Метод проекционного сшивания в теории волноводов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

п Б од Физический факультет

1 У МАЙ 1934

На, правах рукописи

АСЛАНИДИ КОНСТАНТИН ГЕОРГИЕВИЧ

МЕТОД ПРОЕКЦИОННОГО СШИВАНИЯ ' В ТЕОРИИ ВОЛНОВОДОВ.

01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва —1994

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических

Официальные оппоненты:

наук В.П.Моденов, доктор физико-математических наук, профессор Ю.В.Шестопалов, кандидат физико — математических наук, старший научный сотрудник Маненков А.Б.

Московский государственный институт электроники и математики. 1994 года б (¿часов на заседании Специализированного Совета К 053.05.18 при МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу 119В9Э, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, аудитория С<РА

Ведущая организация: Защита состоится " " 6Ы-Ок^

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан " " М А 1994 года.

Ученый секретарь

Специализированного Совета К 053.05.18

доктор физико-математических наук ^ П.А. Поляков

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

В диссертации исследуются ключевые задачи, возникающие при проектировании объемных микросхем, устройств сверхбыстрой обработки информации (фотоуправляемых фильтров, модуляторов, аттенюаторов и т.д.), сочленений волноводов и различных линий передач, работающих в СВЧ и КВЧ диапазоне частот. Применение указанных устройств является новым, перспективным направлением развития современной вычислительной техники, электроники и радиотехники.

Характерно, что интересные эффекты сосредосточены в областях резонанса и имеют многомодопый характер. Это обстоятельство делает необходимым анализ проблемы на основе строгой математической постановки рассматриваемых задач. В диссертации предложен и математически обоснован эффективный численный алгоритм, основанный на методе проекционного сшивания (А.С.Ильинский, А.Г.Свешников), позволяющий не только провести математическое моделирование с необходимой точностью, но и понять физическую сущность исследуемого явления.

Применение метода проекционного сшивания наталкивается на ряд трудностей теоретического и вычислительного характера, некоторые из которых активно исследуются. Например, обнаруженное теоретически явление относительной сходимости (Миттра Р., Ли С., Г.И.Веселов, В.М.Темнов) привело к появлению ряда работ, посвященных обоснованию метода при различных предположениях на примере решения конкретных задач. В связи с этим актуальной является проблема теоретического обоснования метода и обобщение его

применения на более широкий класс задач, включающий, в частности, диэлектрические ступенчатые неоднородности. Практическая реализация метода возможна, если известны нормальные волны волновода {Г.В.Кисунько, Л.А.Вашштейн, Б.З.Каценеленбаум, П.Е.Краснушкин, Ю.В.Шестопалов), вычисление которых является простой задачей только для небольшого числа модельных задач. В диссертации предложен оригинальный подход, основанный на строгом математическом анализе с применением аналитического программирования. В сочетании с методами топологического анализа (В.И.Гвоздев, Г.А.Кузаев), данный подход может оказаться достаточно эффективным при исследовании распределения электромагнитных полей в металло—диэлектрических волноведущих системах современных объемных интегральных схем.

Цель работы.

1. Для решения широкого класса задач электродинамики провести теоретическое обоснование метода проекционного сшивания: доказать корректность математической постановки задачи и обосновать сходимость метода.

2. Сформулировать вычислительный алгоритм решения рассматриваемых задач.

3. Создать пакет компьютерных программ, реализующих данный алгоритм.

4. Проверить адекватность математического моделирования путем сравнения с реальным физическим экспериментом.

Научная новизна.

Для решения задач дифракции электромагнитных волн на скачкообразных неоднородностях в металле—диэлектрических волноведущих системах предложен эффективный численный алгоритм, основанный на методе частичных областей, разложении искомого электромагнитного поля по системе нормальных волн в каждой частичной области и проекционном сшивании полей на границах этих частичных областей.

С помощью оригинальной методики доказана корректность математической постановки рассматриваемых краевых задач в двухмерной и электродинамической постановке и дано математическое обоснование предложенного алгоритма решения этих задач.

Впервые предложена и реализована методика компьютерного получения аналитического представления для нормальных волн.

С помощью предложенного алгоритма впервые численно исследован эффект резонансной дифракции Н—волн на диэлектрической неоднородности в запредельном участке волновода.

Научная и практическая ценность работы.

Теоретические результаты могут быть применены для обоснования корректности математических моделей, допускающих априорную оценку решения. Реализованные в виде компьютерных программ вычислительные алгоритмы позволяют исследовать широкий класс электродинамических задач. Численно исследованный эффект резонансной дифракции может быть использован для создания волноводных многофункциональных устройств.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва,1991), на Всесоюзном научно—техническом семинаре "Математическое моделирование процессов и аппаратов" (Иваново, 1990), на Всесоюзной научно—технической конференции "Теория и применение электромагнитных волн миллиметрового диапазона" (Тбилиси, 1991), на научно—технической конференции "Перспективы развития антенно—фидерной техники и ее элементной базы" (Суздаль, 1992), на Ломоносовских чтениях в 1993 году, на межфакультетском семинаре МГУ по вычислительным методам электродинамики.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 — 6]. Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Она содержит 74 страницы основного текста, список литературы из 76 наименований и приложения на 32 страницах.

Краткое содержание диссертации. Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, дано краткое содержание диссертации и изложены основные результаты, выносимые на защиту. Применяемый метод состоит в следующем: — вся волноводная область делится на частичные области с постоянными вдоль продольной координаты характеристиками,

— в каждой частичной области рассеянное поле представляется в виде разложения по системе нормальных волн с неопределенными коэффициентами,

— на границе частичных областей ставятся проекционные условия сшивания, отражающие условие непрерывности потока электромагнитной энергии,

— из интегральных условий выводится бесконечномерная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для коэффициентов разложения,

— решение бесконечномерной СЛАУ ищется в виде предела последовательности решений конечномерных СЛАУ, полученных усечением исходной СЛАУ.

В связи с вышеизложенным, для обоснования метода необходимо, во —первых, доказать, что решения конечномерных СЛАУ будут сходиться к решению бесконечномерной СЛАУ в метрике, обеспечивающей требуемую в постановке задачи гладкость решения и существование следа решения в плоскости, разделяющей частичные области,

во —вторых, указать способ построения нормальных волн волновода. В первой главе изложен применяемый в работе оригинальный метод доказательства корректности задачи и дано обоснование сходимости приближенного метода. Предположим, что решение задачи Ах = у

ищется в виде предела последовательности решений приближенных задач

А„х = Р„у, п = 1..........(1)

Введем гильбертову шкалу Hfln (Ж.Л.Лионс, Э. Мадженес

"Неоднородные граничные задачи и их приложения".М.: Мир, 1971)

Пусть, по определению, Í1(A) ={ü|A eB(He,H4)}.

Имеет место

Теорема 1

Пусть:

1) Последовательность {Ап} е В(Нвп, Нвп) компактно аппроксимирует (Вайникко Г.М.) оператор А на шкале Нв, -0 е ÍÍ(A);

2) 3i>0 еП[А): BfrH^ i-> R„f(0) = О,

VxeH^.VyeH^ A„x = P„y => ||x¡^ S f(y).

Тогда П(А) = П(А"'). Теорема 2 (Вайникко Г.М.)

Пусть 1) Последовательность {А„} компактно аппроксимирует оператор А в банаховом пространстве Е,

2) ЗА"' бВ(Е, Е),

3) 0 е р(А) иср(А).

Тогда 1) 3N: Vn > N 3xj,: А„^ = Р„у,

2)||х;-х"||-»0. п —> оо. Доказательство корректности задачи и сходимости приближенного метода (1) сводится к проверке двух условий теоремы 1.

В главе 2 рассматривается плоская задача дифракции Н — волн на скачке поперечного сечения и диэлектрической вставке.

X

f

a b4-d b

lililí II

0

Решения задачи E'(x,z), H'(x,z) (j = l,2 —номер волновода) представляются в виде разложений по нормальным волнам

Е' = ¿a„eit exp[iyiz] + ¿ rne', expf-iftz],

n=l n=l

H' =¿an(h^ +hll)exp[if:z]-f¿r„(-h^ +hL)exp[-ir'z],

n=l 11 = 1

E2 =¿tne> expfiy'z] + ¿b„e^ ехр[-^],

n=l 11 = 1

H2 =Stn(h>hL)exP[i^z] + ¿b„(-h^t + h2Jexp[-i^z],

n=l 11=1

{an}, {bn} — коэффициенты в разложении падающего поля, {rn}, {tn} — коэффициенты в разложении рассеянного поля, подлежащие определению, hj^, exp[iy¡,z] и е^,ехр[гу|,г] — продольные и поперечные составляющие векторов напряженности магнитного и электрического поля нормальной волны с номером п. у'п — постоянные распространения нормальных воли. После подстановки этих разложений в условия проекционного сшивания

I а

/[Efxh^n.ds = /[Elxh^ds,

-h О

. в о

{[Hjxe^n.ds =J[Hl1xeiI]nIds.

где Ej. Hj — тангенциальные составляющие решения, получается бесконечномерная система линейных алгебраических уравнений

Ах=Ву,

II I -а! _ I -I all _ ||t|| _ |b|

А = |[7']"ату' if В = |7,Г«ТТ4 if Х1И|; У = НГ

Здесь t, а, b, г — столбцы амплитуд поля

» = 1*0 -КГ" Н|в„р"; г = |КГ":

•у, а — бесконечномерные матрицы

А.„, СХ1Ш1 - | Эх Эх 48.

{у],}, [х1,,} — магнитные собственные функции и собственные числа волновода.

Полученная бесконечномерная система решается методом редукции. Для обоснования сходимости решения усеченной системы к точному решению вводятся пространства

«р={ж|(х1.х1....)1||х| <»];

4 = Jlkrfe)P;

Для того, чтобы существовал интегрируемый с квадратом след решения в плоскости 2 = 0, достаточно, чтобы точное решение х б Б,. Поэтому

необходимо доказать, что имеет место сходимость приближенного решения в Рг Во второй главе исследована непрерывность прямого оператора: П(А) э[0,1] и установлена априорная оценка приближенного решения: ||х||Р > <, С||у]]р . Согласно теоремам I и 2 отсюда следует, что оператор А имеет непрерывный обратный в Рр, р е [О, I] и последовательность приближенных решений сходится к точному решению в метрике пространства И,.

В главе 3 рассматривается трехмерная задача дифракции на скачке поперечного сечения волновода. Исследование проводится аналогично главе 2. Разложение решения по нормальным волнам имеет вид:

Е' = ± АК' + ± АХ' + ± ^Е* + £ .

л=1 п=1 п=1

н'=Е а;нп + £ а;н;'+± вд + £ ад,

П=1 П=1 Л=1

Е2=Е В;Е- + ± В;Е» + ± + Ё ,

П=1 П=1 Г-1 П=1

н* = £ в^н- + X в^н^ +2т;н;;2 + ¿тХ5,

11=1 11=1 П = 1 П=1

{а:}^. {а;}^. {вЦ}^ - коэффициенты в разложении

падающего поля,

{т:}„=и„. - искомые коэффициенты в

разложении рассеянного поля. Условия проекционного сшивания:

Де'хь^п^ДЕ;*^].^,

Я,

Б, 5,

5, Б,

5, 5,

Бесконечномерная система:

'Г'ау1 -аЦв^'Г'Р

О -а

-I О

О I

0 а

1 О О I

1' ье

ь"

; у =

г а

ь

Г а

Г- НКЧР"; ь-=||вг|Г"°; ^ ЧКЧР";

акп = | ак11 = Рк„ = {[Уу* х ¿5.

Б, Б, Б,

А =

I

О

ат

соеЛу'Г'Р7

0

1

О

[

В:

а

Л1 1-1 С

о

-I

о

(т'Г'аЧ3

Для обоснования сходимости решения усеченной системы к точному решению вводятся пространства Н„ =1„®Гр®Гр®Г„.

Устанавливается, что имеет место непрерывность прямого оператора П(А) э[0, 1] и априорная оценка решения 1*1,, £ С|у| . Согласно

теоремам 1 и 2 отсюда следует, что оператор А имеет непрерывный обратный в Нр, р е [0,1] и последовательность приближенных решений

сходится к точному решению в метрике пространства Н,.

В главе 4 описан алгоритм аналитического нахождения на компьютере собственных функций волновода, через которые выражаются нормальные волны. Для применимости алгоритма существенно, чтобы сечение допускало разбиение координатными линиями на подобласти с кусочно—координатными границами таким образом, чтобы в каждой из подобластей искомые функции задавались дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и на каждом координатном отрезке границы ставились условия только с постоянными коэффициентами. Примеры сечений такого типа:

м

[V

1

V

В главе 5 приведены результаты счета. Для плоского случая проведено сравнение с реальным физическим экспериментом, проведенном на кафедре радиофизики физического факультета МГУ (Ю.А.Пирогов, Э.Е.Фоминова).

Звездочками обозначены экспериментальные данные, кривые — результат математического моделирования.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1. На основе спектрального метода частичных областей и проекционного сшивания построен эффективный численный алгоритм, предназначенный для решения широкого класса задач дифракции электромагнитных волн на скачкообразных неоднородностях в металло диэлектрических волноведущих системах.

2. С помощью оригинальной методики дано математическое обоснование предложенного численного алгоритма.

3. Впервые для вывода дисперсионных уравнений и построения системы собственных волн металло диэлектрических волноводов применено аналитическое компьютерное программирование и предложен алгоритм исследования переопределенных систем уравнений.

4. Создан комплекс компьютерных программ, реализующих предложенные алгоритмы.

5. Численно установлен эффект резонансной дифракции Н —волн на диэлектрической неоднородности в запредельном участке волновода и исследовано явление трансформации Н —волн в Е —волны. Проведено сравнение с реальным физическим экспериментом, подтвердившим адекватность математического моделирования.

Публикации по теме диссертации.

1. Асланиди К.Г., Моденов В.П. Метод проекционного сшивания в задаче о сочленении волноводов//Ж. вычисл. матем. и матем. физ.

1992. — Т. 32. Ы2.-С. 277-284.

2. Асланиди К.Г., Моденов В.П. К обоснованию метода проекционного сшивания//Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15: Вычисл. матем. и киберн.,

1993.-N4.-С. 24-30.

3. Моденов В.П., Асланиди К.Г. Математическое моделирование резонансных волноведущих систем//Актуальные проблемы фундаментальных наук. — Сборник докладов Международной научно-технической конференции. М.: МГТУ. 1991. Т. 3.-С.202-204.

4. Моденов В.П., Асланиди К.Г.. Метод частичных областей в электродинамике волноводов//Тезисы докладов Всесоюзного научно-технического семинара "Математическое моделирование процессов и аппаратов" — Иваново, 1990. — С.27.

5. Моденов В.П., Аслдниди К.Г. Сочленение волноводов с частичным диэлектрическим заполнением//Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Теория и применение электромагнитных волн миллиметрового диапазона" Тбилиси: Изд—воТГУ, 1991. —С.13.

6. Асланиди К.Г., Моденов В.П. Получение на компьютере аналитического представления для нормальных волн волноводов.//В кн. Перспективы развития антенно —фидерной техники и ее элементной базы. М.: Изд-во МШ РНТОРЭС им. А.С.Попова, 1992.-С. 102.