Сингулярные дифференциально-операторные системы уроавнений первого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Одеський державний університет ім. 1.1. МЕЧНИКОВА

Абу Ель-Шаур Муса Джабер

УДК 517.91

Сингулярні диферендіально-операторні системи рівнянь першого порядку

01.01.02-диференціальш рівняння

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Одеса-1998

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Одеського державні університет}’ ім. І.І.Мечникова

Науковий керівник - кандидат фізико-математичних наук, доцент, Г рабовська Рада Георгісвна, Одеський державний університет.

Офіційні опоненти: доктор фізично-математичних нау професор, Вірченко Ніна Опанасів (національний технічний університет України (КПІ) м. Київ

кандидат фізико-математичних наук, доцент Просенюк Леонід Григорович, (Одеська державна академія будівництва та архітектуі м. Одеса).

Провідна установа - інститут прикладних проблем механіки та математики ім. Я.С.Підстригача НАН України

Захист відбудеться 5 черпни 1998 р. о 15 годині на засіданні спеціалізоваї вченої ради К 41.051.05 при Одеському державного університеті (2700: м. Одеса, вул. Дворянська, 2, ауд. 73).

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Одеського державне університету (270026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24).

Автореферат розісланий ЗО квітня 1998 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

Ла

Вітюк О.Н.

Загальна характеристика роиоти.

Актуальність темн. Необхідність дослідження дифсреншальгіо-операторних рівнянь- та систем (ДОР) і інтегро-днференціальних рішіяпь (ІДР) виникає прн розв’язуванні різноманітних задач механіки, фізики, теорії автоматичного регулювання, математичної біології і т.д.

Ряд оглядів по ІДР зроблено в роботах В.Вольтерра, М.М.Вайііберга, МЛЛманаліевя та М.В.Азбелсва, Л.Ф.Рахматуліної, С.Швабика, М.І.Шкіля, І.ТЛСігурадзе, О.В.Костіна та іншнх авторів.

Інтегро-днференшальні та сингулярні диференціальнооператорні рівняння вивчались багатьма математиками, але в більшості випадків вказується конкретний вид інтегралів чя їх кратність. Днференціальпо-операторні системи рівнянь, які вивчаються в дисертації, належать до ІДР (систем) з іптегралами будь-якої кратності, не вказуючи їх конкретного виду. Тому тема дисертації є актуальною.

Зв’язок роботи з науковими темами. Дисертаційна роботаї виконувалась на кафедрі диференціальних рівнянь Одеського державного університету імЛД.Мечннкова згідно з координаційним планом пріоритетних напрямків розвитку науки та техніки Міністерства освіти України по тематикам “Асимптотична поведінка розв’язків неавтономних звичайних диференціальних рівнянь” (до 1996 року) та “Геометричні та аналітичні методи в математиці та їх застосування* (з 1997 року).

Мета дисертації. По-перше, виділення класів сингулярних дпференціально-операторних систем, для яких з допомогою принципу нерухомої точки Шаудера вдалося б довести існування їх розв’язків у правому напішжолі особливої точки х=0, чи на К+=:(0, +со), між особливими точками х=0 та х=+сс.

По-друге, одержання асимптотичних оцінок цих розв’язків та їх похідних до п-го порядку, включно, прн Х-У+О чи при Х->+0 І Х-->+-00.

Паукова новизна одержаних результатів. В роботі кс тільки результати е новнми, як на кінцевому проміжку, так і на К+, але б сама загальна постановка задачі та метод її розв’язання в такому загальному вигляді являються новнми. З одного боку інтегро-дифереиціальні системи з правими частинами, що містять похідні до п-го порядку включно, наскільки нам відомо, до цього часу не розглядалися; з іншого боку, якби в системах, що вивчаються, всі оператори були просто функціями від незалежної змінної та невідомої! функції, то одержанії результати все одно виявилися б новнми. Тому що в “майже лінійних” системах, які вивчалися раніше, коефіцієнти при лінійних членах залежать тільки від незалежної змінної, або були постійні. Нами ж розглядається вішалок, коли ці функції досить загального вигляду і залежать від незалежної змінної та невідомої функції, а також не виключається випадок, коли коефіцієнти при "лініиних" членах тотожиьо дорівнюють нулеві.

Теоретична та практична цінність. Дисертація мас теоретичний характер і вносить вклад в загальну теорію звичайних диференціальних рівнянь. її результати можуть бути вмкорнстані при

розробці методів дослідження дифереиціально-операторннх рівнянь та інтегро-диференціальн рівнянь, а також в процесі дослідження конкретних задач автоматичного регулювання, тео пружності та інших практичних задач.

Особистий внесок дисертанта. Дослідження, нкі представлені і дисертації, е результат самостійно? роботи автора. Співавтору належать постановка задач, обговорення деяких ідей розв’язування та обговорення отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати доповідались на наукових семінар кафедри диференціальних рівнянь Одеського державного університету ім.І.І.Мечникова (керівн доцент ВЛІ.Євіухов), на п’ятій міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчу (Київ, 1996), на Всеукраїнській школі-ссмінарі “нелінійні кранові задачі математичної фізики та застосування” (Кам’янець-Подільськ,1996), па міжнародній науковій конференції “Аснмптотичп якісні методи в теорії нелінійних коливань", присвяченій 80-річчю академіка НАН України і і Росії професора О.Митропольського (Київ,1997), та на міському семінарі під керівництвом пр< Пташинка Б.Й. у Львівському держуніверситеті (Львів,1998).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1-5].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається fa списку деяких допоміжн позначень, вступу, трьох частин, які складаються з 10 розділів, висновків та списку літератури, і включас 79 найменувань. Робота викладена на 145 сторінках машинописного тексту.

Зміст дисертації.

Перша частина містить огляд літератури, обгрунтування вибору задачі і метод розв’язування.

В другій частині мова йде про сингулярні при х—>+(1 диференціально-операторні систе рівнянь трьох видів. .

В розділі Z.1 дасться постановка, задачі в загальному вигляді. Розглядається система

у' = oi(x,y,V„(y))y+ b(x,VD(y)) + f(x,y,Vn(y)), (2.1)

де у, Ь, f eRm, oi=(akj)“N , V,(y)-(y,

Розв'язки системи (2.1) шукаються в повному метричному просторі X вектор-фуикі у = (ук)“-1,уєСп[0, А],де Д>0, у<р)(0) = 0, р = 0,п з нормою:

||у| = max max тазе

" “ к=1.т р=0,п хе|0, Д| І “ І ,

Далі в просторі X розглядається клас функцій

В -- {у <= X :|у| S 50, 60 > 0; й0 = const}

і на ньому оператори ¡А, Ь, f, що відображають у є В відповідно в о?(х, у, V„(y(x))3t2 (х,

Ь(х, V.( у (х))= b (х), f(x, у, V.( у (x))s f (х, у); oi , Ь, f , визначені в області

D(A,x) = |*.ї):*е (0,Д],|Уі;| < Xk(x). k = l,mj,

з

де Хк єСІ0,Д),Хі(0) = 0, хк(х)>0 на /, =(0,Д].

Існування розв’язку системи (2.1) разом із своїми похідними до п-го порядку включно доводиться за допомогою принципу нерухомої точки Шаудера відносно В и X.

Для цього задасться на В оператор А таким чином, щоб його нерухома точка Сула розв'язком системи (2.1). А саме: уєВ ставиться у відповідність вектор Ау * ((Ау)к)"я| - розв’язок

допоміжної системи

у' = oi(x, у, V„(y))y + Ь(х, V„(y)) + f(x, у, V„(y)) . (2.1)

Послідовні похідні в силу системи (2.1) правої частини цісї системи позначаються через ф<Р> = (ф(р>)™,, р = і,п + Х,тобто

Ф(р> =Ici(x,y,V„(y))y + b(x,V.(y)) + f(x,y,V.(y))]<f'-I). (2.2)

З виду (2,2) випливає припущення, що послідовне п~кратне диференціювання Ф в силу системи (2.1) не підвищує н.швніцого порядку похідних, які в них пходять. Якщо система (2.1) с іптегро-диференціальною, то це означає, що функція, що містить п), стоїть під знаком не

менше піж р - кратного інтегралу, тобто похідні, ніби “гасяться” інтегруванням, тому таку систему слід вважати системою рівнянь першого порядку.

В розділі 2.1. доводяться леми про достатні умови відносної компактності нпожнн вектор-функцій з X, а також формулюється падалі необхідне визначення умови типу Ліпший я.

Визначення. Будемо говорити, що функція F(x, у, V„(y)), де ye R'% у =; (ук)[,=і > задовольняє умові типу умовн Ліяшнця по всім змінним, крім х, в області D(A,Xo)c:Rm+1 , якщо дли будь-яких У,У* єВ І будь-яких ДВОХ точок (X, у), (х, у*)єО(Д,Хо )» ,ІІ€ ТІЛЬКИ

Цу-ГЦ^. |Ук-Ук|£“к ?»(*), к = 1, т, де ті, ак >0, т) = const, at = const і ^(х) = (^ь(х))™=( >0 на Jt, то існують такі неперервні додатні на /, функції L(x) = (Ll(x))".1i L°(x), що

. . Г1

|F(x,y,Vn(y))-F(x,y*,Vn(y*))|<^ak|k(x)Lk(x) + nL0(x).

k»l

Це позначається так:

F eTypLip^v. (D(A,Xo);L(x),L°(x)).

Функпії L(x) та L°(x) - називаються функціями Лілшиця. Зазначимо, що вигляд функції Ліпшиця залежить від області визначення змінних (х, у).

В розділі 2.2 розглядається конкретна система

к _____________________________________________________________________

Ук = ІХ(х>У!’•••> У* >у.(У))Уі +bk(x,V„(y)) + fk(*.yI,-.yll,V„(y)), U =ї,т, (2.3)

Ы

де ує R“, (ш2І); у є В, (зс, у) є Dk(i.,x) .де

Dk(Л>Х) = |(Х>Уі.-.Ук )є Л.|Уі| < Xj(x). І = 1>к}> к = Х,т.

За Ау приймається розв'язок системи

k _____________________________________________________________________

>k = ]£акі(*>Уі>->Ук>'''п(У))і'і +bk(x,\’„(y))+fjl(x,yI,...,yk ,V„ (у)), k = 1,ш.

И

Для системи (2.3 ) розглядається область

Dk(A,Sq>)={;x,y1,...,yv):xe/„ |у^5^(х), j = l,k^ k = l,m,

(2.3)

(2.4,)

(2.4г)

Фк є C'|0,AJ, <pk(0) = О, <рк(х)> 0 і фк(х)>0 на /,,

<рк(х) = о(ХкМ)>КОЛИ х —> +0. 5 = (5k)k,i, Sk >0, 6k= const.

Поіначвмо cok((pt) = akk(x,y„..., yk, Ve(y))-(c()t(x)/<jik(x)), k = l,m.

Теорема 2.1. Исхай для будь якого у є В система (2.3 ) задовольняє умовам:

1°. Ісвус така вектор-функція срє R“, для будь якого k = l,m и області Ок(Д,(5 + £0)ф) вира tat (фк ) зберігають знак і серед них є хоча б два протилежного знаку, (£<>>0, Eo=const);

2°. Якщо <ок(фк) < 0 для фіксованого k є 1,ш ,то припускаємо, що існує функція іук(х) така, іцо

a) ц/к є С!|0,Д], ук(0) = 0, ц/ь(х)>0 і v/k(x)>0 на

b) «¡>к(х) = о(ч<к(х)), х|/к(х) = о(хк(х)), коли х->+0;

c) вираз е>к(ц/к)<0 в області Dk(A,(S + E0 + С9)\(ік), де С°-додатня постійна;

3°. а. ач, bk Гк е С' (Dk(A,x)), к = l,m, j = l,k, (p=l, якщо n=0; p=n, якщо n>l);

b. fk(x,y,,...,yk,V11{y)) = o(<pk(x) iBk((pk)), колн X-++0 і (x.y^..., ук)єDk(A,(5 + E0)(p); 4*. У(х,\|,.,.,ук)єЮк(Д,(5 + Е|))ф), 3)ik,nkj>0, цк = const, |ikj = const,такі,що

a- ¡bk(x,Vn(y))/ij>k(x)-fi>k((pk)|iHk, k=l,m;

ац(х,У|,..., yk, У„(у))ф;(х)

<Hkj, k = 2,m, j = l,k-l;

Фк(х)“]к(Фк)

5*. a. akjeTypUpyi>^Ji Vi(Dk(A,5(p);Lkjl, ...,Lk;k(x),L0kj(x)),k = iim, i = ljc;

b. bk eTyptipv>(Dk(A,59);L®(x)), k = l,m ;

c. ikeTypLipy....yk.v>(Dk(A,5<?);-4,(x), ...,Дк(х),-i"(x)),U = l,m.

Далі припустимо що:

а,. Ькі1;(х) = о((р[1(х)шк(^к)), коли х el,m,j = 1,к, (х,уі,..мук)є Ок(Д,(Й + с0 + С0}^,.);

.. ЬкІУ(х) = о(фк(х)(р|‘,(х)<ру1(х)сйк(фк)),колих->+0)к=1,т;і, v==l,k,(x,yi,...,yk)eDk(A,(i> + E0)<()); L0kj(x) = O(vk(x)<i>y‘(x)o>k(q>k)),k=l,m( j = l,k, (x,S|,..,yk)eDk(4,(6+%W;

. Lk(x) = 0((pk(x) шк(фк)),к =1,т, (х,у,,...,ук)єОк(Д,(б4 є0)ф);

. Укк(х) = о((ок(ч/к)),х->+0,кє1,т, (x,y,,...,yk)eDk(A,(5 + E0 +C0)4fb);

• AvM = о(Фк(х)Ф]1(х)шк(<Рк))’х +0.к=1,т, v =1,1;, (х.у^.-.у к) е Вк(Д,(5 +с0)ф);

. _/k0(x) = O(q>k(x) сок((рк)),к=1,т, (x,y,,...,yk)eDk(A,(8 + £0)<p);

.а. Ф^’ eTypUpyi,_jJV у.(ЩА,(8 + Е0)ф);Хкі>1(х).....Xkpk(x),X0kp), k=l,jn, р = 1,п.

н цьому ^Vpv(x)= о(ф^1 (х)), V = 1,к, Лкр > 0, Хк?= const.

b. Ф'/’ (x,y,,...,yk,Vi(y)) = о(1),х -» +0, к=1,т, р = 1,п, (х,у,,...,ук) є Dk(A,8([>);

c. Ф'"1' (х,у,УцV.(у)) = О(1),к =1,т, (х,у,,...,уь) є Dk(A,5ip).

іі система (2.3) на [0,Д'| (0<Д' - достатньо мале), мас не менше, ніж г - параметричну сім’ю зв’язків (у оі£(х))®_, іі В, де г- число додатніх шь(фк)(1 < г < т). н цьому:

1) |Уок(х)|^Мк(х), 2) у{,к+1) =0(1), Ік = 1,т.

ведено такі два приклади, які ілюструють можливості методу

2

. *+»* _"v У

у’=

X

X

J у1(0у!І(0<к

0

X

X

X

а

df

Уз = *х «у, +

OU1 -

у2 ц-е х *

о

i-yf(Oylit)

де 0<а<1.

В розділі 23 розглядається система вигляду к

Эк = 2Мх>У’У.(У))Уі + Мх>у1,(у)) + *к(х.У>Ч,(У)), к = ї,т, (2.5)

де у-(у*)?«!» akji=OVj>k.

За AV приймаггься розв'язок системи

k _______________________________________________________ _

yk = Zakj(x>yA„(y))yi + Mx>v..(y)) + fk(x>y’Vn(y))» k = l,m. (2.5)

і=і

Для системи (2.5 )розглядасться область

D(A, 5<р) = {(х,у): х є,|yk | £ 5кфк(х), k = l,m}.

Неіай cok(ipk) = akk{x,y,Vl„(y))-(9jl(x)/q)k(x)), k = l,m,

и(Ч>) = (шк(<!ік))кі=і.

Теорема 22. ІІехяіі для будь якого у є В система (2.5 ) задопольняс умовам:

1°. Існують вектор-функції ф,ч»є R" такі, що:

a. ф - задовольняє умовам (2.4|) і (2.42);

b. vjj єС'іО.Д], ч<к(0) = 0, i|/k(x), ЧЧ(Х) > 0 на Ju

Фк(х) = о(ц/к(х)), ч/к(х) = о(хк(х)),коли х-*+0, к = 1,ш

і такі, щосс(ф) зберігаЕ знак в D(A,(8 + i:„)ip), при цьому, якщо <в(ф) < 0, то, крім того, ta(y) < О D(A,(S + с0 + С0)іу), С0 > О, С0 = const;

2°. a. akj, bk 1^ eCjJ (В(Д,/)), к = 1,ш, j = 1,1с, (р=1, якщо п=0; р=п, якщо п>1);

b. fk(х, у, V,,(у)) = о (фк (х) • <flk (фк )), х +0, к = 1,ш, (х,у)єІ)(Д,бф);

с. akj(x,y,V1>(y)) = °(4'k(x)4'f W-^kiVk)). x-»+0,k = 2,m, j = l,k-l, (х,у)єО(Д,(5 + Еа+ С0)ч/ 3°. V(x,y)e D(A,5t?), 3jik,^tj>0, цк =const, nkj = const, такі, що: a. ¡bk(x, Уп(у))/(фк (x) • <вк (фк ))j £ць, k = l,m;

b.

akj(x,y,Vn(y)>pj(x)

йцкі, k = 2,m, j = l,k — 1;

фк(х)-а>к(ф||)

4°. Vk = !Tio, j = l7k:

a. akj є TyjpLip y<v. (D(A,5cp);Lki(x), L°ki(x)); Lkj(x) = (Lkjv(x))“ j;

b. Ьк є Тур Lip (І)(Д,5ф);Ь°к(х));

c. ГкєТурирУіУ.(0(Д,8ф); ^k(x), J?k°(x)); -4(x) = (Av(x»v=i • При цьому виконуються наступні співвідношення:

ai- Lliv(x) = o(9k(x)4i;1(x)4')r!(x)ü>k(Vk))»Koj»i х-»+0, v = l,m, (х,у) є D(A,(5 + E0)q>); я2■ Lkru(x) = о(ук (x)i?-1 (x)v/;1 (x)ü)u(Vk)), коля x -> +0, v=l,m, (x,y)€D(A,(S + £0 + C0)4;); a3- (*> y) 6 D6 (Д, (5 + Е0)ф) ;

b. Lk(x) = 0(фк(х) <ok(<pk)), (x,y) є Г>(Д,(5 + Ё„)(р);

c,. ./kv(x) = o(<j>k(x)<p;!(x)o>k(<pk)), коли х -v +0, V=l,m, (х,у)єЕ'(Д,(5 + е0)ф);

с2. ^’kv(x) = o(’í,k(x)(p;1{x)íD|((vi)), коли х-*+0, v=l,m, (х,у)єі)(Д,(5 + е0+С0)чі); с3. 7;0(х) = О(фк(х)щк(фк)), (х,у)єЮ(Д,бф);

5°. а. Ф^’єТурЬірТіУ<(1)(Д,5ф);Я1,1>(х)Д0ІЧ1), к = 1,т, р = 1,п, де Чр(х) = (Чрт(х»"і. X°kp>0,X0kp = corist.

При цьому = 0(1).

b. Фкр)(х,у,У„(у)) = о(1), коли х-и-О, р = 1,п, (х,у) с П(А,йф);

c. Ф‘Г” (x,v,V„(y)) = 0(1), (х,у) є Ю(Д,6ф).

Тоді: ч

1. Якщо о(ф)>0, то система (2.5) має на [О, А'] (0<АГ - достатньо мале), не менше, ніж ш -параметричну сім’ю розв’язків у0(х) = (уоь )“л1, із В, шо мають такі властивості!:

а) (х, у0(х)) с D(A\ 8ф), Ь) у^!,(х) = 0(1).

2. Якщо ю(<р) < 0 , то система (2.5) мас, хоча б один такий розв’язок.

Зауважимо, що система (2.5) суі^гєво відрізняється від (2.3), тому ш.о тут

atj(*,y,V„<y)), fk(x,y,V0(y)),.ae у є Rm, тобто система (2.5) більш загального вигляду. Але,, з іншого боку, тут відповідні вирази ок(фк), (k = 1,ш) однакового знаку, тобто з цієї точки зору система (2-3) більш загального вигляду.

В розділі 2.3 наведено наступний приклад, який ілюструє результати теореми 2.3.

, 111 X

у, ------------exp

X

r dt 1 r dt

С.Ь*,■<■)■>,м.

+ exp

2 A f ^

- У» - У2 - ii - у, (t) —(t)

yz = exp

.2 1 *r dt

In X-------;----— ----------------

x2 + y? nJ2-y,(t)-

. 1

sin—

dt

2-y,(t)-y2(t)

У2-

-ln(l + y, )■ exp

dt

[ 0J2-y,(t) y2(t)j В розділі 2.4 розглядається система вигляду

m ___

Ук =2ам(х’У’Уп^)3'і + ьк<х''п(У)) + гк(х.У.уг,(У)). к = 1,га,

і=і

де у є R", (пі > 2), у = (у= -ajk Vj*k.

За Ay приймаємо розв'язок системи

Ук =11аи(х’У’У»^))У1 + Ьк(х>Уп(У)>+ fk(x>y>V0(y)), к = l,m .

i=l

(2.6)

(2.6)

Для системи (2.6) розглядаємо область

С(Д, бер) = jfx,у): х є Jlt |у|| £ йV(x)}, де |»|евклідова норма, 0 <S, 5 = const, <р(х)-функція, що задовольняє умовам типу (2.4і) і (2.' Для області С(Д, 5<р) умови типу умов Ліпшиця формулюються так.

Визначення. Будемо говорити;, що функція F(x>y,Vn(y)) задовольняє ум типу умов Ліпшиця по змінним y,V0 в С0(Д,х0) с Rm41, якщо для (

яких у,у*єВ таких, що [|у-у"[| < т], (г| > 0, т] = const) і будь-

(х,у), (x,y + t)eG0(A,Xo), Де ||t|E £h^(x),h>0, h = const, ^(х)>0 існують такі неперервні доі на J, функції /(х), /с (х), що буде мати місце нерівність

|F(x,y +1, V„ (у)) -F(x,y,V„(v* ))j < h£,(.-i)/(x) + т}/° (x).

Цей факт позначатимемо так: F eTypLipyV> (G0(A,5;o );ДХ), /°(х)) •

Внедемо такі позначення:

rib,0 = 1 ¿(atk(x.y.V„Cy)) t2t)/h2]-4(x^(x), |jtfE=hJ .^(x).

\k-l . J

Теорема 23. Нехай для будь якого у є В система ( 2.6) задовольняє таким умовам:

1*. a^, bk, eCJJ(G(A,x))> k,j = l,m, (p=l, якщо nHI ір=п,якшо nSl);

2е. 1. Ісиус така функція ір(х) і існус таке достатньо велике 5, що для V(x,y)e G(A,8q>):

a. y(8,q>)*0; ,

b. <ч»(х)-Х|Ьь(х, V„(y)))[/(5|r(6,4,)l)<i;

4

c. x->+0, k = l,m;

2. V(x,y)e G(A,(5 + e0)<p),Ve є (0,e0), e0 > 0, t0= const

ife<p)*d і signy(e,4>) = sign y(5,cp);

3°. Якщо y(6,<p) < 0, то існує функція V[/(x), де:

Я|. у є С'|0,Д1, ч<(0) = 0, \у(х) > 0,\j/(x) > 0 на Jt;

а2. ф(х) = o(u/(x)), у(х) = о(х(х)), коли х -> чО,

така, wo VC є (0, С0 ] відповідний вираз у(С,'у) < 0, коли

(х,у) є G(A,(5 + C0)4/), С0 > О, С0 = const;

4°. a. atjеТ)-рЬірУіу,(G(A,5tp);Lkj(x),Lkj(x)), k,j = l,m;

b. bk eTypLipv>(G(A,5<p);L® (x)), k = l,m;

c. ft e TypLipy v, (С(Д,5ф);.£к(х), Д°(х)), k = l,m.

При цьому:

aj. Lkj(x) = o(<p',(x) \v'J(x)-Y(C, 4/); Д(х) = о(ч/“2(х)-у(С, коли x +0, для

VC e (0,Co], (x,y) є G(A,(8 + e0 + C° )v);

b,. Lkj(x) = о(ф'3(х)- y(c,9)), _/к(х) = о(<[Гг(х)у(£,ч>)), коли x -» + 0, (x,y) € G(A,(6 + s„)tp);

c,. L“j(i) = 0(y7(x) ■ у(є,ер)),Л°(x) = 0(<p 1 (x) • у(є,ф)),ь“к(x) = 0(ф“’ (x)y(c,ф)),(х,у) є G(A, (8 + є0)<р);

5°. а. Ф?’ є TypLip (G(A, 6cp); >.kp(x), >°ip), k = 1, m, p = 1, n,

де Xkp (x) • ф(х) = 0(1), Xkp > 0, X°lp = const;

, b. Фкр'(х,у,Ул(у)) = o(l), коли x->+0, k = l,m, p = l,n, (x,y) c: С,(Л,о<р);

с.ФГ"(ї.У.У,(у)) = 0(1), k=i^, (х,у)єС(Д,8ф).

Тоді:

1. Якщо у(5,ф)>0, то система (2.6) мас на [0,А'|, де Л'- достатньо мале, не менше, піж m -параметричну сім’ю розв’язків Уо(х) = (Уок)к=і ЙВ, таких, що:

а) (х,у,(х)) с С(Л',8Ф), Ь) уіГ'Чх) = 0(1).

2. Якщо у(&, ер) < 0, то система (2.6) має хоча б один такий розв’пзок. Наведені слідуючі приклади, що ілюструють результати розділу 2.4.

ґ»*

Уі =

Уг

}(i+y;(t))dt у,- Jo+yi(t))dt

” ) ,

V

J(l+yj(t))d‘ У, + J(l + yl(t))dt

о ; 1«

•у2-х

■уг + х

Уг =

ІП J(l+yJ(t))dt j-y, +exp|^|y5(t)dt j-y,

В розділі 2.5 розглядаються системи, які складаються з блоків типу (23), (2.5) і (2.6) в т послідовності, щоб їх не можна було об’єднати в блок одного з вказаних типів. Розв’язується ' задача (2.1) з використанням теорем 2.1,2.2 і 2_5.

Твердження теорем 2.1, 2.2 і 23 ве перетинаються, бо в 2.1 та 2,2 матриця ої(ї,у,\'0( трикутна, але кожна з компонент вектору Ау мас в загальному випадку свою асимптотичну оці В теоремі 23 розглядається система, в якій матриця о?(х,у,Уп(у)) не е трикутною, але компоненти вектору Ау мають однакову асимптотичну оцінку.

В третій частині досліджуються сингулярні при х —» +0 і X —»• +оо квазілінійиі диференціал операторні системи рівнянь двох видів.

В розділі 3.1 дається постановка задачі в загальному вигляді, тобто розглядається системі у’ = ^(х,У„(у))у + Ь(х,У„(у)), (3.1)

де у.ЬєК", у = &*)£... Ь = (ЬІ1)™=1, с4- = (а„)£и, хєВ+.

Розв’язки системи (3.1) шукаються у повному метричному просторі X вектор-фун у =(ук)“.,, у є С“[0,+ «>), у<р'(0) = 0, р = 0,н, в якому рівномірно відносно уеХ" і Ііш у(р)(х) = ар, р-0,я, ар =(арк)к=і » арк з нормою

¡ІУІ == шах max sup -

к»1,ш р=0,п *e|0, +оо) * ^

В просторі X введемо клас функцій

В* = jy еX* :|уЦ <50, 80 >0, S0= const}.

-І

N-*

їлогічио задачі (2.1), задаємо оператор А ті множині В* таким чином, щоб його нерухома точка а розв'язком системи (3.1), тобто у є В* поставимо у відповідність вектор А у = ((Ау)к)Г-і * в'язок допоміжної системи . y' = öi(x,Vll(y))y + b(x,VB(y)). (З.Т)

впустимо, що для будь якого у є В* на R* існус розв’язок системи

eí(*.V.(y))y + b(x, V„(y)) = 0. шачнмо його через ot.(x, V,(y)) = (аІІ(х,У.(у)))Г.г

ипустнмо, що рівномірно відносно у* є В існує '

lim a(x,Vn(y)) = a0, а0 =(а01)Г=1, аок = const .

X—>+О0

іі позначимо

Ф = е?(х,У,(у))у + b(x,V.(y)).

li послідовні похідні у(р>(х) в силу системи (3.1), мають вигляд

у <■>>=ф(р-і)=Vn (-))у+Qp (Хі Vn (m р=

' = (^k¡p)"i-i» QP =(QkpCi- Мвогочленн відносно ач, Ьк та їх похідних до (jvl)-ro порядку

іючпо. Крім того, найвищий порядок похідної залишається рівним п.

Задача (3.1) суттєво відрізняється від задачі (2.1) тим, що тут розв’язки шукаються на R+ і на одій функції у є В одержується лінійна система рівнянь, всі розв’язки ялсої при умові іерервності с*?(х), b(x) на R+ неперервно продовжуються на R+. Тут клас систем вужчий, але асть визначення розв’язків - нескінчений проміжок, який з’єдяує дві особливі точки: та

•ао. Суттєвою різницею від суджень у другій частииі с те, що тут всі оцінки не повніші залежати 50, тому що 5Ö шукаємо в процесі доведення і наперед визначити його, взагалі кажучи,

южливо. Це пов’язано з необхідністю продовжити розв’язок на R+ і іготім знайти його оцінку

рху по нормі.

В розділі ЗЛ розглядається система

k ______________________________________

Jk == 21 a»ijíx->vn<y)>yj + bk(х,v„(y)). k = l,m, (3.2)

i=i

уєїГ, isR*.

Ay приймається розв'язок лінійної системи

Ук =ХяЧ(х’Уп(У))УіН-Ьк(х,Уп(у)), к = 1,пз, (3.2)

і=і

ічому кожному фіксованому к€І,ш відповідають області

де <p,t є С’ІО.ДІ. фц(0) = 0, фш(х) > 0,<р'1к(х) > 0 на/|, 51к >0, 5]k=const,

(33,)

<р2к - С*[Д, +°о), <р2к(х)>0, <р2к(х)< 0 на/2 • lim <р2к(х) = 0, 62к >0, 52к = const. (332)

Тут і надалі припускаємо, що всі необхідні оцінки справедливі рівномірно відносно у є В’ і ■ млежать вія вибору 50.

Теорема 33. Нехай для будь якого у е В* система (3.2 ) задовольняє умовам:

1*. акі, Ьк є С“(0, + со), к = ї, ш, і = Х,к;

2*. Існують такі вектор-функції <ри(ж) = (ф1ьф200 = (Фп )”.і > шо для вс'х к = Х,т, вираз иіі(Фік) * <в2к(Ч)2к) зберігають інак на/| івиповідпи, причому signa)lk •sigпfa2k = 1, кеІ,гв;

З*. а) Якщо ш 1ь (ер ,к ) < 0, то припускаємо, що:

X. ф1к(Д)<<р1к(Д);

2. Зу1к єСІ[0,ДІ,ч>ік(0) = 0, Vік(х) >О^'ік(х)>0 на /,і <рІк(х) = о(у1к(х)), коли х-*+0, такіщо ш1к(\()1к) <О на/,.

Ь) Якщо <й,к (<р,ь ) > 0, то припускаємо, що:

X. <рзк(Д)<ф1к(Д);

2. Зі(і2к єС*|Д,+оо),у/2к(х)>0, Ч/2к(х)<0 на/2, Ііш ч/2!і(х) = 0, Ф2к(х) = о(ч/2к(х)), коли х-»+со,

такі що o>Jk(v(/Jk) >0 на J2;

4°.а. Vxe/j. Зц[к, Ц|ц >0, = const, nlkj = const, такі,що:

ЫхЛп(у))/(ф1к(х)-а>ц (<Plk ^ Mik> k = l,m,

b. V(x,yj,..., yk)sD2ik_|0i>,ao,S2<p2), Эц2к > 0, 3|i2t = const, такі що:

£aki(x,VB<y))yi + aok • а^Дх, V„(y)) + bk(x, V„(y))

<P2k(x)-“2k(<P211)

Sn2k, k = X,m;

I)

k;l

1) Xaki '5j вЬсутня при k s= 1 *

5*. Ук = Гш, р=Мк

a. Ф^'Чх.у,, Ук-Уп(ї)) = о(>). '^оли х ->■ +0, (х,у,,ук)е Dlk(A,8,tp,);

b. 4>|f"*4x,y |,Укі Vn(y)) = о(1), коли Х-++», (х, У!,...,ук)є02к(Д, 00,814)!);

c. Ф["Чі,У.. yk.V„(y)) = 0(1), (х,у„..., yk)e»lkUDlk;

6°. Vk = l,m, ] = 1,к, і = 1,2:

a) akj6TypUpv,(ii,L?ki()0), Ь) Ьк єТурЬіру,(Л^“к(х)), причому

аі- Ь“ьі(х) = 0(фіь(х)ф:'(х)-а^ф*)), Ь,. Ь°ь(х) = 0(срік(х)-шік(<р1к));

7“.'с'к = 1,ш, і = 1,к, р = 1,п, і = 1,2:

a. ЯЦр єТурЬір ^>0, X* =с0П5І;

b. Ок[,еТурЬіру.(^,Л?). ¿£>0, <Р = сош1;

c. фік(х) ^р(х,У11(у)) = 0(1),дЛЯ х є

Тоді система (3.2) на [0, +«>) мас не менше, ніж г - параметричну сім’ю розв’язкіп у0(х) -~(уок (*))”,і із В*, де г - число додатнії й))к (<рц )(1 < г < т), при цьому розв’язки задовольняють умовам:

1) (х,у0(х))сБ1т(А,8,(|>1)иогю(Д,а0,6гф2); 2)у^’>(х) = 0(1).

Для ілюстрації наведено такий приклад:

у = -е’

1 + ехр

г________dt________

'tJ(2 + cosy(t))

f1 1

у-ехго - + -----------

\x x (sin y(x)-3)

В розділі 33 розглядається систем;)

у’і := Еау(ї>у.(У))Уі + ь^х-у»(У))> k = І7т, і-ї

де у є R“, m > 2, у = (ук)Г,„ ач = -ajlt Vj * к.

За Ау приймається розв'язок системи

УІ = Sац(*’Vo(У ))Уі + bk(x,V„(y)), k = l,m. .І-1

Для системи (3.4 ) введені області:

G,(A,5,9,) = {(x,y):x6J,, |у|Е S5,<f>,(x), 5, >0, 8,=const}, G2(A,a0,S2(pj) = {(x,y):xeJ2, ||y-ctefE S52ф2(х), 52 >0, Sj =const}.

(3.4)

(3.4)

Функції <р,(х) і <р2(х) задовольняють умовам аналогічним (Ї.З,) і (3Зі) відповідно.

Теорема 3.4. Нехай для будь якого у є В* система (3.4 ) задовольняє умовам:

1°. Зц, bk єС"(0,+ ю), k,j=l,m;

2°. Існують функції <р((х), ірг(х}, v«.(x), де у і є СЧії); чМ°) - 0, wt(x) > 0, (¡/',(х)>0 на і ч>,(х) = о (V|(x))i кали х—»+0, такі, що вирази y(5j,(ps), у(е,ср() від’смні на J, (і=1, 2) і y(d, від’ємне на де d є ((>,<1,1, е є (0,еоІ;

3°. а) Ухє/цВцц ?0, (iJk =const, такі, що

(ч>і (х) • bk (х, V„(y))/y(6j, 9і )j S Цц, , k = I,m;

b) Vxe/Jr3n2k >0, V-ik = «oust, такі, що

(p2(x)

£aki(x,Vn(y))a0j + bk(x,V„(y)))

U=> .

Y(62,<p2)

4.

a. акієТурііру,(/¡>Ь”іі(х)), к,і = 1,ш, і = 1,2;

b. Ьк єТурЬіру^^./^х)), к = 1^, і = 1,2.

При ньому:

X) ч>,?(х) І?кіі(х) = 0(7(Е,фі)), 2) <р?(х)-/,’(х) = 0(у(Е,ф(», хєі.,;

5°. а. Ф?’,)(х,у,УІІ(у)) = о(1), коли х-»+0,к = 1,ю, р = І,п, (х,у)€С,(Д,5[ф,);

b. Ф|^(х,у, Уп (у)) = о(1), коли х -»+оо, к = 1,т, р = 1,п, (х,у)єС2(Д,аоі52ф2);

c. Ф£Ч*>У, У.(у » = 0(1), к = ї^т, (х,у)єС, ис„

6°. а. ч>і(х)-Якір(х,Уп(у)) = 0(1),хе/і, к,і = 1,т; р = 1,п; і = 1,2;

b. Якір еТуриру>(7|,^),^? >0, =соікІ,к,і = І,іп;р = 1,п; і = 1,2;

c. <}к,>еТурІлруіі(/і,.г’к!’), -£¡^>0, = сопя, р = 1,п, к = 1,т; і =1,2.

Тоді система (3.4) на [0, +га) має хоча б одна розв’язок Уо(х) = (Уок(х))“,.і *3 В такий, то:

1- (*.Уо№) с СДД.б^^иСзСД^^бзФз);

2- їоГ1)(х> = 2(1)> хєК+ к = М>-

Основні положення дисертації опубліковані в маступшпк виданнях;

Абу Эль-Шаур Муса Джабер. Сингулярные дифференциально-операторные системы уравнений специального вила И Нелинейные краевые залачи математической физики и из приложения. Сб.науч. тр7 НАН Украины. И«-т математики. -Киев, 195*6. -С.6-7.

Абу Эль-Шаур Муса Джабер, Грабовская Р.Г.. Сингулярные дифференциально-оиераторные системы частного вида // Днфференц. уравнения. -1997. -Т.33, Л® 6. -С.851-852.

Абу Эль-Шаур Муса Джабер. Сингулярные дифференцнально-интегрально-операториые системы уравнений первого порядка. // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики. Сб.науч. тр./ НАН Украины. Ии-т математики, -Кнев, 1997. -СЛ2-15*

Абу Эль-Шаур Муса Джабер, Грабовская Р.Г.. О существовании решений одном сингулярной дифференциально-операторной системы уравнений первого порядка и их асимптотике. // Тези доповідей п’ятої міжнародної наукової конференції імені академіка М.Кравчука. -Київ, 1996. -С.98.

Абу Эль-Шаур Муса Джабер. Квазилинейные сингулярные дифференциально-операторные системы уравнений первого порядка. // Тези доповідей Міжнародної конференції. Треті Боголюбовські читання "Асимптотичні та якісні метсдн їв теорії нелінійних колшіань’-Кнїв, 1997. -С.49-50.

Абу Ель-Шаур Муса Джабер. Сингулярні дифереяшально-оперяторні системи рівняні. :ршого порядку. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичннх наук і спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Одеський держуніверситет, Одеса, 1998.

Дисертація представляє собою дослідження умов існування та асимптотичних властивостей озв’язків достатньо загального вигляду сингулярних диферсіщіально-операторннх систем рівнянь правому напівоколі особливої точкі х=0, та між особливими точками х=0 та х-+сс. До таких систем ожна віднести сингулярні інтегро-диференціальні системі! рівнянь першого порядку, праві частини ких можуть вміщувати повторні інтеграли будь-якої кратності з межами інтегрування, які ілежать від незалежної змінної невідомої функції та ЇЇ похідних До п-го порядку включно, де

• фіксоване« Отримані достатні умови існування розв’язків, асимптотичні оцінки цих розв’язків та с похідних до п-го порядку включно при х-»+0, або при х—^+0 та х->+со. Теорія ілюструється на рнкладах.

Ключові слова: асимптотика, сингулярність, диферснщально-операторпа систе.ма, інтєгро-иференціальна система, особлива точка.

Абу Эль-Шаур Муса Джабер. Сингулярные днффернцнальночшераторные системы равнений первого порядка. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физлко-іатематических наук по специальности 01.01.02. - дифференциальные уравнение:, Одесский осуниверситет, Одесса, 1998.

Диссертации представляет собой исследование условий существования и асимптотическ свойств решсвян достаточно общего вида сингулярных дифференциально-операторных сист уравнений в оравой нолуокресности особой точки х= 0 и между особыми точками х - О х=+со. К таким системам можно отвести сингулярные интегро-дифференпиальные систеи уравнений 1-го порядка, правые части которых могут содержать повторные интегралы люб кратности с пределами интегрирования, зависящими от независимой переменной, неизвестн функции н ее производных до n-го порядка включительно, где п - фиксировано. Получе! достаточные условия существования решений, асимптотические оценки этих решенеий и производных до и-го порядка включительно при х—>+0 или при х—>+0 и х-И-°о. Теор

иллюстрируется на примерах

Ключевые слова: асимптотика, сингулярность, дифференциально-операторная cucmej интегро-дифференциальпая система, особая точка.

Abu El-SUaur Musa Jaber. Singular differential-operator set of the first order equations. Thesis competition of a scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on a special 01.01.02. - differential equations, Odessa State University, Odessa, 1998.

The thesis represents a research of the conditions of existence and asymptotic properties of solutic of rather general view of singular differential-operator set of equationses in the right half-neighborhoo< singular point x = 0 and between singular points x - 0 and x =+cc. To such systems it is possible

refer singular integro-difterential set of equations of the Iя order, which right members can canl; repeated integrals of any multiplicity with limits of an integration dependent on an explanatory variat unknown function and its derivatives up to n order inclusively, where n - is fixed. The sufficient conditk of existence of solutions, asymptotic evaluations of these solutions and their derivative up to the order о inclusively for want of x -» + 0 or for want of x —у + 0 and x —> + °o are obtained. The theory is illustral on examples.

Key words: an asymptotics, singularity, differential-opetator a system, inlegro-differential syste singular point.