие главы диссертации, где стабилизирующие свойства алгоритмов необходимы для построения итерационных методов решения стационарных задач математической физики

В качестве приложения рассмотрены краевые задачи для многомерных параболических уравнений, в том числе для уравнений в частных производных со смешанными производными

Во второй главе диссертации изучена модификация распараллелен-

ного алгоритма (14 4) в случаях, когда в абстрактных задачах Коши, которые поставлены в соответствии начально-краевым задачам с многомерным линейным и квазилинейным уравнениями, операторы Аа = Аа(£), и Аа = Ааи, и) [18, 19] Исследованы подобные алгоритмы для линейной и нелинейной задачи Коши Для линейных эволюционных уравнений, когда оператор исходной задачи имеет временную зависимость, построены и изучены двухслойные аддитивные методы с параллельной реализацией

вычислительного процесса, приспособленные для параллельных ЭВМ _ ~ р

^ + та{АаУа\ + ^ Ат = /, (2 1 7)

Т /3=1

I р

Уа{0) = щ, а = 1, У=-^Уа

Показано, что имеет место равенство

г Е ||У«|Ц + 0 51|у||2 + 0 5р-2||г^ + 0 5т2р£ ||Л,У«||2+

а=1 а=1

+0 5т2 £ \\АаУа\\2 = о 5||у||2 + 0 5т2р^2 \\ЛаУа\\2, (2 1 9)

а=1 а=1

1И2= £ («(вЛ,«(вЛ),

а,/3=1,а>0

из которого следует ряд теорем об устойчивости разностной схемы (2 1 7) ТЕОРЕМА 2.1.3 Пусть Аа > 0 — положительно определенные операторы, сдЕ < Аа < А Е, тогда при всехт < т0 разностная схема (2 1 7) устойчива и для ее решения справедлива оценка

Ы\2 + 1 К&И + 0 5*Г2||£||2 < (1 + с)-1 (||у||2+

а=1

+т2р^21\АаУа\\ + 0Ьр-2\М1), (2 110)

а=1

где с = пип(0 Ьс^тр, Д_1т-1)

При многокомпонентном расщеплении без требования перестановочности пространственных операторов доказана безусловная устойчивость алгоритмов Для нелинейных эволюционных уравнений, когда оператор А исходной задачи зависит от времени и от решения задачи, аддитивен

и обладает достаточной гладкостью, построены и изучены распараллеленные аддитивные методы как итерационные, так и безытерационные Предложен алгоритм подобный (2 1 7) в виде

, р , Р

(иа-р 1^u\/T + aT(Aa(t,Ua)ua)t + 22Aa(t,ua)ua = 0, (2 3 2)

а=1 а=1

"а(0) = <р, а = 1, ,р,

где A(t, иа) = A(t, ua(t)), а также линеаризованная разностная схема вида р р

(иа - риаJ /г + arAa{t, u)uat + A,(t, и)щ = 0, (2 3 5)

а=1 »=1

Р

иа(0) = <р, й = р~1'^Гиа а = 1, ,р

а=1

В правую часть (2 3 2) может входить выражение вида f(t, и) при условии df/du > 0 Наиболее эффективным и точным является алгоритм (2 3 2), однако недостатком его является то, что для каждого из алгоритмов (2 3 2) требуется решать нелинейную задачу Более простым является линеаризованный алгоритм (2 3 5) Предложен безытерационный алгоритм, который основан на следующем подходе Пусть оператор A(t,u) = A(t,u) + Ao(t), где Ao(t) — линейный оператор Для простоты рассмотрен случай Ло(£) = b(t)E, b(t) > 0 и A(t,u) представляется ~ р

как A(t,u) = Aa(t, щ), Ao(t,uo) = Ao(t) Такое представление все-

а=0

гда возможно Алгоритм, подобный (2 3 5), имеет вид p р

(иа - ри')/т + aT(Aa(t> uo)ua)t + = (2 3 8)

г=0 г=0

а — 0,р

Сначала решается уравнение с номером а = 0, а затем все остальные Алгоритм (2 3 8) устойчив и для него доказана соответствующая теорема Аналогичный алгоритм можно использовать для гиперболических уравнений, а также для нелинейных задач, включая уравнения со смешанными производными и для уравнения с нелинейной правой частью В качестве примеров рассмотрены многомерные параболические и гиперболические уравнения, в том числе уравнения со смешанными производными Так метод многокомпонентного расщепления применим и для уравнений гиперболического типа

d2u

-j^ + A(t)u = /(f) в DxDu (2 110)

и( 0) = (р, -г- = ф при £ = 0 ас

Оператор А(Ь) — положительно определен и (Аи,и) > со(и, и), со > 0 и р

А(1) = ^^ Ла(£), где = Аа{Ь) — положительно определенные операто-

а=1

ры Для решения (2 1 10) предложена экономичная разностная схема

р

иац + ст(тЛа(^/2)иа4 - тАД/з)«^) + ^ А0{Ь)и0{Ь) = /, (2 1 11)

/3=1

где а = 1, ^(¿1/2) = А(Ь + 0,5т) Разностная схема (2 1 11) устой-

чива по начальным данным и правой части при а > р/А Рассмотренные схемы, как и схемы первой главы, пригодны при решении краевых задач для гиперболических систем первого порядка

- Аддитивные методы широко используются при решении краевых задач для эллиптических уравнений Причем решение таких задач сводится к решению эволюционных задач для параболических уравнений до выхода на стационарный режим, а последнее выполняется при помощи, например, схем типа переменных направлений или факторизованных Эффективный выход на стационарный режим (с точки зрения двухслойных разностных схем) во многих случаях гарантирует выполнение не только законов сохранения решения, связанных с консервативностью решения по времени, но и законов изменения решения по времени, что связано с асимптотическими характеристиками разностных методов

В третьей главе на основе асимптотических свойств векторно-аддитивных разностных схем полной аппроксимации, построены итерационные многокомпонентные методы и изучены их свойства Алгоритмы (1 4 3), (1 4 4), предложенные в первых двух главах, имеют несомненное преимущество перед классическим методом переменных направлений, тк они применимы для любогор > 2 и перед методом факторизации, тк не требуют коммутативности операторов расщепления "Указанные положительные свойства алгоритмов наследуют и итерационные методы, построение которых основывается на стабилизирующих свойствах задачи Коши для соответствующих эволюционных уравнений Стационарная задача математической физики записывается в виде операторного уравнения

Ау = /, (3 1 1)

где А Н —> Н— линейный оператор, действующий в вещественном гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением ( , ) и нормой ||у|| = у/(у, у) А — самосопряженный и положительно определенный

оператор А = А* > сЕ, с > 0,Vy € Я, / G Я Аддитивные методы,

как мы уже отмечали, базируются на представлении оператора А в вир

де Л = ^^ Аа, где операторы Аа обладают теми же свойствами, что и

а=1

исходный оператор А, те

Аа = А*а, (Аау,у)>со||у||2, а = 1, со > 0 (3 14)

Идея метода установления позволила построить следующие итерационные методы решения стационарных задач, с использованием векторно-аддитивных разностных схем (1 4 3), (1 4 4)

s+l % а р

Уа~У + Y,A0v\ + Е А№ = /, а = (3 15)

Т /3=1 /3=а+1 О s s s s s _

где ya = v0, y*a = Уа при a = 1, y*a = (ya_i + уа)/2, при a = 2,p,

s+l _ jL p

+ aAa-У.)+Ё АзУ/з = /, ï^, (3 1 6)

/3=1

p

o L где ya = v0,y=p 2_^ya

a=l

Итерационные методы (3 15), (3 1 6) относятся к алгоритмам с последовательной и параллельной организацией вычислений соответственно Теоретический анализ и вычислительный эксперимент итерационных

процессов (3 15), (3 1 6) показал, что невязка для этих алгоритмов вы-

р

ражается следующим образом r(s) = ^^ Аауа — / Она не согласуется,

а=1

вообще говоря, с невязкой г* (s) = Ау — f для канонической формы двухслойного итерационного процесса

Bt{>y-v)/r^ + Ab = tpi 3 = 1,2, , (3 0 1)

где итерация 'у1 определяется предыдущим значением Видимо, в силу этих обстоятельств, классических функциональных методов, разработанных для исследования итерационных методов (3 0 1), оказалось недостаточно для изучения итерационных процессов (3 15), (3 1 б) Поэтому в третьей главе расширена методика доказательства сходимости аддитивных итерационных методов Весьма эффективным оказалось сравнение по норме значений компонент приближенного решения, а также сравнение приближенного решения с усредненным значением компонент решения Доказано, что в случае коммутативности операторов расщепления Аа

при а > 2 скорость сходимости итерационных методов зависит от нижней границы спектра операторов А, Аа, а = 1,р В методах переменных направлений и факторизации скорость сходимости существенно зависит от верхней границы спектра этих операторов, при этом естественно предполагается А, Аа — дискретные аналоги пространственных операторов и, как следствие сказанному, скорость сходимости в этих алгоритмах зависит от величины шага сетки В итерационных методах (3 1 5) и (3 1 6) такая зависимость отсутствует

Справедлива

ЛЕММА 3.2.1 Для итерационного метода (316) при а = р имеет место неравенство

(3(у)<ф'сг(р), (3 2 3)

где

Я(у) = 1Кз)||2 +р-2т-2||£||2, 9 = 1 + 2сорт,

= и«Нз = £ («(вЛ,«(вЛ),

а=1 а,/3=1,а>р

5 {(Х,Р) $ 5 _

V ~Уа~ У$1 «= Р = 1,р, а>(3, Со — нижняя граница спектра оператора Аа, со > 0.

V 3

Невязка метода (3 1 6) имеет вид г(в) = Аауа — / и не согласована

а=1

с естественной невязкой Ау — /, характерной для итерационного метода (3 0 1) Возникает вопрос о согласовании этих невязок и получения эффективных оценок для контроля точности итерационного метода (3 1 6)

5 «о

В оценке (3 2 3) в (2 имеется слагаемое, содержащее ||у||з, что и используется для доказательства сходимости (3 1 6) к решению (3 1 1) и получения эффективной оценки контроля точности метода

Справедлива

ТЕОРЕМА 3.2.1 Пусть выполняются условия (314) и операторы Аа, а = 1, , р, взаимно коммутативны Тогда итерационный метод (316) при а = р сходится к решению уравнения (31 1) и для его скорости сходимости справедлива оценка

У|1 - (ТТ2Щ^(11г(0)11 -^"^И») 210>

Кроме того, в третьей главе показано, что в случае некоммутативности компонент оператора исходной задачи, для сходимости итерационных

процессов возникают требования, связанные не только с нижней границей спектра операторов А, Аа, а = 1,р, но и с верхней его границей Причем эти требования не превышают, а скорее согласуются с требованиями для метода факторизации при коммутативности компонент оператора исходной задачи Справедливы

ТЕОРЕМА 3.2.2 Пусть выполняются условия (314) Тогда при а — р итерационный метод (316) сходится к решению уравнения (311) и для его погрешности справедлива оценка

\\р\\а < с-1/2||Ф)ц + (Е)1/2 <

а=1 Р /3=1

<(c-W + TA^g-t* (Q(y))1/2, (3 2 14)

где Аа < А0Е, А = рА0

ТЕОРЕМА 3.2.3 Пусть Аа > 5аЕ, а = ТТр, 6а > 0 Тогда итерационный метод (316) сходится к решению уравнения (31 1) и для его скорости сходимости справедлива оценка

QC^iq^Qih, 5 = 0,1, ,

где +1 р

а=1

q = min((l + 2r8Qp)-x, (1 + (1 - е)Д-1р_2г-1)-1),

S р

S 3 ~ _1 \ V s

Za = y-Va, Z = y-p 2-jZß,

/3=1

а = Tj>, L = y-yo, S= min Sa, EAa > Aa,

l<a<p

А = max Да, 0 < 9 < 1

1 <a<p

Из оценки следует, что оптимальная скорость сходимости в данном случае достигается при выполнении равенства 1 + 2т<Э8р = 1 + (1 — в)А~1р-2т~\ т е при г = (Д5)_0 V3/2(2)~° 5(1 - Э)/©0 5 Этот результат согласуется с обычным методом переменных направлений и методом факторизации Обратим внимание, что в данном случае нет ограничения на количество операторов расщепления и не требуется их коммутативность

Построены и изучены аддитивные итерационные методы в сочетании с методом конечных элементов для решения стационарных уравнений конвекции-диффузии Заметим, что метод расщепления в сочетании с методом конечных элементов был впервые предложен для двумерных параболических уравнений Эта идея получила дальнейшее развитие при разработке методов решения более широкого класса нестационарных задач При построении экономичных разностных схем на основе суммарной аппроксимации (покомпонентного расщепления), когда исходный оператор разбивается на четыре одномерных неотрицательных оператора, возникают ограничения на коэффициенты исходного уравнения более жесткие, чем условие эллиптичности Кроме того, при использовании этого метода возникают, на наш взгляд, существенные трудности, связанные, во-первых, с условиями на выбор шагов сетки для обеспечения устойчивости алгоритма, и, во-вторых, с наличием дополнительных требований на конфигурацию конечного элемента В данной работе предложен многокомпонентный вариант метода переменных направлений, который обладает абсолютной устойчивостью при разбиении оператора на произвольное число некоммутативных операторов и относится к методам расщепления полной аппроксимации На основе данного метода построены экономичные итерационные алгоритмы решения конечно-элементных разностных схем (количество разбиений четыре и шесть), при этом неестественные ограничения, возникающие при использовании метода расщепления, сняты

В заключении третьей главы приведены примеры вычислительного эксперимента, которые подтверждают результаты теоретических исследований, предложенных в диссертационной работе методов Рассмотрена трехмерная задача Дирихле для уравнения Пуассона в единичном кубе

А и = -Цх), хей, и{х) = д(х), хеГ, (3 5 4)

где Д = щ, С? = {0 < < 1, а—1, , 3} - единичный куб, Г -граница области й

Для приближенного решения (3 5 4) использован итерационный метод (3 1 6) при (7 = 3 и а = 1,2,3 Расчеты проводились при заданной точности е = Ю-4 Анализировалась зависимость скорости сходимости итераций от пространственных шагов сетки и итерационного параметра Вычислительный эксперимент показал

Минимальное число итераций достигается для значения т = то ~ 0,025, при этом 50(е) ~ 13

С увеличением количества точек дискретизации N число итераций,

необходимых для достижения заданной точности е, не возрастает в соответствии с оценкой из теоремы 3 2 1

Вывод из вычислительного эксперимента скорость сходимости итерационного многокомпонентного метода переменных направлений (3 1 6) зависит только от нижней границы спектра оператора А и заданной точности и не зависит от шага пространственной сетки Полностью подтвердились теоретические результаты для случал коммутативности компонент расщепления исходного оператора задачи С учетом утверждения теоремы 3 2 1 непосредственно следует оценка числа итераций в, необходимых для уменьшения начальной ошибки в 1/е раз, а именно

5 * 5о(£) = 1п (1 + 2р~1) Сравнение с экономичными методами скорость сходимости классического метода переменных направлений в двумерном варианте и метода факторизации для случая коммутативных операторов разбиения зависит от шага пространственной дискретизации даже при оптимальном выборе итерационных параметров

Для случая некоммутативности операторов расщепления вычислительный эксперимент показал скорость сходимости метода зависит от согласования итерационного параметра и шага пространственной сетки Ситуация довольно точно предсказана оценкой с теоремы 3 2 2 В правую часть (3 2 14) входит слагаемое тД1/2, которое и требует для получения оптимальной скорости сходимости согласования итерационного параметра и шага пространственной сетки Если сравнивать оценку в теореме 3 2 2 с классическим двухкомпонентным методом переменных направлений без чебышевских итерационных параметров, то количество итераций в этих методах практически совпадают Основная потеря точности идет за счет дифференцирования в разности компонент решения, которое можно представить \\р\\А < ||ф)|| + (Еа=11 Ао{\ Тф=\ V )||) ^ £ Как правило, в экономичных итерационных методах при произвольном расщеплении исходного оператора присутствует требование попарной коммутативности компонент оператора исходной задачи и сравнение с ними не представляется возможным Кроме того, проанализировано влияние вычислительной погрешности на динамику сходимости векторно-аддитивных итерационных алгоритмов Сделаны рекомендации о целесообразности нейтрализации вычислительной погрешности при значительных отличиях минимальных и максимальных собственных значений операторов разбиения, а

также о выборе решения в данном случае Согласно результатам численных экспериментов, вычислительная погрешность векторно-аддитивного итерационного метода (3 1 6) в двухкомпонентном случае не хуже, чем у классического метода Писмана — Рэкфорда

Четвертая глава посвящена построению и исследованию методов декомпозиции решения многомерных задач математической физики В данном случае мы имеем дело с расщеплением исходной задачи по подобластям На основе многокомпонентных векторных схем расщепления полной аппроксимации разработаны достаточно эффективные методы разбиения области, в том числе со сложной границей, и переход к задачам в подобластях, форма которых достаточно простая На основе неявных многокомпонентных разностных схем предложены методы декомпозиции области с возможностью относительно независимой реализации алгоритма в каждой из подобластей Выбор конкретных алгоритмов в подобластях и структура расщепления задачи может зависеть от архитектуры используемых ЭВМ Параметры схемы выбираются исходя из условий корректности разностной задачи в каждой из подобластей, включая условия в граничных узлах между подобластями Для нестационарных многомерных параболических уравнений второго порядка построены методы, структурно близкие к явным, но в отличие от последних, обладающие безусловной устойчивостью Изучены итерационные методы декомпозиционного типа для решения стационарных задач В качестве примера рассмотрено решение двумерного уравнения конвекции-диффузии, когда в качестве подобластей выступают отдельные ячейки сетки

Иллюстрацией применения результатов главы 4 является применение метода декомпозиции из второго параграфа к модельной задаче о двумерном стационарном течении вязкой несжимаемой жидкости, описываемом уравнением

ди ди (д2и д2и\ . . .

+ + {Х1'Х2)еП' (424)

и{хих2)=д( XI, х2), (х1,х2)едП, (4 2 5)

где <9П — граница квадратной области П 0 < хо < 1

Постоянная и в уравнении (4 2 4) имеет смысл малого параметра и в зависимости от физической интерпретации задачи выражается соответствующими аспектными соотношениями, определяющими критерий подобия, например, числом Рейнольдса {и = 1/Яе) или числом Пекле (Ре) для задачи конвекции-диффузии Задачу (4 2 4), (4 2 5) можно рассмат-

ривать как упрощенную модель Навье — Стокеа в переменных вихрь — функция тока для заданного векторного поля скоростей, относительно которого требуется выполнение условия неразрывности

с11Уи = 0 (4 2 6)

К данной модельной задаче применены предложенные безусловно сходящиеся итерационные методы решения уравнения переноса вихря, основанные на методе декомпозиции области из данной диссертации, когда в качестве подобластей разбиения выступают ячейки сетки При построении численного алгоритма использован симметричный вид уравнения дисси-пативного переноса несжимаемой жидкости и соответствующая разностная схема с центральными разностями для аппроксимации конвективных членов На примере тестовой задачи конвекции-диффузии пояснены основные свойства, характеризующие вычислительные качества построенного явного итерационного метода Проанализирована зависимость скорости сходимости итераций от пространственных шагов сетки, итерационного параметра г и числа Ре Для стандартных неявных итерационных методов простой итерации и минимальных поправок (разрешающий оператор В = Л) имеет место рост числа итераций, пропорциональный Ре2, а в вариационных методах вС\У — пропорциональный Ре Для предложенного в работе алгоритма число итераций возрастает медленнее, чем при линейной зависимости, и его рост при больших Ре приближенно пропорционален Ре1/2 Зависимость числа итераций от величины Л можно приближенно оценить как ~ И"1 Характерно, что при фиксированном И минимум числа итераций для различных значений Ре достигается в области одних и тех же значений г, а величина оптимального итерационного параметра т по результатам вычислительного эксперимента пропорциональна к Отметим, что эти решения хорошо согласуются с результатами, полученными другими авторами, и показывают устойчивую работу метода в областях больших Ре

В пятой главе многокомпонентное векторное расщепление применено для алгоритмического разделения сложных задач, которые описывают различные процессы и явления Здесь мы имеем, так называемый, экономичный алгоритм расщепления по физическим процессам Предложены разностные схемы и итерационные методы для решения системы вязкой несжимаемой жидкости В качестве базовых выбраны энергетически нейтральные разностные схемы, которые были ранее предложены для уравнений Навье — Стокса в работе И В Фрязинова Выбор такого вида схем

объясняется возможностью проводить вычисления без постановки дополнительных краевых условий для давления с точным условием примыкания на границе и разностным уравнением неразрывности Энергетически нейтральные разностные схемы являются неявными алгоритмами с довольно сложной конструкцией, поэтому для их реализации требуется построение экономичных методов, которые сохраняли бы свойства консервативности и полной аппроксимации исходных схем В частности, для линеаризованного уравнения Навье — Стокса предложены безытерационные методы для нестационарных задач и итерационные аддитивные методы для решения стационарных задач Изучены вопросы устойчивости предложенных методов и сходимости итерационных процессов Для системы нелинейных уравнений Навье — Стокса предложены и изучены аддитивные разностные схемы, которые, в отличие от работ В Н Абрашина, С Лапко, не требуют итерационных методов для своей реализации А именно в пятой главе второго параграфа рассматривается нестационарная задача 2

+ = -+ /*(*), (М)еП(2)х(0,Т], (521)

1/>0, к = 1,2,

сЬу и = 0, (х, ¿) € 0(2) х (О, Т], (5 2 2)

и*|5г = 0, 5г = Гх(0,Т], ик(х,0) = щ(х), агеП® (5 2 3)

Пусть Н}1 — вещественное пространство сеточных вектор-функций

2

У = (УиУ2)Т со скалярным произведением ((у, г;)) = и нормой

к=1

1|2/|| = ((17> у))1'2, (У:~~ скалярное произведение на сетке и>н Аналогично задаются вектор-функции и скалярные произведения на сетке Од На сетке шь, Пд дифференциальную задачу (5 2 1) — (5 2 3) аппроксимируем следующей разностной схемой (обозначения взяты из статьи Абрашин В Н, Лапко С Л Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье - Стокса // Дифференц уравнения - 1992 - Т 28, № 7 — С 1154-1167)

- иАкук + Кк (у, ук) = + Д, (5 2 8)

т

хешн, к = 1,2, У1Х! + У1х2 = 0, X € ук = 0, х € 'Ун, (5 2 9)

где

Длиь = УШ1Х1 + Укх2х21 Яхк = о, Щ1{д{0'5Л5)+ 26

+5(0,5,-0,5) _ ^(-0,5,0,5) _ ?(-0,5,-0Д}> х & ^

(аналогично аппроксимируются в (5 2 9) укхк на сетке Од), Кк[у, Ук) = Кгк{уъ ук) + К2к(у2, Ук), К1к{уъук) = ^'(О, 5(ук + 2/["1)'))х1, У1_0'5)' = (1/8)(у1(1) + у[-1и1) + 2т + у>Г] + 2уГ>- + К2к(у 2, Ук) = Й(°'5)( 0,+ 24(_1))к, = (1/8)(УГ^' + у11)'{~1) + 2уг + + + уГ№)),

у = уХ Ь«2| у(-1),(1) = + = г/1Ь»2 + 1; у(1), = у., + 1,»,

Для решения (5 2 8), (5 2 9) можно использовать неявный итерационный метод

(у1 к ~ Ук)/Т, ~ + Кк(У, ^к) + 8^хк = /к, (5 2 10)

, _ 8+1 3+1 _ к = 1,2, 9га=0.

Аддитивный разностный алгоритм построенный на основе представления (5 2 8) будет иметь вид

+ а ~ АкУ?) + £ АаьуЫ = /, (5 2 11)

V / а=1

А = 1,2, г = 1,2,3,

где

1 3

= ~"Ук1х, + Кк{у?],Ук), АзкУк] =Яхк, Ук = 3 £У{к

%=1

Уравнение (5 211) с соответствующими начальными и граничными условиями решается начиная с г — 3, а затем решаются остальные уравнения Такая процедура делает реализацию линейной

ТЕОРЕМА 5.2.1 При а = 3 разностная схема (5 2 11) устойчива и для ее решения справедлива оценка

2 2 3 ч / 2

£ Ы12+т £ II £ АШк II2) < £шо)||2+

к=1 к=1 г=1 ' ^

2 3

¿=1 г=1

гй С > 0

Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность научному консультанту академику профессору Александру Андреевичу Самарскому за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в научных журналах

1 Жадаева Н Г Многокомпонентный вариант метода переменных направлений для эволюционных задач I // Дифференц уравнения — 1992 - Т 28, № 7 - С 1218-1230

2. Волков В М, Жадаева Н Г Экономичные методы решения гиперболических систем 1-го порядка // Дифференц уравнения — 1994 — Т 30, №7-С 1187-1193

3 Жадаева Н Г Об одном методе разбиения области в нестационарных задачах математической физики // Дифференц уравнения — 1995 — Т 31, № 7 - С 1217-1221

4 Абрашин В Н, Жадаева Н Г Многокомпонентный метод переменных направлений решения стационарных задач математической физики I // Дифференц уравнения - 1996 - Т 32, № 9 — С 1212-1221

5 Жадаева Н Г Многокомпонентный вариант метода переменных наг правлений для эволюционных задач II // Дифференц уравнения — 1997 - Т 33, № 7 - С 998-1000

6 Абрашин В Н, Жадаева Н Г Многокомпонентный метод переменных направлений решения стационарных задач математической физики II // Дифференц уравнения - 1997 — Т 33, № 9 - С 1211-1219

7 Жадаева Н Г Многокомпонентный метода переменных направлений решения многомерных задач для эллиптических уравнений со смешанными производными // Дифференц уравнения — 1998 — Т 34, № 7 — С 948-957

8 Жадаева Н Г, Самарская Е А Метод декомпозиции области решения сеточных параболических задач // Дифференц уравнения — 1999 - Т 35, № 2 - С 225-231

9 Абрашин В Н, Жадаева Н Г об одном методе композиции построения итерационных алгоритмов решения стационарных задач математической физики // Дифференц уравнения — 1999 — Т 35, № 7 — С 948-957

10 Абрашин В Н, Жадаева Н Г Аддитивные итерационные методы решения стационарных задач для уравнений Навье — Стокса // Диф-ференц уравнения - 1999 - Т 35, № 11 - С 1543-1552

11 Абрашин В Н, Волков В М,, Егоров А А , Жадаева Н Г Об одном классе разностных методов решения уравнений Навье — Стокса // Известия вузов Матем — 1999 — № 1 — С 3—11

12 Самарский А А , Абрашин В Н, Жадаева Н Г Аддитивные итерационные методы решения задач математической физики // Доклады РАН - 2000 - Т 373, № 6 - С 734-736

13 Абрашин В Н, Жадаева Н Г О скорости сходимости экономичных итерационных методов для стационарных задач математической физики // Дифференц уравнения - 2000 - Т 36, № 11 - С 1220-1229

14 Абрашин В Н, Егоров А А , Жадаева Н Г Экономичные итерационные схемы реализации метода конечных элементов для стационарных краевых задач математической физики // Известия вузов Матем — 2000 - № 11 - С 3-11

15 Егоров А А , Жадаева Н Г Схемы расщепления полной аппроксимации в методах декомпозиции области // Матем моделирование —

2000 - Т 12, № 2 - С 35-45

16 Абрашин В Н, Егоров А А , Жадаева Н Г О скорости сходимости аддитивных итерационных методов // Дифференц уравнения —

2001 - Т 37, № 7 - С 867-879

17 Абрашин В Н, Егоров А А , Жадаева Н Г Об одном классе аддитивных итерационных методов // Дифференц уравнения — 2001 — Т 37, № 12 - С 1664-1673

18 Абрашин В Н, Жадаева Н Г Экономичные аддитивные разностные схемы для многомерных нелинейных нестационарных задач // Дифференц уравнения - 2002 - Т 38, № 7 - С 907-917

19 Жадаева Н Г Об одном экономичном методе для многомерных уравнений движения и переноса // Дифференц уравнения — 2002 — Т 38, №9-С 1257-1262

20 Абрашин В Н, Жадаева Н Г Об аддитивных итерационных методах и оценках их скорости сходимости // Известия вузов Матем — 2003 — № 1 - С 3-11

21 Абрашин В Н, Волков В М, Жадаева Н Г Вычислительная погрешность векторно-аддитивных итерационных методов // Дифференц уравнения - 2005 - Т 45, № 7 — С 1187-1193

22 Абрашин В Н ,Жадаева Н Г Об аддитивных методах для уравнений Навье — Стокса // Известия вузов Матем — 2005 — № 1 — С 3—9

23 Абрашина-Жадаева Н Г, Романова Н С Многокомпонентные схемы векторного расщепления для решения многомерных задач математической физики // Дифф уравнения — 2006 — Т 46 — № 7 — С 883-894

24 Абрашин В Н, Егоров А А., Жадаева Н Г Экономичные итерационные алгоритмы решения стационарных задач математической физики // Lietuvos matem Rinkinys — 2000 — Т 40, № 4 — С 387-403

25 Abrashm V N, Ciegis R , Ракепгепе V, Zhadaeva N G Stabilitu analysis of Seidel type multicomponent iterative method // Mathematical modelling and analysis — 2002 — V 7, № 1 — С 1-10

26 Abrashma-Zhadaeva N G , Romanova N S A splitting type algorithm for numerical solution of PDEs of fractional order // Mathematical Modelling and analysis — 2007 — V 12, № 4 - P 399-408

Статьи в сборниках трудов конференций

27 Abrashma-Zhadaeva N G, Romanova N S Numerical decomposition method for the two-dimensional fractional diffusion equation // Матер междунар конф «Теория функций и вычислительные методы», Астана, 5-9 июня 2007 / ЕНУ им JI И Гумилева, 2007 - С 14-16

28 Абрашин В Н, Жадаева Н Г Разностные схемы для задач математической физики в областях произвольной формы // Дифференц уравнения и их применение — Вильнюс, 1988 — Вып 43 — С 22—30

29 Abrashm V N, Zhadaeva N G Multicomponent method of variable directions for solution of multidimensional non-stationary problems of mathematical physics // Mathematical Modelling and Applied Mathematics- Proc of Intern IMACS Conf, Moscow, June 18-23, 1990 — P 113—114

30 Абрашин В H, Дзюба И В, Жадаева Н Г О решении задач математической физики многокомпонентным методом переменных направлений // Дифференц уравнения и их применение — Вильнюс, 1991 — Вып 46-С 18-24

31 Abrashm V N, Zhadaeva N G Multicomponent alternating direction method for solving problems of mathematical physics // Second Intern Conf "Finite-difference methods Theory and application", Minsk, 1998 —V 1 —P 12—20

32 Жадаева H Г О решении стационарных задач со смешанными про-

изводными многокомпонентным методом переменных направлений // Второй Всероссийский семинар «Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач» Материалы докл (Казань, 18-21 сент 1998 г ) / Казан мат об-во УНИПРЕСС - Казань, 1998 - С 28-30

33 Абрашин В H, Егоров А А , Жадаева H Г, Самарская Е А Итерационный многокомпонентный метод переменных направлений решения стационарных задач математической физики // Труды института математики НАН Беларуси - 1999 - Т 3 — С 99-105

34 Абрашин В H, Егоров А А , Жадаева H Г Additive itérative methods and convergence rate estimâtes // Труды института математики НАН Беларуси - 2002 - Т 11 - С 13-21

35 Абрашин В H, Волков В M, Жадаева H Г Аддитивный разностный метод для системы нестационарных уравнений Навье — Стокса в обобщенных криволинейных координатах // 5-й Всероссийский семинар, посвященный 200-летию Казанского университета «Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач» Материалы докл (Казань, 18-21 сент 2004 г) / Казан госуниверситет—Казань, 2004 — С 4—7

36 Жадаева H Г Многокомпонентные схемы расщепления для нелинейных многомерных задач математической физики // 6-й Всероссийский семинар «Сеточные методы и их приложения» Материалы докл (Казань, 1-3 окт 2005 г) / Казан госуниверситет— Казань, 2005 — С 11-14

Тезисы докладов на конференциях

37 Жадаева H Г Один вариант метода переменных направлений для уравнений параболического типа // Тез докл Междунар матем конф «Теория приближения и задачи вычислительной математики» — Днепропетровск, 26-28 мая 1993 - С 18-19

38 Жадаева H Г О распараллеливании вычислений при решении многомерных задач // Тез докл Междунар матем конф , «Проблемы математики и информатики», 1994 в II ч / Гомельский гос университет- Гомель, 1994 - Ч 2 - С 48-49

39 Abrashm V N, Zhadaeva N G Multicomponent alternating direction method for solvmg problème of mathematical physics // Proc of Second Intern Conf "Fmite-difference methods theory and application" (CFDM98) / NAN of Belarus, Institute of mathematics — Minsk, 1998 —V 1 —P 12

40 Егоров A A , Жадаева H Г Итерационные методы разделения пе-

ременных для стационарных задач математической физики // «Еру-гинские чтения VI» Тез докл Межд мат конф , Гомель, 1999 г / Гомельский гос университет—Гомель, 1999 — Ч 2 —С 18—19

41 Самарский А А , Жадаева Н Г Экономичные итерационные методы решения стационарных задач математической физики / / Тез докл 8 Белорусской матем конф — Минск, 2000 — Ч 3 — С 36

42 Жадаева Я Г Об одном методе решения уравнений Навье — Стокса // «Еругинские чтения IX» Тез докл Междунар матем конф, Витебск, 2003 г / Витебский гос университет — Витебск, 2003 — 42 — С 18-19

43 Abrashm V N, Zhadaeva N G Additive methods for solution of nonlinear problems of mathematical physics // Mathematical Modelling Analysis Abstracts of the 8th Intern Conf MMA 2003, Trakai — P 3

44 Жадаева H Г, Романова НС О векторной аддитивной модели для параболических уравнений со смешанными производными // Современные методы теории краевых задач Матер Воронежской весенней матем школы «Понтрягинские чтения XVI» В честь 100-летия академика С М Никольского, Воронеж, 3-9 мая 2005 г / ВГУ, 2005 — С 58

45 Абрашина-Жадаева Н Г, Волков В М Расщепление по подобластям в методах решения многомерных задач математической физики // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования Междунар научн конф , Воронеж, 12-17 декабря 2005 г /ВГУ, 2005-С 18

46 Volkov V М, Zhadaeva N G A computing error of parallel vector-additive iterative methods // Mathematical Modelling Analysis Abstracts of the 10th Intern Conference, Trakai, June 1-5, 2005 — Pt 3 —■ P. 150

47 Абрашина-Жадаева H Г, Романова НС К вопросу моделирования смешанной задачи для многомерных уравнений системой однотипных задач // AMADE-2006 Тез докл Междунар матем конф «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», Минск, 13-19 сентября 2006 г- Минск, 2006 - С 11

48 Abrashina-Zhadaeva N G , Romanova N S On convergence of additive iterative methods for stationary problems of mathematical physics // Тез докл междунар конф «Тихонов и современная матем », Москва, 19-25 июня, 2006 г / МГУ, 2006 - С 10-11

49 Abrashma-Zhadaeva N G , Romanova N S Decomposition methods for multi-dimensional fractional partial differential equations // Abstracts of 12-Intern conf "Mathematical modeling and analysis" — 2007 — P 3

50 Абрашина-Жадаева H Г, Романова H С Гибридный метод для 2D уравнений диффузии дробного порядка // Актуальные проблемы математики и компьютерного моделирования Сб науч тр — Гродно, ГрГУ, 2007 - С 164-167

Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать офсетная Уел печ л 2,1 Тираж 100 экз Заказ №5128

Отпечатано с оригинал-макета заказчика в типографии УП "Донарит" 220012, г Минск, ул Чернышевского, 10 - 37а, тел 285-79-29 Лицензия ЛП № 02330/0056891 от 30 04 2004

ВВЕДЕНИЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ

1.1. Общий принцип многокомпонентного векторного расщепления

1.2. Основные понятия.

1.3. Общие свойства компонент вектор-решения.

1.4. Модифицированные варианты многокомпонентного расщепления

1.5. Многокомпонентные разностные схемы па разнесенных пространственно — временных сетках.

I.G. Выводы по главе 1.

МЕТОДЫ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ

2.1. Векторно-аддитивные схемы с операторами, зависящими от времени.

2.2. Многокомпонентные методы для уравнения движения

2.3. Многокомпонентные методы для нелинейных нестационарных задач.

2.4. Некоторые обобщения.

2.5. Выводы по главе 2.

ЭКОНОМИЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ

3.1. Постановка задач.

3.2. Параллельный вариант.

3.3. Последовательный вариант.

3.4. Итерационные схемы реализации метода конечных элементов

3.5. Примеры

3.6. Влияние вычислительной погрешности

3.7. Выводы по главе 3.

МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ В МЕТОДАХ ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ

4.1. Методы декомпозиции области решения нестационарных задач

4.2. Методы декомпозиции области для стационарных задач

4.3. Выводы по главе 4.

5 МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ МЕТОДЫ В ПОСТРОЕНИИ АЛГОРИТМОВ

РАСЩЕПЛЕНИЯ ПО ФИЗИЧЕСКИМ ПРОЦЕССАМ

5.1. Линеаризованная система уравнений Навье —Стокса

5.2. Методы для системы нелинейных уравнений Навье — Стокса

5.3. Выводы по главе 5.

Для эффективного анализа сложных математических моделей особую актуальность приобретает развитие простых и концептуально прозрачных подходов, позволяющих в кратчайший срок реализовать полный цикл технологии численного моделирования от построения и верификации математической модели, до масштабных численных экспериментов по детальному изучению исследуемых объектов и сравнений теоретических результатов с экспериментальными данными. Один из таких подходов связан с экономичными методами. Под экономичными схемами, обычно, понимают безусловно устойчивые приближенные методы, которые при нахождении решения на очередном временном слое требуют количества арифметических действий пропорционального числу узлов пространственной сетки. Экономичность разностных схем есть не только средство экономии машинного времени, но в некоторых случаях и практически обязательное условие реализации схемы в виде программы. Появление экономичных методов было связано с одной из наиболее острых проблем при численном решении многомерных задач математической физики. Проблема обусловлена тем, что использование стандартных безусловно устойчивых неявных схем приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений с матрицей достаточно сложной структуры. Реализация таких алгоритмов связана с существенными вычислительными затратами, возрастающими с ростом числа узлов сетки. На пути их улучшения возникли новые, так называемые, экономичные схемы.

Первые экономичные алгоритмы для нестационарных многомерных задач были предложены Дугласом, Писменом, Рэкфордом [125, 124] и получили название метода переменных направлений. Первоначально метод переменных направлений был применен для решения многомерных уравнений параболического типа и далее получил распространение во многих задачах математической физики. Альтернативным подходом к построению экономичных методов решения многомерных задач явился метод расщепления (метод дробных шагов) [117]. В данном случае, когда проводится редукция сложного оператора к простейшим, интегрирование исходной задачи сводится к последовательному интегрированию уравнений более простой структуры. В этой связи появилось несколько актуальных научных направлений, наиболее значимый вклад в которые внесли Г.И.Марчук, А.А.Самарский, Н.Н.Яненко. Предлагались различные модели факторизованных схсм. Явный метод расщепления был предложен С.К. Годуновым и К.А. Багриновским [20]; неявный — H.H. Яненко [78], Е.Г. Дьяконовым [38], A.A. Самарским [88]. Среди этих методов особо отметим метод расщепляющегося оператора (Е.Г. Дьяконов, 1962), метод приближенной факторизации (H.H. Яненко и Г.И. Марчук, 1966), метод факторизации, на основе метода регуляризации (A.A. Самарский, 1963).

Однако следует отметить и ряд недостатков, присущих методам расщепления. В частности, эффективность методов типа переменных направлений существенно зависит от размерности задачи и свойств перестановочности компонент расщепления. При решении же практических задач интерес представляют в большей степени такие методы расщепления, которые не ограничены требованием коммутируемости операторов расщепления и обладают хорошими стабилизирующими свойствами. Естественно, поиск методов, основанных на идее расщепления, в которых бы были сняты указанные недостатки, привел к разработке методов суммарной аппроксимации. Отказ от классического понятия аппроксимации и замена его более слабым условием суммарной (слабой [115, 116, 119, 121]) аппроксимации в методах расщепления позволил дать единую трактовку экономичных методов как аддитивных схем и существенно расширил класс задач, решаемых с их помощью. Такие вычислительные алгоритмы, вообще говоря, ориентированы на простую (расщепленную) модель, при этом погрешность аппроксимации всей совокупности простейших разностных подзадач (общего алгоритма) определяется как сумма невязок каждой разностной подзадачи, т.е имеет место суммарная аппроксимация. Введение обобщающего понятия суммарной аппроксимации многомерного уравнения системой одномерных послужило теоретическим обоснованием метода расщепления и позволило производить мрасщенлепиеппе только по независимым переменным, но и по различным физическим процессам, отдельным членам дифференциальных и разностных уравнений с целью облегчения решения исходной задачи.

В данном направлении построен ряд эффективных алгоритмов для задач математической физики ( H.H. Яненко [115, 116, 119, 118, 122], A.A. Самарский [87, 89, 90], Е.Г. Дьяконов [41, 42, 43, 44, 39], H.H. Яненко и Г.В. Демидов [121], В.И. Лебедев и Е.Г. Дьяконов [40], А.Н. Коновалов [49, 50], Д.Г. Гордезиани, Г.В. Меладзе [35], Ляшко А.Д., Карчевский М.М. [65, 66]),. Применительно к задачам гидродинамики, океанологии, метеорологии алгоритмы предложены Г.И. Марчуком [71, 77, 78, 72, 73, 75, 76], для задач физики полупроводников - Н.Н.Яненко

27] и др. [91, 137, 133, 135, 92, 106, 140, 107, 109, 93, 23, 24, 28, 61, 64, 48, 47, 101, 132, 102, 111, 112, 113, 51, 53, 55]. Для решения систем гиперболических уравнений был разработан метод "частиц в ячейках"[110], который есть некая модификация метода расщепления. Таким образом, метод суммарной аппроксимации является весьма общим и конструктивным методом построения экономичных схем для решения задач математической физики.

Аддитивные методы широко используются также для решения стационарных задач математической физики. В этой связи применяется способ приближенного решения стационарных задач, основанный на нахождении решений нестационарных задач, асимптотически эквивалентных данным задачам для достаточно больших значений некоторой скалярной переменной. Такой способ называют счетом на установление. Он позволяет осуществить приближенное решение эллиптических задач хорошо разработанными методами решения параболических уравнений, например, методами расщепления. Наиболее известными в данном классе являются неявные методы неременных направлений (ADI-Alternating Direction Implicite [32]) и попеременно-треугольный метод [84]. Эти методы позволяют получить быстро сходящиеся итерационные алгоритмы с довольно простой и экономичной реализацией. Оптимизация вычислений заключается в выборе оператора сжатия, состоящего из произведения более простых операторов, имеющих ряд свободных параметров релаксации. Последовательное обращение простых операторов при этом осуществляется методами линейной факторизации. Итерационные схемы такого типа весьма экономичны и эффективны в реализации при незначительном, по сравнению с явным методом Ричардсона, увеличении объема вычислительной работы [71]. Теоретическим исследованиям этого метода посвящены работы: Дугласа [126, 127], Биркгофа, Варги [136, 30], Янга, Вакспресса, Ганна [128], А.А. Самарского, Е.С. Николаева [100], А.А. Самарского [84], Г.И. Марчу-ка [68], Е.Г. Дьяконова [42, 43, 39, 40, 44], В Л. Лебедева, С. А. Филиппова [63], Г.И. Марчука, Ю.А. Кузнецова [74], В.П. Ильина [46], В.Б. Андреева [17], А.А. Самарского, П.Н. Вабищевича [95], В.Н. Абрашипа, Н.Г. Жа-даевой [145, 147, 3, 7, 8, 11, 150, 154] и других [13, 9, 4]. В указанных статьях и монографиях приведен достаточно полный обзор исследования итерационного метода переменных направлений и его аналогов.

К методам расщепления, которые можно эффективно использовать в качестве итерационных для решения стационарных задач, следует отнести методы факторизации и стабилизирующей поправки, однако прн многокомпонентном расщеплении эти методы требуют попарной коммутативности пространственных операторов расщепления. В работе А. Бенсусана, Ж.-Л. Лиоиса, Р. Темама изучалась возможность применения методов расщепления (дробных шагов — H.H. Яненко, Г.И. Марчук) в качестве итерационных процессов решения стационарных задач в случае некоммутативности компонент оператора исходной задачи. Ими было высказано предположение, что если при помощи какого - либо метода (возможно экспериментально) можно убедиться в том, что обеспечивается стремление компонент решения друг к другу па каждом шаге итераций, то для такого итерационного метода имеет место сходимость без измельчения итерационного параметра. Поэтому не случайно появление модифицированных многокомпонентных итерационных методов, предложенных в работах В.Н.Абрашина, Н.Г.Жадаевой [145, 147, 150, 154] и работах В.Н.Абрашина и его учеников [4, 57, 16].

В настоящее время, как дальнейшее развитие методов расщепления, большую актуальность приобрели методы декомпозиции расчетной области, допускающие сведение исходной задачи к решению отдельных, вообще говоря, слабо связанных между собой задач в подобластях более простой формы [14, 15, 55]. Расщепление задачи позволяет существенно упростить распараллеливание алгоритма при реализации на высокопроизводительных компьютерах кластерного типа [19, 31]. Идея расщепления сложных задач на совокупность подзадач более простой структуры стимулировала появление численных методов решения двумерных задач для уравнений в частных производных дробных порядков с переменными коэффициентами [167], [190] - [191]. Можно сказать, что "старая"идея получила новую жизнь.

В диссертационной работе для построения экономичных методов предлагается векторный аналог аддитивных схем. Суть метода сводится к переходу от исходной скалярной задачи для одной неизвестной функции к системе однотипных задач, в которой каждая конкретная компонента вектора решения системы аппроксимирует решение исходной задачи. Как показано в работе, в рамках данного подхода удается преодолеть характерные недостатки, присущие известным аддитивным методам. Предлагаемые векторио-аддитивиые методы и построенные на их основе многокомпонентные векторные схемы расщепления но пространственным переменным близки по своей структуре к схемам переменных направлений. В сравнении с другими известными модификациями метода переменных направлений предлагаемые методы безусловно устойчивы для многомерных задач любой размерности и не требуют попарной перестановочности операторов расщепления, кроме того, они допускают возможность строить алгоритмы с параллелыюй(аспнхронной) обработкой информации. Векторно-аддитивные методы сохраняют диссипативные свойства метода установления, что позволяет использовать их как экономичные итерационные методы решения стационарных уравнений.

Предложенный вариант метода переменных направлений можно трактовать не только как схему расщепления полной аппроксимации, но и более широко, в частности, как метод декомпозиции по подобластям и по физическим процессам. Многокомпонентные методы расщепления по физическим процессам сводят исходную задачу к серии последовательных задач, каждая из которых учитывает только одну составляющую реального физического процесса.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы.

5.3. Выводы по главе 5

• Векторно-аддитивные методы полной аппроксимации применены к расщеплению дифференциальных уравнений по физическим процессам. Эти методы позволили, сохранив основные свойства исходной задачи, построить довольно простые алгоритмы как по пространству, так и по физическим процессам. Предложены разностные схемы и итерационные методы для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. Построенные алгоритмы (это гарантирует полная аппроксимация), наиболее эффективны, когда в качестве базовых взяты энергетически нейтральные разностные схемы, которые были ранее предложены для уравнений На-вье — Стокса в работе [108]. Энергетически нейтральные разностные схемы являются неявными алгоритмами с довольно сложной конструкцией, поэтому для их реализации требуется построение экономичных методов, которые бы сохраняли свойства консервативности и полной аппроксимации исходных схем.

• Обосновано применение предложенных многокомпонентных векторных схем расщепления для алгоритмического разделения сложной задачи решения (и,у,р) — системы вязкой несжимаемой жидкости. Построены аддитивные методы расщепления по физическим процессам и по размерности, а также методы декомпозиции области, которые не нарушают естественных свойств исходной задачи. Изучены вопросы устойчивости, предложенных методов, и сходимости итерационных процессов. Для нелинейных уравнений Навье — Стокса предложены и изучены аддитивные разностные схемы, которые не требуют итерационных методов для своей реализации, что дает возможность построить цепочку упрощенных алгоритмов реализации по физическим процессам и по времени. Доказывается устойчивость алгоритма при естественных требованиях на операторы расщепления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Предложены многокомпонентные векторные схемы расщепления для многомерных задач математической физики.

В этой связи в диссертации:

1. Для построения экономичных методов предлагается векторный аналог аддитивных схем. Суть такого подхода сводится к корректному переходу от исходной скалярной задачи для одной неизвестной функции к системе однотипных задач, в которой каждая конкретная компонента вектора является решением скалярной задачи. Предложены векторно-адцитивные алгоритмы иолпой аппроксимации для нестационарных задач математической физики. Векторио-аддитивные методы или, так называемые, многокомпонентные векторные схемы расщепления по пространственным переменным близки по своей структуре к схемам переменных направлений. Показано, что в рамках данного подхода удалось преодолеть характерные недостатки известных аддитивных методов. В сравнении с другими известными модификациями метода неременных направлений предлагаемые методы безусловно устойчивы для нестационарных многомерных задач любой размерности, для устойчивости не требуется перестановочность операторов расщепления. Кроме того, данный подход обладает неограниченным потенциалом в рассмотрении вычислительного процесса при расщеплении по пространственным переменным и эффективен для задач в областях сложной геометрии [169, 170, 142, 144, 146, 143, 172, 171, 185, 178, 179].

2. Исследованы векторио-аддитивные методы полной аппроксимации для нестационарных задач математической физики. Схемы относятся к классу экономичных методов, примыкающих к классическому методу неременных направлений. Получены результаты о безусловной устойчивости таких методов по начальным условиям и правой части, без требования ограничения на число операторов аддитивного разбиения (на пространственные операторы расщепления накладываются минимальные условия). Эти операторы могут быть как непрерывными, так и дискретными. Изучены асимптотические свойства предложенных методов. Эти результаты используются в последующих главах диссертации, где стабилизирующие свойства алгоритмов необходимы для построения на их базе итерационных методов решения стационарных задач математической физики [169, 170, 142, 144, 146, 143, 172, 171, 185, 178, 179].

3. В качестве приложения полученных результатов рассмотрены краевые задачи для многомерных параболических уравнений, в том числе для уравнений в частных производных со смешанными производными, а также изучены экономичные методы для решения многомерных параболических задач в криволинейной области на разнесенных сетках [169, 170, 142].

4. Изучена модификация распараллеленного алгоритма для многомерных нестационарных начально-краевых задач с переменными коэффициентами, а также нелинейных задач. Модельная абстрактная задача Ко-ши соответствует исходной, когда оператор имеет одно из следующих представлений: Аа = Aa(t), Аа = Aa(t,u). Для линейных эволюционных уравнений, когда оператор исходной задачи имеет временную зависимость, построены и изучены двухслойные аддитивные методы с параллельной реализацией вычислений, когда отдельная компонента вектора -решения находится на каждом временном слое независимо друг от друга, что, несомненно, удобно для современных вычислительных систем. Доказана безусловная устойчивость алгоритмов при многокомпонентном расщеплении без требования перестановочности пространственных операторов [146, 171, 159, 160].

5. Для нелинейных эволюционных уравнений, когда оператор А исходной задачи зависит от решения, аддитивен и обладает достаточной гладкостью, построены и изучены векторпо-аддитивные методы, как итерационные, так и безытерационные. В качестве примеров рассмотрены многомерные параболические и гиперболические уравнения, системы уравнений, в том числе уравнения со смешанными производными. Схемы пригодны для решения краевых задач для гиперболических систем первого порядка. Эти схемы, как и схемы первой главы, пригодны для решения краевых задач для гиперболических систем первого порядка [159, 160, 184, 177].

6. Построены двухслойные экономичные онераторно - итерационные методы, которые можно применять к решению разностных, проекционно -разностных схем, а также непосредственно к решению исходной дифференциальной задачи. Итерационные многокомпонентные методы строятся на основе предложенных в первых двух главах векторно-аддитивных раз-постных схем полной аппроксимации с улучшенными асимптотическими свойствами. Алгоритмы из первых двух глав безусловно устойчивы при разбиении исходного оператора на произвольное число попарно не перестановочных операторов при сохранении свойства полной аппроксимации. Это выгодно отличает их от метода факторизации, а также от методов типа переменных направлений. Отсутствие таких ограничений характерно и для предлагаемых итерационных методов. Изучены итерационные процессы как для последовательной реализации вычислительного процесса, так и для использования на параллельных вычислительных системах при условиях коммутативности и некоммутатнвности операторов расщепления. За счет организации вычислительного процесса обеспечивается стремление компонент решения друг к другу на каждом шаге итераций без измельчения параметра г, исчезает эффект суммарной аппроксимации при увеличении количества итераций, становится возможным определить близкое к оптимальному значение итерационного параметра, такое, что достигается требуемая близость компонент приближенного решения к точному в норме 1/2 при фиксированном s. Это дает основание считать, что высказанная Ж.-Л. Лионсом ([25], с. 203) предположение о методе расщепления, для которого имели бы место перечисленные характеристики, оказалась верной [145,147,173,148,172,150,174,153,154,165,157,158,161,166,175].

7. Доказано, что в случае коммутативности операторов расщепления Аа при а > 2 скорость сходимости итерационных методов зависит только от нижней границы спектра операторов А,Ла; а = 1,р. Это является принципиально новым для всех аддитивных методов. В методах переменных направлений и факторизации скорость сходимости существенно зависит от верхней границы спектра этих операторов, при этом естественно предположение: А, Аа — дискретные аналоги пространственных операторов. Поэтому скорость сходимости этих методов существенно зависит от величины шага пространственной сетки при разностной аппроксимации пространственного оператора. В предложенных векторно-аддитивных методах, основанных на алгоритмах (7), (9) такая зависимость отсутствует [173, 148, 172, 150, 174, 153, 154, 165, 157, 158, 161, 166, 175].

8. Доказано, что в случае некоммутативности операторов расщепления скорость сходимости итерационных методов зависит не только от нижней границы спектра операторов А, Аа, а = 1,р, но и от верхней его границы. Эти требования не превышают, а скорее согласуются с методами факторизации в случае перестановочности операторов расщепления [145, 147, 173, 148, 172, 150, 174, 153, 154, 165, 157, 158, 161, 166, 175].

9. Построены и изучены экономичные итерационные методы в сочетании с методом конечных элементов для решения стационарных уравнений конвекции - диффузии при естественных ограничениях па выбор конечных элементов [155].

10. Проведен вычислительный эксперимент, который подтвердил результаты теоретических исследований, отмеченные в пунктах 5)-7). Проанализировано влияние вычислительной погрешности на динамику сходимости векторно-аддитивных итерационных методов. Выявлено, что для нейтрализации вычислительной погрешности при значительных отличиях минимальных и максимальных собственных значений операторов разбиения целесообразно выполнять расчеты с удвоенной точностью, а в качестве решения брать компоненту уа , соответствующую оператору Аа с максимальным спектральным радиусом и максимальной нижней границей спектра. При таком выборе решения, согласно результатам численных экспериментов, вычислительная погрешность векторно-аддитивного итерационного метода в двухкомпопептном случае не хуже чем у классического метода Писмаиа - Рэкфорда [187].

11. Построены алгоритмы декомпозиции области на основе многокомпонентных схем расщепления. Минимальные требования на операторы расщепления, отсутствие требования на количество операторов разбиения, простота многокомпонентных схем расщепления, предложенных и обоснованных в первых трех главах, позволили разработать на их основе достаточно эффективные методы разбиения области (в том числе сложной конфигурации) па подобласти, форма которых достаточно простая. К особенностям этих алгоритмов следует отнести то, что на каждом временном шаге вычисляется не одно, а несколько приближенных решений, причем каждой из приближенных компонент решения могут ставится в соответствие,вообще говоря, своя точка дискретной области. Данное обстоятельство позволило трактовать многокомпонентные схемы расщепления не только как схемы по переменным направлениям, но и как метод декомпозиции по подобластям. Выбор параметров алгоритма определяется в каждой подобласти с учетом корректности разностной схемы и этих условий в граничных узлах между подобластями. При этом допустима как последовательная, так и параллельная реализация задач в подобластях, т.е. выбрать конкретный метод в подобласти можно используя знания об архитектуре используемых ЭВМ. Последнее позволяет эффективно использовать современные параллельные ЭВМ [144, 172, 149, 150, 156].

12. Доказано, что разностные схемы, возникающие при расщеплении по подобластям имеют более высокую точность в сравнении с методами переменных направлений и покомпонентного расщепления. Методы проиллюстрированы на примерах двумерного параболического уравнения без и со смешанными производными, а также па модельной задаче конвекциидиффузии. Если в дополнение к сказанному принять во внимание и структурно явный тип реализации многокомпонентного метода декомпозиции области, предложенного в данной работе, его безусловную устойчивость, полную распараллеленость алгоритма, то можно сделать вывод о перспективности изложенного подхода в решении задач математической физики [151, 152, 183, 163, 162].

13. Векторпо-аддитивные методы полной аппроксимации применены к расщеплению дифференциальных уравнений по физическим процессам. Эти методы позволили, сохранив основные свойства исходной задачи, построить довольно простые алгоритмы как по пространству, так и по физическим процессам. Предложены разностные схемы и итерационные методы для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. Полная аппроксимация гарантирует, что построенные алгоритмы наиболее эффективны, когда в качестве базовых взяты энергетически нейтральные разностные схемы, которые были ранее предложены для уравнений На-вье — Стокса в работе [108]. Энергетически нейтральные разностные схемы являются неявными алгоритмами с довольно сложной конструкцией, поэтому для их реализации требуется построение экономичных методов, которые бы сохраняли свойства консервативности и полной аппроксимации исходных схем [151, 152, 183, 163, 162].

14. Обосновано применение предложенных многокомпонентных векторных схем расщепления для алгоритмического разделения сложной задачи решения (и,у,р) — системы вязкой несжимаемой жидкости. Построены аддитивные методы расщепления по физическим процессам и по размерности, а также методы декомпозиции области, которые пе нарушают естественных свойств исходной задачи. Изучена устойчивость, предложенных методов и сходимость итерационных процессов. Для нелинейных уравнений Навье-Стокса предложены и изучены аддитивные разностные схемы, которые не требуют итерационных методов для своей реализации, что дает возможность построить цепочку упрощенных алгоритмов реализации по физическим процессам и по времени. Доказывается устойчивость алгоритма при естественных требованиях па операторы расщепления [151, 152, 183, 163, 162].

1. Абрашин В. Н. Об одном варианте метода переменных направлений решения многомерных задач математической физики // Дифферент уравнения. — 1990. — Т. 26, № 2. — С. 314 — 323.

2. Абрашин В. Н., Муха В. А. Об одном классе экономичных разностных схем решения многомерных задач математической физики // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, № 10. — С. 1786 - 1799.

3. Абрашин В. Н. Об одном итерационном методе решения разностных задач для эллиптических уравнений. // Дифференц. уравнения. — 1998. Т. 31, № 7. - С. 911 - 920.

4. Абрашин В. Н., Дзюба И. А. Об экономичных итерационных методах решения задач математической физики.II. // Дифференц. уравнения. 1994. — Т. 30, № 2. - С. 281 - 291

5. Абрашин В. Н. Многокомпонентные итерационные методы переменных направлений. // Математическое моделирование. — 2000. — Т. 12, № 3. С. 45 - 56.

6. Абрашин В. Н. Об одном методе разделения на подобласти при решении задач математической физики //Дифференц. уравнения. — 1995. Т. 31, № 9. - С. 1525 - 1535

7. Абрашин В. Н. Од одном итерационном методе решения разностных задач для эллиптических уравнений. //Дифференц. уравнения. — 1998. Т. 31, № 7. - С. 911 - 920.

8. Абрашин В. Н., Вабищевич П. Н. Об одном классе экономичных разностных схем решения многомерных задач математической физики. // Дифференц. уравнения. 1998. — Т. 34, № 7. — С. 1666 — 1674

9. Абрашин В. Н., Лапко С. Л. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье — Стокса.1 // Дифференц. уравнения. — 1992. Т. 28, № 7. - С. 1154 - 1167.

10. Абрашин В. Н., Лапко С. Л. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье — Стокса.П // Дифференц. уравнения. — 1993. Т. 29, № 4. - С. 673 - 688.

11. Абрашии В.Н., Лэхтикоо С.Н. О сочетании методов переменных направлений и конечных элементов при решении задач математической физики. I.// Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31, № 7. — С. 1161 1169.

12. Абрашин В.Н., Лэхтиков С.Н. О сочетании методов переменных направлений и конечных элементов при решении задач математической физики. II.// Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 7. — С. 1161 1169.

13. Абрашин В. Н., Якубенл А. Н. Экономичные схемы с явным выделением фронта для многомерных задач со свободными границами. // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 6. — С. 1055 - 1066.

14. Агошков В. И. Методы разделения области в задачах математической физики. // Вычислительные процессы и системы.-Вып. 8. — М.: Наука, 1991.- С. 4 51.

15. Агошков В. И. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в задачах математической физики. — М.: Наука, 1989.— 410с.

16. Алейникова Т.Г., Дзюба И.А. Экономичные схемы для многомерных задач математической физики. // Дифференц. уравнения. — 1993. Т. 29, № 7. - С. 1155 - 1166.

17. Андреев В. Б. Итерационные методы переменных направлений для численного решения третьей краевой задачи в р мерном параллелепипеде. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1965. — Т. 5, № 4. - С. 626 - 637.

18. Андреев В. Б. О разностных схемах с расщепляющимся оператором для общих р мерных параболических уравнений второго порядка со смешанными производными // Журн вычисл. матем. и матем. физ. - 1967. - Т. 7, № 2. - С. 1021 - 1034.

19. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.С., Малинецкий Г.Г. Парадоксы мира нестационарных структур.

20. Компьютеры и нелинейные явления. — М.: Наука, 1988.— С. 149— 168.

21. Вагриновский К. А., Годунов С. К. Разностные методы для многомерных задач. // ДАН СССР. 1957. Т. 115, №3. - С. 125-130.

22. Бахвалов Н. С., Кобельков Г.М., Чижонков Е.В. Эффективные численные методы решения уравнений Навье — Стокса. // Числен, мо-делир. в аэродинамике. — М., 1986. — С. 37 — 45.

23. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М.: Наука, 1994. — 520с.

24. Белоцерковский О. М., Гущин В. А., Щеников В. В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1975. — Т. 15, №1. С. 197 - 207.

25. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Нестационарный метод "крупных частиц"для газодинамических расчетов // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1971. — Т. 11, №1. — С. 186 — 199.

26. Бенсусан А.,Лионе Ж.-Д., Темам Р. Методы декомпозиции, децентрализации, координации и их приложения. // Методы вычислительной математики — М.: Наука, 1975.— С. 144 — 274.

27. Березин Ю. А. Численное моделирование нелинейных волн в разреженной плазме. — Новосибирск, 1971.— 200с.

28. Березин Ю. А.,Яненко H.H. Методы расщепления для задач физики полупроводников. // Доклады Академии наук СССР.— 1984.— Т. 274, №6.- С. 1338-1340.

29. Булеев Н. В. Численный метод решения двумерных и трехмерных уравнений диффузии. // Матем. сб. — I960 — Т. 52, №2. — С. 317 — 325

30. Вабищевич П. Н., Макаров М. М. Итерационное решение задач конвекция диффузия.— М., 1993.—31с. ( Препринт 19 РАН Институт прикладной математики)

31. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. — М.: Мир, 1974. — 126 с.

32. Воеводин В. В. Математические модели и методы в параллельных процессах. — 1986. М.: Наука, —300с.

33. Воеводин В. В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — 1984. М.: Наука, —203с.

34. Волков В. М., Лэхтиков С. Н. Многокомпонентные итерационные методы декомпозиционного типа для двумерных стационарных задач диссипативного переноса // Дифференц. уравнения. — 1997. — Т. 33, № 7. С. 927 - 933.

35. Гордезиани Д. Г. О некоторых векторных моделях разностных схемах для решения краевых задач // Современные проблемы мат.физики и вычисл.математики.— 1982.— С. 128 — 137.

36. Гордезиани Д.Г., Меладзе Г.В. О моделировании третьей краевой задачи для многомерных параболических уравнений в произвольной области одномерными уравнениями // Журн вычисл. матем. и ма-тем. физ. 1974. - Т. 14, №1. - С. 246 - 250.

37. Голд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М., 1973.— С. 265.

38. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.- С. 472.

39. Дьяконов Е.Г. О некоторых разностных схемах для решения краевых задач. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1962. — Т. 2, №1. С. 172 - 191.

40. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных стационарных задач. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. 1962. - Т. 2, №4. - С. 549 - 568.

41. Дьяконов Е.Г., Лебедев В.И Метод расщепления для третьей краевой задачи. //Вычислительные методы и программирование. — М.: Изд во МГУ, 1967. —Вып.4. - С. 210 - 243.

42. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. //Нестационарные задачи. — М.: Изд — во МГУ, 1972. — Вып.2 — С. 121 — 138.

43. Дьяконов Е.Г. О некоторых итерационных методах решения систем разностных уравнений, возникающих при решении методом сеток уравнений в частных производных эллиптического типа. // Вычисл. методы и программирование. — М. 1965. — Выи. 3. — С. 163 — 194.

44. Дьяконов Е.Г. Итерационные методы решения разностных аналогов краевых задач для уравнений эллиптического типа. — Киев, Ин т кибернетики. УССР, 1970. - 144с.

45. Дьяконов Е.Г. On the solution of some elliptic difference equationsn J. Inst. Math. Applies. 1971. - V. 7 - - S. 144-156.

46. Зайцева С.Б., А.А.Злотник Точные оценки погрешности векторных методов расщепления для уравнения теплопроводности. // Жури вычисл. матем. и матем. физ. — 1999. — Т. 39, №3. — С. 472 — 491.

47. Ильин В. П. О расщеплении разностных уравнений параболического и эллиптического типов. // Сиб. матем. журн. — 1965.— №6.— С. 1425- 1428.

48. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.

49. Кобельков Г.М. Об одной разностной схеме расчета нестационарных уравнений Навье — Стокса // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.- 1984. Т. 24, №2. - С. 294 - 304.

50. Коновалов А.Н. Метод дробных шагов решения задачи Коши для многомерного уравнения колебаний // Докл. АН СССР. — 1962. — Т. 147, №1. С. 25 - 27.

51. Коновалов А.Н. Применение метода расщепления к численному решению динамических задач теории упругости // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1964. — Т.4, №5. — С. 760 — 764.

52. Кузин В. И. Численная модель глобальной циркуляции океана, основанная на методе конечных элементов с расщеплением. // Численное моделирование динамики океана и внутренних водоемов. — Новосибирск. 1984 С. 118 - 140.

53. Красносельский М.А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. — М.:Наука, 1966. —499 с.

54. Лаевский Ю. М. Методы декомпозиции области при решении двумерных параболических уравнений. // Вариационно разностные методы в задачах численного анализа. — Новосибирск, 1987. — С. 112- 128.

55. Ладыоюенская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1970. — 288с.

56. Лаевский Ю. М. Об одном алгоритме декомпозиции области без налегания подобластей при решении параболических уравнений. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1992. — Т. 32, № 11. — С. 1744- 1755.

57. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. — 230с.

58. Лапко С. Л. Разностные методы для многомерных уравнений математической физики. // Дифференц. уравнения. — 1994. — Т. 30, № 7.- С. 1175 1177.

59. Лапко С. Л., Рашид А. Н. Разностные методы для многомерных уравнений конвективной диффузии. // Дифференц. уравнения. — 1994. Т. 30, № 1. — С. 175 - 177.

60. Лапко С. Л. Векторные аддитивные разностные схемы полной аппроксимации для многомерных задач математичекой физики. // Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31, № 7. С. 1240 - 1248.

61. Лебедев В. И. Метод композиции. М.: ОВМ АН СССР, 1986. -198с.

62. Лебедев В. И., Агошков В. И. Обобщенный алгоритм Шварца с переменными параметрами. — М., 1981. — 29с. (Препринт ОВМ АН СССР)

63. Лебедев В. И., Бахвалов Н. С., Агошков В. И. Параллельные алгоритмы решения некоторых стационарных задач математической физики. — М.: Отд. вычисл. матем. АН СССР, 1984. — 142 с.

64. Лебедев В. И., Филиппов В. И. Обобщенный алгоритм Шварца с переменными параметрами. — М., 1981. — 32с. ( Препринт ОВМ АН СССР)

65. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972. — 420с.

66. Ляшко А.Д. Разностные схемы для задач о малых прогибах кольцевидных пластин. — "Численные методы механики сплошных сред". Новосибиоск, 1973, №4, 2. - С. 116 - 131.

67. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений. I, II. // Изв. вузов. Математика. 1972, №11. - С. 23 - 31,- 1973, №3. - С. 44 - 52.

68. Макаров В. Л., Хлобыстов В.В. Сплайн аппроксимация функций.

69. М.: Высшая школа, 1983.— 270с.

70. Марчук Г. И. Методы расщепления. — М., Наука, 1988. — 264 с.

71. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — М.:, Наука, 1989. 608 с.

72. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — Новосибирск: Наука, 1973 — 410с.

73. Марчук Г. И. Методы расчета ядерных реакторов. — М.: Атомиздат, 1961,- 256с.

74. Марчук Г. И. Численные методы в прогнозе погоды. — JL: Гидроме-тиздат, 1967. — 247с.

75. Марчук Г. И. Методы и проблемы вычислительной математики. // Международный конгрес математиков в Ницце. Доклады советских математиков. — М.:, Наука, 1972. — С. 171 — 189.

76. Марчук Г. И., Кузнецов Ю. А. Некоторые вопросы теории многошаговых итерационных процессов. // Вычислительные методы линейной алгебры. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1969 — С. 16 — 30.

77. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейронов. — М.: Атомиздат, 1971.— 496с.

78. Марчук Г. И., Султангазин У. М. О сходимости метода расщепления уравнений переноса излучений. // ДАН СССР. — 1965. — Т. 161, №1.- С. 66 70.

79. Марчук Г. И., Яненко Н. Н. Решение многомерного кинетического уравнения методом расщепления. // ДАН СССР. — 1964 — Т. 157, №6. — С. 196 201.

80. Марчук Г. И., Яненко Н. Н. Применение метода расщепления (дробных шагов)для решения задач математической физики. // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики . — Новосибирск: Наука, 1966. — С. 196 — 201.

81. Петрусев A.C. Вариант метода многокомпонентного расщепления для эволюционных уравнений первого порядка // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 2004. — Т. 44, №5. — С. 872 — 882

82. Рябенький В. С., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений. — М.: Наука, 1956 — 249с.

83. Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. — М.: Наука, 1994 — 450с.

84. Рихтмайер Р., Мортои К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Наука, 1972—418с.

85. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.— М., 1980.— 510с.

86. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971. 552 с.

87. Самарский А. А. Избранные труды A.A.Самарского. — М.: МГУ, 2003. 525 с.

88. Самарский А. А. О работах по теории разностных схем //Международный конгресс математиков в Ницце. 1970 г. Доклады советских математиков. — М.: Наука, 1972, с.276 — 289.

89. Самарский А. А. О сходимости метода дробных шагов для уравнения теплопроводности. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1962. Т. 2, №6. - С. 906 - 917.

90. Самарский А. А. Локально одномерные разностные схемы на неравномерных сетках. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1963. — Т. 3, №3. С. 431 - 466.

91. Самарский А. А. Об одном экономичном разностном методе многомерного параболического уравнения в произвольной области. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1962. — Т. 2, №1. — С. 25 — 56.

92. Самарский А. А. Об одном экономичном алгоритме численного решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1964. — Т. 4, №3. — С. 496 — 503.

93. Самарский А. А. Экономичные разностные схемы для гиперболической системы уравнений со смешанными производными и их применение для уравнений теории упругости // Журн вычисл. матем. и матем. физ. 1965. - Т. 5, №1. - С. 996 - 1005.

94. Самарский A.A. О принципе аддитивности для построения экономичных разностных схем. // Докл. АН СССР — 1965. — Т. 165, №6. С. 1253 - 1256.

95. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. —М.: Наука, 1976. — 350с.

96. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Векторные аддитивные схемы декомпозиции области для параболических задач. // Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31, № 9. - С. 1563 - 1569.

97. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. — М.: Наука, 1999. — 195 с.

98. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Гулин А. В. Устойчивость опе-раторно разностных схем. // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т.35, № 2. С. 152 - 187.

99. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973. 432 с.

100. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. 545 с.

101. Самарский А. А., Фрязипов И. В. О разностных схемах аппроксимации задач математической физики. // Успехи матем. наук. — 1976.- Т. 31, Вып. 6(192). С. 167 - 197.

102. Самарский А. А., Николаев Е. В. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978. —410с.

103. Темам Г. Уравнения Навье — Стокса. — М.: Мир, 1981. —600с.

104. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. — М.: Мир, 1985. -530с.

105. Туретаео Н.Д. // Жури вычисл. матем. и матем. физ. — 1996. — Т.36, №7. С. 89 - 108.

106. Треногип В.А. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1980. —517с.

107. Фрязинов И.В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи // Журн вычисл. матем. и матем. физ.- 1964. Т. 4, №6. - С. 231 - 240.

108. Фрязинов И.В. Экономичные симметризовапные схемы решения краевых задач для многомерного уравнения параболического типа // Журн вычисл. матем. и матем. физ. —■ 1968. — Т. 8, №2. — С. 436 -443.

109. Фрязинов И.В. Об одном классе схем для уравнения параболического типа // Жури вычисл. матем. и матем. физ. — 1975. — Т. 15, №1. -С. 114-125.

110. Фрязинов И. В. Консервативные разностные схемы для двумерных уравнений несжимаемой вязкой жидкости в переменных скорость -давление. — М., 1981. — 28с. (Препринт №11 Ин т прикл. матем. АН СССР)

111. Форсайт Д., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. — М.: Мир, 1980.— 596с.

112. Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. // Вычислительные методы в гидродинамике.— М.: Мир, 1967. С. 201-220.

113. Хейгеман JI., Янг Д. Прикладные итерационные методы.— М.: Мир, 1986.—600с.

114. Шокин В. К. Метод дифференциального приближения. — Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1981. —300с.

115. Энштейн Б. С. Об одной схеме типа переменных направлений для задачи Навье — Стокса. // Вестн. Леиингр. ун та. — 1974. — № 7. - С. 166 - 168.

116. Якубеня А. Н. Об одном классе разностных схем па адаптивных сетках для численного решения двумерных задач Стефана. // Диф-ференц. уравнения и их применение. —Вильнюс, 1988,— Выи.43 — С. 107-114.

117. Яненко Н. Н. Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности // ДАН СССР. — 1959. — Т.125, № 6. — С. 1207 1210.

118. Яненко Н. Н. Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов) // ДАН СССР. 1960. - Т. 134, № 5. - С. 1034 - 1036.

119. Япенко Н. Н. Методы дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск: Наука, 1967. — 195 с.

120. Яненко Н. Н. О слабой аппроксимации систем дифференциальных уравнений. //Сибирский математический журнал. — 1964. — Т. 5, № 6. С. 1431 - 1434.

121. Янеико Н. Н. О неявных разностных методах счета многомерного уравнения теплопроводности. // Изв. вузов. Математика. — 1961. — Т.4, №23.—С. 101-123.

122. Яненко Н. Н. О сходимости метода расщепления для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. 1962. - Т.2, №5. - С. 933 — 937.

123. Яненко Н. Н., Демидов Г. В. Метод слабой аппроксимации как конструктивный метод построения решения задачи Коши. // Некоторыевопросы вычислительной и прикладной математики. —Новосибирск: Наука, 1966 С. 135-160.

124. Яненко Н. Н. Введение в разностные методы математической физики. 4.1. II.—Новосибирск: Новосибир. гос.ун-т. 1968.—230 с.

125. Douglas J., Rachford Н. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables. //Trans. Amer. Math. Soc.- 1956. V. 82. - P. 421 - 439. Англ.

126. Peaceman D., Rachford H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations. //J. Soc. Indust. Appl. Math. — 1955.- V. 3. P. 28 - 42. Англ.

127. Douglas J. On the numerical integration of д2и/дх2 -f д2и/ду2 = ди/partialt by implicit methods //J. Soc. Indust. Appl. Math. — 1955.- V. 3. P. 42 - 65. Англ.

128. Douglas J. Alternating direction iteration for mildly nonlinear elliptic difference equations. //Num. Math. — 1961. — V. 3. — P. 36 43 Англ.

129. Douglas J., Gunn J. A general formulation of alternating direction methods. //Num. Math. 1964. - V. 6. - P. 428 - 453. Англ.

130. Gunn J. The solution of elliptic difference equations by semiexplicit iterative techniques. // SIAM J. Numer. Anal. — 1965. — V. 2, № 1—P. 51-62. Англ.

131. Jovanovic B.S. On class of multicomponent alternating direction methods// 3rd Internat. Coll. Nuner. Analys. Plovdiv, 1994. Singapore: SCTP, 1995. P. 97-106.

132. Jovanovic B.S. On the corvergence of multicomponent alternating direction scheme // Publ.de L'Inst Math. — 1994. — V. 56 (70). P. 129 -134.

133. Zaitseva S. B. N., Zlotnik A. A. Sharp error estimates of parallel locally one dimensional and vector splitting methods for the heat equation. // Second Internat. Conference."Finite-difference methods: theory and application. "Minsk, 1998. -P. 68.

134. Ortega J. Introduction to parallel and vektor solution of linear systems. N. Y.: Plenum press, 1988,- P.62 -75.

135. Forsythe G., Wasow Ж Finite difference methods for partial differential equations. New York: Wiley, 1960. — P.76 —97. Англ.

136. Hageman L., Young D. Applied Iterative Methods. N. Y: Acad, press, 1981.-P.il 1-130. Англ.

137. Birkhoff G., Varga R. Implicite alternating direction methods. Trans // Amer. Math. Soc. 1959.- V. 92,- P. 13 - 24.

138. Birkhoff G., Varga R. Alternating direction implipit methods. Advances in Сотр. -N. Y.: Academic Press, 1962 — V. 3 — P. 189—273.

139. Lax P. On the stability of difference approximations to solutions of hyperbolic equations with variable coefficients. // Comm. Pure Appl. Math. 1961,- V. 14,- P. 497.

140. Marchuk G., Kuzin V. On the combination of finite element and splitting up methods in the solution of parabolic equations. //J. Comput. Physics. - 1983,- №2,- P. 273 - 282.

141. Widlund O. A. On the effects of scalling of the Peaceinan-Rachford method. // SIAM J. Numer. Anal.- 1978,- V. 15.— P. 801 812.

142. Temam R. Sur l'approximation de la solution des equations de Navier — Stokes par la Methode des Pas Fractionnaires. // Arch. Ration. Mech. Anal. 1969. -V. 7. - P. 32 - 33.

143. Trotter H. F. On the product semigroups of operators. 11 Proc. Amer. Math. Soc. 1959. -V. 10.- P. 545 - 551.

144. Жадаева H. Г. Многокомпонентный вариант метода переменных направлений для эволюционных задач. I // Дифференц. уравнения — 1992,- Т. 28, № 7 С. 1218-1230.

145. Волков В. М., Жадаева Н. Г. Экономичные методы решения гиперболических систем 1-го порядка // Дифференц. уравнения.— 1994.— Т. 30, № 7,- С. 1187-1193.

146. Жадаева Н. Г. Об одном методе разбиения области в нестационарных задачах математической физики // Дифференц. уравнения,— 1995.- Т. 31, № 7 С. 1217-1221.

147. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Многокомпонентный метод переменных напрвлений решения стационарных задач математической физики. I // Дифференц. уравнения.— 1996.— Т. 32, № 9.— С. 1212-1221.

148. Жадаева Н. Г. Многокомпонентный вариант метода переменных направлений для эволюционных задач. II // Дифферепц. уравнения.— 1997.- Т. 33, № 7.- С. 998-1000.

149. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Многокомпонентный метод переменных напрвлений решения стационарных задач математической физики. II // Дифференц. уравнения — 1997.— Т. 33, № 9.— С. 1211-1219.

150. Жадаева Н. Г. Многокомпонентный метода переменных направлений решения многомерных задач для эллиптических уравнений со смешанными производными // Дифференц. уравнения.— 1998.— Т. 34, № 7,- С. 948-957.

151. Жадаева Н. Г., Самарская Е. А. Метод декомпозиции области решения сеточных параболических задач // Дифференц. уравнения.— 1999 Т. 35, № 2 - С. 225-231.

152. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. об одном методе композиции построения итерационных алгоритмов решения стационарных задач математической физики // Дифференц. уравнения.— 1999.— Т. 35, № 7.— С. 948-957.

153. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Аддитивные итерационные методы решения стационарных задач для уравнений Навье—Стокса // Дифференц. уравнения — 1999,- Т. 35, № П.- С. 1543-1552.

154. Абрашин В. Н.} Волков В. М., Егоров А. А., Жадаева И. Г. Об одном классе разностных методов решения уравнений Навье — Стокса // Известия вузов. Матем.— 1999 — № 1 — С. 3—11.

155. Самарский А. А., Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Аддитивные итерационные методы решения задач математической физики // Доклады РАН.- 2000.- Т. 373, № 6 С. 734-736.

156. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. О скорости сходимости экономичных итерационных методов для стационарных задач математической физики // Дифференц. уравнения.- 2000 Т. 36, №11.— С. 1220-1229.

157. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Экономичные итерационные схемы реализации метода конечных элементов для стационарных краевых задач математической физики // Известия вузов. Матем 2000 - № 11,- С. 3-11.

158. Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Схемы расщепления полной аппроксимации в методах декомпозиции области // Матем. моделирование — 2000,- Т. 12, № 2.- С. 35-45.

159. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. О скорости сходимости аддитивных итерационных методов // Дифференц. уравнения.— 2001 Т. 37, № 7.— С. 867-879.

160. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Об одном классе аддитивных итерационных методов // Дифференц. уравнения.— 2001.— Т. 37, № 12.- С. 1664-1673.

161. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Экономичные аддитивные разностные схемы для многомерных нелинейных нестационарных задач // Дифференц. уравнения 2002 — Т. 38, № 7 — С. 907-917.

162. Жадаева Н. Г. Об одном экономичном методе для многомерных уравнений движения и переноса // Дифференц. уравнения.— 2002.— Т. 38, № 9.- С. 1257-1262.

163. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Об аддитивных итерационных методах и оценках их скорости сходимости // Известия вузов. Матем.— 2003,- № 1,- С. 3-11.

164. Абрашин В. Н., Волков В. М., Жадаева Н. Г. Вычислительная погрешность векторно-аддитивных итерационных методов // Дифференц. уравнения — 2005 — Т. 45, № 7 — С. 1187—1193.

165. Абрашин В. Н.,Жадаева Н. Г. Об аддитивных методах для уравнений Навье — Стокса. // Известия вузов. Матем.— 2005.— № 1.— С. 3-9.

166. Абрашина-Жадаева Н. Г., Романова Н. С. Многокомпонентные схемы векторного расщенления для решения многомерных задач математической физики // Дифф. уравнения.— 2006.— Т.46.— № 7.— С. 883-894.

167. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Экономичные итерационные алгоритмы решения стационарных задач математической физики // Lietuvos matem. Rinkinys.- 2000.- Т.40, № 4,- С. 387-403.

168. Abrashin V. N.; Giegis R., Pakeniene VZhadaeva N. G. Stabilitu analysis of Seidel type multicomponent iterative method // Mathematical modelling and analysis.— 2002.— V. 7, JV-° 1 — C. 1-10.

169. Abrashina-Zhadaeva N. G., Romanova N. S. A splitting type algorithm for numerical solution of PDEs of fractional order // Mathematical Modelling and analysis.— 2007 — V. 12, № 4- P. 399-408.

170. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Разностные схемы для задач математической физики в областях произвольной формы // Дифференц. уравнения и их применение — Вильнюс, 1988.— Вып. 43 — С. 22—30.

171. Абрашин В. H., Дзюба И. В., Жадаева H. R О решении задач ма-темаической физики многокомпонентным методом переменных направлений // Дифференц. уравнения и их применение — Вильнюс, 1991- Вып. 46 — С. 18-24.

172. Abrashin V. N., Zhadaeva N. G. Multikomponent alternating direction method for solving problems of mathematical pysics // Second Intern. Conf. "Finite-difference metids: Theory and application", Minsk, 1998.— V. 1.— P. 12—20.

173. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева H. R, Самарская Е. А. Итерационный многокомпонентный метод переменных направлений решения стационарных задач математической физики. // Труды института математики НАН Беларуси,— 1999.— Т. 3.— С. 99—105.

174. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Additive iterative methods and convergence rate estimates // Труды института математики HAH Беларуси 2002.- Т. П.- С. 13-21.

175. Жадаева Н. Г. Один вариант метода переменных направлений для уравнений параболического типа // Тез. докл. Межд. мат. конф. "Теория приближения и задачи вычисл. матем.".— Днепропетровск, 26-28 мая 1993.- С. 18-19.

176. Жадаева Н. Г. О распараллеливании вычислений при решении многомерных задач // Тез. докл. Межд. мат. конф., "Проблемы математики и информатики", 1994 в II ч. / Гомельский гос. университет-Гомель, 1994 Ч. 2 - С. 48-49.

177. Егоров A. A., Жадаева H. Г. Итерационные методы разделения переменных для стационарных задач математической физики // "Еру-гинские чтения VI": Тез. докл. Межд. мат. конф., Гомель. 1999 г. / Гомельский гос. университет.— Гомель, 1999.— Ч. 2,— С. 18—19.

178. Самарский А. А., Жадаева Н. Г. Экономичные итерационные методы решения стационарных задач математической физики //8 Белорусская матем. конференция. Тез. докл.— Минск, 2000.— Ч. 3.— С. 36.

179. Жадаева Н. Г. Об одном методе решения уравнений Навье — Сток-са. // "Еругинские чтения IX": Тез. докл. Межд. мат. конф., Ви1. О/тебск, 2003 г. / Витебский гос. университет.— Витебск, 2003 — Ч. 2 — С. 18—19.

180. Abrashin V. N., Zhadaeva N. G. Additive methods for solution of nonlinear problens of mathematical physics // Mathematical Modelling Analysis Abstracts of the 8th Intern. Conf. MMA 2003, Trakai.— P. 3.

181. Volkov V. М., Zhadaeva N. G. A computing error of parallel vektoradditive iterative methods // Mathematical Modelling Analysis Abstracts of the 10th Intern. Conference, Trakai, June 1-5, 2005.— Pt. 3,— P. 150.

182. Abrashina-Zhadaeva N. G., Romanova N. S. Decomposition methods for multi-dimensional fractional partial differential equations // Abstracts of 12-Intern. conf. "Mathematical modeling and analysis".— 2007.— P. 3.

183. Абрашина-Жадаева H. Г., Романова H. С. Гибридный метод для 2D уравнений диффузии дробного порядка //Сб. науч. тр.— ГрГУ, 2007,- С. 164-167.