Применение проекционных методов к исследованию волноведущих и резонансных систем с особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи 005054244

Ерохин Александр Игоревич /

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ ВОЛНОВЕДУЩИХ И РЕЗОНАНСНЫХ СИСТЕМ С ОСОБЕННОСТЯМИ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Специальность 01.01.03 — математическая физика

- 1 НОЯ 2012

Москва - 2012

005054244

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: профессор МГУ им. М.В. Ломоносова

доктор физико-математических наук профессор

Боголюбов Александр Николаевич

Официальные оппоненты: профессор МГУ им. М.В. Ломоносова

доктор физико-математических наук профессор

Ильинский Анатолий Серафимович

Главный научный сотрудник Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН доктор физико-математических наук профессор

Кравченко Виктор Филиппович

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский университет дружбы народов»

Защита диссертации состоится «22» ноября 2012 г. в 17 часов 30 минут на заседании Диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физический факультет, Северная физическая аудитория.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан «» 2012 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук,

профессор —— Поляков П.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Современные технологии предлагают большие возможности по созданию различных электромагнитных систем с наперед заданными геометрическими и электродинамическими параметрами. Устройства, которые буквально несколько десятилетий назад были уникальными, становятся предметами массового использования. Поэтому одним из важнейших вопросов по-прежнему остается вопрос экономической эффективности и целесообразности создания устройств с заданными характеристиками. Во многих случаях достаточно совсем немного изменить хотя бы один параметр системы, чтобы получить как существенное улучшение, так и ухудшение выходных данных системы. Приближенные аналитические методы уже далеко не всегда могут удовлетворить потребности практики, поэтому возникает необходимость создания эффективных универсальных и высокоточных методов математического моделирования конкретных электродинамических структур.

Особенно важным математическое моделирование становится в случае, когда системы имеют особенности геометрического и электродинамического характера. Геометрические особенности могут являться следствием создания структур сложной геометрической формы или просто имеющих неоднородность поверхности. Примером такой электродинамической конструкции служит волновод с входящими ребрами. Подобные системы широко используются в микроволновых устройствах.

Входящие углы в волноводе могут быть по многим причинам, как по техническим, например, вследствие состыковки нескольких волноводов, так и для получения специального физического эффекта. К примеру, гребенчатый прямоугольный волновод, имеющий в своем поперечном сечении входящие углы, может использоваться в качестве фильтра для пассивного микроволнового устройства или настроечного элемента в нем. Гребенчатые волноводы обладают

важными для практического применения свойствами, одним из которых является эффект аномально малого затухания некоторых типов нормальных волн при определенных соотношениях между геометрическими параметрами и длиной волны.

С помощью входящих углов в волноводе можно также моделировать наличие дефектов в поверхности системы (царапины, изломы и др.) или щупы, возбуждающие волновод.

Очень часто математические модели, описывающие системы с физическими особенностями, имеют особенности математического характера. Так в случае волновода с входящим ребром известно, что решение задачи, описывающей данную систему, имеет сингулярность, которая может значительно осложнить численный эксперимент. Решить эту проблему можно с помощью определения явного вида этой особенности инструментами математической физики и корректировки численного алгоритма с учетом полученных математических результатов.

К системам с особенностями электродинамического характера можно отнести конструкции, имеющие заполнение материалами с различными диэлектрическими и магнитными свойствами. Примером системы данного типа служит диэлектричекий резонатор, важными характеристиками которого являются спектр его резонансных частот и добротность. С помощью выбора диэлектрической проницаемости заполнения резонатора, его формы и размера, а также комбинации нескольких диэлектриков, можно существенно менять спектр частот, распределение полей, а также значительно увеличить добротность. Резонансные системы широко используются при создании высокоточной измерительной аппаратуры, узкополосных фильтров, для стабилизации СВЧ-генераторов.

Большой интерес представляют резонаторы аксиально-симметричных форм кусочно-постоянного радиуса. Помимо перечисленных свойств резонаторов, -предполагается, что такие элементы могут найти применение при конструировании проводящих систем с малыми потерями. В частности, такие

резонаторы экспериментально исследовались на кафедре колебаний физического факультета МГУ .

В настоящей работе исследуются цилиндрическая волноведущая система, имеющая в конечном ее участке входящие ребра постоянного раствора, и резонансная диэлектрическая структура с диэлектриком кусочно-постоянного радиуса. С помощью такой резонансной системы в случае малых диэлектрических потерь и при размерах поверхности резонатора много больших геометрических размеров диэлектрика можно моделировать открытые системы.

Цели диссертационной работы

Цель диссертационной работы состояла в следующем:

1. Построение асимптотики решений спектральных задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа для двумерной области с входящими углами.

2. Построение математической двумерной модели волноведущей системы, содержащей входящие ребра в ее конечной части, и ее исследование проекционными методами различной модификации.

3. Построение векторной модели электродинамического волновода, содержащего входящие ребра в конечной его части, и ее исследование проекционными методами.

4. Исследование резонатора, заполнение которого представляет собой последовательность диэлектрических соосных цилиндров различных радиусов.

Научная новизна

1. Предложен и реализован метод расчета волноводов, содержащих входящие ребра, представляющий собой комбинацию проекционных методов -неполного метода Гаперкина и проекционно-сеточного метода - и учитывающий особенности поведения решения задачи в окрестности входящего угла путем использования построенной асимптотики по гладкости решения соответствующей краевой задачи.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решения поставленной задачи.

3. Доказано существование и единственность построенного приближенного решения этой задачи, показана его сходимость к точному решению.

4. Реализован алгоритм расчета диэлектрического резонатора, заполнение которого представляет собой последовательность диэлектрических соосных цилиндров различных радиусов.

Практическая ценность диссертации определяется тем, что результаты работы могут быть использованы для исследования широкого класса конкретных волноведущих систем с входящими ребрами, а также цилиндрических резонаторов с диэлектрическим заполнением аксиально-симметричной формы кусочно-постоянного радиуса. Волноведущие системы с входящими ребрами находят применение в широком круге устройств техники СВЧ (фильтры для пассивных микроволновых устройств, настроечные элементы в таких устройствах и т.д.). Кроме того, с помощью входящих углов в волноводе можно моделировать наличие дефектов в поверхности системы, например, царапины, или щупы, возбуждающие волновод. Резонансные системы находят широкое применение при создании узкополосных фильтров, прецизионной измерительной аппаратуры, для стабилизации СВЧ-генераторов, а также для создания чувствительных элементов для измерения различных физических и химических параметров окружающей среды.

Положения, выносимые на защиту

Основные научные результаты состоят в следующем:

1. Показано, что задача возбуждения о распространении бегущих нормальных волн в волноводе, имеющем входящие ребра в конечной его части, имеет единственное решение.

2. Предложен алгоритм расчета волновода с входящими ребрами, представляющий собой комбинацию проекционных методов и учитывающий особенности поведения решения задачи в окрестности входящего угла путем использования построенной асимптотики по гладкости решения соответствующей краевой задачи.

3. На основе доказанных теорем делается вывод о целесообразности применения предложенного алгоритма к расчету рассматриваемых систем.

4. Аналитические результаты, полученные в диссертационной работе, подкреплены результатами численного моделирования волноведущей системы с входящмими ребрами.

5. Реализован алгоритм исследования цилиндрического резонатора, заполнение которого представляет собой последовательность диэлектрических соосных цилиндров различных радиусов. В качестве иллюстративного примера получено распределение полей для различного вида заполнения.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и всероссийских и международных конференциях:

1. Семинар кафедры математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

2. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2008", секция "Физика", подсекция "Математики и информатики", МГУ, физический факультет, 2008.

3. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2011", секция "Физика", подсекция "Математика и информатика", МГУ, физический факультет, 2011.

4. Вторая международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем", Москва, 06-10 июня 2011.

5. Научная конференция "Тихоновские чтения", МГУ, факультет ВМиК, июнь 2011.

6. Научная конференция "Ломоносовские чтения - 2011", секция физики, подсекция "Теоретическая и математическая физика", МГУ, физический факультет, 2011.

7. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2012", секция "Физика", подсекция "Математика и информатика", МГУ, физический факультет, 2012.

8. Всероссийская конференция (с международным участием) "Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем", секция "Математическое моделирование", РУДН, 23-27 апреля 2012 г.

9. Progress in Electromagnetics Research Symposium in Moscow, Russia, on August 19-23,2012.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликованы 5 статей в рецензируемых журналах по перечню ВАК и 8 публикаций в материалах конференций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Список цитированной литературы содержит 117 наименований. Текст диссертации содержит 123 страницы текста, включая 13 рисунков.

Содержание работы

Во введении приводится краткая характеристика диссертационной работы, обоснована актуальность темы, поставлены основные задачи исследования, а также кратко изложено содержание глав диссертации.

В главе I выписываются асимптотики скалярных спектральных задач для оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле и Неймана в окрестности входящих углов для ограниченной двумерной области. Для каждого случая граничных условий спектральная задача рассматривается отдельно и разбивается

на две части. В первой части выписывается асимптотика поведения решения соответствующей задачи для уравнения Пуассона в окрестности входящего угла. Во второй части рассматривается непосредственно спектральная задача, которая сводится к задаче для уравнения Пуассона переносом слагаемого Ли в правую часть. Задаче с граничными условиями Дирихле посвящены параграфы §1.1 и §1.2, а задаче с граничными условиями Неймана-§1.3 и §1.4.

В §1.1 рассматривается задача для уравнения Пуассона в ограниченной области, имеющей входящий угол, с граничными условиями Дирихле. Чтобы получить асимптотику решения данной задачи, она разбивается на два этапа -сначала рассматривается случай, когда область является неограниченной и представляет собой бесконечный сектор, после чего, используя срезающую функцию, полученные результаты переносятся на случай ограниченной области.

Обозначим бесконечный угол с раствором <и0 через 5 = {М: г > 0, <р е (0,шо)}. В полярной системе координат задача для уравнения Пуассона с граничными условиями Дирихле имеет следующий вид

Для решения данной задачи используется методика, впервые предложенная в работах В.А. Кондратьева. Делается замена переменных {Г = — 1п г, ср — <р}, которая переводит угол Б в бесконечную полосу П = {М: t 6 (—оо; +со), ср е (О, а)0)}. При этом краевая задача (1) принимает следующий вид

| и(е,о) = о, с е (0;+оэ), (2)

I и^,ш0) = О, С 6 (0;+00).

Для описания решений задач (1) и (2) вводятся пространство Ц,' (5) с

(1)

1

г

,2(Г-1+Л \а1+ки(Г.Ч>)

I дг'д<рк

Т(1г(1(р

и пространство

И$(Л) с нормой |МЦ(П) = (lj+teilne2pt\d'¡k¿a(tv?\ dtd(pJ' ПУСТЬ пРавая часть f(r,q>) задачи (1) принадлежит пространству VYl(S). Тогда из равенства ||/||„,(s) = ll^lliv^n) следует, что правая часть F(t,<p) задачи (2) принадлежит

пространству И^'(Я). Далее приводятся доказательства следующих теорем.

Теорема 1. Пусть F £ И^(Л), /? * ;-7гшо1./ = ±1,±2,... 7огда существует и притом единственно решение и £ (П) задачи (2), для которого справедлива оценка

1МЦ«(п) £ 11ЛЦ(пу (3)

Теорема 2. Лусюь / £ Vy!(S), Z + 1 - у * jncúñ= +1, ±2,... ГогЭд существует и притом единственно решение и £ l^í+2(S) задачи (1), для которого справедлива оценка

Hullas) < с||/||^(S)- (4)

Далее считается, что правая часть f(r,cp) принадлежит пересечению пространств VY[ (S) П 1^(5), где Yi > У г- Используя явный вид формулы Грина и теорему о вычетах, доказывается следующая теорема, дающая асимптотическое представление решения краевой задачи для уравнения Пуассона в окрестности входящего угла.

Теорема 3. Пусть f £ Vy[ (S) П VYl2(S), где Yi > Yi " выполняются условия: рг = I + 1 - Yi * jncjQ1, р2 = 1 + 1- у2Ф jnoiZ1,) = ±1, ±2,... Тогда для решения задачи (1) справедливо следующее представление:

и(г, (р) = ЭКг, <р) + ^ C}r~iX> sin iXjCp,

j-.p1<-jnai^1<p2

где X¡ = —jincho1. C¡ ~ постоянные коэффициенты, функция 3í(r, <p) £ Ц/2+2 (5) и для нее справедлива следующая оценка

р|и2(5)<С||ЛЦ2(5у (5)

Далее рассматривается случай конечной области S. Пусть существует такое d, что в круге Bd область S совпадает с сектором. Используя результаты предыдущих теорем, с помощью срезающей функции xb~) е С°°[0; d), ,, (l,r < -

X(i~) = j 2, доказывается следующая теорема, дающая асимптотику

решения уравнения Пуассона в окрестности входящего угла в случае конечной области.

Теорема 4. Пусть f 6 у < / + 1. Тогда решение и Е H1(S) задачи (1)

представимо в виде

u{r,cp) = 9i(r, ср) + +ХО) Z,j-.o<jna>^<-Y+i+i Cjr>sin jncöö1?, (6)

где ЦЭ^Н^+г^) < С Н/Н^ф, С и C¡ - постоянные коэффициенты.

В §1.2 рассматривается спектральная задача для оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле ГДи + Ли = О, М £ S

Í "las = 0. (?)

Доказывается, что решение задачи (7) вдали от угловой точки является сколь угодно гладким. Перенося слагаемое Ли в правую часть и используя результаты теоремы 2 и теоремы 4, доказывается следующая теорема. Теорема 5. Решение спектральной задачи (7) представимо в виде и(г. (р) = х(г) Cjri™*1 sinyn-ajö V + 5R(r, <р), (8)

где 3l(r, ф) £ К03 (5), и справедлива оценка

ПЖг,< с||и||ИоЧ5). (9)

Продолжая данные рассуждения, можно выписать асимптотику спектральной задачи Дирихле в окрестности входящего угла до требуемого класса гладкости остаточного члена SR (г, <р).

В §1.3 аналогичная техника используется для исследования краевой задачи Неймана для уравнения Пуассона. Как и в случае граничных условий Дирихле,

данная задача разбивается на две - задача в бесконечном угле и задача в конечной области.

Для случая бесконечного угла приводятся доказательства следующих теорем.

Теорема 6. Пусть Р 6 И^(Л), $ Ф ¡пщ1,] = Ъ>±Ъ±2<- Тогда существует и притом единственно решение и Е И^+2(П) задачи Неймана, для

которого справедлива оценка (3).

Теорема 7. Пусть /6 1^(5), I + 1 - у Ф )па>11,у = 0, ±1, ±2,... Тогда существует и притом единственно решение и £ Ц/+2(Б) задачи Неймана, для которого справедлива оценка (4).

Теорема 8. Пусть f 6 Уу[ (5) П где ух>Уги выполняются условия:

= 1 + 1-Кх *;'тгшо\/?2 = I + 1-Уг = 0, ±1, ±2,... Тогда для

решения задачи Неймана и(г, ср) £ Уу1*2 (5) справедливо следующее представление

и(г,1р)=ЧЯ{г,<р') + + С°5 + 1 1П Г' (Ш)

где Я,- = ¡тшъ1, функция 9Кг,<р) £ Уу'2+2 (5), для нее справедлива оценка (5), а коэффициенты С) и С00 являются непрерывными функционалами от/. Для случая ограниченной области доказаны следующие теоремы. Теорема 9. Пусть 8 = 1 + 1-у, 5 е (О.тгшо1). / е Тогда

существует решение задачи (1.3.1) и Е 1/у1+2(5), определяемое с точностью до константы, причем справедлива оценка (4).

Теорема 10. Пусть /гпЯ = -у + I + 1 Ф утгсоц1. > 1 ■ / е Уу С5)- Тогда

и(г,р) = И(г,ф) + *(г)1 г Ь (11)

\ +Со,ошо тг + С0 /

где Зг(г, (р) 6 Уу'+2(5). и £ К/++12_5(5'), « справедлива оценка (5).

В §1.4 рассматривается спектральная задача Неймана для оператора Лапласа. Как и в случае спектральной задачи Дирихле, показывается, что решение задачи Неймана вдали от угловой точки сколь угодно гладко.

Доказывается теорема, дающая асимптотику по гладкости решения спектральной задачи Неймана в окрестности угловой точки.

Теорема 11. Решение спектральной задачи Неймана представгшо в виде u(r, <р) = И(г, <р) + x(.r)CZj,s<jnü>-1<s+1 Djr^ö1 COS/ttwö V + С0), (12) где SR(r, <р) е V*_s(S), IIKCr.^H^^^ < CIMI^,.

Как и в случае граничных условий Дирихле асимптотику в окрестности входящего угла решения спектральной задачи Неймана можно выписать до требуемого класса гладкости остаточного члена.

В главе II рассматривается скалярная трехмерная задача возбуждения электромагнитных волн в волноводе при наличии входящих ребер. Приводится математическая постановка задачи, и исследуется существование и единственность ее решения. Приближенное решение рассматриваемой задачи строится с помощью неполного метода Галеркина, доказывается его существование и единственность, а также сходимость к точному решению. Приводятся результаты численного моделирования. Алгоритмы решения поставленной задачи, развитые в данной главе, будут перенесены на векторную задачу, исследуемую в главе III.

В §2.1 приводится математическая постановка задачи, доказывается существование и единственность ее решения. Рассматривается бесконечный цилиндрический волновод круглого сечения с граничной поверхностью Z, на которой задается однородное условие Дирихле. В некоторой части волновода длинной а, которая называется нерегулярной, сделан вырез, так что в его поперечном сечении имеется входящий острый угол. Обозначим через Ап0 и fn0 соответственно амплитуду и постоянную распространения вдоль оси волновода бегущей слева направо волны, соответствующей п0-му собственному значению 1п0 оператора Лапласа для сечения регулярной части волновода. Учитывая парциальные условия излучения, условия Мейкснера на ребре и условие

сопряжения на границе регулярной и нерегулярной частей волновода, приходим

к следующей краевой задаче для описания модовой структуры поля волновода

Ди + к2и - О, М е е (0; а), = 0,

=2Ап01уп0ФпО-1.п1?т1(М,Фп)\50Фп- , (13)

Эг1г=0

V 02 12 = а

где к2 - постоянный коэффициент, 1т{к2) = ц > 0, и(М, г) е Я1^)^- В задаче (13) используются обозначения: фп,Лп - ортонормированные собственные функции и собственные значения поперечного сечения регулярной части волновода (без выреза), сечение волновода с координатой г, = к2 -Лп. Обозначим через V объем нерегулярной части волновода. Доказывается следующая теорема.

Теорема 12. Решение задачи (13) и Е Я1 (У) существует и единственно.

Приближенное решение задачи (13) ищется с помощью проекционного метода в форме неполного метода Галеркина, в котором в качестве базиса используются собственные функции оператора Лапласа для нерегулярного сечения. Так как в общем случае вырез не доходит до центра круга, то спектральная задача не имеет аналитического решения, и для ее решения необходимо использовать численные методы.

В §2.2 рассматривается численное решение спектральной задачи для оператора Лапласа в области с вырезом. В главе 1 была получена асимптотика решения данной задачи, поэтому в качестве численного метода удобно использовать проекционно-сеточный метод, а именно метод конечных элементов, в котором в набор пробных функций включены выделенные аддитивно сингулярности. Из представления (8) следует, что решение спектральной задачи принадлежит следующему пространству И^:

(и: и = ЕП:О<пяШ^<2 спг"™? зтппсоо1? + Мг = \ [/|а; = 0,9?МеН3(5), (14)

Сп — произвольные постоянные,

ч«-

\\и\\2щ = \\Щ\2Н1

В качестве конечномерного пространства пробных функций рассматривается пространство

(Uh-= Z)..o<j™?<2 спГп™Sin ranuj V + SR^,

Wlh=\ Uh\ds = Q,^EL\, 05)

V Cn — произвольные постоянные,

где пространство L\ - пространство конечномерных функций, хорошо

аппроксимирующих гладкую функцию М(1). Для случая регулярной сетки,

получаются следующие оценки для решения uh сеточной задачи

IIU-Uh\\w < C^IIStWll^lA-iESx^l < Ch\ (16)

IIC"-"h)lli2(s) s Ch\ (17)

В §2.3 рассматривается решение задачи (13) неполным методом Галеркина. Приближенное решение uN ищется в виде

"" = £n=iCnO)<pn(M),z е (0;а), (18)

где <рп(М) — ортонормированные собственные функции оператора Лапласа для сечения Sz. После подстановки выражения (18) в краевую задачу (13) получается краевая задача для определения коэффициентов разложения:

С 00 + YmCmíz) = 0, т = 1.....N,

¡ CU0) = 2An0iYno<Pmn0 - SLiCln i?n<P%n<PSá)Ck(S». (19)

CUa) = Гк=1(Хп1?п^п<п)Ск(а),

где cpskl = (cpkWlVn№)\So,<pt = (<РкШ),ФЛЮ)\5а. Доказываются следующие теоремы.

Теорема 13. Приближенное решение uN 6 Я*(Ю задачи (13) существует и единственно, причем справедливы оценки

М^) <А,

Ы=г\?п\\(u»,cpn№)\Sa\2 < A', Ü^JfJ |K,^(M))|sJ2 < А', (20) где А и А' - постоянные, не зависящие от N.

Теорема 14. Приближенное решение uN сходится к решению задачи (13) в пространстве Я1 (Ю-

Использование в неполном методе Галеркина функций <р„(М), построенных с помощью метода конечных элементов, приводит к оценке

где С -» 0 при N -» со.

В §1.4 приводятся результаты численного моделирования волновода с входящими ребрами на основе предложенной математической постановки задачи.

В главе III рассматривается векторная постановка задачи о возбуждении волновода с входящими ребрами бегущей нормальной волной. Доказывается существование и единственноть ее решения. Приближенное решение ищется неполным методом Галеркина, в котором базис строится с помощью собственных функций спектральных задач Дирихле и Неймана для сечения с вырезом. Доказывается сходимость приближенного решения к точному. Приводятся результаты численного моделирования.

В §3.1 рассматривается векторная постановка задачи о возбуждении волновода бегущей волной. С учетом парциальных условий излучения, условия непрерывности касательных компонет электромагнитного поля на границе между регулярной и нерегулярной частями волновода и условий Мейкснера на ребре получается следующая математическая постановка задачи, решение которой описывает модовую структуру волновода:

Ни - яи спфпт\н> <C + Ch2 zii-1 |К2) II

H3(S)'

(21)

(22)

где к0 - волновое число, диэлектрическая проницаемость е - постоянная величина, 1те > 0, Res >0 (в области неоднородности), магнитная проницаемость ц - постоянная величина, Imp > 0, Ren >0 (в области неоднородности), п - вектор внешней нормали к поверхности волновода I, Аъ -амплитуда бегущей слева направо волны электрического типа с порядковым номером щ, Rn и Тп — коэффициенты отражения и прохождения через нерегулярный участок волновода нормальных волн соответственно, еп и hn -базис для представления поперечных компонент векторов Е и Н соответственно. Векторный базис строится с помощью собственных функций сечения для задачи Дирихле фк и задачи Неймана iрк следующим образом:

[nxejlas = 0, и

r-[ezxF<pk],n = 2fc + l,

V<pkln = 2к + 1,к = ОД..., {[ezxVipm],n = 2m,m = 1,2,..., (23)

hn={~

(24) Vipm, n - 2m,

(п-ЛЛа-г = 0.

Вводится пространство IV = {А = (Е,Н):Ет\д$ = 0, (п-Нп)\д5 = 0, е Ь2(У),Щ 6 ¿2(Ю, (гоГЯ)( 6 12(У)} с нормой |И|1и> = \\Е\\,.2СП + ННИ^оо + \\гоШ\\1ЛУ).

Доказывается следующая теорема.

Теорема 15. Обобщенное решение (Е,Н) задачи (22) из пространства IV существует и единственно.

Как уже отмечалось, для построения векторного базиса используются собственные функции спектральных задач Дирихле и Неймана для сечения с вырезом, которые находятся численно.

В §3.2 рассматривается расчет спектральной задачи Неймана (спектральная задача Дирихле была рассмотрена в главе II). Как и в случае граничных условий Дирихле, для расчета задачи Неймана ограничимся

асимптотикой решения, в которой остаточный член ЧЯ(г,<р) принадлежит пространству Я3(5):

u(r,<р) = 5Я2(г,<р) + Кг)(£м<у™0-1<5+2Djri™'*1 cosjnco^V + Со)- (25)

Из представления (25) следует, что решение спектральной задачи Неймана принадлежит пространству W2:

(U: U = 2 С}г'™о1 со5уяо)о > + Я2,

W2 = I Л2 6 Н3(5), (26)

^ Су — произвольные постоянные.

II U\\2Wl = ||l/||J4s).

В качестве конечномерного пространства пробных функций рассматривается пространство

(Uh: Uh = Zy:№-1<5+2 C„r»W cosn^oV +

^ Сп — произвольные постоянные,

где пространство 1\ - пространство конечномерных функций, хорошо аппроксимирующих гладкую функцию 5R(2). С использованием регулярного разбиения сетки, получаются следующие оценки для решения uh сеточной задачи

ll"-"hlk < C/i2||SRW||H3(s),|A-^Zr=iAih| < Ch\ (28)

IIC"-^)IIl2(S)<C/i4. (29)

В §3.3 рассматривается приближенное решение задачи (22) неполным методом Галеркина. Решение ищется в виде

= ЩгЛпЬШЮ.м eSziZe (0.в)> (30)

где рп и qn имеют вид (23) и (24) соответственно, в которых собственные функции регулярного сечения фк и фк заменены на собственные функции нерегулярного сечения срк и хрк.

Введем пространство 6 = {л = (Е, Н): Ет \ аз = 0, (п • Яп) | а5 = О, Е1 Е 12(у),н1 е 12(У), 6 ь2(у), е ¿2(1/)| с нормой \\А\\„ = \\е\\Ь21у) +

""^сю+ш + и .

II дг II дг Н/.2(у)

Доказываются следующие теоремы.

Теорема 16. Построенное неполным методом Гстеркина приближенное решение {Е", Н") е <5 существует и единственно.

Теорема 17. Построенное неполным методом Галеркина приближенное решение (_ЕЫ, Я") 6 6 сходится к точному решению по норме пространства Б.

С использованием в неполном методе Галеркина найденных с помощью метода конечных элементов функций <рп(М) и фп(М), получены оценки для электромагнитных полей:

II*' - ^и * С1 + ™ (31)

IIй' - "^и * С2 + ё^иын4ву (32)

где С1, С2 -> 0 при N -» то.

В §3.4 приводятся результаты численного моделирования.

В главе IV рассматривается цилиндрический резонатор, заполнение которого представляет собой последовательность диэлектрических соосных цилиндров различных радиусов. Приводится математическая постановка задачи, для которой доказывается существование обобщенного решения. Приближенное решение ищется с помощью метода конечных элементов, доказывается его сходимость к точному. Приводятся результаты численного моделирования.

В §4.1 рассматривается цилиндрический резонатор V длины а, имеющий аксиально-симметричное диэлектрическое заполнение кусочно-постоянного радиуса г = г {г). Объемную конструкцию резонатора можно получить путем вращения области (? (рис. 1) вокруг оси 02, являющейся аксиальным сечением резонатора.

о

z

Рис. 1. Аксиальное сечение резонатора, содержащего диэлектрик кусочно-постоянного радиуса г = r(z), принимающего два значения, с 5 секциями.

Учитывая аксиальную симметрию системы и вводя потенциал Боргниса U(j),(p,z) =u(p,z')eim<p,m = 0,±1,±2,..., трехмерная векторная задача, описывающая модовую структуру данной системы, сводится к скалярной двумерной спектральной задаче: найти такие нетривиальные и и соответствующие им значения к2, для которых справедливо:

где 1и = йш(рдгайи), (р,г) - декартова система координат, индексами 1 и 2 обозначены величины, относящиеся к аксиально-симметричному диэлектрику кусочно-постоянного радиуса и окружающему его диэлектрику или вакууму (е2 = 1) соответственно, 5ц - граница первого диэлектрика, параллельная оси Ог, 5Х - перпендикулярная оси Ог (рис. 1), - граница области п - внешняя нормаль к первому диэлектрику.

Вводятся пространство X функций и € Я1 (/2) П ЯЧСЛ^), удовлетворяющи: граничному условию первого рода из (33), его подмножество Хи с X, элементы которого удовлетворяют условиям

Lu - —и + pk2su = 0,

р

"ils,, = u;

"1.2

s« 'açnoz

(33)

Г "lis,I ="2ls|r Ul"llsj. = £2U2\S±. и подмножество Xv с X, элементы которого удовлетворяют условиям

Обобщенная постановка задачи (33) имеет следующий вид: найти такие нетривиальные и Е Хи и соответствующие им значения к2, для которых при любых V Е Хг справедливо равенство

в котором первый интеграл по области <2 понимается как сумма интегралов по областям П и (}\П. Доказываются следующие теоремы.

Теорема 18. Обобщенное решение задачи (34) существует.

Теорема 19. Приближенное решение задачи (34), построенное методом конечных элементов, сходится к точному.

В §4.2 приводятся результаты численного моделирования задачи.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Показано, что задача о распространении бегущих нормальных волн в волноводе, имеющем входящие ребра в конечной его части, имеет единственное решение для случая скалярной и векторной постановок задачи.

Предложен алгоритм расчета волновода с входящими ребрами, представляющий собой комбинацию проекционных методов и учитывающий особенности поведения решения задачи в окрестности входящего угла путем использования построенной асимптотики по гладкости решения соответствующей краевой задачи. На основе доказанных теорем делается вывод о целесообразности применения предложенного алгоритма к расчету рассматриваемых систем. Аналитические результаты, полученные в диссертационной работе, подкреплены результатами численного моделирования волноведущей системы с входящмими ребрами.

fQ p(gradu, gradv)dq + т2 fQ у dq - k2 fQ spuvdq,

uv

(34)

Реализован алгоритм исследования цилиндрического резонатора с диэлектрическим заполнением аксиально-симметричной формы кусочно-постоянного радиуса. На основе доказанной теоремы существования решения поставленной задачи, а также теоремы о сходимости построенного приближенного решения к точному, делается вывод о достоверности результатов, полученных с помощью численного эксперимента.

В качестве иллюстративных примеров исследованы модовая структура поля волноведущей системы для различных параметров выреза и распределение поля диэлектрического резонатора для различного вида заполнения. Продемонстрирован ряд интересных эффектов. В частности для волноведущей системы показан избирательный характер возбуждения бегущих мод при прохождении нормальной волной нерегулярного участка волновода. Для случая резонансной системы получен эффект отжимания поля к диэлектрику с высоким значением диэлектрической проницаемости, а также избирательный характер возбуждения диэлектрических секций в случаей частиной металлизации диэлектрика.

В приложении рассматриваются выводы некоторых математических выражений и формул, используемых в основных главах, которые в силу их громоздкости были вынесены отдельно.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ерохин А.И. Расчет резонансных частот аксиально-симметричных диэлектрических структур кусочно-постоянного радиуса // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2008". Секция "Физика". Сборник тезисов докладов. М.: 2008. С. 72-73.

2. Боголюбов А.Н., Ерохин А.И., Могилевский И.Е., Шапкина Н.Е. Расчет резонансных частот открытого диэлектрического аксиально-симметричного

резонатора с кусочно-постоянным радиусом // Вестн. Моск. Ун-та. Серия 3. Физика. Астрономия. 2009. №2. С. 21-24.

3. Боголюбов А.Н., Ерохин А.И., Могилевский И.Е. Математическое моделирование цилиндрического волновода с деформацией боковой поверхности // Вестн. Моск. Ун-та. Серия 3. Физика. Астрономия. 2011. №6. С. 127-130.

4. Ерохин А.И. Математическое моделирование волновода переменного поперечного сечения с входящими углами // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2011". Секция "Физика". Сборник тезисов докладов. Т. 1. М.: 2011. С. 116-117.

5. Ерохин А.И. Математическая модель нерегулярного волновода с входящими углами // Вторая международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем". Тезисы докладов. М. 2011. С. 73.

6. Боголюбов А.Н., Ерохин А.И., Могилевский И.Е. Математические задачи теории волноведущих систем при наличии входящих ребер. // Тихоновские чтения: Тезисы докладов. - М.: 2011. С. 12-13.

7. Боголюбов А.Н., Могилевский И.Е., Ерохин А.И. Моделирование волноведущих систем с негладкой границей // Ломоносовские чтения. Секция физики. Сборник тезисов докладов. М.: 2011. С. 144-146.

8. А.И. Ерохин. Применение проекционных методов к расчету волноведущих и резонансных структур с особенностями // Вычислительные методы и программирование. 2012. Раздел 1. С. 192-196. (http://num-meth.srcc.rnsu.ru/)

9. А. Н. Боголюбов, А. И. Ерохин, И. Е. Могилевский. Векторная модель волновода с входящими ребрами // Журнал радиоэлектроники. 2012. №2. (http://ire.cplire.i-u/ire/febl2/12/text.pdf)

10.Ерохин А.И. Векторная модель волновода с входящими ребрами на конечном участке // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2012". Секция "Физика". Сборник тезисов докладов. Т. 1. М.: 2012. С.

11.Боголюбов А.Н., Ерохин A.M. Математическое моделирование волноведущей системы с особенностью // Всероссийская конференция (с международным участием) "Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем", секция "Математическое иоделирование", РУДН, 23-27 апреля 2012 г.

12 .Боголюбов А.Н., Ерохин A.M., Могилевский И.Е. Математическое моделирование нерегулярного волновода с входящими ребрами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т.52. №6. С. 1058-1062.

U.Bogolubov A.N., Erokhin A.I., Mogilevsky I.E. Projective Methods in Problems of Waveguide with Singularity // PIERS Proceedings, Moscow, Russia, August 19-23, 2012. P. 1225-1227. ISBN: 978-1-934142-22-6.

Подписано к печати и40. а.

Тиртк 90 Закдз

Отпечатано а отделе оперативной печати фкзннсского факультета МГУ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I АСИМПТОТИКА СКАЛЯРНЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА В ОКРЕСТНОСТИ УГЛОВЫХ ТОЧЕК

§1.1 Выделение особенности решения уравнения Пуассона с граничными условиями Дирихле при наличии в области входящего угла

§1.2 Асимптотика решения спектральной задачи Дирихле в окрестности угловой точки

§1.3 Выделение особенности решения уравнения Пуассона с граничными условиями Неймана при наличии в области входящего угла

§1.4 Асимптотика решения спектральной задачи Неймана в окрестности угловой точки

ГЛАВА II СКАЛЯРНАЯ ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА ВОЗБУЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ВОЛНОВОДЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВХОДЯЩИХ РЕБЕР

§2.1 Постановка задачи, доказательство существования и единственности решения

§2.2 Решение спектральной задачи с граничными условиями Дирихле методом конечных элементов с учетом особенности решения в окрестности угловой точки

§2.3 Решение задачи возбуждения электромагнитных волн неполным методом Галеркина, доказательство сходимости

§2.4 Результаты численного расчета задачи

ГЛАВА III ВЕКТОРНАЯ ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА ВОЗБУЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ВОЛНОВОДЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВХОДЯЩИХ РЕБЕР

§3.1 Постановка задачи, доказательство существования и единственности решения

§3.2 Решение спектральной задачи с граничными условиями Неймана методом конечных элементов с учетом особенности решения в окрестности угловой точки

§3.3 Решение векторной задачи возбуждения электромагнитных волн неполным методом Галеркина, доказательство сходимости

§3.4 Результаты численного расчета задачи

ГЛАВА IV РАСЧЕТ РЕЗОНАТОРА С АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЗАПОЛНЕНИЕМ КУСОЧНО-ПОСТОЯННОГО РАДИУСА

§4.1 Математическая постановка задачи, доказательство существования решения, сходимость приближенного решения

§4.2 Результаты численного расчета задачи методом конечных элементов

Актуальность и практическая значимость.

Современные технологии предлагают большие возможности по созданию различных электромагнитных систем с наперед заданными геометрическими и электродинамическими параметрами. Устройства, которые буквально тридцать лет назад были уникальными, становятся предметами массового использования. Поэтому одним из важнейших вопросов по-прежнему остается вопрос экономической эффективности и целесообразности создания устройств с заданными характеристиками. Во многих случаях достаточно совсем немного изменить хотя бы один параметр системы, чтобы получить как существенное улучшение, так и ухудшение выходных данных системы. Приближенные аналитические методы уже далеко не всегда могут удовлетворить потребности практики, поэтому возникает необходимость создания эффективных универсальных и высокоточных методов математического моделирования конкретных электродинамических структур.

Особенно важным математическое моделирование становится в случае, когда системы имеют так называемые физические особенности. Среди таких особенностей можно выделить две большие группы: геометрические и электродинамические.

Геометрические особенности могут являться следствием создания структур сложной геометрической формы или просто имеющих неоднородность поверхности [1]. Примером такой электродинамической конструкции служит волновод с входящими ребрами. Подобные системы широко используются в микроволновых устройствах и цепях [2].

Входящие углы в волноводе могут быть по многим причинам, как по техническим, например, вследствие состыковки нескольких волноводов

1], так и для получения специального физического эффекта. Примером волновода, имеющего в своем поперечном сечении входящие углы, служит гребенчатый волновод.

Гребенчатые волноводы обладают важными для практического применения свойствами, одним из которых является эффект аномально малого затухания некоторых типов нормальных волн при определенных соотношениях между геометрическими параметрами и длиной волны [3]. Данный эффект обнаружен экспериментально [4] и численно исследован в работах [5-7] для случая круглого волновода и в работе [8] для случая прямоугольного волновода. В работе [9] проведено аналитическое исследование эффекта аномально малого затухания некоторых типов нормальных волн в плоском гребенчатом и азимутально-гофрированном волноводах. Для плоского гребенчатого волновода наличие эффекта аномально малого затухания было подтверждено численным экспериментом [10].

Гребенчатые волноводы находят применение в качестве фильтра для пассивного микроволнового устройства или настроечного элемента в нем [11,12]. Гребенчатый прямоугольный [13] и гребенчатый цилиндрический [14] волноводы часто используются в двухмодовых полых или диэлектрических резонаторных фильтрах. Многогребенчатые прямоугольные волноводы применяются как настроечные элементы во входящих коаксиальных фильтрах [15].

С помощью входящих углов в волноводе можно также моделировать наличие дефектов в поверхности системы (царапины, изломы и др.) или щупы, возбуждающие волновод.

Очень часто математические модели, описывающие системы с физическими особенностями, имеют особенности математического характера. Так в случае волновода с входящим ребром известно, что решение краевой задачи, описывающей данную систему, имеет сингулярность, которая значительно осложняет численный эксперимент [16-18]. Решить эту проблему можно с помощью выделения этой особенности инструментами математической физики и корректировки численного алгоритма с учетом полученной особенности. Теоретическое исследование однородных по длине вол-новедущих систем, содержащих входящие ребра, проведено в работах [1921]

К системам с особенностями электродинамического характера можно отнести конструкции, имеющие заполнение материалами с различными диэлектрическими и магнитными свойствами. Примером системы данного типа служит электромагнитный резонатор, важными характеристиками которого являются спектр его резонансных частот и добротность. Резонансные системы находят широкое применение при создании узкополосных фильтров, прецизионной измерительной аппаратуры, для стабилизации СВЧ-генераторов, а также при создании чувствительных элементов для измерения различных физических и химических параметров окружающей среды.

Классическая теория [22-24] дает аналитическое описание резонаторов с идеально проводящей поверхностью наиболее простых форм.

В случае наличия потерь в поверхности волновода можно использовать модель поверхности системы с импедансными граничными условиями [25]. В работах [25-27] решена задача расчета резонансных волновых чисел и добротности собственных колебаний сферического резонатора в приближении теории возмущений для случая малого по модулю поверхностного импеданса. Численный алгоритм решения данной задачи для случая произвольного по модулю комплексного поверхностного импеданса рассмотрен в работе [28]. Использованная в последней работе техника применена для расчета многослойного сферически-слоистого резонатора в работах [29-31].

С помощью выбора материала заполнения резонатора и его структуры можно существенно менять спектр частот, распределение полей, а также значительно увеличить добротность [30,31]. Свойство высокодобротности сферического резонатора может быть использовано при его применении в метрологии [32].

К резонаторам сравнительно простых форм также относятся цилиндрические резонаторы [22-24]. Среди цилиндрических резонаторов большой интерес представляют резонаторы аксиально-симметричных форм кусочно-постоянного радиуса. Помимо перечисленных свойств резонаторов, предполагается, что такие элементы могут найти применение при конструировании проводящих систем с малыми потерями, а также для генерации СВЧ-энергии [33]. В частности, такие резонаторы экспериментально исследовались на кафедре колебаний физического факультета МГУ [34].

Рассматривая особенности резонаторов и волноводов в виде заполнения материалами с различными электромагнитными свойствами, следует отметить приобретающие все большую популярность метаматериа-лы, искусственно созданные вещества, проявляющие при взаимодействии с электромагнитным полем свойства, существенно отличные от свойств природных материалов. Примером новых метаматериалов служат киральные среды - среды, содержащие киральные объекты, т.е. объекты, которые не совмещаются со своим зеркальным отображением (лист Мебиуса, неправильный тетраэдр, различные спирали [35-37]). Киральные среды исследуются в работах [38-41]. В работах [42-45] рассмотрены важные для практического применения свойства, которые могут проявляться в различных киральных средах.

В настоящей работе исследуются неоднородная по длине цилиндрическая волноведущая система, имеющая в конечном ее участке входящие ребра постоянного раствора, и резонансная диэлектрическая структура с диэлектриком кусочно-постоянного радиуса. С помощью такой резонансной системы в случае малых диэлектрических потерь и при размерах поверхности резонатора много больших геометрических размеров диэлектрика можно также моделировать открытые диэлектрические системы кусочно-постоянного радиуса [46].

Некоторые методы численного исследования.

Метод поперечных сечений.

В 1955 году в работе С.А. Щелкунова и П.Е. Краснушкина для расчета волноводов с плавными нерегулярностями был предложен метод поперечных сечений [47-48], впоследствии развитый в работах А.Г. Свешникова, A.C. Ильинского, Б.З. Каценеленбаума, В.П. Моденова и других авторов. В данном методе поле в любом сечении волновода представляется в виде бесконечной суммы полей нормальных волн [49-51], распространяющихся в обоих направлениях. Коэффициенты разложения поля являются функциями продольной координаты и удовлетворяют бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Сходимость данного метода была доказана для слабо нерегулярных волноводов на физическом уровне строгости.

Метод частичных областей.

Метод частичных областей [52] заключается в разбиении рассматриваемой области на подобласти, в которых ищутся независимые решения, которые удовлетворяют граничным условиям исходной задачи. Для расчета полей в разных областях можно выбирать различные методы, наиболее подходящие для данной конфигурации подобласти и ее заполнения. Так как на границе подобластей на поле никаких условий не налагается, то найденные решения определяются с точностью до совокупности постоянных, которые находятся из условий сшивки полей на этих границах. В зависимости от условий сшивки метод частичных областей подразделяется на несколько более узких методов [53].

Неполный метод Галеркина.

В 1915 году для приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений Б.Г. Галеркиным был предложен метод, который заключается в поиске решения в виде суммы непрерывной функции, удовлетворяющей краевым условиям задачи, и конечного ряда, члены которого берутся из полной в классе непрерывных функций системы линейно-независимых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям. Коэффициенты разложения находятся из условия ортогональности невязки к базисным функциям, которое приводит к системе алгебраических уравнений. Данный метод [54,55] относится к группе проекционных методов [50,51], так как приближенное решение проектируется на подпространство базисных функций. Поскольку И.Г. Бубнов предложил аналогичный метод для построения приближенного решения вариационных задач, то данный метод также носит название метода Бубнова-Галеркина.

В начале 60-х годов А.Г. Свешниковым был предложен неполный метод Галеркина [56-58], который приводит к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Благодаря специальному выбору проекционных соотношений в неполном методе Галеркина построенное приближенное решение удовлетворяет тому же энергетическому равенству, что и точное решение, что позволяет провести строгое математическое доказательство сходимости метода. Зачастую для решения жесткой системы дифференциальных уравнений, получаемых при численной реализации неполного метода Галеркина, приходится использовать специальные трудоемкие методы, в частности метод направленной ортогонализации [59].

Метод конечных разностей.

Одним из наиболее мощных и универсальных методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных является метод конечных разностей [60], с успехом применяемый для моделирования волноведущих систем с физическими особенностями [61-70].

При решении нестационарных задач расчета волноведущих систем методом конечных разностей используются различные алгоритмы дискретизации уравнений Максвелла, основой которых является идея, впервые предложенная Кейном Йе в 1966 году [71,72], которая заключается в специальном выборе пространственного шаблона для представления электромагнитных полей, который наиболее полно отражает уравнения Максвелла.

Стационарные задачи расчета волноводов разделяются на два класса: спектральные задачи и задачи возбуждения. При решении спектральных задач, т.е. задач расчета однородной по длине волноведущей системы со сложной геометрией поперечного сечения и с неоднородными в поперечном направлении электромагнитными свойствами ее заполнения, строятся консервативные конечно-разностные схемы, либо применяются проекци-онно-сеточные методы. При решении задач возбуждения, т.е. задач расчета неоднородных по длине волноводов, используются различные подходы, в частности применяются методы ограничения области для случая локального характера неоднородности. Для решения полученной конечно-разностной задачи применяются прямые и модифицированные итерационные методы с комплексными итерационными параметрами, а также метод немонотонной прогонки [73,74]. Для расчета стационарной задачи также применяются различные подходы, например, основанные на замене данной задачи на близкую к ней нестационарную, для которой имеются устойчивые алгоритмы численного решения (метод параболического уравнения, метод опорной волны). Стоит также отметить подход, который заключается в регуляризации уравнения Гельмгольца, в использовании алгоритма ограничения спектра и выделения спектральной полосы и алгоритмов коррекции спектра параболического уравнения [52,75,76].

Метод конечных элементов.

Одним из наиболее популярных в последнее время методов расчета сложных волноведущих систем является метод конечных элементов (МКЭ) [40,77-81]. Математические основы этого метода были сформулированы в 1943 году известным математиком Р. Курантом [82-84].

В МКЭ приближенное решение ищется в виде разложения по базисным функциям, имеющим конечный носитель. В зависимости от геометрии рассматриваемой области происходит ее разбиение на подобласти, на которых искомая функция локально аппроксимируется кусочно-полиномиальными функциями. В случае простых областей в качестве стандартных конечных носителей используются треугольники или четырехугольники. Если априорно известно, что решение в некоторых точках может иметь особенность, в МКЭ используется нерегулярная сетка со сгущением в окрестностях данных точек, либо, если известно поведение предполагаемой сингулярности, в пространство базисных функций добавляется новая функция, хорошо аппроксимирующая особенность. Для улучшения точности приближенного решения применяются Ь-версия, р-версия или их комбинация - Ь-р версия метода конечных элементов. В случае применения Ь-версии МКЭ для повышения точности найденного результата производится сгущение сетки, в том числе и нерегулярное. При использовании р-версии для уточнения решения повышается степень используемых полиномов, но на практике оказывается, что эффективнее применять либо Ь-версию метода, либо Ь-р версию метода с невысокой степенью полиномов, обычно не выше третьей. Коэффициенты разложения приближенного решения находятся из проекционных соотношений или минимизации функционала, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей, т.е. к разностной схеме. Таким образом метод конечных элементов относится к группе проекционно-сеточных методов, которые являются комбинацией проекционных и конечно-разностных методов. Так как нередко при решении задач электродинамики получаемые матрицы являются разреженными симметричными, но незнакоопределенными, для их обработки приходится применять специальные устойчивые алгоритмы [85-87].

При использовании метода конечных элементов стоит отметить весьма мощный и перспективный метод атомарных функций [88-90].

При применении метода конечных элементов к задачам расчета волноведущих систем возникает проблема появления фиктивных решений [91,92], так называемых "духов", которые не соответствуют реально распространяющимся модам в волноводе. Существует несколько способов устранения несуществующих решений, которые можно разделить на два типа: апостериорный способ, когда вычисляются все решения, а потом из них удаляются "духи", и априорный, когда используется такая математическая постановка задачи или строятся такие алгоритмы ее решения, что фиктивные решения не появляются. Одним из априорных методов борьбы с нефизическими решениями является метод штрафов [93], однако показано [94], что и при применении данного метода не всегда удается решить проблему фиктивных решений. Другим априорным методом борьбы с "духами" является метод смешанных конечных элементов, который зарекомендовал себя как весьма эффективный и надежный метод расчета волноведущих систем со сложной геометрией и анизотропным заполнением [95-97].

Методы ограничения области.

При решении задач возбуждения волноведущих систем зачастую применяются методы ограничения области. Среди таких методов следует отметить метод эффективных граничных условий [52], использование бесконечных конечных элементов [77,98,99] при решении задачи МКЭ, метод эффективных интегральных граничных условий [100] и др. Отдельно следует отметить метод ограничения области, связанный с постановкой парциальных условий излучения, предложенных А.Г. Свешниковым [50,51,101], который оказался весьма эффективным при численном моделировании волноведущих систем. В случае нестационарных задач для ограничения области удобно использовать "идеально согласующиеся граничные условия" [102].

Методы исследования в данной работе.

Несмотря на качественно различные физические особенности рассматриваемых в данной работе систем, оказывается, что для их исследования удобно использовать проекционные методы в различной модификации.

Для численного исследования резонансной системы в работе применяется проекционно-сеточный метод - МКЭ. Вследствие аксиальной симметрии резонатора трехмерная задача расчета спектра сводится к двумерной, а наличие прямых углов в сечении определяет выбор конечных элементов.

Для исследования волновода применяется комбинация проекционных методов, а именно проекционного метода в виде неполного метода Галер-кина и проекционно-сеточного метода конечных элементов.

В неполном методе Галеркина в качестве базиса используются собственные функции оператора Лапласа для поперечного сечения с вырезом. Так как такое сечение имеет входящий угол, в общем случае не доходящий до центра круга, то спектральная задача для этой области не решается аналитически, вследствие чего для ее решения необходимо применять численный метод. Наличие входящего угла определяет особенность решения спектральной задачи в виде сингулярности в окрестности угловой точки границы, вид которой может быть найден аналитически. Поэтому для решения такой задачи удобно использовать проекционный метод в форме метода конечных элементов, т.к. выбирая в нем в качестве пробной функции полученную теоретически сингулярную функцию, можно точно аппроксимировать особенность.

Содержание работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы.

Заключение

Основные научные результаты состоят в следующем:

1. Показано, что задача о распространении бегущих нормальных волн в волноводе, имеющем входящие ребра в конечной его части, имеет единственное решение.

2. Предложен алгоритм расчета волновода с входящими ребрами, представляющий собой комбинацию проекционных методов и учитывающий особенности поведения решения задачи в окрестности входящего угла путем использования построенной асимптотики по гладкости решения соответствующей краевой задачи.

3. На основе доказанных теорем делается вывод о целесообразности применения предложенного алгоритма к расчету рассматриваемых систем.

4. Аналитические результаты, полученные в диссертационной работе, подкреплены результатами численного моделирования волноведущей системы с входящмими ребрами.

5. Реализован алгоритм исследования цилиндрического резонатора, заполнение которого представляет собой последовательность диэлектрических соосных цилиндров различных радиусов. В качестве иллюстративного примера получено распределение полей для различного вида заполнения.

В заключении автор хотел бы выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Боголюбову А.Н. за постановку задачи и большую помощь в работе. Автор также выражает искреннюю благодарность кандидатам физико-математических наук Могилевскому И.Е. и Шапкиной Н.Е. за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

1. Шестопалое В.П., Кириленко А.А., Рудь Л. А. Резонансное рассеяние волн. Волноводные неоднородности. Т. 2. Киев: Наукова думка, 1986.

2. Schiff В., Yosibash Z. Eigenvalues for Waveguides Containing Re-Entrant Corners by a Finite-Element Method with Superelements. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2000. 48, № 2. 214220.

3. Моденов В.П., Слепян Г.Я. К расчету собственных волн круглого азимутального гребенчатого волновода с учетом потерь в стенках. Радиотехника и электроника. 1984. 24, № 9. 1829-1832.

4. OlverA.D., Clarricoats P. J.B., Chong S.L. Experimental determination of attenuation in corrugated circular waveguides. Electronics Letters. 1973. 9, № 18. 424-426.

5. Clarricoats P.J.B., Saha P.K. Attenuation in corrugated circular waveguide. Electronics Letters. 1970. 6, № 12. 370-372.

6. Clarricoats P.J.B., Olver A.D., Chong S.L. Attenuation in corrugated circular waveguides. Part 1: Theory. Electrical Engineers. Proceedings of the Institution of Electrical Engineers. 1975. 122, № 11. 1173 1179.

7. Альховский Э.А., Ильинский A.C. О влиянии гофра на коэффициент затухания основной волны в гофрированном волноводе. В Прямые и обратные задачи теории антенн. 176-179. М: МГУ, 1976.

8. Родионов А.А., Раевский С.Б. Расчет дисперсионных характеристик и коэффициента затухания прямоугольного гофрированного волновода. Известия вузов. Радиоэлектроника 1977. 20, № 9. 69-73.

9. Слепян Г.Я. Нормальные волны гребенчатых волноводов с конечной проводомостью стенок. Радиотехника и электроника 1981. 26, № 9. 1833-1839.

10. Ю.Моденов В.П., Магатаев А.В. Численное исследование эффекта аномально малого затухания электрических волн плоского гребенчатого волновода. Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1983. 24, № 4.

11. M Guglielmi, R.C. Molina, and A. Alvarez. Dual-mode circular waveguide filters without tuning screws. IEEE Microwave Guided Wave Lett. 1992. 2. 457^58.

12. К E. Boria, G. Gerini, and M. Guglielmi. Computer aided design of reentrant coaxial filter including coaxial excitation. IEEE MTT-S Int. Microwave Symp. Dig. 3. 1999. 1131-1134.

13. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М: Наука, 1991.

14. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Могилевский И.Е., Свешников А.Г. Проблема вычисления мод волноводов при наличии входящих ребер. Журнал радиоэлектроники (электронный журнал), http://ire.cplire.ru. 2000. №8. 1-33.

15. Луи de-Бройль. Электромагнитые волны в волноводах и полых резонаторах. М: иностр. лит., 1948.

16. Гуревич А.Г. Полые резонаторы и волноводы. М.: Сов. радио, 1952. 2А.Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Сов. радио, 1957.

17. Смайт B.C. Электростатика и электродинамика. М.: иностр. лит., 1954.

18. Фел С.С., Фридберг П.Ш., Левинсон И.Б. Радиофизика и электроника. 1962. 6, № 11. 1125-1130.21 .Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: МГУ, 1983.

19. Моденов В.П. Собственные колебания электромагнитного резонатора с импедансной сферической поверхностью. Радиотехника и электроника. 2000. 45, № 10. 1198-1201.

20. Моденов В.П., Чулков Ф.М. Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 2000. 8, № 3-4. 89.

21. Моденов В.П., Гущин P.A., Ерохин А.И., Шапкина Н.Е. Математическое моделирование сферически-слоистого диэлектрического резонатора. Журнал радиоэлектроники (электронный журнал), http://jre.cplire.ru. 2006. № 4.

22. Моденов В.П., Гущин P.A., Ерохин A.M., Шапкина Н.Е. Исследование добротности многослойного сферического диэлектрического резонатора. Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2007. № 2. 36.

23. Ъ2.Кравченко В.Ф. Методы определения скорости света, основанные на импедансных измерениях сверхпроводников. Радиотехника. 1995. № 10. 108-117.

24. ЪЪ.Арзин А.П., Винтизенко И.И., Канавец В.И., Сулакшин A.C., Штейн Ю.Г. Экспериментальное исследование взаимодействия сильноточного релятивистского пучка с сверхразмерной замедляющей структурой. Письма в ЖТФ. 1986. 12, № 16. 970-973.

25. ЪА. Афонин Д.Г., Малышкин А.К. Электродинамическая система с периодической структурой. 12 Международная конференция "СВЧ техника и телекоммуникационные технологии". Сентябрь 2002. 379380.

26. Lindman K.F. Annalen der Physik. 1920. 63, № 4. 621-644.

27. Кацеленбаум Б.З., Коршунова Е.Н., Сивов А.Н., Шатров АД. Киральные электродинамические объекты. Успехи физических наук. 1997. 167, № 11. 1201-1212.

28. Ъ9.Моденов В.П., Ромашин А.В. Задача дифракции электромагнитных волн на биизотропном включении в цилиндрическом волноводе. Электромагнитные волны и электронные системы. 2005. 10, № 8. 2328.

29. V.K. Varadan, V.V. Varadan, A. Lakhtakia. On the possibility of designing anti-reflection coatings using chiral composites. J. Wave-Material Interaction. 1987. 2, № 1. 71-81.

30. P. Pelet and N. Engheta. The theory of chirovaveguides. IEEE Trans. Antennas Propogat. 1990. 38. 90-98.

31. Al.S.A. Schelkunoff. Conversion of Maxwell's equations into generalized telegraphist's equation. Bell System Technical Journal. 1955. 34, № 5. 995-1043.

32. АЪ.Кацелененбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М : Наука, 1961.

33. Краснушкин П.Е. Метод нормальных волн в применении к проблеме дальних радиосвязей. М: Изд-во МГУ, 1947.5Q.Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математический модели электродинамики. М: Высшая школа, 1991.

34. Свешников А.Г., Могилевский И.Е. Математические задачи теории дифракции. М: Физический факультет МГУ, 2010.

35. Ы.Завадский В.Ю. Вычисление волновых полей в открытых областях и волноводах. М: Наука, 1972.5Ъ.Григорьев А.Д., Янкевич В.Б. Резонаторы и резонаторные замедляющие системы СВЧ. Численные методы расчета и проектирования. М: Радио и связь, 1984.

36. Калиткин Н.Н. Численные методы. М: Наука, 1978.

37. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М: Наука, 1980.

38. Быков A.A., Ильинский A.C. Прямой численный метод исследования электродинамических свойств полого диэлектрического трансформатора. Радиотехника и электроника. 1982. 27, № 9. 17061710.

39. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.61 .Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Митина И.В. Расчет газово-диэлектрического световода конечно-разностным методом. Радиотехника и электроника. 1982. 27, № 3. 401-408.

40. Боголюбов А.Н., Едакина Т.В. Применение вариационно-разностных методов для расчета диэлектрических волноводов. Вестн. Моск. Унта. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1991. 32, № 2. 6-14.

41. Боголюбов А.Н., Едакина Т.В. Расчет диэлектрических волноводов со сложной формой поперечного сечения вариационно-разностным методом. Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1993. 34, № 3. 72-74.

42. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Минаев Д.В., Сычкова A.B. Расчет диэлектрических волноведущих систем конечно-разностным методом. Радиотехника и электроника. 1993. 38, № 5. 804-809.

43. Боголюбов А.Н., Делицын A.JJ., Красилъникова А.В., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Математическое моделирование волноведущих систем на основе метода конечных разностей. Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. № 5. 39-54.

44. Полянский Э.А. Метод коррекции решения параболических уравнений в неоднородном волноводе. М: Наука, 1985.

45. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. Применение метода конечных элементов к исследованию волноводного перехода. Вестн. Моск. Унта. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2003. № 4. 6-9.

46. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М: Мир, 1977.

47. ЪЪ.Норри Д., de Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М: Мир, 1981.

48. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М: Наука, 1981.

49. J.R. Bunch, D.J. Rose. Sparse matrix computations. New York: Academic Press, 1976.

50. J.R .Bunch, L. Kaufman. Some stable methods for calculating inertia and solving symmetric linear systems. Mathematics of Computation. 1977. 31. 163-179.

51. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М: Мир, 1984.

52. Ш.Кравченко В. Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. М: Радиотехника, 2003.

53. Ю.Кравченко В. Ф., Рвачев В. Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. М: Физматлит, 2006.

54. Кравченко В.Ф., Лабунько О.С., Лерер A.M., Синявский Г.П. Вычислительные методы в современной радиофизике. М: Физматлит, 2009.

55. Г. Angkaew, М. Matsuhara, and N. Kumagai. Finite-element analysis of waveguide modes: A novel approach that eliminates spurious modes. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1987. MTT-35. 117-123.

56. Боголюбов A.H., Делш(ын А.Л. Расчет диэлектрических волноводов методом конечных элементов, исключающий появление нефизических решений. Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1996. 37, № 1. 9-13.

57. Rahman В.М.А., Davies J.B. Penalty function improvement of waveguide solution of finite element. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1984. MTT-32, №8. 922-928.

58. Bermudes A., Pedreira D.G. A finite element method for computation of waveguides. Numer. Math. 1992. 61, № 2. 39-57.

59. Nedelec J.C. Mixed finite elements in R3. Numer. Math. 1980. 35. 315341.

60. Raviart P.A., Thomas J.M. A mixed finite element method for 2-nd order elliptic problems. In. A.Dold, B. Eckman ets. Mathematical Aspects of121the Finite Element Methods. Lecture Notes in Math. (Springer Berlin Heidelberg). 1983. 606. 292-315.

61. Kikuchi F. Mixed and penalty formulations for finite element analysis of an eigenvalue problem in electromagnetism. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1987. 64. 509-521.

62. Боголюбов А.Н., Свешников А.Г., Лопушенко В.В. Расчет градиентных оптических волокон конечно-разностным методом с использованием эффективных граничных условий. Вестн. Моск. Унта. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1991. 32, № 2. 6-14.

63. Свешников А.Г. Принципы излучения. ДАН СССР. 1950. 3, № 5. 517-520.

64. Johnson S.G. Notes on perfectly matched layers (PMLs). math.mit.edu (Массачусетский технологический институт, отделение математики), 2010.

65. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М: Наука, 1964.

66. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М: Мир, 1982.

67. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1989.

68. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1. М: иностр. лит., 1958.

69. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М: Наука, 1981.

70. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М: МГУ, 1993.

71. ИосидаК. Функциональный анализ. М: Мир, 1967.

72. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М: Наука, 1967.

73. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М: Наука, 1987.

74. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М: Наука, 1973.

75. Roberts J.E., Thomas J.-М. Mixed and Hybrid Methods. In Handbook of Numerical Analysis. V.2. ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991. 523-639.

76. DeclouxJ., NassifN., RappazJ. On spectral approximation. Part 1. The problem of convergence. RAIRO Numerical Analysis. 1978. 12, №2. 97-112.

77. Делицын А.Л. О проблеме применения метода конечных элементов к задаче вычисления мод диэлектрических волноводов. Журнал выч. мат. и мат. физ. 1999. 39, № 2. 315-322.

78. Bramble J., Osborn J. Rate of Convergence Estimates for Nonselfajoint Eigenvalue Approximation. Mathematics of Computation. 1973. 27, № 123. 525-549.

79. Банков C.E., Куру шин А. А., Разевиг В Д. Анализ и оптимизация трехмерных СВЧ-структур с помощью HFSS. М: COJIOH-Пресс, 2005.