Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЖВСКИЙ ОРДЕНА*ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСЮЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДЗЕОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ км. М.В.ЛО ШНО СО ВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

КУРИНА Галина Алексеевна

УДК 517.9

ЗГШРНЫЕ .ВОЗМУЩЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО

УПРАВЛЕНИЯ С УРАВНЕНИЕМ'[ СОСТОЯНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫМ ОТЮСИТКЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ /01.01.02 - дифференциальные уравнения f/

'Автореферат диссертации на соискание ученой степени' доктора физико-математических наук

Москва 1992

Габоти пшюлмина на ка^одро математики Уоронокояжо .'¡мотог.шгцч; кого института.

01(1111,ншп.шю опшмьчсш:

доктор |[1:зико-матсма-П!'н скнх мпуи, с. и.с. Л .Д./.11УЛ'11!\0,

доктор (¡цзико-птчштичсоких наук, профессор П.'!.ГУТУЗ'>П,

доктор физико-математических наук, прс<1г<:<'ор М.Г.,)•,'.!: ПТКПЛ.

Ведущий организация: Пичнслнтслыш!! цоитр ГМ1.

О.члшта состоится п ,10 " ¿ь-РО^Нь^ " г. час.

па лпсодлшш СпшцтлппироачпноГ" со!-г.ч Т. 0';Л.П5.37 и; :: Моо:опс-кум ^ооудирстаошюм унниерсптоте им. И.й.Тимтоыпт но а'уссу:

г.Москва, Лгммшпнко гори, МГУ, 2 учгйнпИ корпус, 'Ъкуль тег иычиолнтолыюИ математики н кибернетики, ауд. Г.Г.ГЗ.

С диссертацией можно ознакомиться г. о:и1^:кч-с ип '¡акультс-та пячпе лнтелыюЛ математики ¡: ккйсгнптикм '.У/.

Автореферат разослан " " г^и^схл^ "

УчышЛ секретарь

Спецшиптпродшшого сонета ,):. (Г,Л.П5..')7 доктор (¡'.¡злко-матсматпчсоклл наук "профессор (^

•■ . ОГСАЛ ХАРАКГПГЙСТККА РАЬЭТм

• '-^йсгупдьиость теми. ?а:;.г.гшии задач.-. техника, антегдатачосного уираЕле^.я, экономики, агахаиигд полота, даолопга приводят к необходимости иссладовгшня систем опттакшого управления гри разных критериях оптимальности. Хиракгс-рш-м: черта-,^-, при птом т.чшссг большая сложность объектов л г.ксо'шс требования к точности управления.

Ь'агематачсские модели мот- зцгчп оптимального упргплрпяя осдсряат ■ мално параметр«. Тгмачтаа огро!люгс тлела яу&иисаштй, в

I

которых исследу-отся такие садач^, ссотнэтстзуо? ус;:о£но трем на-прасдеиаям. Первое направлении - нсслрдошапш эадач с рогуляричмл ■ иоямупгнЕяга яря иомогд класгич(?ск:х мотодоз теории возмущений

Кириллова, Н.Н/.'слссон, ^.Л.Чор:1оуоько, ■С.Н.Кдсзлад, З.Б.Кол-шисагувК, А.А.Ъ-клнзагтЯ, А.А.Дсряознанокн!:, Л.Г.Гайцтори, Л.^сячеп, А.К.Кплккш я дп.). Второе наяраплени;: связан? с методом уЬрсдаетт -(Н.Н.Мопсеси, С'.Л.Чсрисусько, Л.Д.Акулопко, ЕЛ!.Соколов,' В.А.Плотнккоп др. ). В третьем нштравлешщ используются методы теор.га ежгудяркнх вогмуяеш;;;.,

В иастолиес прЬмк йиблкографи.«!, касашюяоя изучения сиягу-.-лярно воэыущьНнвх задач• управлиаиг, которая иачаиагтея с работ-.. А.Б.Васильевой к со ^гагпко'г. (19€-6), наочлтшзает сотни иякмеиеза-' НЛЙ (см., асшрвывр,- 'обзоры Р.7." Коко^'Ле, й.г.ОЧ'лПеу, 'р-.Япп- . ' си« С1076^, й.и.О'Ке.Пву (1470), ".А.Е.ЗасЕльева,'-М;Г.ймг.трков -.(1502), :тГ.К.Заковпа, ^.О'йеНХу, Р.7.Хоко1оу1с-(1Г>в4), Р.У.Ко-^ . ко1оу!с (19в4) :■: литяратуру в пкх). В 'иодавляльек (5олышшстэё этих работ приходят к урайгоивям, в 'которые матрица,-'-стоящая ;прз ■ производной, »460*:ял» А<^ЧГ,еГ) , где I - сдЕнпчная матрица;

С - MtU.4:i ла^ аычтр. Паи изучо:ши таких урашепий икроко используется истода!, пздомешше D монографиях Л.Б.Васильевой, В.й-.Буту-аоьи к C.à.jîoïioeu. Однако срт.сстпуут практические задач::, кото^ рун ирииодят к другой структуре оператора при лросзводиой.

УЗ пс сложи.с досятилетго усилился интерес к задачам управления, г. которых урашюкиз состояния íti.xcT вид

¿ÍSXJM. cdi*a>4 Яш<1>,1>, ■ а)

IVlii F , Cil) - Л1Ш0ЙШШ оператор!!.

/.кскретним аналогом уршшения (I) я1едстся система.

fx-(irl)-C<i)xil)+ %(u(i), i>, L'ÔTlf'l. (y)

i!û разрешенные относительно про/зводной системы вида (I) б литературе косят назианне деекринтиршк (¿pccriptor ), варовдон-них ил:: сингуляршв (singular ), cixtoíi обобщенного пространства состояний (/^nereíized otate - opaco uyaU'&ia ), систем пслу-еостоднпн (oeaiotato ) l'"aiiP¡:6po-;yiCíIiapo!nu!ajiLiiux (differential-algubraio )> неляша ( implicit) oCOÍ'aCHÜHX ЛП'.ейиия енотом. Тер:,шш "деокриптерлая" v; "исньная" нрш.юкдится гси:;е к «

системе (Р.).

Система типа (I),(2) ;|1стрзчаз1тся е экономика (урапненио иск-отраелсшого баланса, недель Дсонтьспа), л теории Г)лектро.-;пи:>: ох с.' ь радиотехнике, d радиофизике, б т^орт; управления.

Прл точном описании объектов управления часто приходят к математическим моделям високого порядка. Коли оператор F ь (I) заиисит от параметра С to , причем F (i.) обратим при ¿.?0 а при £ = 0 пнроздеь, то при ¿ = О да^.оренцпапышп порядок модели понижается. Гозликавт вопроси о оущсотвовалиа оптвшышп управления е таких вчроадсчших рэдачгх и с корректности проноире-

1ск»ш матам параметром в смнсле бл>:эсстк реию«кй погмучонкоГ. и [cuosuycioimcil задач.'

Другой вид сингулярно 'поамупгкпс»! зэдачл оптимального упрнв-игля псишшстся при рассмотрснпта фукяздомиа с гвод-

teïimoS подшгтсгралыю;! (¿уптхе'Л:

1 J(u)* g(XlT» + -t-ST(x'li)WihxU>»u'li)R<i,C>Uti»Jt / Л О

а траекториях уравнен:::: для Х\Ь путем ш;бора упраллония м(Ъ . слз! оператор Rit, С) при С > О ойратж, a пргт £ - О пироя-е.ч, тс црспеОподежо i.¡¡шм параметром щвгаодпт к оалпч^, гля ко-орой г.ркишт максимума Л.С.Яонтрлгпка но даст определенного со-снопскил мекду управлением ц сонрялсчшой переменно!), то есть уп-

СЗЛОНИС ЯПЛЛйТСЯ ОСОЙ1И.1./

Пел;, рпйоткч Работа посвящена сингулярно позмущешпст зэда-ам оптимального праьлеккя, 'пряводпетм к уравяашлм, з кстог.юс , ператор, стсяг&Я при производной, ие является, вообще говоря, в тягам от хоропо исследованного случая," оператором вида '¡лу (ï,cl) . Исследован предельный псросог в резагеях задач ри стремлении малого параметра к кулю. Для здач боз ограниче-iJl на управление построена асимптотические разложения решендя по гопсаам какого параметра, .содеркадю фуикшж яог|апслоя..

Поскольку задета управяешм с урапненмем состояния вида (I), \с F - зарожденный ляноЦннй оператор, наряду с самостоятель- ' м интересом представляет 'такао плтерас к е теория ■ сиотуллрно «мупешпсс задач (вырожденный оператор F получается при нуло->м злачонли малого параметра), то в данной работе для'задач с ¡авнелием состо>ип!я (Ï) .чолучзны:условия оптимальности упраяле-ю а изучена разрешимость зрзнам»щюс при этом задач.. - "

Науч|»'-п новизна, Все результата диссертации являются нспь 1«, Оойошшв нслашгая, вшюсимые на зицату, слндувщио:

£) для, различи« классоь задач с уравнением состояния, не pnspcuciiiuiD.i относительно производной, получены достаточный усл< Ш1Л с1."1кыа.'ца.ч.ст;1 управления и форме принципа максимума;

2) получено выражение оптимального управления и виде обрат ней оаязи для задач с лглойшм уравнением состояния, но разрой» ним отлосиголмо прохиподно!!, и квадратичны! пли лшиЛю-квздр; тачным критерием качества;

3) установлена раэреиидаеть двухточечных красных зздач|,дл! уравнений с оператором иц;а dU^jif, f', 0> нр:г производной; j

4) исслодогчала разрешимость осерглоркого уравнения Ги«кат но разрешенного относительно процавэдной, и получено выражение пенля через частное рсконио к ьедания лмейних ураснаниК;

5) дли ffimeiiaux уравнений, ne разрешенных относительно л иэводноИ, рассмотрены мс;одн расконлеккя на урашчкня о поднро ранотвах, с помощью которых дсухточзчнкс краев'но задачи, воэш: щяе в теордп оптимального управления, сводятся к задачам Ксал

С) установлен лродолт.нк!1, переход при строилолаи малого пг метра к нулю для решения задачи УаДчра с "ограничением на ynpaï нке и с матрично огнгулярно г-озиутешшм уравнением состояния (при производной стоит оператор A*iВ , где А вырожден, А*сЬ обратим при достаточно малых е.* О ) к рошоняю ределеннш! образом 'мэкснеано!': кевоиг.гувднной задачи того же ти;

7) доказано, что о волной упра&етемоегч! лино&шх.разнотег вых сингулярно возмущенных систем при достаточно шлкх значен: параметра можно судить по свойствам нивозкуцбшшх скетем, иоД< най результат получен тадао для матрично сингулярно гочмущегп

йотом;'

0) построен» и обоснован асгмлтоэтпоскнч рлзлслстгл ло оге-онга.1 малого параметра решений трех задач с котричне сяигулярко оэмудЕИ-чнм уравнением состояния, закреплениям лепта концом н Сгз грачэтеннИ па управление (задача, со свободы« иршчэ! конном длл Т>ух критериев качсстьа и задача с здвреплошал«; /пилами), уступлен продольна!' переход лрг. стремлении малого параметра к- пуло епенн!! возмутсеннкх задач к.реленпям определетп.»!,! образом изме-:ешшх кевозиуггенголс задач;

построена п обоснована асимптотика роаюннк задачи онкольного правления, с матрнчнш сг.нту-и^.ным возмущением п критски качества;

1С) построена и сбсарляка пенттотлка реления ¡латрйчно евн-

■улярно возмущённого уравнения Рпккати.,

\

Практическая ценность. Результата рабоп; могут бить нопел!,-¡рвгищ лрн решонш; практических задач оптимального управления о 'равнением состояния, не разрешенным относительно прокзкоднсН. Их "акте моаго применить для разгнтлл соотзотстзуваях чиелг-ннкх нз-■одоз, езяв в качестне качодъгиос пр^блилени;'. ааЯдигкцо б работе ютиотвчеекве разложения. ... • •

Диссертация б1.щслнспа ,в райках ?еш "РаэраВсгча методов ис-:лодог>а:с!Я лккеЯннх л' нвликоЬшх операторов о <1>у1;кш:онал?«шх про-' «гргкетаах" (номер государстобиаоЗ рЕГИстрааот 0180, С1Ш50),. ¡ыполпяеш'.: кафедре:! математики Воронежского лесотехнического лн-¡тнтута совместно с институтом математа:« Воронежского госудорот-¡еиного университета.

Апробапиз -работа. Результат« диссертационной работа докла-

днвогооь au а орем на Бессоюзном -семииаре по тоорщ: слотом с разде-ляешлх: движениям (197?, Новосибирск), Всесоюзной кояЛ?.рсШ1№ • по асимптотическим методам в тоор;ш сингулярно возмущенных уравнений (197У, Алма-Ата), 1У и У1 Всесоюзных конёереншшх по оптас-мильмому управлении в механических системах (I0C2, Москва; 15£Ю, Львов), II Уральской региональной хоафоренщш "Сушшсншпло-д;и1Форе!хЦлалыше уравнения" (I9C7, Челябинск), Всесоюзном научно;, совещании "Метода малого параметра" (I'J£>7, Нальчик), Республиканское. конференции "ДуДферекшикшо и интегральные уравнения и i-a прилскошш" (К67, Одесса), Всесоюзном совещании "Прикладной аснил.тоткческкй анализ и споктралышо задачи" (1220, Ашхабад), Всесоюзной конференции " А стал г о ткч е с ка о ыетрди теории сингулярно-возмуыоишх уравнений и некорректно лоставленннх задач" (1991, !л:пкек), П Четаевской конфаренци:! "Аналитическая мохапика, устойчивость и управлексе дигкекиш" (193С, .Казань), семинарах-МГУ, Института проблем мехаш.-ци лН СССР, радо 2о?о::е-.-сют матоматичео-inix око л, конференций, оемш-:г.ров.

Структура и о'го).' работа. Диссертация состоит из аведошш, : шести глав, ошмвчекиЛ и списка цитированной литератур», включающего 156 наименований. Общ;!!! объем - 24S страниц машно^слого текста. -

Публикатац. По тше диссертации елтором опубликовано 55 рь-<5от. В диссертация v.моются ссылки на 34 публикации. Кз совместня:; работ используются только результаты, получению автором.

6

COEKPSmra FAHOTîi

Eo введении дается обоснованно ритуальности работ», указывается цель исолсдояаная, кратко излагается седорхшшо р«»о?н.

В порой г лапе расоматриваятоя задачи оптимального управло-)гал с уравнением состояния вэда il),

> о ÇI. I приводит./: кратки!'. обиод работ, посадаттнчх определения состояния скотски ii-j (I) или (Г.) при ^икслроэаинсм упрапло-инн. ■

. йп'исстно, какое больнее значение имеет г;рг.т;га максиму?.« Л.С.Поятрягяна б теории опта/акыюго упраажптя. Яо ок.с?ормудп-рован и докапан для сясти." управления с уравкоапем состояния, раз-репшяпаи относительно прорзводкои.

; 3 §1.2' рассматривается управляемый процесс n X , удоплеТ-прря:жпй почт,: zo^jy уракяешю (I) с начал;,нш состоянием, удовлетворяющим условии

Ух(1с>'л", ■ > > _ , • '(з)

я целотшм мкоявс5вом Ес X , teCir,T] , F , ¿dit L(X) , ® s U* Cte,Tl -» X , X- , U - дсйствитолышв жокочяомврпыо' овюддопк'.пространства, ^спустя» увргияетн'ùilï: 'является игранэтеншав: измеряяащ функциями, переводящими начальное 'состой, гаже Xitg) , удоблстзсряюлоо условия (3), в некоторую точку цотс-аого шоявства £ , и значения ut_t\ ,принадлежат непустому or-: рипятавеящему »шояоотву.-flç U . . ■ " . ' " ■ - 1

Под решением эравяская типа (I) пошзгаотся ограличешш.яз-т .¡ерикая функция xU>••',' почтя.пеплу^удовлетворяющая (1)п такая, 1т6 фузодпя Fxib . аЗеслэтпо yténpepàâià.-.ТрбйуетсЯ; 'K!COTaB33p0BaTÀ',^kicà0H0jr' '■*• ■ '

■ ■ о '

функции / , ,. Л" , С , $ прс-дпомшмся вскду нспрсрь

О '

ниш, а ^ (хЛ> - випук.юЛ и о X функцией для любого ('¡.иксировал |!ого I с [ ^ , Т ]

¿¡опустим, что «ЛЬ есть управление, которому соответстг от траектории х*(Ь - реие.чнс уравнения (I) при ы<Ь = и' удоьл«ТЕооят1Л задтшм условиям, а пусть и\1) удометворяс принципу максимума

-к\и\ЬЛ>* « тюц-к'шЛ иГ'сШшЛ » (,;)

для почт;: всех 1 ( у'I иСахШ№Л скалярное произведении ^ и л ). функция У'Л) г.ш'л^ся решением уравнения

аС

гдо штрих 1'Со::.начает сонреткашй одоратор, удовлотиоряюиюм уело пив трансверсальности: Г ^Т) есть доктор, ортегоналишй к оло |.'о;1 плоскости .мнокготва £ и точке ;с\Т) и налраилсшшй в не лупро.!трш;ство, содержащее Е , в предположен;:!!, что опорная плоскость существует (если £' - замкнутее- .ытуклие иноу.оетзо, то через дмую граничную точку множества Ь прохот.цг опорная гиперплоскость, соли £*Х , то Р'УсТ>» 0 , если 1: - Л^ ьи единственная точ!;а или задано ГхсТ) , то условие тргшоперсал ности отсугстьуст)

Teoo.-y.-i !,'*.[. Управление и*! Ь является ечтшильнш, а птавлголциы минимум функционалу /(И) .

Оледствп': 1.2.1. Пусть для управляемого процесса с состоя нием, удовлетворяющий (I), СО, целевым ыю^еством £ =Х п кр:;т раем качества

гдо а(Х) есть дн-техрснцпруемая гапуклач С'ункцкя, упразупчгие и\{) "удовлетворяет принципу м;п<с1,.\:уг,а (•<), причем :;гаолнЧ'-тся условие

Тогда и"<£) является сптг:.:альщ<м управлением, доставляй::) им '.'чпи-мум 'Тункцнсналу 3(и 1

"одобнпе результаты получен!.' гаете для слсдутох задач с уравнением состояния, не разрешеннкм относительно производной: иериодчческе!»., с зздоэдипанасм и для дискретной с уравнением состояния (2).

Отмв-им, что в моногра^ил Р.Тарасова, ¿.К.Кирнлловс:; (197-1) оформулиролан притоки макрлмут.га для задачи ».г.пшлгзгши фушхпона-

\ла / «¿'х(Т; на траекториях уравнения + 0 ,

\

, при условия:;: С<{)*Г(1)С^Ь, ?)<()* Fltl%¡(t).

В §1.3 рассматривается л/.не^но-квадратччная задача мннигаза-** •

цк" функционала . •

1ш)-£х.\Т>Сх(Ъ1£5<х\ЬЬ/1Ьх1Ь\и'(М1Ьи(Ь>41 (5)

К

на траекториях уравнения •

ЛклТ^а . . .. (6) .

(7)

• Гл:<£с>» а:", •

гдо %0 , \Л<.Ь-\/<Ы0, Ы)-Я\Ь>0 .

Теорема 1.3.1. Пусть К/Ь , , - решений оператор-

ного диф^рпагиального уравнения Риккатл

с условием

ТТ

а х\Ь - рслонио задач;: (6),(7) при управлении, задаваемом формулой

. (9):,

Тогда равенство (5) определяет оптимальное управление в виде обратной связи. При это,: минимально« значение критерия качества (о! раако

Оптимальное управление в виде обратной связи получено также для зйдочл с лкнеСпим вксантегральнкм членом и периодической задачи.

Рамотим, что для записи соотношений, определявших решение рассматриваешь в параграфах 1.2,1.3 задач, не нууно приводить уравнения состояния исходной системы к виду, разрешенному относительно производной (ига Х(1*И ). Кроме этого, явд услогс:?. оптс-мальнооти одинаков как дл^ ¿цролщениого оператора Г в уравнении состояния, так и для неш.'рояденнсго, что очень удобно лр»: изучении сингулярно возмущенных задач.

При Г*сиау(1> с1) а обратимей матрице С^ (^ ^)

A,И.Haddad Р.У.Коко1о\'1с (1971) доказали 'экБИвалантность результатов, полученных в случае пешк-.енпя размерности ' £ • О ) в постановке задачи и в случае, когда ото пониженно сделало в уравнении. Риккатп для возмуцеиной задачи. Отот результат у нас сраг; без вычислений следует из те орган 1.3.1.

Отметим также, что в отличие от работ, где рассматривались ланейко-кведратичнне задачи о постоянными кеэг^г.цлента-.я, в §1.2 51.3 не делается предположения о рогулярнеегк пучка у Р*С Приводятся примеры, показываете, что хотя уравнение состояния н< является однозначно разрешим при фиксированно!.: управлении, оп-

тималыюе управление при пскопц докгзаг.нтд теорем однозначно определяется,

В работах D.J.Bender, A.J.Luub (1987) и J,. Pnnrtolfi (T9SI) уравнение Риккатл записано для катрнан другого размера, чем раэ-кбрность пространства состояв;-;!. .Три зтом в обеих статьях используется уравнение, разрег.онпоо относительно производной, которое получено путем преобразований из исходного уравнения состояния.

Птогая глава посвящена исследованию разреши»,:зс?п задач, воз-кикакшх услоэн;! оптимальности управления, получениях в порвоК главе..

В §2.3^ рассматривается система айда

dt • (Ю)

4dE!M$ . Wd,xd) - CU) rd>,

d 0 '-Rihud^b'dird), гдч F , Cd) , Vd>eLiX) , 45d)6UU,X) , Rdieldl) , операторы

Wd)" , Rtb являются сг.жстричнгатп «отрицательно определгШшкл при всех ie[t0,T] .

.Чпнойное д:гМср-,!щпалы1ое уравнение, разрешенное относительно производной, будем называть неотрицательно. гаьптльтоиовтш, если такоси:.: при всех t являэтоя оператор при пси;;: зстной, то есть он имеет матричное представление в;'да ^, где S'i-Q,

Тссргг'а -.Т.о. Система (ГО) приводится к неотрицательно га-кпльтсяо.ъу уравнению в пространств*; Im f'ffl Im f' при условии обратимости при геох t е L t0, T] оператора

[QCd)P 0 QStb\ РШ)Р -K'd)Q 0 JsfoFffllkiFeU-KwFeKw.feU, (IT) \ 0 d'd>Q -hhJ

J3

гдо Р - ортогональны!! проектор иространотпь X «г КаЬ , О -

проектор проетралотьа X на Ксг< Г , еоотлетстпу-Юм.ио риадог:<'ия:!.м X .в ортогояьлшис сумки X Л Ья, {(О Р'© 1т Г .

В Тсораих 2.1.1-2.1.3 дыш достаточнее условия обратимости оператора лада (II).

Х&лоо при услоиии испроришюстк по I онеритороз пз (10) для снетеми (1П) расскитрнпачтея днухточечнпе краовио задачи, пр?доталляади! интерес в теории оптимального управления. Обозча-41'.к- пг. через В, , иелк задало РхЛ) к условие где £ = , В2 , если гаданн Fx,<.l|>) . Г'У(Т) , £>3 , если

задали Гх(Т> Р¿в> . 6у , если заданы $х.(10) , РхсТ) Ь5 , сели ^ада:п: F'f^t|)> , Г'^сТ)

При покори теоремы 2,1,6 и результатов Л. 8.Вису (1967) ус-ТШаШС'.Ш-тСЯ СЛ?ДУМ°П10 тьорош.

Тооу^га 'Л.1,11. Л'ух'ючечнке крайне задачи В; , 1*1,3 , огнозьачио разреснмн при л«;>кх , Т

ТУ с, рема П. 1. Г---, .Кг.ухточечпал кга.-гая задача Б^ ( ) прк л^олх значениях краелигх данннх однозначно разроикка на (¿0,Т) п том к только в том случае, если полученная а'теореме 2. Г.£ неотрицательно гемильтснопа система упгаелл.эг..а (наСлэдаема) :::>. .

¡¡елильзуя доказанные тсср;:гл од однозначно.'! разреинкост:! дпухточочннх краогдж задач, мохно устачаглилать разгсиммсстл задач оптимального управления. К частности, п силу следствия Т.Г;Д и теореш 2.1.П получаем, что лкне.Гло-гва^ати'шаи задача (5)-(7) однозначно разрешима. Про;полагается, что лее олератори ш-нрериыш по t , оператор (ТГ) ейратнм , а условие Г'У'.М^-бялТ) совместно, то есть Р6 * 0 . Поз*;.: задача минимизации кподратпч-

иого функционала на траекториях линейной с.лг/:аг.1 с позтопишл-::« кооф^щаснтакя и вырожденной ттрпцой при производной кзучилаоь ТПКТ.с в работах p.j.Bondor, a.J.Lnub (If'i.7) и Е.Jonckhrorf! (IP08) путем приведения иатрггщ: пр;: производил;! к диагональному В«ду.

, В 02.1 рассматривается периодически.'', случай. К С,изучается не разресганое- относительно производной операторное з'рагненио Гигкатн в/да (ü). Для зтого уравнетая получчпн rfoctr/ли, внраг.гатхо резеняе (Ь) через его частное ровекиа и рово-нпя линейных угаппеи;:!1.. Например,

Теощ'ма 7сли Vii) - частное ропепио урах-неняя (8),

Yd) - рсяпт: уравнения.

Ctb-¿d>VU»'Y(i>, Sd>~8,M-[b8'cl>,

dt

а\ч1рати:.1:.! оператор Hib - спгаетричное репонке уравнения i.jfeb.-V'tbSihrth,

то оператор ' .

. Kih-Vib. Y:itZ'UiYtiiF

является ргкенпем уравнения (0).

сатем исследуется разрешимость уравнения Гиккатл (S) при условии, что оператор F'Kit) смйггричикй, то ест?-

F'Kih-KU>F. ' • . (12)

Предполагается, что для любого £tCti(T'] оператор PVJihP , дгЯ-струп-тий в К1ъ F , пелот.ктслм1й'определен, а пара (QCd)P, dilti» полностью управляема. Тогда справедлива

Тееоеуа Z.2.A. Для реагскяя задача' (8),(12), представленного в виде

K<b« QKd)P + QKdnI-P>*a-Q>Kihl>*iI-Q>KdHl-?),

оператор QK(ЬР удовлетворяет стандартному в теории оптимального управления алгебраическому операторному уравнению Ркккати, QKiÍhI-P) является лиис;:но11 ^ункциеи от (I-Q)K(hi Г-Р) , oné-ентор (I-Q)KibP нулевой, а уравнение для (I-Q>Kii)(I- Р> приводится к стандартному дИ'Ыераш.пальнему уравнению Тиккати, раз-1 решенному относительно производной.

U работе P.v.KoKotovic, u.A.Oncktl (107.;) изучалась разрешимость уравнения Гиккати, получшицсгося кз (С),(12) при F» , dlají 1,0).

'3 конце параграфа приводится теорема, устишцуаглаквдая связь молчу уравнением Риккати вида (Г) и лпнеИноГ; гампльтоновоЦ системой с оператором dUiyi.f, F'í при г.у.оизводно;'..

При реигнии дп^оренцкальних уравнении в многомерном пространстве актуальном является вопрос о раслсилокпн уравнения на два

нозшшеш« уравнения в подпространствах. Ü 5^.3 сначала paccvai-

t

ривамтся достаточнне условия расцепления линейного дифференциального уравнения с оператором при проимсдноИ на независим»?! уравнения в подпространствах. Потом для налучалвдИг.-я из (1С) п;и R>0 системы '

álí^íiJl « CibxU)* .-¡(b^b,

ht^.V/ibxib-C'ihni) (Ь>

издаются при помощи замени двухточечние краевии задачи из .

При некоторых условиях доказывается слодул^ая тс-орс.ма.

Теорема 2.3.6-С..4.¡.. ,'jm слотеf-u (1П) двухточечная краевая задача В^ сводитон к задаче Коаи, задача Ьг расцепляется на две независимые задачи Коем, и задача Ву 5>асщэн.чяотся на две последовательно решемие задачи ¡Сени.

Главк З-fi посвящснп сингулярно возмуденншл задачам опт:;-

мнльного управления, приводяцип к уравнениям с динеппнм оператором /} + £ В при производись, гдо £>0 - малиЯ параметр. А - вч-рогдсн, А*сЬ обрятхи при достаточно мал;« НО , а всо В -хорда!¡сви ИПЮЧ1Г.1 оператора А г.:,т/о.т одннаког.уп длину р

Гглср. Лудсгт использовать елодр^по обозначения: Р - орто-гональпнГ; проектор X на Кгп- А , 0 ~ ертогоподьин? проектор

X на Кт- А' , с";тпптстг,угсто разлст.сикям в ортогоналышо сулгн;., Х = * Кгъ А'а 1т А , А^ - обратннй опера-

тор к оператору (Г-(3)А( [-Р)'. 1т А'-* 1™А , Р,

Т ? О -'(^гкепропачног число. О, - произвольное лслоо неотрицательное число, , гу«< ^ - Т) / г/ , П. г (Г,) - ¿"ункпни по* (I)

гггшелоя якснонпппалького типа п окрестности i-0 , ЛП:

"•»"1л ' ;

* С е , ЫтйСС,) - функции погранслоя ПКСПОНОНЦППЛЬНСГО типа в

окрестности ¿«Т , ИЙ- г<Г.)1 *се , гагс1,&) - остаточ-

J г

пай член в аспчптотячоском разложении ио степеням £ функции

с опенка,".! » С £ ' 1 - О» / . Подожи-

тельные постояшшл с , и не зависят от с , 6 , гд , г{ .

Я третье!' гяаг.р рассматривается задача Мера, заклячоюкак--ся в мшйшзяпкя ¡г!си;1 огсала . •

/<М)='х'(Ы ' ' (14)

па траекториях уравнения?

при помоги избери;,их управлений со эначенкг.кя из компактного мио-¡:ества Л с Ц. .

Предполагается, что при почти всех 0,Т] ыакйимутг по к € Л функции , гдо - решение зада-

чи

Л •

при пссх достаточно малых С >0 достигается при единственном '> и.(11,4)4-й , ''унквдя ни, е> язлястся онтикильшаг .управлением и.задаче (Ш.(ТО).

Л §3.1 для решения задачи (1С) построена асимптотика по степеням С вида

с^^и^* ч'а.о (17)

К ■■ т ■

при условии, что оператор 0<г) непрерпшю дифференцируем раза на отрезке СО.Т] , а оператор (-1) (А'^''РС\1)0.!К1л,А'-* Кы.А' устоЛчиы;!!.

В 53.?. рассматривается пнрозденнач задача, заключающаяся.о минимизаций! функционала

7<и>.- 5г,<Т)(1-р>/1\1-а,го(Т) Ш)

на траекториях цнрожденпого уравнения

<»ь

Здесь управления оерутсл из того ко класса, что и для исходной возмущенной задачи (14),(15), ^<7") из асимптотики (17) определяется посредством равенства ' ■

%1Ъ*-<1-1£ЛТ»'РС'1Щ'(1-Рн1-С'1Т>(С~,1Т»'Р)и, (20) где С"'<Ь - обратный сператор к (¿Си^-.КсъА -> \ОлА'> и предполагается, что (1-Р)/1'<1-0)%сТ) * 0 .

Теорема З.ГМ. При б -* 0 оптимальное управление вазг«тасн-ной задачи (14),(15) стремится но норм;: ЦГО.Т) к оптимальному управлении ьь'ро:-.-дснно,П задачи №";),( ¡Г').

В 53.3 исследуется пореданпе оптимально!! траектории при С-* 0 . Доказана

"еорсма 3.3.1. для оптимальной траектории возмущен-

ной задачи (14), (15) и оптимальной траектории 5c.ll) вырожденной задачи (10),(19) при. £-»0 фунщия Рх^.С) стремится по норме Ц£0,Т] к РхЫ) , а (1'Р>Х(1.6) стремится к (1-Р)хл{) по норме С СОЛ 1 .

Заметим, что функционал (10) предельной вирохденноП зцдатл получаотся из ^унгдионзда (Ы) возмущенно;! задан;, записанного для Х(Г) , если вместо Рх'Т) подставить ого выражение через <1 -Р).£сГ> , и затем отбросить член, содержа;:цп! управление. При /N¿6 = скл^ < I, ¿. Г) зтот результат получен М.Г.;:штриикиг.1 (127;]).

В четвеото;' главе для двух типов сингулярно возмущенных гнетем с помощьа расцепления на независимые однотомпоше подсистемы получены условия, пезполяэдю при достаточно малых {.¿0 судить о полно!; управляемости исходной возмущенно!; системы но свойствам новозмуЦ'"'ШЮЙ системы.

13 5-1.1 рассматривается разнотекпрнач сингулярно возмущенная система вида

¿-ГЯ, (21)

я г ^» 1 v ^ '

где - целые числа такие, что //-у^ > . • г О , Х^,

скт X¿ =/я; , - непрерывные функции ао значениями в II ,

С--а> ^ 1> , Хг) , 1, причем операторы голо-

могший по с , то есть Ь,ло = С,- * Ц I 6.. , *

У У *•/ V ' '

Предполагается, что операторы М- , имеющие блочное представление вида

и, ■ (еР ::: Я.

обратимы при - г; п - /

Г 9 '

С учетом результатов r¿2.3 производится при nowosu; невнро.т-дриногр преобразования раси'.сплгнии системы («I) на п. независимы* уравнений пида

e/¡íj_i¡J>* (t'¡ -г OlolfrU) m Gi * Oicríud), i« ~ñ,

где Jf,''" Х- , fj* c;; , , a E¡ , представляют

C0iio!l главные (по порядку £ ) члекч в «оп'фглтисктах при хч , Ii(Ъ соответственно tí провой части I -го уравнения системы (21). полученные путем подстановки в праву» часть £ -го уралненлг систему (ЯП выражений для'л.«/) через х-ib , . , xnii>, u<h j -У, í-i , которые íia'^euu иг £-f порвых уравнений в СЛ) при ¿ -0 .

iíp.i условии полной управляемости для кагдогс t , i - 77« , пары , G; > , то есть wn¿(í¡, .....£¿ 1 = , доказывается

Теорема 4.1.1. Система (21) полностьп управляема при доста-. точно малых С. # 0 .

При п - Z - I , О эта теорема доказана ь работа P.V.Kokotovio, A.II.Íladriad (1975).

Если операторы Mj ' вида (22) не являются обратшпл.тп, но существуют операторы К.:X'¡-*U , j - i, п- i , такие, что оператор!

N¡«М- ♦ (• • • к К.,.. ., К j) обратимы, то вводим новое управлм::;

* I

Cib* uih - 21 К. х-(t) .'Tecpeva сохраняется с заионой опера j'i ' '

торов М; на N-

В §4.2 рассматривается иатркчне сингулярно возмущенная система

' (рз)

(A*tb) ШЬ = Сх.а>*ь!нЬ.

и(

IIpu условии, что оператор QCP : Kw А -+ Kvt-A тлеет обратный £ и поднооты) управляем» пир;! < С0. $„) , (Cj,Bt) , где C0=Atd--Q)(I-u'Q>C,I-P)/ $e.AtiI-QnI-Cl"QiV , C^nf^'QCP ,

S »i-у/ донизана

i ' •

Тоорг.гла 4. ". T. Система 023) полностью управляема при достаточно молих г: * С

1) пятой главе отроятся асимптотики решении! задач о матричным сингулярным возмущением и он:; ограничении на управление.

В ut-pjHix тр.'1* nupavpailûs отой. глаки путем построении асаьх-тотики ретюннл двухточечное: кроешо; зада-; для дангл'них гамильто-вовьх систем с оператором вида difl-y (A* tt>, А'' £ В '•> при пронз-водно!! строятся исиплтотяки по степеням малого параметра С и исследуется пред', дыши переход при £■* О для трех задач с закреп-лешш;.: лгпг.м копнем, фиксировшишм временем Г > О и с матрично сингулярно bo:iMytic.HHHM уравнением состояния

iA*cù>~li.)s Cihxib t Bihuth, jciO)-x.c. (2-1) a t

:!редполагаетсн, чга X > ilim Kjm- A .

i( §5,1 рассматривается задача Ьольца, заключающаяся в млни-шашдпи г;ункц1И''1!ала .

• J(i.<) i t -j-1' u'(hRthn(tid{ (2?i)

Х- о

ua траекториях уравнения (-4). Кдееь RiЬ - спммотричннй поло-кительно опред.!л.л:Н'л: сгиратор при всех it[0,TI.

Ранее подобнее задачи изучались при A-nfi -tiiuyil, cl) ( P.Qmmull, r.Koko tovlo, !1.Г,Дмитриев, И.А.Лникееиа).

H п:.,1;ачо (21),('.J5) одинеттешым ofpa-зсм опрздоли-деся оптимальное управленца

Mii.fcj* tC'UMiïU.ti. (2б)

2T

где б) япллотсл ремепнем задачи (16). В дополнение к условиям 53.1, обесплчпвелцим позмэнюсть построения длл %1,1) асимп-

£

тот;:::и по ст'опонян С гада (37), предполагается, что операторы , Я11) нспр-рнвно д;:й>рс!!цирусмн[^]»2 раза на отрезке .СО,и . Ото позволяет построить для оптимального управления (2£) пеимптотику того ге вида.

,'лч оптимальней траектории , являйте ;'.ся решением

задач;;

строится асимптотика вида

а, . Р

I) « ¿.Ь>0;Х1Г,)*11.£4(ХЛЬ+ П;Х(Г,))* 1,1).

¿.-р 4 ' о 4 4 г

/¡.лее рассматривается вьт.о.тдгннш: подача с уравнением состояния

= СкЬзЫЬ -г ®(6и({>, Ах10>-Ах° (22)

дс

и минимизируемым (¡ункиионалом

7(и)*'-х<ТнТ- Р>А '< I- С)'% (Т) ♦ £1 и 'сМ< Ьич Ь сИ, <29)

о

где %<-Т> определяется по Формуле (20).

Теорема 5.Т.Т. оптимального управления, оптимальной траектории и минимального значения функционала гюзмуленко:! задачи (2'1),(2С) существуя? асимптотические разложения по степеням с . При С-»О оптимальное упразление возмущенно!! задачи строится к оптимальному управлении вкрозедопиоЛ задач:: (22),(29) по норме СГО.Т,] , 0*Т{<Т , а оптимальная траектория возмущенной задачи стремится к оптишыюИ траектории впрекденно!: задачи по норме ССТ0, Т{] , 0<То< ^ < Т . £ля оптимально!! траектории хи,£) возмущенной задачи пр^чельянГ' переход при с-* О к опти-

малыши траектории шроздеиноН задачи чмост место к по норме ¡.^[0,^1 при , а для il~PiX.it, I) - по нормамССО,^]

я ЦГ0,Т1 при И

Залетим, что йункшонал продельной задачи полбайтов в этом случае таким ;*е образом, как в третье!! главе.

У 55.2 расоматршается задача минимизации Лункщгонала г

/<и) = х'(Ы Т +и\Ь (-к;)

на траекториях уравнения (£■■!) е постоянными коог^нцпонтамл. Предполагается, что У/--\-/'}0 , , величина 6СР , Р1/Р ,

00 не рапни нулю. Здесь л дален для простота считаем ядро оператора А одномерна;.

Используя при достаточно малнх £ * 0 пркшиш максимума .и.С.Нсптрягнпа, приходим к линейной гамильтоно-еэП сиотемо вида (13) при [ е краевнмч условиями зс.О, ,

Тс Г, о- -</?'♦ сЬ'у'И .

Для рекения оток двухточечнсЛ краевой задачи строится асимптотика вида (2?), откуда получается асимптотика того же вида для оптимального управления » К 'Й'Уа.е) . Из построенных асимптотик для оптж<ишюго управления и опт:п.1а.'Ы1ои траектории находится асимптотика минимального значения функционала (30) пс сте-

пеням £

: 1Ч, ♦ .

1

Долее рассматривается вирозденная задача с уравнением состояния (2В) и минимизируемом фулюзюцолом

г '

о>% ъ* ¿и* < ьш и>*и'(Мш1»л. <;з1>

где

,1-а>%а>-А;(П>и * -

/ Г"1

е^Юл-А , , ve-j'l , V'(-i) , Cni * е/к' С е1 ,

Отмстал, что (I-Q)^iT) зависит от всех даии исходной задачи:

А , 5 . С , $ , d , У , к . ■

В теоромо 5.2.J устанавливается пределышК переход при ¿г*'-.

в соответствующих нормах оптимального управления и оятакалыгой

траектории возмущенной задачи (30),(2-1) к оптимальному управлекю

;; оптимальной траектории вырожденной задачи (31),'.2Б). При этом

никаких условий устойчивости на систему (21) не накладывается.

В §5.3 рассматривается задача шккклзадщ й.уккцкокала г

Jan ■ j-S (x'tbWxib* u'<bR.utl»dt (32)

** о

на траекториях уравнения (24) с закреплении.'.!;: концами, то есть и задано.

В дополнение к условии.! §5.2 предполагается, что сзстема ддг

11-Р;5ЕчЬ , пслучавдаяся из (20), полностью управляема. Тогда

в силу тоореми 4.2.1 витскаюцая пз принципа максимума Л.О.Понт-

рягина ллн'о!':ная гамнльтонова система (13)-для xd, t) 1; Yd, о

при F - A + tb г. краевых условиях „ •> 1 О, с)'Х- , x>iT,i)»x

однозначно разрешима при достаточно малых £ * 0 . Лдя рспения

этой двухточечной краевой задачи строится асимптотика по степе-,

ням £ . Для оптимально!' траектории xd.o она имеет вид

xd, о ■ 7Z. c'ix-ih + И- xitu) t- Q• xir. 0+ % x.(t, а . j«o</ J J r

Для Yd, о справедливо ачалогичкее разложение, откуда получаете

исгаяттотика того же типа для оптимального управления вида (2S).

Дяя минимального значения йункционала (32) имеет место разлоглни

г . t

С . , л t t

J(U) - 2Z-C Л + 0(с ) .

Далео рассматривается вырожденная задача, заключающаяся в лннимизацни Функционала вэда (33) на траекториях вырогда.чного уравнения (28) с условиями Ах(0>' Ах* , Ax.iT)* Ах .

Б теореме 5.3.1 устанавливается предельны! переход при с-»О з соответствувд:х норках оптимального правления и оптимально!; граекторш: возмущенной задачи (32), (24) к оптжалыюму унравле-1хо и оптимальной траектории выроненной задачи. Причем ц минимальное значение функционала возмущенной задачи ](и) при £ -»О зтрсмится к г.сшимальному значении 10 функционала вырожденной задачи.

В кыще параграфа приводится пример использования предлагаете алгоритма построения асимптотики к примеру из райоти д. п. ним я. Р. \г.Коко1оу1с(1073), где для А >с.Ь*<иар1, ¿1) било построено лишь нулевое г.рлблзжешю решения.

3 §5.4 рассматривается з сдача минимизации Функционала

],(«)» и'инА*сй>'И1А+сЬ>и(Ь)<1И (33)

' ** о

щ траекториях уравнения

Сх^Ь + тЬ, ХЮ)-Х,°. (34)

^ £

Подобная задача издалась Л.Е.О'КпИеу, А.^тепоп (1975) фИ-Аи:&-¿I и М.Ц.ГСсгаЫе, ,1.Е.Роиег,'.ЬЬ.Ервуег (1976) при (/!*сй)'Ы*сВ)-си(у(&11(Ь,е.\и», где Щ .

Из принципа максимума Д.О.Понтрягина при достаточно малых С * О получаем дзухточечную краеву;: задачу

Н (35)

Л

)пт;пи£лыюс управление при атом тлеет вид

Замет:г, что при с * 0 принцип максимума Л'.С.Поктрягши' не дае, опред! ленного соотношения между утч>авлг ниш и ссиржсиной пера-ион»'с J5, то есть управление яв::я*?оя реебнм.

При условиях §5.2 строится асимптотика решения задач;: (35) у докавниаетсп

'Л.ерема 5.4.1. Для оптимальной траектории, ся:тимальнего уп равлгг.ия и минимального значения функционала задачи- (33),(34) су щсстнуят асишп'отичоокио разложения по степеням с вида

X<¿, t) « XI гЛгС;(Ь+ П;Л(Г,»1-

xir.)t г, xiI, С), ■¿•о i i j-t J У

ui(,¿)* }Í^¿J'(H;!Í)f n¡Ulfa»*¿f fJü-.mt.)* .U<t,Ci, j.-/> i i j"'/"4 ''

/ IU). ¿&JJ) * 0(6*">. c j-o ' '

Среди работ, посвяэдчшнх оилгудярнэ возмущенным задачам он-

i

тимального управления, ватлее место занимают работы^о построен; асимптотики решения сингулярно возьушениого матричного дафй'-рсн-цпгльного з*рав.'гвш1Я Гкккатк. Причем а ьтлх работах изучается ли1 уравнение Гпккатп, появляющееся' ю задаче »„птамгаациг кездратьчж го $укгашоиала ка траекториях линейного уравнения с оператором при производной вида ilUijil, г1 > .

В постой гладе строится асимптотика решения урагкенпя Ркк кати (В) при F»A*c&

с заданным условием

cA'+¿B')Kt.T,¿)* G(C). (3?

При помощи ятой асимптотики мКяо строить асимптотики оптимальной траектории и оптимального управления, а также делать вывода

и яредолшом переходе при f.-о для рс-аоная ллк^ияо-к^Адрагично! задачи оптимального управления с оператором пнда rip: п;:>

изводной.

Предполагается, что SU» = $< bR''ti¡2U) , Hd) = k'iit ? О Wd> - W'd) 0 , C'O-C'iOíO , Р^ЬР'О na litt 4 .пара (ApQCd)P, A^'QSd» пугиостш упрапшсш, опоратору Cií) , Rtt» , Wi¿) непрерывно ,<:иу>1 срошдируииц f^J <• ¿ >:a.¿:;, оь'-:р.:то;: (/(i.) при достаточно ыальх t; непрерывно ли^ер-г ш;:«ру» м ат ¿/>« ♦ 1 раз.

П oP.I расскатрипастся случа:',, когда оп«.ратор KiT,c> разлагается а рад по ¡¡сотрицатолыпи степеням £ , го есть

Асимптотика решения задачи, полученной из (36)-(30) при Arе & ° diiij ( I, cl) приведена в работа ;¡.a. Jr.dcel, r-.v.K.ukoto-

vi.0 (1973). /словно (33) при атом означает, что / ( G< С **

С<£> -

U; fcs

'Гес.геу.а 0.1,1. Для роап!я;я задачи i3S), (37) кскно hocti.cjîvl асимптотику вида

.Kd,c>* ¿¿^K.iti + QjKíTj)) + z^Kit.'í). cyj)

IFp« С-0 ранение Кзозм^пмшой задачи стремится к ризочив впрондаию;'. задачи Kutí> п.~> нормам CÍO, Tt J , ü<Tt<T , ¡; LjL'O, í] , d-Q)K.i¿,£! стремятся к <I (l)Kud) -.ю норме C№JJ.

U o'fon Kanarpaíe приводится пример задачи оптимизации № RLù -чйнл, n которой инпидлягтея всо киклздмвагягс условия. Заканчивается параграф ¿тршюргв ислольровапня предлагаемого алгоритма построения асш.шгстлки ранения задачи (36), (37).

3. 56.Я' рассматривается оЛций случай баз условна 136). Нсо

ооталънис yv.oг/ля предыдущего nopaipwKi предполагается шполпешш га, a G (с) шляется по.похителънс определенным, равномерно ограниченным по норме для достаточьо малах С > О оператором, G <о pas лагается в асимптотический ряд по целим степеням С , причем по-

r'l

р.чдок полиса G (£) не превосходит f •

Аналогично работа Б.Л.Глпзера, V.r.йоттриева (1975), п которой с-роилась асимптотика реиенгя задачи, полученной из (26),(37) при fi>t(>^äia^d,dl) , построение аспиктотики решения задачи (36) ( 37 ) сведутся к построении аежпготш: решения трех вспомогательна/ более простих задач, получаема: лз теореш 2.2.3 при f Аля решения уравнения (36) V<it, с) с, начальным условием ' V(T,t)»0 в силу теореш 6.1.1 микао построите .асимптотику.айда (39). Для Yd, О при условии (/Î'»¿.ft';У( Г, £>. I строится йсиштотико ада.

ZL ¿(¡¡Yiz.i + il^Y.dx teYd,t>. Г "У J ' J'0 , Для 2d,о при условия. г?(Т,6)« 6-* сс) строится асймптстчха вида f - : ;

' ' К

Далее доказывается , '

Теорема 6.2.Т. Для достаточно малых г.?О . справедлива оценка •". '. . -«Kci.^î - £>й i ce , i<iiO, TJ ,

где ii,c)Ypd,iii.4*itï-. , a V^d,î> ,

Y^d,i) , Z^d.o. получени кз построенных асимптотик-длк •„ \Jd,i) , ^ti, о , 2ii,o соответственно путем отбраенрания остаточных членов.

Для , .где

Ütt.o ., Y^d,6) ';-70луэдктся из ty.i.t) . .. Y.d.ti

¿Г <<,£> соответственно путем сбрасывания членов пограпслоя, имеет ;.;есто

Теорема 6.3.3. • '..ля достаточно ;лальгх С?О справедлива оценка

нка.о- ку*, ¿>и* с с , , 0<г,<г.

Отметим, что хотя п асимптотическом разложении рг.ис-шв.ч ура:— гения Риккати присутствуют отрицательно степени I , ми-

ндальное значение ^хе'(А'*&И'>К(0,с)Хс . квадратичного '^нкци-;нала (5) '( ) на траекториях. уравнения е оператором /1 ► ьК

гаи производной, с заданном начальным условием х-0 и сьободшм гравнм концом равномерно ограничено пр!! достаточно мадии <5? О .

?. атом парагрг^е пр/подптся тшеке пример задачи оптимяза-.!■;;! для -цепи, в которой уе.лепко (38) не выполняется.

заключении кратко сформулированы основные результат;; дне-¡ертглии и рассмотрены отличные от изложениях сше методы иосле-овачил матрачно сингулярно возмущенных аадач оптимального управ-

с1гля. •

Лервпй из этих методов заключается и агамг готическое расаои--ени.ч двухточечннх краевых задач для линейной гамкльтоновоЛ сис-емы с оператором вида А'*сЬ') яри производной

.".я двух ткпо» краевых условий на регулярно возмущенную краевую здачу и две сингулярно р.озмуще.шшо задач'и Ком. При А-И.& ~ /квуЛ.с!) этот подход использовал В.А.Соболев (1904). Еторои -тод состоит в преобразовании катрично сингулярно р.озгиущепнего завидная Ркккати (36) к системе четырех уравнений: одно алгебра-гескос, три деЧсрегсиальных, причем в двух из н.чх при произвол-•л с*;сит ~ . Содсс-лшпем тратього метода .является так наз::ва-:ел пря?,:ая схема иргагенолпя метода гюграничнгс: функциЬ", которая йл'пзетск в яодстякознс в условия задачи без использования •лнпкка июоздут Л.'З.коятрягяаа постулируемо/ асямптоздси, а

20

затем прообразозачгл исходной задачи а посдодоттольпость задач, .

у

лз клтор.'к определится члош1 асгкптогикя. прямая схема сспользо-иллаоь для лги'.йно-стадрятпчке!! задачи с закреллегютли аонаеш и /тоги:наем состояния (24). При A*tt>*M'yxI,th зтот подход при-; ъ работах M.Г. üwitpuém,.С.1).Бслокопвтозе (TSf.5).

Оеношпе результат:; длссортгазн опубликогдии' я оледупи.-гл работах .

К Kpetui С.Г., Курп::а Г.Л. О сп1!гул':р:1?гс псзх1унош:ях к задача:: сч1т;"атлпгого упрамония./^Ч-та'лтегюсть дпкяепгл, ачалктячг-с-кач механика, упразлекпе дхипеяием.'Ч. : !'а;гка, 7PSI, C./.7H-I78.

2. Курина Г.Д. Асимптотическое ¿лдаелне одно'« классу.чсской ' екпгуллрпо «оомуяошкЛ ;,ад."чн оптимального уяраплог.кя./Лг»о»л. 'АН -СССР. 1077. Г.234. т. С.522-535.

3. Курина ГЛ. Об г.дио:! вырекм^нно!' гадаче егтпмз.тьного ув- ' ривленил и сингудяртгх .возмущениях,// Докл. AIÎ СССР. 'СО77. Т.237. И. С.517-520.

4. Курина Г.А. Об одно:', задаче "опора, уравнение состояния котороЯ является• ояягудярио лоэд-аешм хйнсЯшм ягЗЛг'гс'-а'галь-нкм уравнением, но разрешенным относительно птюи:и:0Д!!0ц.//ьр:1Г;ди-м.енние методы исследования ди^орешшаяын'х уравнений и их приложения. Межвузовский сборник. Они.4. Kyv/ur-'o, Ï9YS. G.öG-ßu;'

5. Кутана P.A. Асимптотика решения двухточечной краевой s ада чп для сингулярно вогмудеш-с;: линейно:: гамкльтэмовоГ, е.пстемч.// Яркблкхсшю истоде сосясдоваакл Дог^^ксгссльшк уравяонкИ :: их прилскеикя. ;/.еквузезскни сборник. Tiun.5. 'CyP.ßiracr., 1У79, C.SC-iô.

G. Курина Г.Л. Достаточные условия оптимальности управления для линейных систем, не разрсчепнкс относительно ярок а водно Vi,// Лриб,тйжекчип метода исследовав ;я даадронйналмп::: уравнений и их приложения. Уекьузовсккй сб&тлг.'К. ГуЙСшен, 1982. С.98-Т0?..

Г-!П

7. Курина Г.Л. Смитов управления с обратной связью да" л'ииой-nux систем управления, не разрешенных относительно производной.// Четвертая Всео. кон';. по оптимально?,»у управлению о механических системах. Тезисы докладов, М., ГЗС2. С.I2G.

0. Курина Г.Л. Об едкой классической сингулярно возмущенной задаче оптимального упра1далгня.//Ди^ереши:алышо уравнения. Г%3. T.Y.II. №<1. С.7T0-7IÍ. (Родкоя. уравнения". Минск,

1980. Доп. BIÎÎC1TH ÄM767-0I - полны!! текст).

9. Курина Г.А. Асимптотическое porcuno одного класса сингулярно возмущенных задач оптимального .'/правления.//Прикладная математика и механика. 1983. Т.47. Вшт.З. С.363-371.

Ï0. Курина Г.Л, /иреылонне с обратной связью для ллюйных систем, не рг.зрешытых относительно производной.//ЛЕТомагика и телемеханика. IGÖ4. №. С.37-41.

II. Курина Г./'. О полной управляемости едкого класса линейна сингулярно позмуцешиа систем.//Дифференциальные урашоикл. СХГ,. Т.га. ÜB. С.1444-1146.

[3. КЯ'Пна Г.А. О лилейных гашльтоновых системах, но рааро-зонгаос относительно произьо;ц10!1.//Ди']форе1Стиалышо уравнения.

газе. тли. с.хез-х?в.

Ï3. Курина Г,А. Оо операторном уравнении Рпккатл, не разре-• сонном относительно превгьо дной.//Еи&^реициалыше уравнения. Í9C6. ТЛИ. ПО. C.ÏS26-J229.

14. Курина Г.А. Об аспмптотпхз матрачно сингулярно позмучен-нсго равнения Ркккати с бесконечно бсл.ьллл начальным ус, лови см.// Ш скола по теории операторов в функциональных пространствах. Толпой докладов. Тамбов,- 1937. С.ИЗ. .

15. Курина Г.А. Полная управляемость ликойннх матричяо сингу-лярно.возмущенных систом,'Ворона, лесотехн. пя-т. Вороная,-198?.

j'na. ;«r¡«rre штз-за? акгх&т. i%7. I2sn&).

j'G. Курдна Г.Л. Досяатошге условия оптимальности управлсш; для листок, но разргпь.чннх отноз^тглъно производной, с залазднв; яксг.'. Лорснеж. жосотехя. кк-т. Ворояоа, ISP7. Доп. BIOIMTj* ;;G3?:;-•Р£7 (ГЧ'лт. 1987. T2G559).

ТУ. Курина Г.а. Достаточнее условия оптимальности управле.чг для лпж-Кмас периодических, систем, но -разрешении/ относительно произьоАноК./ДкраинсккГ. напштачеекк1* журнал. I9B7. Т.39. А'€. ' С. 783-766.

Tñ. Курина Г.А. Продольник nf-рохсд в двух сингулярно яозму-luoHinoc задачах оптпкальнсго управляя.//Cndnpc чн.Ч математически журнал. 19Г;8. X.XXIX. йй. С.215. (Ред. С?-ПГ. Новосибирск, 1S07. to¡. »ЗШИТИ &TC3CUBC7 - полный текот).,

ТО. Курпка Г.А, К тооркн лиисЛно-казтфЯтичних задач управлг ния, не разрешению: относительно производной.//^уиедноналышо пространства и уравнения математической физики. С5ор:п:к научакх. трудов. Боронах: чзд-вс ВГ7. ЮсЗ. С.25-3?.. (Ред. я. "ЛкМ-ерокц. уравнения". Минск. 1966. Дел. BÏÏÎKTU £753-BSG). .

■ Ü0. Курина i'.А. Асимптотика решения матрнчно.сгаигудярко воз гущенного уравнения Риккатл.//Докл. АН ССС?. Í9Í>¿, T.30Í. HI. ■ С.26-30. ■ -.

21. Курика Г.А. Некоторые уормудц для решения операторного уравнения Ршсвати.-ио разрешенного относительно проязвлакоИ. ;'о-ропея. лесотвхн. ии-т. Воронеж. T9G0. Доп. ТЛИ-СПИ í£599-B?0 (РЖат. 1020. 9Б693). - '

22. Курина Г.А. О расцеплении лпнгЛншх систем. Воронеж, лс-сэтисн. ин-т. Bopoiics. Î9S0. 'ВГППТТТ! .'Г224Э-ШР (РИ:ат. I9GC. ЕЕ900). ■ *

20. Курина Г.Л. Сй асимптотике решения ьгатрнчно еингул.ч'.-ю зозмущошгого уравнения Рим-» та. Воронеж, лчеотехл. i:u-t. Зорош.л.

[oso. доп. ;знш;ти (Жат. isco. глгэз).

24. Курина Г.Л. О полной управляемости разистемшш:.-: сингу-шрпо позмуш.ениьх систем. Бороне.-*. лесстохн. ;ш-т. Воронеж, {ей. ТШПГ .Т-3238-В9С (17?,Ът. 19Э0.ТГ-::?ТП).

2í>. Курина Г.А. О ппгделыю:.! перехода в дпух сингулярно ыэ:»--!уцошшх задачах оптимального управления.//Прим^нонно попик гхлс-юв анализа в теории крневих задач. Межвузовски!; сборник наушгцл •рудов. Воронех: Пзд-ве ?Л7. ÍS'.K). С.(>7-71.

2G. Курина Г.А. Достаточная условия оптга.кльнсотн управлении до дьскретних дпскриптсрпнх систем, Воронок. ласотехн. ин-т. л.-юнен. 1990. Дол. КШОТ! Я23С-В31 (Шат. I99I. 71774?).

27. Курина Г.Л. Об асимптотике решения ьатри'шо сингулярл-.' озмувдзжгого уравпештя Ркккатп с_6ссконзчпо Оопыг.л чачалмиш ус-овисм.//Нзьесткя АН СССР. Техническая кябс.ристяка. TS92. Я. С.

з-зэ.

»паз * Mi . Объем 2 п.л. Тираж 100 экз. "

гпечатано на ротапринте областного управления отатистики.