Системы уравнений над алгебраическими системами с порядком

Дворжецкий, Юрий Сергеевич

Системы уравнений над алгебраическими системами с порядком тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Дворжецкий, Юрий Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Омск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Системы уравнений над алгебраическими системами с порядком»

Автореферат диссертации на тему "Системы уравнений над алгебраическими системами с порядком"

На правах рукописи

Дворжецкий Юрий Сергеевич

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ НАД АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С ПОРЯДКОМ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск-2014

2 1 АВГ 2014

005551916

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Ремесленников Владимир Никанорович.

Официальные оппоненты:

Тимошенко Евгений Иосифович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет», заведующий кафедрой; Мартынов Леонид Матвеевич, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный педагогический университет», заведующий кафедрой.

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Защита состоится 18 сентября 2014 в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 003.015.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад. Коптюга,4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук и на сайте www.math.nsc.ru.

Автореферат разослан_июля 2014 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Стукачёв Алексей Ильич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность работы.

Системы уравнений и их решения над алгебраическими системами рассматривались Г. Баумслагом, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремеслен-никовым. В работах [9,18] была построена алгебраическая геометрия над группами. Подходы, применённые в этих статьях, были обобщены Э. Ю. Данияровой, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремесленниковым на случай произвольной алгебраической системы в работах [2,11-14].

В работах [2,11-14] задача классификации алгебраических множеств с точностью до изоморфизма сведена к задаче классификации координатных алгебр. Также в этих работах доказаны так называемые объединяющие теоремы, которые показывают эквивалентность семи различных способов описания координатных алгебр.

Необходимым условием применения этих объединяющих теорем для какой-либо алгебраической системы является наличие у этой системы свойства нётеровости по уравнениям.

Э. Ю. Данияровой, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремесленниковым в работе [13] было показано, что все результаты применимы не только к. алгебраическим системам (без предикатных символов), но и к системам с произвольным языком. Следовательно, стало возможным говорить о нётеровости по уравнениям вообще в произвольных системах.

Э. Ю. Данияровой, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремесленниковым было доказано, что объединяющие теоремы, а также некоторые другие результаты верны не только для нётеровых по уравнениям алгебраических систем, но и для систем с более слабыми свойствами [11]. Таким образом, были сформулированы понятия слабой нётеровости, и иш-компактности. Соответствующие классы нётеровых и слабо нётеровых систем обозначают N и К', а классы и и^-компактных систем — и и соответственно. Таким образом, чтобы применить объединяющие теоремы, необходимо просто показать принадлежность алгебраической системы к классам 14', и и.

нётеровых и слабо нётеровых алгебраических систем, и и — классам qUJ- и -«^-компактных алгебраических систем, соответственно. Также был доказан критерий геометрической эквивалентности булевых алгебр с константами.

Результаты А. Н. Шевлякова могут быть перенесены на более общие дистрибутивные решётки с константами и алгебры Ершова. Эти результаты также переносятся на булевы алгебры с выделенными идеалами, изучаемые Д. Е. Пальчуновым [3-7].

Целью диссертационной работы является изучение систем уравнений над алгебраическими системами с порядком и исследование связи свойства нётеровости по уравнениям с наличием порядка в алгебраической системе.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Определить понятия атомарной стабильности и атомарной А-ста-бильности алгебраических систем по аналогии с понятиями стабильности и А-стабильности как критериев для дальнейшего изучения алгебраической геометрии.

2. Исследовать связь атомарной стабильности с нётеровостью по уравнениям.

3. Построить канонический вид систем уравнений, доказать критерии нётеровости и слабой нётеровости над дистрибутивными решётками, решётками с выделенным идеалом, алгебрами Ершова.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретический характер. Введено понятие атомарной стабильности, построены критерии нётеровости и слабой нётеровости по уравнениям для дистрибутивных решёток, решёток с выделенным идеалом, алгебр Ершова. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при дальнейшем изучении алгебраической геометрии над алгебраическими системами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. Международная конференция «Мальцевские чтения» (ИМ им. С. Л. Соболева, Новосибирск, 2008, 2009, 2012, 2013 гг.).

2. Международная школа-семинар «Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений» (ОФ ИМ им. С. Л. Соболева, Омск, 2009 г.).

3. Омский алгебраический семинар (ОФ ИМ им. С. Л. Соболева, Омск, 2010, 2012, 2013 гг.).

4. Международная конференция «Стохастические модели в биологии и предельные алгебры» (ОФ ИМ им. С. Л. Соболева, Омск, 2013 г.).

5. Школа-конференция «Математические проблемы информатики» (ОФ ИМ им. С. Л. Соболева, Омск, 2013 г.).

6. Семинар «Алгебра и логика» (ИМ им. С. Л. Соболева, Новосибирск, 2014 г.).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 93 страницы. Список литературы содержит 30 наименований.

Основные результаты диссертационной работы:

1. Даны определения атомарной стабильности и атомарной А-ста-бильности по аналогии с понятием стабильности и А-стабильности из теории моделей. Доказаны некоторые аналогичные свойства и следствия. Показано, что теория, у которой все модели нётеровы по уравнениям, является атомарно стабильной. Также построен пример системы М, не являющейся нётеровой по уравнениям, но теория Т/г(М) атомарно стабильна.

2. Построен нормальный вид систем уравнений над дистрибутивными решётками с константами. Доказан критерий нётеровости по уравнениям дистрибутивных решёток. Построен пример, показывающий, что критерий слабой нётеровости по уравнениям булевых алгебр не переносится на более общие дистрибутивные решётки.

3. Доказан критерий слабой нётеровости булевых алгебр с выделенным простым идеалом. Доказан критерий нётеровости по уравнениям для более общих решёток с произвольным конечным набором предикатных символов.

4. Для алгебр Ершова также построен нормальный вид систем уравнений и доказан критерий нётеровости и слабой нётеровости по уравнениям.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 3 печатных изданиях [24,26,27], Все результаты опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. Работа [22] выполнена вместе с М. В. Котовым при равном вкладе соавторов.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе даются необходимые определения и формулировки теорем из алгебры логики, универсальной алгебраической геометрии над алгебраическими системами, теории решёток и теории моделей.

Во второй главе даются определения понятий атомарной стабильности и атомарной Л-стабильности вместе с необходимыми понятиями атомарных типов, аналогичных понятиям стабильности, А-стабильности и типов из теории моделей, определённых не над множеством всех формул, а только над множеством атомарных формул. В этой главе также доказаны результаты, которые переносятся из теории моделей на определения атомарной стабильности, в частности, следующий результат.

Теорема 1. Пусть Т — полная теория языка первого порядка £. Если по крайней мере для одного бесконечного кардинала А, такого что |£| < А, теория Т атомарно Х-стабилъна, то Т атомарно стабильна.

Также показана непосредственная связь между атомарной стабильностью и свойством нётеровости по уравнениям.

Теорема 2. Теории, у которых все модели нётеровы по уравнениям, являются атомарно стабильными.

В этой главе приведён пример алгебраической системы М:

демонстрирующей, что обратное утверждение неверно, т.е. М не является нётеровой по уравнениям, но теория 77г.(М) атомарно стабильна.

Третья глава посвящена системам уравнений и свойствам нётеровости по уравнениям над дистрибутивными решётками. Здесь показан нормальный вид систем уравнений в дистрибутивных решётках, доказан следующий критерий нётеровости но уравнениям.

М = {М;тогео(х),тогех(х),тоге2(х),...,0,1,2,...)

где

Теорема 6. Дистрибутивная Б-решётка А нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда дистрибутивная решётка е, порождённая константами, конечна.

Также в главе приводится пример решётки М:

М = ([0,1]; V = тах<2\л = тш(2>, [0,1]) ,

которая показывает, что критерий слабой нётеровости по уравнениям булевых алгебр, доказанный А.Н. Шевляковым, на дистрибутивные решётки не переносится.

Далее рассматриваются системы уравнений над алгебрами Ершова. Доказан следующий критерий нётеровости по уравнениям.

Теорема 9. С-алгебра Ершова А нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда подалгебра констант С конечна.

А также критерий слабой нётеровости по уравнениям.

Теорема 11. Пусть А — С-алгебра Ершова. Тогда А слабо нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда:

1. для любого ограниченного в А множества констант из С существует точная верхняя грань в А и эта грань также принадлежит С;

2. для любого неограниченного сверху множества констант {с, |э £ J} из 6 и для некоторого с верна следующая эквивалентность:

{а; А с, = 01.7 £ 7} ~ х < с.

В четвёртой главе изучаются булевы алгебры с выделенным идеалом и более общие дистрибутивные решётки с произвольным конечным набором предикатов. Для дистрибутивных решёток с произвольным набором предикатов доказан следующий критерий нётеровости по уравнениям:

Теорема 12. Дистрибутивная С-решётка

А = (А; УИ, Л'2); Р™-е)

с конечным набором предикатов i = 1,..., к местности Л^, нё-

гперова по уравнениям тогда и только тогда, когда дистрибутивная решётка С, порождённая константами, конечна.

Для решёток с выделенным простым идеалом доказан критерий слабой нётеровости по уравнениям.

Теорема 15. Булева С-решётка Ъ с предикатом р}1^ принадлежности к простому А-идеалу I С Ъ слабо нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда для любого множества констант К С С идеал (К) = {а € Ъ\а < Ь,\/Ь е К} конечно порождён константами из С или может быть представлен в виде пересечения идеала I и идеала, конечно порождённого константами из С.

Литература

[1] Гретцер Г. Общая теория решёток — Москва: Мир, 1982 — 456 с.

[2] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами II: Основания // Фундаментальная и прикладная математика. — 2012. — Т. 17, М. - С. 65-106.

[3] Пальчунов Д. Е. Конечно-аксиоматизируемые булевы алгебры с выделенными идеалами // Алгебра и логика. — 1987. — Т. 26, №4. - С. 435-455.

[4] Пальчунов Д. Е. О неразрешимости теорий булевых алгебр с выделенным идеалом // Алгебра и логика. — 1986. — Т. 25, №3. — С. 326-346.

[5] Пальчунов Д. Е. Простые и счётно-насыщенные булевы алгебры с выделенными идеалами // Труды Института математики СО РАН. - 1993. - Т. 25. - С. 82-103.

[6] Пальчунов Д. Е. Прямые слагаемые булевых алгебр с выделенными идеалами // Алгебра и логика. — 1992. — Т. 31, №5. — С. 499537.

[7] Пальчунов Д. Е. Теории булевых алгебр с выделенными идеалами, не имеющие простой модели // Труды Института математики СО РАН. - 1993 - Т. 25. - С. 104-132.

[8] Салий В.Н. Решётки с единственными дополнениями — Москва: Наука, 1984. - 128 с.

[9] Baumslag G., Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and ideal theory // J. Algebra. - 1999. - Vol. 219. - P. 16-79.

[10] Birkhoff G. Lattice theory — American Mathematical Soc., 1967. — 283 p.

[11] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures III: Equationally Noeiherian Property and Compactness // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. — 2011. — Vol. 35. - P. 35-68.

[12] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures IV: Equational domains and co-domains // Algebra and Logic. - 2011. - Vol. 49, No. 6. - P. 715-75G.

[13] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures V: The case of arbitrary signature // Algebra and Logic. - 2012. - Vol. 51, No. 1. - P. 28-40.

[14] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Mathematics. — 2008. - №1, P. 80-112.

[15] Hodges W. Model Theory — Camridge: Cambridge university press, 1993. - 772 p.

[16] Kotov M. Equationally Noetherian Property and Close Property, Southeast Asian Bulletin of Mathematics — 2011. - No. 35. - P. 419429.

[17] Marker D. Model Theory — New York: Springer-Verlag — 2002. — 342 p.

[18] Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups II: Logical foundations // J. Algebra. - 2000. - Vol. 234. - P. 225-276.

[19] Shelah S. Stable Theories 11 Israel Journal of Mathematics — 1969. — No. 7. - P. 187-202.

[20] Shelah S. The Number of non-isomorphic models of an unstable first-order theory // Israel Journal of Mathematics — 1971. — No. 9 - P. 473-487.

[21] Shevlyakov A. Algebraic geometry over Boolean algebras in the language with constants j/ arXiv.org, Cornell University Library, 2013 - 23 pp. URL: http://arxiv.org/pdf/1305.6844.pdf (дата обращения: 05.05.2014).

Публикации автора по теме диссертации

[22] Дворжецкий Ю. С., Котов М. В. Минимаксные алгебраические системы // Вестник Омского университета. — 2008. — спец. выпуск «Комбинаторные методы алгебры и сложность вычислений». — С. 130-136.

[23] Дворжецкий Ю. С. Об атомарной стабильности // Стохастические модели в биологии и предельные алгебры: тр. Междунар. конф., Россия, Омск — 2010. — С. 17.

[24] Дворжецкий Ю. С. Атомарная стабильность // Вестник Омского университета. — 2011. — №4. — С. 37-44.

[25] Дворжецкий Ю. С. Алгебраическая геометрия над дистрибутивными решётками // Мальцевские чтения: тр. Междунар. конф., Россия, Новосибирск — 2012. — С. 138.

[26] Дворжецкий Ю. С. Алгебраическая геометрия над дистрибутивными решётками // Вестник Омского университета. — 2013. — №2. - С. 23-29.'

[27] Дворжецкий Ю. С. Алгебраическая геометрия над решётками с выделенным идеалом // Вестник Омского университета. — 2013. — Ж. - С. 30-35.

[28] Дворжецкий Ю. С. Алгебраическая геометрия над дистрибутивными решётками // Мальцевские чтения: тр. Междунар. конф., Россия, Новосибирск — 2013. — С. 153.

[29] Дворжецкий Ю. С. Алгебраическая геометрия над алгебрами Ершова // Математические проблемы информатики: тр. Междунар. конф., Россия, Омск - 2013. — С. 24.

[30] Y. Dvorzhetskiy Equationally Noetherian property of Ershov algebras / / arXiv.org, Cornell University Library, 2014. — 11 pp. URL: http://arxiv.org/pdf/1405.0954.pdf (дата обращения: 05.05.2014).

Дворжецкий Юрий Сергеевич

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ НАД АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С ПОРЯДКОМ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 12 июля 2014 года. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №130.

Отпечатано в отделе полиграфии Омского государственного университета 644077, Омск, пр. Мира, 55

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Дворжецкий, Юрий Сергеевич, Омск

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского»

На правах рукописи

Дворжецкий Юрий Сергеевич

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ НАД АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С

ПОРЯДКОМ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Ремесленников

Омск - 2014

Оглавление

Введение....................................................................4

Глава 1. Предварительные сведения......................................10

1.1 Предварительные сведения из алгебры логики................10

1.2 Сведения из теории моделей....................................12

1.3 Предварительные сведения из теории решёток................13

1.3.1 Решётки, дистрибутивные решётки....................14

1.3.2 Дополнения, алгебры Ершова..........................17

1.4 Сведения из универсальной алгебраической геометрии ... 18

1.4.1 Основные определения..................................19

1.4.2 Алгебраическая геометрия над булевыми алгебрами 21 Глава 2. Атомарная стабильность........................................23

2.1 Типы и атомарные типы........................................23

2.1.1 Полный тип п-ки элементов над множеством..........23

2.1.2 Атомарные типы п-ки элементов над множеством . . 24

2.1.3 Атомарные типы над множеством......................25

2.1.4 Атомарные типы теории ................................28

2.2 Атомарная стабильность........................................30

2.3 Атомарная Л-стабильность......................................31

2.4 Нётеровость по уравнениям и атомарная стабильность ... 37 Глава 3. Системы уравнений над дистрибутивными решётками ... 42

3.1 Нормальный вид систем уравнений в дистрибутивных решётках..........................................................42

3.2 Нётеровость по уравнениям дистрибутивных решёток ... 47

3.3 Дистрибутивные решётки и слабая нётеровость по уравнениям 51

3.4 Нормальный вид систем уравнений в алгебрах Ершова ... 57

3.5 Нётеровость по уравнениям алгебр Ершова ..................63

3.6 Другой нормальный вид систем уравнений над алгебрами Ершова............................................................63

3.7 Слабая нётеровость по уравнениям в алгебрах Ершова ... 68 Глава 4. Системы уравнений над решётками с выделенным идеалом 76 •

4.1 Идеалы в решётках, решётки с выделенным идеалом .... 76

4.2 Нётеровость по уравнениям в решётках с предикатами ... 79

4.3 Канонический вид систем уравнений..........................80

4.4 Слабая нётеровость по уравнениям в булевых решётках с идеальным предикатом..........................................85

Заключение..................................................................89

Литература..................................................................90

Введение

Актуальность темы исследования

Системы уравнений и их решения над алгебраическими системами рассматривались Г. Баумслагом, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремесленнико-вым. В работах [9,18] была построена алгебраическая геометрия над группами. Подходы, применённые в этих статьях, были обобщены Э. Ю. Дания-ровой, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремесленниковым на случай произвольной алгебраической системы в работах [2,11-14].

Э. Ю. Данияровой, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремесленниковым в работе [13] было показано, что все результаты применимы не только к алгебраическим системам (без предикатных символов), но и к системам с произвольным языком. Следовательно, стало возможным говорить о нётеровости по уравнениям вообще в произвольных системах.

и Г^', а классы и ^-компактных систем — и и соответственно. Таким образом, чтобы применить объединяющие теоремы, необходимо просто показать принадлежность алгебраической системы к классам С^ и и.

Впервые свойства нётеровости булевых алгебр с константами рассматривал А. Н. Шевляков [21]. В его работе построен нормальный вид систем уравнений над булевыми алгебрами с константами. А. Н. Шевляков доказал критерии принадлежности булевых алгебр к классам N и — нётеровых и слабо нётеровых алгебраических систем, и и — классам Яш~ и ^-компактных алгебраических систем, соответственно. Также был доказан критерий геометрической эквивалентности булевых алгебр с константами.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Определить понятия атомарной стабильности и атомарной А-стабиль-ности алгебраических систем по аналогии с понятиями стабильности и А-стабильности как критериев для дальнейшего изучения алгебраической геометрии.

2. Исследовать связь атомарной стабильности с нётеровостью по уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. Международная конференция «Мальцевские чтения» (ИМ им. С. Л. Соболева, Новосибирск, 2008, 2009, 2012, 2013 гг.).

3. Омский алгебраический семинар (ОФ ИМ им. С. Л. Соболева, Омск, 2010, 2012, 2013 гг.).

5. Школа-конференция «Математические проблемы информатики» (ОФ ИМ им. С. Л. Соболева, Омск, 2013 г.).

6. Семинар «Алгебра и логика» (ИМ им. С. Л. Соболева, Новосибирск, 2014 г.).

Во второй главе даются определения понятий атомарной стабильности и атомарной Л-стабильности вместе с необходимыми понятиями атомарных типов, аналогичных понятиям стабильности, Л-стабильности и типов из теории моделей, определённых не над множеством всех формул, а только над множеством атомарных формул. В этой главе также доказаны результаты, которые переносятся из теории моделей на определения атомарной стабильности, в частности, следующий результат. Теорема 1. Пусть Т — полная теория языка первого порядка С. Если по крайней мере для одного бесконечного кардинала X, такого что \С\ < А; теория Т атомарно \-стабилъна, то Т атомарно стабильна.

Теорема 2. Теории, у которых все модели нётеровы по уравнениям, являются атомарно стабильными.

В этой главе приведён пример алгебраической системы М.\

Л4 ~ (М; тогео(х),тоге1(х),тоге2(х),... ,0,1,2,...) ,

где

{О, х < г 1, х > г

демонстрирующей, что обратное утверждение неверно, т.е. ЛЛ не является нётеровой по уравнениям, но теория ТН(Л4) атомарно стабильна.

Третья глава посвящена системам уравнений и свойствам нётеро-вости по уравнениям над дистрибутивными решётками. Здесь показан нормальный вид систем уравнений в дистрибутивных решётках, доказан следующий критерий нётеровости по уравнениям.

Теорема 6. Дистрибутивная С-решётка А нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда дистрибутивная решётка С, порождённая константами, конечна.

Также в главе приводится пример решётки ЛЛ\

М = ^[0,1]; V = тах(2), Л = тт(2), [0,1]^ ,

Далее рассматриваются системы уравнений над алгебрами Ершова. Доказан следующий критерий нётеровости по уравнениям. Теорема 9. С-алгебра Ершова А нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда подалгебра констант С конечна.

А также критерий слабой нётеровости по уравнениям. Теорема 11. Пусть А — С-алгебра Ершова. Тогда А слабо нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда:

2. для любого неограниченного сверху мноэ/сества констант\cj\j Е </} из С и для некоторого с верна следующая эквивалентность:

{,х Л с^ = е 7} ~ х < с.

с конечным набором предикатов Р^г\ ъ = 1,..., к местности нётеро-ва по уравнениям тогда и только тогда, когда дистрибутивная решётка С, порождённая константами, конечна.

Для решёток с выделенным простым идеалом доказан критерий слабой нётеровости по уравнениям.

Теорема 15. Булева С-решётка В с предикатом Р^ принадлежности к простому А-идеалу I С В слабо нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда для любого множества констант К С С идеал Ьо\у(К) = {а Е В\а < Ъ,Щ Е К} конечно порождён константами из С или может быть представлен в виде пересечения идеала I и идеала, конечно порождённого константами из С.

Глава 1. Предварительные сведения

В главе приводятся сведения из алгебры логики (параграф 1.1), теории моделей (параграф 1.2), теории решёток (параграф 1.3), алгебраической геометрии и универсальной алгебраической геометрии (параграф 1.4).

1.1. Предварительные сведения из алгебры логики

В данном параграфе мы сформулируем только важные определения, которые понадобятся нам в дальнейшем. Все необходимые сведения из математической логики можно найти в [2,11-14] и [17].

Напомним, что языком С первого порядка называют набор множеств С = (Т, "Р, С) функциональных, предикатных и константных символов, соответственно, с заданной местностью для каждого функционального и предикатного символа. Если язык не содержит предикатных символов, т.е. V = 0, то такой язык мы будем называть функциональным.

Зафиксируем язык первого порядка С. Определение 1 (Терм, [14]).

Термы языка С от переменных х = (жо, х\,..., хп^\), — это формальные выражения, определяемые рекурсивно:

1. переменные жо, х\, ..., хп являются термами;

2. константные символы языка С являются термами;

3. если ¿о, ¿ь • • • ^ ¿/с-1 — термы, и / Е Т — /^-местный функциональный символ, то / (¿о, ¿1, • • •, tk~l) является термом.

Множество термов языка С от переменных х = (жо, .. ., хп-\) обозначим за Тс {х).

Определение 2 (Формулы, атомарные формулы, [14]). Формулы языка С от переменных х = (хо, ^ь • • •, %п-1) ~ это формальные выражения, определяемые рекурсивно:

1. если ¿,5 Е Тс{х) (термы языка £ от переменных х), то (£ = в) есть формула;

2. если ¿о, ¿ъ • • • ¿/с-1 £ Тс(х) и Р — /с-местный предикатный символ языка £, то Р(г0, ¿1, ■ • ■, ^-1) есть формула;

3. если <р и ф — формулы, то -лу?, (<р\/ф), (срАф), (<р —>• есть формулы;

4. если </? — формула их — переменная из х, то Зх р и \/х <р есть формулы.

Формулы, построенные только по правилам 1 и 2, будем называть атомарными.

Множество всех формул языка £ от переменных^ = (жо, х\,..., хп-\) обозначим за а множество всех атомарных формул от переменных

х языка £ за АЬс(х).

Также введём множество всех отрицаний атомарных формул языка £ от переменных х:

-^Агс{х) = {^<р{х) I <р(х) е Агс(х)},

Множество всех атомарных формул языка £ от переменных х и отрицаний всех атомарных формул обозначим за,Тс(х) = АЬц^х) и ->АЬс(х).

Множество Тс(х) нам понадобится, когда мы будем вводить понятия типов и понятие стабильности.

Систему Л языка £ будем обозначать как А = (Л; С). Через Т}г(Л) обозначим множество всех предложений, истинных в А. Пусть А = (А] £) — £-система, Е С А — произвольное множество элементов носителя. Обозначим через Се обогащение языка £, полученное добавлением новых (отсутствующих в £) констант са, для всех а £ Е. Обозначим за Ае систему Ае — (А; Се) уже расширенного языка Се, с

той же интерпретацией символов языка С и естественной интерпретацией новых констант: = а £ Е С А.

1.2. Сведения из теории моделей

Определение 3 (Элементарное вложение). Пусть ЛиБ - системы языка С. £-гомоморфизм / : А В называют элементарным вложением, если / сохраняет истинность всех формул языка то есть для любой формулы <р(х) языка С и для любых элементов а £ А выполнено В |= ip (/(а)) тогда и только тогда, когда выполнено А |= у(а). Определение 4 (Элементарная эквивалентность, элементарное расширение, элементарная подсистема). Две системы А я В языка С называются элементарно эквивалентными, если Th(A) = Th{B).

Систему В называют элементарным расширением системы А, если В Э А и £-гомоморфизм / : А —> В является элементарным вложением, то есть для любой формулы (р(х) языка С и для любых элементов а Е А выполнено В \= tp (а) А \= <р{а).

Систему А в этом случае называют элементарной подсистемой. Факт 1 (Критерий элементарных подсистем Тарского-Вота, [15]). Пусть А и В системы языка С, А Я: В. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. А является элементарной подсистемой В.

2. Для каждой формулы ф(х, у) языка С и всех кортежей a G А из того, что В [= 3уф(а,у), следует, что существует элемент d € А, что В [= ф(а, d).

Пусть А = {А\ С) — система языка С. Пусть а € А — набор порождающих А элементов, а с — набор соответствующих константных символов. Расширим язык С, до языка добавив константы с, и будем рассматривать расширенную систему Ас = (А; Сс).

Определение 5 (Элементарная диаграмма, [15, р.56]). Элементарной

диаграммой системы А мы будем называть теорию расширенной системы ТНс-(Ас), где с — любая последовательность констант для порождающих А элементов:

Элементарную диаграмму мы будем обозначать eldiag(Д). Лемма 1 (Лемма об элементарных диаграммах, [15, р.55]). Пусть А и В — системы языка С,с — кортеж констант, отсутствующих в языке С, Ас и Вс — системы расширенного языка Сс и сЛъ = а, свъ = а, причём а порождает Ас- Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. для любой формулы (р(х) языка С, если Ас [= <р(с), то Вс (= <р(с);

2. существует такое элементарное вложение / : А —>■ В, что /(а) =

ъ.

Исходя из этой леммы, можно получить следствие [15, р.56], которое мы будем использовать.

Следствие 1. Если система Т>с языка является моделью элементарной диаграммы cldiag(Д) системы А языка С, то существует элементарное вложение А в ограничение V = Т>с\с-

В дальнейшем нам также понадобится следующая теорема, играющая важную роль в теории моделей.

Факт 2 (Теорема компактности Гёделя-Мальцева). Пусть Т — теория некоторого языка. Теория Т имеет модель тогда и только тогда, когда любое конечное подмножество формул теории Т имеет модель.

1.3. Предварительные сведения из теории решёток

В данном параграфе будут представлены основные сведения из теории решёток. В параграфе 1.3.1 будут даны определения решёток и дистрибутивных решёток, в параграфе 1.3.2 будут определены алгебры Ершова.

1.3.1. Решётки, дистрибутивные решётки

Дадим определение решётки.

Рассмотрим язык состоящий из двух бинарных

функциональных символов — V и Л.

Определение 6 (Решётка). Алгебраическую систему А = (А; V, Л) яз