Сингулярные решения и интегральные представления решений задач теории упругости в напряжениях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

г> БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 539.3 : 517.9

АБУ'ИЗРЕЙК АМДЖАД МАХМУД МОХАМАД

СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук профессор М.Д.МАРТЪ1НЕНКО

МИНСК-1995

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и робототехники Белорусского государственного университета

доктор фнз.-мат. наук, профессор МАРТЫНЕНКО М.Д.

доктор фиа.-мат. наук ЖУРАВКОВ М.А.

доктор физ.-мат.наук, профессор ЮРЧУК н.и.

доктор технических наук, профессор АЛЯВДИН П.В.

Оппонирующая организация Львовский госуниверситет

им. И. ФРАНКО

Защита состоится 28 декабря 1996 года в 14.00 на заседании совета по аащите диссертаций К 066.02.04 в Белорусской государственной политехнической академии / 220027, г.Минск, пр.Ф.Скорины, 65, главный корпус, к.202.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусской государственной политехнической академии.

Автореферат разослан 27 ноября 1996 года.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций

Научный руководитель

Научный консультант

Официальные оппоненты

Г.Л.БАХМАТ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертапт?- Современный этап развития механики деформируемого твердого тела характеризуется как тесной взаимосвязью и взаимозависимостью в постановке и решении общетеоретических проблем в прикладных инженерных задач, возникающих в практике проектво-конструкторской и научно-исследовательской деятельности, так и широким использованием самого разнообразного аппарата современной математики, включающего новейшие разделы теоретической в прикладной математики /функционального анализа, общей теории уравнений с частными и обыкновенными производными и т.д. / и проведение численного эксперимента на ЭВМ. Такой подход позволяет исследовать механические свойства материалов реальных тел, из которых состоят элементы конструкций, протекающие в них изменения и взаимодействия, выразить их в виде математических соотношений и, как результат,- рассчитать и спроектировать аппарат, промышленное изделие, строительную конструкцию так, чтобы возникающие в них механические явления наилучшим образом обеспечивали выполнение технико-эксплуатационного процесса.

Линейная теория упругости представляет ссбой раздел МДТТ, изучающий напряженно-деформированное состояние /НДС/ твердых тел, материал которых подчиняется закону Гука. Наиболее полное развитие в этой теории получила задача в перемещениях, которая в математической формулировке сводится к решению трех дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка / система Даме/ относительно трех компонент вектора перемещений при заданных граничных условиях первого, второго и смешанного типов. В рамках такой формулировки удалось доказать как теоремы существования в единственности решения основных задач теории упругости, так и разработать эффективные алгоритмы определения НДС и решить ряд важных и трудных задач теории упругости. Среди вышеупомянутых методов решения задачи в перемещениях отметим метод граничных интегральных уравнений, который допускает достаточно простую реализацию на ЭВМ. В то же время задача теории упругости в напряжениях осталась вне поля зрения широкого круга ученых /как механиков, так и математиков/ в силу ее достаточно сложной математической форму-

лировки /переоаределенность разрешающей системы уравнений, ее не-вариапионный характер и т.д./. Поэтому на повестку дня современной МДТТ ставится проблема дальнейшего развитая методов решения задачи в напряжениях по аналогии с теми методами, которые сейчас успешно реализуются в задаче с перемещениями, в частности, метода интегральных представлений как составной части метода интегральных уравнений.

Диссертация является частью плановой госбюджетной НИР 1.10.2 "Механика деформируемого твердого тела" /Н г.р.01920001490/, входящей в программу АН Беларуси "Материал 2" /п.2.21 Плана АНБ/.

Цель работы - проанализировать математическую формулировку задачи теории упругости в напряжениях и разработать математические основы теории потенциала для ее решения.

Задачи игг^яцоиаття. Для двух извесгаых разрешающих систем уравнений задачи теории упругости в напряжениях построить решения с полярной особенностью и с юс помощью вывести интегральные представления гладких решений упомянутых систем.

Основные положения лиссертапии, выносимые ид аалпггу.

1. Фундаментальная матрица системы уравнений Бельтрами-Ми-челла;

2. Интегральные формулы Грина для системы уравнений Бельтра-ми-Мичелла;

3. Интегральные представления гладких решений системы уравнений Бельтрами-Мичелла в ограниченных областях евклидового пространства;

4. Фундаментальная матрица решений системы уравнений, состоящей из трех уравнений равновесия и трех уравнений Бельтрами-Мичелла относительно касательных компонент тензора напряжений;

5. Интегральные формулы Грина для вышепоименованной системы уравнений переменного порядка;

6. Интегральные представления напряжений для пространственных тел ограниченных размеров.

Научная новизна. Для задач теории упругости в напряжениях метод интегральных представлений применен впервые. Все вышесказанные результаты и формулы, выносимые на защиту, являются новыми.

Практическая значимость полученных результатов. Диссертация имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы в научно-исследовательских и проектно-конструкторских организациях при определении напряженно-деформированного состояния ответственных элементов конструкций, расчете надежности, долговечности и несущей способности деталей машин и сооружений.

Экономическая значимость полученных результатов состоит в гом, что они позволяют избежать проведения дорогостоящих лабораторных и натурных экспериментов и связанных с ними энергетических и материальных затрат при определении НДС реальных конструкций и знедрегаш новых конструкционных материалов, оценки технмко-экс-злуатаиионных свойств промышленных изделий и сооружений.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты выносимой на шциту диссертации получены лично соискателем. Соавторам в совместных публикациях принадлежат постановка задач, обсуждения Полуниных соискателем результатов, их достоверности и значимости.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертацион-щх исследований докладывались на международной математической сонференции, посвященной 25-летию ГГУ им.Ф.Скорины /Гомель, ап-зель 1994 г./, международной конференции "Функциональный анализ и фавнения с частными производными" /Минск, декабрь 1994 г./, Бе-горусском конгрессе по теоретической и прикладной механике "Меха-*ика-95" /Минск, февраль 1995 г./, международной математической гонференции "Алгебра и кибернетика" /Гомель, сентябрь 1995 г./, Зсеукрайнской научной конференции "Разработка и применение математических методов в научно-технических исследованиях" /Львов, октябрь 1995 г./, Второй Иорданской математической конференции /Ка->ак, Иордания, сентябрь 1994 г./.

ши отражены в четырех статьях и шести тезисах докладов на научных сонференциях.

цей характеристики работы, четырех глав, выводов и списка литерату-ры > количестве 55 наименований. Полный объем диссертации составля-ег 91 ¡траницу машинописного текста.

Основные результаты дисс "рга-

Диссертация состоит из введения, об-

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Гэ введении дана оценка современного состояния исследований задачи теории упругости в напряжениях, сделала общая характеристика работы, приведен перечень основных новых научных результатов, выносимых на защиту, публикаций по теме диссертации и апробаций результатов на республиканских й международных конференциях.

Первая глава диссертации содержит сводку основных уравнений линейной изотропной теории упругости и основных граничных задач, разрешимых с их помощью. Здесь рассматриваются два варианта решения задач теории упругости в напряжениях, первый из которых связан с системой уравнений Ламе относительно компонент вектора перемещений, а второй - с решением переопределенной системы переменного порядка относительно компонент тензора напряжений, которая состоит из трех уравнений равновесия к шести уравнений совместности деформаций. Отмечены трудности и достижения в каждом из этих подходов, а также настоятельная необходимость дальнейшего развития второго из них. Показано, что дальнейший прогресс второго подхода требует исследования условий совместности переопределенной системы выделения базовых уравнений, обеспечивающих решение задачи в напряжениях при естественных граничных условиях в виде поверхностной .нагрузки, определение ее типа.

Вторая глава диссертации посвящена изложению некоторых методов построения сингулярных решений уравнений с частными производными применительно к задачам линейной теории упругости. Здесь дается современное определение фундаментального решения уравнения с частными производными и приводятся явные и квадратурные формулы для них в случае уравнений с постоянными коэффициентами, даны примеры построения фундаментальных матриц для системы Ламе с помощью метода интегральных преобразований Фурье, метода Кельвина, метода Лени, метода плоских волн. Этот анализ позволил выбрать для решения задач настоящего исследования в качестве основного метод Э.Э.Леви, который сводит построение фундаментальной матрицы эллиптических и гипоэллиптических систем к построению фундаментального решения одинокого эллиптического уравнения высокого порядка.

___ Третья и четвертая главы являются основными.

Третья глава диссертации посвящена исследованию задачи в напряжениях как краевой задачи для системы уравнений Бельтрамн-дМи-зелла:

* + V к-Н 1 ~ ^

1

адн. в матричном виде:

(I)

(2)

А +тд\ тд\ тд * 0 0 0

тд\ А+тд\ тв\ 0 0 0

шд\ тд\ А+тд\ 0 0 0

тдхдг тдхд2 А 0 0

тдгдг тдгдъ тдгдъ 0 А 0

тд^ тдхдг 0 0 А

(3)

'я

лг

■'а

к*1

-щ&к/к -24Л

-Щ&к/к -2^3

-(ЗЛ

-(4/, +4Л)

\

Это - эллиптическая система, и потому для нее может быть разработан; теория потенциала по хорошо известной методике.

Вначале показано, что однородная система (1) допускает решена

вида:

[1, г=к ¡0,

т=-

1

1 V

где <р -бигармоническая функция или такого вида:

=(1+т)гр$л> (5

где ^-гармоническая функция. Внося (4), (5) в уравнения равновесия легко убеждаемся в том, что они удовлетворяются лишь в очень част-ны: случаях /так, представление вида (.4) будет являться решением систем! Коши только когда А<р=0/. Это показывает настоятелъну! необходимость использования уравнений равновесия Коши для выделе ния из решений системы Белырами-Мичелла физически достоверны: напряжений.

Метод Э.Э.Леви приводит к такому явному представлению фунда ментальной матрицы системы Белырами-Мичелла через элементарны функции:

1

г г» 1 , ~Я)' 1

г' Г> (■^-лХч -л)

8<11Чц)

^ С*з -лХ*, -л)

V 1 ■ ^

1 М-удг г 7~~

1 ¿ь-л)1

г ?

1 Ь-лЗ?

?

-?--

-р-

1 .(*>-уд3 г > ' 1

г > г ' Г>

& -л)

г1

(«1-лХ -

—?—^

20*2»%) г

О'

О

20+ац)

Непосредственными вычислениями показано, что матрица К(х,у удовлетворяет такому операторному уравнению;.

Это значит, что К(х,у) есть фундаментальная матрица системы уравнений Бельтрами-Млчелла.

Для системы (1) обычными рассуждениями получены первая и вторая формулы Гривл;

Ш

! а{4~ }а-<гА':

а I

<ъ -«V*/»3 к - /<3ч ;-< ] (.8)

в »,/-)

где х =(^1,522,%,^э)» п -(Л1>Л2>Лз) -внешняя нормаль к поверхности Б,

8 3 СП

(9)

У-Л

Вторая формула Грина может был» преобразована к такому виду:

о I и-1 J

(10)

или

о I _и1.М . и* )

(И)

С помощью (6) и (10) получены такие интегральные представления гладких решений системы (1)

]

'^.¿.й1 А ^ А

'I- -фчф (12)

аООс^С»)

-до

Зг 1

к= 1,3,

П. о*2> ~сги, (Ру »0-33, о*4) 0<5) -гг^з, ^ = ег13 (14)

4яг " 8<1 +т)

1

Г г

.С)

_-У/)

8я(1 +т)

г3

Ляг

(16)

X уеВ 0, уе£>№

(17)

Четвертая глава диссертации посвящена рассмотрению задачи в напряжениях на основе следующей системы уравнений переменного порядка, предложенной В.А.Лихачевым и Н.П.Флейшмавом /Доклады АН УССР, сер.А, 1984 г., N9/

1

1 + V

(18)

Здесь показано, что система (18) не является эллиптической по И.Г.Петровскому, но гипоэллипотчна в смысле Л.Шварпа-Л.Хсрмандера. Показано, что общее решение однородной системы (18) может быть представлено в виде:

=[(1 -2т)6лА +т{А-д *)]?>, /,1: «1,3

где <р - гармоническая функция, или

£Ти =[(т-\)Ад\ -тд\д\~\yr, -тд\дг^}Г,

ахг =[(1 ~т)А -тд уг, ст,„ =т(А -д\)дхдгщ (20)

Стзз =-т(Л -д])1 цг, ап=т(Д-д\)дхЗгЧГ

где цг - бигармоническая функция. Внося (19), (20) в уравнения Бель-трами-Мичелла относительно нормальных компонент тензора напряжений, убеждаемся в том, что они удовлетворяются также и на решениях системы (18). Ранее этот факт был доказан В.А.Лихачевым и Н.П.Флейшманом на основании других соображений.

Метод Э.Э. Леви приводит к такому виду для фундаментальной матрицы:

ад-(4.Л) (21)

где

А-

'[(1 -т)А-тд\\<рх т{А-д\)ф1

-тд^д^ -тдгд3<рх ~тдхд.^

т(А-дХ)<рг [(1 -т)А -т&\]<рг т{А-д\}фг —тд-^д^ф^ -тд2д\<рг

[а

т(А-&1)<р3 —тЗгдгфъ

-тдАЧН

л,-

(га -1)^ -тд^З(т -1)4?,

(1 -2т)

тг<? ;

(I -2т)4яг 8я<Д -2га)

(1-2т) ^ тгд *

(1—2я»)4яг -2т))

И

а. = —

4я(1

leлп ввести обозначения:

А

[4 О 0 4 0 з, >

А П <Â ¿1 с

О 0 4 О

тЗхдг тд%дг Л О О

mâ^d^ тд^д^ О О

JftÔ[Ûj rnd^ß-} mâxdy О О

! "/i

с -

S-

-h

Vi

-4/з -4/j

'W 3

-VW *

V a

í

0 0

0

0

mâxâ2 mdâ-, mâxâ2 rrtö-,0, mâ~â-.

-¡7,

О

л о о

-à, -а о

А О

-Ö-, \ О

-3,

о о л

(23)

О

и

тогда легко убедиться в справедливости таких равенств:

I

Для системы (18) имеют место такие формулы Грква:

С V«/ V М М/аЦ.

*

"У*

СП СП к* ЬЛ

и

(25)

(26)

Обычными рассуждениями отсюда имеем такое интегральное представление напряжений в области О:

»•4 »Я J я 1М СП

" Л

-^Ч^ок* к* 1,6

Эта формула может быть переписана так:

»х Л» л I

" Л

(28)

.да ___

—5,.--НТШ,

" дп 1

** ' я* А}

Вышеприведенные интегральные представления для сг0 справедливы для ограниченных областей и поверхностей Ляпунова и для напряжений класса аи еСг(В)Г)С1(01)5).

ВЫВОДЫ

В настоящей работе получены следующие новые научные результаты:

1. Получены два варианта общего представления решений системы уравнений Бельтрами-Мичелла, которые подтверждают необходимость Использования уравнений равновесия для выделения физически достоверных решений задачи в напряжениях среди решений уравнений Бельтрами-Мичелла-

2. Пйлучена система шеста сингулярных решений уравнений Бельтрами-Мнчелла и доказано, что она образует фундаментальную матрицу решений системы уравнений Бельтрами-Мичелла.

3. Выведены первая и вторая формулы Грина для системы уравнений Бельтрами-Мичелла и с их помощью получены интегральные представления решений этих систем в ограниченных областях евклидового пространства.

4. Рассмотрен новый вариант постановки задач теория упругости в напряжениях, предложенный Н. П.Флейшманом а В.А.Лихачевым, они-

рающийся на решение системы уравнений переменного порядка, образованной тремя уравнениями равновесия и тремя уравнениями Бельтрами-Мичелла относительно касательных компонент тензора напряжений. Показано, что эта система уравнений принадлежит к гипоэллшпическо-му талу. •

5. Получено два варианта общего представления решений системы уравнений переменного порядка и показано, что решения этой системы в произвольной ограниченной области евклидового пространства удовлетворяют уравнениям Бельтрами-Мичелла относительно нормальных компонент тензора напряжений.

6. Построена система шести сингулярных решений и с их помощью образована фундаментальная матрица решений системы уравнений переменного порядка упомянутого выше вида.

7. Выведены интегральные формулы Грина и с их помощью получены интегральные представления напряжений в ограниченных областях евклидового пространства.

Основные результаты диссертации опубликованы • в "следующих работах:

1. Мартыненко М.Д., Абу-Изрейк Амджад. Некоторые особенности системы уравнений Бельтрами-Мичелла//Международная математическая конференция, посвященная 25-летию Гомельского ун-та. Тезисы докладов, ч.1.-Гомель, Изд-во ГТУ,-1994.-с.150

2. ABO-Izreik Amjed. On one overdetermined system of partial differential equations of mathematical physics//Second Jordan mathematical conference, Karak, Jordan, 1994

3. Martynenko M.D., YUSHCHENKO D.P., Amdjed A.I. Elastopotentiai method for boundary value problems of elasticity theory in terms of stresses//Belarus congress on theoretical and applied mechanics "Mecha-nics-95".- Minsk, 1995. -Gomel: Infotribo, 1995.-p.343-344

4. Kazakevich V.A., Medvedev D.G., Sklyar O.N., Ushchenko D.P., Amdjad Abo-Izreik. Method of integral equations in solution of some problems of elasticity theory // Belarus congress on theoretical and applied

тесЬаПка "МесЬатсз-95".- Мтэк, 1995. -Ооте1: ЫотЬо, 1995.-р.317-318

5. Марпненко М.Д., лбу-1зрейк Амджад, Ющенко В.П. 1нтегральш зо-браження гладких розв'язк1в системи БельтрамЬ М1чел-ла//Всеукрашсъка наукова конференция "Розробка та застосугання математичних метод!в в наукопо-гехтчних дослщженнлх" гези доповщ-ей. ч.2.-Льв1в: НВФ "В1га", 1995.-С.35-36

6. Мартыненко М.Д., Абу-Изрейк Амджад. Задача в напряжениях как краевая задача для системы уравнений Бельтрами-Мичел-ла//Украинская конференция "Моделирование й исследование устойчивости систем". Тезисы докладов, Киев, 1995.-c.82.

7. Мартьшенко М.Д., Абу-Изрейк Амджад. Сингулярные решения задачи теории упругости в напряжениях//Весш АН РБ. сер.ф^з.-техн. навук.-1995. N4.

8. Мартьшенко М.Д., Абу-Изрейк Амджад, Юшенко Д.П. Задача теории упругости в напряжениях как краевая задача для системы уравне-ний Бельтрами-Мичелла//Весш АН РБ. сер.ф1з.-техн.навук.-1995. N4.

9. Абу-Изрейк Амджад. О задаче теории упругости в напряжениях//Весц] АН РБ. сер.фЬ.-техн.навук.-1995. N4.

РЕЗЮМЕ

АБУ-ИЗРЕЙК АМДЖАД МАХМУД МОХАМАД Сингулярные решения и интегральные представления решений задач теории упругости в напряжениях

Ключевые слова: уравнения с частными производными, теория упругости, Напряжения, перемещения, уравнения Ламе, Бельтрами-Мичелла, Коши, сингулярные решения, фундаментальная матрица, интегральные представления, переопределенные системы, условия совместности.

Проанализированы две постановки задачи теории упругости в напряжениях, первая из которых опирается на использование в качестве ' базовой системы уравнений Белырами-Мичелла, а вторая- системы переменного порядка, состоящей из уравнений равновесия Коши и трех уравнений Белырами-Мичелла относительно касательных компонент тензора напряжений. Для этих двух систем уравнений построены фундаментальные матрицы сингулярных решений, выведены формулы Грина и интегральные представления гладких решений в областях, ограниченных поверхностями Ляпунова.

Полученные результаты могут быть использованы при определе-нии напряженного состояния твердых деформируемых тел методом граничных интегральных уравнений.

РЭЗЮМЭ

АБУ-13РЭЙК АМДЖАД МАХМУД МАХАМАД

Сштулярныя рашэшн ды штегральныя прадстауленш рашэнняу задач тэорьп пругкаац у напружаннях

Ключавьм словы: ураунант з частковым! вытворным1, тэорыя пругкасщ, напружанне, перамяшчэнне, ураунання Ламэ, БелырамЬМЬ чэлла, Кашы, сштулярныя ращэнш, фундаментальный матрицы, штэ-гральныя прадстауленш, перавызначаньш скгзмы, умовы супольнасш.

Прааналгзаваны дзве пасганоую задач гэорьп пругкасц! у напружаннях, першыя з як!х абашраецца на выкарысганне у якасш базавай астэмы ураунанняу БелырамЬМ^чэлла, а другая-скгэмы зменнага парадка, складзенай з ураунанняу раунавагз Кашы ды трох ураунанняу БельграмЬМ^чэлла адносна датычкых кампаненг тзнзара напружанняу. Для гэтых дзвух скгам ураунанняу пабудаваны фундаментальный ма-грьщы сшгулярных рашэнняу, выведзены формулы Грына I пяэграль-ныя прадстауленш гладюх рашэнняу у вобласцях, абмежаных лаверх-. нямЗ Ляпунова.

Агрыманыя рэзульхагы могуць бьщь выкарысганы пры вшначэкнЗ налружанага стану цвердых дэфармаваных целзу метадам граничных ш-тэгральных ураунанняу.

n

SUMMARY ABO-IZREIK AMJED MAH'D MOH'D Singular solutions and Integra] representations of solutions of elasticity boundary value problems in stresses

Key words: elasticity theory, stress, displacement, equations Lame, Beitnuni-Michdl, Cauchy, singular solution, fundamental matrix, integral representation, overdetermined system, compatibility condition, partial differential equation

Two statements of a boundary value problem of elasticity theory in stresses are analyzed, one of which is based on Beltrami-Michell system, another one is based on a system of variable order composed of Cauchy equilibrium equations and Beltrami-Michell equation relative to tangential stress tensor components.'Fundamental matrix, Green formulae and inte-grai representations of smoothes solutions of above-mentioned systems are derived.

Obtained results may be used for determination of stress state of rigid bodies by boundary-integral equation method.

NY