Скрученные подмножества в группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Федеральное агентство по образованию Красноярский Государственный Университет

На прапах рукописи

Мылышков Андрей Леонидович

□ОЗОБТ21В

Скрученные подмножества в группах

01.01.00 — алгебра, математическая логика и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Красноярск — 200С

Работа выполнена в Красноярском государственном университете.

Научит,тй руководитель: доктор физико-матоматичоских наук,

профессор В.В. Беляев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук,

профессор Н.М. Сучков;

доктор физико-математических паук, в.н.с. A.B. Васильев

Ведущая организация: Институт математики и механики УрО РАН

Защита состоится " января 2007 г. в 9 часов на заседании диссертационного совета Д212.099.02 в Красноярском государственном университете по адресу: GG0041, г. Красноярск, пр. Свободный, 7D.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

" \ 5"

Автореферат разослан " 7 ? » декабря 200G г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. паук, доцент ./г ^ М.И. Голованов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Главным объектом исследования в диссертационной работе является понятие скрученного подмножества в группе. Данное понятие принадлежит Беляеву В.В. Приведем определение скрученного подмножества.

Определение 1. Подмножество К из группы С? называется скрученным подмножеством, если 1 £ К и для любых элементов х. у из К ху~1х € К.

В качестве примеров скрученных подмножеств выступают следующие подмножества в группах:

(1) пусть С — группа и го — инволюция из С. Тогда подмножества К := ьР и {1}, Т := {иииЧ\д е С}, I := {5 € в : д* = ¿Г1} являются скрученными подмножествами.

(2) множество симметрических матриц в любой матричной группе М является скрученным подмножеством.

Стоит сказать, что скрученное подмножество из примера (2) совпадает с таким подмножеством матриц из М: {В £ М : <р(В) = -б-1}, где <р — автоморфизм группы М, действующий на М так: для любой матрицы А из М 1р{А) = (Л7)-1.

Необходимо отметить, что в работе М. Ашбахера {1] рассматривается аналогичный объект, называемый им скрученной подгруппой и определяемый следующим образом: подмножество Т из группы С называется скрученной подгруппой, если 1 б Т и для любых элементов х, у из Т хух € Т.

Нетрудно показать, что скрученные подмножества являются скрученными подгруппами, но обратное не всегда верно. В случае, когда группа является периодической, скрученная подгруппа является скрученным подмножеством.

Отмстим, что понятие скрученного подмножества и. аналогичное ему. понятие скрученной подгруппы в группе, являются достаточно свежим, коатому, сколько-нибудь хорошей теории о строении этих объектов пока пет.

Хотя скрученные подмножества и не подвергались тщательному изучению, можно выделить ряд исторических моментов, в которых математики изучали объекты, очень близкие к скрученным подмножествам, причем, что интересно, эти объекты происходили из разных областей математики и теоретической физики.

Одно из первых таких понятий — понятие симметрического пространства, ставшее классическим благодаря работам Э. Картана и вошедшее к настоящему моменту времени в учебники по дифференциальной геометрии (см. например [2], [3]).

Согласно [4], симметрическое пространство определяется, как гладкое. лшогообразие М, на котором задана бинарная операция "■", удовлетворяющая следующим условиям:

(1) х • х = х;

(2) х ■ (х ■ у) = у;

(3)х-(у-г) = (х -у) ■ (х ■ г);

(4) для любой точки х из М существует такая ее окрестность V, что равенство х ■ из = и> влечет равенство х = и! для всех точек ги из £/.

Легко видеть, что для бинарной операции х о у = ху~1х. заданной на произвольной группе, справедливы свойства (1)—(3). Отметим, что согласно [4, стр. 42]. любая группа Ли становится симметрическим пространством, если на ней ввести операцию хоу — ху~1х. Таким образом, симметрические пространства, полученные из групп Ли описанным выше способом, являются первыми примерами непосредственного изучения скрученных подмножеств.

Далее, в середине 60-х годов 20 вв. Дж. Глауберманом в работах [5), [0] исследовались группы нечетного порядка с введенной следующим образом бинарной операцией: х ■ у = хлух^\ относительно которой группа является лупой. В работе [5] для данных луп были доказаны несколько утверждений, которые являются аналогами таких классических теорем теории групп, как, например, теоремы Лагранжа и Силова.

Заметим, что , если Н — некоторое подмножество из группы нечетного порядка, содержащее 1 и замкнутое относительно операции "•", то Н замкнуто относительно операции х * у — хух, поскольку х * у ~ х ■ (х • у). Таким образом, следуя терминологии М. Ашбахера |1], множество Н есть скрученная подгруппа. Но нетрудно показать, что тогда Н есть скрученное подмножество. Легко показать и обратное, то есть, если II — скрученное подмножество из группы нечетного порядка, то Н замкнуто относительно операции "•". В силу данной связи между скрученными подмножествами и подмножествами, содержащими 1 и замкнутыми относительно операции х -у = х^ухз, можно считать, что Дж. Глауберман был одним из первых, кто обратил внимание на то, что скрученные подмножества представляют определенный интерес, и, что ответы на некоторые тонкие вопросы теории групп, как, например, доказанная позднее Глауберманом 2*-теорема, упираются в понимание строения скрученных подмножеств.

Скажем теперь несколько слов о применении скрученных подмножеств в теоретической физике. Имеется тесная связь между понятием скрученного подмножества и понятием гирогруппы. Гирогруппа — это специального вида лупа. Впервые, гирогруппы появились в работе Абрахама А. Унгара [7] в 1988 году. В той работе изучалась гирогруппа < И^,© >, где — единичный шар евклидова трехмерного пространства, © — релятивистская операция сложения нормализованных скоростей (т.е. рассматриваются векторы скоростей вида где с — скорость света в вакууме). В противовес нашей ин-

туидии, эта операция сложения скоростей не является и и коммутативной, ни ассоциативной. В [8] показано, что групповая структура сложения скоростей в классической механике, которая утрачивается при переходе к группоиду < © >, заменяется структурой лупы. Понятие гирогрулпы является прямым обобщением группоида. < 13,1,® >- ® работах [8], [9] показано, что любая гирогруппа может быть вложена в некоторую группу в виде скрученного подмножества и, обратно, на скрученном подмножестве можно задать некоторым образом структуру гирогруппы. Таким образом, в силу данной связи между скрученными подмножествами и гирогруппами, имеем перед глазами пример применения скрученных подмножеств в теоретической физике.

Далее, стоит отметить, что в Коуровской тетради [10] поставлено несколько вопросов, прямо связанных с понятием скрученного подмножества (например, вопрос 4.75 В. П. Шункова и вопрос 15.54 В. Д. Мазурова). Положительное решение вопросов 4.75, 15.54 вытекает из положительного решения следующего вопроса о скрученных подмножествах: верно ли, что в периодической группе скрученное подмножество, в котором любой элемент имеет нечетный порядок, порождает подгруппу нечетного периода? Заметим, что в классе конечных групп этот вопрос решается положительно. Он эквивалентен ¿Г-теореме Глаубермана. Эта связь между скрученными подмножествами и ¿Г-теоремой Глаубермана раскрывается в первой главе диссертации.

Таким образом, все выше сказанное является мотивацией изучения скрученных подмножеств.

Возвращаясь к определению скрученного подмножества, легко видеть, что в группе любая ее подгруппа является скрученным подмножеством. Обратное же не верно. Возникает следующий вопрос, поставленный Беляевым В.В.

Каково строение групп, у которых любое скрученное подмножество является подгруппой?

В свзи с данным вопросом возникает понятие перекрученной группы.

Определение 2. Группа называется перекрученной, если в ней любое скрученное подмножество является подгруппой.

Исследованию строения перекрученных групп посвящена вторая глава диссертации.

Кроме перекрученных групп, интерес представляют минимальные непе-рекручеиные группы (М N Б-группы) — группы, которые сами не являются перекрученными, но любая их собственная секция — перекрученная группа.

Вопрос о строении МЛг5-групп достаточно естественен, поскольку, во-первых, с исторической точки зрения, изучение какого-либо класса групп, замкнутого относительно взятия секций, как правило сопровождалось изучением минимальных контрпримеров к этому классу групп (примеры таких классов - классы конечных абелевых групп, конечных нильпотентных групп, а минимальные контрпримеры к этим классам групп будут, соответственно, группы Миллера-Морено и группы Шмидта). Класс конечных перекрученных групп замкнут относительно взятия секций, поэтому, согласно исторической точки зрения, было бы естественным "посмотреть" и минимальные контрпримеры к данному классу групп. Во-вторых, что даже более важно, чем историческая точка зрения, М N ¿"-группы содержат конкретные примеры скрученных подмножеств, которые не являются подгруппами.

Помимо исследования перекрученных групп и МN8-групп, в диссертации изучаются конечные минимальные негрупповые скрученные подмножества (М N С-подмножества) — скрученные подмножества, которые сами не являются подгруппами, но любое собственное скрученное подмножество в них — подгруппа. Вопрос о строении таких скрученных подмножеств достаточно естественен, поскольку они являются наиболее простыми скрученными подмножествами, не являющимися подгруппами, и любое, не являющееся

подгруппой, конечное скрученное подмножество обязательно содержит некоторое такое минимальное подмножество.

Цель работы. Основная цель работы состоит в изучении групп, у которых любое скрученное подмножество является подгруппой (перекрученных групп); и скрученных подмножеств, которые сами не являются подгруппами, по любое собственное скрученное подмножество в них — подгруппа {МКС-подмножеств).

Основные результаты.

• доказана двух ступенная разрешимость конечных перекрученных групп;

• классифицированы конечные минимальные неперекрученные группы;

• классифицированы конечные МЛГСУ-подмножества с инволюциями и конечные редуцированные М/^С-подмножества без инволюций, а также группы, порожденные такими скрученными подмножествами.

Научная НОВИЗНа. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая И Практическая ценность. Диссертационная работа имеет теоретический характер. Введенные в ней понятия, развитые методы и полученные результаты могут быть применены при дальнейшем исследовании скрученных подмножеств, а также в теории групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Алгебра и ее приложения"(Красноярск, 2002 г.), международной конференции "Мальцевские чтения"(Новосибирск. 2003 г.. 2005 г.), алгебраических семинарах Московского и Красноярского государственных университетов, а также в Московском физико-техническом институте.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12] - [22].

Структура И объем работы. Диссертация состоит из введения,

трех глав и списка литературы, насчитывающего 40 наименований. Общий объем работы 127 страниц текста.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Первая глава "Свойства скрученных подмножеств" посвящена изучению общих свойств скрученных подмножеств, которые применяются в последующих главах. В данной главе излагается связь между скрученными подмножествами и инволютивными автоморфизмами группы. Далее, в этой же главе, с помощью скрученных подмножеств доказывается обобщение ¿Г-теоремы Глаубермана. Также, стоит отметить, что в данной главе с помощью скрученных подмножеств доказывается обобщение теоремы Лагранжа для групп нечетного порядка.

Во второй главе диссертации изучается строение перекрученных групп.

Напомним, что группа называется перекрученной, если в ней любое скрученное подмножество является подгруппой.

Первым этапом в исследовании перекрученных групп стало изучение абе-левых перекрученных групп. Получены следующие результаты об их строении.

Теорема 1. Для переиодической абелевой группы С следующие условия эквивалентны:

(1) С -- перекрученная;

(2) С содержит не более одной инволюции.

Теорема 2. Для непереиодической абелевой группы С следующие условия эквивалентны:

(1) С перекрученная;

(2) Периодическая, часть М группы С имеет нечетный период и С/М — локально циклическая.

Дальнейшее изучение перекрученных групп проводится в классе конечных групп. Получен следующий результат о строении конечных нилыштеитпых перекрученных групп нечетного порядка.

Теорема 3. Для конечной нильпотентной группы С нечетного порядка следующие условия эквивалентны:

1) С - перекрученная группа;

2) (3 — модулярная группа (т.е. решетка подгрупп группы С модуляр-на).

Строение конечных модулярных групп известно [11] . Далее, доказано следующее утверждение, при помощи которого общая проблема исследования конечных перекрученных групп редуцируется к проблеме исследования конечных перекрученных групп нечетного порядка.

Теорема 4. Для конечной группы С следующие условия эквивалентны:

1) С — перекрученная группа;

2) С = х О(С), где 02(С) — циклическая, а О(С) — конечная перекрученная группа нечетного порядка.

Из теоремы 4 и теоремы Фейта-Томпсона следует, что конечная перекрученная группа разрешима. Тогда возникает вопрос о ступени разрешимости. Получен следующий результат, отвечающий на этот вопрос.

Теорема 5. Конечная перекрученная группа разрешима и ее ступень разрешимости не превосходит двух.

Отмстим, что рассмотренные выше результаты относительно конечных перекрученных групп излагаются в работах [13] —[18].

Кроме изучения строения перекрученных групп, во второй главе изучается строение минимальных контрпримеров (МАг£>-грунп) к классу конечных перекрученных групп.

Определение 3. Группа С называется МИ Б-группой, если:

1) существует скрученное подмножество К из группы С, такое, что К ф< К >/

2) любая собственная секция группы С есть перекрученная группа.

Относительно конечных А/Дг5-групп получен следующий результат.

Теорема 6. Для конечной группы, (3 следующие условия эквивалентны:

(/) С - МИ Б-группа;

(II) С удовлетворяет одному из случаев:

(1) С = И^р — группа диэдра порядка 2р, где р — простое;

(2) <3 = (< а > X < г >)Х < Ъ >, где |а| = |Ь| = \г\ = р, р — простое число. р ф 2, г = [а. Ь], [Ь,г] = \;

(3) С = А\ < Ь > ■■■■ группа Миллера-Морено нечетного порядка, где А - элементарная абелева р-группа, = ц,р ф Я,р,Ч — простые и \А\ = р11 для некоторого натурального Ь;

(4) С — х Лг)Х < Ь > — группа нечетного порядка, удовлетворяющая следующим условиям:

(г) Аг, А2 — нормальные элементарные абелевы р-подгруппы порядка р2'^1 для некоторого целого Ь > О, |6| = ц, р ф д и р, ц — простые;

(гг) := < Ь >, (?2 := Ач < Ь > — группы Миллера-Морено; (ш) Существует ипволютивный автоморфизм 1р группы С такой, что у>((?1) =<?2 и (р{Ь) = Ь~1.

Результаты о конечных М^-группах излагаются в работах [19], [20].

В третьей главе диссертации изучаются минимальные негрупповые скрученные подмножества. Приведем определение такого скрученного подмножества.

Определение 4. Скрученное подмножество К из группы С называется минимальным негрупповым скрученным подмножеством (М N С-подмножеством), если выполняются следующие условия:

1) К ф< К >;

2) Для любого собственного скрученного подмножества 5 из К справедливо 5 =< 5 >.

Получены следующие результаты относительно МЫС-подмножеств, первый из которых отвечает на вопрос о строении конечных МЛгС-подмножеств, содержащих инволюцию.

Теорема 7. Пусть (7 — конечная группа и К — скрученное подмножество из С, такое, что С =< К >. Тогда следующие условия эквивалентны: (/) Подмножество К -- МЫС-подмножество с инволюцией; (II) Группа (7 и подмножество К удовлетворяют одному из случаев:

(1) = — группа кватернионов и К =< а > и < Ь >, где а,Ь — элементы из С, такие, что С =< а,Ь >.

(2) С =< Ь > X < и >, где |и| = 2п, п > 1, |Ь| = р, р — простое число,

< и2 >< Z(G), Ьи = б"1 и справедлив один из вариантов:

(a) при р = 2, К —< х > и < у > для некоторых различных элементов х,у таких, что \х\ = |у| = 2";

(b) при рф2, либо К = и < и >с, либо К = (< Ь > х < и2 >)

се<ь>

и < и >.

(3) С = Е\ < Ь >, где Е — элементарная абелева 2-подгруппа порядка 4, \ь\ = 3П,п> I, б3 е г{С!) и С/г(С) £ А4. К = (< Ь3 > х < и >)и

< Ь > и < Ьи >, где и — "некоторая инволюция из Е.

(4) С = <Ь>, где \Ь\ — 3",п > 1, ~ — группа кватернионов,

9 е г(в) и с/г{с) ^ л4. к = {< и2 > х < ъ >) и {< и > х < ь* >)

и(< и2 > х < Ь" >), где и — элемент из подгруппы порядка 4.

Следующий результат отвечает на вопрос, о строении конечных редуцированных МТУО-подмножеств без инволюций. Редуцированность скрученного подмножества К означает, что для подмножества КегК = {х £ К : хК = К} выполняется КегК = 1. Изучение редуцированных скрученных подмножеств является неотъемлемым этапом исследования произвольных скрученных подмножеств, поскольку, при определенной факторизации группы образ скрученного подмножества уже будет редуцированным скрученным подмножеством, откуда легко можно показать, что фактор-группа обладает инволю-тивным автоморфизмом, а это в некоторых случаях накладывает достаточно жесткие условия на строение всей группы.

Теорема 8. Пусть (7 — конечная группа и К — конечное, скрученное подмножество из С? без инволюций, такое, что (3 =< К >. Допустим, что КегК ={х£К: хК = К} = 1.

Тогда еледуюгцие условия эквивалентны:

(/) К — МКС-подмножество;

(II) Группа С и подмножество К удовлетворяют одному из случаев:

(1) (7 = АХ < Ь > — группа Миллера-Морено, где А — элементарная абелева р-группа, |6| = ф д — нечетные простые числа и |Л| = рп для некоторого натурального К — {д~11р(д)\д £ С}, где ф — некоторый инволютивный автоморфизм; группы С, такой, что <р(Ь) ~ Ь

(2) С — (А1 х Л2)Х <Ь> - группа нечетного порядка, удовлетворяющая следующим условиям:

(г) Ах, А2 — нормальные элементарные абелевы р-подгруппы порядка р2т для некоторого целого £ > О, |Ь| = ц, р ф д и р, ц — простые;

{п) С1 := А\ < Ъ >, Сг := Аг < Ь > — группы Миллера-Морено; (иг) Существует инволютивный автоморфизм группы С такой, что <¿>(^1) =(?2 « <р{Ь) = ¿Г1. К = {д-^{д)\д£ С}.

(3) С = (< а > х < г >)\ < Ъ >. где. |а| = |6| = |г| = р. р простое, р ф 2, г = [а, 6], [Ь, г] — 1. К — {атЬпат\т, пег}.

Исследование МЛ^С-подмножсств было проведено в работах [21].[22].

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Беляеву В.В.. за чуткое руководство и постоянное внимание к проводимым исследованиям.

Литература

[1] Aschbacher М. Near subgroups of finite groupsj j J. Group Theory.-1998.-v.l. N2.-P. 113-129.

[2] Дубровин Б.А. Современная геометрия: Методы и приложения. Том II. Геометрия и топология многообразий./ Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко/ - М.: Эдиториал УРСС, 1998.

[3] Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Рима,нова геометрия. — М.: Изд-во "Факториал", 1998.

}4] Лоос О. Симметрические пространства. — М.: Наука,' 1985.

[5] Glauberman G. On loops of odd order// J. of Algebra. -1964. N1. -P. 374395.

[6] Glauberman G. On loops of odd order //// J. of Algebra. -1964. N8. -P. 393-414.

[7] Ungar A.A. Thomas rotation and the parametrization of the Lorentz transformation group!/ Found. Phys. Lett. —1988. N1, -P. 57-89.

[8] Ungar A.A. Thomas precession: its underlying gyrogroup axiom and their use in hijperbolic geometry and relativistic physics// Found. Phys. —1997. -v.27, -P. 881-951.

ifOj Foguel Т., Ungar A.A. Involutory decomposition of groups into twisted subgroups and subgroups// J. Group Theory.-2003.- v.3. N2. -P. 27-46.

[10] Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы по теории групп. - Новосибирск, Новосиб. гос. ун-т, 2002.

[11] Судзуки М. Строение группы и строение структуры ее подгрупп. -- М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960.

Работы автора по теме диссертации

[12] Вепринцев Д.В., Мыльников А.Л. Инволютпивная деколтозиция группы и скрученные подмножества с малым количеством иноолюций, Математические системы. Вып.5, Краснояр. гос. аграр. ун-т., Красноярск. — 2006. -С. 5-9.

[13] Мыльников А. Л. Конечные перекрученные группы, Математические системы. Вып.З, Краснояр. гос. аграр. ун-т., Красноярск. —2005. -С. 53-58.

[14] Мыльников А. Л. О скрученных подмножествах в конечных группах/А. Л. Мыльников// Тезисы докладов международной конференции "Алгебра и ее приложения", — Красноярск. —2002. -с. 89-90.

[15] Мыльников А. Л. Абелевы перекрученные группы, Математические системы. Вып.З, Краснояр. гос. аграр. ун-т., Красноярск. —2005. -С. 59-61.

[16] Мыльников А. Л. Абелевы перекрученные группы/А. Л. Мыльников// Материалы XLI международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика /Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск. — 2003. -с. 7.

[17] Мыльников А. Л. Нильпотентность коммутанта конечной перекрученной группы, Сиб. матем. ж. —2006. -Т.47 ,-N5, -С. 1117-1127.

[18] Мыльников А. Л. О ступени разрешимости конечной перекрученной группы, Вестник Красноярского госуниверситета. —2006. -N1. -С. 61-67.

[19] Мыльников А. Л. Конечные минимальные пеперекручеиные группы. Вестник Красноярского госуниверситета. —2005. N1. -С. 71-76.

[20] Мыльников А. Л. О конечных минимальных неперекрученных группах, Вестник Красноярского госуниверситета. —2005. N4. -С. 164-169.

[21] Мыльников А. Л. Минимальные негрупповые скрученные подмножества, содержащие инволюцию, Математические системы. Вып.5, Крас-нояр. гос. аграр. ун-т.. Красноярск. —2006. -С.27-42.

[22] Мыльников А. Л. Редуцированные минимальные негрупповые скрученные подмножества без инволюций, Математические системы. Вып.5, Краснояр. гос. аграр. ун-т., Красноярск. —2006. -С.43-49.

Подписано в печать Формат 60x84/16.

Бумага тип. Печать офсетная. Усл. печ. л. Тираж /00, Заказ Я.Ц5.

Издательский центр Красноярского государственного университета 660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.

Общее введение

I Свойства скрученных подмножеств

1.1 Введение.

1.2 Известные результаты.

1.3 Общие свойства скрученных подмножеств.

1.4 Скрученные подмножества и ипволютивные автоморфизмы группы

1.5 Скрученные подмножества и Z*-rreopeMa Глаубермапа.

I.G Ипволютивнан декомпозиция группы

I.7 Теорема Лаграпжа для скрученных подмножеств

II Перекрученные группы

II. 1 Введение.

11.2 Известные результаты.

11.3 Вспомогательные результаты.

11.4 Общие свойства перекрученных групп.

11.5 Абелевы перекрученные группы.

11.6 Перекрученные группы Миллера-Морено.

11.7 Конечные нильпотентные перекрученные группы нечетного порядка

11.8 Разрешимость конечных перекрученных групп.

II.8.1 Редукционная теорема.

И.8.2 Нильпотентность коммутанта конечной перекрученной группы.

II.8.3 Двухстуиенная разрешимость коночной по1)окручопной группы.

II.9 Минимальные пеперекрученныо группы.

11.9.1 MNS-груипы четного порядка.

11.9.2 Нильнотептпые MNS-групны нечетного порядка.

11.9.3 Ненильпотептпые MNS-грунпы нечетного порядка

III Конечные минимальные негрупповые скрученные подмножества

III. 1 Введение.

111.2 Известные результаты.

111.3 Свойства MNG-подмножеств.

111.4 MNG-подмножества с инволюциями.

111.4.1 MNG-нодмножества, содержащие более одной инволюции

111.4.2 MNG-нодмножества, содержащие одну инволюцию, по, более, чем одну, максимальную циклическую 2-иодгрупиу

111.4.3 Редуцированные MNG-подмножеетва, содержащие ровно одну максимальную циклическую 2-иодгруппу . 107 III.4.4 Нередуцированные MNG-подмножеетва, содержащие ровно одну максимальную циклическую 2-иодгруппу . 112 III.5 MNG-подмножеетва без инволюций

Актуальность темы. Главным объектом изучения и диссертации является понятие скрученного подмножества в группе. Данное понятно принадлежит Беляеву В.В.

Дадим определение скрученного подмножества.

Определение 1. Подмножество К из группы, G называется скрученным подмножеством, если 1 £ К и для любых х,у из К ху~1х £ К.

Примеры скрученных подмножеств.

1) пусть G — группа и w — инволюция из G. Тогда подмножества К := иР U {1}, Т := {wwa\g £ G}, I := {g £ G : gw = д~1} являются с:к1)ученными подмножествами.

2) множество симметрических матриц в любой матричной группе М является скрученным подмножеством.

Стоит сказать, что скрученное подмножество из примера (2) совпадает с таким подмножеством матриц из М: {В £ М : tp(B) = В~'}, где (р автоморфизм Г1)уппы М, действующий на М так: для любой матрицы Л из М (р(А) = {Лт)~1.

Сразу отметим, что в работе М. Ашбахера [15| рассматривается аналогич-iibiii объект, называемый им скрученной подгруппой и определяемый следующим образом: Подмпоэюество К из группы G называется скрученной подгруппой, если 1 £ if и для любых х,у из К хух £ К.

Нетрудно показать, что скрученные подмножества являются скрученными подгруппами, по обратное не всегда верно. В случае, когда группа является периодической, скрученная подгруппа является скрученным подмножеством.

Необходимо отметить, что понятно скрученного подмножества, и, аналогичное ему, понятие скрученной подгруппы и группе, являются достаточно свежими и, поэтому, сколько-нибудь хорошей теории о строении этих объектом пока пет. В настоящей диссертации предпринимается попытка построения начал такой общей теории скрученных подмножеств. Затем, полученные результаты применяются для ответа па некоторые естественные вопросы о скрученных подмножествах.

Хотя скрученные подмножества и не подвергались тщательному изучению, можно выделить ряд исторических моментов, в которых математики изучали объекты, очень близкие к скрученным иомножествам, причем, что интересно, эти объекты происходили из разных областей математики и теоретической физики. Кроме того, стоит отметить, что в Коуровской тетради |8| поставлено несколько вопросов, прямо связанных с понятием скрученного подмножества (например, вопрос 4.75 В. П. Шуикова и вопрос 15.54 В. Д. Мазурова). Положительное решение вопросов 4.75, 15.54 вытекает из положительного решения следующего вопроса о скрученных подмножествах: верно ли, что в период и,ческой группе скрученное, подмножество, в котором любой элемент имеет нечетный порядок, порождает подгруппу нечетного периода?

Рассмотрим нышеупомянутые исторические примеры более подробно.

Скрученные подмножества и симметрические пространства

Понятие симметрического пространстна, ставшее классическим благодаря работам Э. Картана и вошедшее к настоящему моменту времени в учебники но дифференциальной геометрии (см. например |4|, |10|, [12|), фактически является первым историческим примером изучения на группе бинарной операции х о у — ху~1х.

Сам Э. Картан |G] определял симметрическое пространство, как рима-пово многообразие, любая симметрия которого сохраняет метрику. В некоторых более поздних работах, например [9|, симметрическое пространство определяется, как гладкое многообразие М, на котором задана бинарная операция "■ ", у до в л с т в оря ю uit ая следующим условиям:

1) х • х = х;

2) х-(х- у) = у;

3) x-(y-z) = (x-y)-(x- z);

4) Оля любой точки х из М существует такая ее окрестность U, что равенство х • w = w влечет равенство х = w для всех точек w из U.

Операция "•" имеет сло/^ующую геометрическую интерпретацию: пусть А и В точки некоторой поверхности М, лежащие достаточно близко друг от друга, проведем геодезическую линию I из А в В. Продолжая I далее, отложим от точки В на линии I точку С с тем условием, что \АВ\ = \СВ\. Таким образом, сопоставляя двум точкам /1, В точку С, мы вводим бинарную операцию па точках поверхности М. Нетрудно проворить, что данная операция удовлетворяет условиям (1)--(4).

Далее, легко видеть, для бинарной операции х о у — ху~1х, заданной па произвол!,ной группе, справедливы свойства (1) — (3). Отметим, что согласно [9, стр. 42], любая группа Ли становится симметрическим пространством, если на пей ввести операцию хоу — ху~1х. Таким образом, симметрические пространства, полученные из групп Ли описанным in,пне способом, являются первыми примерами непосредственного изучения скрученных подмножеств.

В заключение отметим, что достаточно подробно, общая я теория симметрических пространств излагается в монографиях [2], [9|, [13].

Скрученные подмножества и исследования Глаубермана

В работах |22], |23|, Дж. Глауберман исследовал группы нечетного порядка с введенной следующим образом бинарной операцией: х • у = х^ухЛ\ относительно которой группа является лупой. В работе |22] для данных луп были доказанi,i несколько утверждений, которые являются аналогами таких классических теорем теории групп, как, например, теоремы Лагранжа и Силова.

Заметим, что , если Н — некоторое подмножество из группы нечетного порядка, содержащее 1 и замкнутое относительно операции то Н замкнуто относительно операции х * у = хух, поскольку х * у = х • {х • у). Таким образом, следуя терминологии М. Ашбахера [15], множество Н есть скрученная подгруппа. Но нетрудно показать, что тогда Н есть скрученное подмножество. Легко показать и обратное, то есть, если Н — скрученное подмножество из группы нечетного порядка, то Я замкнуто относительно операции В силу данной связи между скрученными подмножествами и подмножествами, содержащими 1 и замкнутыми относительно операции х-у = х^ух^, можно считать, что Дж. Глауберман был одним из первых, кто обратил внимание на то, что скрученные подмножества представляют определенный интерес, и, что ответы па некоторые тонкие вопросы теории групп, как, например, доказанная позднее Глауберманом Я*-теорема, упираются в понимание строения скрученных подмножеств.

В заключение отметим, что в настоящей диссертации приводится обобщение £*-теоремы Глаубермана с помощью скрученных подмножеств.

Скрученные подмножества и вычислительная сложность

В работе |17], Т. Феде!) и М. Варди вводят понятие околоподгруппы, как инструмент изучения вычислительной сложности проблем.

Определение 2. Скрученное помножеспгво К из группы G называется околоподгруппой, если для любых подгрупп N, М с N < М < G и М/N = Е\ не существует такого элемента g из G, что дК П М пересекается ровно по трем смежным классам.

Одним из основных обектов изучения в работе [17| является задаваемый определенным образом класс проблем CSP. Главный вопрос относительно класса CSP, на который пытаются ответить авторы, состоит в следующем: какие проблемы в CSP полиномиальны, а какие iVP-полны?

В дальнейшем, класс CSP разбивается на три подкласса проблем и показывается, что проблемы этих подклассов можно переформулировать в виде проблем для конкретных комбинаторных структур. Именно по этой причине и происходит разбиение CSP на три подкласса проблем (в зависимости от тина комбинаторной структуры).

Одим из этих трех типов комбинаторных структур являются конечные группы. Показывается, что, если все отношения в переформулированной проблеме есть смежные классы но подгруппам, то проблема полиномиальна, а, если есть отношение, не являющееся смежным классом по околоподгруппе, то проблема ./VP-полна. Кроме того, Т. Федор и М. Варди рассматривают случаи, когда все отношения являются смежными классами но околоподгруппам. В этом случае они показывают, что, если для каждой околоподгруппы К выполняется, так называемое, 2-элементпое свойство 5П < S П К >С /С, где S множество 2-элемеитов группы, то проблема полиномиальна.

Отметим, что ряд вопросов о вычислительной сложности, связанных с околоподгруппами, авторы работы [17| редуцируют к таким конкретным вопросам об околоподгруппах, как, например, будет ли пересечение околоиодгруип снова околоподгруппой? Или, верно ли, что для любой околоподгруппы выполняется 2-элементное свойство? Отчасти, именно ответам на эти вопросы иосвещепа работа М. Ашбахера |15|.

Скрученные подмножества и гирогруппы

Гирогруипа это специального вида лупа. Впервые, гирогруппы появились 15 работе Абрахама А. Унгара [25] в 1988 году. В данной работе изучалась гирогруипа < R'j5,© >, где - единичный шар евклидова трехмерного пространства, 0 — релятивистская операция сложения нормализованных скоростей (т.е. рассматриваются векторы скоростей вида где с скорость света в вакууме). В противовес нашей интуиции, эта операция сложения скоростей не является ни коммутативной, пи ассоциативной.

В |28| показано, что групповая структура сложения скоростей в классической механике, которая утрачивается при переходе к группоиду < Rj,0 >, заменяется структурой лупы, использующей релятивистское особое вращение, называемое прецессией Томаса. В работах |2С|, [27| и |29| излагаются другие примеры гирогруип и их связь с физикой и геометрией. Обобщая релятивистский группоид < Rf,0 > с его прецессией Томаса, естественным образом приходим к понятию гирогруппы.

Определение 3. Группоид (G, •) называется гирогруппой, если его бинарная операция "•" удовлетворяет следующим условиям:

1) в G существует по крайней мере один элемент (обозначим его I), такой, что для любого элемента g из G 1 • g — g;

2) существует элемент 1 из G, удовлстворяюи^ий (1), такой, что для любого элемента g из G существует элемент z из G, uitio z-g = 1;

3) для любых элементов a,b,z из G существует единственный элемент gyr[a, b](z) £ G, что а • (b • z) = (а • b) • gyr[a, b](z);

4) обозначим gyr[a,b] отобраэюсиие из G в G, определенное соответствием z —»• gyr[a,b](z), тогда gyr[a,b] £ Aut(G, •).

В работах [19], [28] показано, что любая гирогрупна может быть пложена и некоторую группу и виде скрученной подгруппы и, обратно, на скрученной подгруппе можно задать некоторым образом структуру гирогрупиы. Поскольку во многих случаях скрученные подмножества и скрученные подгруппы совпадают, то, в силу дайной связи с гирогруииами, имеем перед глазами пример применения скрученных подмножеств в теоретической физике.

Цель работы. Основная цель работы состоит в изучении групп, у которых любое скрученное подмножество является подгруппой (перекрученных групп); и минимальных негрупповых скрученных подмножеств (MNGподмиожеств).

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие повью результаты:

• общая проблема исследования конечных перекрученных групп сведена к проблеме исследования конечных перекрученных групп нечетного порядка;

• классифицированы абелевы перекрученные группы и конечные иплыю-теитпые перекрученные группы;

• доказана двух стуненная разрешимость конечных перекрученных групп;

• классифицированы конечные минимальные неперекручепные группы;

• классифицированы конечные М./У(7-подмпожества с инволюциями и конечные редуцированные MNG-подмножества без инволюций, а также груиni)[, порожденные такими скрученными подмножествами.

Теоретическая И практическая ценность. Диссертационная работа имеет теоретический характер. Введенные в ней понятия, развитые методы и полученные результаты могут быть применены при дальнейшем исследовании скрученных подмножеств.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались па международной конференции "Алгебра и ее приложепия"(Красноярск, 2002 г.), международной конференции 11 Малы невские чтепия"(Новосибирск, 2003 г., 2005 г.), алгебраических семинарах Московского и Красноярского государственных университетов, а также в Московском физико-техническом институте.

Структура И объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, насчитывающего 40 наименовании. Общий объем работы 127 страниц текста.

1. Лоос О. Симметрические пространства. — М.: Наука, 1985.

2. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Романова геометрия. — М.: Изд-во "Факториал", 1998.11| Судзуки М. Строение группы и строение структуры, ее подгрупп. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 19G0.

3. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с симметриями. М.: Изд-во МГУ, 1989.

4. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметричесхие пространства. —- М.: Мир, 19G4.14| Холл М. Теория групп. М.: Изд-во иностр. лит-1)ы, 19G2.

5. Fognel Т., Ungar A.A. Involutory decomposition of groups into twisted subgroups and subgroups// J. Group Theory.-2003.- v.3. N2. -P. 27-4G.20| Glanbermaii G. Central elements of core-free groups// J.Algebra. 19GG. N4. -P. 403-420.

6. Glanbermaii G. On groups with a quaternion Sylow 2-subgroup// Illinois J. Math. ---1974. -v. 18. -P. G0-G5.

7. Glanboriiian G. On loops of odd order// -I. of Algebra. 19G4. N1. -P. 374395.

8. Glanbermaii G. On loops of odd order //// J. of Algebra. 19G4. N8. -P. 393-414.

9. Gorienstein D. Finite groups, Harper and Row, New York, 19G8.

10. Вепринцев Д.В., Мыльников A.JI. Ииволютивпая декомпозиция группы и скрученные подмпо'жества с малым количеством инволюций, Математические системы. Вып.5, Краспояр. гос. аграр. ун-т., Красноярск. — 200G. -С. 5-9.

11. Мыльников A. JI. Конечные перекрученные группы, Математические системы. Вып.З, Краснояр. гос. аграр. ун-т., Красноярск. -2005. -С. 53-58.