Алгебра регулярных функций на квантовых M х N -матрицах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

/

/л

¡ПН

П/

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Мосин Владимир Геннадьевич

АЛГЕБРА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ НА КВАНТОВЫХ Мх^-МАТРИЦАХ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

научный руководитель кандидат ф.-м. наук доцент Панов А. Н.

САМАРА — 1998

Содержание

0.1 Определения и примеры..........................................4

0.2 Структура работы................................................8

1 Алгебра регулярных функций на квантовых тхи-матри-цах. 10

1.1 Алгебра Mq...................................................10

1.2 Квантовые миноры................................................11

1.3 Соотношения в Mq................................................12

2 Тело частных алгебры Mq. 24

2.1 Тело F..............................................................24

2.2 Размерность Center F..............................................24

2.3 Образующие Center F..............................................31

3 Алгебра С,[У]. 35

3.1 Мультипликативные множества в Mq, порожденные квантовыми минорами..................................................35

3.2 Алгебры Cq[V] и А........................41

3.3 Лемма о главном g-миноре........................................42

3.4 Spec Cq[V] и Spec А................................................42

4 Разбиение SpecCjV]. 48

4.1 Идеалы Pw и мультипликативные множества Sw.......48

4.2 Разбиение Spec Л. ................................................51

4.3 Разбиение Spec Cq[V]........................54

5 Алгебраическая структура алгебр Aw. 55

5.1 Алгебры Aw и Аш....................................55

5.2 Алгебра Ае..........................................................56

5.3 Лемма о разложении подстановки................................59

5.4 Скрученность алгебр Aw..........................................60

6 Центральные элементы алгебр Aw и Aw. 66

6.1 Центральные мономы в Aw......................................66

6.2 Center Aw и Center Aw..............................................70

7 Размерность центра. 71

7.1 Z-матрица алгебры Aw............................................71

7.2 Размерность Center Aw............................................77

8 Биекция между примитивными идеалами в Cq[V] и сим-плектическими листами в V. 79

8.1 Пуассоновы алгебры, ассоциированные с деформациями. . . 79

8.2 Алгебра С [У]..................................80

8.3 Теорема о биекции................................................82

8.4 Размерность симплектических листов..........................83

9 Некоторые смежные вопросы. 86

9.1 Первичные и примитивные идеалы в алгебре регулярных функций на квантовом векторном пространстве.......86

9.2 Первичные и примитивные идеалы в алгебре регулярных функций на квантовой матричной полугруппе..................87

Введение.

Квантовые объекты (группы, полугруппы, векторные пространства), появившиеся в начале 80-х годов в работах Ю. И. Манина, Н. Ю. Реше-тихина, JI. А. Тахтаджяна, JI. Д. Фаддеева и др., привлекают сегодня внимание многих математиков, и обширная библиография работ, посвященных этой теме (насчитывающая по некоторым оценкам до тысячи наименований), свидетельствует о высокой ее популярности.

В настоящей работе мы квантуем прямоугольные т х та-матрицы, совмещающие с одной стороны свойства матричных полугрупп (в случае m = те), и, с другой стороны — свойства векторных пространств (в случае т = 1). Мы развиваем два сюжета.

• Первый сюжет — изучение тела частных Т алгебры Л4а регулярных функций на квантовых т х те-матрицах и описание поля его центральных элементов. Мы вычисляем степень трансцендентности поля Center .Т7 и выписываем явно его образующие.

• Второй сюжет — первичные и примитивные идеалы алгебры Cg[V] (здесь CjV] — алгебра регулярных функций на квантовых т, х п-матрицах, невырожденных в том смысле, что все их миноры максимального порядка отличны от нуля). Мы доказываем теорему о би-екции между примитивными идеалами в Cg[V] и симплектическими листами в V и вычисляем размерность каждого симплектического листа.

Наша техника состоит в том, что изучение тела Т мы сводим к изучению некоторого тела скрученных рациональных функций, а изучение первичного (примитивного) спектра алгебры Cg[V] — к изучению первичных (примитивных) идеалов некоторых алгебр скрученных лорановских многочленов (см. раздел 0.1, где даны определения и описаны свойства таких

алгебр и тел). Основные результаты нашей работы перечислены в разделе 0.2, там же мы детально, по главам, разбираем содержание.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность своему научному руководителю А. Н. Панову, познакомившему его с квантовой алгеброй и, вообще — с большой математикой.

Работа частично поддержана грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований.

0.1 Определения и примеры.

Алгебры скрученных многочленов, алгебры скрученных лорановских многочленов и тела скрученных рациональных функций.

Пусть Ф — х — кососимметричная Z-матрица, q — переменная

или комплексное число, не являющееся корнем из единицы.

Определение 0.1.1 Ассои,иативная алгебра А, порожденная над С элементами ai,...,an, называется алгеброй скрученных многочленов, если ai,..., ап удовлетворяют соотношениям: = qVijajai \/i < j.

Определение 0.1.2 Алгеброй А скрученных лорановских многочленов называется ассоциативная алгебра, порожденная над С af1... ., а^1 с соотношениями 0.1.1.

Определение 0.1.3 Тело F скрученных рациональных функций — эт.о тело, порожденное ai,...,an над С с соотношениями 0.1.1.

Предложение 0.1.4 Любая алгебра скрученных многочленов являет,ся нетеровой и не содержит делителей нуля. Любое мультипликативно замкнутое подмножество в алгебре скрученных многочленов удовлетворяет условию Ope.

Доказательство. Утверждение о мультиплткативных множествах очевидно. Что касается первого утверждения, подробное его доказательство было проведено в [Р, теорема 1.2].

Пример 0.1.5 Примером алгебры скрученных многочленов служит алгебра регулярных функций на квантовом векторном пространстве.

Подробнее: пусть V = С", С[V] = С[ж1,...,жп] алгебра регулярных функций на V. Ее квантовым аналогом является ассоциативная С-алгебра порожденная Ж1,...,ЖП с соотношениями = q~1XjXi Уг < По определению, алгебра СС1 является алгеброй скрученных многочленов. Ее Z-мaтpицa такова Ф = ^п (г — Локализация алгебры Сд по мультипликативно замкнутому подмножеству, порожденному Ж1,..., хп дает нам пример скрученной лорановской алгебры. Наконец, тело частных .Р = Рга^ £ч является телом скрученных рациональных функций.

Центральные мономы в алгебрах скрученных лора-новских многочленов и в телах скрученных рациональных функций.

Мощным инструментом изучения первичного спектра алгебры скрученных многочленов является описание ее центра (см. следующий раздел).

Определение 0.1.6 Пусть Ф и Ф' — ко со симметричные Ъ-мат.рицы порядка п. Будем говорить, что Ф эквивалентна Ф', если существует, унимодулярная Ъ-матрица и такая, что Ф' = игФ1/.

Определение 0.1.7 Канонической ко со симметричной Ъ-матрицей назовем блочно-диагональную матрицу Ф = diag (Ф17. .., Ф,п,. .., Ф^), где

для г < т Фi = ^ ^ ^ , ^ £ -0,; > 0 и -0,; делит, наглело

Предложение 0.1.8 Каждая ко со симметричная Ъ-матрица Ф эквивалентна матрице канонического вида Ф. Матрица Ф определяется по Ф однозначно.

Доказательство аналогично доказательству теоремы о приведении к каноническому виду целочисленной матрицы элементарными преобразованиями над Ъ (см. [КБ,, теорема 16.6]). Единственность Ф следует из единственности обычной канонической Z-мaтpицы для Ф.

Пусть теперь Ф — кососимметричная Z-матрица, ассоциированная с алгеброй скрученных лорановских многочленов А (или с телом рациональных функций F). Приведение Ф к каноническому виду Ф равносильно выбору в алгебре А (или в теле F) новой системы образующих fu---,fm,gu---,gmihu...,ht, связанных соотношениями: = q^Qifi, остальные пары образующих коммутируют.

Предложение 0.1.9 Если q общего вида, то центр лораиовской алгебры А (соответственно, центр тела F) совпадает с лораиовской алгеброй С [/if \ ..., hf1] (соответственно, с полем рациональных функций

с {hx...M))-

Доказательство было подробно проведено в [Р, предложение 2.6].

Следствие 0.1.10 Степень трансцендентности поля CenterF, так же, как и размерность алгебры Center А (где под размерностью мы понимаем число образующих, порождающих Center А как лорановскую алгебру), равна размерности ядра матрицы Ф. Моном а\1 . .. а^" является центральным в теле F (или, что то же самое в алгебре А) тогда и только тогда, когда целый вектор к = (кг,. .., кп) удовлетворяет линейной систетме Фк = 0.

Пример 0.1.11 Положим в примере п = 3 0.1.5 и рассмотрим лоранов-скую алгебру Ся = 1, ж*1, ж^1]. 2-матрица этой алгебры такова:

/О -1 -1

Ф =

(НткегФ = 1,

10-1,, 110/ вектор (1,-1,1)

образует фундаментальную систему решений системы Фк = 0. Следовательно, центр алгебры Cq порождается над С единственным элементом z = жхж^жз, то есть CenterCq = С[г±:].

Аналогичный результат справедлив для тела Fract£g. Центр этого тела является чисто трансцендентным расширением поля С степени 1, именно: Center Fract Cq = C(z).

\

Первичные и примитивные идеалы в алгебре скрученных лорановских многочленов.

Предложение 0.1.12 Всякий первичный идеал алгебры скрученных лорановских многочленов порождается простым идеалом ее центра. Соответственно, всякий примитивный идеал такой алгебры порождается максимальным идеалом ее центра.

Доказательство см., например, в [СЬ, 2.3].

Пример 0.1.13 Рассмотрим алгебру Ся регулярных функций на квантовой плоскости. По определению, Сч — это ассоциативная С-алгебра, порожденная ж, у с соотношением: жу = q~1yх.

Первичные идеалы из Брес/^ естественным образом разбиваются на четыре класса: идеалы, содержащие обе образующие; идеалы, содержащие ж и не содержащие у; идеалы, содержащие у и не содержащие х и идеалы, не содержащие обеих образующих.

Все идеалы из первого класса содержатся в идеале V = (ж, у). Выясним, какие примитивные идеалы содержатся во втором классе. Изучение первичных идеалов, содержащих ж и не содержащих у, равносильно изучению первичных идеалов локализованной фактор-алгебры (Сд/(х)) г а это — коммутативная лорановская алгебра С[у±1]. Все

максимальные идеалы в ней исчерпываются идеалами вида (у —а), а ф 0. Отсюда, в соответствии с предложением 0.1.12, возникает серия примитивных идеалов в £ч\ 71а = (ж,у — а).

Точно так же, рассматривая третий класс, получим еще одну серию: 71(3 = (х- 0,у).

Наконец, изучение идеалов из четвертого класса равносильно изучению идеалов скрученной лорановской алгебры Сд[ж±1,у±1]. Z-мaтpицa

0.1.10 центр этой алгебры скалярен. Согласно 0.1.12 алгебра Сд[ж±1,у±1] является простой центральной алгеброй.

Итак, все примитивные идеалы алгебры Сд исчерпываются идеалами из следующего списка:

этой алгебры

отсюда, в силу

Т = {х,у), 71а = {х,у-а), Щ = (ж - /?, у) а, ре С*.

0.2 Структура работы.

1. В первой главе мы даем определение основного объекта нашего исследования: алгебры A4q регулярных функций на квантовых т х п-матрицах (опр. 1.1.1), вводим понятие квантового минора (опр. 1.2.1) и выписываем ряд необходимых нам соотношений в M.q.

2. Во второй главе мы показываем, что алгебра M.q допускает тело частных (предл. 2.1.1) и описываем центр этого тела. Как следствие, мы получаем описание центра тела часных на квантовой GLn и на квантовом векторном пространстве (следств. 2.3.5, 2.3.6).

3. В третьей главе мы переходим к изучению невырожденных квантовых т х n-матриц. Невырожденными мы считаем те матрицы, все миноры максимального порядка которых отличны от нуля. Мы даем определение алгебры CJV] регулярных функций на невырожденных квантовых т х ?г-матрицах (опр. 3.2.1) и строим вспомогательную алгебру Л (опр. 3.2.2), изучение которой позволяет нам косвенно изучать алгебру Cq[V] (см. предл. 3.4.1).

4. В четвертой главе мы устраиваем разбиение первичного спектра алгебры Л (теор. 4.2.8) и, как следствие, получаем аналогичное разбиение для C9[V] (теор. 4.3.1).

5. В пятой главе мы переходим к изучению первичных и примитивных идеалов из данного класса. Мы строим алгебры Ли и Ли, (опр.

5.1.3) и показываем, что изучение идеалов из го-класса Spec№C[V] алгебры Сд[У] равносильно изучению идеалов алгебры Ли (зам.

5.1.4), относительно которой мы доказываем, что она является алгеброй скрученных лорановских многочленов (предл. 5.4.1).

6. В шестой главе мы изучаем центральные мономы в Ли- Эта глава является подготовительной к следующей,

7. седьмой главе, где мы вычисляем размерность Center Л,„ (предл. 7.2.1).

8. Восьмая глав посвящена изучению пуассоновой алгебры C[V], ассоциированной с C9[V] (опр. 8.2.2). Мы доказываем теорему о биек-ции между примитивными идеалами в CJV] и симплектическими

листами в V (теор. 8.3.1) и вычисляем размерность симплектиче-ских листов в V (теор. 8.4.1).

9. Наконец, в девятой главе мы затрагиваем еще два вопроса: мы описываем примитивные идеалы в алгебре регулярных функций на квантовом векторном пространстве (предл. 9.1.2) и (в простейшей ситуации 2 х 2-матриц) — в алгебре регулярных функций на квантовой матричной полугруппе.

Отметим, что основные результаты диссертации мы помечаем как теоремы. Все остальные утверждения: леммы, предложения и проч. — носят вспомогательный характер

К основным резултатам мы относим: теорему 2.2.12 о размерности центра поля Center JF, теорему 2.3.4 об образующих поля Center^, теорему 4.3.1 о разбиении SpecCjV] и PrimCjV], теорему 8.3.1 о биекции между примитивными идеалами в Cg[V] и симплектическими листами в V и теорему 8.4.1 о размерности симплектических листов.

Глава 1

Алгебра регулярных функций на квантовых тхп-матрицах.

1.1 Алгебра Л4д.

Пусть т < п. Обозначим Ы векторное пространство комплексных тхп-матриц, и пусть М. = С\Ы] — алгебра регулярных функций на Ы:

и =

/ ж!

,,,1 \ го

®Х \ 1

: >

т"

771 /

м = с\

'11

Определение 1.1.1 (см. [МР, опр. 1.2]). Квантовым аналогом алгебры Л4 служит ассоциативная С - алгебра Л4д, порожденная тп образующими х\, 1 < г < т, 1 < ^ < та с квадратичными соотношениями:

х1хк

= Ч

-1 ? ?

Уг < А;,

V; < /г, V?: < 1,3 > к,

4x1

[1-1)

где q — общий параметр квантования, т. е. переменная или комплексное число, не являющееся корнем из 1.

Замечание 1.1.2 Конструкция алгебры М.ч включает в себя две частные ситуации: т = 1 и т = п. В первом случае получается алгебра

функций на квантовом векторном пространстве, а во втором — на квантовой матричной полугруппе. Таким образом, все результаты, верные для Л4д, автоматически оказываются верными и в этих случаях.

1.2 Квантовые миноры.

Мультииндексом длины р будем называть упорядоченный набор I = {¿X,.. . ,гр} натуральных чисел, то есть такой набор, что < i2 < ... < ip. К мультииндексам применимы обычные операции объединения, пересечения и взятия разности. Если i < it (или i > it) Vi, то мы будем писать i < I (соответственно, г > /). Мультииндексы одинаковой длины сравнимы лексикографически. Мы будем обозначать это I <iex J (или I >iex J) Набор из первых р натуральных чисел будем обозначать Ер = {1,...,р}.

Определение 1.2.1 Пусть I = {¿i,... ,ip}, J = {ji,... ,jp} — мультииндексы одинаковой длины р, Нижний мулътииндекс указывает номера строк, верхний — номера столбцов. Квантовым минором (или, короче, q-минор ом) порядка р назовем элемент, алгебры M.q, определенный формулами:

Ci= = Е(-гГ,('Ч„ ■■■<,>■ (1-2)

<x£Sp <7£Sp

Отметим (см. [MP, лемма 1.3], [HL1, theorem 1.4.1]), что справедливы следующие формулы разложения квантового минора по строке (столбцу):

разложение g-минора по чужой строке (столбцу) равно нулю, справедлив квантовый аналог теоремы Лапласса [D, лемма 7.1].

Определение 1.2.2 Назовем q-минор Cj специальным, если его мультииндексы являются отрезками натурального ряда: I — {¿i,ii + l,?'i + 2,... ,¿1 +р - 1}, J = {ji, ji -t- l,ji + 2,. .. ,j! +p - 1}. Мультииндексы такого сорта мы также будем называть специальными.

Пример 1.2.3 Пусть т = 2, п = 3, Ы = { ( Х\ Х\ ®П ,х{ € С

[ \ х2 ®2 Х2 /

пространство комплексных 2 х 3-матриц, М.ч — квантовый аналог алгебры функций на то есть С-алгебра многочленов от х}, ..., х\ с соотношениями (1.1). Тогда

°{1,2> -

1

1 -.2

X

Г)

М1-3} -°{1,2} -

\

ьС Г)

С

{2,3} {1,2}

ж2 ж3

, ,2 ,3 X' гу X

Здесь д-миноры и Сг^/ являются специальными, а С

42,3}

{1,3} {1,2}

нет.

1.3 Соотношения в Л4

Пусть I = {г!,..., гр}, 7 = {л,... ,зР} длины. Обозначим ^ = и I.

V

два мультииндекса одинаковой

Лемма 1.3.1 а) Если г < I, ] Е 3. то С^х1 — <?ж¿С/ = 0;

b) если г е /, 3 <Е 3, то С3гх\ — х\С1 = 0;

c) если г3_1 < г < -¿а для некоторого 1 < в < р, з £ 3, то существуют комплексные числа € С* такгье. что С/ж^ — <?ж¿С/ = С}^;

а) если г > I, з £ 3, то С/ж^ — = 0;

е) если ъ < I, з > 3, то С/ж^ — ж¿С/ = 0/ Г) если г ^ I, з > 3, то С]х\ — д-1®¿С/ = 0;

. g) если г„_1 < г < %я для некоторого 1 < в < р, з > 3. то существуют комплексные числа 6 С" такие, что С/ж; — ж ¿С/ =

Ь.) если г > I, з > 3, то существуют комплексные числа £ С* такие, что С/ж? — ж¿С/ = ^х^С^.

Доказательство а). Применим индукцию по р. Еслир = 1, то С/ = ж? ,

и требуемое вытекает из соотношений (1.1) в .М^. Предположим, что лемма верна для всех ^-миноров порядка, меньшего, чем р. Рассмотрим две ситуации. Пусть сначала з = зР. По определению

С/ = £ (-?Г'('Ч,х

<те£р

(1)

Мр)

(1.4)

При этом, так как j — jp > jk Vfe < р, и г < ia{k) то, согласно коммутационным соотношениям (1.1) в алгебре Mq,

= х£{р)х{ = qxixZ^y (1.5)

Заменяя С/ на (1.4), и воспользовавшись (1.5), получим:

Пусть теперь ji < j < jp~\. Разложим g-минор С/ по р-му столбцу.

= (1-6)

t=i

Заметим, что j € J\jp, г < J\?'fV£ и g-минор имеет порядок р — 1.

По предположению индукции, С^х{ = qx{C^-tP. Следовательно,

£=1 ¿=1

Так как it > г, jp > j, то, согласно (1.1), ж^ж^ = + — ■

Поэтому

С/*? = дх> ¿( чГ'^С^: + («Г1 - ¿(-7)" W/^f.

¿=i ¿=i

Второе слагаемое равно нулю как квантовый анлог разложения по чужому столбцу. Отсюда

cfxi = ЧАЪ-^МС^: = ^'с/. ¿=1

Доказательство Ь). Обозначим Mq подалгебру в Mqi порожденную х\ такими, что г £ j Е J, с соотношениями, унаследованными из Л4д. В квантовый минор С/ играет роль квантового