Симплициальная двойственность и алгебраические группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Г», Г' .-1

I- . и

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

механико-математический факультет

СИМПЛИЦИАЛЬНАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

( 01.01.00 - Математическая логика, алгебра и теория

диссертации на соискание ученой степени кандидата

на правах рукописи

515.142.5 УДК 512.66 512.743.7

Тор стен Фиммель

чисел)

АВТОРЕФЕРАТ

физико-математических наук.

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского госу-даственного университета имени M.D. Ломоносова.

Научные руководители — доктор физико-математических наук, профессор В.А. Исковских

— доктор физико-математических наук, профессор A.II. Паршин

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук, профессор A.C. Тихомиров

- кандитат физико-магема-тических наук

А.Л. Городенцев

Ведущая организация — Санкт-Петербургский Государственный университет

Защита диссертации состоится " Ю угаоЦи{ 1993 г. в 16 час. 05 мин. на заседании Специализированного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " /0 » МЛ/1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор В.П.Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Исходным пунктом работы является обобщение классической теории аделей над кривыми на случай поверхности а затем на любые нетеровы схемы 2, сделанное в конце 70-х годов. Для схемы Л' и квазикогерентпого пучка Т на Л' аде-ли Á(X,Jr) являются алгебро-геометрическим объектом над симплициальпым мпожсстпом S.(X) флагов неприводимых вложенных друг в друга замкнутых подмножеств. Лля когерентных пучков на "хорошей" схеме мы имеем двойственность Серра или более общо двойстпеиность Вердье 3.

A.A. Бейлипсон 4 предположил, что существует некоторая двойственность для аделей над симплициаль-ным множеством S.(X), которая п естественном смысле согласована с двойственностью Вердье для схем. Такое соотношение было бы очень интересно, поскольку адели содержат большую часть структуры схемы 5, па-пример, легко посстановить когомологии Т по А(Л', Т). Если X - схема размерности п надполем, то локальные составляющие адели А(Х,(Эх) являются по существу

'А.II. Паршин. К арифметике двумерных схем. Распределения и винети , Изиестил академии наук СССР, т. 40,н. 4, 736-773, 1976.

2А.А. БсКлиисон. Вычеты и адели , Функ. ан., т. 14 п. 1,44-45, 1980.

3R. Ilartsliorne. Residues anil duality, Lecture Notes in Matli. 20.

1ЛЛ. Iieiijiiincoii Письмо Л .II. Паршину дек. 198Г> г.

■"A.N. Parsliin, T.Fimniel. Ли introduction to the higher adelic. theory, to appear,

71-мерными локальными полями, а из двойственности для групп когомологий следует большая часть теории полей классон. Ii этом смысле алели и их Л'-групиы являются интересными объектами исследований для теории полей классон схем, а такал действенность могла бы оказаться фундаментальным соотношением.

Конструкция такой двойственности кажется очень сложной задачей, поэтому естественно отбросить часть структур аделей и пытаться осуществить для них теорию двойственности. А.А.Бейлипсон 6 предположил существование действенности для когомологических систем коэффициентов над некоторым симплициальпым множеством А", (адели являются системами коэффициентов над 5.(АГ)). Эта теория должна быть связана с двойственности) Вердье над топологическим пространством геометрической реализации А'. Построению такой теории посвящена большая часть настоящей работы.

Другая теория двойственности, на первый взгляд не имеющая ничего общего с предыдущей, была развита в 70-х годах сначала па кольце характеров группы рациональных точек редуктивпой алгебраической группы над конечным полем 8, 9 с точпостю до знака, а затем па множестве неприводимых представлений 10. Пакол-

6А.Л. Бсилинсон Письмо А.Н. Паршину лек. 1985 г.

7J.-L. Verdicr. Dualité dans la cohomologie des espaces localement compacts, Scm. Bourbaki, N. 300, 1967.

8D. Alvis. The duality operation in the character ring of a finite Chevalley group, Bull. Amer. Math. Soc. 1, 907-911, 1979.

9C.W. Curtis. Truncation and duality in the character ring of a finite group of Lie type, J. Algebra, 62, 320-332, 1980.

10P. Deligne, G. Lusztig Duality for Representations of a Reductive group over a finite field, J. Algebra, 74, 1982.

локииуме Брюа-Титс, 7-го марта 1991 г., Л. Спрингер докладывал о связи этой двойственности с двойствен-ностю Вердье на;; топологическим пространством век-торпого билдипга этой группы. По такой алгебраической группе сопоставляется и симшшциальиое множество ее комбинаторного билдипга, и поэтому естественно выяснить, насколько эта двойственность связана с предпологагаемой симплициальной двойственностью. Это интересно и в том плане, что симпли-циалыгая двойственность применяется и к билдипгам других алгебраических групп.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Пелыо данной работы является построение двойственности типа Вердье для категорий пучков над симплициальными множествами и выяснение взаимоотношений этой двойственности в случае комбинаторного билдипга алгебраической группы над конечным полем с теорией двойственности для не-; приводимых представлений ее группы рациональных точек.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации используются методы гомологической алгебры, алгебраической топологии и теории алгебраических групп.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Построение стандартных функторов прямого и обратного образа и прямого образа, с компактным носителем для категорий когомологических систем коэффициентов и пучков над симлициальпыми мно-

жестами. Доказательство основных соотношений.

'2. Доказательство существования функтора, сонрл-женного справа к функтору сечений с компактным носителем (Теорема 1).

3. Доказательство существования теории двойственности тииа Вердье па производной категории ограниченных комплексов пучков с конструктивной ко-гомологией (Теорема 2).

Л. Выяснение соотношения между двойственностью Вердье над комбинаторным билдингом алгебраической группы над конечным нолем и двойственностью по Делишо-Лустигу для неприводимых представлений ее группы рациональных точек.

ПРИЛОЖЕНИЯ. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам по алгебраической топологии и алгебраическим группам.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результат!,I диссертации докладывались и обсуждались па семинарах Кельнского университета но алгебре и на конференции Немецкого Общества Математиков (БМУ) в сентябре

1991 года в Билефельде.

|

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата. Исследования, включенные в диссертацию, проведены без соавторов.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертационная работа состоит из пнедения, четырех глан, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 2'1 наименования. Объем диссертации 1,'И страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава I носит подготовительный характер. В ней собраны сведения, пе прямо отопослщиесл к поставленным проблемам, но необходимые в дальнейшем. Пусть А обозначает категорию, состоящую из упорядоченных множеств п = {0 < ... < п}, п = 0,1,..., и морфизмов упорядоченных множеств. Симнлициаль-ное множество Л', является тогда коптравариаитпым функтором из Д в категорию множеств

п Л'п, (т Ап)и (Л'„ ^ Л'т) .

13 главе II исследуются алгебраические структуры над симплициальпыми множествами и строятся стандартные функторы прямого и обратного образа, обра-за с компактным носителем ...

Симнлициальпому множеству Л', сопоставляется категория Л'. Ее объекты - это симплексы а £ Х„, п — 0,1,..., а морфизмы а —► г, г 6 Л",,,, задаются мор-физмами упорядоченных множеств п—>т для которых а*т = а.

Рассматриваются две абелевы категории над симнли-циальным множеством X.: когомологические системы коэффициентов Г., т.е. функторы из Л' в некоторую абе-левую категорию Л

а ^ Га, (<гАг)и {Е, ^ К) .

и ее полная подкатегория, категория пучков 5П(Х.), которая задается условием

а л

для всех сюръективных п —> т в Д Р. 6 ЗН(Х.) и всех а 6 Хи отображение

Р^а ^т р„ является изоморфизмом.

Заметим, что 57/(Д.[0]) ~ А, где Д.[0] обозначает (сим-плициальную) точку.

В нервом параграфе когомологической системе коэффициентов Р. на А', сопоставляется некоторый пучок |/,п.| на топологическом пространстве геометрической реализации \Х.\, что дает возможность сравнении сим-плициальпых и топологических конструкций.

Во втором и третьем параграфах строятся функторы прямого и обратного образа /, и /* для морфизма / : X. —► У., доказывается согласованность определений с соответствующими топологическими функторами. Особое внимание уделяется случаю отображения па точку, т.е. глобальным сечениям Г(Х.,Р.) и когомологии Н*(Х.,Р.) когомологической системы коэффициентов Р. на X..

Четвертый параграф посвящен функтору прямого образа с компактным носителем /> и, в частности, сечениям с компактным носителем ГС(А'., У*1.) и когомологии с компактным носителем Н*(ХР.). При условии, что Аг. локально конечно и край невырожденного симплекса невырожден, доказывается соотношение

я;(А'., р.) ~ //;(|А'.|,|/л|), где /•. е .нчцх.).

Более того, при этих условиях когомологии с компактным носителем совпадают с производным функтором

С

функтора ГС(Л'., ).

В пятом параграфе мы продолжаем эти функторы на категорию комплексен К{Х.) = K(SII(X.)) и производную категорию Т>(Х.) = V(STI{X.)). Продолжение ко-гомологии с компактным носителем обозначим через ЛГС(Х., ). Совпадает ли оно всегда с RTe(X., ) автору неизвестно.

Частный случай, когда Л — R — Mod категория модулей над некоторым петеровым кольцом 11, обсуждается п шестом параграфе. В частности, определяется внутренний Нот для пучков F., G., который обозначается через llom(F.,С'.).

Глава III посвящена формулировке и доказательству двойственности Вердье для симплициальных множеств.

В первом параграфе для локально конечного симпли-циальпого множества конечной размерности Л', (т.е. |Л'.| локально компактное конечной размерности) явным образом строится некоторый функтор

: V+(A) = 2>(Д.[0]) —> V(X.) ,

где / обозначает однозначно определенное отобажение X. на симплициальную точку Д.[0]. Случай произвольного / п этой работе не рассматривается.

Во птором параграфе формулируется и доказывается первый основной результат этой работы.

Theorem 1 Пусть категория коэффициентов Л - это категория модулей над истсропым кольцом. II, чсрсз'Нот o6o;maviiM группу гомомо])фи.1Мов как П-модуль. Пусть

Л', локально конечное симплициальное множество конечной размерности и /. однозначно определенное отображение на снмнлициальную точку Л.[0] и 1\ £ Оь(Х.) и АГ £ 0+(А). Тогда мы. имеем функториальный изоморфизм в О(А)

11Нот (КГАХГ ), АГ) ~ 1П\Х., 11Нот{Г;, /!(Л/'))) .

В третьем параграфе мы изучаем в предположениях теоремы свойства дуализирующего комплекса пучков

Vx := j\ll)

и ассоциированного с ним отображения:

Vx : Dh{X.) D\X.)

Т- h-» 1Шот(Г,Ух).

Пусть Dbc(X.) полная подкатегория, состоящая из комплексов с конструктивной когомологией (пучок F. назовем конструктивным, если F„ является конечным 11-модулем для всех а £ А".).

Формулируется и доказывается второй основной результат.

Theorem 2 ((Двойственность Вердье)) Пусть X. локально конечное симплициальное множество конечной размерности и пусть край невырожденого симплекса певырожден. Тогда контравариаптный функтор Vx отображает V\(X.) в Vbc(X.) и определяет аптиэквивалепт-ность этой категории.

В последнем параграфе мы переносим эту теорему на

простейший эквивариантный случай, т.е. мы рассматриваем ситуацию, когда действует конечная группа G па. симплициалмюм множестве А'.

и предполагаем, что число ее элементов обратимо в кольце 7?. Рассмотрим категорию С-иучков на Л'. 5//(С,Л'.), т.е. пучков Р. на Л', вместе с семейством согласованных изоморфизмов [д]'Р. Р. для всех д 6 С7. Оказывается, что па дуализирующем комплексе пучков Т>Л-опредсляется естественным образом С-структура, т.е. Т>х £ Х>ь(57/((7, А'.)). Показывается, что естественно определенный дуализирующий функтор

индуцирует антиэквивалентность подкатегории комплексов с конструктивной когомологией Vbc(SH(G, А'.)).

В главе IV мы исследуем соотношение между симпли-циальпой двойственностью Вердье для комбинаторного билдинга редуктивной группы над конечным нолем и двойстиспностыо для неприводимых комплексных представлений ее группы рациональных точек, определенной в 11.

Пусть G редуктивпая группа над конечным нолем к и G = G(k) ее группа рациональных точек. В первом параграфе мы вводим обозначения и приведем необходимые нам известные свойства, параболических подгрупп

"Р. Dclignc, (!. Inis/tig Duality ¡or Representations oj a Reductive yrotip over (i finite Jichi, J. Algebra, 74, 1982.

9 e G -> [g] : X. - A'.

VG. x : D\SII(G,X.)) Г

-* Dh(S II(G,X.)) i-» It]lmi(r,Vx) .

—У

Р С G, определенных над к. Для параболической подгруппы Р обозначим через RU(P) ее упинотептпый радикал и через Ru(Р) его рациональные точки. Вспомним, что комбинаторный билдинг A.(G) группы G задается следующим образом:

• точки симплициалыюго комплекса A(G) - это максимальные параболические подгруппы Q С G, Q ^ G;

• набор (Qo,... , Qjt) определяет »-мерный симплекс , если Р := Qo П .. .Л Q„ является параболической подгруппой.

Группа G дейстнует на нем сопряжением.

Во втором параграфе мы рассматриваем категорию комплексных представлений Repc(G) и подкатегорию неприводимых представлений Irr — Repc{G) группы G. В работе 12 определяется (ковариантная) двойственность

?' : Irr-Repc(G) Irr-Rcpc{G), М ^ М*

которую можно задать с помощью точного комплекса

О - м> -> 0 MR«(р> ->...-> 0 мл-(р) -*м~* о,

P6AJ0tGl РбДо[С]

где jo = jo{M) максимальное число, для которого существует Р £ A;0[G] со свойством А/Л»(р) ф 0. Отображение ?' обобщается на любые преставления и комплексы представлений, если заменить Л/' па квазиизоморфный

12Р. Deligne, G. Luszlig Duality for Representations of a Reductive group over a finite field, J. Algebra, 7Л, 1982.

комплекс, стоящий справа; чтобы их о тличить, мы обозначим его знаком ' слепа,.

С помощью следующего уравнении мы сопоставим представлению Л/ группы (.1 G'-пучок конечномерных векторных пространств Л/ па комбинаторном билдипге Д .(G)

Мр ■= М„.(р) = М / (/£„(Р) - 1)М .

Функтор 7 продолжается естественным образом до функтора

? : Db(llepc(G))Db(SlI(G\A.(G)) .

Далее нам понадобится отображение сопряженного векторного пространства

V : Ilepc(G) - RePc(G) М »-> IIomc(M,C)

и его продолжение ?* : Db(Repc(G')) Db(Repc(G)). Главный результат этой главы заключается в следующем.

Theorem 3 Пусть G редуктивная алгебраическая группа над коисчны.м полем k, G — G(k) ее группа рациональных точек. Пусть A.(G) обозначит комбинаторный билдинг группы. G, a Vq,a.(g) дуализирующий (функтор па этом симплициальном множестве с действием группы G. Тогда следующая диаграмма коммутативна:

Db(RePc(G)) Db(Repc(G)) Db(RcPc(G))

Db{SJI{G,A.(G)))-Pc'A (G)-~Db(SlI{G, Д.(в)))

Более того, если М неприводимый ¿7-модуль со свойством = ¿0(М) > 0, то из теоремы следует существование изоморфизма ¿¡"-модулей

Доказательство теоремы мы дадим в третьем и четвертом параграфах, используя топологическую структуРУ |Д.[С]|.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю А.II.Паршину за постоянное внимание и поддержку при работе над диссертацией.

Список работ автора по теме диссертации.

1. Фиммель, Т. Двойственность Вердье для когомологических систем коэффициентов над симплици-алъними множествами, Тезисы Международной конф. по алгебре, Барнаул, 20-25 авг. 1991, стр. 82, Новосибирск 1991.

2. Фиммель, Т. Двойственность Вердье на симпли-циалъном множестве, УМН т.48, № 5, 1993.

3. Фиммель, Т. Двойственность Вердье на симпли-циальних множествах, деп. ВИНИТИ РАН, 1993,

№27X4-693 М.К.ЗЪ-