Сингулярные солитоны и пространственно-неоднородные структуры в конденсированных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Выводы: Для диссипативного обобщения НУШ (6.63), описывающего генерацию нелинейных волн в среде с низкочастотной накачкой и высокочастотным поглощением, обнаружен новый тип пространственно-локализованных структур— динамический "диссипативный" солитон с квазипериодическим или стохастическим заполнением. Переход к стохастике в диссипативном солитоне осуществляется через бифуркации удвоения периода по мере увеличения его амплитуды.

Заключение

В данном приложении показано, что на базе симплектических алгоритмов могут быть созданы методы численного решения интегрируемых систем, обеспечивающие сохранение большого числа высших интегралов и квазипериодичности движения. Эти методы могут использоваться для адекватного моделирования интегрируемых систем при определенных ограничениях на начальные условия.

Для демонстрации преимуществ симплектических методов было проведено сравнение описанной в данной работе конкретной реализации алгоритма и аналогичного метода с использованием явных несимплек-тических методов Рунге-Кутта*. Оказывается, что код, основанный на несимплектических методах Рунге-Кутта, может дать такое же сохранение интегралов, если значительно уменьшить временной шаг (обычно не менее, чем на порядок). Однако, при столь малых шагах явные методы Рунге-Кутта теряют свою эффективность и дают вычислительную скорость меньше, чем симплектические. Более того, в некоторых случаях оказалось, что сильное уменьшение шага по времени невозможно, т.к. накопление ошибок округления быстро разрушало высшие интегралы системы.

Симплектические методы, предложенные в данной главе, могут использовался метод Рунге-Кутта из библиотеки программ [181] успешно применяться и для неинтегрируемых уравнений. Например, они использовались для расчетов эволюции солитонов в гамильтоновых уравнениях типа НУШ с высшей дисперсией. С вычислительной точки зрения эти задачи являются экстремально жескими (особенно для расчетов на больших временах) и предъявляют особые требования к численным алгоритмам.

Стабильность симплектических методов для больших шагов по времени оказывается весьма важным свойством при численном решении многомерных задач, когда требования к скорости вычислений становятся решающими. В частности, симплектические методы показали высокую эффективность при исследований (2+1)Б мерной модуляционной неустойчивости, выполненной в работе [163].

1. Кандаурова Г.С., Свидерский А.Э. Процессы самоорганизации в многодоменных магнитных средах и формирование устойчивых динамических структур,- ЖЭТФ, 1990, 97, с.1218-1230.

2. Дикштейн И.Е., Лисовский Ф.В., Мансветова Е.Г., Чижик Е.С. Формирование рефлексивных доменных структур при монополярном и циклическом намагничивании одноосных магнитных пленок.-ЖЭТФ, 1991, 100, с.1606-1625.

3. Савченко Л.Л., Никитов С.А., Попков А.Ф., Четкин М.В. Автомодуляционное усиление шума спиновых колебаний в бегущей магни-тостатической волне ЖЭТФ, 1998, 114, с.628-639.

4. Калиникос Б.А., Ковшиков Н.Г., Славин А.Н. Солитоны огибающей и модуляционная неустойчивость дипольно-обменных волн намагниченности в пленках железоиттриевого граната.- ЖЭТФ, 1988, 94, с.159-176.

5. Bishop A.R., Krumhansl J.A., Trullinger S.E. Solitons in condensed matter: a paradigm.- Physica D, 1980, 1, p.1-44.

6. Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны.- Киев: Наукова Думка, 1983.

7. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи.- М.: Наука, 1980.

8. Khodenkov Н.Е. Nonstationary equations of motion for magnetic bubble domains.- Phys.St.Sol.(a), 1981, 63, p.461-472

9. Hudak O. On vortex configurations in two-dimensional sine-Gordon systems with applications to the phase transitions of the Kosterlitz

10. Thouless type and to Josephson junctions.- Phys.Lett. A, 1982, 89, p.245-250.

11. Takeno S. Multi-(Resonant-soliton)-solutions and vortex-like solutions to two- and three-dimensional sine-Gordon equations.- Prog. Theor. Phys. 1982, 68, p.992-997.

12. Борисов А.Б., Таикеев А.П., Шагалов А.Г. Вихри и двумерные соли-тоны в легкоплоскостных магнетиках.- ФММ, 1985, т.60, с.467-479.

13. Borisov А.В., Tankeev А.Р., Shagalov A.G., Bezmaternih G.V. Multi-vortex-like solutions of the sine-Gordon equation.- Phys.Lett.A, 1985, v.lll, p.15-18.

14. Тайманов И.А. Многозначные конечнозонные решения уравнения А и = sin м.- Математ. заметки, 1990, 47, с.100-105.

15. Einhorn М.В., Savit R., Rabinovich E. A physical picture for the phase transitions in Zn symmetric model.- Nuclear Phys. B, 1980, 170, p.16-31.

16. Izyumov Yu.A.,Laptev V.M. Vortex structure in superconductors with a many-component order parameter.- Phase Transitions, 1990, 20, p. 95-112.

17. Борисов А.Б., Танкеев А.П., Шагалов А.Г. Сингулярные решения sin-Гордон и вихревые конфигурации в магнетиках.- Тезисы XI Всесоюзной школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники", Ташкент, 1988, с.143-144.

18. Борисов А.Б., Танкеев А.П., Шагалов А.Г. Новые типы двумерных вихреподобных состояний в магнетиках.- ФТТ, 1989, т.31, с.140-147.

19. Borisov А.В. Vortices in the sine-Gordon system and solution of the boundary value problem by the inverse scattering transform.

20. Phys.Lett.A, 1990, 143, p.52-56.

21. Argyle B.E. Terrenzio E., Slonczewski J.C. Magnetic vortex dynamic using the optical Cotton-Mouton Effect Phys.Rev.Lett., 1984, 53, p.190-193.

22. Chui S.T., Ryzhov V.N. Soliton and 2D domains in ultrathin magnetic films.- Phys.Rev.Lett., 1997, 78, p.2224-2227.

23. Новокшенов В.Ю. Об асимптотике общего действительного решения третьего уравнения Пенлеве.- ДАН СССР, 1985, 283, с.1161.

24. Its A.R., Novokshenov V.Yu. The isomodromic deformation method in the theory of Painleve equation.- in Lecture Notes in Mathematics, vol.1191, Berlin: Springer, 1986.

25. Новокшенов В.Ю., Шагалов А.Г. Решения типа связанных состояний для эллиптического уравнения синус-Гордон.- ТМФ, 1997, 111, с.15-31.

26. Novokshenov V.Yu., Shagalov A.G. Bound states of the elliptic sine-Gordon equation.- Physica D, 1997, v.106, p.81-94.

27. Вабищев П.Н., Васенко С.А., Лихарев К.К., Семенов В.К. Распределение магнитного поля в двумерных джозефсоновских переходах. -ЖЭТФ, 1984, 86, с.1132-1145.

28. Borisov А.В., Shagalov A.G. New types of 2D solutions of the sine-Gordon equation.- in Proceedings of the IV International workshop on Nonlinear and turbulent processes in physics, Kiev, USSR, 1989, v.2, p.213-215.

29. Borisov А.В., Ionov S.N., Shagalov A.G. New types of vortices and solutions of the boundary value problem for sine-Gordon equation by the Inverse Scattering Transform.- in "Nonlinear world", ed.

30. V.G.Bar'yakhtar et al, World Scientific, 1990, p.65-72.

31. Shagalov A.G. Singular solutions of the elliptic sine-Gordon equation: models of defects Phys.Lett.A, 1992, v.165, p.412-416.

32. Migler K.B., Meyer R.B. Spirals in liquid crystals in a rotating magnetic field.- Physica D, 1994, 71, p.412-420.

33. Михайлов A.C., Лоскутов А.Ю. Введение в синергетику.- М.: Наука, 1990.

34. Shagalov A.G. Damped and driven sine-Gordon equation as a model for pattern formation in liquid crystals.- Phys.Lett.A, 1995, 199, p.229-234.

35. Shagalov A.G. Damped and driven sine-Gordon equation as a model of pattern formation in liquid crystals. J.Tech.Phys., 1996, v.37, p.559-562.

36. Shagalov A.G. The classification problem for the phase defects in Ginzburg- Landau equation.- in Proceedings of III European conference on mathematics applied to biology and medicine, Heidelberg, Germany, 1996, p.315.

37. Shagalov A.G. Damped and driven sine-Gordon equation as a model of pattern formation in liquid crystals.- Тезисы докладов Межд. конф. "Критерии самоорганизации в физических и биологических системах", Москва-Суздаль, 1995, с. 160.

38. Кандаурова Г.С., Осадченко А.Э., Русинов А.А., Русинова Е.А. Эволюция спиральных динамических магнитных доменов в анкерном состоянии пленок ферритов-гранатов.- Письма в ЖЭТФ, 1996, 63, с.453-456.

39. Федотова В.В., Гесь А.П., Горбачевская Т.А. Роль дефектов в образовании спиральных доменов.- ФТТ, 1995, 37, с.2834-2838.

40. Гобов Ю.Л., Шматов Г.А. Спиральные и ветвящиеся домены в одноосных магнитных пленках в статическом магнитном поле.- ФММ, 1994, 78, в.1, с.39-50.

41. Кандаурова Г.С. Ведущие центры в анкерном состоянии феррит-гранатовых пленок-ДАН, 1993, 331, с.428-430.

42. Борисов А.Б., Фейгин В.А., Филиппов Б.Н. Спиральные солитоны в ферромагнетике,- ФТТ, 1991, 33, с.2316-2319.

43. Борисов А.Б., Ялышев Ю.И. Магнитостатическая устойчивость спирального домена ФММ, 1995, 79, в.5, с.18-31.

44. Валейко М.В., Ветошко П.М., Перлов А.Я., Топоров А.Ю. Влияние констант анизотропии на магнитную восприимчивость материалов с кубической кристаллической структурой.- ФТТ, 1994, 36, с.3067-3070.

45. Migler К.В., Meyer R.B., Solitons and pattern formation in liquid crystals in a rotating magnetic field.- Phys.Rev.Lett., 1991, 66, p.1485-1488.

46. Шагалов A.Г. Динамические пространственные структуры в легкоплоскостных магнетиках в переменном магнитном поле.

47. Усредненное движение доменных границ.- ФММ, 1997, N11, с.17-23.

48. Шагалов А.Г. Динамические пространственные структуры в легкоплоскостных магнетиках в переменном магнитном поле.1..Спиральные домены и дипольные структуры.- ФММ, 1997, N11, с.24-31.

49. Шагалов А.Г. Динамические пространственные структуры в легкоплоскостных магнетиках в переменном магнитном поле.- Тезисы докл. XVI межд. школы-семинара "Новые магнитные материалымикроэлектроники" (Москва, июнь 1998), т.2, с.532.

50. Shagalov A.G. Spiral patterns in magnets.- Phys.Lett.A., 1997, v.235, p.643-646.

51. Найданов С.А., Шагалов А.Г. Влияние внешних полей на вихревые конфигурации в магнетиках.- Препринт ИФМ, 1990, No.90/3.

52. Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джосефсона. Физика и применения.- М: Мир, 1984.

53. Лихарев К.К. Введение в динамику джозефсоновских переходов.-М: Наука, 1985.

54. Barone A., Esposito F., Likharev К.К., Semenov V.K., Todorov B.N., Vaglio R. Effect of boundary conditions upon the phase distribution in two-dimensional Josephson junctions.- J.Appl.Phys., 1982, 53, p.5802.

55. Miller S.L., Biagi K.R., Clem J.R., Finnemore D.K. Critical currents of crossed-type superconducting-normal-superconducting junction in perpendicular magnetic fields.- Phys.Rev.B., 1985, 31, p.2684.

56. Mannhart J., Bosch J., Gross R., Huebener R.P., Spatial distribution of the maximum Josephson current in superconducting tunnel junctions.-J.Low.Temp.Phys., 1988, 70, p.459-484.

57. Browne D., Horowitz B. Josephson junctions in Y\Ba2Cu^Ox-Phys.Rev.Lett., 1988, 61, p.1259.

58. Shagalov A.G. Critical phenomena in large area Josephson junctions with defects.- in "Nonlinear superconducting devices and high-Tc materials", ed. R.D.Parmentier, N.F.Pedersen, World Scientific, 1995, p.125-133.

59. Shagalov A.G. Defect-like solutions of 2D sine-Gordon equation as a model of inhomogeneous states in large area Josephson junctions.- in

60. Nonlinear physics: theory and experiment", ed. E.Alfinito, M.Boiti, L.Martina, F.Pempinelli, World Scientific, 1996, p.567-574.

61. Wai P.K.A., Menyuk C.R., Lee Y.C., Chen H.H. Nonlinear pulse propagation in the neighborhood of the zero-dispersion wavelength of monomode optical fibers.- Optics Letters, 1986, 11, p.464-466.

62. Wai P.K.A., Menyuk C.R., Lee Y.C., Chen H.H. Nonlinear pulse propagation in the neighborhood of the zero-dispersion wavelength of monomode optical fibers.- Optics Letters, 1987, 12, p.628-630.

63. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика.- М.: Мир, 1996.

64. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов.- М.: Наука, 1988.

65. Калиникос Б.А., Ковшиков Н.Г., Славин А.Н. Солитоны огибающей и модуляционная неустойчивость дипольно-обменных волн намагниченности в пленкахжелезоиттриевого граната.- ЖЭТФ, 1988, 94, с.159-176.

66. Киселев В.В., Танкеев А.П., Кобелев А.В. Слабонелинейная динамика дипольно-обменных спиновых волн в ферромагнитных пластинах конечной толщины.- ФММ, 1996, 82, N5, с.38-58.

67. Hua Yan, Ikuo Awai. Magnetostatic wave propagation characteristics at low temperatures.- IEEE Trans.Magn., 1997, 33, p.2342-2347.

68. Захаров B.E., Львов B.C., Старобинец C.C. Турбулентность спиновых волн за порогом их параметрического возбуждения.- УФН, 1974, 114, с.609-654.

69. Львов B.C. Нелинейные спиновые волны.- М.: Наука, 1987.

70. Лукомский В.П. Нелинейные магнитостатические волны в ферромагнитных пластинах Укр.физ.журн., 1978, 23, с.134-139.

71. Звездин А.К., Попков А.Ф. К нелинейной теории магнитостатиче-ских спиновых волн ЖЭТФ, 1983, 84, с.606-615.

72. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Гамильтоновский формализм для нелинейных волн,- УФН, 1997, 167, 1137-1167.

73. Зильберман П.Е., Никитов С.А., Темирязев А.Г. Четырехмагнон-ный распад и кинетическая неустойчивость бегущей магнитоста-тической волны в пленках железо- иттриевого граната.- Письма в ЖЭТФ, 1985, 42, с.92-94.

74. Горнаков B.C., Дедух JI.M., Никитенко В.И. Нелинейные возбуждения в квазидвумерной системе спинов, локализованных в блохов-ской стенке.- Письма в ЖЭТФ, 1984, 39, с.199-202.

75. Slavin A.N., Dudko G.M. Numerical modeling of spin wave soliton propagation in ferromagnetic films JMMM, 1990, 86, p.115-123.

76. Cheng M., Tsankov M.A., Nash J.M., Patton C.E. Microwave magnetic-envelope dark solitons in yttrium iron garnet films.- Phys.Rev.Lett., 1993, 70, p.1707-1710.

77. Hasegava A., Kodama Y. Signal transmission by optical solitons in monomode fiber.- Proc.IEEE, 1981, 69, p.1145-1157.

78. Kodama Y., Hasegava A. Nonlinear pulse propagation in a monomode dielectric Guide.- IEEE J.Quant.Elect., 1987, QE-23, p.510-524.

79. Захаров B.E., Кузнецов Е.А. Оптические солитоны и квазисолитоны.- ЖЭТФ, 1998, 113, с.1892-1914.

80. Karpman V.I. Evolution of solitons described by higher-order nonlinear Schrodinger equations.- Phys.Lett.A., 1998, 244, p.397-400.

81. Sasa N., Satsuma J. New-type of soliton solutions for higher-order nonlinear Schrodinger equation J.Phys.Soc.Jap., 1991, 60, p.409-417.

82. Громов Е.М., Таланов В.И. Нелинейная динамика коротких цугов волн в диспергирующих средах.- ЖЭТФ, 1996, 110, с.137-149.

83. Громов Е.М., Таланов В.И. Волны, описываемые высшими приближениями нелинейного уравнения Шредингера.- Изв.ВУЗов Радиофизика, 1998, 26, с.222-242.

84. Захаров В.Е. Коллапс ленгмюровских волн.- ЖЭТФ, 1972, 62, с.1745.

85. Иванов Б.А., Косевич A.M. Об устойчивых трехмерных солитонах малой амплитуды в магнетиках.- Физ.низк.темпер., 1983, 9, с.845-850.

86. Барьяхтар В.Г., Квирикадзе А.Г., Попов В.А. Об особенностях в плотности состояний квазичастиц в кристалле.- ЖЭТФ, 1970, 59, с.898-906.

87. Барьяхтар В.Г., Квирикадзе А.Г., Яблонский Д.А. Особенности плотности состояний спиновых волн и поглощение света в ферритах.- ФТТ, 1971, 13, с.3225-3231.

88. Турицин С.К. Прстранственная дисперсия нелинейности и устойчивость многомерных солитонов.- ТМФ, 1985, 64, с.226-232.

89. Karpman V.I. Lyapunov approach to the soliton solution stability in highly dispersive systems. I. Fourth order nonlinear Schrodinger equations.- Phys.Lett.A, 1996, 215, с 254-256.

90. Захаров B.E., Кузнецов E.A. О трехмерных солитонах.- ЖЭТФ, 1974, 66, с.594-600.

91. Петвиашвили В.И., Цвелодуб О.Ю. Диссипативный трехмерный ленгмюровский солитон.- Физика плазмы, 1980,6, с.467-471.

92. Пожела Ю.К. Плазма и токовые неустойчивости вполупроводниках.- М.: Наука, 1977

93. Shagalov A.G. Modulational instability of nonlinear waves in the range of zero dispersion Phys.Lett.A, 1998, 239, p.41-45.

94. Karpman V.I., Shagalov A.G. Solitons and their stability in high dispersive systems. I. Fourth-order nonlinear Schrodinger-type equations with power-low nonlinearities.- Phys.Lett.A, 1997, 228, p.59-65.

95. Karpman V.I., Shagalov A.G. Self-focusing in uniaxial gyrotropic media: Qualitative and numerical investigations.- Phys.Rev.A, 1992, 46, p.516-524.

96. Karpman V.I., Shagalov A.G. Self-focusing of whistler waves.-Phys.Fluids B, 1992, 4, p.3087-3100.

97. Karpman V.I., Shagalov A.G. Influence of high-order dispersion on self-focusing. II. Numerical investigations.- Phys.Lett.A, 1991, 160, p.538-540.

98. Карпман В.И., Шагалов А.Г. Многофокусные структуры при самофокусировке вистлеров.- Письма в ЖТФ, 1986, 12, с.1452-1456.

99. Петвиашвили В.И., Шагалов А.Г. Квазипериодические и хаотические ленгмюровские кавитоны.- Письма в ЖЭТФ, 1993, 58, с.335-339.

100. Shagalov A.G. Symplectic numerical methods in dynamics of nonlinear waves.- Int.J.Modern Phys.C., 1999, 10, N1.

101. Serrin J. Local behavior of solutions of quasilinear equations.- Acta Math., 1964, 111, p.247-302.

102. Serrin J. Isolated singularities of solutions of quasilinear equations.-Acta Math., 1965, 113, p.219-240.

103. Veron L. Weak and strong singularities of nonlinear elliptic equations.

104. Proc.Symp.Pure Math., 1986, 45, p.477-495.

105. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В., Проблемы гидродинамики и их математические модели.- М.: Наука, 1973.

106. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.- М.: Наука, 1973.

107. Калиткин Н.Н. Численные методы.- М.: Наука, 1978.

108. Adler S.L., Piran Т. Relaxation methods for gauge field equilibrium equations Rev.Mod.Phys., 1984, 56, p.1-40.

109. Hirota R. Exact three-soliton solution of the two-dimensional sine-Gordon equation.- J.Phys.Soc.Japan, 1973, 35, p.1566.

110. Borisov А.В., Ionov S.N. Vortex and vortex dipoles in 2D sine-Gordon model.- Physica D, 1996, 99, p.18-34.

111. Bezmaternih G.V. Exact solutions of the sine-Gordon and Landau-Lifshitz equations: rational-exponential solutions.- Phys.Lett.A, 1990, 146, p.492-495.

112. Flashka H., Newell A. Monodromy- and spectrum preserving deformations.- Comm.Math.Phys.,1980, 76, p.67-84.

113. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannerty B.P. Numerical Recipes in FORTRAN.- Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

114. Абрамов А.А., Диткин В.В., Конюхова Н.Б., Парийский B.C., Ульянова В.И. Вычисления собственных значений и собственных функций обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностями.- Журн.выч.мат. и мат.физики, 1980, 20, с.1155-1173.

115. McCoy В.М.,Tracy С.А., Wu Т.Т. Painleve functions of the third kind.-J.Math.Phys. 1977, 18, p.1058-1063.

116. McLaughlin D.W., Scott А.С. Perturbation analysis of fluxon dynamics.- Phys.Rev.A, 1978, 18, p.1652-1680.

117. Maslov E.M. Dynamics of rotationally symmetric solutions in near-sG field model with application to large-area Josephsons and ferromagnets.-Physica D, 1985, 15, p.433-447.

118. Maslov E.M. Rotationally symmetric sG oscillator with turnable frequancy.- Phys.Lett A, 1988, 131, p.364-370.

119. Зыков B.C. Моделирование волновых процессов в возбудимых средах.- М.:Наука, 1984.

120. Барьяхтар В.Г., Горобец Ю.И., Денисов С.И. Дрейф доменных границ в переменном магнитном поле.- ЖЭТФ, 1990, 98, с.1345-1357.

121. Coullet P., Lega J., Pomeau Y. Dynamics of bloch walls in a rotating magnetic field: a model.- Europhys.Lett., 1991, 15, p.221-226.

122. Feudel U., Grebogi C., Ott E. Phase-locking in quasiperiodically forced systems.- Phys.Rep., 1997, 290, p.11-23.

123. Hikami S., Tsuneto T. Phase transition of quasi-two dimensional plane system. Prog.Theor.Phys., 1980, 63, p.387-395.

124. Косевич A.M, Воронов В.П., Манжос И.В. Нелинейные коллективные возбуждения в легкоплоскостном магнетике. -ЖЭТФ, 1983, 84, с.148-156.

125. Frisch Т., Rica S., Coullet P., Gilli J.M. Spiral waves in liquid crystals.-Phys.Rev.Lett.,1994, 72, p.1471-1474.

126. Nasuno S., Yoshimo N., Kai S. Structural transition and motion of domain walls in liquid crystals under a rotating magnetic field.-Phys.Rev.E, 1995, 51, p.1598-1601.

127. Zwetkoff W. Bewegung anizotroper Flussingkeitenim roteirenden

128. Magnetfeld Acta Physicochimica URSS, 1939, 10, p.555-578.

129. Цветков В.H., Сосновский А. Диамагнитная анизотропия кристаллических жидкостей- ЖЭТФ, 1943, 13, с.353-360.

130. Prost J., Canet R. Structure périodique induite dans une phase nematique par un champ magnetique tournant C.R.Acad.Se.Paris B, 1972, 274, p.54-57.

131. Цветков В.H., Коломиец И.П, Рюмин Е.И., Алиев Ф.М. Вращающееся магнитное поле как метод определения диамагнитной анизотропии нематических жидких кристаллов.- ДАН СССР, 1973, 209, с.1074-1077.

132. Кац Е.И. Поведение нематических жидких кристаллов во вращающемся магнитном поле.- ЖЭТФ, 1973, 65, с.324-330.

133. Филиппов Б.Н., Танкеев А.П. Динамические эффекты в ферромагнетиках с доменной структурой.- М.: Наука, 1987.127. де Жен П. Физика жидких кристаллов.- М.: Мир, 1977.

134. Frisch T. Spiral waves in nematic and cholesteric liquid crystals.-Physica D, 1995, 84, p.601-614.

135. K.B.Migler, Meyer R.B. Fluid-flow-induced pattern formation in liquid crystals in a rotating magnetic field.- Phys.Rev.E, 1993, 48, p.1218-1227.

136. Brochard F., de Gennes P.G. Theory of magnetic suspension in liquid crystals.- J.Phys.(Paris), 1970, 31, c.691-708.

137. Owen C.S., Scalapino D.J. Vortex structures and critical currents in Josephson junctions.- Phys.Rev., 1967, 164, p.538-549.

138. Асламазов JI.Г., Гурович Е.В. Закрепление солитонов абрикосов-скими вихрями в распределенных джозефсоновских контактах.

139. Письма в ЖЭТФ, 1984, 40, с.22-26.

140. Ustinov A.V., Doederer Т., Mayer В., Huebener A.A., Golubov A.A., Oboznov V.A. Experimental study of the interaction of fluxons with an Abrikosov vortex in a large Josephson junction.- Phys.Rev.B., 1993, 47, p.944-956.

141. Eilbeck J.С., Lomdahl P.S., Olsen O.H. Comparison between one-dimensional and two-dimensional models for Josephson junctions of overlap type.- J.Appl.Phys., 1985, 57, p.861-866.

142. Dubson M.A.,Herbert S.T., Calabrese J.J., Harris D.C., Patton B.R., Garland J.C. Non-ohmic dissipative regime in the superconducting transitions of policristalline YiBa2CuzOx- Phys.Rev.Lett., 1988, 60, p.1061-1064.

143. Stamp P.C.E., Forro L., Ayache C. Kosterlitz-Thouless transitions of fluxless solitons in superconducting YBa2Cu^Ojs~ Phys.Rev.B., 1988, 38, p.2847-2850.

144. Kosterlitz J.M., Thouless D.J. Ordering metastability and phase transitions in two-dimensional systems.- J.Phys.C., 1973, 6, p.1181-1195.

145. Самарский A.A. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977.

146. Canuto С., Hussaini M.Y., Quarteroni A., Zang Т.A. Spectral methods in fluid dynamics.- Springer Series in Computational Physics, SpringerVerlag: Berlin, 1988.

147. Wai P.K.A., Chen H.H., Lee Y.C. Radiation by solitons at the zero group-dispersion wavelength of single-mode optical fibers.- Phys.Rev.A., 1990, 41, p.426-438.

148. Kuehl H.H., Zhang C.Y. Effects of higher-order dispersion on envelopesolitons.-Phys.Fluids В, 1990, 2, p.889-900.

149. Karpman V.I. Radiation by solitons due to higher-order dispersion-Phys.Rev.E, 1993, 47, p.2073-2080.

150. Gromov E.V., Piskunova L.V., Tupin V.V. Dynamics of wave packets in the frame of third-order nonlinear Schrodinger equation.- Phys.Lett.A, 1999, (to be published).

151. Karpman V.I. Stationary and radiating dark solitons of the third order nonlinear Schrodinger equation.- Phys.Lett.A, 1993, 181, p.211-215.

152. Hasegawa A. Optical solitons in fibers.- Springer-Verlag, Berlin, 1990.

153. Тахтаджян JI.А, Фаддеев JI.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.

154. Карпмаи В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах.- М.: Наука, 1973.

155. Potasek M.J. Modulation instabilities in an extended nonlinear Schrodinger equation Optics Letters, 1987, 12, p.921-923.

156. ВыслоухВ.А., СухотскаяН.А. Влияние дисперсии третьего порядка на генерацию последовательности пикосекундных импульсов в волоконных световодах за счет автомодуляционной неустойчивости.-Квантовая электроника, 1987, 14, с.2371-2374.

157. Kuznetsov Е.А., Rubenchik A.M., Zakharov V.E.- Phys.Rep., 1986, 142, p.103.

158. Rasmussen J.J., Rypdal K. Blow-up in nonlinear Schrodinger equations-I. A general review.- Phys.Scripta, 1986, 33, p.481-495.

159. Karpman V.I. Envelope solitons in gyrotropic media.- Phys.Rev.Lett., 1994, 74, p.2455-2458.

160. Аскарьян Г.А. Эффект самофокусировки.- УФН, 1973, 111, с.249-260.

161. Луговой В.Н., Прохоров A.M. Теория распространения мощного лазерного излучения в нелинейной среде. — УФН, 1973, 111, с.203-247.

162. Goldman M.V. Strong turbulence of plasma waves.- Rev.Mod.Phys., 1984, 4, p.709-735.

163. Бродский Ю.Я., Литвак А.Г., Слуцкер Я.З., Фрайман Г.М. Экспериментальное исследование модуляционной неустойчивости ленгмю-ровских колебаний в плазме ЖЭТФ, 1991, 100, с.159-172.

164. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика.-М.: Наука, 1979.

165. Ланфорд О.Е. В сб. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности, под ред. Суинни X., Голлаба М М.: Мир, 1984.

166. Keefe L.R. Dynamics of pertubed wavetrain solutions of the Ginzburg-Landau equation.- Studies in Aplplied Mathematics, 1985, 73, c.91-133.

167. Хабибуллин И.Т., Шагалов А.Г. Численное решение задачи аналитического сопряжения Римана.- Журн.выч.мат. и мат.физ.,1989, 29, с.382-391.

168. Хабибуллин И.Т., Шагалов А.Г. Численная реализация метода обратной задачи рассеяния.- ТМФ, 1990, 83, с.323-333.

169. Gross М.С., Hohenberg Р.С. Pattern formation outside the equilibrium.-Rev.Mod.Phys., 1993, 65, p.851-1112.

170. Karpman V.I., Shagalov A.G., Rasmussen J.J. Modulational instability due to nonlinear coupling between high- and low-frequency waves: a study of truncated systems Phys.Lett.A, 1990, 147, p.119-124.

171. Ablowitz M.J., Schober C.M., Herbst B.M. Numerical chaos, rounofferrors, and homoclinic manifolds Phys. Rev. Lett., 1993, 71, p.2683-2686. 71, p.2683.

172. McLaughlin D.W., Schober C.M. Chaotic and homoclinic behavior for numerical discretizations of the nonlinear Schrodinger equation.-Physica D, 1992, 57, p.447-465.

173. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.- М.: Наука, 1975.

174. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач М.: Мир, 1968.

175. М. J. Ablowitz M.J., Taha T.R. Analitical and numerical aspects of certain nonlinear evolution equation.- J.Comput.Phys., 1984, 55, p.192-230.

176. Выслоух В.А., Чередник И.Б. Моделирование самовоздействия сверхкоротких импульсов в волоконных световодах методом обратной задачи рассеяния ДАН СССР, 1986, 289, с.336-340.

177. Flesch R., Forest M.G., Sinha A.- Physica D, 1991, 48, p.109-112.

178. Ruth R.D. A canonical integration technique.- IEEE Trans.Nucl.Sci., 1983, Ns-30, p.2669-2671.

179. Scovel J.C. Symplectic numerical integration of hamiltonian systems. The geometry of hamiltonian systems.- The Geometry of Hamiltonian Systems, ed.Ratin Т., Springer-Verlag, New York,1991, p.463-478.

180. Sanz-Serna J.M. and Calvo M.P. Numerical hamiltonian problems.-Chapman and Hall, London, 1994.

181. Yoshida H. Recent progress in the theory and application of symplectic integrators Cel.Mech.Dyn.Astr., 1993, 56, p.27-43.

182. Feng Kang, Qin Meng-Zhao. Hamiltonian algorithms for hamiltoniansystems and comparative numerical study.- Comput.Phys.Commun., 1991, 65, p.173-183.

183. Feng Kang, Qin Meng-Zhao, Lecture Notes in Mathematics, (SpringerVerlag, New-York, 1987) V.1297, p.1-18.

184. McLachlan R.I. Symplectic intergrations of hamiltonian wave equations Numer.Math., 1994, 66, p.465-492.

185. Tang Y.F., Vazquez L., Zang F., Perez-Gareia V.M. Symplectic methods for the nonlinear Schrodinger equation.- Computers Math.Appl., 1996, 32, p.73-83.

186. McLachlan R.I., Atela P. The accuracy of symplectic integrators.-Nonlinearity, 1992, 5, p.541-562.

187. El'G.A., Gurevich A.V., Khodorovski V.V., Krylov A.L. Modulational instability and formation of a nonlinear oscillatory structures in a "focusing" medium.- Phys.Lett.A, 1993, 177, p.357-361.

188. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannerty B.P. Numerical Recipes in Fortran, 2nd Ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992.

189. Сурис Ю.Б. Гамильтоновы методы типа Руиге-Кутты и их вариационная трактовка.- Математич. моделир., 1990, 2, с.78-87.

190. Абловиц М.,Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи.-М.:Мир,1987.

191. Аркадьев В.А., Погребков А.К., Поливанов М.К. Метод обратной задачи рассеяния в применении к сингулярным решениям нелинейных уравнений. I.- ТФМ, 1982, 53, с.163-180.

192. Аркадьев В.А.,Погребков А.К.,Поливанов М.К. Поливанов М.К. Метод обратной задачи рассеяния в применении к сингулярным решениям нелинейных уравнений. II ТФМ,1983,54,с.23-37.

193. Хабибуллин И.Т. Дискретная система Захарова-Шабата и интегрируемые уравнения Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1983, 146, с.137-146.

194. Шабат А.Б. Обратная задача рассеяния Дифф.уравнения, 1979, 15, с.1824-1834.

195. Хабибуллин И.Т. Дискретная аппроксимация обратной задачи рассеяния.- Интегрируемые системы. Уфа:БФАН, 1982, с.68-87.

196. Хабибуллин И.Т. Обратная задача рассеяния для разностных уравнений,- ДАН СССР, 1979, 249, с.67-70.

197. Davies В. Location of zeros of an analytic function.- J.Comput.Phys., 1986, 66, c.36-49.

198. Новокшенов В.Ю. Асимптотическое поведение при t —» оо решения задачи коши для нелинейного дифференциально-разностного уравнения Шредингера.- Дифф.уравнения, 1985, 21, с.1915-1926.

199. Borisov А.В., Kiseliev V.V. Topological defects in incommensurate magnetic and crystal structures and quasi-periodic solutions of the elliptic sine-Gordon equation.- Physica D, 1988, 31, p.49-64.

200. Derrik G.H. Comments on nonlinear wave equations as models for elementary particles J.Math.Phys., 1964, 5, p.1252-1260.