Численные методы решения различных задач для систем дифференциальных уравнений смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

стр.

ВВЕДЕНИЕ . 2

ГЛАВА I. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО И

ВТОРОГО ПОРЯДКОВ . 9

§ I. Исследование разностной схемы для уравнения первого порядка . 10

§ 2. Исследование решения разностных схем для уравнения второго порядка . 21

§ 3. Сходимость метода итерации к решению разностной схемы (1.2), (1.3).23

§ 4. Оценка погрешности конечно-разностных методов.27

§ 5. Конкретные разностные схемы и примеры . 35

ГЛАВА П. НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО И

ВТОРОГО ПОРЯДКОВ.52

§ I. Исследование разностной схемы для уравнения второго порядка.53

§ 2. Сходимость метода итерации к решению разностной схемы (2.2), (2.3) .68

§ 3. Оценка погрешности конечно-разностных методов.74

§ 4. Конкретная разностная схема и примеры . 85 стр.

ГЛАВА Ш. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО

ПОРЯДКА.96

§ I. Сходимость метода итерации к решению разностной схемы (3.2), (3.3).97

§ 2. Оценка погрешности конечно-разностных методов.103

§ 3. Конкретная разностная схема и примеры . 114

Известно, что ( [18] , [22] , [23]) задачи фильтрации газированной нефти приводят к решению системы дифференциальных уравнений с частными производными относительно двух неизвестных функций; относительно первой неизвестной (давления) даются как начальные, так и краевые условия, а относительно второй неизвестной (насыщенности) дается начальное условие. Однородные же задачи фильртрации газированной нефти при некоторых условиях приводят к решению аналогичных задач для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений Г18] .

Данная диссертационная работа посвящена численному решению следующих задач с*,*,у;, xoD*z0, х(о>эс0,х'(о) »¿г/,

Как мы отметиж выше, к таким задачам приводятся различные прикладные задачи (см. также [II] ). Кроме того, к этим задачам приводятся и различные двухточечные.задачи для уравнения высших порядков [28] .

I)

2)

3)

Так же отметим, что исследования задач (I), (2), (3) представляют и теоретический интерес, так как е случае /(» задачи, исследованию которых ранее были посвящены многочисленные работы. Следовательно, исследованием задач (I), (2), (3) исследуются и различные задачи для одного уравнения.

Итак, исследование задач (I), (2), (3), несомненно, представляет как практический, так и теоретический интерес.

Однозначная разрешимость задач (I), (2), (3) легко доказывается применением принципа сжатых отображений (см., напр., [12], [15] ). Более общие теоремы об однозначной разрешимости этих и более общих задач доказаны, например, е работах [2] - [4], Г24], [25], [27], [28]. Подобные задачи ранее были исследованы и в работах [8], [9], [14].

В этой диссертации для численного решения задач (I), (2), (3) применяется " К -шаговый метод". Для одного уравнения первого и второго порядков аналогичные исследования проведены ранее е работах [I], [7], [29] и др. Заметим, что часть результатов, полученных для задач (I), (2), (3) являются ноеыми и для различных задач для одного уравнения первого и второго порядков.

Диссертация состоит из трех глав.

Первая глаЕа посвящена численному решению задачи (I). Для численного решения задачи (I) рассматривается разностная схема задачи расщепляются на две самостоятельные к к

2 П*.

Г (4) где уя в » ¡£¡1*120 " известные числа, а и Ц . постоянные, О0 фо , Есе корни уравнения

К к-«

2 ОЛ *0 Iшо лежат е единичном круге и на границе этого круга нет кратных корней.

Эта глава состоит из пяти параграфов.

Б первом параграфе рассматривается разностная схема первого порядка к

5)

Находятся достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (5), доказывается сходимость специально построенных последовательных приближений к этому решению и оценивается скорость сходимости (Теорема 1.1).

Б этом же параграфе доказаны устойчивость разностной схемы (теорема 1.2), а также изучена зависимость решения разностной схемы (5) от параметра (теорема 1.3).

Несмотря на то, что результаты этого параграфа носяг вспомогательный характер для исследования разностной схемы (4), они также носят самостоятельный характер и могут быть использованы для численного решения уравнения первого порядка.

В § 2 строится и исследуется разностная схема для краевой задачи уравнения второго порядка.

В § 3 пользуясь результатами предыдущих параграфов находятся достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (4), доказывается сходимость специально построенных и тераций к ее решению и оценивается скорость сходимости (теорема 1.6).

Б четвертом параграфе оценивается погрешность метода (4). А именно, решения разностной схемы (4) принимаются за приближенные значения точного решения задачи (I) в точках и оценивается погрешность метода (теорема 1.7).

Заметим, что из этой теоремы, как частный случай, получаются соответствующие известные результаты для начальной задачи, для уравнения первого порядка [I] и для краевой задачи для уравнения второго порядка [б] .

В последнем, пятом параграфе первой главы рассматриваются частные классы разностных схем (4) и их применения к численному решению конкретных задач.

Вторая глава посвящена численному решению задачи (2). Для численного решения задачи (2) рассматривается разностная схема к * и

6) где Д . , О. * , , ~ постоянные, не зависящие от А и удовлетворяющие условиям

I0- а0Ф0 , а** о

2°. Корни уравнений к /м к щ Ы

2 = о

1=о ыо Ч лежат в единичном круге и на границе его нет кратных корней, за исключением двукратного корня второго уравнения, равного I. Предполагается, что » /у^-/«/?^ (7* о, ДГ-/) -известные числа.

Эта глава состоит из четырех параграфов.

Б первом параграфе рассматривается разностная схема второго порядка

IЩ-''1,11 О^и с/- . (?)

Находятся достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (7), доказывается сходимость специально построенных последовательных приближений к этому решению и оценивается скорость сходимости (теорема 2.1). Доказывается устойчивость разностной схемы (7) и изучается зависимость ее решения от параметра (теорема 2.2).

Результаты этого параграфа носят самостоятельный характер и эти результаты могут быть использованы для численного решения задачи Коши для уравнения второго порядка.

Находятся (§ 2) достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (6), доказывается сходимость специально построенных итераций к ее решению и оценивается скорость сходимости (теорема 2.3).

В § 3 оценивается погрешность метода (теорема 2.4). Из этой теоремы, как частный случай, получаются соответствующие результаты для начальных задач как для уравнений первого порядка, так и для уравнения второго порядка [I] .

В последнем, четвертом параграфе этой главы исследуется некоторый частный класс разностных схем (6) и эта разностная схевла применяется к численному решению конкретных задач.

Последняя третья глава посвящена численному решению задачи (3) и для ее решения рассматривается разностная схема

1*0 лежат в единичном круге и на границе круга нет кратных корней, за исключением двукратного корня, равного I. Предполагается, что /£//•$ Яд О"* 09К-1) - извес тные числа.

Эта глава состоит из грех параграфов.

Б первом параграфе находятся достаточные условия для однозначной разрешимоети нелинейной системы (8), доказывается сходимость специально построенных итераций к этому решению и оценивается скорость сходимости (теорема 3.1).

Во Егором параграфе оценивается погрешность метода (теорема 3.1). Из этой теоремы, как частный случай, получаются соответствующие результаты для начальной и краевой задачи для уравнения второго порядка (см., напр., [I], [5] ).

В последнем третьем параграфе рассматривается частный класс разностных схем (8) и эта схема применяется к численному решению конкретных задач.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях аспирантов ВУЗое Азербайджана [31], [Зб] , на республиканских конференциях молодых ученых АН Азерб.ССР [30],

8) где и постоянные, не зависящие от ^ , Од фо , все корни уравнения

К К-1 2 зз], и на семинарах член-яорр. АН Азерб.ССР проф.Мамедова Я.Д. (Азгосуниверситет, Баку).

ОсноЕное содержание диссертации опубликовано в работах [301 -[38].

1.1)

ЗА КЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. ВперЕые применен и исследован- "К - шаговый метод" для численного решения трех" специальных задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Найдены достаточные условия однозначной разрешимости нелинейных разностных схем, полученные при применении "К - шагового метода" для численного решения как начальных задач для одного дифференциального уравнения, так и специальных задач для систем дифференциальных уравнений. Доказаны сходимости специально построенных последовательных приближений к решениям этих разностных схем. Оценены скорости оходимости этих приближений.

3. Оценены погрешности " К -шагового метода" для трех специальных задач.

4. Все рассмотренные и исследованные методы применены к численному решению конкретных задач.

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. T.1. М., 1973.

2. Бекташи Т.Г. Об одной специальной задаче для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений. "Ученые записки" АГУ, сер.физ-мат.наук, В 6, 1959.

3. Бекташи Т.Г. Об одной специальной задаче для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений. "Ученые записки" АГУ, сер.физ-мат.наук, № 3, I960.

4. Бекташи Т.Г. О единственности решения одной специальной задачи для системы двух-обыкновенных дифференциальных уравнений. "Ученые записки" АГУ, сер.физ-мат.наук, J£ 3, 1964.

5. Березин И.О., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2, М., I960.

6. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М., 1977.

7. Дальквист Г. (Dahtcjuist: G.) Convergence and siaSifitu in -the numerical integration of ordinary differentiae equations. Maih. Scand . 4 (1956), 33-53.

8. Калантаров В.К. О смешанной задаче для полулинейных параболо-гипербодических систем уравнений. ДАН Азерб.ССР, $ 3, 1973.

9. Керимова Д.Н. Решение одной одномерной нелинейной задачи теории фильтрации методом конечных разностей. Труды Аз.СХИ, т.Х1, 196I.

10. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. т.2, М., 1977.

11. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Методы квазиобращения и его приложения. М., Мир, 1970.

12. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М., 1965.

13. Ляшко А.Д. Разностные схемы для квазилинейных эллиптическихуравнений любого порядка. Изв.высших учебных заведений, Математика, В 9 (136), 1973.

14. Мамедов Я.Д. Исследование решения задачи Коши для параболо-гиперболических систем уравнений. Сборник "Граничные задачи матем.физики", Киев, "Наукова думка", 1981.

15. Мамедов Я.Д., Аширов С.А. Нелинейные уравнения Вольтерра, Ашхабад, 1977.

16. Мамедов Я.Д., Аширов С.А. Методы последовательных приближений для решения операторных уравнений. Т1У, Ашхабад, 1980.

17. Г7. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1964.

18. Розенберг М.Д. 0 неустановившейся фильтрации газированной жидкости в пористой среде. Изв.АН СССР, ОТН, }Ь 10, 1952.

19. Самарский A.A. Теория разностных схем. М., 1977.

20. Самарский A.A. Введение в численные методы. М., 1982.

21. Сансоне Да. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва, т.1 (1953), т.2 (1954).

22. Халилов З.И. Решение общих задач о неустановившихся фильтрациях газа и газированной жидкости. ДАН Азерб.ССР, II 8, 1954.

23. Халилов З.И. Решение задачи фильтрации газированной нефти методом сеток. ДАН Азерб.ССР, т.ХП, й 4, 1956.

24. Хартман Ф. О краевых задачах для систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. "Математика", 6:5, 1962.

25. Хартман Ф., Уинтнер А .(Hartman P.^WiniperAj Ott disconju^oiedifferenh'at sy$iem,Ca/iQcl.J, Math., 8 (1956), 72-81.

26. Шафиев P.A., Керимова Д.Н. 0 приближенном решении одной нелинейной задачи теории фильтрации. ДАН Азерб.ССР, т.XXI, J? 5,1965.

27. Шафиев P.A., Керимова Д.Н. О непрерывном аналоге одного класса итерационных методов. ДАН Азерб.ССР, т.ХХУП, № 5, 1976.

28. Шехтер Б.Л. Об одной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 1982, т.18, В 10, с.1707-1717.

29. Шура-Дура М.Р. Оценки ошибок численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. ПММ, Т.ХУ1, 1952.

30. Эль-Намури A.M. Численные методы решения одной специальной задачи. Тезисы докладов У республиканской научной конференции аспирантов ВУЗов Азербайджана, Баку, 1982.

31. Эль-Намури A.M. Численные методы решения смешанной задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Депонировано в АзНИИНТИ, 21.04.1983, lb 69 Аз-Д83.

32. Эль-Намури A.M. Оценка погрешности метода конечных разностей для одной сметанной задачи. Материалы республиканской научной конференции аспирантов, АН Азербайджана, Баку, Май, 1983.

33. Эль-Намури A.M. Оценка погрешности конечно-разностных методов для специальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Тематический сборник научных трудов "Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений",А1У, Баку, 1983.

34. Эль-Намури A.M. Численные методы решения начальной задачидля систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Депонировано в АзНИИНТИ, 03.II.1983, № 125 Аз-Д83.

35. Эль-Намури A.M. Разрешимость разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Материалы У1 республиканской научной конференции аспирантов ВУЗов Азербайджана, Баку, ноябрь 1983.

36. Эль-Намури A.M. Оценка погрешности метода конечных разностей для смешанной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Тематический сборник научных трудоЕ "Приближенные методы операторных уравнений", АГУ, Баку, 1984.

37. Эль-Намури A.M., Исмаил-заде А.Т. Приближенное решение двух специальных задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Депонировано е ВИНИТИ 7 июня 1982 г., № 2826-82 Деп.