Об одном классе разностных схем метода переменных направлений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ 0$ТОТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ДАГХЕР КАТЯ

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ МЕТОДА ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИИ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК 1994

Работа выполнена в Институте математики АН Беларуси и Белорусском государственном университете.

Научные руководители:

доктор фпзнко-иатематическик паук, проФоссор АБРАШйЙ Бячоолав Николаевич, кандидат пко-математичоски;; наук,

ДЗЮБА Ирина Александровна

Официальные оппоненты:

доктор фиэико-математнческнн паук, -npoicccop ШШТШЯЕ'Л П,-тр Ильич кандидат «¡.•¡¡сшко-матоматических наук,

ПУРКО Владимир Адамович

Ведущая организация:

Институт математики и информатики АН Яциы С г. Впгьиюа).

Защита состоится " 27 " мая 1994 г. б 16 часов на заседании специализированного совета К 006.19.01 в Института математики АН Боларус.: по адресу : 320072 , г. Минск, ул. Сурганова, II, Институт математики АН Беларуси.

С диссертациоЛ могаю озпакомитьгея в библиотеке ■•«ститута математики АН Беларуси.

лсторефэрат разослан " апреля 1994 года.

'чений секретарь •педализированного совота •лчпидат <»из. -мат.- наук

J?J)e->wjwi'

А.Я.. АстровскиЯ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОИ РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы ¿ce большее практическое значение приобретает разработка эффективных численных методов решения многомерных задач математической физики, поскольку именно такие задачи являются наиболее распространенными при моделировании различных физических и технологических процессов.

Уже несколько десятилетий среди различных вычислительных алгоритмов решения подобных задач ведущее место занимают экономичные разностные схеш, то есть алгоритма, требующие для перехода с одного слоя по времени на другой числа арифметических действий, прямо пропорционального числу узлов пространственной сетки. Большой вклад в развитие теории я практики применения экономичных разностных схем внесли такие видные математики как Д. Писмен, X. Рэчфорд, Дж.Дуглас, Дж. Гаин, Н. Н. Яненко, А Самарский, Г.И.Марчук, А.И.Дьяконов, А.Н.Коновалов и многие другие.

Среди экономичных разностных алгоритмов принято выделять несколько больших групп : схемы переменных направлений, факторизации и расщепления. Однако, бесслорным лидером по частоте использования в многомерных случаях , является метод переменных направлений, предложенный в начале шестидесятых годов Писменом и Рэчфорд-м, а также его многочисленные модификации. Универсальность конструкции, простота применения, наличие полной аппроксимации, экономичность - основные достоинства этого метода. Но его классическая формулировка допускает безусловность устойчивости только в двухкомпонентном случае, что усложняет процесс решения задач при числе пространственных переменных, большем двух.

Поэтому серьезным достижением в области развития методов этого типа явилось создание алгоритмов многокомпонентного метода переменных направлений, предложенных В. Н. Абрашиным и развиваемых его учениками применительно к конкретным классам задач математической физики. Введение в рассмотрение р компонент решения исходной задачи позволяет получить экономичные, безусловно устойчивые для любой размерности разностные алгоритмы. Они обладают полной аппроксимацией и легко переносятся на случай

областей с криволинейное границей. Конечно, по сравнении с методами расцепления, многокомпонентные разностные схемы переменных направлений требупт при расчетах использования большего объема памяти ЭВМ для хранения промежуточной информации, но это в полной мере окупается повышением точности получаемых результатов.

Однако, в проведенных ранее исследованиях, регуляризируюций оператор был существенно связан с видом коэффициентов исходной дифференциальной задачи, особенно при наличии зависимости этих коэффициентов от х, I, что значительно усложняло расчеты и снижало их эффективность.

Целью работы является построение и исследование разностных схем многокомпонентного мьтода переменных направлений с регуляризаторами постоянной структуры для решения различных задач математической физики.

Научная новизна. Предложенные в диссертации экономичные алгоритмы с регуляриэатором постоянной структуры позволяют не только сохранить все преимущества многокомпонентного метода переменных направлений решения различных типов задач математической физики в пространственных областях различной формы, но и организовать практически® расчеты с существенной экономией ресурсов памяти ЭВМ, а также проводить параллельные вычисления.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при решении иирокого класса многомерных параболических и гиперболических уравнений как в прямоугольных, так и в областях болеа слоащой структуры.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах в отделе численных методов математической физики Института математики АНБ и объединенной семинаре кафедр вычислительной математики и математической физики факультета прикладной математики Белгосуииверситета имени В.И.Ленина.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах .1 1,2 )..

Структура и обьеы работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы, содержащего 68 наименований. Общий объем работы - 91 страница.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор литературы по теме диссертации, а также обоснована актуальность проведенных исследований и изложено их основное содержание.

В первой главе рассмотрены многокомпонентные разностные схемы метода переменных направлений с постоянным регуляризаторм решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.

В #1 рассмотрена постановка дифференциальной задачи в прямоугольном параллелепипеде:

" ^ ^ + Г Сх'и -х € П , 0 < I < Т

а=1

= с у •«- г"р

в области П - { 0 < хд < , а - 1Гр >, с начальными данными и Сх.ОЗ = и Сх) ,х е П,

О

Л

и граничными условиями:

и^ =0 , Г =П \ П .

Кратко освещен вопрос дискретизации пространственно-временной области и предложены два класса алгоритмов многокомпонентного метода переменных направлений с постоянным регуляризатором : двуя-и трехслойные: '

= т °а Уа1хвха + ) л/3 Ц + <>

Ар Ур = (ар У&Р

л/? У/г Е (ар У/зх^ ' Сх'1) € "ьт •

Они отличаются не только видом регуляризирующего оператора, но и порядком аппроксимации п переменной времени. При этом как двухслойные, так и трехслойные разностные схемы, предложенные в диссертационной работе, являются экономичными, реализуются путем последовательного применения метода одномерной трехточечной прогонки и допускают распараллеливание вычислений.

Один из пунктов первого параграфа посвящен вопросам эффективной организации вычислений. В нем на примере решения трехмерной задачи теплопроводности показано, как проводить расчеты с наибольшей степенью экономии ресурсов памяти ЭВМ.

Второй параграф первой гяавы содерыгг исследование предложенных схем многокомпонентного метода переменных направлений. Без ограничений на свойства одномерны): разностных операторов доказана безусловная устойчивость и сходимость предлагаемая схем н получены следуювдэ энергетические оценки :

+ -|р~ ет С СИ у<0>) + Т гсах II р^Н* 1 ^

где 0 Су) = И У Ла уа + р II -для двухслойного;

тй и> в г^ У- <0» в <») в Ч

I "X 3»А 2 I 11 У«ха ПаЧУсйЛА -+ еС'Т(0*( у<0,)+ 2СТ Т п^х(11 р^'Г* II * » + р^'н*)], ,Д0 СНУ> - т'Ку) + ^ сгоа II у^ „I +

+ 4" Ла(Уа +У« "Г 11 ^ Ла% +У« 2С Р ^

а=1 ой.

■для трехслойного алгоритма.

3 третьем параграфе содержаться некоторые обобщения ¡редлагаемых алгоритмов иногоксипонептпого ¡¡с-тода переменных управлений, В частности, анализируется специфика их применения и :сслег,озания з случае, когда ксэ^щщскти исходной .п^'Зронциалыюл задачи зависят не только от но п от I. [оказано, что при атом остаются слраБсдлнпы.'.ш ранее ■формулированные теорему.

На оснс..е полученных результатов рассмотрен алгоритм .вскретазацая и особенности применения разностных схем редлагаемого типа п областях с кризолинейпой границей и вслучае раезых условий второго и третьего рода.

Последний пункт этого параграфа посвящен исследованию азностн "х схем шогококпонентпого метода переменных направлений ля систем параболических уравнений, и получена оценка :

I ¿/<-4 <>и

Б=1 а=1 ст 5=1 а=1 а

+ ет С О* С у<0,3 + Т шах V II ^Я'Г ).

Вторая глава диссертационной работы содержит анализ многокомпонентных разностных схем с постоянным регуляризатором для гиперболических уравнений второго порядка :

ЯТ М + г • С»

где I - эллиптический оператор.вида

«=1 "

с соответствующими начальными :

иСх,0) = и>с(х) , ^^ = 1^<хЗ . х «= П . (8)

<

и однородными граничными условиями первого рода:

иСх.О * 0 , (х.О е Г * )0,Т). (3)

В четвертом параграфе второй главы для (1 ) - СЗ 3 построены трехслойные разностные алгоритмы из класса многокомпонентных методов переменных направлений с постоянным регуляризаторм, имеющие второй порядок аппроксимации как по пространственным переменным, так и по времени :

У«а = Т'Ч« У«ШЛ - °»а УаИ 5 + ^ кр У/3 + * •

. V/!' '

Начальные данные и граничные условия аппроксимируются обычным образом.

В пятом ' параграфе энергетическим ывтодом проведено

[сследование предлагаемых в диссертационной работе алгоритмов,

[оказаны теоремы безусловной устойчивости и сходимости и получены ¡ценки :

О* С у) 5 е°Т < О* С у<0>) +

+ 2СвТ шах(II + р^'н"* II р^'Н*^

где 0'(у) = т'Ку) + £ 11 У(Л5 .+ 4г 2 I! Уа1- 1 \1

а=1 а=1

Ла(Уа +Уа И + "Г 11> А«СУ<х +У« ^ 2С р )11

5=1 а=1

^ Н 2ЪН < С С

а=1 а=1

Са,С - полояительныэ постоянные, - погрешность разностной

здачи. Следует подчеркнуть, что при этом не возникает никаких

эполнительных ограничений на свойства дифференциального и

азностных операторов. В этом параграфе такие содержаться

экотор де обобщения С случай коэффициентов, зависящих от I,

энволинейной области, систем уравнений ), Исследование свойств

шге разностных алгоритмов проводится при это« без существенных

зменений.

Третья глава посвящена изучении итерационных алгоритмов гогокомпонентного метода переменных н" правлений, которые довольно [фжтявно применяются для решения многомерных задач тематической физики наряду с экономичными методами.

В вестом параграфе рассмотрены и исследованы итерационные зоцессы указанного типа для параболических и гиперболических завнений второго порядка, в сеточном аналоге нормы

О* = irí 11 £ л«р«'* +

ей а сЙ

+ ■ <Цх« "А •

В седьмом параграфе третьей главы аналогичные результаты получены для задач со смешанными производными.

В приложении приведены результаты численных расчетов по сравнении предлагаемых в диссертационной работе схем с постоянным регуляризатором с другими алгоритмами многокомпонентного метода переменных направлений. Полученные данные полностью согласуются с основными теоретическими положе иями диссертационной работы и подтверждают эффективность использования предложенных в ней алгоритмов.

ОСНОВНЫЕ РЕГ'УЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Для многомерных параболических и гиперболических задач построены экономичные разностные схемы многокомпонентного метода переменных направлений с постоянным регуляризатором, допускавшие распараллеливание вычислений;

2. Методом энергетических неравенств доказана безусловная устойчивость и сходимость предлагаемых алгоритмов;

3. Потсроены и изучены распаралелленные итерационные алгоритмы реализации неявных многомерных разностных схем для решения параболических и гипрболических уравнений второго порядка, в том числе со смешанными производными.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Дагхер К. Об одном способе регуляризации многокомпонентных разностных схем для систем нестационарных уравнений. //Дифференц. уравнения. /ь печати /.

2. Дагхер К. Дэюба И.А. Об одном способе регуляризации многокомпонентных разностных схем. //Дифференц. уравнения. 1093. Т. 29, N 7. С. 1174-1178.