Синхронизация и управление хаосом в связанных колебательных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского

РГ6 од

М1Р 1998 На правах рукописи

ШАБУНИН Алексей Владимирович

СИНХРОНИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ В СВЯЗАННЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ 01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Саратов - 1998

Работы выполнена в аспирантуре на кафедре радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель:

"Наслуженный деятель науки РФ, доктор физико - математических наук профессор Ашиценко B.C.

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор Безручко Б.П. доктор физико - математических наук,- в.н.с. Кузнецов А.П.

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет

Защита состоится 28 мая 1998 года в115го на заседании диссертационного Совета Д 063.74.01 в Саратовском государственном университете (410026, г.Саратов, ул. Астраханская, 83)

С-диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ

Автореферат разослал апреля 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета * кандидат физико-математических наук 7, /1 > Аникин В.М.

Актуальиость работы.

В последние годы в теории динамического хаоса сформировалось новое направление' управление хаотическими колебаниями. Такие свойства хаотических аттракторов, как локг.льная неустойчивость траекторий и сосуществование внутри аттракторов счетного множества седловых предельных циклов дают возможность с помощью малого управляющего воздействия на систему переводить ее из хаотического а различные регулярные режимы. Поскольку хаотическое поведение для ряда систем является нежелательным, то разработка методов управления хаосом имеет как фундаментальное, так и большое прикладное значение.

Первые работы п. управлению хаосом появились в 1989 году ( A.W. Hubler, Е. Luscher) и в 1990 году (Е.А. Jackson, Е. Ott, С. Grebogi, J.A. Yorke). Работа Е. Ott, С. Grebogi, J.A. Yorke "Controlling Chaos" вызвала множество исследовании и публикаций по данной проблеме. В ней был предложен простой и эффективный метод управления хаосом, основанный на стабилизации седловых предельных циклов, включенных в хаотический аттрактор, посредством воздействия на один из параметров системы. В дальнейшем методы управления хаосом получили свое развитие в работах M.L. Spano, S.N. Rauseo, T. Shinbrot,- J. Singer, Y. Wang H. Bau, F.J. Romeiras, W. Dayawasn, Y.C. Lai, E. Baretto, E.R. Hunt, В.Д. Шалфеева, A.K. Козлова, Г. В. Осипова, К. Pyyagas, И М. Старобинпа, B..V. Угриновского, В Рождественского, R. Lima, M. Pettini, L. Ftonzoni, M; Ciocogno. Они успешно применяется для управления хаосом в задачах гидродинамики (J. Singer, Y. Wang, H. Bau) , механики (V. In, W.L. Ditto), химии (V. Petrov, V. Gaspar, J. Masere, К. Sho.walter), биологии и медищше (A. Garfinkel, M.L- Spano, \V. Ditto, J. Weiss, S. Schiff, К, Jerger, D.H. Duong, T.Chang)'.

Методы управления хаосом могут быть использованы для решения задач синхронизации- хаотических колебаний. Под синхронными колебаниями в настоящей работе понимаются колебания, ппедельные фазовые траектории которых принадлежат одному из симметричных подпространств системы: Xj = Х2 - случай синфазной ^синхронизации, Xi = —хг - случал противофазной синхронизации. В большинстве работ, посвященных синхронизации посредством управления хаосом, рассматривается простейший случай синхронизации - синфазная синхронизации. Объектами исследования, при этом, являются си-темы с однонаправленной связью (Y. Lai, G. Grebogi, Т.С. Newell, P.M. Aising, A. Gavrielides, V. Kovanis, M. Bernardo, J.A. Suykens, P.F. Curran, L.G. Chua, C.K. Duan, S.S. Yang, G. Malestio) Представляется интересный рассмотреть синхронизацию

хаоса во взаимодействующих системах с симметричной связью, не ограничиваясь случаем синфазной синхронизации. Методы синхронизации, предлагаемые в указанных работах, основаны на введении в систему дополнительной цепи обратной связи ("feedback control"). В настоящей работе делается попытка распространить методы принудительной синхронизации хаоса на случай симметрично связанных осцилляторов, рассмотреть не только синфазную, но и противофазную синхронизацию, а также предлагается новый метод принудительной синхронизации синфазных колебаний, основанный на высокочастотном периодическом воздействии на параметр связи.

Известно, что высокочастотное периодическое воздействие на один m параметров системы может приводить к существенному изменению ее ''медленной динамики". например к стабилизации верхнего состояния равновесия маятника с вибрирующей точкой подвеса (П.Л. Капица) или к подавлению хаоса и переходу в режим периодических колебаний в осцилляторе Дуффинга (Y.S. Kivshar.F. Rodelsperger. Н. Benner). Интересным представляется исследовать вопрос о влиянии такого воздействия на устойчивость синхронных колебаний в системе симметрично связанных хаотических осцилляторов.

Решение задачи принудительной синхронизации хаоса в системе из двух взаимодействующих осцилляторов является первым шагом на пути изучения проблемы управления пространственно - временным хаосом в системах высокой размерности и распределенных средах. Такая среда может быть смоделирована цепочками и решетками осцилляторов с локальной связью между элементами (К. Kaneko). Распространяя методы управления хаосом в маломерных системах на системы большой размерности, можно осуществлять управляемые переходы от режима пространственно - временного хаоса к различным регулярным в пространстве и во времени структурам. Первые работы, посвященные управлению хаосом в цепочках осцилляторов появились в 1994 году (Н. Gang, Q. Zhilin). До настоящего времени исследовались методы управления хаосом для простейших случаев - стабилизации пространстйенно - однородных состояний (Н. Gang, Q. Zhilin, D. Auerbach, R.V. Sole, L.M. Prida, R.O. Grigoriev, M.C. Cross, H.G. Shuster, M.K. Ali, J. Fang). В настоящей работе предлагаются алгоритмы для управляемых переходов от пространственно -временного хаоса к различным пространственно-однородным и пространственно - периодическим регулярным во времени структурам. Методы, полученные для управления хаосом в одномерных-цепочках, распространяются на двумерные решетки. "

Высказанные соображения определили цель диссертации и задачи исследований.

Цель работы:

1. Распространить методы п алгоритмы принудительной синхрояиза-ш хаотических осцилляторов с олвокалравлеийой связью на случай симметрично связанных систем. Рассмотреть случаи как синфазной, так и протнвофазнм" синхронизации. .Провести численные исследования синхронизации посредством введения дополнительной цепи обратной связи на системе симметрично связанных хаотических генераторов.

2. Исследовать явление стабилизации синфазных колебаний при'высо-кочастотной периодической модуляции параметра связи.

3. Разработать методы управления пространственно - временным хаосом в цепочках и двумерных решетках дискретных отображений как для пространственно - однородных, так и для пространственно - периодических регулярных во времени режимов. Провести численные исследования по управляемым переходам от хаоса к. различным пространственно - временным структурам. 3

Методы исследования.

В качестве объекта исследований,, прп синхронизации хаоса в маломерных системах, в работе рассматривается схема связанных через емкость генераторов Чуа. Генератор Чуа - простая электронная цепь, демонстрирующая многие типичные "Буйства хаотических систем, такие, например, как переход к хаосу через каскад субгармонических бифуркаций. Она легко реализуется на практике и просто моделируется в численном эксперименте, причем результаты как численного, тг-.к и физического экспериментов почти полностью совпадают. В-отличие от резистивио связанных генераторов, в схеме с емкостной сьязью синхронные хаотические • колебания не реализуются. Этим и объясняется выбор данного типа связи для решения задачи принудительнойссинхронизлцпи.

Для решения задачи синхронизации посредством управления хаосом в , системе связанных генераторов Чу., используется как методы аналитического исследования, основанные на теории устойчивости, так и численный эксперимент.

Для изучения задач, связанных с управлением пространственно - временным хаосом, в работе используются 'непочки и решетки логистических отображений с локальной связью. Выбор модели обусловлен тем.

что логистическое отображение являётся одной из базовых систем нелинейной динамики, а непочки этих отображений используются для моделирования реальных радиофизических систем.

Для получения аналитических выражений для вида' управляющего воздействия, приводящего к стабилизации пространственно - однородных и пространственно - периодических регулярных во времени структур, используются методы линейного анализа устойчивости соответствующих решений. Работоспособность полученных алгоритмов управления пространственно - временным хаосом проверяется в численных экспериментах.

Для проверки грубости предлагаемых методов принудительной синхронизации и управления пространственно - временным хаосом в иссле- • дуемую систему добавлялось малое шумовое воздействие.

Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием результатов ана литических исследований и численных экспериментов, их воспроизводимостью, а также соответствием с результатами физических экспериментов, проведенных с рассматриваемой системой другими исследователями.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

Впервые проведен анализ динамики симметрично связанных через емкость генераторов Чуа. В системе обнаружено новое явление - объединение симметричных друг другу двумерных торов с образованием самосимметричного тора. При проведении = исследования распределения сдвигов фаз между гармониками спектров парциальных генераторов обнаружено, что фазовые соотношения между гармониками сохраняются при мягких бифуркациях периодических режимов. В закритической области фазовые сдвиги для пиков в спектрах многоленточных аттракторов равны фазовым сдвигам, для гармоник в спектрах периодических колебаний, на базе которых эти никлы образованы.

Впервые исследована синхронизация симметрично связанных хаотических генераторов посредством введения дополнительной обратной связи.

Впервые обнаружено и исследовано явление стабилизации синфазных колебаний в системе симметрично связанных хаотических осцилляторов при высокочастотном периодическом воздействии на'параметр связи.

Впервые построены алгоритмы для управляемых переходов от режима пространственно - временного хаоса в решетках и цепочках связанных дискретных отображений к пространственно - периодическим, регулярным во времени структурам.

Осковиме положения, выносимые на защиту: -

1. В системе снмметричьо связанных хаотических осцилляторов возможно осуществление принудительной синхронизации синфазных и противофазных регулярных и хаотических колебаний посредством введения дополнительной цепи обратной связи.

2. Высокочастотная периодическое воздействие на параметр связи позволяет стабилизировать синфазные колебания в симметрично связанных осцилляторах.

3. Использование г.. ^тода поэтапной стабилизации элементов цепгчки позволяет осуществлять управляемые переходы пз режима пространственно- зременного хаоса к различным регулярным пространственно - временным структурам в цепочках и решетках дискретных отображений с локальной связью.

Научно-практическое значение результатов рлбо-ы состоит в том, что полученные алгоритмы принудительной синхронизации хаотических осцилляторов могут быть применены в реальных системах. различной природы. Они могут быть использованы как для'пршеладных целей -генерации различных видов регулярных режимов хаотической системой, так и для фундаментальных целей - получения информац: и о свойствах управляемого объекта.

Апробация результатов работы и иубликашш.

Результаты диссертационной работы докладывались на международных научных конференциях: ''Differential equations: bifurcations and chaos" (Katsivelli, Ukraine. 1994), иХАОС-94". (Саратсз, Россия, 1994), "Chaotic, fractal and nonlinear signal processing" (Mystik, USA, 1995), "Nonlinear . dynamics and chaos. Applications in physics, biology and medicine" (Саратов, Россия,-1996), "Applied chaotic systems" (Inowlodz/Lodz, Poland, 1996), "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" (Москва, Россия, 1997). "Control of Oscillations and Chaos" (Санкт-Петербург, Россия, 1997), ня научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ. По теме диссертации опубликовано 14 работ. Из лих 7 статей в репен- ' зируемых журналах, 3 статы: в рецензируемых трудах конференций и 4 в тезисах докладов. В работах, выполненных в соавторстве, A.B. Ша-буннну принадлежит осуществление численных экспериментов, анализ и обсуждение полученных результатов.

Результаты работы использовались- при выполнении грантов Госкомитета по высшему образованию (93-8.2-J-0 и<95-0-8.3-66), грантов ISF

(RNO ООО, 1994 и RNO 300, 1995) и госбюджетной темы "Автоколебания".

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация содержит 101 страницу текста, 41 рисунок и список литературы из 142 -наименований. Содержание работы Во введении сформулиров'аны цель диссертации. Анализируется место поставленных задач среди известных результатов других исследователей. Обосновывается достоверность, научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Приводятся положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматривается схема и математическая модель исследуемой системы - симметрично связанных через емкость генераторов Чуа, анализируются ее состояния равновесия и свойства симметрии. Уравнения системы в безразмерных величинах имеют вид:

¿1,2 У 1,2 ¿1,2

где . . .

f(x) = b + i(a — Ь)(|х + 1| — \х — 1|)

Проводятся численные исследования динамики системы при вариации параметра а и коэффициента связи 7, при фиксированных значениях других параметров. Строятся спектры мощности и диаграммы распределения разностей фаз для типичных регулярных и хаотических режимов. Проводится сравнение динамики данной системы с динамикой других симметрично связанных хаотических осцилляторов.

Основные результаты проведенных в первой главе исследований можно сформулировать следующим образом:

1. Математическая модель системы имеет 9 состояний равновесия и 3 вида симметрии: по отношению к преобразованиям Xj +-> Х2, xi^

-X],2, Xi <-► -X2. '

r-

2. Динамика симметрично связанных через емкость генераторов Чуа является более сложной, чем динамика системы резистивно связанных генераторов (B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасова, В.В. Астахов, О.В. Сосновцева, CLW. Wu, L.O. Chua ). Она включает в себя весь

; набор предельных множеств, существующих при для резистивной

= а(У1,2 — х1,2 — f(xl,i))

= ~ßyi,2

связи и ряд новых. Имеет более сложную картину бифуркационных переходов. При емкостной связи автоколебания возбуждаются при меньших значениях параметра а, чем в одиночном осцилляторе, причем вначале возбуждаются противофазные колебания.

3. Переход к хаосу происходит а системе через последовательность бифуркаций удвоения периода и через разрушение двумерного тора. Число бифуркацйй в каскаде удвоений при конечной величине связи

.. конечно. Завершается каскад бифуркаций удвоения периода переходом к многооборотному двумерному тору, а ~лтем, при его разрушении, к хаосу.

4. В системе обнаружено новое явление - объединение симметричных друт другу двумерных торов с образованием самосимметричпого

■ тора. Вблизи бифуркационной точки наблюдается перемежаемость, . когда изображающая точка хаотически перескакивает с одного симметричного аттрактора на другой.

5. Исследуемая система характеризуется мультистабильностыо. В основе формирования мультистабильности лежит каскад удвоений периода,

в котором каждый цикл претерпевает бифуркацию дважды, вначале по одному мультипликатору, С потерей устойчивости, затем по вто-

■ рому, будучи седловым. Данный механизм формирования мультистабильности наблюдался в других симметрично связанных системах с удвоением периода (В.В. Астахов Б.П. Безручко, E.H. Ерас-това, Е.П. Селезнев, Ю.П. Гуляев, В.И. Пономаренко, С.П. Кузнецов).

6. Проведенные исследования распределения сдвигов фаз между гармониками' спектров парциальных генераторов показали, что фазовые соотношения между гармониками сохраняются при мягких бифуркациях периодических режимов. В закритической области, фазовые сдвиги для пиков в спектрах многоленточных аттракторов равны фазовым сдвигам для гармоник в спектрах периодических колсба-ний, на базе которых эти циклы образованы.

Вторая глава посвящена разработке методов синхронизации посредством управления хаосом в системе симметрично связанных осцилляторов. Рассматривается синфазная и противофазная синхронизация в системе связанных через емкость генераторов Чуа посредством введения в систему дополнительной обратной связи. Управляющая функция имеет вид: ri(xi — Х2) - для случая синфазной синхронизации и ^(zj +х2) - Для

случая противофазной синхронизации. Для определения значения коэффициентов 7"! и Г2 решается задача на устойчивость колебаний в симметричном подпространстве системы по отношению к трансверсальным возмущениям. Методом численного эксперимента исследуются управляемые переходы из режима несинхронного хаоса к синфазным и противофазным колебаниям. При переходе системы в режим синхронных колебаний управляющее воздействие становится равным нулю.

Стабилизация хаотической траектории в симметричном подпространстве Xi = Х2 приводит к упрощению вида колебаний и может переводить систему из режима хаотических в режим периодических колебаний. Тем самым решается классическая задача управления хаосом - перевод системы из хаотического режима и регулярный. При синхронизации противофазных колебаний данного эффекта не наблюдается.

Для стабилизации синфазных колебаний в системе симметрично связанных хаотических осцилляторов предлагается также новый метод, не основанный на введении дополнительной обратной связи, - высокочастотное периодическое воздействие на параметр связи. Метод тестируется на системе неавтономных осцилляторов с кусочно-линейной нелинейностью, синфазно возбуждаемых внешним гармоническим сигналом:

ilj2 + 0x1,2 + j{x\) - 7(22,i - 3=1,2) = Bsinut

где

■ f(x) = (Ь — l)x 4-.0.5(Ь — a)(|x — Ij — |r + 1|)

a - параметр диссипации, 7 - коэффициент связи, Shu - амплитуда и частота внешнего воздействия. Коэффициент связи 7 периодически ме-аяе гея около среднего значения 70 согласно закону:

'7 = 70 + F(i) = &2Sgn(Sin(Slt)),

где £ - амплитуда, а 51 - частота управляющего воздействия.

Для определения значений амплитуды и частоты управляющего воздействия, приводящих к стабилизации синфазных колебаний, исследуется задача на их устойчивость по отношению к возмущениям, выводящим из симметричного подпространства. Кусочно-линейный характер нелинейности осцилляторов и управляющего воздействия позволяет решить эту задачу аналитически. Полученная область устойчивости для синфазных колебаний на плоскости параметров Я — е имеет нерезонанс-иый характер. Проводится численный эксперимент по принудительной еннхронизашш хаотических колебаний осцилляторов, подтверждающий аналитические результаты.

IS работе -проводятся -численные исследования стабилизации синфазных колебаний высокочастотным параметрическим возлей» твием в системе связанных-через емкость генераторов Чуа. Емкость связи меняется около среднего значения согласно закону:

Сс = С0 + C~sin(ut).

Результаты исследований демонстрируют, что существуют области значений параметров системы, где управляющее воздействие стабилизирует синфазные колебания. Экспериментально определяются области значений частоты и амплитуды управляющего воздействия, приводящего к синхронизации колебаний. Показано, что зависимость минимальной ам- . плитуды синхронизирующего воздействия от частоты носит пороговый характер.

: В третьей главе рассматривается задача управления пространственно - временным хаосом в цепочках:

Xn+i(i) = а - xl(i) - 7(2x2n(i) - xl(i - 1) - хЦг + 1)) . и решетках:

-xl(i +1, j) - x2n(ij - 1) - х'(»\ j +1))

логистических отображений с периодическими граничными условиями.

В качестве исходного режима выбирается режим развитого пространственно - временного хаоса. Задачей управления является переход на различные пространственно - однородные регулярные во времени режимы разных временных периодов и пространственно - периодические регулярные во времени.структуры разных пространственных и временных периодов, встроенные в исходный хаотический аттрактор. Предлагаемый подход основан на методе Otto, Grobogi, Yorke, но имеет следующие особенности. Во-первых, в отличие от указанного метода, в данном случае в качестве доступного для управления используется не скалярный, а векторный параметр, а именно, для управления колебаниями в цепочке воздействие прикладывается к параметру а каждого из осцилляторов цепочки:

av,(i)=a о + МО-

Во-вторых, для направления хаотической траектории в Окрестность выбранного состояния в работе используется метод последовательной стабилизации элементов цепочки, по мере .вхождения каждой из динамических переменных хп(г) в окрестность стабилизируемого состояния. При

этом, для включения управления не ожидается момент входа изо5рг*;как>-щей точки в окрестность рассматриваемого стабилизируемого состояния в полном фазовом пространстве системы.

Для определения формы управляющего воздействия, приводящего к стабилизации желаемого пространственно - временного состояния решается задача на" устойчивость в линейном приближении. Рассмотрение ограничивается случаем малого коэффициента связи 7, когда соседние элементы цепочки оказывают слабое влияние на динамику рассматриваемого элемента.

Проводятся численные эксперименты по управляемым переходам от режима пространственно - временного хаоса к выбранным пространственно - временным структурам. Обнаружено, что переход к регулярному поведению происходит не равномерно по всей ттепочке, а путем образования нескольких "островкоз" синхронизации, которые разрастаясь, постепенно занимают всю цепочку..

Эффективность управления хаосом в цепочке отображений зависит от значений параметров а и у. 3 эксперименте рассматривался интервал значений параметров 1.6а < 1.9 и 0 < 7 < 0.4. Для простейшего случая - стабилизации пространственно-однородной периодической орбиты периода 1, на плоскости параметров 7 — а построена область в которой эффект управления достигается. Зги область для малой с&яьи совпадает с той областью на плоскости параметров, где велика вероятность для элемента цепочки попасть в окрестность указанного состояния.

Построенный для управления пространственно - временным хаосом в одномерной цепочке алгоритм распространен на двумерную решетку логистических отображений.Проведены численные эксперименты по управляемым переходам от развитого пространственно - временного хаоса к указанным режимам в двумерной решетке. ■

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

. Основные результаты диссертации

1. Проведены исследования динамики симметрично связанных через емкость генератора Чуа, при вариации управляющих параметров. Полученные результаты сравниваются с аналогичными результатами для других симметрично связанных систем с удвоениями периода. В системе обнаружено новое явление - объединение симметричных друг другу двумерных торов с образованием самосимме-тркчного тора. Вблизи бифуркационной точки наблюдается перемежаемость, когда изображающая точка, хаотически перескакивает с

одного симметричного аттрактора на другой.

2. Проведенные исследования распределения сдвигов фаз между гармониками спектров парциальных генераторов показали, что фазовые соотношения между гармониками сохраняются при мягких бифуркациях периодических режимов. В закритической области, фазовые сдвиги для пиков в спектрах многоленточных аттракторов равны фазовым сдвига^ для гармоник в спектрах периодических колебаний, на базе которых эти ииклы образованы.

3. Разработаны методы стабилизации синфазных и противофазных колебаний в цепи симметрично связанных хаотических генераторах методом введения дополнительной-цепи обратной связи. Аналитически получены достаточные условия устойчивости синхронных движений. Методом численного эксперимента исследованы управляемые переходы из режима несинхронного хаоса к синфазным и противофазным колебаниям.

4. Обнаружен эффект стабилизации синфазных колебаний при высокочастотной периодической модуляции параметра связи. Для связанных неавтономных осцилляторов с кусочно-линейной характеристикой аналитически получены условия устойчивости синфазных колебаний на плоскости параметров частота - амплитуда воздействия. Результаты теоретического анализа подтверждены в ходе численного эксперимента. Проведены численные исследования стабилизации синфазных колебаний в связанных генераторах Чуа посредством периодической модуляции емкости связи.

5. Для одномерной цепочки и двумерной решетки логистических отображений с диффузионной связью между элементами получены выражения для управляющего параметра, позволяющие стабилизировать пространственно-однородные и пространственно-периодические

и периодические во времени режимы различных периодов. Проведены численные эксперименты по управляемым переходам из режима развитого пространственно-временного хаоса к различным пространственно-однородным и пространственно-периодическим регулярным режимам.

Список работ по теме диссертации

1. Astakhov V.V., Shabunin A.V. The bifurcation analysis of coupled Chua's circuit. // In: International Conference "Differential equations: bifurcations and chaos", Katsiveli, Ukraine, May 3-14, p. 10, 1994.

2. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Shabunin A.V. Controlling Spatiotemporal Chaos in a Chain of the Coupled Logistic Maps. // IEEE Trans, on.Circuits and Systems I, v. 42, N 6, pp. 352-357, 1995.

3. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Strelkova G.I., Shabunin A.V. Controlling Spatiotemporal Chaos in One- and Two Dimensional Coupled Logistic Map Lattices. // In: Chaotic, fractal and nonlinear signal processing. Mystic, CT July 10-14, (Ed. by R.A. Katz), p.104-120, 1995.

4. Анищенко B.C., Астахов B.B., Стрелкова Г.И., Шабунин A.B. Стабилизация симметричных седловых циклов в связанных системах с хаотической динамикой. // Известия ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика, т. 3, N 4, стр. 73-80, 1995.

5. Астахов В.В., Сильченко А Н., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В., Анищенко B.C. Управление и синхронизация хаос:', в системе связанных генераторов. // Радиотехника и Электроника, т. 41, N 11, стр. 132-3-1331, 1996.

6. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Strelkova G.I., Shabunin A.V. Fourier analysis of coupled Chua's oscillators. // In: International Conference "Nonlinear dynamics and chaos. Applications in physics, biology and medicine", Saratov, Russia, July 8-14, p.17, 1996.

7. Astakhov V.V., Shabunin A.V., Silchenko A.'N., ¿Strelkova G.I., Anishchenko V.S. Controlling chaos in the system of coupled Chua's oscillators. // In: International Conference "Nonlinear dynamics and chaos. Applications in physics,- biology and medicine", Saratov, Russia, July 8-14, p.23,.

1996. :

8.1 Shabunin A.V. Chaos synchronization in coupled self-oscillators by parametric excitation. // In: International Conference "Applied chaotic sys-teihs", Inowlodz/Lodz, Poland, September 26-30, p.23, 1996.

9. Астахов В.В., Шабунин A.B. Синхронизация хаотических осцилляторов посредством периодической модуляции коэффициента связи. // Известия ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика, т. 5, N 1, стр. 15-29,

1997. -

10. Астахов В.В., Шабунин А.В., С}Ш>ченко А.Н., Стрелкова Г.И., Анищенко B.C. Нелинейная динамика двух связанных через емкость генераторов Чуа. // Радиотехника и Электроника, т.42, N 3, стр.320-327, 19S7.

11. Astakhov V., Shabunin A., Anishchenko V. Synchronization by chaos .. control in symmetrically coupled Chua's circuits. // In: Proceedings of 5th

International Specialist Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Sys-terns", June 26r27, Moscow, Russia, pp.172-177, 1997.

12. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Shabunin A.V. Stabilization of in-phase motions in symmetrically coupled oscillators by parametric perturbations. // In: Proceedings of 1st International Conference "Control of Oscillations and Chaos", v. 2, August 27-29, St. Petersburg, Russia, pp. 374-375, 1997. ,

13. Астахов В.В., Шабунин А.В., Анищенко B.C. Спектральные закономерности при формировании мультистабильности в связанных генераторах с удвоением периода. // Радиотехника и Электроника, т. 42, N 8, стр. 974-981, 1997.

14. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Kapitaniak Т., Shabunin A.V. Synchronization of chaotic oscillators by periodic parametric perturbations. // Physica D, v. 109, N 1-2, pp. 11-16, 1997.

( ШАБУНИН Алексей Владимирович

' СИНХРОНИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ В СВЯЗАННЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ Автореферат

Ответственный за выпуск доцент, к.ф.-м.н. Астахов В.В,

Подписано в печать Х-АЬ?/ Усл.-печ.л. 2.0 Тираж 100 экз. Заказ

Введение.

1 Динамика двух связанных через емкость генераторов Чуа при вариации управляющих параметров

129, 134, 138, 141])

1.1 В ывод уравнений системы.

1.2 Состояния равновесия и свойства симметрии

1.3 Динамика системы при изменении управляющих параметров

1.3.1 Общие свойства и классификация колебательных режимов

1.3.2 Исследование колебательных режимов, образовавшихся около состояния равновесия {Pi, Pi}

1.3.3 Исследование колебательных режимов, образовавшихся около состояния равновесия {Pi, Рг}.

1.4 Общие закономерности поведения различных симметрично связанных хаотических осцилляторов, переход к хаосу в которых происходит через каскад удвоений периода.

1.5 Исследование колебательных режимов в системе (2) методом диаграмм распределения разности фаз.

1.6 Выводы.

2 Исследование принудительной синхронизации в симметрично связанных хаотических осцилляторах

132, 133, 135, 136, 137, 139, 140, 142])

2.1 Синхронизация хаотических осцилляторов посредством дополнительной цепи обратной связи

2.1.1 Синхронизация синфазных колебаний.

2.1.2 Численные исследования стабилизации синфазных движений.

2.1.3 Синхронизация противофазных колебаний.

2.1.4 Численные исследования принудительной синхронизации противофазных колебаний.

2.2 Принудительная синхронизация колебаний посредством высокочастотной периодической модуляции параметра связи

2.2.1 Синхронизация колебаний в системе связанных нелинейных осцилляторов.

2.2.2 Стабилизация синфазных колебаний в двух связанных через емкость генераторах Чуа.

2.3 Выводы.

3 Управление пространственно - временным хаосом в цепочках и решетках дискретных отображений

130, 131])

3.1 Управление хаосом в одномерной цепочке отображений

3.1.1 Стабилизация пространственно - однородных состояний

3.1.2 Стабилизация пространственно - периодических структур

3.2 Управление хаосом в двумерной решетке отображений

3.3 Выводы.

С конца 80-х - начала 90-х годов в теории динамических систем возникло и развивается новое направление - управление хаосом. Это направление оказалось на стыке двух наук - теории динамического хаоса, которая занимается изучением динамических систем, генерирующих сложные непериодические колебания, [1]-[10], и теории управления - классического раздела теории колебаний, изучающего управляемые переходы в фазовом пространстве [11, 12]. Под термином "управление хаосом" обычно понимается малое целенаправленное воздействие на колебательную систему в хаотическом режиме для перевода ее в регулярный режим, либо в хаотический режим с другими свойствами ( чаще всего имеется ввиду некоторая регуляризация хаоса, т.е. переход к более "простому" движению). Пионерскими работами, открывшими новое направление, можно считать статьи Хюблера и Лючера (1989) [13], Джексона (1990) [14, 15], и наиболее известную, ставшую классической, работу Отто, Гребожи, Йорка (1990) [16], в которой был предложен простой и эффективный способ управления хаосом. Идея метода Отто, Гребожи, Йорке (метод OGY) заключается в стабилизации неустойчивых предельных циклов, включенных в хаотический аттрактор, посредством воздействия на один из параметров системы. Хаотические аттракторы большинства систем содержат множество седловых предельных циклов. Эволюционируя на аттракторе, изображающая точка время от времени попадает в окрестности каждого из таких циклов. Если в этот момент, с помощью управляющего воздействия стабилизировать цикл, то есть сделать его устойчивым, то траектория останется в его окрестности, и система начнет совершать периодические колебания. На основе метода OGY было построено множество алгоритмов управления хаосом в различных системах [17]-[33]. Он успешно применяется для управления хаосом в задачах гидродинамики [19], механики [30, 32], химии [25], биологии и медицине [23, 27].

Одним из шагов на пути построения алгоритма по методу, предложенному в [16] является переход от системы с непрерывным временем, задаваемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений к дискретным отображениям посредством отображения Пуанкаре, при этом, предельным циклам исходной системы соответствуют неподвижные точки отображения. Поэтому, методы, основанные на подходе OGY, называют методами дискретного управления хаосом.

Более простые методы дискретного управления хаосом, не требующие знания локальной динамики системы вблизи стабилизируемого состояния, основаны на использовании так называемой "occasional proportional feedback" (OPF) [36, 37]. В этом случае корректирующее импульсное воздействие на систему подается, когда пиковое значение динамической переменной оказывается близким к соответствующему значению для стабилизируемого движения. К дискретному управлению можно отнести и методы импульсного управления хаосом [38, 39]. Методы дискретного управления хаосом с использованием подходов оптимального управления рассматриваются в [40].

Методы дискретного управления хаосом обладают той особенностью, что в промежутке между двумя последовательными управляющими воздействиями движение системы остается неконтролируемым. Если стабилизируемый предельный цикл является сильно неустойчивым, то за это время траектория может успеть отойти от него на большое расстояние. Поэтому подобные методы не всегда работают при стабилизации сильно неустойчивых траекторий. Для преодоления ограничений, связанных с дискретностью управляющего воздействия, разработан ряд методов так называемого "непрерывного управления хаосом" [41]-[45]. Один из способов непрерывного управления - добавление в систему дополнительной обратной связи. Простейшим случаем является использование линейного контроллера [41]: x = f(x) + [ff](x-x), где [К] - матрица коэффициентов обратной связи, х - стабилизируемая траектория. Для генерации опорного сигнала x(t) может использоваться та же система, но при значениях параметров, когда стабилизируемый цикл является устойчивым. Подобный подход рассмотрен в [45]. Другая группа методов непрерывного управления хаосом связана с использованием цепи обратной связи с задержкой [41, 42]. Если изображающая точка находится в окрестности одного из седловых предельных циклов, то время возврата Пуанкаре в окрестность первоначального состояния будет близко к периоду рассматриваемого цикла. Выбирая управляющее воздействие в виде: k(x(t) — x(t — r)), где x(t) - переменная, описывающая состояние динамической системы в момент времени t, т - время задержки, равное периоду стабилизируемого цикла, к - подбираемый в эксперименте коэффициент, можно стабилизировать седловой предельный цикл с периодом г.

Общим во всех рассматриваемых выше методах является то, что:

• управляющее воздействие зависит от текущего состояния динамической системы;

• при достижении цели управления, то есть, когда фазовая траектория переходит на стабилизированный предельный цикл, амплитуда воздействия стремиться к нулю: k(x(t) - x(t)) -> О, и уравнение, описывающее систему с управлением переходит в исходную систему.

Описанный выше класс методов управления хаосом получил в литературе название "feedback control", то есть управление посредством обратной связи.

В другой группе методов не используется информация о текущем состоянии динамической системы, а управление осуществляется посредством внешнего воздействия, явным образом зависящего от времени. Данный класс методов получил в литературе название "non-feedback control" или управление без обратной связи. Так, в работах [14, 15],[46]-[48] рассматривается так называемый "entrainment control". Целью управления является в данном случае не стабилизация неустойчивых траекторий, встроенных в хаотический аттрактор, а направление хаотической траектории к выбранному движению g (£), которое само не является траекторией системы, а представляет собой заданную функцию времени. Необходимым условием для осуществления перехода к устойчивому движению g(t) является существование области локальной сходимости траекторий G D g(t), где все локальные показатели Ляпунова отрицательные:

G = {х : ЯеА(х) < О, где А(х) - решение характеристического уравнения

- MMI = О,

6ij - символ Кронекера, dfi/dxj - производные от функций, задающих правые части уравнений системы, по ее динамическим переменным. .

В работе [14] показано, что при выполнении данного условия, управление вида:

X = f (х) + g - f (g) имеет устойчивое установившееся движение g(t), и, если начальные условия х(0) принадлежат области локальной сходимости, то

Um||x(t)-g(i)|| = 0

В качестве метода управления хаосом можно рассматривать предложенный в ряде работ [49]-[51] подход, предусматривающий периодическую модуляцию одного из параметров системы. Аналитически и методами численного и физического экспериментов в этих работах было показано, что периодическая модуляция параметра может привести к подавлению хаоса и к переходу на периодический режим, на базе которого возник исходный хаотический аттрактор. Указанный эффект оказывается возможен, если частота модуляции кратна частоте предельного цикла, то есть данное явление носит резонансный характер. В другой работе для подавления хаоса и перехода на регулярный режим использовалась высокочастотная модуляция параметра системы, когда частота модуляции много больше собственной частоты осциллятора [53]. Было показано, что движение системы с высокочастотным воздействием может быть представлено как сумма "медленного" движения с характерной частотой системы без модуляции и "быстрого" движения с характерной частотой параметрического воздействия. Уравнение для полной системы разделяется на уравнение для "быстрых" и для "медленных" переменных, причем параметры уравнения для "быстрых" переменных оказываются зависящими от амплитуды и частоты высокочастотного воздействия. Таким образом, можно говорить о том, что высокочастотная модуляция параметра может менять средние значения параметров системы и таким образом индуцировать переход к другим колебательным режимам. Обзор различных методов управления хаосом дан в работах [54]-[56].

К проблеме управления хаосом можно отнести и задачу принудительной синхронизации хаотических осцилляторов или синхронизации посредством управления. В современной научной литературе нет единого подхода к задачам хаотической синхронизации . В зависимости от постановки задачи, свойств колебательных систем под синхронизацией понимается: переход под действием внешнего периодического воздействия от хаотических колебаний к периодическим [57]-[62], захват пиков, присутствующих в спектрах хаотических осцилляторов [63]-[65], захват мгновенной фазы хаотического сигнала (фазовая синхронизация) [66]-[70], полная идентичность колебаний в связанных осцилляторах [71]-[80] или в более общем случае существование функциональной связи между временными реализациями подсистем (обобщенная синхронизация) [81]-[83].

Активно исследуются в настоящее время вопросы прикладного применения явления хаотической синхронизации, например, к задачам секретной передачи информации [84]-[90]

Применение методов управления хаосом к связанным осцилляторам позволяет осуществлять переход от несинхронного хаоса к синхронным хаотическим или регулярным колебаниям, то есть осуществлять принудительную синхронизацию осцилляторов. Под синхронными колебаниями в настоящей работе понимаются колебания, предельные фазовые траектории которых принадлежат одному из симметричных подпространств системы: Xi = Х2 - случай синфазной синхронизации, xj — —Х2 - случай противофазной синхронизации. Необходимо заметить, что эти два случая не исчерпывают все возможные виды синхронных режимов в системе. Например, возможен случай, когда временные реализации колебаний осцилляторов будут различаться на определенный временной сдвиг г: Xi (t) = Х2 (t — т) [91]. Однако в настоящей работе данный вид синхронизации не рассматривается. Колебательные режимы, фазовые портреты которых принадлежат симметричному подпространству, реализуются в системе только в том случае, если они устойчивы в нем по отношению к возмущениям, выводящим из данного подпространства. Эта устойчивость определяется трансверсальными показателями Ляпунова [92, 93]. Если старший трансверсальный показатель Ляпунова отрицателен, то синфазные движения в случае полной идентичности подсистем и отсутствия шумов устойчивы. Однако, при любой сколь угодно малой неидентичности подсистем, либо при наличии шума сколь угодно малой интенсивности, отрицательности старшего трансверсального показателя Ляпунова не достаточно для гарантии устойчивости синхронных движений [94]. Если хаотический аттрактор, лежащий в симметричном подпространстве, имеет встроенные седловые предельные траектории, локальные трансверсальные показатели на которых положительные, это приводит к появлению так называемых "пузырящихся" аттракторов (bubbling attractors) или к "изрешечиванию" бассейнов притяжения аттрактора (riddled basins) [93, 95].

Задача принудительной синхронизации колебаний, есть задача стабилизации траекторий в симметричном подпространстве по отношению к трансверсальным к этому подпространству возмущениям. Метод решения этой задачи - добавление в систему цепи дополнительной обратной связи, либо внешнего, явным образом зависящего от времени воздействия, которые меняют характер устойчивости синхронных колебаний. При этом управляющее воздействие не должно оказывать влияния на динамику системы внутри симметричного подпространства, то есть не должно менять форму синхронных колебаний. В противном случае мы имеем дело не с синхронизацией (в том смысле, в котором она определяется в работе), а с индуцированными в системе новыми колебательными режимами при воздействии на нее.

В большинстве работ, посвященных синхронизации посредством управления хаосом, рассматривается простейший случай синхронизации - синфазная синхронизация. Объектами исследования, при этом, являются системы с однонаправленной связью [96]-[104]. Представляется интересным рассмотреть принудительную синхронизацию хаоса во взаимодействующих системах с симметричной связью, не ограничиваясь случаем синфазной синхронизации. Методы синхронизации, предлагаемые в указанных работах, основаны на введении в систему дополнительной цепи обратной связи ("feedback control"). В настоящей работе делается попытка распространить методы принудительной синхронизации хаоса на случал симметрично связанных осцилляторов, рассмотреть не только синфазную, но и противофазную синхронизацию, а также предлагается новый метод принудительной синхронизации синфазных колебаний, основанный на высокочастотной периодической модуляции параметра связи.

В качестве объекта исследований, при синхронизации хаоса в маломерных системах, в работе рассматривается схема связанных через емкость генераторов Чуа. Генератор Чуа - простая электронная цепь, демонстрирующая многие типичные свойства хаотических систем, такие, например, как переход к хаосу через каскад субгармоническшс бифуркаций [105, 106]. Она легко реализуется на практике и просто моделируется в численном эксперименте, причем результаты как численного, так и физического экспериментов почти полностью совпадают. В отличие от резистивно связанных генераторов [107], в схеме с емкостной связью синхронные хаотические колебания не реализуются. Этим и объясняется выбор данного типа связи для решения задачи принудительной синхронизации.

Решение задачи принудительной синхронизации хаоса в системе из двух взаимодействующих осцилляторов является первым шагом на пути изучения проблемы управления пространственно - временным хаосом в системах высокой размерности и распределенных средах. Такая среда может быть смоделирована цепочками и решетками осцилляторов с локальной связью между элементами [108]-[110] . Распространяя методы управления хаосом в маломерных системах на системы большой размерности, можно осуществлять управляемые переходы от режима пространственно - временного хаоса к различным регулярным в пространстве и во времени структурам. Первые работы, посвященные управлению хаосом в цепочках осцилляторов появились в 1994 году [111]. До настоящего времени исследовались методы управления хаосом для простейших случаев - стабилизации пространственно - однородных состояний [111]-[115]. В настоящей работе разрабатываются алгоритмы для управляемых переходов от пространственно - временного хаоса к различным пространственно-однородным и пространственно - периодическим регулярным во времени структурам. Методы, полученные для управления хаосом в одномерных цепочках распространяются на двумерные решетки.

Для изучения задач, связанных с управлением пространственно - временным хаосом, в работе используются цепочки и решетки логистических отображений с локальной связью. Выбор модели обусловлен тем, что логистическое отображение является одной из базовых систем нелинейной динамики, а цепочки этих отображений используются для моделирования реальных радиофизических систем [116].

Высказанные соображения определили цели диссертации и задачи исследований.

Цель работы:

1. Распространить методы и алгоритмы принудительной синхронизации хаотических осцилляторов с однонаправленной связью на случай симметрично связанных систем. Рассмотреть случаи как синфазной, так и противофазной синхронизации. Провести численные исследования синхронизации посредством введения дополнительной цепи обратной связи в системе симметрично связанных хаотических генераторов.

2. Исследовать явление стабилизации синфазных колебаний при высокочастотной периодической модуляции параметра связи.

3. Разработать методы управления пространственно - временным хаосом в цепочках и двумерных решетках дискретных отображений как для пространственно - однородных, так и для пространственно - периодических регулярных во времени режимов. Провести численные исследования по управляемым переходам от хаоса к различным пространственно - временным структурам.

Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием результатов аналитических исследований и численных экспериментов, их воспроизводимостью, а также соответствием с результатами физических экспериментов, проведенных с рассматриваемой системой другими исследователями.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

Впервые проведен анализ динамики симметрично связанных через емкость генераторов Чуа. В системе обнаружено новое явление - объединение симметричных друг другу двумерных торов с образованием самосимметричного тора. При проведении исследования распределения сдвигов фаз между гармониками спектров парциальных генераторов обнаружено, что фазовые соотношения между гармониками сохраняются при мягких бифуркациях периодических режимов. В закритической области, фазовые сдвиги для пиков в спектрах многоленточных аттракторов равны фазовым сдвигам для гармоник в спектрах периодических колебаний, на базе которых эти циклы образованы.

Впервые исследована синхронизация симметрично связанных хаотических генераторов посредством введения дополнительной обратной связи.

Впервые обнаружено и исследовало явление стабилизации синфазных колебаний в системе симметрично связанных хаотических осцилляторов при высокочастотном периодическом воздействии на параметр связи.

Впервые построены алгоритмы для управляемых переходов от режима пространственно - временного хаоса в решетках и цепочках связанных дискретных отображений к пространственно - периодическим, регулярным во времени структурам.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. В системе симметрично связанных хаотических осцилляторов возможно осуществление принудительной синхронизации синфазных и противофазных регулярных и хаотических колебаний посредством введения дополнительной цепи обратной связи.

2. Высокочастотная периодическое воздействие на параметр связи позволяет стабилизировать синфазные колебания в симметрично связанных осцилляторах.

3. Использование метода поэтапной стабилизации элементов цепочки позволяет осуществлять управляемые переходы из режима пространственно - временного хаоса к различным регулярным пространственно - временным структурам в цепочках и решетках дискретных отображений с локальной связью.

Научно-практическое значение результатов работы состоит в том, что полученные алгоритмы принудительной синхронизации хаотических осцилляторов могут быть применены в реальных системах различной природы. Они могут быть использованы как для прикладных целей -генерации различных видов регулярных режимов хаотической системой, так и для фундаментальных целей - получения информации о свойствах управляемого объекта.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В первой главе рассматривается динамика исследуемой системы - симметрично связанных через емкость генераторов Чуа. В ней дается вывод уравнений системы, рассматриваются состояния равновесия и свойства симметрии, исследуется динамика характерных режимов при вариации управляющих параметров. Во второй главе строятся алгоритмы для стабилизации синфазных и противофазных колебаний в си/

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Проведены исследования динамики симметрично связанных через емкость генератора Чуа, при вариации управляющих параметров. Полученные результаты сравниваются с аналогичными результатами для других симметрично связанных систем с удвоениями периода. В системе обнаружено новое явление - объединение симметричных друг другу двумерных торов с образованием самосимметричного тора. Вблизи бифуркационной точки наблюдается перемежаемость, когда изображающая точка хаотически перескакивает с одного симметричного аттрактора на другой.

2. Проведенные исследования распределения сдвигов фаз между гармониками спектров парциальных генераторов показали, что фазовые соотношения между гармониками сохраняются при мягких бифуркациях периодических режимов. В закритической области, фазовые сдвиги для пиков в спектрах многоленточных аттракторов равны фазовым сдвигам для гармоник в спектрах периодических колебаг-ний, на базе которых эти циклы образованы.

3. Разработаны методы стабилизации синфазных и противофазных колебаний в цепи симметрично связанных хаотических генераторах методом введения дополнительной цепи обратной связи. Аналитически получены достаточные условия устойчивости синхронных движений. Методом численного эксперимента исследованы управляемые переходы из режима несинхронного хаоса к синфазным и противофазным колебаниям.

4. Обнаружен эффект стабилизации синфазных колебаний при высокочастотной периодической модуляции параметра связи. Для связанных неавтономных осцилляторов с кусочно-линейной характеристикой аналитически получены условия устойчивости синфазных колебаний на плоскости параметров частота - амплитуда воздействия. Результаты теоретического анализа подтверждены в ходе численного эксперимента. Проведены численные исследования стабилизации синфазных колебаний в связанных генераторах Чуа посредством периодической модуляции емкости связи.

5. Для одномерной цепочки и двумерной решетки логистических отображений с диффузионной связью между элементами получены выражения для управляющего параметра, позволяющие стабилизировать пространственно-однородные и пространственно-периодические и периодические во времени режимы различных периодов. Проведены численные эксперименты по управляемым переходам из режима развитого пространственно-временного хаоса к различным пространственно-однородным и пространственно-периодическим регулярным режимам.

Заключение

В диссертации проведены исследования динамики симметрично связанных генераторов с удвоениями периода и построены алгоритмы принудительной синхронизации синфазных и противофазных колебаний. Рассмотрены управляемые переходы от пространственно-временного хаоса к регулярным пространственно-временным структурам в цепочках и решетках дискретных отображений. Исследования проводились на конкретных моделях, но результаты могут быть распространены на широкий класс динамических систем.

1. Странные аттракторы, под редакцией Я.Г. Синая и Л.П. Шильни-кова. М.: Мир, 1981, 254 стр.

2. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990, 312 стр.

3. Anishchenko V.S. Dynamical chaos models and experiments. Appearance routes and structure of chaos in symple dynamical systems. Singapore: World Scientific, 1995, 384 p.

4. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе (О дерминированном подходе к турбулентности). М.: Мир, 1991, 367 стр.

5. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984, 271 стр.

6. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

7. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990, 312 стр.

8. Неймарк Ю.И., Ланд а П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

9. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984, 432 стр.

10. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивости в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985, 420 стр.

11. Понтрягин JI.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, 384 стр.

12. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории управления. М.: ИЛ, 1962.

13. Hubler A.W., Luscher Е. Resonant stimulation and control of nonlinear oscillations. // Naturwissenschaft, v.76, p. 67. 1989.

14. Jackson E.A. On the control of complex dynamic systems. // Physica D, v. 50, pp. 341-366, 1991.

15. Jackson E.A. The entrainment and migration controls of multiple-attractor systems. // Physics Letters A, v. 151, pp. 478-484, 1990.

16. Ott E., Grebogi C., Yorke J.A. Controlling Chaos. // Physical Review Letters, v. 64, pp. 1196-1199, 1990.

17. Ditto W.L., Rauseo S.N., Spano M.L. Experimental control of chaos. // Physical Review Letters, v. 65, N 26, pp. 3211-3214, 1990.

18. Shinbrot Т., Ott E., Grebogi C., Yorke J.A. Using chaos to directs trajectories to targets. // Physical Review Letters, v. 65, pp. 32153218, 1990.

19. Singer J., Wang Y., Bau H. Controlling chaotic systems. // Physical Review Letters, v. 66, N 9, p. 1123, 1991.

20. Romeiras F.J., Grebogi C., Ott E., Dayawasn W.P., "Controlling chaotic dynamical systems", // Physica D, v. 58, pp. 165-192, 1992.

21. Shinbrot Т., Ditto W., Grebogi C., Ott E., Spano M., Yorke J.A. Using the sensitive dependence of chaos (the "butterfly efect") to direct trajectories in n experimental chaotic system.// Physical Review Letters, v. 68, N 19, pp. 2863-2866, 1992.

22. Shinbrot Т., Ott E., Grebogi C., Yorke J.A. Using chaos to direct orbits to targets in systems describable by a one-dimensional map. // Physical Review A, v. 45, N 6, pp. 4165-4168,1992.

23. Garfinkel A., Spano M., Ditto W., Weiss J. Controlling cariac chaos. // Science, v. 257, p. 1230, 1992.

24. Shinbrot Т., Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. Using small perturbations to control chaos. // Nature, v. 363, pp. 411-417, 1993.

25. Petrov V., Gaspar V., Masere J., Showalter K. Controlling chaos in the Belousov-Zhabotinsky reaction. // Nature, v. 361, p. 240, 1993.

26. Lai Y. C., Grebogi C. Converting transient chaos into sustained chaos by feedback controll. // Physical Review E, v. 49, N 2, pp. 1094-1098,1994.

27. Schiff S. J., Jerger K., Duong D.H., Chang T, Spano M.L. Ditto W.L. Controlling chaos in the brain. // Nature, v. 370, pp. 615-620, 1994.

28. Hayes S., Grebogi C., Ott E., Mark A., Experimental control of chaos for communication. // Physical Review Letters, v. 73, N 13, pp. 17811784, 1994.

29. Ott E., Spano M. Controlling chaos. // Physics Today, pp. 34-40, May1995.

30. In V., Ditto W.L. Adaptive control and tracking of chaos in a magne-toelastic ribbon. // Physical Review E, Rapid Communications, v. 51, N 4, pp. 2689-2692, 1'995.

31. Ott E., Spano M. Controlling chaos. // In: Chaotic, fractal and nonlinear signal processing. Mystic, CT July 10-14, (Ed. by R.A. Katz), pp. 92-103, 1995.

32. Baretto E., Grebogi C. Multiparameter control of chaos. // Physical Review E, v. 52, N 4, pp. 3553-3557, 1995.

33. Poon L., Grebogi C. Controlling complexity. // Physical Review Letters, v. 75, N 22, pp. 4023-4026, 1995.

34. So P., Ott E., Schiff S.J., Kaplan D.T., Sauer Т., Grebogi C. Detecting unstable periodic orbits in chaotic experimental data.// Physical Review Letters, v. 76, N 25, pp. 4705-4708, 1996.

35. Petrov V., Shovalter K. Nonlinear control of dynamical systems from time series. // Physical Review Letters, v. 76, N 18, pp. 3312-3315, 1996.

36. Козлов А.К., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Импульсное подавление хаотических колебаний. // Вестник Нижегородского университета. Нелинейная динамика синхронизация и хаос. Нижний Новгород: ННГУ, стр. 113-120, 1996.

37. Osipov G.V., Kozlov А.К., Shalfeev V.D. Controlling chaotic oscillators by impulse feedback. // In: Proceedings of 5th International Specialist Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems", June 26-27, Moscow, Russia, pp. 115-120, 1997.

38. Старобинец И.М., Угриновский B.A. Динамический метод оптимизации управления хаосом. // Известия ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика, т. 3, N 3, стр. 44-55, 1995.

39. Pyragas К. Continuous control of chaos by self-controlling feedback. // Physics Letters A, v. 170, pp. 421-428, 1992.

40. Pyragas K., Tamasevisevicius A. Experimental control of chaos by delayed self-controlling feedback. // Physics Letters A, v. 180, pp. 99-102, 1993. pp. 92-103,1995.

41. Kaifen H., Gang H. Feedback control of chaotic motions and unstable wave packets in a space-time-dependent systems. // Physical Review E, v. 53, N 3, pp. 2271-2282, 1996.

42. Nakajima H. On analitycal properties of delayed feedback control of chaos. // Physics Letters A, v. 232, pp. 207-210, 1997.

43. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Strelkova G.I. Controlling Chaos in the Modified Oscillator with Inertial Nonlinearity. // IEEE Trans, on Circuits and Systems I, v. 42, N. 6, pp. 366-368, 1995.

44. Jackson E.A. On the control of complex dynamic systems. // Physica D, v. 50, pp. 341-366, 1991.

45. Jackson E.A., Kodogeorgiou A. Entrainmant and migration controls of two-dimentionals maps. // Physica D, v. 54, pp. 253-265, 1992.

46. Рождественский В.В. Синхронизация гладких периодических отображений внешним периодическим сигналом. // Радиотехника и электроника, т.42, N 3, стр. 307-312, 1997.

47. Chacon R. Suppression of chaos by selective resonant parametric perturbations. // Physical Review E, v. 51, N 1, pp. 761-764, 1989.

48. Cicogna G., Fronzoni L. Effects of parametric perturbations on the onset of chaos in the Josefson-junction model: Theory and analog experiments. // Physical Review A, v. 42, N 4, pp. 1901-1906, 1990.

49. Lima R., Pettini M. Suppression of chaos by resonant parametric petur-bations. // Physical Review A, v. 41, N 2, pp. 726-733, 1990.

50. Fronzoni L., Giocondo M., Pettini M. Experimental evidence of suppression of chaos by resonant parametric peturbations. // Physical Review A, v. 43, N 12, pp. 6483-6487, 1991.

51. Kivshar Y.S., Rodelsperger F., Benner H. Suppression of chaos by non-resonant parametric perturbations. // Physical Review E, v. 49, N 1, pp. 319-324, 1994

52. Chen G., Xiaoning D. Prom chaos to order perspectives and methdolo-gies in controlling chaotic nonlinear dynamical systems. // International Journal of Bifurcation and chaos, v. 3, N 6, pp.1363-1409, 1993.

53. Lindner J.F., Ditto W.L. Removal, supression, and control of chaos by nonlinear design. // Applied Mechanics Review, v. 48, N 12, pp. 795-808, 1995.

54. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волховский А.Р. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление. // Успехи Современной Радиоэлектроники, N 10, стр. 27-49, 1997.

55. Дудник Е.Н., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Романовский Ю.М. Синхронизация в системах состранным аттрактором. // Вестник Московского университета, серия 3, т. 24, N 4, стр. 84-87, 1983.

56. Анищенко B.C., Астахов В.В. Бифуркационные явления в автостохастическом генераторе при внешнем резонансном воздействии. // Журнал технической физики, т. 53, N 11, стр. 2165-2169, 1983.

57. Кузнецов.Ю.И., Ланда П.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М. Порог синхронизации как характеристика фазового перехода хаос порядок. // Препринт. Физический факультет МГУ. -М., 1984.

58. Кузнецов Ю.И., Ланда П.С., Ольховой А.Ф. Амплитудный порог синхронизации как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах. // ДАН СССР, т. 281, N 2, стр. 1164-1169, 1985.

59. Ланда П.С., Рендель Ю.С., Шер В.А. Синхронизация колебаний в системе Лоренца. // Известия ВУЗов, Радиофизика, т. 32, N 9, стр. 1172-1174, 1989.

60. Рождественский В.В., Рождественский Ю.В. Синхронизация автостохастических систем импульсным сигналом. // Письма в ЖТФ, т. 23, N 8, стр. 47-52, 1997.

61. Аншценко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова М.А. Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса. // Радиотехника и электроника, т. 36, N 2, стр. 338-351, 1991.

62. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova М.А. Synchronization of chaos. // International Journal of Bifurcation and Chaos, v. 2, no. 3, pp. 633-644, 1992.

63. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Sosnovtseva O.V., Wu C.W., Chua L.O. Dynamics of the nonautonomous Chua's ciecuit. // Internetional Journal of Bifurcation and Chaos, v. 5, N 6, pp. 15251540, 1995.

64. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators. // Physical Review Letters, v. 76, N 11, pp. 18041807, 1996.

65. Pikovsky A.S., Rosenblyum M.G., Kurths J. Synchronization in a population of globally coupled chaotic oscillators.// Europhysics Letters, v. 34, N 3, pp. 165-170, 1996.

66. Pikovsky A.S., Rosenblyum M.G., Osipov G.V., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving.// Physica D, v. 104, pp.219-238, 1997.

67. Osipov G.V., Pikovsky A.S., Rosenblyum M.G., Kurths J. Phase synchronization effects in a lattice of nonidentical Roessler oscillators. // Physical Review E, v. 55, pp. 2353-2361, 1997.

68. Shalfeev V.D., Osipov G.V. Chaotic phase synchronization of coupled PLL. // In: Proceedings of 5th International Specialist Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems", June 26-27, Moscow, Russia, pp. 139-144, 1997.

69. Fujisaka H., Yamada T. Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems. // Progress of theoretical physics, v. 69, N 1, pp. 32-47, 1983.

70. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах. // Известия ВУЗов, Радиофизика, т. 29, N 9, стр. 1050-1060, 1986.

71. Pekora L.M., Caroll T.L. Synchronization in chaotic systems. // Physical Review Letters, v. 64, N 8, pp. 821-824, 1990.

72. Viera M. S., Liehtenberg A.J., Lieberman M.A. Synchronization of regular and chaotic systems. // Physical Review A, v. 46, N 12, pp. 7359-7362. 1992.

73. Chua L.O., Iton M., Kocarev L., Eckert K. Chaotic synchronization in Chua's circuit. // Journal of Curcuits, Systems and Computers, v. 3, N 1, pp. 93-108, 1993.

74. Алексеев А.А., Шалфеев В.Д. Стохастическая синхронизация в ансамбле автоколебательных систем с обратной связью. // Письма в ЖТФ, т. 19, N 21, стр. 12, 1993.

75. Heagy J.F., Carroll T.L., Pecora L.M. Synchronous chaos in coupled , oscillator systems. // Physical Review E, v. 50, N 3, pp. 1874-1885, 1994.

76. Белых И.В. Синхронизация диффузионно связанных неавтономных хаотических маятников. // Известия ВУЗов, серия Радиофизика, т. 38, NN 1-2, стр. 69-73, 1995.

77. Белых В.Н., Веричев Н.Н. Пространственно однородные автоволновые процессы глобальная синхронизация в системах с переносом и диффузией. // Известия ВУЗов, серия Радиофизика, т. 39, N 5, стр. 588-596, 1996.

78. Rulkov N.F. Images of synchronized chaos: experiments with circuits. // Chaos, v.6, N 3, pp. 262-279, 1996.

79. Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I. Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems. // Physical Review E, v. 51, pp. 980-995, 1995.

80. Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M.M. Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach. // Physical Review E, v. 53, pp. 4528-4535, 1996.

81. Nijmeijer H., Blekhman I.I., Fradkov A.L., Pogromsky A.Y. Self-synchronization and controlled synchronization. //In: Proceedings of the 1st International Conference on Control of Oscillations and Chaos, August 27-29, v. 1, pp. 36-41, 1997.

82. Kocarev L., Halle K.S., Eckert K., Chua L., Parlitz U. Experimental demonstration of secure communications via chaotic synchronization. // International Journal of Bifurcation and Chaos, v. 2, N 3, pp.709713, 1992.

83. Parlitz U., Chua L., Kocarev L., Halle K., Shang A. Transmission of digital signals by chaotic synchronization. // International Journal of Bifurcation and Chaos, v. 2, N 4, pp. 973-977, 1992.

84. Вельский Ю.Л., Дмитриев A.C. Передача информации с использованием детерменированного хаоса. // Радиотехника и Электроника, т. 38, N 7, стр. 1310-1315, 1993.

85. Козлов А.К., Шалфеев В.Д. Избирательное подавление детерминированных хаотических сигналов. // Письма в ЖТФ, т. 19, N 23, стр. 83-87, 1993.

86. Волховский А.Р., Рульков Н.Ф. Синхронный хаотический отклик нелинейной колебательной системы как принцип детектирования информационной компоненты хаоса. // Письма в ЖТФ, т. 19, N 3, стр. 72-77, 1993.

87. Алексеев А.А., Козлов А.К., Шалфеев В.Д. Хаотический режим и синхронный отклик в генераторе, управляемом по частоте. // Известия ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика, т. 2, N 1, стр. 71-77, 1994.

88. Козлов А.К., Шалфеев В.Д. Управление хаотическими колебаниями в генераторе с запаздывающей петлей фазовой автоподстройки. // Известия ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика, т. 2, N 2, стр. 36-48, 1994.

89. Rosenblyum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. Prom phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators. // Physical Review Letters, v. 78, pp. 4193-4196, 1997.

90. Ashvin P., Buescu J., Stewart I. Bubbling of attractors and synchronisation of chaotic oscillators. // Physics Letters A, N 193, pp. 126-139, 1994.

91. Ashvin P., Buescu J., Stewart I. Prom attractors to chaotic saddle: a tale of transverse instability. // Nonlinearity, v.9, pp. 703-737, 1996.

92. Hasler M. Strong and weak forms of synchronization of chaotic systems. // In: Proceedings of International specialist workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, June 26 27, Moskow, pp.2-7, 1997.

93. Astakhov V., Shabunin A., Kapitaniak T. Anishchenko V. Loss of chaos synchronization through the sequence of bifurcations of saddle periodic orbits. // Physical Review Letters, v. 79, N 6, pp. 1014-1017, 1997.

94. Lai Y., Grebogi C. Synchronization of chaotic trajectories using control. // Physical Review E, v. 47, N 4, pp.2357-2360,1993.

95. Lai Y., Grebogi C. Synchronization of spatiotemporal chaotic systems by feedback control. // Physical Review E, v. 50, N 3, pp. 1894-1899, 1994.

96. Newell T.C., Alsing P.M., Gavrielides A., Kovanis V. Synchronization of chaos using proportional feedback. // Physical Review E, v. 49, N 1, pp. 313-319, 1994.

97. Bernardo M., An adaptive approach to the control and synchronization of continuous-time chaotic systems. // International Journal of Bifurcation and Chaos, v. 6, N 3, pp. 557-568, 1995.

98. Suykens J.A.K., Curran P.F., Chua L.O. Master-slave synchronization using dynamic output feedback. // International Journal of Bifurcation and Chaos, v. 7, N 3, pp. 671-679, 1996.

99. Peng J.H., Ding E.J., Ding M., Yang W., Synchronization hyperchaos with a scalar transmitted signal. // Physical Review Letters, v. 76, N 6, pp. 904-907, 1996.

100. Malescio G. Synchronization of chaotic systems by continuous control.// Physical Review E, v. 53, N 3, pp. 2949-2952, 1996

101. Duan C.K., Yang S.S. Synchronization hyperchaos with a scalar signal by parameter controoling. // Physics Letters A, v. 229, pp. 151-155, 1997.

102. Yang J., Hu G., Xiao J. Chaos synchronization in coupled oscillators with multiple positive lyapunov exponents. // Physical Review Letters, v. 80, N 3, pp. 496-499, 1998.

103. Matsumoto Т., Chua L.O., Komuro M. The double scroll. // IEEE Trans, on Circuits and Systems, v. CAS-32, N 8, pp. 797-818, 1995.

104. Komuro M., Tokunaga R., Matsumoto Т., Chua L.O., Hotta A. Global bifurcation analysis of the double scroll circuit. // International Journal of Bifurcation and Chaos, v. 1, N 1, pp. 139-182, 1991.

105. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V., Wu C.W., Chua L. Dynamics of two coupled Chua's curcuits. // International Journal of Bifurcation and Chaos, v. 5, N 6, pp. 1677-1699, 1995.

106. Kaneko K. Simulating physics with coupled map lattices. // In: Formation, dynamics and statistics of patterns, Singapore. World Scientific, v. 1, p. 1-54, 1989.

107. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Пространственные структуры в дис-сипативных средах у порога возникновения хаоса. // Известия ВУЗов, Радиофизика, т. 34, N 2, стр. 142-146, 1990.

108. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика решеток связанных отображений у порога хаоса. // Известия ВУЗов, Радиофизика, т. 34, N 10-12, стр. 1079-1115, 1991.

109. Gang H., Zhilin Q. Controlling spatiotemporal chaos in coupled map lattice systems. // Physical Review Letters, v. 72, N 1, pp. 68-71,1994.

110. Auerbach D. Controlling extended systems of chaotic elements. // Physical Review Letters, v. 72, N 8, pp. 1184-1187, 1994.

111. Sole R.V., Prida L.M. Controlling chaos in discrete neural networks. // Physics Letters A, v. 199, pp. 65-69, 1995.

112. Grigoriev R.O., Cross M.C., Shuster H.G. Pinning control of spatiotemporal chaos. // Physical Review Letters, v. 79, N 15, pp. 2795-2798, 1997.

113. АН M.K., Fang J. Synchronization of spatiotemporal chaos using nonlinear feedback functions. // Diskrete Dynamics in Nature and Society, v. 1, pp. 179-184, 1997.

114. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н., Селезнев Е.П. Формы колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумов-ских системах. // Журнал Технической Физики, т. 60, N 10, стр. 19-26, 1990.

115. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям М.: Мир, 1989, 639 стр.

116. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.П., Селезнев Е.П. Муль-тистабильные состояния в диссипативно связанных Фейгенбаумов-ских системах. // Письма в ЖТФ, т. 15, N 3, стр. 60-65, 1989.

117. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Мультистабильность в системе радиотехнических генераторов с емкостной связью. // Радиотехника и Электроника, т. 36, N 11, стр. 2167-2172, 1991.

118. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И. Формирование мультисиабильности, классификация изомеров и их эволюция в связанных фейгенбаумовских системах.// Известия ВУЗов. Радиофизика, т. 34, N 1, стр. 35-38, 1991.

119. Анищенко B.C., Астахов В.В., Летчфорд Т.Е., Сафонова М.А. К вопросу о стуктуре квазигиперболической стохастичности в инерционном генераторе. // Известия ВУЗов. Радиофизика, т. 26, N 7, стр. 832-842, 1983.

120. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981, 352 стр.

121. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967, 639 стр.

122. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. / / Журнал экспериментальной и теоретической физики, т. 21, N 5, стр. 588-597, 1951.

123. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом. // Успехи физических наук, т. 44, N 1, стр. 7-20, 1951.

124. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979.

125. Crutchfild J.P., Kaneko К. Phenomenology of spatio-temporal chaos. // In: Directions in chaos Singapure: World Scientific, pp. 272, 1987.

126. Публикации по теме диссертации:

127. Astakhov V.V., Shabunin A.V. The bifurcation analysis of coupled Chua's circuit. // In: Interrnational Conference "Differential equations: bifurcations and chaos", Katsiveli, Ukraine, May 3-14, p. 10, 1994.

128. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Shabunin A.V. Controlling Spa-tiotemporal Chaos in a Chain of the Coupled Logistic Maps. // IEEE Trans, on Circuits and Systems I, v. 42, N 6, pp. 352-357, 1995.

129. Аншценко B.C., Астахов В.В., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В. Стабилизация симметричных седловых циклов в связанных системах с хаотической динамикой. // Известия ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика, т. 3, N 4, стр. 73-80, 1995.

130. Астахов В.В., Сильченко А.Н., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В., Ани-щенко B.C. Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов. // Радиотехника и Электроника, т. 41, N 11, стр. 13231331, 1996.

131. Astakhov V.V., Shabunin A.V., Silchenko A.N., Strelkova G.I., Anishchenko V.S. Controlling chaos in the system of coupled Chua's oscillators. // In: International Conference "Nonlinear dynamics and chaos.

132. Applications in physics, biology and medicine", Saratov, Russia, July 8-14, p.23, 1996.

133. Shabunin A.V. Chaos synchronization in coupled self-oscillators by parametric excitation. // In: International Conference "Applied chaotic systems", Inowlodz/Lodz, Poland, September 26-30, p.23, 1996.

134. Астахов В.В., Шабунин А.В. Синхронизация хаотических осцилляторов посредством периодической модуляции коэффициента связи. // Известия ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика, т. 5, N 1, стр. 15-29, 1997.

135. Астахов В.В., Шабунин А.В., Сильченко А.Н., Стрелкова Г.И., Ани-щенко B.C. Нелинейная динамика двух связанных через емкость генераторов Чуа. // Радиотехника и Электроника, т.42, N 3, стр.320327, 1997.

136. Астахов В.В., Шабунин А.В., Анищенко B.C. Спектральные закономерности при формировании мультистабильности в связанных генераторах с удвоением периода. // Радиотехника и Электроника, т. 42, N 8, стр. 974-981, 1997.

137. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Kapitaniak Т., Shabunin A.V. Synchronization of chaotic oscillators by periodic parametric perturbations. // Physica D, v. 109, N 1-2, pp. 11-16, 1997.