Сходимость разностных методов для нелинейных уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

§ I. Вспомогательные сведения и результаты

§ 2. Решаемая задача и разностная схема

2.1. Постановка задачи . . . . .29 '

2.2. О гладкости решения задачи (2.1)

§ 3. Дискретные теоремы вложения.

§ 4. Свойства разностного оператора.

4.1. Дифференцируемость оператора А^

4.2. Неравенство коэрцитивности

4.3. Неравенство коэрцитивности для частного случая

§ 5. Локальная сходимость разностного метода

5.1. Дискретно сходящиеся последовательности операторов.

5.2. Сходимость разностного метода.

§ 6. Сходимость разностного метода в случае малого свободного члена.

§ 7. Корректность разностных схем для квазилинейных параболических уравнений

7.1. Неявная схема

7.2. Явная схема

7.3. Схема Кранка - Николсона

7.4. Метод интерации.

I. Настоящая диссертация посвящена исследованию разностных методов приближенного решения первой краевой задачи для эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка. При этом исследованию подлежат весьма конкретные задачи, связанные с эллиптическим оператором со слабыми нелинейностями в коэффициентах:

Аи = H°(S11> m=a'(I)

Известно (см. [34] , [Зб] ), что к эллиптическим уравнениям вида u-GHifSl), jsLJSL) (2) приводят задачи о стационарном распределении тепла, задачи диффузии, электростатики.

Нестационарный процесс теплопроводности описывают параболические уравнения bj-i г

Кроме того, к случаю, когда коэффициенты являются функциями от решения приводят задачи механики нефтяных резервуаров (см. [ё] ). Исследование такого типа задач было начато Дугласом и Дюпоном в [5l] . Они рассматривают диффузионную задачу

4)

ЬС (x,i) = 0 , X е ЭИ , t > О , u,(<t,o) = u„fe) осе SI, где .0. с ограниченная область; предполагается, что матрица размера тхт- вещественна, симметрична и равномерно положительно определена.

Нетрудно показать, что оператор А не является монотонным оператором. В связи с этим отметим, что эллиптические дифференциальные уравнения с монотонным оператором довольно глубоко исследованы (см. [22, б, 10, 2] ). Вопрос разрешимости уравнения (2), т.е. уравнения с немонотонным оператором менее исследован. В этом отношении можно указать на следующую задачу Дирихле, не содержащую смешанных производных:

JUL= g М на dSl . (5)

Проблема разрешимости задачи (5) изучается в [бз] . Там предполагается, что Sic. (tn.-Zj3) - ограниченная область с достаточно гладкой границей a ct'fejU,) дважды непрерывно дифференцируемое отображение из в [ос0 Л] , где О<ос0 о 9 причем производные от 0,(0,41) до второго порядка ограничены на -£1*/?. Утверждается, что если С^СИ)(0,4) и если функция ^М продолжаема на всю область SL так, что g faO € то задача (5) имеет единственное решение лл- в C^^Sl) (пространство CK+<3L(Sl) означает здесь пространство Гельдера).

С приближенным решением задачи (5) связана работа [52] , где исследуется метод Галеркина.

Отметим, что задача о положительном собственном значении нелинейного оператора (I) рассматривается в [50] .

Ситуация аналогична и при исследовании разностных методов для нелинейных эллиптических уравнений. Разностный метод решения эллиптических задач с монотонными операторами подробно разработан многими авторами (см. [7, 8, 12, 16, 17, 18, 23, 56] ), однако этого нельзя сказать о задаче (2). В названных работах сходимость разностного метода достигается в метрике соболевского пространства W4,P ( в случае уравнения второго порядка). Сходимость разностного метода в более сильных нормах, как правило, достигается за счет неравенств коэрцитивности. Для линейного эллиптического оператора второго порядка под неравенством коэрцитивности понимают неравенства вида

4u,|0»f (u/fb-clu.lj, где |[оо||к означает норму в Нк- Для задачи Дирихле линейного эллиптического уравнения такое неравенство хорошо известно (см. [22] ). Для соответствующих разностных задач неравенства коэрцитивности установлены в [12, 4l] . Для разностной задачи, аппроксимирующей задачу о периодических решениях линейного эллиптического уравнения, имеется неравенство коэрцитивности в [4] . В [II, 24] приведены неравенства коэрцитивности для разностных операторов, аппроксимирующих нелинейные сильно монотонные эллиптические оператор!.

Неравенства коэрцитивности известны ещё в некотором эквивалентном виде, как неравенства типа "острого угла" (см. [39, 40, 25] ).

Результаты, относящиеся к разрешимости нелинейных параболических уравнений с сильно монотонной пространственной частью, имеются, например, в [б, К)] . Исследованием разностного метода для названных задач занимались в работах [13, 19] . В [26, 27, 28, 29] исследованию подлежит корректность двухслойной разностной схемы в?* + А«г{ , где В,А разностные оператора, причем А - нелинейный. В качестве применения полученных результатов в названных ра -ботах исследуются и разностные схемы для разных краевых за -дач параболического уравнения (3). Относительно изучения двухслойных схем с весами можно сослаться на [30, 3l] . B[3l] полученные результаты применяются при исследовании неявной разностной схемы для параболического уравнения (3).

Отметим ещё, что в [5l] рассматриваются вопросы, связанные с использованием метода Галеркина. Именно, при приближенном решении задачи (4) предлагаются численные процедуры, основанные на методе Галеркина, для дискретных моментов времени. При этом производится дискретизация по времени аналогично разностной схеме Кранка-Николсона.

С вопросами разрешимости нелинейного параболического уравнения связана работа [54] .

Основной целью настоящей работы является исследование сходимости разностного метода для решения квазилинейной эллиптической задачи (2) в двух- и трехмерном единичном кубе. Первые четыре параграфа диссертации имеют в этом смысле вспомогательный характер, хотя выведенные там результаты представляют и самостоятельный интерес. В том числе некоторые специальные дискретные аналоги теорем вложения Соболева, неравенство коэрцитивности и т.д. Вопросы же сходимости разностного метода в метрике соболевского пространства Н5* изучаются в параграфах 5 и б. Последний параграф посвящен исследованию разностных схем для нелинейных параболических уравнений.

2. Изложим более подробно содержание и основные результаты диссертации.

В § I приводятся вспомогательные результаты и сведения, которые используются в дальнейшем на протяжении всей работы. Сюда относятся всякие пространства, нормы, теоремы вложения как в непрерывном, так и в дискретном случае.

Затем, в § 2 формулируется изучаемая задача, которой во всей диссертации уделяется основное внимание. Именно, рассмотрению подлежит задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка в виде { , |б UCil), (б) с (немонотонным) оператором

А и-^(^fc^Jj:)* aate^cLjdXtU,). tjj-'i i

Здесь SI - единичный куб размерности или m - 3 .

Предполагается, что выполнены условия:

I) оператор А эллиптический, т.е. для каждого ct>0 существует такое число , что при всех ^ eR

Е-л,cl] справедливо at;fie,J

II) функции dij(x,ic) Имеют непрерывные производные до порядка s (s7/4) и

I * ^, /U.уц- 0,4,., S ; 4 s, щри всех хе 12, лее [-а,а,] с^,- положительная постоянная, зависящая от <Х .

В § 2 приводится и разностная задача, аппроксимирующая задачу (6). Именно, рассматривается следующая дискретизация

А^ = fa , у б Httsio, ^ (?) где jQ.^-равномерная сетка с шагом Л,- на области £1 .

Кроме того, в параграфе 2 изучаются вопросы разрешимости задачи (6).

Теорема I. Допустим, что выполнены условия (I), (II) с s=3. Пусть || [ A'fO)]H (USL)} H*(Sl)) * гг и пусть число а выбрано настолько малым, что Я с,-dec'сь (3+ , о

О^су <4. Тогда при таких , для которых II| ll0 ^ уравнение (6) имеет в шаре llu-il^a, единственное решение

Ho(SL) (с- const > о из теорем вложения). В § 2 имеется и аналогичный результат о разрешимости уравнения (6) в Но№).

В § 3 доказаны некоторые дискретные аналоги теорем вложения Соболева для так называемых промежуточных пространств.

В том числе имеется и разностный аналог теоремы о компактном вложении. Отметим, что некоторые теоремы такого рода имеются в [13] • Приведенные в диссертации теоремы вложения являются важным средством во всей работе. С их помощью доказываются все результаты, позволяющие установить сходимость разностного метода.

Теорема 2. Дня сеточных функций , продолженных нулем на границу имеют место неравенства

1*»1еса0 4 c-lyltfi > i^„ад « с h Ц , Р» hl"fc'3'

Л m где 11^ Ц = IIЛ^ И. , л^-Е д-А , II • ||0 = II • И^зд , т, - либо разность дс , либо либо симметрическая разность Э^ = др ( Эг+^).

Как следствие приведенной теоремы в параграфе 3 получен еще дискретный аналог неравенства Ниренберга.

Следствие I. Имеет место неравенство где Й^Ид,» .

Целый ряд неравенств Ниренберга, как в мультипликативной, так и в аддитивной форме имеется в [32, 33, 42] .

Введем оператор ^е £ ( Lp (Si);Lj> (SlfS)),, действующий по формуле где 9f(|) элементарная ячейка объема № с центром в точores) = {00= Сос^фО, 4f%< ^ + T, J ■- V-.,.

Теорема 3. Пусть сеточные функции, продолженные нулем на границу Тогда имеют место неравенства li^JW) < l^d^i) & * «дсЦ, KTV-M, причем из условия Н^Цд,^ con^i (rieN) следует, что последовательности (^fj и (dcjjf) дискретно компактны в следующем смысле: для каждого бесконечного подмножества N'c Л/ существует бесконечное подмножество N//cN/ и функция а такие, что имеет место сходимость

Здесь А/-множество натуральных чисел).

Четвертый параграф посвящен исследованию свойств разностного оператора. Именно, рассматриваются свойства, связанные с дифференцируемостыо оператора Но Lz(Sl(). Сформулируем их в виде лемм.

Лемма I. Пусть выполнено условие (II) с £>»3 .Тогда оператор НоСО.^)""* ^(^дифференцируем по Фреше и имеет место неравенство

II-А^I kMJy-irll^^eHZC&O, HJM** а. где Ma, = c,da, (Х + ^сь-ьа,*') >, Го^д) + Cay ц) э^)] -(эл +э. (=

L>rA

Демма 2. Пусть выполнено условие (II) с 5-3 • Тогда имеет место

II >£<?)-и *

4 С ^ - fj 1Х ( в + 5II ц Ид, + II ^ + II ^ |£ + II nk ty ,

Лемма 3. Пусть выполнены условия (I), (II) с s»3 и пусть ^ е Hi(Sl(J такой, что || rj 4 а. Тогда где ^ = ^ ( 6 ] у

Следующая теорема описывает основное свойство оператора /4^. Эт° свойство - неравенство коэрцитивности.

Теорема 4. Пусть выполнены (I), (II) с 5=3. Тогда для любых Ojy'v-e Ho(£LfJ9 11^ Ид,, iMl^tf- имеет место а вместе с тем

IНо , где С^ 3 + Гaej^ (Ас^(бл + а^ ,

Следствие 2. В предположениях теоремы 4 имеет место также неравенство

А^-А^г, Чу-С" ciJ*) -лг»? где а выбрано так, чтобы выполнялось равенство ^ ^ (с, Сбгн-а^бг + ,

В случае, когда коэффициенты a)=aj(u) , т.е. зависят только от ал- , имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Пусть выполнены условия (I), (II) с aij (х, -а) = acj Си) и с 5 = 3. Тогда для любых /ij, лг е Но (il^J) ^ JlojJI^ ? J|/ir Ид, £ а, имеет место a также где = ae^ (Acd^ (5л+ a*))^ ;

А^ = £ [ ^Uytyfjf (ay.

Отметим, что коэффициенты с^ и С^ отличаются качественно: в то время, когда toff о при а,-* о, этого нельзя сказать относительно коэффициентов Со, . Последнее обстоятельство в случае а.^ (х., ьс) = а.^ (-а) для доказательства разрешимости разностной задачи при условии малости свободного члена позволяет пользоваться принципом сжатых отображений.

В § 5 исследуется локальная сходимость разностного метода, т.е. сходимость разностного метода в некоторой окрестности решения задачи (6). Предполагается, что уравнение (6) имеет решение Но Как следует из теоремы I, это справедливо, например, при достаточно малых по норме ^ . Исследование сходимости разностного метода основывается на абстрактной теореме о методах дискретизации из [з] , для проверки условий которой служат приводимые ниже леммы.

Демма 4. Пусть выполнены условия (I), (II) с s= Ъ . Тогда оператор А : Но Ш) L^(Sl) дифференцируем по Фреше в точке и? и производная A'Cu.*") fc<£ (ПоСЗД, Lz(Sl)) -Шредгольмов оператор с irvd А'(и?)-О ,

Введем оператор Но №), Ло №-0), действующий по формуле

Лемма 5. Пусть выполнено условие (II) с Тогда имеют место

Лемма б. Пусть выполнено условие (II) с ь^Ч . Тогда H'jp^)^,- О при 0.

Лемма 7. Пусть выполнены условия (I), (II) с Тогда последовательность операторов А^Ср^и?) регулярно сходится к оператору А'(и?)*

Из лемм 2, 4, 5, б, 7 на основе абстрактной теоремы из [3] вытекает следующий основной результат.

Теорема б. Пусть выполнены условия (I), (II) с и? € Но (•&) , Ио"^ 0 ) ^ в Пусть однородное уравнение /4'Си^9лг = о имеет в Но (Si) лишь тривиальное решение. Тогда найдется такое > что уравнение (7) для почти всех h, имеет в шаре IIл(Ч^^^о единственное решение , причем l^t-pXl*"*0

Если ju?€ и В fk-fy^flo-W') , то

Отметим, что если известно достаточно хорошее начальное приближение к ^ , то это решение можно найти методом Ньютона-Канторовича.

В § б на основе принципа сжатых отображений излагается доказательство сходимости разностного метода. Доказательство, по сравнению с предыдущим параграфом, существенно проще, и позволяет для решения разностной задачи применять метод простой итерации. Но доказательство удалось провести лишь в частном случае, когда в предположении равномерной эллиптичности оператора

Aw, = , atjCcO-^Co,).

Итак, на протяжении § б предполагается, что выполнены условия:

10 оператор А • Hi(Sl) равномерно эллиптический, т.е. существует такое число 2£>о , что m i^t

6 о 6=4 при всех 'Si&R.; осе SI j llG 1~cl> о-] • (II ) функции clu (о,) дифференцируемы и при всех xe-SZ ^ g C-a^aJ ? положительная постоянная, зависящая от а .

Лемма 8. Пусть выполнено условие (II'). Тогда оператор

А^' Но L^(Slj^) дифференцируем по Фреше и имеет место где М^-О cl^ (4 + ,

Теорема 7. Пусть выполнены условия

I ), (II ) и пусть сь?0 достаточно мало, так что (А/+оС)Сси, 4 & с Тогда уравнение имеет в шаре sa = { ^ 6 Ht (SLO : II ч 6 {Л единственное решение aj* , для которого при по норме сходятся последовательные приближения $=,1, f= о с оценкой где + .

Так как , а = л

- д^ (см. теорему 5), то требование ^ влечет за собой ограничение на малость свободного члена ^:

Относительно сходимости разностного метода справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Пусть имеют место

1) условия (i'), (II*);

2) >

3) + л- ^ , cLyO .

Тогда ut О при и? е HjCA). Если, кроме того, шив Ц^"6^^ W'*') » т0 имеет место ~ ,*п

§ 7 посвящен исследованию разностных схем для решения задачи fj + = { , Л&SI , -Ь в (0,Т] ^ jll(^O) a tc0(gt) , осв51, (8) где = '

Пусть выполнены условия: (i") для кавдого ex. у о существует такое число ми что при всех cteil СО,Т]? справедливо гл. m

11'') функции a-ijCon,-6, u) дифференцируемы и I

Чхе SL} bblo^T]} u.e t-a,,aS\ y

На отрезке C°,T] вводится сетка с шагом ^ - : с «{tfcefc.V, , причем со * [ £ е бО^ ? о<£ rs \jb е сАс ? о ^ t < Т^ .

Рассматривается следующая дискретизация оператора А(£) : У

В § 7 исследуется 3 разностных схемы: неявная схема, явная схема и схема Кранка-Николсона. о

1 Неявная схема, о

2 Явная схема.

Г 4-AtvMy = , со; t

Aj = ^ (*) ^ 6 HjCQ. J, 4 £ Mr , где ^ s ^ fc -t); А^(^--С), (4 -c) .

3° Схема Кранка-Николсона. (as, o) = tc0 (ce-) , о: e Si^ , ^ = у Ct) fat) e Ho (SI Д , где ^ ^ = X

Исследование корректности приведенных разностных схем основывается на общей теореме из [3l] и осуществляется довольно просто, благодаря неравенству коэрцитивности. Во всех случаях изучается корректность в соболевском пространстве Ил .

Предполагается, что задача (8) имеет достаточно гладкое решение и рассматривается окрестность щ с [лг(-е)еН40 (Slf), * е , -pbrtidII

Со- Const >0.

Теорема 9. Пусть выполнены условия (I ), (II ). Пусть fv^coKbty О такая, что выполнялось 4-ЯЯС Тогда при достаточно малых к и tv схема 1° имеет единственное решение Aj*(t)€/U(f и при II ^кт"6^^ И0-- €(№+€) имеет место оценка гщ lltf(i) - f>hu*(t) I, = .

Здесь и далее сл - коэффициент из неравенства коэрцитивности (см. следствие 2).

Теорема 10. Пусть выполнены условия (I ), (II") и откуда следует, что tf - . Тогда при достаточно малых

I и t схема 2° имеет единственное решение и при II fyf Но ~ QifJ'-rt) имеет место оценка maz Ш-к) -fnvtCk)!!< =» ®(fS+<c).

Теорема II. Пусть выполнены условия (I ), (II ). Пусть гь. - coH-bt? о такая, что выполнялось .

Тогда при достаточно малых L и п,л (ъы^^) схема 3° имеет единственное решение и при

Hfbr - (pW+V*) имеет место оценка

В заключение перечислим основные результаты работы.

1. Даны условия разрешимости слабо нелинейной задачи (б) в соболевском пространстве Н> а также в пространстве Но№).

2. Установлены некоторые специальные дискретные аналоги теорем вложения Соболева.

3. Доказан ряд свойств разностного оператора А^ , в том числе неравенство коэрцитивности.

4. Доказана сходимость разностного метода дня приближенного решения нелинейной задачи (б). Указаны условия, при которых метод сходится со скоростью • для решения разностной задачи (7) применим метод Ньютона-Канторовича.

В частном случае (когда коэффициенты а у зависят только от U>) для сходимости разностного метода построено доказательство, основывающееся на принципе сжатых отображений; в этом случае для решения разностной задачи применим неявный метод простой итерации.

5. Установлена корректность разностных схем трех видов для нелинейного уравнения параболического типа.

Основные результаты диссертации изложены в работах [44-49] и докладывались в ХУ Воронежской зимней математической школе (1981 г.), на симпозиумах "Методы решения нелинейных уравнений"(II симпозиум в г. Хаапсалу - 1981 г., III симпозиум в г. Таллин - 1984 г.), на конференции "Методы алгебры и анализа" (Тарту - 1983 г.), на семинаре кафедры вычислительной математики Казанского университета.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. Г.М.Вайникко.

§1. Вспомогательные сведения и результаты

Рассмотрим в пространстве RM единичный гиперкуб £1 а (о< xi <4 , = с границей е>11 и с замыканием . На замкнутой области л определим пространство C^f-SZ) - множество j раз непрерывно дифференцируемых на S1 функций; пространство Lp(S2) (4 D 4 =о) о нормой пространство Соболева Iс нормой г к/<к л где ос = (oL^,.^^ - m-мерный мультииндекс и

•тчвб Э

Далее обозначим иС'ЧЛ) U6 V^PCQ), M-ls^aO) , н; (.п.) = и/*'* (л).

Известно (см., например, [б]), что пространство Н^СЛ) = ss Wk,x^(Sl) является гильбертовым пространством, т.к. норма Ц ии Ц к х |{ оь Цх ^ порождена скалярным произведением Iol^KA

В дальнейшем при К -О пользуемся обозначением (tL,tr) = = (и,лг)0 .В основном для пространств Но при Кбудем пользоваться эквивалентной нормой

Напомним теорему вложения Соболева (см., например, [38)). Теорема вложения Соболева.

1. Если ~ - 4-£-<4 , 4 4 р < <*> , j < к.? то WK'?(Sl) с. W^'^CSl) и имеет место если -4- - <£<4 Об j с к, , то пространство компактно вложено в пространство W^(Sl).

2. Если 4 - -^fi < О

Р т ) то имеет место компактное вложение 1л/к,'?т)с и справедливо неравенство

• *ei&ft) 6 с 11 К,I vu-e .

В замкнутой области Si образуем сетку с узлами ^ : и обозначим

SL , Э&^а^ПЭЛ .

Через ц^уСоь) будем обозначать определенные на Sl^ числовые функции - сеточные функции. Они образуют конечномерное пространство, размерность которого равна числу узлов в Sl^ . В случаях, когда необходимо подчеркнуть зависимость от сеточной функции /ij , будем пользоваться обозначением =

Введем элементарные разностные операторы Э^ и , действующие на сеточные функции следующим образом: где

Во многих рассуждениях важное значение имеют формулы суммирования по частям. Пусть иьи , ьг^ - произвольные числа. Тогда имеют место тождества (см. [35]) h-Л Л c~i с = о

Обозначим через Lp & пространство сеточных функций j : с нормой b 'eta,) = h L.caOB f> — при р-Л используем также обозначение fl-tj lf0- ^ Ull(sIi) ).

Далее наряду с пространством We'4-Q-) введем и его разностный аналог - пространство Соболева сеточных функций oj: Sl^-? я , продолженных нулем на границу 9 с нормой где такая максимальная подсетка сетки И^, что разность Э°Ч| ~ у, не использует значений вне

В частном случае обозначим

Для H^(SlfJ) , к.1,1/ введем и некоторые эквивалентные нормы. Для этого рассмотрим следующие сеточные множества, скалярные произведения и нормы: ■b'U Kj f

• » fy-O. = (у,") = V®^ j frw

Ik= , = ,

J t

В этих обозначениях

Из формул суммирования по частям следует, что для сеточных функций R » продолженных нулем на границу имеет место т. i^, = 13 с,-Z ** .

Действительно, и значит

Здесь мы учли, что ^foa^O , откуда следует, что = = = 0 при Tj-0,4 , . При на основе последнего имеем откуда

Из этого и из неравенства Фридрихса (см.,например [25] )

II 3 Но 4 £ вытекает эквивалентность норм ll^j-IL,^ и Н^Иа, Действительно, так как то из неравенства Фридрихса следует

Ц t * а"5-" изС i ii^ п. или

I^I.^A-^lAfcijb .

Значит и

И % IIlb = I■% С + IIЧ UN I lit «« (< + V**-* А-4"") II £ lit

Последнее неравенство известно из [.55] . Кроме того

С=h£+ h С6 (/|+ ^ 11 з tf •

Иногда пользуемся и нормой m. т где

11-э пи =1«ц^ = I и»га ,

XeSl^

Всюду в дальнейшем через N « ( А} . ^ обозначаем множество натуральных чисел, через N' , N" и т.д. -его бесконечные подмножества. Запись сх, (ке.Ы') будет обозначать, что (числовая) последовательность (tf-Ohetf' при У1- «*> стремится к си .

Через <£ (Е, F) мы обозначаем пространство линейных ограниченных операторов из банахова пространства Е в банахово пространство F , определенных на всем Е .

1. Андреев В.Б. О равномерной сходимости некоторых разностных схем. -Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, т. 6, 2, с. 238-250. й

2. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных раторов. -М.: Наука, 1972. -415 с.

3. Вайникко Г. Анализ дискретизационных методов.-Тарту: Издво Тартуск. ун-та, 1976. -160 с.

4. Вайникко P.M., Тамме Э.Э. Сходимость разностного метода в задаче о периодических решениях уравнений эллиптического типа. -Ж. вычисл. матем. и матем.физ., 1976, Ji 3, с. 652-664. i

5. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации численном анализе. -М.: Мир, 1974. -124 с.

6. Раевский X., Ррегер К., Захариас К. Нелинейные -М.: Мир, 1978. -336 с.

7. Рлушенков В.Д., Ляшко А,Д. О разностной аппроксимации задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения в области с криволинейной границей. -Изв.вузов.Матем., 1977, 10, с. 50-55. 8. ГУдович Н.Н. О применении разностного метода к т. 179, 6, с. I257-I266. решению операторв т.16, опеные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. нелинейных эллиптических уравнений. -Докл. АН СССР,1968,

8. Гурова И.Н. Дробные степени разностных операторов канд. физ.-мат. наук. -Воронеж, 1980. Н Е с.

9. Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические т. 23, f I, с. 45-90.

10. Дьяконов Е.Г. О сходимости одного итерационного процесса. -Усп. матем. наук, 1966, т. 21, I, с. 179-182.

11. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. Вып. I. -М.: Изд-во МГУ, I97I. -240 с.

12. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. и параболии их приложения в теории нелинейных разностных схем. -Дис... ческие уравнения любого порядка. -Усп. матем.наук, 1968, Вып. II. -М.: Изд-во МГУ, 1972. -227 с.

13. Зарубин А.Г., Тиунчик М.Ф. Приближенные методы решения -Ж. одного класса нелинейных операторных уравнений. 576. вычисл. матем. и матем. физ., 1976, т. 16. К 3,с. 567»

14. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1977. -741 с.

15. Карчевский М.М. Разностные схемы для квазилинейных с. 48-58.

16. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. Казан, ун-та, 1976. -156 с.

17. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений, I. -Изв. вузов. Матем., 1972, II, с. 23-31. -Казань: Изд-во эллиптических уравнений. -Изв. вузов. Матем., 1970, 9,

18. Карчевский М.М., Лапин А.В., Ляшко А.Д. Экономичные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений. -Изв. вузов. Матем., 1972, 3 с. 23-31.

19. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Ру- тицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. -М.: Наука, 1969. -455 с.

20. Кузьменков В.А. О разностном аналоге одного мультипликативного неравенства, -Вестник вып. 2, Щ7, с. 150-152.

21. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные ные уравнения эллиптического типа. -М.: -576 с.

22. Лапин А.В., Ляшко А.Д. Исследование метода сеток для нелинейных эллиптических уравнений любого порядка. -Изв. вузов. Матем., 1970, 10, с. 37-43.

23. Лапин А.В. Исследование сходимости норме \л/ с. I5I6-I525.

24. Лапин А.В. О корректности и сходимости в сильной норме разностных схем в и квазилинейНаука, 1

25. Ленинг. ун-та, 1968, для квазилинейных эллиптических уравнений. -Ж. вычисл. матем. и матем,физ., 1974, т. 14, 6 разностных схем для квазилинейных параболических уравнений, I. -Изв. вузов. Матем., Т974, 7 с. 42-52.

26. Лапин А.В., Ляшко А.Д. Исследование разностных схем для одного класса квазилинейных параболических -Изв. вузов. Матем., 1973, I, с. 71-77.

27. Лапин А.В., Ляшко А.Д. О сходимости разностных схем для квазилинейных уравнений, параболических на решении. Изв. вузов. Матем., 1975, Ш 12, с. 30-42. уравнений.

28. Лбшин А.В. О корректности в сильной норме нелинейной по уравнений. -В сб.: Сборник асп. работ. Матем. Вып. I. Казань: Изд-во Казан.ун-та, двухслойной разностной схемы, -В сб.: Исследования та, 1973, с. 71-81.

29. Лапин А.В. О корректности нелинейной двухслойной прикладной математике. Вып. I. Казань:Изд-во Казан.унразприкностной схемы с весами. -В сб.: Исследования по 1973, с. 82-89. ладной математике. Вып. I. Казань: Изд-во Казан, ун-та,

30. Ляшко А,Д., Федотов Е.М. О корректности нелинейных двухслойных операторно-разностных схем. -Дифференц. уравнения, I98I, т. 17, 7, с. I304-I3I6.

31. Негинский В.А., Соболевский П.Е. Разностные аналоги теорем вложения и интерполяционных неравенств. -В сб.: Тр. матем. ф-та Воронеж, ун-та. Вып. первый. Воронеж: Издво Воронеж, ун-та, 1970, с. 72-81.

32. Поличка А.Е., Соболевский П.Е. Новые Lt> -оценки для разностных параболических задач. -Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 16, 5, с. 1155-ПбЗ.

33. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. -М,: Наука, 1976. -350 с. 35 Самарский А.А. Теория разностных схем.-М.: Наука, 1977. -653 с.

34. Самарский А.А. Классы устойчивых схем. -Ж. вычисл.матем.

35. Сапаговас М.П, Решение квазилинейных эллиптических уравнений методом конечных разностей. -Лит. мат. 1965, 2, с. 291-302.

36. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. У. -М.: Гос. изд, физ.-мат. лит., 1959. -655 с.

37. Соболевский П.Е. Об уравнениях с операторами, обращающими острый угол. -Докл. АН СССР, 1957, т. П б с. 754-757.

38. Соболевский П.Е., Тиунчик М.Ф. Об одном принципе сравнения в теории приближенных методов. -В сб.:Вопросы точности и эффективности вычислительных симп. т.

40. Соболевский П.Е., Тиунчик М.Ф. О разностном методе приближенного решения эллиптических уравнений. -В сб.: Тр. матем. ф-та Воронеж, ун-та. Вып.

41. Воронеж: Воронеж, ун-та, I97I, с. II7-I27.

42. Соболевский П.Е., Тиунчик М.Ф. О разностном методе приближенного решения краевых задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений. -В сб.: Тр.матем. ф-та Воронеж, ун-та. Вып. первый. Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1970, с. 82-106.

43. Треногий В.А. Функциональный анализ. -М.: Наука, -494 с.

44. Фишер М. Неравенство коэрцитивности для нелинейного разностного оператора второго порядка. -В кн.: II симпозиум по методам решения нелинейных уравнений и оптимизации. Хаапсалу 4-7 июня I98I. Таллин: задач Изд-во 1980. Изд-во алгоритмов. Тр. 5, сб. У,

45. Фишер М. Неравенство коэрцитивности для слабо нелинейного эллиптического оператора второго порядка. -Уч. зап. Тартуск. ун-та, 198I, вып. 580, с. 31-37

46. Фишер М. О сходимости разностного метода в сильной норме для нелинейной задачи эллиптического типа. Тартуск. ун-та, 1982, вып. 633, с. 55-66.

47. Фишер М. Исследование разностных схем для нелинейных параболических уравнений. -В кн.: Тезисы докладов конференции «Методы алгебры и анализа". Тарту: Изд-во Тартуск. ун-та, 1983, с. 141-144.

48. Фишер М. Сходимость разностного метода для нелинейного -Уч. зап. параболического уравнения. -В кн.: III симпозиум. Методы решения нелинейных уравнений и задач оптимизации. Таллин: Изд-во «Валгус", 1984, с. 101-102.

49. Фишер М. Локальная сходимость разностного метода для нелинейной задачи эллиптического типа. -Уч. зап. Тартуск. ун-та, 1984, вып. 672, с. 47-54.

50. Bocoardo Lucio. Positive eigenfunctions for a class of quasilinear equations.-Boll. Unione mat.ital., 1981,В 18 U03, p. 951-959.

51. Douglas J., Dupont T. Galorkin methods for paraholic equations. SIAM J. Numer.Anal., 1970,v.7,p.575-626.

52. Douglas J., Dupont T, A Galjorkin method for a nonlinear Dirichlet Problem. Math.of.сотр., 1975,v.29,no 131, p. 689-696.

53. Bouglas J., Dupont Т., Serrin J. Uniqueness and comparison theorems for nonlinear elliptic equations in divergence form.- Arch.Rat.Mecli. and Anal., 1971,v.42 p.157-168.

54. Haumann J, On a class of weakly nonlinear рагаЪоНс equations.- Seminarber. Humboldt-Univ.Berlin,Sek.blatli., 1979, no 17, p.3/1-3/23.

55. Mtsche J., Witsche J.C.C. Error estimates for elliptic differential equations.-Arch..Rat.Mech. and Anal.,I960, V.5.p.293-306.

56. Schumann R., Zeidler E. G?he finite difference method for quasilinear elliptic equations of order 2 m Uumer. Punct.Anal. and Optimiz., 1979,v.l,no 2, p., 161-194.

57. Фишер М. Неравенство коэрцитивности для нелинейного разностного оператора второго порядка, -В кн.: II симпозиум по методам решения нелинейннх уравнений и задач оптимизации. Хаапсалу 4-7 июня I98I. Таллин: изд-во "Валгус", I98I, с. 182-184.

58. Фишер М. Неравенство коэрцитивности для слабо нелинейного эллиптического оператора второго порядка. -Уч. зап. Таргуск. ун.-та, I98I, вып. 580, с. 31-37.

59. Фишер М. О сходимости разностного метода в сильной норме для нелинейной задачи эллиптического типа. -Уч. зап. Таргуск. ун.-та, 1982, вып. 633, с. 55-66.

60. Фишер М. Исследование разностных схем для нелинейных параболических уравнений. -В кн.: Тезисы докладов конференции "Методы алгебры и анализа". Тарту: Изд-во Тартуск.згн.-та, 1983, с. I4I-I44.

61. Фишер М. Сходимость разностного метода для нелинейного параболического уравнения. -В кн.: III симпозиум. Методы решения нелинейных уравнений и задач оптимизации. Таллин: 14зд-во "Валгус", 1984, с. 101-102.

62. Фишер М. Локальная сходимость разностного метода для нелинейной задачи эллиптического типа. -Уч. зап. Таргуск. ун.-та, 1984, вып. 672, с. 47-54.