Сингулярно возмущенные системы простых дифференциальных уравнений. Равномерные схемы высокого порядка точности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 од г і :;:ои взз

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

Київський університет їй. Тараса Шевченка

На правах рукопису

ГУМИНСЬКИИ ВІКТОР ВАЛЕНТИНОВИЧ

СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНІ СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ.

РІВНОМІРНІ СХЕМИ ВИСОКОГО ПОРЯДКУ ТОЧНОСТІ.

(01.01.07 - о<Зчисяюаальна математика)

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на адодуття вченого ступеня кандидата фізнко-матеиатячних наук

Київ - 1693

Робота виконане ва кафедрі обчислювальний методів математичної фаакхя факультету кібернетики Київського університету їй. Тараса Шевченка.

Науковий керівник

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, професор

Макаров Володимир Леонідович доктор фізико-математичких наук. Дейнека Василь Максимович, кандидат фізико-математичюгх наук, Приказчиков Віктор Георгійович.

Велуча організація

МДУ, факультет обчислювальної математики та кібернетики.

Захист дисертації відбудеться 1993 року

о годині яа засіданні спеціалізованої ради 0 068.18.10. в Київському університеті їм. Тараса Шевченка за адресою: 252127 Київ 127, проспект Академіка Глуакова, В. факультет кібернетики, ауд.

Із дасертаиісп мовна ознайомитися у бібліотеці Київського університету їм. Тараса Шевченка Свул.Володимирська,58).

Автореферат ров1слг»яс "____" __________________ 1993 року.

Вчений секретар спеціалізованої ряди кашпшят філ -уат. наук, доиемт

А. В. Кузьмів

І. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Актуальність теки. Багато задач фізики, механіки та техніки призводять до необхідності розв'язувати крайові задачі для диференціальних рівнянь та їх систем. Особливе місце серед них займають сингулярно збурені задачі, або, як їх яе називають, задачі з малим параметром при старшій похідній. Прикладами можуть служити задачі про перенос тепла з великіїіа числами Піклв, про течкі Наиьє-Стокса з великими числами Рейнольдса , задачі -магнітної гідродинаміки з великими числами Хартмана, задачі про

обчисленння опору, який виникає при.обтіканні ті'ла, визначення опору треття корабля, профіля крила або лопатки турбіни, а також задачі, цо описують всіляхі дифузійно-конвективні процеси чи споріднені явиаа в іниях галузях сучасної науки.

Велика кількість робіт присвячувалась та присвячується ВИВЧ9НН0 вказаного хласу задач, з котрих запропоновані різні иэтоди їх чисельного розв'язку: сіткові (робота ЛісєЯкІна В.Д., Ільїна 0.Н., Єкельягнова К. 0., Шкігхіна Г. І. і т. д. У; ітераційні (роботи Иарчуха Г. І., Ільїна В. П., ^ямайського В.Є. 1 т. д. І»

асимптотичні (робота Бахвалоза Н.С., Лідського В. В., 1 т. д. );

катоди збурень, які виниклі у зв'язку Із розв'язуванням задач пебесної механіка (роботи Ляпунова 0.М., Васильєвої А.В.,

Бутузова В. Ф., Ваенка !(. И., Лссгерліка Л. А., Ваи Дейка, НаР.фа А.Х і т.д.) та Ін.

Разок а тим до теперешнього часу ва розроблено елективних, високоточних алгоритмів розв'язування цілого ряду підкласі* саягулярно збурених задач : схстем ЗДР, рівшкгь а «г&спгазях позідяю?, нелінійних явфгрешиояьют рівяяиь. Ьїгйбіяьшаї» іятерсв продстазляз вроблена побудова ріввсаіршк во кзлсяу сэрг^этр/ чзсояытх *ягтодів (азсккість зЗІганид гглгх »*леюгг* від

' І -малого параметру). Проблемо*) побудови таких методів для систем

ЗДР займалась Дулан Е. , Міллєр Д*., Шилдерс У.. Шишкін Г.І. та ін.

Разом а тим досі не вдалось створити ефективних високоточних

чисельних методів для розв'зування сингулярно збурених крайових

задач для систем ЗДР 2-го порядку.

Все вишвкаэане ой грунтов ус актуальність проблеми побудов* ефективних високоточних чисельних методів для розв'зування крайових задач для сингулярно збурених систем ЗДР 2-го порядку, рівномірних за малим параметром.

Мета роботи. Побудова та обгрунтування рівномірного по малому параметру високоточного чисельного методу для розв’язання сингулярно збурених крайових задач для систем ЗДР 2-го порядку. Програмна реалізація запропонованого чисельного методу на ЕОМ.

Наукова новизна. Для побудови чисельного методу високого порядку точності рівномірного за малим параметром використовується П)-метод, запропонований та реалізований для скалярного випадку в роботах Махарова В.Л. Реалізація цього підходу суттєво використовує іязтод точних та усічених трьохточкових різницевих схем для систем ЭДР 2-го порядку, який впорає був введений та розроблений для окалярної задачі 0. М. Тижоновнм та 0.А. Самарським. Оскільки теорія точних різницевих схем для систем ЭДР и© повинна залатати від присутності або відсутності малого парамотру в головній частині диїаранціалького оператора, тому необхідно спочатку розробити таку теорію, яку потім можна використати тим чи іншим чином в залежності віл конкретної ситуації. Конструктивно доведЬно Існування та коефіцієнтна стійкість точної трьохточхової різницевої схеми (т.т.р.с.) для системи ЗДР 2-го порядку а кусково неперервними весамоссряхяшш матрично векторними коефіциентаки. Побудована т.р.о. ыгоокого порядку точності на нерівномірній сітці, реалізація

з

якої пов'язана Із розв'язалита 4 СМ-1Э задач Коші С М-1 - кількість знутрішніх ВуЗЛІВ сітки ).

Запропоновано та обгрунтовано рівномірний чисельний метод високого порядку точності для розв'язування сингулярно збуреної системи ЭДР 2-го поярдку. - .

Створена програмна реалізація запропонованих алгоритмів адаптивна по відношенню до існування або відсутності сингулярного обурення системи ЗДР.

Практична цінність. В дисертації запропонований достатньо загальний підхід до чисельного розв’язування систем ЗДР 2-го порядку, Для сингулярно збурених* системи ЗДР 2-го порядку пропонується РИ-метод, який є рівномірним по малому параметру. Якйо в системі відсутнє сингулярне збурення, то обгрунтовується доцільність використання методу точних та усічених трьохточкових різницевих схем, який дає значний виграш в обчислювальних витратах в

порівнянні з застосуванням П)-ыетоду. Ця ідеологія втілена в програмну реалізацій, до представляє практичну

цінність.

Апробація роботи. Результати роботи доповідались на республіканському семінарі "Теорія різницевих схем" в Київському університеті їм. Тараса Шевченха.

Публікації. Основні результати дисертації надруковані в роботах (1-4].

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається із вступу, двох глав, доданку та списку літератури, містить сторінок машинописного тексту. .

II. ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі наводиться огляд основних робіт з досліджуваної тйізі, обгрунтовується актуальність та отруктура роботй, дається

скорочений вміст дисертації.

Пооаа глава присвячена побудові та дослідженню т.т.р.с. та усіченої т. р. о. п-го порядку точності для систем ЗДР 2-го порядку

і.ср'юисхз в ^ [рсх;^-х-))-вгх;і!сх;с-/С)^. * є сол; ш

иСО) * ЙСО «= 0 . (2)

де матриці РСх? » Ср^х?]* ОСх) « Іта вектор }(х) в ^ /4Сх? | а вадоаіяьняють умовам

С^ИиПг < СРСх^и.З;, С,>0, V V є К "V V х <з I0.il,

рі]Сх^ в ФЧІо,1), (3)

є Сріо.іі, (4)

Сх^ е бРГо.П, С5)

^/0, і^ - клас фуюедій із хускоБо-воперервнвш похідними до 8-го порядку ВКЛЮЧНО, 8 КІНЦ08ЯМ числом точок розриву.

В п.1 при узжаі існування та едкності розв'язку задачі Ш-С9) ( п-0 ) на неріввомірній оітці конструктивно доведено Існування т. т.р. с. .

Теореиа 1. НояаЯ існує едхнкЯ розв'язок задачі Ш-СЗ) при п-0, тоді для неї Існує т. т. р. о,, причому вона моке бути представлена у вигляді: ■

Лй в^- ^Ьх^гїХ' ^вНхрй- ^-О^иСхр * -<ру, Ху « (0)

й0 = йи о 0, ху 5 (7)

лкхр » [і- У^хр) \ вкх^ * ( і- У^Схр] ! (8)

< 2 -* ** ^ сі ’ & ■*

V атАУ кх,«-іл»-е). <о>

Ь =й|(-°*Рлм ■ У" )• “0)

* N

до о б (0,1}: і=і,Н-І, Ху-Ху,^ Пу>0, х0я0,х^ /.Е^у а

тшса нерівномірна сітка, що сукупність точок розриву коаііцієнтів

задачі (1)-(5) е підмнопшоп сітки .

“У * І — -

(х?, М,2 - розв'язки олідуючих задач Коші ка інтервалі Сх^_р х^+<) :

іЯ’.в^Сх) ЕД[ ■ 0, хе(х]Ч,х^р (113

;=0- ("Л*> й - С:°к+І£ (,2}

іСР,0>¥^Сх} « - /СхЛ (13)

-і - г ■* ■*

С^*С-1)к ;з( 1ЛС>4> в РС;° <Гх ^Сх>) = °* *=*>г* С14>

ІХ8ХІ+С-І^

ВЛЛ встановлені апріорні оцінки розв'язків задач Козі для иабяошшх матричних функцій та доведена коефіцієнтна отіЯкість т.т.р.с. (1)-(3). _ '

Поруч із т.т. р.о. (1)-(9) розглядається збурзна т.р.о.:

4 4 4 4

^Л» . *У Л» V *>» V '

г (Лм„ 4- ..Влг - Ом* *- б,, X; « « ь

К] СЛзих.ГВ№,Ґ - V/ ФҐ Умл

■* *♦ . • І ч .

И0 « им * 0. ■

Теорвка 2. (Ко-стійкіоть т.т.р.с.) Нехай РСхУєС^ІО.і),

0(х1єШ0,Н, тоді т.т.р.о. С1)*(3) е коефіцієнтно стійкою в сплїиїй нормі, то<Зто

**. ■ *

13 " “ІЛ«,«*СМ* *.Нг£а*х {і'',С/Г,8, ІУ/ОГ^В} х

де

tflo,e,SL.+e ■“* ^ |5с?;|

п • ?«•*

^ ;-лс?^ ., с їв)

Чу»-! «Zk+* “* * Е bCp^yCi))g,

*’'V ч»*,

hC?J> = ht, ьсо * fit = , при ;*xt 6 2jj, ыД = «^{x^l}.

|. fl ~ яка-небудь норка вектора (наприклад Евклідова), для породженої

нею норми катрпці будемо використовувати теж сама позначення.

В п.З розглядається реалізація т. т. р. с. При умові, по

PCX) є (РЧ10,1]Г QCx)JM б (fKUJ (19)

пропонується слідуюча т.р.о. .

і Г rfCn) . Bfru>/fx , gfrO 1 -tf rOCx rfrO а 4СЮСх,

Tij 1 J J Xij J J J J J J

v$° = ^ * 0 . І=йІМ, (20)

= hj^V^kxp’1, №(Xj> - hjV^JCXj)’1,

«?<*? ■ ^ J, •ї"’V‘{ •E • '(v) •

tCj°(xp ^k0J(xj) ~ ук°^(х^. 1 ~^k°}cxp

де n « 2tCn+0/2), VChr°JCxp,pf^CXj).,L^CXj), k=i,2 -наближені розв'язки задач Коші С11Э-(145 методом розвинення в ряд

r

ТеАлора n-го порядку точності.

Теорема 3. Нехай виконується умова СІ9), тоді для похибка т.р.с. (20) при достатньо малому h буде мати місце оцінка

"Ч*2 - а-х -р art

(21)

K*S> 'in*Jc*j> Ґх

*£іС~і}к$к°*(х^ ~ vk°j('xP'i

♦ ly°kxp

В главі 2 для розв'язування проблема побудова рівномірного

изтоду високого порядку точності для задачі

іСКсі<С0ьС)О з КсУ ^р 200 - GCxJuCx; •-jCx>, х еСО,і)

„ _ - cbi

йсо; = 2сі) * о, «>о

С^(е)ііуЛ CP(e)v,v} S ^llvll, ЯиаО,^ («•)>(),ЧОО.С^ОЖ,

• 0< Hflvl2< C(Xx3v,v) і Нгfil2, у v e R *, x € [0.П,

P(«) * [ptjC^3^ j.j - не залежить від x, delPCO) 3 0,

QOO = C^xJ]? j-.j € ClO.f). /Cxi «t/tfx)3^=f€ QlO.fl, використовується FD-иотод. Слід зазначити, до безпосередню застосування до розв'язування задачі (22)-(27) т.р.о. (20) призводить до нерівномірних зь малим параметром схем .

В п. 1 пропонується рекурентний алгоритм FD-методу з глнбнноп рекурсії, яка визначається бажаним порядком точності катоду. Розглядається більо загальна задача

Кє)^ itfx.uC-.O; - ufx.O uCx.wC-.tW = -f(x), x « CO, і) (28) t<OM -,0) = Sff.wC*. 0> a 0. (29)

(22)

(23)

(24) (23) (29) (27)

(2 -де

де уСх.О * ОСхУ ♦ ІСОСх) - (ХхЗ), (Хх> ■ ОСху.^ Э, хеСх^,х^,

хі * Ьі •

Очевидно, *о иСх,0}*ДСх.>, мСх,О*0Сх), иСх.мС\і))якх).

Згідно э чіш розв'язок задачі С22)-(27) шукаємо у вигляді розвинення п ряд Тейлора по і .

йСх? ш йСх.иС',1» » 2СЮСх; * І^ОО, (30)

*'"’Л>Ж УІ йіі **.*••«» «■

Ьектор-функція іг Сх.) розглядається як цаОлигецня до розв'язку задачі С22)-С27) 2С>с). Для знаходження доданків, які входять до нього, иаеио послідовність граккчних задач із кусково-сталиии иатрачніоа коефіцієнтами

^СРСеЗ.О) вРййи&ЛУ! « Ч<Р~1:>С)0, хе (Зі)

<цР <і*0

Г ^иС2<лКх$2^>1 ] * о, р*0,і,...,п, (32)

І ді» Мх»(О.І>

де

^~і?сх) » /сх;,

f^p-^cx)« рсосх; - аг>л> (в0 *

р*1,2......П, _

причому при йудь-якону р диференціальний оператор залишається іюзміншш. .

Для розв’язування задачі <31)-(32) використовується т,т.р.о. (8)“(10). Оскільки матричні коефіцієнти задачі кусково стані, то задачі Коші (Ш-(12) розв'язуються впалітвчно йа точними

о ■

формулами. Для деяких типів правої частини рівняння (в) (наприклад, якяо компоненти /Сх> е алгебраїчними поліноиами) мохна тахов точно розв'язати задачі (13)-СІ4). Яхао всі шаблонні матрично-векторні функції знаходяться точно, то FD-кэтод (ЗО)-(32) називається точно реалізуєккм.

В п.2 вводиться визначення G-властивості диференціального оператору if?'®. Доводіться теорема. яка ствердхус, во при уігові виконання G - властивості для оператору задачі (22)-(27) FD-іівтод із п. 1 «ас точність OChn) рівномірну по с. Наводяться достатні ушва, які гарантують G - властивість оператору

Означення.(G - властивість). Будемо говорита, ао диї®ренціальний оператор має властивість G, яхдо для

відповіаніа йому матричній функції Гріна GCx.f.QC.» справедлива оцінка

1 „

пах S I GCx.!,<ХО> І (О d ? |

sup 2ML...S--------- --------------------SK« Ж с) (33)

- їїях l р(хЭ В

р OSxSl 0

Псэкачиио через I » m а х пах Uj»- Сх>й, h * пах hf .

ISJ<H X€fX._f,X.J tSjiil J

Иас m cuo J * J

Теорека 1. liexafl QijCxl « /tOc) < Cf0,tl, ,

дифзренціальниа оператор ^ G-властквість та алгоритм

FD-мэтоду (ЗО)-(32) точно реалізується. Тоді при всіх h > 0, які

задоаїльнявть нерівності

h W І 5 г < і (34)

для похибка на<3лак?ного розв’язку задачі (22)-(27) гГ Сх) ,будо справедлива оцінка

n+f

сох BuCxJ - з ~ f h] MX S/CjJi, (35)

05xsf *-rL га-г.)-> osxst -

/с

Зауваження. Якьо алгоритм П)-методу С30)-С 32) не е точно реалізусияи, то елементи ОС к) и /Сх) на коатому інтервалі Іх^.х^І ааміняоться відрізком ряду ТеЯлора э залишковий членом порядку ОСИ**1). вимагаючи природньо при цьому, цоб ц^уСх),} ^х) € 0п+*Ю,П, . Оцінка С33) залишається справедливое.

Нагодиться ряд достатніх умов, які зайезпечусть О-властивість оператору

Ш V V

Теорема 2. НехаЯ РСс) = сЕ, існує така матриця <2 * ОСх), 0>0,

шо ік \А\ ВИ 8 {Я ї лох №-!Хх)1<1, де А - матриця, яка створена йіхії +

із наркогаяих правих власних векторів матриці О. Тоді

диференціальний оператор мас С-властивІсть.

Теорема 3. Нехай РСс) * гЕ, існує ортогональна матриця №11), , ) , п,., * І'Сх), ьо (ХлО * илСх)Ц*, де ЛГх.) верхня трикутна матриця з діагональними елементами, які с власними значеннями матриці ОСх), 0 < ^Вуіі^ 5 СОСхіу.у) і у У € Е *•

Тоді диференціальний оператор мае С - властивість.

Посилешієм тврджень, по містяться у теоремах 2, 3 е

. . . 2

Теорема-*. Нехай РСс) = сС, С0Сх)у,у) і сІІиІІ, с > 0, у хеС0,і), у ие Ш т. Тоді існує стала > 0 така, цо для будь-якого £ є С0,с01 диференціальний оператор Ікав с - властивість, причому

• • Н й І

Теорема Б. НехеЯ РСс)*Р*Сс)>0, у е>0, сІеІСРС0))*О, (Хх)*СҐСх)гН>0, (Хх)ОСх') = ОСх’Жх^, РСс)ОСх) « СКхЗРСс), у х,х’ « (О,/}. Тоді дифаренціалькнЯ оператор маз С - властивість.

В р. 4 вивчається 0-властивість системи двох рівнянь, до яхої приводиться сингулярно-збурене ЗДР четвертого порядку.

В доданку наводяться апріорні оцінки розв’язків одновимірпої та двохвимірвої нестаціонарних граничних задач, необхідність в ' котрих обумовлена ояідуючим. На основі метода Гаврялока І. II, ,

а

Макарова В. Л. розв'язування абстрактного параболічного, сингулярно збуреного Сиалий параметр с при старшій похідній в еліптичній частині) рівняння зводиться до послідовності граничних задач для ЭДР 4-го порядна. Цей підхід приводять до алгоритму без насичення точності. Тому розв'язок граничних задач для ЭДР необхідно знаходить із уэгодженоп высокою рівномірною по е точністю, що можно зробити за допомогою ГР-методу з глави 2 (п.3). Точність отриманого в такий спосіб наблихеного результату залеыггъ природньо від гладкості розв’язку вихідної параболічної задачі.

III.ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОбОТИ.

1. Конструктивно доведено існування та коефіцнентна стійхість т.т.р.с. для системи ЭДР 2-го порядку С1)-С5) з кусково неперервними несаиоспряжнкми матрично векторними коефіцієнтами.

2.Побудована т.р.о. високого порядку точності (20) на нерівномірній сітці, реалізація яхої пов’язана із розв'язуванням .

4 СМ-1) локальних задач Коші.

3.Запропоновано та обгрунтовано рівномірний чисельний метод висохого порядку точності (20)-С32) для розв’язування сингулярно збуреної системи ЭДР 2-го порядку С22)-С27), по иае б - властивість.

4.Створена програїша реалізація запропонованих алгоритмів, адаптивна по відношенню до існування або відсутності сингулярного збурення система ЭДР.

5. Навчена Є-властивість для систем ЗДР* 2-го порядку, до йоті зводиться сингулярно збурена гранична задача для звичайного дгфзрекці&льзгого рівняння 4-го порядку.

0. Отримані апріорні оцінки розв'язків одяовимірної та двохзимірної сингулярно збуреної нестаціонарної граничної задачі параболічного тспу.

її. ПУБЛІКАЦІЇ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ.

1. Макаров В.Л., Гумінськнй В.В., Розв'язок сингулярно збуреної нестаціонарної граничної задачі 4-го порядку.

Республіканський міжвузівський збірник. Обчислювальна та прикладна математика. N 69, 1990 р.

2. Макаров В.Л., Гукінаький В. В., Бурханов Ш. А., Схема методу

прямих для сингулярно збуреної нестаціонарної граничної задачі 4-го цсрядку, яка виникає при розв’язуванні оберненої задачі теплопроводность -

„ Республіканський міжвузівський збірник. Обчислювальна та прикладна математика. N 71, 1690 р.

3. Макаров В.Л., ГумінськнЯ В.В., Трьохточкова різницева охема . високого порядку тс шості для систем ЗДР 2-го порядку.

( Здана до друку в журнал Диференціальні рівняння. )

4. Макаров В. Л., Гуміиоький В. В., ПЬсхемя будь ахого порядку точності (рівномірного са «) для сингулярно збурених систем ивкчайншс диференціальних рівнянь 8-го порядку Із кусково гладкими коефіцієнтами.

( Здана до друку в журнал Диференціальні рівняння. )