Синтез волноведущих систем с использованием конечно-разностных методов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА.

На правах рукописи.

•' да

Минаев Дмитрий Валерьевич

УДК 621.372.2

Синтез волноведущих систем с использованием конечно—разностных методов.

Специальность 01.01.03 "Математическая физика"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико—математических наук. ■

МОСКВА- 1995г.

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им.М.В-Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико—математических наук,

доцент А.Н.Боголюбов Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю-А-Пирогов кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Т.Н.Галшшшкова

Ведущая организация: Институт прикладной математики им.М.В.Келдыша

Защита состоится ... ¿-Р 19^года в час. мин. на заседании

Диссертационного совета К 053.05.18 на физическом факультете Московского государственного университета. кДЛ ? сгл С-ф/1

Адрес МГУ: 119899, Москва, Ленинские горы.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного совета,

доктор физико—математических наук, профессор —• П.А.Поляков

_Актуальность темы

' В последнее время все большее применение в науке и технике находят системы СВЧ и интегральной оптики. Так в системах передачи информации все чаще используются диэлектрические волноводы и датчики на их основе. Преимущества таких систем перед металлическими проводами и радиолиниями состоят в основном в следующем: . • невосприимчивость к электромагнитным помехам;

• отсутствие риска "короткого замыкания";

• безопасность работы в окружении горючих веществ;

• безопасность, связанная с радиоперехватом или подслушиванием;

• большая пропускная способность;

• малые габариты и вес.

Однако широкое применение, таких систем в настоящее время/ одерживается определенными трудностями, возникающими при соединении; ответвлении и т.п. волноводов. Затухание и искажение волн в таких системах могут привести к искажению и потере информации. Поэтому- синтез волноводных соединений является весьма интересным и важным в практическом отношении вопросом.

Сложности геометрии и неоднородности заполнения рассматриваемых систем затрудняет применение для их расчета широко известных- методов, связанных с разложением по полным системам функций. Поэтому точное аналитическое решение можно получить только для очень узкого Крута подобных задач. Это определило необходимость разработки новых численных методов. Математической моделью задачи возбуждения диэлектрических волноведущих систем является начально — краевая задача для уравнения или системы уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами в области сложной формы. При решении таких задач наиболее универсальным является метод конечных разностей.

Кроме того, следует отметить, что многие, известные алгоритмы расчета рассматриваемых систем накладывают весьма жесткие требования на ресурсы ЭВМ. Поэтому разработка эффективных методов расчета на ЭВМ, не требую—

щих больших мощностей, даст возможность рассчитывать математические модели широкому кругу пользователей.

Цель и задачи работы.

Целью диссертации является разработка эффективных алгоритмов решения задачи синтеза сложных волноведущих систем, в частности, согласующих, волноводных переходов и волноводных трансформаторов, позволяющих конструировать сложные волноведущие системы с заданными эксплуатационными характеристиками. Для этого необходимо:

• разработать эффективный алгоритм расчета прямой задачи;

• разработать алгоритм минимизации функционала оптимизации в области с ограничениями, причем оператор этой задачи оказывается нелинейным и несамосопряженным;

Кроме того, в задачах расчета открытых систем техники СВЧ и интегральной оптики при использовании конечно—разностного подхода возникает дополнительная задача ограничения области, в которой ищется решение. Для этого можно, например, провести фиктивную границу области и поставить на ней условия типа условий излучения.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Реализован эффективный'алгоритм минимизации функционала при наличии ограничений, основанный на методе скользящего допуска;

2. Постановка задачи синтеза рассматривается как типично некорректная, для решения которой используется метод регуляризации Тихонова;

3. Разработан и реализован эффективный алгоритм прямой трехмерной задачи расчета волноводногр перехода сложной формы, позволяющий рассчитывать переходы типа скруток с переменным сеченнем и вырезанной сердцевиной;

4. В двухмерном случае получены и реализованы эффективные граничные условия типа условий излучения, позволяющие рассчитывать открытые волноводные переходы.

Практическая пенность работы.

Результаты работы могут быть использованы:

• При расчете соединения двух планарных открытых в закрытых волноводов разных поперечных сечений;

• При расчете соединения двух овальных закрытых волноводов с разными диаметрами поперечных сеченнй;

• При расчете волноводаых переходов типа скрутки;

• При разработке систем передачи и обработки информации на основе . волноведущих структур;

• При разработке волповодных трансформаторов.

Апробапия работы,

Результаты работы докладывались на семинарах кафедры математики физического факультета МГУ, на Ломоносовских чтениях 1992 года и на V международной конференции "Лазеры в медицине, науке и технике".

Публикация. Основные результаты работы опубликованы в 3-х работах.

Структура дяссергапия.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Во введении рассмотрена актуальность темы, ее научное и практическое значение, а также некоторые особенности задач рассматриваемого типа.

Первая глава посвящена разработке эффективного алгоритма расчета плоского согласующего перехода между двумя пленарными волноводами с разным диаметром поперечного сечения.

В п. 1.1 приведена постановка задачи. Рассматривается соединение двух планарных волноводов с идеально проводящими стенками. Волноводы соединяются волноводным переходом. На вход первого волновода подается энергия по заданной моде. Такая задача сводится к интегрированию уравнения Гельмгольца. Показано, что для построения устойчивого численного алгоритма необходимо решать краевую задачу в ограниченной области, Для ограничения области слева и справа на регулярных частях волноводов ставятся парциальные условия излучения в интегральной форме-. На верхней и нижней границах ставятся нулевые граничные условия.

В п.1.2 дана постановка конечно—разностной задачи. Из—за необходимости более точной аппроксимации геометрии границы, выбирается неравномерная сетка. Построение разностной схемы проводится методом баланса. При этом матрица полученной алгебраической системы оказывается блочно —

трехдиагональной. Система решается методом матричной прогонки. Приведены получающиеся матрицы, их заполнения, а также численный алгоритм решения. Приведен алгоритм восстановления матрицы рассеяния (амплитуд прошедших и отраженных волн) по значениям дискретного поля.

В п. 1.3 проведено исследование разностной схемы. Показано, что оператор Гельгольца аппроксимирован с точностью

До

' о(Лхт4.,-ЛхП1)+о(Луш1ч.1-ЛуШ1)+о(йх^+Лу2л), где Лх„ —шаг сетки по х в ш—ом узле,

Ьут — шаг сетки по у в ш —ом узле по х и п—ом узле по у.

При достаточной малой разности шагов получен второй порядок аппроксимации. Аппроксимация граничного оператора произведена методом трапеций, а потому имеет второй порядок. Показано накопление ошибки при послойном пересчете поэтому для обращения матрицы используется прямой метод прогонки.

В п. 1.4 приведены результаты расчета для различной конфигурации системы. Приведены матрицы рассеяния и графики зависимости энергии прошедших мод от длины волноводного перехода и соотношения диаметров поперечных сечений. Полученные результаты показывают, что потери энергии тем меньше, чем ближе диаметры поперечных сечений регулярных частей волноводов ,и чем меньше собственных волн могут распространяться по волноводам. Проведенные сравнение с результатами других авторов показывают хорошее соответствие полученных результатов с ранее известными.

Вторая глава посвящена расчету плоского согласующего перехода между двумя пленарными волноводами. Рассматривается обратная задача.

В п.2.1 дана формулировка обратной задачи. Ищется форма границы плавного перехода,- наилучшим образом согласующая два плоских волновода, рассмотренных в первой главе. Согласование ведется по передаче мощности из

первого волновода на заданную иоду второго. Геометрия границы задается в виде двух согласованных кубических сплайнов. Указано, что алгоритм позволяет решать задачу в достаточно широком классе формы границы. Таким образом, ищется

гег '

где А— амплитуда падающей волны на входе первого волновода, Ф[г] — амплитуда низшей моды на входе второго волновода, г— набор параметров границы. Полученная задача является типично некорректной. Для ее введения в класс корректности строится сглаживающий функционал Тихонова.

Сформулирована и доказана теорема о корректности построения сглаживающего функционала, показывающая, что построенная последовательность является минимизирующей.

В п.2.2 рассматриваются методы оптимизации. Указано на причины, препятствующие применению широко известных .методов минимизации функционала с ограничениями. Показано, что оператор задачи является несамосопряженным и знаконеопределенным. В качестве ме.'ода оптимизации реализован алгоритм на основе метода скользящего допуска. Дана краткая аннотация алгоритма. Приведены критерии сходимости. Показано, что решение исходной задачи эквивалентно полученной по методу скользящего допуска.

В п.2.3 дана постановка задачи синтеза. Указано, что во многих практических целях не обязательно находить наилучшее согласование по энергиям. Достаточно удовлетворить некоторым критериям. Исходя из этого ставится задача синтеза формы геометрии волноводного перехода, при которой достигается заданное согласование.

В> п.2.4 приведены результаты расчета задачи синтеза волноводного перехода для различных конфигураций системы. Оказалось, что практически полное согласование можно достичь даже при однородном заполнении, изменяя форму геометрии границы. Кроме того, если система имеет характеристики,

Блззхшг к идеальным (го есть отношение диаметров поперечных сечений регулярных частей волноводов близко к единице и в системе энергия может распространяться только по низшей моде) достигается наилучшее согласование.

В третьей главе рассматриваются вопросы, связанные с эффективными граничными условиями.

В п.3.1 рассматривается следующая задача: имеются два* планарных волновода различных поперечных сеченнй с идеально—проводящими стенками. Волноводы соединяются открытым согласованным переходом. В такой задаче, для ограничения области расчета, необходимо поставить эффективные граничные условия на некоторой фиктивной границе. В данной случае эти условия,ставятся непосредственно на границе перехода.

В п.3.2 с помощью интегральных преобразований . получаются эффективные граничные условия. Получены условия типа условий излучения в виде:

кз • да с

где К— интегральный оператор.

В п.3.3 рассматривается задача о рассеянии волн на щели. Такая модель позволяет исследовать влияние нарушения защитного покрытия одной из стенок на распространение волн в плоском волноводе. В качестве К выступает интегральный оператор с ядром в виде функции Ханкеля. Полученная конечно—разностная задача решается методом матричного окаймления. Вектор — столбец значений поля в узлах сетки представляется в виде двух столбцов, в одном вз которых содержатся значения поля в узлах сетки на открытой верхней границе. Тогда матрица системы может быть представлена в окаймленном виде, где матрицы окаймления действуют на столбец, содержащий значения поля в граничных узлах. Приведен алгоритм расчета диаграммы направленности излучения в далней зоне. Диаграмма ищется в виде: *

Приведены результаты расчета для различной ширины открытой границы. 'Приведены матрицы рассеяния. Разработанный алгоритм не накладывает никаких ограничений на количество и ширину щелей. Данная задача может быть использована для расчета волноводных трансформаторов.

В п.3.4 рассматривается задача о рассеянии волн на системе щелей. С помощью алгоритма, изложенного в п.3.3 решается конечно—разностная задача. Диаграмма направленности ищется в виде:

л Л+2£,

ЯГО-2

где п—число щелей; 21, —ширина 1—ой щели.

Приведены диаграммы направленности для различных конфигураций системы.

В н.3.5 рассмотрена задача синтеза диаграммы направленности. С помощью алгоритма, изложенного во второй главе ищется минимум функционала невязки. Для введения задачи в класс корректности использован регуляризирующий алгоритм Тихонова. Приведены примеры решения.

В главе 4 рассматривается задача расчета полноводного перехода между двумя коаксиальными волноводами овальной формы.

В п.4.1 дана постановка задачи. Рассматриваются волноводы с вырезанной сердцевиной. Такие волноводы находят широкое применение для механического усиления системы, а также для возможности подпитки или синхронизации. С помощью замены переменных

г

р = —---—

1 + а(г) со5 <р

овал сводится к кругу. А с помощью метода параболического приближения полученное эллиптическое уравнение сводится к параболическому.

В п.4.2 дается постановка конечно—разностной задачи. С помощью метода баланса строится разностная схема. Полученная система решается методом* переменных направлений. Сначала проводится прогонка по р. Затем проводится циклическая прогонка по <р. Приведены формулы данного метода.

В п.4.3 приведены исследования разностной схемы. Спектральным методом получены необходимые условия устойчивости, накладываемые на физические' параметры исходной задачи.

Ьг=о(л?) Л„=<<ЛГ2)

. В п.4.4 приведены примеры решения прямой задачи. Рассмотрены случаи, когда на сердцевине и на внешней границе волновод—вакуум ставятся нулевые и ненулевые граничные условия. Приведенные результаты показывают, что поле "поджимается" к области с нулевыми условиями.

В п.4.5 дана постановка обратной задачи и задачи синтеза. Постановка проводится аналогично рассмотренной в главе 2. Необходимо найти такую форму границы волноводного перехода .типа скрутки, при которой достигается наперед заданное согласование по энергиям. Полученная некорректная- задача вводится в класс корректности с помощью сглаживающего функционала. Минимизация функционала проводится на основе метода скользящего допуска.

В п.4.6 приведены примеры решения задачи синтеза.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты работы состоят в следующем: Рассмотрена с применением метода регуляризации и метода конечных разностей для ее решения задача синтеза волноводного перехода между двумя плоскими волноводами разного диаметра в достаточно полной математической постановке как некорректная задача.

- u-

• Рассмотрена задача синтеза волноводного перехода между двумя овальными волноводами с разными диаметрами поперечно сечения, допускающая расчет переходов типа скрутки.

• ' Построен экономичный конечно—разностный алгоритм решения прямой

задачи расчета волноводного перехода в двухмерных и трехмерных случаях для сложного заполнения и регулярной геометрии.

• В двухмерном случае построены эффективные граничные условия типа условий излучения, ставящиеся на границе волноводный переход— внешнее. пространство и ограничивающие область, в которой ищется решение.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положении

диссертации:

• Методы и алгоритмы решения прямой задачи расчета двухмерных и трехмерных волноводиых переходов на основе конечно—разностного подхода.

• Постановка задачи синтеза волноводиых 'переходов как типично некорректной с построением сглаживающего функционала.

• Алгоритм минимизации нелинейного функционала в области с ограничениями на основе метода скользящего допуска.

• Эффективные граничные условия, ограничивающие область решения задачи о плоском открытом волноводном переходе.

• Результаты синтеза волноводиых переходов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Минаев Д.В., Сычкова A.B. "Расчет диэлектрических волноведущих систем конечно—разностным методом", РЭ, 1993, 38, N5, с.804 — 810

2. Боголюбов А.Н., Минаев Д.В. "Синтез плоского волноводного перехода" , Вестник МГУ, Сер.З Физика Астрономия, 1993, 34, N2, с.67-69

3. Боголюбов AR, Делицин AJV., Красильникова AB., Минаев Д.В. "Конечно-разностные методы расчета волноведущих систем интегральной оптики (тезисы доклада)" 5 — я Международная научно-техническая конференция "Лазеры в науке, технике, медицин«" Суздаль, 20—22 сентября 1994.