Дискретная BF-теория тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ
|
Мнёв, Павел Николаевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
имА
МНЕВ ПАВЕЛ НИКОЛАЕВИЧ
ДИСКРЕТНАЯ №ТЕОРИЯ
01 01 03 — математическая физика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2008
Работа выполнена в лаборатории математических проблем физики Санкт-Петербургского Отделения Математического Института им В А Стек лова Российской Академии Наук
Научный руководитель
Официальные оппоненты
Ведущая организация
академик РАН Фаддеев Л Д
доктор физико-математических наук, профессор Вершик А М доктор физико-математических наук Фейгин Б Л Институт Теоретической и Экспериментальной Физики
Защита состоится _ 2008 года в ^С
час па заседании Диссертационного Совета Д002 202 01 в Санкт-Петербургском отделении Математического Института им В А Стеюгова Российской Академии наук по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб р Фонтанки, д 27, ауд 311
аа
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПО-МИ РАН
Автореферат разослан " 2008 года
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук Г „ Зайцев А Ю
Общая характеристика работы
Актуальность темы Работа относится к топологической квантовой теории поля и также тесно связана < гомотопической алгеброй и алгебраической топологией Исследуется задача построения дискретного варианта топологической неабелевох"! Б^-теории на многообразии (в лагран-жевом формализме), связанного с триангуляцией многообразия и обладающего конечномерным пространством полей
Для случая абелсвой ¿^-теории задача дискретизации была решена в [1] и было продемонстрировано вычисление корреляторов наблюдаемых в этой дискретной модели, в точности равных соответствующим корреляторам исходной топологической теории поля Случай неабелевой ВВ-теории является более счожным и интересным, в частности, с точки зрения алгебраической топологии, поскольку корреляторы этой модели дают более тонкие инварианты узлов и многообразий (см [9]) В данной работе мы занимаемся только лишь действием дискретной В^-теории и не занимаемся наблюдаемыми Обсуждаемая здесь конструкция действия дискретной В^-теории как эффективного действия для исходной топологической теории в формализме Баталина-Вилковысского, была предложена автору А С Лосевым в -устной беседе и дает а рпоп эквивалентную теорию попя Также в работе обсуждается эффективное действие данной модели на когомологиях де Рама многообразия Это эффективное действие дает некоторый инвариант многообразия, являющийся "квантовым пополнением "рационального гомотопического типа многообразия (см [27]) Более того, показано на примере что это квантовое пополнение является более тонким инвариантом, чем просто рациональный гомотопический тип Переход от действия топологической В В'-теории к действию
дис кретиой В ^теории, а также переход к действию на ко-гомологиях, в свою очередь интерпретируется как квантовое пополнение гомотопического переноса алгебраической структуры на пространстве дифференциальных форм на многообразии со значениями в "калибровочной"алгебре Ли 0 на комплекс д-значных клеточных коцепей триангуляции и далее на когомологии де Рама с коэффициентами в д При этом классические формулы гомотопического переноса ¿(^-структуры в виде сумм по деревьям (см [20]) получают интерпретацию как древесные фейнмановскис диаграммы, возникающие при пертурбаливном вычислении интеграла, определяющего эффективное действие
Построение дискретной ¿^-теории можно считать шагом на пути к построению дискретных вариантов теории Черна-Саймонса и пуассоновой сигма-модели Эти две модели топологической квантовой теории поля особенно важны, поскольку первая дает важные инварианты узлов н 3-многообразий [30], а вторая тесно связана с задачей деформационного квантования пуассоновых многообразий |19], [Ю| С помощью дискретных вариантов данных моделей можно было бы заменить континуальные интегралы необходимые для вычисления корреляторов в них, на некоторые конечнократные интегралы
Таким образом, тематика работы актуальна Цель работы. Исследование действия дискретной В^-теории
Используемые методы Существенно используется формализм Баталина-Вилковысского для калибровочных теорий поля, а также метод фсйнмановских диаграмм для вычисления ряда теории возмущений для континуального интеграла
Научная новизна Все основные результаты диссертации являются новыми
Практическая и теоретическая ценность. Работа
носит теоретический характер Бе результаты и методы могут быть использованы в алгебраической топологии для но( гроения инвариантов узлов и многообразий в терминах конечно-кратных интегралов и для построения квантового пополнения теории рационального гомотопического типа Апробация работы Результаты работы неоднократно докладывались па семинарах ПОМИ РАН, на семинарах ЕТН Цюриха, на конференции "Poisson sigma-modcls, Lie algebioidb, clef01 mations, and highei analogues "в институте им Шредингерг, (Австрия Вена) летом 2007 г Также па основе работы был прочитан мини-курс в City Univcisity of New Yoik (США, Нью-Йорк) весной 2007 г
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [31] и [32]
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из 7 разделов (первые три являются вводными), изложена на 215 стр Список литературы включает 32 названия
Содержание работы.
Данная работа < одержит результаты, полученные автором в рамках работы над симплициальной программой А Лосева для топологиче< ких квантовых теорий ноля Цель программы — эквивалентная замена топологической теории ноля в даграпжевом формализме на симплициальиый (или, в более общей ситуации, клеточный) вариант При этом бесконечномерное пространство нолей топологической теории заменяется на некоторое конечномерное пространство, связанное с триангуляцией (или с более общим клеточным разбиением) Действие топологической теории заменяется на некоторую функцию (симплициальное действие) на этом конечномерном пространстве Наблюдаемые топологической теории также должны быть заменены на симгхлициальные аналоги При этом замена топологической теории поля на ее симплициальную версию
должна быть эквивалентной, ге корреляторы наблюдаемых должны переходить в корреляторы соответствующих с имплициальных наблюдаемых (при этом не предполагается переходить к пределу измельчения триангуляции любая триангуляция должна давать точный ответ) Обладая симплициальным эквивалентом топологической теории поля, мы можем вычислять корреляторы по< ледпей с помощью конечномерных интегралов, а не континуальных
Одной из целей симплициальной программы является построение симплициальной версии теории Черна-Саймонса (дающей инварианты узлов и 3-многообразий [30]) и пуассоновой сигма-модели (обслуживающей деформационное квантование Концевича [19], [10]) В данной работе рассматривается более простая (однако, тесно связанная с обеими перечисленными выше) модель топологической теории поля Б^-теория Кроме того, существенное упрощение состоит в том, что мы не рассматриваем наблюдаемые Роль корреляторов для нас играет эффективное действие па когомологиях де Рама многообразия" — интересный топологический инвариант многообразия, который может быть вычислен из (дшилициальной версии В Е-теории (раздел 7 1)
Классическое действие ВР-теории на компактном ориентируемом многообразии М имеет вид
где Fa — dA -f А А А есть кривизна связности А Классические поля теории есть связность А в тривиальном главном G-расслоении на М и поле В — g-значная (dim М — 2)~ форма па М Здесь G — компактная группа Ли (калибровочная группа) и g — ее алгебра Ли BF-теория определена для многообразия М произвольной размерное ги,
причем М разрешено иметь границу (переходя к канонической ВР-теории, см раздел 3 4, мы также разрешаем неориептируемые М, во избежание путаницы заметим, что слово "канонический" здесь не имеет отношения к каноническому квантованию) Классическое действие ВР-теории имеет довольно сложную (приводимую и открытую на втором этаже багттпи приводимости) калибровочную симметрию в размерностях ^ 4, и для решения задачи фиксации калибровки необходим формализм Баталина-Вилковыского В формализме Баталина-Вилковыского (в дальнейшем — "БВ-формализм") классические поля А и В заменяются на БВ-супср-поля А и В — две неоднородные д-значные дифференциальные формы на М (являющиеся удобным способом собрать вместе исходные классические поля, духи для всех этажей башни приводимости калибровочной симметрии, антиполя к классическим полям и антиполя к духам) В терминах супер-полей А, В мастер-действие (оно же БВ-действие), имеет вид
Симплициальный эквивалент ВР-теории естественно строить на уровне мастер-действия и пространства БВ-полей (а не классического действия и классического пространства полей) В качестве пространства (симплицналь-ных) БВ-полей для триангуляции Е многообразия М берете я некоторое конечномерное пространство (троящееся по пространству С"(Н, д) д-значных клеточных коцепей па Н (которые играют роль симпчициалыюго аналога д-значных дифференциальных форм на М) Именно, Т-= строится как нечетное кокасательное расслоение, к сдвинутому по градуировке пространству клеточных коцепей = Т*[— 1](С*(Н, д)[1]) В качестве координат в базе используется симплициальное супер-поле — неод-
нородная д-значная клеточная коцепь, компонентам разных степеней которой приписаны духовые числа, так что выполнено с^-^И = 1, в качестве координат в слое используется второе симплициальное супер-поле рв — неоднородная д*-значная клеточная цепь, компонентам которой также приписаны духовые числа, так что выполнено = —2 Здесь — симниициалыгый аналог БВ-супер-поля А топологической ВР- теории, а рг — сим-нлициальный аналог В0, те БВ-супер-поля В топологической ВР-теории, с опущенным индексом по отношению к спариванию 1;г /м »А» (формулировка топологической ВР-тсории в терминах полей А, Д, с мастер-действием Б =< В„, ¿Д+ |[Д А] > иногда называется "канонической" ¿^-теорией)
В качестве симплициального БВ-действия предлагается взять эффективное действие, индуцированное на •7-= Имеется ввиду, что мы разделяем бесконечномерное пространство БВ-полей топологической £^-теории на М (точнее, ее канонического варианта) на инфракрасную и ультрафиолетовую части
Рм — Р' © Р"
причем инфракрасная часть сстд Р' = Р-в. (ультрафиолетовая часть пространства Рм, тем самым, бесконечномерна) Эффективное действие на инфракрасных полях следует определить с помощью континуального интеграла по ультрафиолетовым полям Это стандартная конструкция квантовой теории поля, и ясно, в каком смысле она приводит к эквивалентном}' действию квантовые флуктуации в ультрафиолетовых направлениях уже учтены в 5= Однако, поскольку мы имеем дело с калибровочной теорией в ВВ-формализме, конструкция эффективного действия должна быть модифицирована (стандартная конструкция давала бы пертурбатнвно-неопределенный инте-
грал по Т") Именно, следует выбрать лаграижево подмногообразие в пространстве ультрафиолетовых полей С с Т" и определять эффективное БВ-действие на Г' как континуальный интеграл по а не по всему Т" Интегралы такого типа называются БВ-интегралами и выбор С есть выбор калибровки для БВ-интеграла Конструкция эффективного БВ-действия обсуждается в разделе 4 2 Главные особенности этой конструкции во-первых, она переводит решения мастер-уравнения в решения мастер уравнения на инфракрасных полях Во-вторых, зависимость от выбора С контролируется, а именно, изменение С приводит к каноническому преобразованию для эффективного действия Для интересующего нас случая индуцирования эффективного действия для топологической ВВ-теории на пространстве инфракрасных БВ-полей предлагается строить лагранжево подмногообразие С с Т" с помошыо оператора цепной гомотопии стягивающей комплекс де Рама многообразия М на подкомплекс форм Уитни триангуляции изоморфный комплексу клеточных коцепей па 5 (разделы 4 3, 5 1, 5 2) Оператор ''склеивается'' из некоторых явно заданных операторов (операторов Дюпона) для отдельных симплексов Н Важным свойством эффективного действия для ВВ-теории является то, что соответствующий БВ-иитеграл раскладывается в ряд по диаграммам Фейимана, содержащий только древесные и одпопетлевые диаграммы (раздел 4 3, Теорема 5)
Конструкция К= илт, иначе, выбор калибровки для БВ-интеграла, определяющего индуцирование приводят к другому важному свойству симплициального действия ¿з — симплициальной лока чьности (раздел 5 3, Теорема 7) представляется в виде суммы вкладов отдельных симплексов триангуляции = Шо-ен ^ При этом вклады За зависят только от сужения полей симплициаль-
ной ВВ-теории на данный симплекс а Вклады Е>а можно
восстановить, зная симплициальиое действие для одного симплекса AD со стандартной триангуляцией для каждой размерности D > 0 Таким образом, благодаря еимплици-альной локальности, задача вычисления симплициального действия Sz для произвольной триангуляции S произвольного многообразия М сводится к серии универсальных вычислений требуется вычислить симшгациа льпое действие Sao для стандартного симплекса AD в каждой размерности D > О
В размерности D = 0 задача вычисления оказывается тривиальной, в размерности D = 1 (индуцирование эффективного действие для отрезка) не вполне тривиальной, однако точно разрешимой (раздел 5 5, Теорема 8) Факт точной вычислимости здесь связан с тем, что действие топологической BF-теории на отрезке, суженное на лагранжево подмногообразие С с Т" по которому вычисляется БВ-интеграл, оказывается квадратичным а значит сам БВ-интеграл — гауссовым Для симплекса старшей размерности D ^ 2 такого упрощения не происходит, и мы не знаем, как получить точный результат Однако можно получить пертурбативный ответ (раздел 5 6 Теорема 9) для , т е предъявить начальный отрезок степенного разложения по полям, вычисляя несколько первых фейнмановских диаграмм для соответствующего БВ-интеграла В разделе 5 6 мы демонстрируем технику, позволяющую вычислять древесные фейпмаповские диаграммы для симплекса общей размерности и частично восстанавливать значения пеглевых диаграмм (также в общей размерности) по древесным Явное вычисление петлевых диаграмм технически ьамного сложнее На примере простейшей нетривиальной петлевой диаграммы для D = 2 такое вычисление продемонстрировано в разделе 5 6 1 Имея пертурбативный ответ для AD с некоторой точностью, мы знаем симплициальиое £>.F-действие для
произвольной триангуляции Н произвольного многообразия М с той же точностью, и с той же точностью можем отсюда получить эффективное действие на когомологиях де Рама многообразия М, вычисляя (теперь уже конечномерный) БВ-иитеграл Пример, когда М есть окружность и Е — ее клеточное разбиение на два отрезка и две точки разобран в разделе 7 3 1 (здесь мы вычисляем точный ответ, а не пертурбативный, поскольку симшпщиалъное действие в размерностях £) = 0,1 нам известно точно)
В разделе 6 мы рассматриваем конструкцию дискретной .¿З^-теории для кубического клеточного разбиения Е многообразия М (те все клетки Н — кубы разных размерностей и клеткам разрешено примыкать только по грани) Эта конструкция мало отличается от симплициальной В Е- теории, в частности здесь выполнено свойство клеточной локальности для клеточного действия (раздел б 2, Теорема 10), полностью аналогичное симплициальному случаю Тем самым, вычисление для произвольного кубического клеточного разбиения Е произвольного многообразия М (водится к серии универсальных вычис гений клеточных действий 3[о для кубов I° в каждой размерности О ^ 0 Отличительной особенностью кубического случая от симплициального является свойство факторизации фейнмаиовских диаграмм для 5/л (раздел 6 3, Теорема 11), существенно упрощающая пертурбативные вычисления для Несмотря на это упрощение, мы, как и в случае .О-симплекса, не можем написать точный ответ для ¿"/о при П ^ 2 Однако, оказывается, что ограничения действия 5/г> на некоторые специальные подпространства в пространстве клеточных полей (например подпространство полей, удовлетворяющих условию периодичности) могут быть точно вычислены Таким образом возникает набор примеров многообразий М со специальными клеточными разбиениями Н, для которых клеточное дей-
ствие вычисляется в точности ( гапример, тор, цилиндр, бутылка Клейна — см раздел 6 4) Из этих примеров могут быть получены примеры многообразий, для которых точно вычисляется эффективное ВF-действие на когомо-логиях (раздел 7 3) Также в ращеле 7 2 мы доказываем некоторые свойства эффективного действия на когомоло-гиях, позволяющие расширить кга( с примеров многообразий, для которых оно может быть точно вычислено
Процедура индуцирования эффективного действия для В F-теории частными с луча? ми которой являются переход от топологической В F-теории на многообразии M к дискретной теории на триангуляции (или кубическом клеточном разбиении) Е, и переход от дискретной теории на триангуляции к эффективной теории на когомологи-ях де Рама М, имеет также алгебраическую интерпретацию Именно, действие топологической В F-теории может быть понято, как производящая функция для структуры DGLA (дифференциальной градуированной алгебры Ли) на пространстве П*(М, g) g-зяачных дифференциальных форм ira M (раздел 4 1) Далее, симштициальпое действие на триангуляции (или кубическом комплексе) Е можно интерпретировать, как производящую функцию для "qL00'-структуры fia пространстве С*(Е, g) g-значных клеточных коцепей на Е (раздел 4 4) Эта структура является некоторым естественным однопетлсвым" вариантом L алгебры При этом БВ-иптеграл, определяющий переход от действия топологической BF-теории к действию Se, можно понять как задающий "гомотопический перенос" алгебраической структуры с пространства дифференциальных форм fi"(M, g) на пространство коцепей С*(Е, g) Мы попытались прояснить эту идею в разделе 4 5В этих терминах интерпретируется также переход от дискретной £? F-теории к эффективной теории на когомологиях, или от исходной топологической S F-теории к эффектив-
ной теории па когомологиях Инвариант многообразия М, даваемый ¿^-теорией,— эффективное действие на когомологиях, рассматриваемое < точностью до канонических преобразований, может быть в алгебраической интерпретации попят как "гомотопический тип алгебры д-значных дифференциальных форм на М, как gLoo-алгебры" (см разделы 4 5 1,71)
Основные результаты Основными результатами данной работы мы считаем следующие
« Утверждение о симплициальной локальности сим-плициального действия (раздел 5 3, Теорема 7) для всякой триангуляции Н всякого многообразия М симплициальное BF-действие SW^-iPe) раскладывается в сумму по (имплексам триангуляции а € Е локальных вклад],ов — некоторых универсальных функций (зависящих только от размерности а), вычисленных на сужениях симплициальных полей и;-, ps на симплекс о Точнее, симттлициальпые поля представляются в виде = Х^о-ен eo-a,<J > Ps = ' гДе ЫЛ?) — базисные коцепи и базисные цепи на S, ассоциированные с симплексами ir 6 S При этом переменные е 0 и ра € д* (им также приписаны некоторые духовые числа зависящие от размерности сг) Тогда утверждение о симплициальной локальности говорит, что симплициальное действие S-, представляется в виде
S~(ujB,pz) = 'Y^Sa{{uj'7'}alCa,pa)
<7&
(детальное обсуждение — см в разделе 5 3) Совершенно аналогичное утверждение выполняется также для случая клеточного действия S~ для кубического клеточного разбиеня Н ногообразия М (раздел 6 2 Теорема 10)
• Явный ответ для сиыплицралыюго В В-действия па 1-симплексе Д1 со стандартной триангуляцией (раздел 5 5, Теорема 8)
01
^дф^^и^ро^ъРО].) = (ро, +
+ (ръ -{со1,^ + (рои ^[о;01,и>° + ш1]+
( втИ
в Пертурбативный результат для симплициальггого В^-действия для 1?-симплекса А° со стандартной триангуляцией (раздел 5 6, Теорема 9)
3&о({иа}аС&°ЛРсг}аСАа) =
= ]Г ^<Ра,Шп>9 +
сг,сг1САп С,<71,<72,&зСД°
+ ^ Е + 0(ры4 + Ни3)
а 1,о-2СД0
где <, >0 есть спаривание между д* и д, и tr0 — след в присоединенном представлении д Комбинаторные коэффициенты е^, с£1!Т2, с£1)£ГаА,, д^^ зависят от
комбинаторики пересечения граней в AD и их возможные значения есть
1'(KI + N + iv1 e{0±_NMf^liNI____,
—^ 1 ' d^i +1<73| +1) (K| + |<72| +N + ir
gaí,a2 e {o, ÁD + (£>- i)BD, ±Bd}
где |<т| — размерность симплекса, конкретное значение каждого коэффициента зависит от комбинаторики пересечения граней и их взаимных ориентации (точная формулировка результата дана в разделе 5 6) Для Ád известно выражение
JL (— "Пп+1
tD =
п=1
(п+1)2(п + 2)
для Во известны лишь значения в низких размерностях D ^ 3
4 = 4 = 0, S2 = i, 4 =
(см явное вычисление в разделе 5 6 1)
в Факторизационная теорема и пертурбативный ответ для клеточного BF-действия Sid для D-куба 1° (раздел 6 3, Теорема 11) Факторизационная теорема означает, что задача вычисления фейнманов-ских диаграмм для Sid сводится к задаче вычисления фейнмановских диаграмм для отрезка I = А1, однако с усложненным пропагатором Кх^ (см раздел 6 1), который есть не просто цепная гомотопия для отрезка, а линейная комбинация цепной гомото-пни, проекции на формы Уитни и единицы
® Набор примеров явно вычислимого клеточного действия (раздел 6 4, Утверждение 15) и примеры явно вычислимого эффективного действия и а когомологи-ях (раздел 7 3) Здесь наиболее интересные примеры — окружность М = 51
(здесь индексы "+" и "/" у полей (оответствукп базису е+ = 1, е/ = сИ в когомологиях де Рама окружности Д"*^1)) и бутылка Клейна М = КВ
(индексы "++", "/+" соответствуют базису е+ч- = 1, е/+ = в #*(КВ))
План работы Разделы 2, 3 являются вводными Разделы 4 и 5 — центральные в данной работе в 4 мы вводим необходимые конструкции на абстрактном уровне, в 5 — применяем их к построению симплициальной версии топологической ВВ-тсории В разделах 6 и 7 мы разрабатываем технику, позволяющую в специальных случаях получать точные ответы для эффективного В В-действия на когомологиях в разделе 6 обсуждается дискретная ВВ-теория на кубическом клеточном разбиении многообразия и свойство факторизации фейнмановских диаграмм, в разделе 7 мы обсуждаем эффективное действие на когомологиях и некоторые примеры, когда оно точно вычисляется
ас!ш/+
2
Теперь мы дадим более развернутый комментарий содержания работы по разделам
• 1 Введение
« 2 Мы даем краткий обзор формализма Ваталина-Вилковыского и необходимых понятий супергеометрии, основываясь преимущественно на работе А Шварца [25]
® 3 Мы даем обзор трех основных методов решения задачи фиксации калибровки для калибровочных теорий ноля — метода Фадцеева-Попова, метода ВРСТ и метода Баталина-Вилковыского В разделе 3 4 мы вводим топологическую ¿?^-теорию и описываем решение проблемы фиксации калибровки для нее, предложенное в [28], [16] Детальный обзор ВР-теории в формализме Баталина-Вилковыского см в
[П1
• 4 Мы в деталях обсуждаем конструкцию эффективного БВ-действия на примере естественного обобщения ВР-теории в БВ-формализме — "абстрактной В^-теории" Также обсуждается алгебраическая интерпретация конструкции индуцирования эффективного действия
— 4 1 Мы вводим абстрактную ВР-теорию — аб-(трактую модель калибровочной теории ноля в БВ-формализме, ассоциированную с унимоду-ляриой дифференциальной градуированной алгеброй Ли V Частный случай абстрактной ВР-теории для V = Г2е(М, д) соответствует (каноническому варианту) топологической Б-Р-тсорни на многообразии М
-42 Обсуждается общая конструкция эффективного БВ-действия и ее важнейшие свойства решение мастер-уравнения переходит в решение мастер-уравнения, при деформации данных индуцирования (деформации калибровочного условия для БВ-интеграла) эффективное действие меняется на каноническое преобразование, каноническое преобразование исходного действия приводит к каноническому преобразованию эффективного действия (Утверждения 2, 4, 3)
— 43 Мы специализируем общую конструкцию эффективного БВ-действия на случай абстрактной Б^-теории Мы вводим класс удобных калибровок (лагранжевых подмногообразий в пространстве ультрафиолетовых полей), ассоциированных с цепными гомотопиями, стягивающими V на подкомплекс, и выводим пертурба-тивное разложение для эффективного действия (Теорема 5) Также мы обсуждаем завис имость эффективного действия от выбора данных индуцирования (Утверждение 6)
— 44 Мы даем алгебраическую интерпретацию эффективного действия для абстрактной ВВ-тсории как производящей функции для некоторой алгебраической структуры на подкомплексе V' V — структуры "дХ-со-алгебры", те набора классических и квантовых операций Цп) ЛпУ —> V', <7(п) А"У —> К, удовлетворяющих двум сериям квадратичных соотношений — 'гомотопическим тождествам Якоби" и "гомотопическим соотношениям унимодулярности" дЬоо-алгебру можно понимать как некоторое естественное однопетлевое пополнение обычной
алгебры (такие объекты появлялись ранее в другом контексте и под другим названием — как алгебры над операдой "wheeled Д»", см [23)) Мы также даем другое эквивалентное описание с труктуры gLoo-ajn ебры на V, как когомологического векторного поля Q на V'[l], снабженного согласованной с ним мерой ¡л на V'[l]
- 4 5 Мы вводим класс "BFco-теорий", ассоциированных с д/^-алгебрами так же, как абстрактные BF-теории ассоциированы с унимодуляр-ными алгебрами Ли Понятие .BFoo-теории можно считать аксиоматизацией эффективной теории для абстрактной SF-теории Эффективное действие для ВFoo-теории — это снова действие типа В Foe, и мы формулируем ряд теории возмущений для такого индуцирования (Теорема 6) На языке qL^-алгебр операция перехода к эффективной теории формулируется как гомотопический перенос qLc0-с1руктуры на подкомплекс V' с—> V Также в разделе 4 5 1 мы обсуждаем понятие эквивалентности для qL^-алгебр, где отношение эквивалентности происходит из канонических преобразований соответствующих SFoo-действий и из операции индуцирования
* 5 Мы применяем конструкции раздела 4 для построения симплициальной В^-теории
— 51,52 Описываются две известных конструкции, позволяющие нам определить данные индуцирования для БВ-иитеграла, определяющего симплициальное BF-действие — формы Уит-шг [29] и оператор цепной гомогоиии Дюпона
[14] В этом изложении мы опираемся на работу
[15]
— 53 Здесь мы формулируем ключевой результат о действии симплициальной -ВВ-теории — свойство симплициальной локальности (Теорема 7) Это свойство позволяет нам свести задачу вычисления симплициального ВВ-действия в общем случае к серии универсальных вычислений для одного стандартно триангулированного симплекса в каждой размерности В = 0Д,2,
— 54 Обсуждается абстрактная конструкция склейки д£/оо~алгебр, которая обобщает построение симплициального действия на триангуляции по симплициальным действиям для ее отдельных симплексов В разделе 5 4 2 мы доказываем на абстрактном уровне, что, при выполнении некоторых условий согласованности, операции склейки и индуцирования коммутируют Это утверждение есть абстрактное обобщение свойства симплициальной локальности симплициального ВВ-действия на триангуляции
— 55 Мы получаем явный результат для симплициального действия на стандартно триангулированном 1-симплек(е (Теорема 8) Де рамов-ские части фейнмановских диаграмм для соответствующего БВ-иитеграла выражаются через числа Бернулли и проверка классического мастер-уравнения на эффективное действие (которое выполнено по конструкции) приводит к нетривиальному (известному ранее [2]) квадратичному соотношению на числа Бернулли — см раздел 5 5 1
- 5 6 Получен пертурбативный результат для симплициального В Р-действия для стандартно триангулированного симплекса общей размерности (Теорема 9) В разделе 5 6 1 продемонстрировано явное вычисление одтгопет-левых фейнмановских диаграмм на примере простейшей нетривиальной диаграммы для 2-симплекса
в б Мы обсуждаем дискретную ВР-теорию на кубическом клеточиол! разбиении многообразия Это обсуждение является модификацией симплициального случая, причем основное отличие состоит в свойстве факторизации имеющем место для фейнмановских диаграмм для клеточного действия куба Это свойство сильно упрощает пертурбативные вычисления и приводит к некоторому набору явных ответов для клеточного действия
— 6 1, 6 2 Обсуждается конструкция тензорного произведения для данных индуцирования с помощью которой строятся данные индуцирования с дифференциальных форм па кубе па клеточные коцепи на кубе и далее, аналогично симплициальпому случаю, данные индуцирования с дифференциальных форм на многообразии на клеточные коцепи кубического клеточного разбиения Последние позволяют определить БВ-интеграл, задающий действие дискретной В Е- теории на кубическом клеточном разбиении многообразия ("клеточное действие") Для клеточного действия выполнено свойство клеточной локальности (Теорема 10), полностью аналогичное свойству симплициальной локальности для симплициального действия на триан-
гулядии
— б 3 Обсуждается свойство факторизации фей-нмановских диаграмм для клеточного действия для куба (происходящее из конструкции тензорного произведения для цепных гомотоний) я выводится пертурбативный ответ (Теорема 11)
— 6 4 Используя свойство факторизации фейн-маповских диаграмм, мы получаем набор примеров явно вычислимого клеточного действия тор, цилиндр, "толстый тор" Исполыуя конструкцию склейки для результата для цилиндра, мы также получаем ответ для б\тьгтки Клейна Примеры сведены вместе в Утверждении 15
в 7 Мы обсуждаем действие эффективной В-Р-теории на когомологиях многообразия, являющееся интересным топологическим инвариантом многообразия Обсуждается возможность его вычисления с помощью дискретной ВР-теории, свойства, позволяющие в некоторых случаях его точно вычислять, и явные примеры
— 7 1 Здесь мы обсуждаем общую картину индуцирования как переноса дЬ^-структуры вдоль стрелок в 'категории ретрактов" и ее специализацию на случай индуцирования эффективного действия для топологической ВР-теории Обсуждается способ вычисления эффективного действия па когомологиях через дискретную В^-теорию
— 7 2 Мы приводим некоторые специальные свойства эффективного действия на когомологиях,
позволяющие в отдельных случаях его явно вычислять
— 73 Мы обсуждаем несколько примеров явно вычислимого эффективного действия на кого-мологиях Самой интересной здесь является пара примеров — окружность и бутылка Клейна
Благодарности Автор хочет поблагодарить своего научного руководителя Л Д Фадцеева за поддержку и внимание к работе и А С Лосева за постановку задачи и идеи, на которых основана вся работа Также автор должен поблагодарить за многочисленные ценные обсуждения Н Б Мнсва, Д Салливана, Ф Шэтца, А Каттанео и Дж Фельдера Из беседы с Д Салливаном автор почерпнул конструкцию тензорного произведения для цепных го-мотопин, которая лежит в основе материала разделов 6 и 7
Список литературы
[1] D Н Adams, R-torsion and linking numbers from srmphcial abehan gauge theories, arXiv hep-th/9612009
[2] T Agoh, К Dilcher, Convolution identities and lacunary recurrences for Bernoulli numbers; Journal of Numbei Theory 124, 1 (2006), 105-122
[3] M Aleksandrov, M Kontsevich, A Schwarz and О Zaboionsky, The geometry of the master equation and topological quantum field theory, Int J Mod Phys A 12 (1997), 1405-1430
[4] V Alexandrov, D Krotov, A Losev, V Lysov, On pure spinor superfield formalism, arXiv 0705 2191
[5] Ф А Березин, Введение в алгебру и анализ с анти-коммутирующими переменными, МГУ (1983)
[6] I Batalm, G Vilkovisky, Gauge algebra and quantization, Physics Letters 102B, 27 (1981)
[7] I Batalm, G Vilkovi&ky, Quantization, of (jaaqe throne, with linearly dependent generators, Phys Rev D29, 2567 (1983)
[8] A Bousfield, V Guggenheim, On PL de Rham theory and rational homotopy type, Mem Amei Math Soc 179 (1976)
[9] A S Cattaneo, P Cotta-Ramusmo, J Fcochlich, M Maitellmi, Topological BF theories in 3 and 4 dimensions, J Math Phys 36 (1995) 6137-6160
[10] A S Cattaneo and G Fcldci, A path integral approach to the Kontsevich quantization formula arXiv math QA/9902090
[11] A S Cattaneo and С A Rossi Higher-dimensional BF theones in the Batahn-Vdkoutsky formalism the BV action and generalized Wilson loops, aiXiv math QA/0010172
[12] X Cheng, E Getzler Transferring homotopy commutative algebraic structures, aiXiv math AT/0610912
[13] К Costello, Renormahsation and the Batahn-Vilkomsky formalism, arXiv math QA/0706 1533
[14] J Dupont, Simphcial de Rham cohomology and characteristic classes of flat bundles, Topology 15 (1976), 233-245
[15[ E Getzlei, Lie theory for nilpotent L^-alqebras, math AT/0404003
j 101 H Ikenioii, Ej,tended, form method for arihfield-BRST formalism for BF theories, aiXiv hep-th/9205111
[17] H Khuclaverchan, Semidensities on odd symplectic supermanifolds, arXiv math DG/0012256
[18] A A Knillov, Elements of the Theory of Representations, vol 220 of Gruncllehren Math Wish Spungei, Berlin, 1976
[19j M Kontsevich, Deformation quantization of Poisson manifolds, q-alg/9709040
[20] M Kontscvich, Y Soibelman Hornological mirror symmetry and torus fibrations, aiXiv math/0011041
[21] R Lawrence, D Sullivan, A free differential Lie algebra for the interval, arXiv math AT/0610949
|22| D Kiotov, A Losev, Quantum peld theory ai effective BV theory from Chern-Simons, aiXiv hep-th/0603201
[23] S Meikulov, PROP profile of deformation quantization and graph complexes with loops and wheels, aiXiv math/0412257
[24] P Mnev, Notes on simphcial BF theory, arXiv hep-th/0610326
[25] A Schwaiz, Geometry of Batahn-Vilkovisky quantization, Commun Math Phys 155 (1993) 249-260
[26] P Severa, On the origin of the BV operator on odd sympleciic super manifolds, arXiv math/0506331
[27] D Sullivan, Infinitesimal computations m topology, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 47 (1977), 269331
[28] J C Wallet, Algebraic set-up for the gauge fixing of BF and super BF systems, Phys Lett B 235 (1990) 71-78
[29] H Whitney, Geometric integration theory, Princeton University Piess, Princeton, N J , 1957
[30] E Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial, Commun Math Phys 121, 3 (1989) 351-399
Публикации автора по теме диссертации
[31] П Н Мнев, О симплициалъной супер-В Р модели, Записки научных семинаров ПОМИ 331 (2006), 84-90
[32[ П Н Мнев, О симплициалъной ВР-теор'ии, Доклады АН 418, 3 (2008), 1-5
Отпечатано в ООО «ПОЛЭКС», В О ул. Кораблестроителейд 18 Зак. № 06 от 24 01.2008 г. Тираж 105 экз.
Основные обозначения
1. Введение
1.1. Основные результаты
1.2. План работы
1.3. Благодарности
2. Основные понятия формализма Баталина-Вилковыского
2.1. Алгебры Герштенхабера и алгебры Баталина-Вилковыского
2.2. Z-градуированные многообразия
2.3. /-"-многообразия
2.4. SP-многообразия
2.5. Интегралы по лагранжевым подмногообразиям
2.6. Мастер-уравнение 25 2.6.1. Калибровочные преобразования в БВ-формализме
3. Фиксация калибровки
3.1. Фиксация калибровки: метод Фаддеева-Попова
3.2. Фиксация калибровки: метод БРСТ
3.3. Фиксация калибровки: метод Баталина-Вилковыского
3.4. Топологическая .ВР-теория
4. Абстрактная jB-F-теория и индуцирование эффективного действия для неё
4.1. Абстрактная ^F-теория
4.2. Эффективное БВ-действие: общая идея
4.3. Эффективное действие для абстрактной ВР-теории
4.4. Эффективное действие абстрактной BF-теории, как производящая функция для алгебраической структуры на подкомплексе
4.5. AFoo-теория
4.5.1. Эквивалентность qrLoo-алгебр
4.5.2. Интерпретация эффективного действия через Loo-морфизм и кручение
5. Эффективная .В^-теория на симплициальном комплексе
5.1. Формы Уитни
5.2. Оператор цепной гомотопии Дюпона
5.3. Симплициальное BF-действие
5.4. Конструкция склейки для gLoo-алгебр
5.4.1. Конструкция наложения граничного условия
5.4.2. Согласованность операций склеивания и индуцирования
5.5. Симплициальное ВF-действие на отрезке
5.5.1. Явная проверка мастер-уравнения для
5.5.2. Индуцированная gioo-структура на (^"(А1, б)
5.5.3. Примеры конструкций из раздела 5.4: склеивание двух отрезков по граничной точке, склеивание отрезка в окружность, отрывание граничной точки
5.6. Пертурбативные результаты для симплексов размерности D > 2 132 5.6.1. Явное вычисление супер-следа Сд2 (*(„,.)) па 2-симплексе в координатном представлении
6. Эффективная BF-теория на кубическом комплексе
6.1. Тензорное произведение данных индуцирования
6.2. Данные индуцирования для кубического комплекса, клеточное BF-действие на кубическом комплексе, клеточная локальность
6.3. Факторизация фейнмановских диаграмм, пертурбативный результат для
-куба
6.4. Примеры точно вычислимого клеточного jBF-действия: тор, цилиндр, бутылка Клейна
6.4.1. Тор Т2 в симметричной калибровке
6.4.2. Top Tld в асимметричной калибровке
6.4.3. Каноническое преобразование, связывающее результаты для Sj2 в симметричной и асимметричной калибровках
6.4.4. Цилиндр / х S1, толстый тор I х TD
6.4.5. Бутылка Клейна
7. Эффективная SF-теория на когомологиях де Рама многообразия
7.1. Категория ретрактов
7.2. Специальные свойства эффективного BF-действия на когомологиях
7.2.1. Циклическая симметрия фейнмановских деревьев для ^^■•(Мв) для индуцирования Ходжа
7.2.2. Оценки на допустимые степени когомологий в фейнмановских диаграммах для 5я»(м,в)
7.2.3. Эффективное действие на когомологиях произведения многообразий
7.3. Примеры
7.3.1. Окружность, тор, сфера
7.3.2. Бутылка Клейна 211 Список литературы
Основные обозначения.
• Л4, Л/", и т.д. — Z-градуированные многообразия.
• Fun(.M) — алгебра функций на Л4.
• — сдвиг градуировки Z-градуированного векторного пространства. При этом градуировка функций на V сдвигается на +к (соответственно, градуировка самих векторов V — на — к).
• П'(Лк) — алгебра дифференциальных форм на Л4.
• 5*, Л" — симметрическая и внешняя алгебра.
• б или gh — грассманова степень (духовое число).
• Т[1]Л4, Т*[—1]М — касательное и кокасательное расслоение со сдвинутой градуировкой слоя.
• <•,•> — каноническое спаривание между Ъ-градуированным векторным пространством V и двойственным V*. Обычно предполагается, что первый аргумент — из V*, второй — из V.
• и> — нечётная симплектическая форма (только в разделе 2; в дальнейшем обозначение lи закрепляется за супер-связностью).
• ц, р — мера на Z-градуированном многообразии и её плотность.
• (za) — общая система координат.
• — система координат Дарбу.
• (Ф°, Ф+) — (начиная с 3.3) система координат Дарбу, связанная с "физическим" лагранжевым подмногообразием (БРСТ-полей).
• {•, •} — анти-скобка.
• А — БВ-лапласиан.
• L — лагранжево подмногообразие.
• Ф — фиксирующий калибровку фермион.
• h — инфинитезимальный параметр (постоянная Планка).
• Sci, S — классическое действие и БВ-действие, Sk коэффициент при hk в S ("к-петлевая часть S").
• ы,р — супер-поля ВF-теории (начиная с 3.4).
• [•, •] — коммутатор, всегда понимаемый в супер-смысле.
• 9(х) — функция Хэвисайда: 6(х) = 1 при х > 0 и в{х) = 0 при х < 0.
• С™ = W! (n—m)'. ~ биномиальный коэффициент.
• 0 — алгебра Ли калибровочной группы G.
• Е — клеточный комплекс (обычно, триангуляция многообразия или кубическое клеточное разбиение многообразия), С"(Е) — комплекс клеточных коцепей на
• H'(V) — когомологии Ъ-градуированного векторного пространства V, Н'(М) — когомологии де Рама многообразия М.
• Дп — стандартный n-симплекс с барицентрическими координатами (to,., tn), to+ ----\-tn = 1, to > 0,., tn > 0, In — стандартный n-куб с декартовыми координатами (t\,., tn), 0 < t\ < 1,., 0 < tn < 1.
• о- — симплекс триангуляции, С — клетка кубического клеточного комплекса.
• I или [0,1] — единичный отрезок, Sn — n-сфера, Тп — n-тор, KB — бутылка Клейна.
• 13п — числа Бернулли, Bn(t) — полиномы Бернулли.
• i — вложение, г — ретракция, К — цепная гомотопия.
• R — генератор инфинитезимального канонического преобразования.
• Q — когомологическое векторное поле (БРСТ-оператор).
• ^(п)> %п) ~~ классические и квантовые n-арные операции.
• х<т — форма Уитни, ассоциированная с симплексом ег.
Данная работа содержит результаты, полученные автором в рамках работы над сим-плициальной программой А. Лосева для топологических квантовых теорий поля. Цель программы — эквивалентная замена топологической теории поля в лагранжевом формализме на симплициальный (или, в более общей ситуации, клеточный) вариант. При этом бесконечномерное пространство полей топологической теории заменяется на некоторое конечномерное пространство, связанное с триангуляцией (или с более общим клеточным разбиением). Действие топологической теории заменяется на некоторую функцию (симплициальное действие) на этом конечномерном пространстве. Наблюдаемые топологической теории также должны быть заменены на симплициальные аналоги. При этом замена топологической теории поля на её симплициальную версию должна быть эквивалентной, т.е. корреляторы наблюдаемых должны переходить в корреляторы соответствующих симплициальных наблюдаемых (при этом не предполагается переходить к пределу измельчения триангуляции: любая триангуляция должна давать точный ответ). Обладая симплициальным эквивалентом топологической теории поля, мы можем вычислять корреляторы последней с помощью конечномерных интегралов, а не континуальных.
Одной из целей симплициальной программы является построение симплициальной версии теории Черна-Саймонса (дающей инварианты узлов и 3-многообразий [30]) и пуассоновой сигма-модели (обслуживающей деформационное квантование Концевича [19], [10]). В данной работе рассматривается более простая (однако, тесно связанная с обеими перечисленными выше) модель топологической теории поля: .BF-теория. Кроме того, существенное упрощение состоит в том, что мы не рассматриваем наблюдаемые. Роль корреляторов для нас играет "эффективное действие на когомологиях де Рама многообразия" — интересный топологический инвариант многообразия, который может быть вычислен из симплициальной версии BF-теории (раздел 7.1).
Классическое действие BF-теории на компактном ориентируемом многообразии М имеет вид где Fa = d,A-\-Af\A есть кривизна связности А. Классические поля теории есть связность А в тривиальном главном G-расслоении на М и поле В — g-значная (dim М — 2)-форма на М. Здесь G — компактная группа Ли (калибровочная группа) и д — её алгебра Ли. BF-теория определена для многообразия М произвольной размерности, причём М разрешено иметь границу (переходя к канонической BF-теории, см. раздел 3.4, мы также разрешаем неориентируемые М; во избежание путаницы заметим, что слово "канонический" здесь не имеет отношения к каноническому квантованию). Классическое действие
BF-теории имеет довольно сложную (приводимую и открытую на втором этаже башни приводимости) калибровочную симметрию в размерностях > 4, и для решения задачи фиксации калибровки необходим формализм Баталина-Вилковыского. В формализме Баталина-Вилковыского (в дальнейшем — "БВ-формализм") классические поля А и В заменяются на БВ-супер-поля Ли В — две неоднородные g-значные дифференциальные формы на М (являющиеся удобным способом собрать вместе исходные классические поля, духи для всех этажей башни приводимости калибровочной симметрии, антиполя к классическим полям и антиполя к духам). В терминах су пер-полей А, В мастер-действие (оно же БВ-действие), имеет вид
Симплициальный эквивалент J3.F-теории естественно строить на уровне мастер-действия и пространства БВ-полей (а не классического действия и классического пространства полей). В качестве пространства (симплициальных) БВ-полей для триангуляции Е многообразия М берётся некоторое конечномерное пространство J--=. строящееся по пространству С* (Е, д) д-значных клеточных коцепей на Е (которые играют роль симпли-циального аналога д-значных дифференциальных форм на М). Именно, Ts. строится как нечётное кокасательное расслоение, к сдвинутому по градуировке пространству клеточных коцепей: Т-= = Г*[—1](С"(Е, д)[1]). В качестве координат в базе Т-= используется симплициальное супер-поле — неоднородная g-значная клеточная коцепь, компонентам разных степеней которой приписаны духовые числа, так что выполнено deg +gh = 1; в качестве координат в слое используется второе симплициальное супер-поле рз — неоднородная д*-значная клеточная цепь, компонентам которой также приписаны духовые числа, так что выполнено deg -fgh = —2. Здесь u)-= — симплициальный аналог БВ-супер-поля А топологической Втеории, а — симплициальный аналог Д,, т.е. БВ-супер-поля В топологической BF-теории, с опущенным индексом по отношению к спариванию trfM • А • (формулировка топологической BF-теории в терминах полей А, Вэ с мастер-действием S =< B\ndA+ \ {А, А] > иногда называется "канонической" -BF-теорией).
В качестве симплициального БВ-действия предлагается взять эффективное действие, индуцированное на Имеется ввиду, что мы разделяем бесконечномерное пространство БВ-полей топологической Б^-теории на М (точнее, её канонического варианта) на инфракрасную и ультрафиолетовую части причём инфракрасная часть есть F = Т-= (ультрафиолетовая часть пространства J^m, тем самым, бесконечномерна). Эффективное действие 5= на инфракрасных полях следует определить с помощью континуального интеграла по ультрафиолетовым полям. Это стандартная конструкция квантовой теории поля, и ясно, в каком смысле она приводит к эквивалентному действию: квантовые флуктуации в ультрафиолетовых направлениях уже учтены в Однако, поскольку мы имеем дело с калибровочной теорией в БВ-формализме, конструкция эффективного действия должна быть модифицирована (стандартная конструкция давала бы пертурбативно-неопределённый интеграл по Т"). Именно, следует выбрать лагранжево подмногообразие в пространстве ультрафиолетовых полей L С Т" и определять эффективное БВ-действие на Т' как континуальный интеграл по С, а не по всему Т". Интегралы такого типа называются БВ-интегралами и выбор С есть выбор калибровки для БВ-интеграла. Конструкция эффективного БВ-действия обсуждается в разделе 4.2. Главные особенности этой конструкции: во-первых, она переводит решения мастер-уравнения в решения мастер уравнения на инфракрасных полях. Во-вторых, зависимость от выбора С контролируется, а именно, изменение £ приводит к каноническому преобразованию для эффективного действия. Для интересующего нас случая индуцирования эффективного действия для топологической -B-F-теории на пространстве инфракрасных БВ-полей предлагается строить лагранжево подмногообразие С С Т" с помощью оператора цепной гомотопии стягивающей комплекс де Рама многообразия М на подкомплекс форм Уитни триангуляции Н, изоморфный комплексу клеточных коцепей на Е (разделы 4.3, 5.1, 5.2). Оператор К-= "склеивается" из некоторых явно заданных операторов (операторов Дюпона) для отдельных симплексов Е. Важным свойством эффективного действия для BF-теории является то, что соответствующий БВ-интеграл раскладывается в ряд по диаграммам Фейнмана, содержащий только древесные и однопетлевые диаграммы (раздел 4.3, Теорема 5).
Конструкция К-= или, иначе, выбор калибровки для БВ-интеграла, определяющего индуцирование, приводят к другому важному свойству симплициального действия 5= — симплициальной локальности (раздел 5.3, Теорема 7): S-= представляется в виде суммы вкладов отдельных симплексов триангуляции <5= = X^sE ^ • При этом вклады Sa зависят только от сужения полей р= симплициальной BF-теории на данный симплекс а. Вклады Sa можно восстановить, зная симплициальное действие для одного симплекса со стандартной триангуляцией для каждой размерности D > 0. Таким образом, благодаря симплициальной локальности, задача вычисления симплициального действия S-= для произвольной триангуляции £ произвольного многообразия М сводится к серии универсальных вычислений: требуется вычислить симплициальное действие 6"до для стандартного симплекса AD в каждой размерности D > 0.
В размерности D = 0 задача вычисления S^d оказывается тривиальной, в размерности D = 1 (индуцирование эффективного действие для отрезка) не вполне тривиальной, однако точно разрешимой (раздел 5.5, Теорема 8). Факт точной вычислимости здесь связан с тем, что действие топологической йР-теории на отрезке, суженное на лагранжево подмногообразие С, С Т", но которому вычисляется БВ-интеграл, оказывается квадратичным, а значит, сам БВ-интеграл — гауссовым. Для симплекса старшей размерности D > 2 такого упрощения не происходит, и мы не знаем, как получить точный результат. Однако, можно получить пертурбативный ответ (раздел 5.6, Теорема 9) для 5до, т.е. предъявить начальный отрезок степенного разложения по полям, вычисляя несколько первых фейнмановских диаграмм для соответствующего БВ-интеграла. В разделе 5.6 мы демонстрируем технику, позволяющую вычислять древесные фейнманов-ские диаграммы для симплекса общей размерности и частично восстанавливать значения петлевых диаграмм (также в общей размерности) по древесным. Явное вычисление петлевых диаграмм технически намного сложнее. На примере простейшей нетривиальной петлевой диаграммы для D — 2 такое вычисление продемонстрировано в разделе 5.6.1. Имея пертурбативный ответ для с некоторой точностью, мы знаем симплициальное 13-F-действие для произвольной триангуляции £ произвольного многообразия М с той же точностью, и с той же точностью можем отсюда получить эффективное действие на когомологиях де Рама многообразия М, вычисляя (теперь уже конечномерный) БВ-интеграл. Пример, когда М есть окружность и 2 — её клеточное разбиение на два отрезка и две точки, разобран в разделе 7.3.1 (здесь мы вычисляем точный ответ, а не пертурбативный, поскольку симплициальное действие в размерностях D = 0,1 нам известно точно).
В разделе 6 мы рассматриваем конструкцию дискретной В^-теории для кубического клеточного разбиения Н многообразия М (т.е. все клетки Е! — кубы разных размерностей и клеткам разрешено примыкать только по грани). Эта конструкция мало отличается от симплициальной BF-теории, в частности здесь выполнено свойство клеточной локальности для клеточного действия (раздел 6.2, Теорема 10), полностью аналогичное симплициальному случаю. Тем самым, вычисление 5= для произвольного кубического клеточного разбиения Е произвольного многообразия М сводится к серии универсальных вычислений клеточных действий Sjd для кубов ID в каждой размерности D > 0. Отличительной особенностью кубического случая от симплициального является свойство факторизации фейнмановских диаграмм для Sjd (раздел 6.3, Теорема 11), существенно упрощающая пертурбативные вычисления для Sjd . Несмотря на это упрощение, мы, как и в случае D-симплекса, не можем написать точный ответ для Sjd при D > 2. Однако, оказывается, что ограничения действия Sjd на некоторые специальные подпространства в пространстве клеточных полей (например, подпространство полей, удовлетворяющих условию периодичности) могут быть точно вычислены. Таким образом возникает набор примеров многообразий М со специальными клеточными разбиениями Е, для которых клеточное действие вычисляется в точности (например, тор, цилиндр, бутылка Клейна — см. раздел 6.4). Из этих примеров могут быть получены примеры многообразий, для которых точно вычисляется эффективное BF-действие на когомологиях (раздел 7.3). Также в разделе 7.2 мы доказываем некоторые свойства эффективного действия на когомологиях, позволяющие расширить класс примеров многообразий, для которых оно может быть точно вычислено.
Процедура индуцирования эффективного действия для BF-теории, частными случаями которой являются переход от топологической .В^-теории на многообразии М к дискретной теории на триангуляции (или кубическом клеточном разбиении) Е, и переход от дискретной теории на триангуляции к эффективной теории на когомологиях де Рама М, имеет также алгебраическую интерпретацию. Именно, действие топологической BF-теории может быть понято, как производящая функция для структуры DGLA (дифференциальной градуированной алгебры Ли) на пространстве Г2*(М, д) д-значных дифференциальных форм на М (раздел 4.1). Далее, симплициальное действие на триангуляции (или кубическом комплексе) Е можно интерпретировать, как производящую функцию для "gLoo'-структуры на пространстве С*(Е, д) д-значных клеточных коцепей на Е (раздел 4.4). Эта структура является некоторым естественным "однопетлевым" вариантом Loo-алгебры. При этом БВ-интеграл, определяющий переход от действия топологической ЛР-теории к действию £>=, можно понять как задающий "гомотопический перенос" алгебраической структуры с пространства дифференциальных форм П" (М, д) на пространство коцепей С"(Е, д). Мы попытались прояснить эту идею в разделе 4.5. В этих терминах интерпретируется также переход от дискретной BF-теории к эффективной теории на когомологиях, или от исходной топологической B-F-теории к эффективной теории на когомологиях. Инвариант многообразия М, даваемый SF-теорией,— эффективное действие на когомологиях, рассматриваемое с точностью до канонических преобразований, может быть в алгебраической интерпретации понят как "гомотопический тип алгебры g-значных дифференциальных форм на М, как qLoo-алгебры" (см. разделы 4.5.1, 7.1).
1. D. Н. Adams, R-torsion and linking numbers from simplicial abelian gauge theories, arXiv:hep-th/9612009
2. T. Agoh, K. Dilcher, Convolution identities and lacunary recurrences for Bernoulli numbers, Journal of Number Theory 124, 1 (2006), 105-122
3. M. Aleksandrov, M. Kontsevich, A. Schwarz and O. Zaboronsky, The geometry of the master equation and topological quantum field theory, Int. J. Mod. Phys. A 12 (1997), 1405-1430
4. V. Alexandrov, D. Krotov, A. Losev, V. Lysov, On pure spinor superfield formalism, arXiv:0705.2191
5. Ф. А. Березин, Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующшш переменными, МГУ (1983)
6. I. Batalin, G. Vilkovisky, Gauge algebra and quantization, Physics Letters 102B, 27 (1981)
7. I. Batalin, G. Vilkovisky, Quantization of gauge theories with linearly dependent generators, Phys. Rev. D29, 2567 (1983)
8. A. Bousfield, V. Guggenheim, On PL de Rham theory and rational homotopy type, Mem. Amer. Math. Soc. 179 (1976)
9. A. S. Cattaneo, P. Cotta-Ramusino, J. Froehlich, M. Martellini, Topological BF theories in 3 and 4 dimensions, J. Math. Pliys. 36 (1995) 6137-6160
10. A. S. Cattaneo and G. Felder, A path integral approach to the Kontsevich quantization formula, arXiv:math. QA/9902090
11. A. S. Cattaneo and C. A. Rossi, Higher- dimensional В F theories in the Batalin-Vilkovisky formalism: the BV action and generalized Wilson loops, arXiv:math.QA/0010172
12. X. Cheng, E. Getzler, Transferring homotopy commutative algebraic structures, arXiv:math. AT/0610912
13. K. Costello, Renormalisation and the Batalin-Vilkovisky formalism, arXiv:math.QA/0706.1533
14. J. Dupont, Simplicial de Rham cohomology and characteristic classes of flat bundles, Topology 15 (1976), 233-245
15. E. Getzler, Lie theory for nilpotent Loo- algebras, math.AT/0404003
16. H. Ikemori, Extended form method for antifield-BRST formalism for BF theories, arXiv:hep-th/9205111
17. H. Khudaverdian, Semidensities on odd symplectic supermanifolds, arXiv:math.DG/0012256
18. A. A. Kirillov, Elements of the Theory of Representations, vol. 220 of Grundlehren Math. Wiss., Springer, Berlin, 1976
19. M. Kontsevich, Deformation quantization of Poisson manifolds, q-alg/9709040
20. M. Kontsevich, Y. Soibelman, Homological mirror symmetry and torus fibrations, arXiv:math/0011041
21. R. Lawrence, D. Sullivan, A free differential Lie algebra for the interval, arXiv:math. AT/0610949
22. D. Krotov, A. Losev, Quantum field theory as effective В V theory from Chern-Simons, arXiv: hep-th/0603201
23. S. Merkulov, PROP profile of deformation quantization and graph complexes with loops and wheels, arXiv:math/0412257
24. P. Mnev, Notes on simplicial BF theory, arXiv:hep-th/0610326
25. A. Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization, Commun. Math. Phys. 155 (1993) 249-260
26. P. Severa, On the origin of the BV operator on odd symplectic supermanifolds, arXiv:math/0506331
27. D. Sullivan, Infinitesimal computations in topology, Publications Mathematiques de 1'IHES, 47 (1977), 269-331
28. J. С. Wallet, Algebraic set-up for the gauge fixing of BF and super BF systems, Phys. Lett. В 235 (1990) 71-78
29. H. Whitney, Geometric integration theory, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1957
30. E. Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial, Commun. Math. Phys. 121, 3 (1989) 351-399Публикации автора по теме диссертации.
31. П. Н. Мнёв, О симплициалъной cynep-BF модели, Записки научных семинаров ПО-МИ 331 (2006), 84-90
32. П. Н. Мнёв, О симплициалъной ВF-теории, Доклады АН 418, 3 (2008), 1-5
