Точные оценки погрешности локально-одномерных и векторных методов решения уравнений теплопроводности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

Зайцева Светлана Борисовна

ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Специальность 01.01.07— Вычислительная математика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор А.А.Злотник

Москва — 1999

Оглавление

Введение...................................................................................................... 3

Глава 1. Экономичные методы порядка аппроксимации 0(т + /г2)........ 19

§1. Постановка задачи. Обозначения................................................. 19

§2. Операторные неравенства. Оценки решений двухслойных

разностных схем и другие вспомогательные утверждения.............. 22

§3. Оценки погрешности сверху локально-одномерных

методов................................................................................................. 35

§4. Векторные методы расщепления. Уравнения для компонент

решения. Выбор начальных условий................................................. 50

§5. Оценки погрешности сверху векторных методов........................ 53

§6. Оценки погрешности снизу локально-одномерных и

векторных методов.............................................................................. 65

Глава 2. Экономичные методы порядка аппроксимации 0(т2 + /г2)...... 75

§1. Используемые пространства, операторные неравенства

и другие вспомогательные сведения.................................................. 75

§2. Оценки погрешности сверху 2п-этапных

симметризованных локально-одномерных методов........................... 80

§3. Оценки погрешности снизу 2п-этапных симметризованных

методов................................................................................................ 89

§4. Оценки погрешности для некоторых модификаций

симметризованного метода................................................................. 97

§5. Оценки погрешности 3-этапного симметризованного

локально-одномерного метода............................................................ 100

§6. Оценки погрешности векторного попеременно-

треугольного метода.......................................................................... 113

Заключение................................................................................................................................................................................................122

Литература................................................................................................................................................................................................124

Приложение 1..........................................................................................................................................................................................131

Приложение 2..........................................................................................................................................................................................133

Введение

Экономичные методы успешно применяются для решения нестационарных многомерных задач математической физики. Им посвящена обширная литература [18,38,44-46,53,62]. Эти методы являются неявными, характеризуются безусловной устойчивостью и требуют при переходе с одного временного слоя на другой числа арифметических действий, пропорционального числу узлов сетки. В экономичных методах процесс отыскания приближенного решения многомерной задачи разбивается на несколько этапов, которые представляют собой процесс отыскания решения более простых задач (как правило, одномерных).

Для параболических задач среди экономичных методов порядка аппроксимации 0(т + Ь?) можно выделить семейство локально-одномерных методов, обладающих аппроксимацией исходного уравнения только в суммарном (обобщенном) смысле, и семейство векторных методов расщепления, обладающих аппроксимацией в обычном смысле. Среди экономичных методов порядка аппроксимации 0{т2 + к2) можно выделить двуцикличес-кие методы покомпонентного расщепления и симметризованные локально-одномерные методы, обладающие аппроксимацией исходного уравнения в суммарном смысле (как и локально-одномерные методы порядка аппроксимации 0(т + /г2)), а также векторный попеременно-треугольный метод расщепления, обладающий аппроксимацией в обычном смысле. К экономичным методам относятся также метод переменных направлений, методы с расщепляющимся оператором и др. (см., в частности, [18,19,64,65,77]). Отметим, что в [43,76] рассмотрены явные методы, в которых существенно ослаблено стандартное условие устойчивости.

Построение и изучение локально-одномерных методов порядка аппроксимации 0(т-\-к2) проводятся в работах [46,53,62], а также в работах [10,15,16, 39,40,61,63]. Симметризованные локально-одномерные методы изучаются в работах [46,47,52,59,60,72,79], см. также [14,66,78]. Изучение двуцикличес-ких методов покомпонентного расщепления, а также их применение к разнообразным задачам можно найти в [44-47,48].

Векторные методы порядка аппроксимации 0(т + к2) предложены срав-

нительно недавно. Их построению, изучению и применению к различным нестационарным задачам математической физики посвящены работы [14,12,13,55,68]. Отметим, что они применяются и в качестве итерационных методов решения эллиптических задач [54,69,71]. Векторный попеременно-треугольный метод расщепления сформулирован в работе [12] (он основан на идее из [51], см. также [37,56]).

Существуют варианты локально-одномерных и векторных методов порядка аппроксимации 0(г + к2), а также симметризованных локально-одномерных методов порядка аппроксимации О (г2 + /г2), вычисление вспомогательных функций в которых при переходе с одного временного слоя на другой может выполняться независимо друг от друга, что дает дополнительную гибкость с точки зрения реализации на ЭВМ с параллельной архитектурой. Обсуждение распараллеливания экономичных методов проводится, в частности, в работах [11,57,67].

Вопросы устойчивости и аппроксимации экономичных методов подробно изучены в литературе; оценки погрешности этих методов даны, в основном, в предположении достаточной гладкости решения, см. например, [18,46,53] и [13,72-75]. Вопрос же получения оценок погрешности (и обоснования их точности) в случае негладких данных, а также тесно с ним связанный важный вопрос оптимальности этих методов недостаточно исследован даже для параболических задач. Отметим следующие результаты. Для случая обобщенных решений сходимость локально-одномерных методов доказана в работе [80]; в работах [39,40] выводятся некоторые оценки погрешности одного локально-одномерного метода. В работах [68-71] получены оценки погрешности векторных методов расщепления для уравнения теплопроводности в предположении, что точное решение задачи и Е И^'^(ф) и при условии

г = о(Н2).

Впервые оптимальность одного из методов с расщепляющимся оператором для уравнения теплопроводности с правой частью / £ СА((5), А £ (0,1) доказана в [7,8]. Оптимальные оценки погрешности чисто неявной проекционно-разностной схемы при условии т = 0(\Щ2) содержатся в [5,6,50]. В работах [29,30,32] доказана оптимальность некоторых экономичных методов (в основном, схем с расщепляющимся оператором) и чисто неявной

проекционно-разностной схемы на классе данных / 6 -¿^(Ф) (а также на некоторых классах обобщенных функций /). В частности, в случае начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности получены оценки погрешности вида

+ (1) <с(лД+|/г|)||(/,и0)||0, (2)

где у — решение соответствующей разностной схемы, у — его кусочно-постоянное на [О, Г] и полилинейное на П восполнение, а, щ — начальная функция, НС^оЖ - \\1\\ь2(Я) + ||(/,«о)Но = 11/(1)11ь2,1(д) +

Е?=1 11-^11х2(д) + |К||Ьз(П) при / = + Там же выведены оценки

погрешности порядка 0((т + |/1|2)(А+1)/2), Л 6 (0,1). Показана оптимальность приведенных оценок по порядку на широком классе методов решения указанной дифференциальной задачи [30]. В [31,34] для метода с расщепляющимся оператором и чисто неявной проекционно-разностной схемы установлена оценка погрешности

IIй - = 1111"- Н^о,т) + - <

^с^+щт^щ)^ (з)

которая также является оптимальной по порядку [32,34]. Все перечисленные результаты относятся к методам порядка аппроксимации 0(т + /г2).

В [35,36] (см. также [34]) выведены оценка погрешности метода переменных направлений для двумерного уравнения теплопроводности и оценка погрешности его обобщений порядка аппроксимации О (г2 + /г2) на трехмерный случай (к = 1,2,3):

Нп ~ ^ С(1^|21К/' ио)||1 + т"2||(/5^о)||2) при п = 2, (4)

д2 f

11^-^11ь2(д)<с(^1211(/'ио)111 + т2(1К/'^)112+ 7^2 )) при * = 3,

охк Ь2( Я) (5)

где у — полилинейное восполнение на ф решения у разностной схемы, а дf

НС/>о)||2 = + + Доказана оптималь-

ность по порядку оценки (4), а также точность по порядку оценки (5), с

помощью соответствующих оценок снизу. Там же установлена оптимальная по порядку оценка погрешности для решения симметричной разностной схемы (метода Кранка-Никольсон), по виду совпадающая с оценкой (4) при всех n ^ 1. Кроме того, для указанных методов в [35,36] выведена оценка погрешности

(напомним, также являющаяся оптимальной по порядку). Отметим также работу [33].

В настоящей диссертации изучается ряд экономичных методов решения первой начально-краевой задачи для n-мерного уравнения теплопроводности

СУП

— - а20Аи = f(x, t) в Q = il х (О,Т), и1эпх(о,т) = uUo = Мх) на П = (0,Xi) х ... х (О,Хп),

где 80, — граница Q. Выводятся оценки погрешности, во-первых, нескольких экономичных методов порядка аппроксимации 0(т -f h2) (глава 1), во-вторых, нескольких экономичных методов порядка аппроксимации О (г2 + h2) (глава 2). Более подробно, в главе 1 рассмотрены локально-одномерные методы (метод с распараллеливанием и последовательный метод Н.Н.Янен-ко) и векторные методы расщепления (параллельный и последовательный варианты). В главе 2 рассмотрены 2п-этапные симметризованные локально-одномерные методы (двуциклический метод покомпонентного расщепления Г.И.Марчука, симметризованный локально-одномерный метод А.А.Самарского и некоторые его модификации), а также 3-этапный симметризованный локально-одномерный и векторный попеременно-треугольный методы.

Изучается случай негладких / и щ. Основные рассматриваемые классы данных следующие:

I. / = + divF, /С1) G ¿2ii(Q), Fi G L2(Q), i = l^i и щ G L2(0);

II. / € L2(Q) и n0 € W\{Ü)-

8f ° °

III. /, € L2(Q), f\t=0 G Wl(Ü) и G

Классы И, I являются основными при исследовании погрешности методов порядка аппроксимации 0(т + /г2), а классы III, II — при исследовании погрешности методов порядка аппроксимации О (г2 + /г2).

Из результатов диссертации вытекает, что на классе данных II оценки погрешности в норме 1/2 (<5) для всех методов из главы 1 оптимальны по порядку. На классе данных I оценки погрешности в норме )) не являются оптимальными, если только не требовать выполнения жесткого условия на шаги г и к. Кроме того, для локально-одномерных методов такие оценки оптимальны при специальном разбиении правой части /. Оценки в норме ^(ф) на классе II также не оптимальны по порядку, если не выполнено условие на шаги г и Д. Точность оценок погрешности обоснована с помощью соответствующих оценок снизу; в частности из оценок снизу следует, что при т ^ е\к\ отсутствует сходимость к 0 градиента погрешности методов на классе И.

Для всех методов из главы 2 при п = 3 и большинства методов при п — 2 оказалось, что на классе данных III оценки погрешности в норме ¿2 (С}) в общем случае не оптимальны по порядку; установлена их точность по порядку. На классе данных II только 3-этапный симметризованный локально-одномерный метод и модификации 2п-этапного симметризованного метода при п = 2 обладают оптимальной оценкой погрешности.

Опишем подробнее содержание и основные результаты диссертации.

В §1 главы 1 записана первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности, введены используемые функциональные пространства. Также введены равномерная сетка ин в О, с шагами к{ = Х^/Л^, г = 1, п, равномерная сетка шт на [0,Т] с шагом г = Т/М (Л^ ^ 2, М ^ 2) и равномерная сетка и>к = ш11 П О. Кроме того, введено пространство ¿^т функций, заданных на сетке х ит и доопределенных нулем на дшн х шт, где ди к = шн П дП и К = (/&!,..., кп)' Приведены усреднения гик и дт функций тиЕЬг^идеЬ^О^Т).

Пусть ниже ао = 1 (что не ограничивает общности). В главе 1 всюду п > 2.

В §2 введены сеточные операторы, используемые в главе 1. Выведен ряд связывающих их неравенств. Выписаны оценки решений двухслойных

разностных схем в сеточных нормах, а также оценки усреднений функций; часть этих результатов взята из- [30,36]. Здесь же доказана лемма об оценках разности решений чисто неявных проекционно-разностной и конечно-разностной схем. Результаты §2 существенно используются при доказательстве основных результатов диссертации.

В §3 изучены локально-одномерный метод с распараллеливанием (см., например, [15,16] и [10,39,40])

У(г)т ~ Ут—1 . -Д т , .

7-+ ^уц)т = (7)

п

Ут = У0 = ^ (8)

г= 1

и стандартный последовательный локально-одномерный метод Н.Н.Яненко [62,53,46]

--- + Лiy(i)m ~ }{i)m, (9)

2/(0) m = 2/m-l, У m = У(п)т] У0 = Uq- (Ю)

Здесь функции у^, г = 1,п — вспомогательные, a m = 1 , M. Через Л;

обозначена стандартная (простейшая) конечно-разностная аппроксимация #2 _

~дх1 ' ab7]rn = 171 = Считаем> что /(г) = /• В методе (7),

(8) постоянные > 0 удовлетворяют равенству ai ~ 1- Решения у

обоих методов принадлежат пространству Sh)T• Здесь и ниже все уравнения методов записаны на сетке uh.

Для метода (7), (8) доказаны оценки вида (1), (2) с у в роли v ^с заменой

ll/llz, 3(Q) На ЕГ=1 II f(i)llL2(Q) в °«eHKe (!) И II/(1)IIl2i1(Q) HaELJI/^IL (0.

в оценке (2); при этом в оценке (2) полагаем, что /(¿) = /Я9 -f- • Также

(J JL"i '

для него доказаны оценки дробного порядка 0((т+|^|2)^Л+1^2), Л £ (0,1) на классах, промежуточных между I и II. Для метода (9), (10) оценки вида (1), (2) (и оценки дробного порядка) были доказаны в [30]. Таким образом, оценки погрешности обоих локально-одномерных методов в норме L2(Q) на классах данных II и I оптимальны по порядку при £Г=1 II/(*)IIl2(q) ^ ^II/IIl2(Q)

и ЕГ=1 Н/^П^ 1(д) < ^Н/(1)Нь,л(Я) соответственно. (Через К (и К{) обозначаем положительные постоянные, не зависящие от т и /г.) Обратим также внимание на то, что здесь и ниже постоянные с > 0 могут зависеть только от п и от параметров метода (в частности, они не зависят от ...,ХП и Т).

Оценки же погрешности в норме ^(ф) на классе данных II (в предположении, что ЕГ=1 11/(011^(3) ^ ^11/11.1,2(<Э)) отличаются °т оптимальной по порядку оценки погрешности (3), если только не выполнено жесткое условие т < гДе ^пип = Именно, для метода (7), (8) верна оценка погрешности

п

г=1

п

Г

-ii/wHl,«» • («)

'imin,<i> w/j

Для метода (9), (10) верны оценки погрешности

п

W - v\\vM) < |Л|)(£ ll/(i)llil(g) +

г=1

п

W^X>-i(t,/0I|/(OII Li(g)], (12)

г=2

п

г=1

п

Т

г=2 Дшп

здесь (Зк(т,Н) = (Е?=1Ш=1Т/Ч^)1/2' Где ^ - ^ ^ = 1'П_1 ~

упорядоченная по неубыванию перестановка шагов /¿д., а /гтт,<г> =

= При п ^ 3 оценка (13) является, вооб-

ще говоря, существенно лучшей оценкой градиента погрешности, чем та, которая следует из (12). Для метода (9), (10) с = /, = 0, ^ = 2,п оценка (12) переходит в оценку (3), а сам метод эквивалентен в этом случае одному из методов с расщепляющимся оператором [18].

Для обоих методов доказаны оценки погрешности порядка 0(л/т + при некоторых дополнительных условиях на гладкость /. Выведен также набор оценок, дополняющих оценки (2) и (11), (13).

В §4 сформулированы векторные [1,2,12,13,55,68,71] параллельный метод

У{г)т -Щг>т-1 + ^^ + (1 _ ^+ £ Л = ^г ^

(Е + сгт Лг)?/(г-)0 = ид, г = 17п (15)

и последовательный метод

у^-у^-г ^.¿А + £ ^¡Уа)т~1 = /т'т> ¿ = М;(16)

т

.7 = 1

{

2/(1)0 = + тЛ,-)г/(00 = 4, г = 2^. (17)

Здесь — единичный оператор, т = 1, М, а через ^ обозначаем ^

В методе (14), (15) <т > п/2 — вес (параметр), не зависящий от /г и т. В отличие от локально-одномерных методов из §3, где уф, г = 1,п — вспомогательные функции, в векторных методах уф € г = 1, п — приближенные решения.

Начальные условия (15) и (17) являются новыми для сформулированных методов и позволяют улучшить их свойства. Так, показано, что приближенные решения уф в обоих методах при простейших начальных условиях уф о = г = 1,п и при /Л'т = 0, как правило, не стремятся к 0 при т —> оо. Использование же начальных условий (15) и (17) позволяет избежать указанного недостатка. В обоих векторных методах (с учетом начальных условий (15) и (17)) для каждой из функций у^, г = 1 , п выведены индивидуальные уравнения (т.е. в уравнение для уф не входят функции 2/0')' 3 Ф которые существенно используются при доказательстве оценок погрешности в §5.

В §5 для решений г = 1,п обоих векторных методов из §4 доказана на классе II оптимальная по порядку оценка погрешности вида (1) с у^ в

роли V. На классе I оптимальной оказалась только оценка для решения метода (16), (17). Для решений же у^ г = 1 ,п- 1 метода (16), (17) на классе I верна оценка погрешности

Для метода (14), (15) на классе I верна оценка погрешности {г = 1,п)

3

Также для обоих методов выведены оценки погрешности порядка 0((т +

£ (0,1) на соответствующих классах данных.

Получены оценки погрешности обоих векторных методов в норме У2(<5) на классе И. Оптимальной по порядку оказалась только оценка для у^ в методе (16), (17). Оценки же для у^, г — 1,п — 1 в методе (16), (17) и для у({)•> г = 1,п в методе (14), (15) (как и в случае оценок для локально-одномерных методов из §3) совпадают с оптимальными только в случае жесткого условия, связывающего шаги т и к. Кроме того, для метода (14), (15) выведены уточненные оценки для частных производных погрешности (г = 1,п, з = 1 ,п)

д(и~У(г)) Г, Г- ............ г

дх]

<с[(>Л:+|Л|)||(/,«о)||1 + Г11/||ьз(д)], ЗФ^ (181)

Ь2(Я)

<с(^+|Д|)||(/,п0)||1, ¿ = 1, (182)

Ьг{Я)

из которых следует, что при вычислении Уи в методе (14), (15) удобно

/дуду<п\\ _

полагать Уи « ( ,..., ——-1. Для решений у^, г = 1,п—1 метода

> С/ 2 и '

(16), (17) выведены оценки вида (18), причем оценка (18х) справедлива при 3 > г, а оценка (182) — при з ^ г.

В качестве приближенного решения метода (14), (15) можн