Вариационно-разностные методы в задачах моделирования волноведущих систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

1 Проблема математического обоснования вариационно-разностного подхода к численному моделированию волно-ведущих систем

1.1 Математическая постановка задачи.

1.2 Решение задачи методом конечных элементов.

2 Асимптотика электромагнитного поля в окрестности ребра в волноводе для постановки с V2 в главной части

2.1 Постановка задачи

2.2 Решение задачи в бесконечном секторе

2.3 Построение асимптотики решения в бесконечном секторе

2.4 Решение задачи в конечной области.

3 Асимптотическое представление электромагнитного поля волновода в окрестности ребра границы для постановки с grad div в главной части

3.1 Постановка задачи.

3.2 Решение задачи в бесконечном секторе.

3.3 Построение асимптотики решения в бесконечном секторе

3.4 Решение задачи в случае конечной области

Настоящая диссертация посвящена получению асимптотического представления электромагнитного поля в окрестности ребра границы и применению полученной асимптотики в задачах моделирования волноведу-щих систем на основе метода конечных разностей в вариационной постановке.

Начало строгой математической теории волноведущих систем было положено в 1947-1948 годах классическими работами А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [1]-[3].

В опубликованной в 1948 году работе "О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ", вышедшей в " Журнале технической физики", строго доказано, что любое поле в регулярном волноводе в области, свободной от внешних токов и зарядов, может быть представлено в виде суперпозиции поперечноэлектрических и поперечномагнитных волн. В работе " О возбуждении радиоволноводов", опубликованной в " Журнале технической физики" в 1947 году, проведены фундаментальные исследования, послужившие основой для создания строгой математической теории возбуждения радиоволноводов произвольным распределением заданного тока.

Можно сказать, что после фундаментальных работ А.Н. Тихонова, А.А. Самарского [1]-[3], Г.В. Кисунько [4], П.Е. Краснушкина [5], А.Г. Свешникова [6] и ряда других ученых высокочастотная электродинамика волноведущих систем превратилась в бурно развивающуюся строгую математическую теорию, определившую новое научное направление в математической физике.

Параллельно с развитием теории волноведущих систем развивались и численные методы расчета таких систем. Современная техника высокочастотных измерений в области сверхвысокочастотной электродинамики, интегральной и волоконной оптики требует универсальных и точных методов расчета. Приближенные аналитические методы уже далеко не всегда могут удовлетворить потребности практики. Поэтому возникает необходимость создания эффективных, универсальных и высокоточных численных алгоритмов расчета конкретных волноведущих систем.

Для расчета волноведущих систем применяются различные численные методы: метод нормальных волн, метод ВКБ, метод разложения в ряд функции диэлектрической проницаемости, неполный метод Галерки-на и ряд других. Однако один из самых мощных и универсальных численных методов — метод конечных разностей в прямой и вариационной постановках [7]-[31] (в последнем случае его обычно называют методом конечных элементов).

Метод конечных элементов основывается на слабой вариационной формулировке граничной задачи [7, 16, 32, 33, 34, 35]. Подобный подход позволяет максимально ослабить требования к гладкости решения и исследовать задачи с особенностями, например, с входящими углами [36, 37].

Метод конечных элементов основан на локальной аппроксимации решения кусочно-полиномиальными функциями. Исходная область разбивается на подобласти стандартного вида, в качестве которых выступают треугольники или четырехугольники, возможно с криволинейными границами.

Делая подобласть достаточно малой либо выбирая высокую степень полиномов, можно добиться, чтобы аппроксимирующая функция достаточно точно передавала локальное поведение решения. Метод конечных элементов позволяет сосредоточить внимание на стандартном конечном элементе и построить аппроксимацию независимо от местоположения данного элемента при разбиении области.

Этот метод может применяться для областей произвольной формы и граничных условий общего вида, причем возможно нерегулярное разбиение области. Это означает, что на расположение элементов при разбиении области не накладываются ограничения, что позволяет применять метод конечных элементов для широкого круга областей без использования глобальной фиксированной системы координат [8, 9, 16].

Метод конечных элементов хорошо зарекомендовал себя в таких областях как теория упругости, строительная механика, газо- и гидродинамика, физика плазмы, ядерная физика и целом ряде других областей, где он стал промышленным методом счета, до последнего времени применялся в электродинамике для расчета волноведущих структур весьма ограниченно. Это связано с хорошо известными сложностями применения метода конечных разностей к расчету волноведущих систем. Отметим в этой связи необходимость ограничения области, в которой ищется решение, с помощью эффективных граничных условий, разработки экономичных алгоритмов обработки разреженных кусочно-разностных матриц весьма высокого порядка, исключения нефизических фиктивных решений (так называемых "духов"), возникающих при использовании для расчетов волноводов метода конечных элементов [38]-[42]. Последнее обстоятельство приводит к необходимости использования вместо стандартных лагранжевых конечных элементов смешанных конечных элементов, достаточно широко применяемых при численном решении задач механики.

Особенно сложные проблемы возникают при обосновании сходимости метода конечных элементов и получении оценкок точности полученных приближенных решений. Начиная с 60 г. опубликовано большое количество работ по математическому обоснованию метода конечных элементов [7, 17, 37, 38],[43]-[54] и, в целом, можно считать его хорошо разработанным для линейных эллиптических задач. Доступность методов получения априорных и апостериорных оценок позволяет получить оценки погрешности результатов численного решения. Особенно хорошо техника метода конечных элементов разработана применительно к задачам теории упругости [36, 37, 47]. К сожалению, применительно к задачам электродинамики теоретическое обоснование вариационно-разностного подхода проведено пока еще недостаточно полно, хотя число работ по практическому использованию метода конечных элементов для расчета волноводов ежегодно увеличивается. Ключевыми при этом становятся спектральные задачи теории волноводов, исследование которых проводится функционально-аналитическими методами. Для расчета ТЕ и ТМ мод однородного металлического волновода используется скалярная постановка задачи [55]-[57]. В случае же неоднородного заполнения необходима векторная постановка, что приводит к существенному усложнению проблемы.

Существуют три версии метода конечных элементов: /г-версия, р-версия и h — р-версия [36, 37, 43]. В /i-версии степень элементов, используемых для аппроксимации, фиксирована, обычно р = 1,2,3, а точность достигается путем измельчения разбиения области. При использовании р-версии метода конечных элементов разбиение области остается фиксированным, а точность достигается путем увеличения порядка аппроксимации. р-версия и h—p версия появились сравнительно недавно, при этом h — р-версия, в которой точность достигается путем одновременного измельчения области и увеличения степени р полинома, является очень перспективным направлением. Применение h—p версии к случаю кусочно-аналитической области и кусочно-аналитических граничных условий дает экспоненциальную скорость сходимости [36].

В последнее время широко используются две модификации метода конечных элементов. Одной из них является метод гибридных конечных элементов, который использует независимые аппроксимации зависимой переменной внутри элемента и ее следов на границе. Идея аппроксимации гибридными конечными элементами быпа предложена в 1964 году Jones [58], который предположил, что снижение требований непрерывности на функции интерполяции может быть получено путем расмотре-ния условий непрерывности в качестве условий связи. Например, при при построении локальных гибридных аппроксимаций задачи Дирихле граничное условие рассматривается как условие связи, и в вариационной постановке задачи нормальная производная отождествляется с множителем Лагранжа. Затем строятся независимые полиномиальные аппроксимации для ia(x), хбПи для ее нормальной производной §^(х), х Е дО,. Таким образом, требования на непрерывность аппроксимации и(х) вдоль границ могут быть ослаблены. Математическая теория гибридных методов исследована в работах [16, 44, 51, 52].

Второй модификацией является метод смешанных конечных элементов, который представлен Herrmann [59]. Метод смешанных конечных элементов использует независимые аппроксимации для зависимой пере

-Ди = / в П 7ои = g на dQ менной и ее производных. В смешанных методах предполагается, что заданные операторы могут быть разложены с образованием систем уравнений более низкого порядка. Например, вместо задачи (*) может рассматриваться эквивалентная задача в Q

Vu = а -V<7 = / 7ои — д на dQ.

Затем строятся независимые полиномиальные аппроксимации и(х) и сг(х) = Vw(x).

Одной из весьма важных и сложных задач, требующих глубокого математического изучения, является задача о расчете электромагнитного поля в волноведущих системах при наличии ребер на их границах. Подобные задачи возникают при расчете металлических радиоволноводов, полосковых линий, систем интегральной и волоконной оптики. Существование угловых точек в сечении волновода приводит к особенностям в решениях краевых задач [60]-[68], что существенно осложняет применение численных методов для расчета подобных систем [33, 69, 36]. В частности, обобщенное решение задачи может не принадлежать классу iJ2 даже при гладкой правой части. В работах В.А.Ильина [70]-[72] показано, что у неидеального волновода в решении для магнитного вектора Герца наличие ребер приводит к появлению добавочного члена, учитывающего влияние угловой линии и имеющего логарифмическую особенность на ребре. Использование в этих случаях метода конечных элементов (как и других проекционных методов) оказывается значительно менее эффективным в связи с резким уменьшением скорости сходимости по сравнению со случаем волноводов с гладкой границей. Поскольку решение исходной задачи уже не обязательно является гладким (классическим), то не удается получить высокий порядок его аппроксимации (например, с помощью полиномов высокого порядка). Одним из способов повышения эффективности численных методов является выделение особенностей решения в явном виде, то есть построения асимптотики электромагнитного поля в окрестности ребра в волноводе. Здесь и далее под словом асимптотика подразумевается представление решения в виде суммы сингулярных функций, имеющих особенности вблизи угловой точки границы, и некоторой гладкой функции, для которой получена оценка в соответствующей норме. Отметим, что при подстановке такого представления в исходное уравнение оно обращается в верное равенство во всей области. В таком представлении добавочный член не является малым, поскольку для наших целей важна не малость, а гладкость добавки. При построении асимптотического представления существенно используются результаты по асимптотике решения эллиптических краевых задач, представленные в работах В. А. Кондратьева [60]-[62], а также С.А. Назарова и Б.А. Пламеневского [73]. В указанных работах рассматривается общая краевая задача для областей, граница которых содержит конечное число угловых точек. Решение рассматривается в специальных пространствах функций, имеющих производные, суммируемые с некоторым весом. Эти пространства хорошо улавливают основную особенность решений таких задач, состоящую в том, что решение является всюду, кроме угловых точек, гладким, а при приближении к угловой точке имеет степенную особенность. Дифференциальные свойства точных решений краевых задач и оценки сходимости приближенных решений к точным для уравнений Лапласа и Пуассона на многоугольниках установлены в работах [74]-[78]. Однако непосредственное применение этих результатов к волноводным задачам связано со значительными трудностями, обусловленными прежде всего спецификой системы уравнений Максвелла и векторным характером задачи. Оператор Максвелла в областях с негладкой идеально проводящей границей исследован в работах Бирмана М.Ш. и Соломяка М.З [63]-[66],[79]. Показано, что для областей с входящими ребрами оператор Максвелла на полях класса Соболева Q,) симметричен, но не не является самосопряженным даже для полого резонатора. Предлагается и анализируется определение оператора Максвелла в пространстве который оказывается самосопряженным. Исследованы главные особенности решения вблизи негладких точек границы. Установлено, что описание особенностей сводится к подобному вопросу для энергетических решений скалярных эллиптических уравнений второго порядка. Далее подобный подход распространяется на случай, когда область резонатора содержит экраны.

Таким образом, исследование свойств решения эллиптических краевых задач в окрестности особых точек границы является одним из весьма актуальных направлений современной математической физики, содержащим достаточное количество нерешенных проблем. Цель же настоящей работы — решение специального круга задач, связанных с исследованием поведения сингулярных решений в окрестности угловых точек границы.

Настоящая работа посвящена применению метода, предложенного впервые в работе Кондратьева В.А., к спектральным задачам расчета электромагнитного поля в волноводах. Предлагаемый в настоящей работе подход к исследованию волноводных задач позволяет получить асимптотическое представление электромагнитного поля в окрестности ребра в волноводе с точностью до членов произвольного порядка.

Перейдем к изложению содержания работы по главам.

Первая глава содержит обзор литературы и основные результаты по применению метода конечных элементов для решения спектральных эллиптических задач.

Во второй главе строится асимптотическое представление электромагнитного поля для постановки задачи с оператором V2 в главной части. Фактически в ней рассмотрение ограничивается собственными функциями, для которых справедлива принадлежность поперечных компонент магнитного поля Н± пространству Соболева Н1. Выписывается явный вид решения спектральной задачи в окрестности ребра, где поперечное сечение волновода совпадает с сектором. Некоторые результаты данной главы используются в следующей главе.

В третьей главе строится асимптотическое представление электромагнитного поля для более общей постановки задачи с оператором graddiv в главной части. Также строится явный вид решения в окрестности ребра, совпадающей с сектором.

В четвертой главе исследуется вопрос о применении метода смешанных конечных элементов к задаче вычисления мод волноводов. На основе асимптотического представления решения, полученного в предыдущей главе, оценивается скорость сходимости собственных значений и собственных векторов дискретной задачи к решениям дифференциальной.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, заключаются в следующем:

1. Доказана возможность использования метода аддитивного выделения особенности решения эллиптических краевых задач применительно к спектральным задачам теории волноводов. Метод заключается в построении резольвенты эллиптического оператора в пространстве Фурье-образов и исследовании ее полюс,ов. Данный метод позволяет рассматривать случай переменных характеристик среды вблизи особой точки границы. Подобный подход к исследованию волноведущих систем позволяет получить асимптотику электромагнитного поля вблизи входящего ребра границы с точностью до членов произвольного порядка.

2. Выписано в явном виде асимптотическое представление поля с точностью до членов второго порядка. Электромагнитное поле представлено в виде суммы сингулярной части и гладкой добавки, для которой получена оценка в соответствующей норме.

3. Полученное представление позволило доказать сходимость приближенного решения, построенного методом смешанных конечных элементов к точному решению и получить оценки скорости этой сходимости.

4. В частном случае диэлектрической проницаемости, постоянной вблизи ребра, получена оценка скорости сходимости значительно более высокого порядка, чем в общем случае.

Основные результаты, полученные в диссертации, заключаются в следующем:

1. Доказана возможность применения метода аддитивного выделения особенности решения эллиптического уравнения вблизи угловой точки границы для спектральных задач расчета электромагнитного поля в вол-новедущих системах. Применяемый подход к исследованию волноводных задач позволяет получить асимптотическое представление электромагнитного поля в окрестности ребра в волноводе с точностью до членов произвольного порядка при произвольной величине двугранного угла.

2. Выписана асимптотика электромагнитного поля вблизи ребра в волноводе с точностью до членов второго порядка. Решение представлено в виде суммы функции особенности и гладкой добавки, для которой получена оценка в соответствующей норме.

3. На основе полученного асимптотического представления доказана сходимость метода смешанных конечных элементов с использованием сингулярных пробных функций, позволяющих приблизить с заданной точностью решение, имеющее особенность вблизи ребра.

4. Получена оценка скорости сходимости приближенного решения к точному, справедливая также и в случае входящего двугранного угла.

5. В частном случае диэлектрической проницаемости, постоянной вблизи ребра, получен значительно боллее высокий порядок оценки скорости сходимости, чем в общем случае.

В заключение автор хотел бы выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Боголюбову А.Н. за постановку задачи, постоянное внимание к работе и огромную помощь.

Заключение

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О возбуждении радиоволноводов // ЖТФ, 1947, т.17, 11, с.1283-1296.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ. // ЖТФ, 1948, т.18, с.959-963.

3. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов II // ЖТФ, 1947, т.17, 12, с.1431-1440.

4. Кисунько Г.В. Электродинамика полых систем. — М. — JL: Изд-во ВКАС, 1949.

5. Краснушкин П.Е., Моисеев Е.И. О возбуждении вынужденных колебаний в слоистом радиоволноводе // ДАН, т.264, 5, с.1123-1127.

6. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М., 1991.

7. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980.

8. Oden J.Т. Finite Elements: An Introduction, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, 3-15.

9. Ciarlet P.G. Basic Error Estimates for Elliptic Problems, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, 17-351.

10. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. — М.: Мир, 1977.

11. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1989.

12. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.

13. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1983.

14. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. — М.: Наука, 1976.

15. Самарский А.А., Назаров Р.Д., Макаров B.JI. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. — М.: ВШ, 1987.

16. Oden J.Т., Reddy J.N. An Intoduction to the Mathematical Theory of Finite Elements. Wiley, New York, 1976.

17. Noor A.K. Books and monographs on finite element technology, Finite Elements in Analysis and Design, vol.1, 1, 1985, 101-111.

18. Rao S.S. The finite element method in engeneering, 2nd ed., Pergamon Press, Oxford, UK, 1989.

19. Зенкевич О., Морган К., Конечные элементы и аппроксимация. — М.: Мир, 1986.

20. Завадский В.Б. Вычисление волновых полей в открытых областях и волноводах. — М.: Наука, 1972.

21. Боголюбов А.Н., Свешников А.Г. Обоснование конечно-разностного метода расчета оптических волноводов. Журнал вычислит, матем. и матем. физики, 1979, т.19, 6, с.1496-1505.

22. Боголюбов А.Н., Лопушенко В.В. Расчет дисперсионных характеристик градиентных оптических волокон. Радиотехника и электроника, 1988, т.ЗЗ, 11, с.2296-2300.

23. Kikuchi F. Mixed and penalty formulations for finite element analysis of an eigenvalue problem in electromaghetism, Computer Methods in Applied Mechanics and Engeneering, vol.64, 1987, 509521.

24. Свешников А.Г., Боголюбов A.H., Митина И.В. Расчет двухслойного световода методом конечных разностей. Журнал вычислит. матем. и матем. физики, 1982, т.22, 5, 1187-1194.

25. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Митина И.В. Расчет газово-диэлектрического световода конечно-разностным методом. Радиотехника и электроника, т.27, 1982, с.401-408.

26. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. Применение метода конечных разностей к расчету световодов. В сб. Вычислительные методы и программирование. Вып.28, Изд-во МГУ, 1978.

27. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Митина И.В. Расчет оптических волноводов методом конечных разностей. В сб. Математические модели прикладной электродинамики. — М.: Изд-во МГУ, 1984.

28. Боголюбов А.Н., Едакина Т.В. Применение вариационно-разностных методов для расчета диэлектрических волноводов.

29. Вестник Моск. ун-та, Сер.З. Физика. Астрономия, 1991, т.32, 2, 6-14.

30. Боголюбов А.Н., Красильникова А.В. Расчет круглого диэлектрического волновода с произвольной формой профиля показателя преломления вариационно-разностным методом. Радиотехника и электроника, т.39, 1994, 2, с.233-240.

31. Боголюбов А.Н., Красильникова А.В., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Синтез волноведущих систем волоконной оптики и высокочастотной электродинамики // Радиотехника, 1997, 1, с.81-89.

32. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Минаев Д.В. Расчет согласующего волноводного перехода между двумя коаксиальными волноводами овальной формы. Вестник Моск. ун-та, Сер.З. Физика. Астрономия, 1997, 4, с.50-52.

33. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. — М.: Наука, 1981.

34. Оганесян Л.А., Руховец JI.A. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. — Ереван: Издательство Академии Наук Армянской ССР, 1979.

35. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. — М.: Наука, 1967.

36. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1973.

37. Babuska I., Guo B.Q. The h-p Version of Finite Element Method for Domains with Curved Boundaries, SIAM J. Numer. Anal., vol.25, 4, 1988, 837-861.

38. Babuska I. The p and h — p Versions of the Finite Element Method, the State of the Art. Proc. Finite Element Workshop, Voigt R. ed., Springer, New York, 1987.

39. Боголюбов A.H., Делицын A.JI. Расчет диэлектрических волноводов методом конечных элементов, исключающий появление нефизических решений, Вестник Моск. ун-та, Сер.З. Физика. Астрономия, 1996, 1, с.9-13.

40. Боголюбов А.Н., Лопушенко В.В. Разностные методы расчета диэлектрических волноведущих систем. // Электродинамика открытых структур миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов. Сб. науч. Тр./АН УССР, Харьков, 1990, с.42-52.

41. Свешников А.Г. , Боголюбов А.Н., Минаев Д.В., Сычкова А.В. Расчет диэлектрических волноведущих систем конечно-разностным методом. Радиотехника и электроника, т. 38, 5, 1993, с.804-810.

42. Боголюбов А.Н., Лопушенко В.В. Расчет дисперсионных характеристик градиентных оптических волокон методом конечных разностей, Радиотехника и электроника, т.33, 11, 1988, с.2296-2300.

43. Bermudes A., Pedreira D.G. A finite element method for computatition of waveguide // Numer. Math., 61, 1992, 2, p.39-57.

44. Babuska I., Suri M. The Optimal Convergence rate of the p-Version of the Finite Element Method. SIAM J. Numer. Anal. Vol.24, 4, 1987, 750-776.

45. Mercier В., Osborn J., Rappaz J., Raviart P. Eigenvalue Approximation by Mixed and Hybrid Methods. Mathematics of

46. Computation, vol.36, 154, 1981, 427-453.

47. Chatelin F. The spectral approximation of linear operators with applications to the computation of eigenelements of differential and integral operators, SIAM Review, vol.23, 4, 1981, 495-522.

48. Chatelin F. Spectral Approximation of Linear Operators. Academic Press, New York, 1983.

49. Babuska I., Osborn J. Eigenvalue Problems, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, 641-787.

50. Wahlbin L.B. Local Behavior in Finite Element Methods, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, 353-521.

51. Fix G.J. Eigenvalue Approximation by the Finite Element Method, Advanced in Mathematics, vol.10, 2, 1973, 300-316.

52. Nedelec J.C. Mixed Finite Elements in Д3, Numersche Mathematik, vol.35, 3, 1980, 315-341.

53. Raviart P.A., Thomas J.-M. Primal Hybrid Finite Element Methods for 2nd Order Elliptic Equations, Mathematics of Computation, vol.31, 138, 1977, 391-413.

54. Roberts J.E., Thomas J.-M. Mixed and Hybrid Methods, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, 523-639.

55. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977.

56. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976.

57. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. — М.: Радио и связь, 1987.

58. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. — М.: Мир, 1984.

59. Маркузе Д. Оптические волноводы. — М.: Мир, 1974.

60. Jones Е. A Generalization of the Direct-Stiffnness Method of Structural Analysis, AIAA J. Vol.2, N 5, pp.821-826, 1964.

61. Herrmann L.R. Finite Element Bending Analysis for Plates, J. Mech. Div., ASCE, Vol.93, N EM5, pp.13-26, 1967.

62. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками, Труды Московского Математического Общества, т.16, 1967, с.227-313.

63. Кондратьев В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности ребра // Дифференц. уравнения, 1970, т.6, 10, с.1831-1843.

64. Кондратьев В.А. Особенности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в окрестности ребра // Дифференц. уравнения, 1977, т.13, И, с.2026-2032.

65. Бирман М.Ш. Оператор Максвелла для резонатора с входящими ребрами // Вест. ЛГУ. сер.1, 1986, вып.З, с.3-9.

66. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Оператор Максвелла в областях с негладкой границей // Сиб. мат. журн., 1987, т.28, 1, с.23-36.

67. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Главные особенности электрической составляющей электромагнитного поля в областях с экранами // Алгебра и анализ, 1993, т.5, вып.1, с.143-159.

68. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. L2- теория оператора Максвелла в произвольных областях // Успехи мат. наук., 1987, т.42, вып.6, с.61-76.

69. Фикера Г. Асимптотическое поведение электрического поля и плотности электрического заряда в окрестности сингулярных точек проводящей поверхности // Успехи мат. наук, 1975, т.30, вып.З, с.105-124.

70. Фикера Г. Асимптотическое поведение электрического поля около сингулярных точек проводящей поверхности // Труды всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными. Изд-во МГУ, 1978, с.230-235.

71. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Могилевский И.Е. О математическом обосновании вариационно-разностного подхода к численному моделированию волноведущих систем // Вестн. МГУ. Сер. 3. Физ., астрон. 1998. 5. С.14.

72. Ильин В.А. Дифракция электромагнитных волн на некоторых неоднородностях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М. 1953.

73. Ильин В.А. Задачи электродинамики для неидеально проводящих тел, имеющих угловые линии. // ДАН СССР, 1954, т.97, 2, с.213-216.

74. Ильин В.А. О возбуждении неидеальных радиоволноводов. // ДАН СССР, 1954, т.97, 2, с.213-216.

75. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М., 1991.

76. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике. Труды Математического института АН, 77, 1965, с.89-112.

77. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа на многоугольниках. // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1965. Т.77. С.113-142.

78. Волков Е.А. О границах подобластей, весовых классах Гельдера и решении в этих классах уравнения Пуассона. // Тр. Мат. инта АН СССР. 1972. Т.117. С.75-99.

79. Волков Е.А. Приближенное решение блочным методом уравнения Лапласа на многоугольниках при аналитических смешанных краевых условиях. // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1992. Т.201. С.165-185.

80. Волков Е.А. Быстрый блочный метод решения уравнения Лапласа на многоугольниках при кусочно-постоянных граничных условиях. // Тр. Мат. ин-та РАН. 1995. Т.210. С.90-100.

81. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Самосопряженный оператор Максвелла в негладких областях // Алгебра и анализ. 1989. т.1. вып.1. С.96-110.

82. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.— М.: Наука, 1988.

83. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973.

84. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. — М.: Наука, 1989.

85. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях. Успехи Математических Наук, т.38, 2, 1983, с.3-76.

86. Babuska I., Guo B.Q. Regularity of the solution of elliptic problems with piecewise analytic data. Part 1. Boundary value problems for linear elliptic equation of second order. SIAM J. Math. Anal. 19, 1, 1988, 172-203.

87. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. Printman, Boston, MA, 1985.

88. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: Наука, 1983.

89. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973.

90. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. 4.1. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962.

91. Kolata W. Approximation in Variationally Posed Eigenvalue Problems, Numer. Math., vol.29, 1978, 159-171.

92. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

93. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. — М.: Наука, 1965.

94. Bramble J., Osborn J. Rate of Convergence Estimates for Non-selfajoint Eigenvalue Approximation, Mathematics of Computation, Vol.27, 123, July, 1973, 525-549.

95. Osborn J. Spectral Approximation for Compact Operators, Mathematics of computation, vol.29, 131, July 1975, 712-725.

96. Decloux J., Nassif N., Rappaz J. On spectral approximation. Part 1. The problem of convergence. RAIRO Numerical Analysis, vol.12, 2, 1978, 97-112.

97. Decloux J., Nassif N., Rappaz J. On spectral approximation. Part 2. Error estimates for the Galerkin method. RAIRO Numerical Analysis, vol.12, 2, 1978, 113-119.

98. Babuska I., Osborn J. Estimates for the errors in eigenvalue and eigenvector approximation by Galerkin methods, with particular attention to the case of multiple eigenvalues. SIAM J. Numer. Anal., vol.24, 6, 1987, 1249-1276.

99. Делицын A.JI. О проблеме применения метода конечных элементов к задаче вычисления мод диэлектрических волноводов. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. 39. 2. С.315-322.

100. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л. Новая постановка задачи расчета мод диэлектрических волноводов методом конечных элементов // Вестн. МГУ. Сер. 3. Физ., астрон. 1995. 36. 2. С.95-98.

101. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах (Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции) М., 1996.

102. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974.

103. Боголюбов А.Н., Делицын A.JL, Свешников А.Г. О задаче возбуждения волновода с неоднородным заполнением // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. N 11. С.1869-1888.

104. Girault V., Raviart P.A. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations. Theory and algorithms. Springer. 1986.