Слабые пределы решений задач о движении неоднородной жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Тб о*

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.9

Саженков Сергей Александрович

СЛАБЫЕ ПРЕДЕЛЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ О ДВИЖЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 1998

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор П.И.Плотников Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Кажихов, доктор физико-математических наук, профессор Н.А.Кучер Ведущая организация: Институт математики СО РАН

Защита состоится " .Р.." 1998г. в 15 часов на заседании

диссертационного совета К 063.98.04 в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск—90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

& £

Автореферат разослан "__" к-^Д*. др

Учёный секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

А.Ф.Воеводин

1. Общая характеристика работы.1

Актуальность темы. Математические исследования динамических уравнений движения неоднородной жидкости, как и уравнений сплошной среды вообще, мотивируются потребностями развития технологий промышленного производства, стимулируются совершенствованием численных методов решения задач математической физики и постоянным улучшением применяемой для расчетов вычислительной техники. С теоретической точки зрения уравнения динамики неоднородной жидкости привлекают математиков своеобразием постановок задач и оригинальностью подходов в их решении. Наконец, исследование корректности указанных задач способствует разработке методов их численного решения.

Целями работы являются:

1. Доказательство разрешимости в целом по времени задачи о движении неньютоновской дилатантной жидкости и задачи о движении твердых тел в неньютоновской дилатантной жидкости.

2. Доказательство в целом по времени теорем о существовании и единственности решений кинетических уравнений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:

1. Доказано существование решений начально-краевой задачи о движении неньютоновской дилатантной жидкости.

2. Доказано существование решений начально-краевой задачи о движении твердых тел в неньютоновской дилатантпой жидкости.

3. Доказана однозначная разрешимость задачи Коши для кинетического уравнения Л.Тартара в случае, когда данными Коши является неотрицательная борелевская мера.

4. Доказана теорема единственности решения в пространствах Соболева задачи Коши для линейного транспортного уравнения в слу-. чае, когда коэффициент в младшем члене уравнения принадлежит произвольному пространству Ьр(0), р > 1.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, код проекта 97-01-00501 и Молодежного гранта СО РАН, 1998 г.

5. Построено представление решений изучаемых задач для кинетических уравнений в обобщенных лагранжевых координатах в случае, когда поле скоростей принадлежит пространству Я1.

6. Доказано существование решений задачи о движении неоднородной вязкой несжимаемой жидкости с быстроосциллирующими начальными данными и показано, что Я-мера Тартара, ассоциированная со слабосходящейся последовательностью распределений плотности, служит решением кинетического уравнения Тартара.

Все результаты являются новыми.

Методика исследования.. Доказательства базируются на получении априорных оценок и применении классических методов решения нелинейных краевых задач, таких как методы монотонности и компактности, к пространствам Соболева, на применении теории транспортных уравнений с решениями в пространствах Соболева, на применении теории меры.

Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы для конструирования и обоснования численных методов решения задач механики вязкой несжимаемой жидкости.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Сибирской школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред", г.Новосибирск, 1997 г.; на III Сибирском конгрессе ИНПРИМ, г.Новосибирск, 1998 г.; на I Краевой конференции по математике, г.Барнаул, 1998 г.; на семинаре "Математические проблемы механики сплошной среды", руководители - чл.-корр. РАН В.Н.Монахов, чл.-корр. РАН П.И.Плотников; на семинаре кафедры дифференциальных уравнений НГУ "Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики", руководитель семинара - д.ф.-м.н., проф. А.М.Блохин; на семинаре кафедры прикладной математики НГУ, руководитель семинара - д.ф.-м.н., проф. Т.И.Зеленяк.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, главы 1, которая содержит 4 раздела, главы 2 (7 разделов) и списка литературы (47 названии) и изложена на 116 страницах машинописного

текста.

2. Содержание работы.

Введение. Во введении дан краткий обзор литературы, приведены основные обозначения и изложены постановки задач и результаты диссертации.

2.1 Содержание главы 1.

Рассматривается задача о движении неньютоновской несжимаемой жидкости в следующей постановке.

Задача А.

Жидкость занимает ограниченную область П пространства R3. Требуется найти поле скоростей й : Qt —> R3, давление р. : Qt —i /? и вязкость жидкости ц : Qt —> R, Qt = х [0,Т], удовлетворяющие следующим уравнениям и начальным а граничным условиям:

з

Au + 52u,-Au-divOiHO = /-Vp., (*,<)€ Qr (1) i=l

3

Dtfi + = 0, (x, t) G Qt (2)

¿=i

dixu = 0, (x,t)eQT (3)

u(x, <)jt=o = uo(x), x€tt (4)

w(M)bn = 0, <)|t=o = ЫХ) (5)

0 < in < Цо(х) < M < oo, m,M — const , x G Q. (6)

Относительно W предполагается выполнение следующего условия: ¡iW € <9Ф(£)(гГ)), <9Ф(£)(«)) - субдифференциал функционала Ф(х) = ¿JnQ(x>x(*)№, где

0(х - I Я,Х|Р' Прт 1x1 - М

const < +СО

в точке х — 0{й).

Определение 1.1. Обобщенным решением задачи А называется пара функций {«(ж, таких, что

й G ¿,(0,Т;У(П))П£»(0,Г;Я(П))1 |ОД*))| < M при п.в. t G [О,Г], ц G L00(Qt), m < fi(x,t) < M при п.в. (x,t) € Qt и выполняются вариационное неравенство

[ Dt<p(v - u)dxdt + I n\D{iï)\p-2D{u) : D{$ - iî)dx<ft •/qt jqt

- j йфй: V(£ - u)dxdl > / /(£ - tQciztft (7)

•/qr -/qt

и интегральное тождество

/ fi{Dti'+uVil>)dxdt+ / 0. (8)

Jqt j n

Здесь ^ € Lp(0,T; V(fi)) - произвольное поле, удовлетворяющее условиям G ¿р(0,Г;1/(П)), |D(0)| < M, £|t=0 = «о, Ф G C^Qt) -произвольная функция такая, что V"|î=t = 0.

В определении 1.1 и далее в автореферате используются обозначения функциональных пространств:

= l,...,n, div£=0 h V(fi), V0* (Г2) - замыкания V(fi) в нормах (^(Q))", (#*(«))", к= 1,2,..., соответственно, где V(ii) есть пространство соленоидальных финитных бесконечно

-дифференцируемых функций в fi;

V"*(Î2) - сопряженные к V(fi) и V0k(Q)] H(Q,) - замыкание V(fi) в норме (L^{Çï))n.

Для остальных функциональных пространств используются традиционные обозначения.

Доказывается теорема существования обобщенного решения задачи А: ■

Теорема 1.1. Пусть

/G LP'(0,T-,V'{Q)), |D(F)| < M где DtF = f,

щ 6Я(Й), |ВД>)(®)| < M, p_1 +(p')_1 = 1, P> ^

a

Тогда существует обобщенное решение задачи А.

clkj^ La р О оидс

Далее, эта задача рассматривается с начальными данными для вязкости ц в виде

€ ß\Vb, е v0.

Здесь Vo есть объединение непересекающихся подобластей I —

1,..., TV с гладкими (липшицевыми) границами Е^.

Доказывается, что при е —» 0 последовательность обобщенных решений задачи А сходится к обобщенному решению задачи Б о движении твердых тел в неньютоновской жидкости под действием гидродинамических реакций, которая состоит в следующем. Задача Б.

Требуется найти области V^(t), I = 1,. ..,N, моделирующие твердые тела, поле скоростей и : Qt\Vt R3 и давление внутри жидхости

Р» : Qt\Vг Я, где = {(У(*М), t G [0,71}, V(t) = |J W(t), уп<У

(=i

влетворяющие системе, включающей в себя уравнения движения жидкости

з

Dtu + Y^uiDiÜ-divW = }-Vp„ {x,t)eQT\VT, (9) i=l

divu = 0, {x,t)eQT\VT, (10)

и уравнения Эйлера движения твердых тел под действием гидродинамических реакций в неподвижной декартовой системе координат

pUfdx+l Т rider, (11)

dt Jv( о J so)

„,(»)*(«) + (JW + ®

-m(0x(J) ® 0(Ор(') + (yC) + mV)x№ _ т(0г(0 ®

dt

= [ pM(xxj)dx+'f xx(T n)dcr, 1 = 1,...,N. (12) JvO) J B(0

Замечание 1.1. Вязкость жидкости считается постоянной и равной 1 во всем объеме жидкости.

К уравнениям (9)-(12) добавляются начальные и граничные условия

У«(0) = 7о(|), / = (13)

«Ом)|<=о = ад, хеп\у0, (14)

и(х,фп = 0, (15)

й(х,1)\8Ут = (»е(<) + £>(«) X (« - *е(*)))1дУт, (16)

¡>е\(=о =ас, <2|4=0=<20, гсЬ=о=х°, х £ У0. (17)

В формулах (11)-Г 17) обозначено - поверхность твердого тела У*'), п - нормаль к Е''^ , внешняя по отношению к р® > 0 - плотность твердого тела, в рассматриваемой задаче положим р^ = 1 для любого I, 1 < / < И, щО > 0 - масса тела, /О - тензор инерции тела в главных осях инерции, = ¿^ /у(0 р^(х?-1 + х'-+1)с1х, г,] =

1,2,3, ^ - скорость центра инерции тела, - радиус-вектор центра инерции тела, - угловая скорость тела, Т = ||7у;||";-=1 - тензор напряжений вязкой жидкости, ту = —р,$%) + IV, р» - внутреннее давление жидкости, / - вектор внешних массовых сил.

Введем в рассмотрение функцию, характеризующую расположение твердых тел

В терминах этой функции начальное условие (13) можно записать в виде

ЛМ) = Ло(*) = {;: Ш\Уо (18)

Введем в рассмотрение некоторые специальные функциональные классы2 и сформулируем понятие обобщенного решения задачи Б :

2К.-Н. Hoffmann, V.N.Starovoitov. On a motion of a solid body in a viscous fluid. Two-dimensional case. // Advances in Mathematical Sciences and Applications. V.XO, N1, 1998. или Preprint M9680, November 1996, Technische Univ. München.

Char(£) — класс характеристических функций подмножеств множества Е,

К(Х) = {Ф G \D{^){x) = 0, г 6 5(х)}, где х € Char(fl), S{X) =

{х£П\х(*) = 1}.

Определение 1.2. Обобщенным решением задачи Б называется пара функций {й,Л} таких, что и G 1ТО(0,Г;Я(П)) П Lp(0,Т; К(П)), u G К(Л), |D(«(i))| < М при п.в. t G [0,TJ; Л G Char(QT); Л G C(0,T;£^(i2)), ti < оо и для которых имеют место интегральное неравенство

f Dt<p(<p-u)dxdt+ [ ¡D(u)|p-2D(u) : D(<p - u)dxdt Jqt JQt

- / u®u:V{<p-u)dxdt> j f(0-u)dxdt (19)

JQT JQT

и интегральное тождество

f A(Dti(> + uVtydxdt + f Aoip(x,0)dx = 0. (20)

JQt Jn

Здесь ф G Lp(0,T; V(i2)) - произвольное векторное поле, удовлетворяющее условиям Dt<p G Lp(0,T;V(Q)) <p G K(Л), \D(<p)| < M, <p]t=o = «о, ф G C1{Qt) ~ произвольная функция такая, что i>\t=t = 0.

Теорема существования обобщенного решения задачи Б формулируется следующим образом:

Теорема 1.2. Пусть й0 G Я(П) П К(А0), |D(u0)| < М п.в. в QT,

/е ХР'(0, Т; \D(F)\ < М, где DtF = /,

p-i+tf)-^ 1, р>у.

Тогда существует обобщенное решение задачи Б.

Замечание 1.2. Из того факта в определении обобщенного решения, что й G К(А), следует, что эволюция во времени V®, I = 1,..., N является твердотельным движением, поскольку решениями уравнения D(u)(x) = 0 являются функции й(х) = vc + и х (х - хс), где vc, хспи не зависят от х.

2.2. Содержание главы 2.

Одной из задач, связанных с уравнения переноса вида

Dtp(x,t) + v(x,t)-Vzp{*,t)= 0, (x,t)€QT, (21)

Qt G О х [0,Т], ÇlC R2, является задача об эволюции особенностей бы-строосциллирующих решений уравнения вида (21), которая может быть сформулирована следующим образом. Имеется некоторая слабосходя-щаяся последовательность ре решений уравнения (21), р" = w- lim рЕ.

Для всевозможных непрерывных функций / требуется описать множество слабых пределов f*(x,t) = w- \imf(pc (х, t)). Л.Тартаром3 была предложена конструкция Я-меры, которая содержит информацию о слабых пределах последовательностей реА\ре\, где А - произвольный псевдодифференциальный оператор нулевого порядка. В плоском случае Я-мера определяется при п.в. f € [О, Т] посредством равенства

< Pt, a<pi>p2 >= lim / tpi{pe - p*)A[<p2[pi: -p*)]dx, (22)

в котором <pi, ip2 G Co(fi), A : Li{R2) —> L^R2) - псевдодифференциальный оператор нулевого порядка с символом а G С1(51), где S1 -единичная окружность.

Так как множество функций {y>i¥>2«} плотно в Со(£2 х S1), то эта формула определяет при п.в. t G [0,3] на Q х S1 неотрицательную борелевскую меру3. Семейство Я-мер {pt}, зависящих от t как от параметра, служит решением кинетического уравнения JI.Тартара

Dtpt+ divx(fitv) + Dy(ptY :Vxv) = 0, (t,x, y) G [0,Г] x fi x S1, (23)

где Y (y) = ||^(У)110=1,2 - матрица, Уц G C°°(R).

Возникает вопрос об отыскании минимальных условий на поле скоростей v, обеспечивающих корректность задачи Коши для уравнения (23) в классе борелевских мер. В настоящей работе дается ответ для соленоидальных векторных полей v(x,t):

3L.Tartar. H-measures, a new approach for studying homogenisation oscillations and concentration effects in partial differential équations. // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 115A, p.193-230,1990.

Теорема 1.1. Пусть v Е ¿2(0, Т\ (io(х,у) есть неотрица-

тельная борелевская мера на Q х S1, принадлежащая пространству распределений

С^1)))* и абсолютно непрерывная относительно меры Лебега на Q, тогда существует единственное решение Ht(x,y) задачи Коши для уравнения (23), имеющее следующие свойства: !)■ Mx,y)\t=o = Цо(х>У)> (х,у) EQ xS1;

2). fitEL2(0,T-,(L2(n,C(S1W);

3). fit при п.в. t Е [0,Т] есть неотрицательная мера на П х S1, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега на Q.

Главная проблема при доказательстве теоремы 1.1 заключается в следующем. Представляя уравнение (23) в эквивалентном виде DtUt + divx y(fitV) = 0, где V = {vibv2,Y : VxiT}, несложно видеть, что норма ||divXi!,V||x3(oiT;i00(iJ)) не ограничена, а значит невозможно применить известную технику, оспованную на получении оценок для решений с использованием леммы Гронуолла.

Аналогичная трудность возникает при изучении вопроса о единственности решения транспортного уравнения

Dtu + divr(tTu) + си — 0, (х, <) € fi х [О, Т], (24)

Q С Rn ~ ограниченная область, если норма НсЦ/^о.т^^п)) не ограничена.

Это уравнение в настоящей работе рассмотрено наряду с уравнением (23) и доказана теорема единственности: Теорема 1.2. Пусть

*) гГе^^^И'о'^ПЯ^)), 1 < а < оо, 1<7<оо; **) гi°ELp(Q), 1 < р < оо; с е ¿7(0,Т; Lg(Q)), 1 < q < оо; и выполнены условия согласования q > aN(N — а)~х, р-1 < 1 — (N— а)(о#)-1 (если N > а) или q~l < 1 — р~1, р > 1 - любое (если N <а). Тогда, если существует некоторое решение u(x,t) Е Lg(0,T\ Lp(ft)), + 7-1 < 1 задачи Коши для уравнения (24) с начальной функцией € Ьр (Q), то это решение единствеьное.

Идея доказательств теорем 1.1 и 1.2 состоит в использовании ла-гранжевого представления для уравнений (23) и (24) и основана на том, что более простой вид уравнений по сравнению к исходному позволяет

преодолеть отмеченные выше сложности. Возникает, однако, другая проблема. Как оказалось, минимальным условием гладкости на поле скоростей v(x,t), при котором изучена и доказана возможность перехода от эйлеровых координат к лагранжевым, является принадлежность v пространству Li(0,T; (fi)) (Îî € Я3)4, a в случае менее гладкого поля скорости этот вопрос остается открытым.

В настоящей работе предложено понятие лагранжевого преобразования - обобщение понятия лагранжевого представления на случай со-леноидальных полей скоростей, принадлежащих пространству L-y(0,T; W^(iî)), 1 < а,7 < оо. Лагранжево преобразование реализуется посредством оператора Лагранжа, определенного следующим образом.

Рассматривается задача Коши для уравнения переноса

Г d,fv + divx(v(x,s)FV) = 0, (ж,*) G Qt, f9,x

l FW(MU = /0M), *€П, t е [о,т] ^

с данными Коши / G (О, Г; Lp(Q)).

Известно5, что при почти каждом t G [0,Т] существует единственное решение F^\x,s), принадлежащее как функция переменных x,s пространству С([0,!Г);^р(Я)) (если р < со) или ¿«(ФтШ^вЛ^р'Ф))» р' <00- любое (если р= оо).

Ассоциированный с векторным полем v оператор Лагранжа L : Lp(Çl) —> LP(fi) определяется для почти каждого t € [О, Г] по закону

£[f)(x,t) = FW(x,0), (26)

где FM - решение задачи Коши (25).

Образ функции f при отображении £ называется лагранжевым преобразованием этой функции.

Устанавливается, что

Предложение 1.1

1). £[/](a;,f) есть измеримая в Qt функция;

4R. Temam. Lagrange représentation of Navier-Stokes Equations. // J. Diff. Eq., 1985.

sR.J.DiPema, P.L.Lions. Ordinary differential équations, transport theory and Sobolev spaces. // Inventiones mathematicae 98, p.511-547, 1989.

2). ;

3). имеют место оценки:

если р< оо, то ||£1Я111«(о,г^(П)) = ||/1к-(о1т;ь,(П)),

если р = оо, то ИАЛНмо.г^СЛ)) < Н/Имо.ГА.ф));

4). если V 6 С1([0, Т]; Сд(П) ПЯ(А)), отображение / : От Я, / € С1(С}т), задано в эйлеровых координатах, то £[/](£, I) = [/]((£, ¿), где есть представление функции / в лагранжевых координатах;

5). существует оператор С1, обратный к оператору Лагранжа С, то есть С о С~х и о £ есть тождественные преобразования, действующие из Ьр{$1) в ЬР{И) при п.в. 4 € при любыхр Е [1,оо]. Для оператора £-1 справедливы утверждения пп. 1).-3). настоящего предложения (в формулировках которых на месте С фигурирует £.~х);

6). если v € С1([0,Л Я((2)), отображение / : <?т Я, / 6 С1^т), задано в лагранжевых координатах, то С~1[{\{х,%) = [/]„(*,*), Ш® есть представление функции / б эйлеровых координатах.

На основании предложения 1.1 доказываются теоремы о лагранже-вом преобразовании кинетических уравнений.

Теорема 1.3. Пусть = »,,/ =1,2 (будем обо-

значать и{х,Ь) =

Уравнение (23) имеет своим решением неотрицательную абсолютно непрерывную относительно меры Лебега на $3 борелевскую меру ¡1({х,у), определенную ка й х 51 при п.в. 2 € [0,Т] такую, что е ¿2(0,Т; С(51)))*), ¿^{х,у) = с1хстогда и только тогда,

когда уравнение

Дг?( + Д,(С^ : Ут/е) = 0, (<, г,у) £ [0,х П х 51 (27)

имеет своим решением неотрицательную абсолютно непрерывную относительно меры Лебега на О борелевскую меру щ е Ь2(0,Т; (¿2(^;С(51)))*) такую, что йщ(х,у) = «*х<*А,,в(у), /51 Ф(у)<1*ь,х(у) =:£ [/51 Ф(у)^-,(у)] ОМ) для любой функции ф е С(51), при п.в. € Ст•

« а;) —А«,! есть слабоизмеримые относительно меры Лебега на (¿т отображения (¿т в пространство мер на Б1.)

В формулировке теоремы 1.3 использован тот факт, что если р(х, у) есть некоторая борелевская мера, определенная на произведении множеств X х У, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега на X, то при любой измеримой по мере р функции f по теореме Лебега -Никодима справедливо представление

где х -)• vx есть слабоизмеримое относительно меры Лебега на X отображение X в пространство мер на У.

Теорема 1.4. Пусть C{x,t) = jC[c](ar,i), показатели а, у, 6, р, q удовлетворяют условиям теоремы 1.2.

Уравнение (24) имеет решение u(x,t) £ Ls(0,T; Lp(Q)), тогда и только тогда, когда уравнение

имеет решение V 6 Ь{(0,Т;ЬР[£1)) такое, что и(х^) = £[и](х,<).

Уравнения (27) и (28) будем называть лагранжевыми преобразованиями уравнений (23) и (24) соответственно.

Справедливость теорем 1.3 и 1.4 позволяет на основании результатов о существовании или единственности решений уравнений (27) и (28) делать заключения о справедливости точно таких же результатов для уравнений (23) и (24).

В приложении (раздел 7) рассматривается начально-краевая задача для системы классических уравнений Навье-Стокса, описывающих движение неоднородной вязкой несжимаемой жидкости с быстроосцил-лирующими начальными данными в ограниченной области (I £ Я2. При этом считается, что значения плотности р(х, <) переносятся вдоль траекторий движения частиц жидкости со скоростью

Быстроосциллирующие начальные данные моделируются как пределы при е —> 0 последовательностей начальных распределений

М*) = р,{х, о) е ¿09 (О), voe(x) = ve(x, 0) е

т < рое < м, рОе ра * -сл. в Loo(ti), Ще VQ в У0а(П).

DtU + CU ~ 0, (x,i)eQr

(28)

Известно6 , что для каждого £ > 0 существует обобщенное решение {ve(x,t), pc(x,t), Vpe(x,t)}, с начальными данными {voei®)» рос(х)}.

Доказывается, что рс —¥ р *-слабо в £то(О х [О,Г]), vt v слабо в L2(0,T;V2(Q)), VpE Vp слабо в х [0,Т]), где {T(i,t), p(x,t) и Vp(x,t) составляют сильное обобщенное решение исходной задачи с начальными распределениями щ(х) и ро(х). Устанавливается, что Н-мера Тартара fit, ассоциированная с последовательностью pe(x,t), служит решением кинетического уравнения (23), в кото-

( I sin 2у -cos2 у \ ром У = 2 . 2 1 • о 1 • ^ sin у — |sm2y /

Автор диссертации выражает глубокую признательность члену -корреспонденту РАН профессору П.И.Плотникову за научное руководство и доценту кафедры теоретической механики НГУ В.Н.Старовойто ву за полезные обсуждения при подготовке диссертации.

Список работ по теме диссертации

1. Саженков С.А. Задача о движении твердых тел в неньютоновской несжимаемой жидкости. // Сибирский математический журнал, 1998 г., Т.39, N 1, стр.146 - 160.

2. Саженков С.А. Решения задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости с быстро осциллирующими начальными данными. // Динамика сплошной среды, 1998 г., Вып.113, 12 с. (принята к печати).

3. Саженков С.А. Решения задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости с быстро осциллирующими начальными данными. // Тезисы докладов Сибирской школы-семинара "Математические проблемы механики сплошных сред", г.Новосибирск, 1997 г., с.122.

4. Саженков С.А. Решения задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости с быстро осциллирующими начальными данными. // Тезисы докладов III Сибирского конгресса ИНПРИМ, г.Новосибирск, 1998 г., с.118 - 119.

5. Саженков С.А. Представление в лагранжевых координатах в случае негладкого поля скоростей. О единственности решения транспортного уравнения. // Тезисы докладов I Краевой конференции по математике, г.Барнаул, 1998 г., с. 27 - 28.

6Ангонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.9

Саженков Сергей Александрович

СЛАБЫЕ ПРЕДЕЛЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ О ДВИЖЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -член-корреспондент Российской академии наук П.И.Плотников

Новосибирск - 1998

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение с.З

Глава 1. Задача о движении твердых тел в неньютоновской несжимаемой жидкости.

1. Постановки задач. с.20

2. Разрешимость задачи А о движении неньютоновской жидкости. с.24

3. Разрешимость задачи Б о движении твердых тел в неньютоновской жидкости. с.38

4. Приложение. с.48

Глава 2. Преобразование Лагранжа. Теоремы существования и единственности решений кинетических уравнений.

1. Постановки задач и результаты главы 2. с.52

2. Оператор Лагранжа. с.57

3. Доказательство теоремы 1.3 о лагранжевом преобразовании уравнения Л.Тартара. с.72

4. Доказательство теоремы 1.4 о лагранжевом преобразовании транспортного уравнения. с.82

5. Доказательство теоремы 1.1 о разрешимости

уравнения Л.Тартара. с.87

6. Доказательство теоремы 1.2 о единственности

решения транспортного уравнения. с.92

7. Приложение. Задача о движении неоднородной

вязкой несжимаемой жидкости с быстроосциллирующими

начальными данными. с.94

ЛИТЕРАТУРА с.113

ВВЕДЕНИЕ.

1.1 Общие положения и обзор известных результатов.

Движение сплошной среды, занимающей объем О С -К" (ограниченный или неограниченный), описывается системой динамических уравнений [1], состоящей из уравнения неразрывности (баланса массы)

Ар + а^рг?) = 0, (ж,*) еПх [о,т], (1.1)

уравнения количества движения

рдгг+ргг-= + (я,*) € О х [0,Т], (1.2)

уравнения ¿момента количества движения

=/од + Уф + (я ® ж) : Т, (ж, ¿) е О х [0,Т]. (1.3)

Здесь х - радиус-вектор точки пространства Кп, [0 ,Т] - промежуток времени, в течение которого происходит движение, р = р(х^) - плотность, й = й(х^) - вектор скорости, Т = ||гу||^=1 ~ тензор напряжений, / = /(#,£) - вектор массовых сил, Л4 - внутренний момент количества движения, д, = С^п - распределенные массовые и поверхностные пары сил (п - вектор нормали к поверхности).

При изучении движения определенной сплошной среды уравнения (1.1)-(1.3) конкретизируются заданием специфических свойств среды и вектора массовых сил, постулированием реологического уравнения

Т = Т (*,аг,гГ,(1.4)

то есть заданием зависимости тензора напряжений от кинематических величин t, х, й и некоторого набора скалярных констант {рг-}.

Математические исследования уравнений (1.1)-(1.4) мотивируются потребностями развития технологий промышленного производства, стимулируются совершенствованием численных методов решения задач математической физики и постоянным улучшением применяемой для расчетов вычислительной техники. Результаты и методы решений, получаемые при изучении проблем механики сплошных сред находят свое место в теории дифференциальных уравнений, а потому представляют и самостоятельный научный интерес.

В первой главе настоящей диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к проблемам движения неньютоновской несжимаемой жидкости при отсутствии внутреннего момента количества движения и распределенных пар сил, то есть М, $ и тождественно равны нулю. Условие несжимаемости и уравнение неразрывности (1.1) эквивалентны уравнению переноса

Dtp + й■Чp = 0, (я,*) 6 V х [0,Т] (1.5)

и условию соленоидальности поля скоростей

аьт = о, (ж,*)' е п х [о,г]. (1.6)

Вследствие М = 0, д = 0 и ф = О уравнение (1.3) специализируется в равенство вида

Тц — Т^гч

которое выражает свойство изотропности (невыделенности направлений) среды.

Реологическое уравнение вязкой несжимаемой жидкости имеет вид

т = -р,1 + ту, (ж,*)еПх[0 ,Т], (1.8)

1, « -Ь

где I = \\8ij||"-=1, = < ' . , р* - давление в жидкости, тензор

( и, г 7=

ту - так называемая "вязкая" часть тензора напряжений. Если ту определяется законом Стокса [1],

ту = 2рВ{й), (1.9)

где £>(«) = \\liDiUj + _ тензор скоростей деформаций, ¡1 > О

- коэффициент вязкости (ц не зависит от и в явном виде), то уравнения (1.2), (1.5), (1-6), (1.8), (1.9) (заметим, что равенство (1.7) выполняется автоматически) описывают движение изотропной линейной вязкой несжимаемой жидкости и называются уравнениями Навье-Стокса. Теория этих уравнений очень обширна и включает в себя, в частности, ответы на вопросы о корректности задач в ряде функциональных классов. Отметим, что основные результаты о существовании и единственности решений в пространствах Соболева содержатся в [2], [3].

Вызывают интерес также задачи о движении твердых тел, погруженных в жидкость с реологическим уравнением в виде (1.8), (1.9). В [4], [5] рассмотрен случай, когда жидкость заполняет все пространство R2 и в ней плавает одно тело. В [6], [7] предполагается, что жидкость заполняет ограниченную область Q с гладкой границей, вектор массовых сил равен нулю и допускается, что погруженных в жидкость тел может быть несколько. Во всех этих работах доказано существование слабого обобщенного решения и в [б], [7] изучены процессы столкновения тел друг с другом и с границей В [8] проведен численный анализ экспериментов по взаимодействию твердого тела, плавающего в жидкости, и стены.

Уравнения Навье-Стокса получили широкое применение при исследовании проблем гидромеханики, но тем не менее они не являются универсальными по отношению ко всему многообразию изотропных вязких несжимаемых сред. Это приводит к появлению моделей, в которых зависимость тензора ту от D{u) нелинейна. Жидкости с реологическим уравнением (1.8) и нелинейной зависимостью rv от D(u) называются ненъютоновскими. Физическим аспектам неньютоновских жидкостей посвящены публикации [9] - [11]. Первые математические исследования по неньютоновской жидкости принадлежат О.А.Ладыженской (1966-1970 гг).

В [3], [12], [13] в предположении, что оператор D(u) —> tv(D(u)) является монотонным и удовлетворяет условиям возрастания

\tv(D{u))\< Ci(l + \D(u)\)p-\ Ci > 0, 1 < p < ос, (1.10)

rv(D(Ü)) : D(u) > C2\D(u) C2 > 0, p > Pl > p - 1, Pl > 0, (1.11)

доказано существование слабых решений при р > 1 + и единственность при г?(ж,0) 6 #(fi), р > В [14] (1970 г) доказаны существование и единственность слабых решений при таких же числах р, п в случае, когда

r^ = IVul^V«. (1.12)

Заметим, что при таком ту тензор напряжений не удовлетворяет принципу изотропности (1.7), однако, доказательства из [14] технически несложно перекладываются для изотропного тензора (см., например,

tv = \D(u)\P~2D(u)

(1.13)

который, кстати, удовлетворяет условиям (1.10), (1-11).

В [16] (1970 г.) предложена разностная схема решения задачи о движении неньютоновской жидкости.

В публикациях последних лет [17], [18] (1993-1994 гг.) рассмотрены задачи с тензором напряжений, определяемым формулами (1.8), (1.10), (1.11), и доказаны при определенных р и п разрешимость и единственность в смысле слабого обобщенного решения в случае, когда жидкость занимает все пространство Rn и начальные данные й(х, 0) и р(х,0) есть периодические функции. В этих же работах предложено понятие мерозначного решения уравнений неньютоновской жидкости. В [15] приведен весьма полный обзор этих и других результатов о наличии мерозначных, слабых и сильных обобщенных решений.

Глава 1 настоящей работы посвящена продолжению исследований математических вопросов о движении неньютоновской жидкости. Доказаны теоремы существования слабых обобщенных решений задач о движении дилатантной (dilatory (англ.) - медленный, запоздалый) жидкости и о движении твердых тел в этой жидкости. Точный вид формулировок и результатов первой главы приведен в п.1.2 этого введения.

Во второй главе настоящей диссертации исследуются уравнения вида (1.1). Они имеют общее название "кинетические уравнения" [19] и входят составной частью не только в уравнения механики сплошной среды (1.1)-(1.3), но и во многие другие модели математической физики. В силу этого, важное значение имеет изучение задачи Коши для уравнения (1.1), которая формулируется следующим образом: Пусть Qt = U х Rn - пространство переменных u(x,t), Pq(x) -

заданные функции. Требуется найти обобщенную функцию р = р(х, t), удовлетворяющую уравнению

Dtp + div(pu) = 0, (х, t) Е П х [0, Т]

(1.1)

и начальному условию

р(х, 0) = ро(х).

(1.14)

Теоремы существования и единственности классического решения задачи (1.1), (1-14) опубликованы во многих учебниках по теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных (например, [20]). Исследованию вопросов о существовании и единственности решений в пространствах Лебега Ьр(0,), р 6 [1,оо] ■ посвящены работы. [2], [21], [22]. В [23] изучены вопросы корректности задачи (1.1), (1-14) в пространствах Орлича. В [21] предложено понятие ренормализ о ванного решения, доказаны теоремы существования и единственности ренормализованных решений и, в дальнейшем, эти результаты нашли применение при исследовании уравнений Больцмана [24], [25] и Власова-Максвелла [26].

Полученные во второй главе диссертации результаты являются продолжением исследования вопросов корректности задач Коши для кинетических уравнений вида (1.1). Подробные формулировки и постановки содержатся в п. 1.3 настоящего введения.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, главы 1, которая содержит 4 раз. дела, главы 2 (7 разделов) и списка литературы (47 названий).

Нумерация разделов, формул, определений, теорем, констант и т.д. обособлена внутри отдельных глав. Номера формул, определений, теорем и т.д. состоят из двух чисел: первое - номер раздела, второе -порядковый номер внутри раздела. Основные постановки, формулировки и ряд обозначений излагаются в тексте диссертации по нескольку раз с той целью, чтобы было возможно читать введение, первую и вторую главы автономно друг от друга.

В п. 1.4 введения приведен список основных обозначений, используемых в работе.

1.2 Содержание главы 1.

Рассматривается задача о движении неньютоновской несжимаемой жидкости в следующей постановке.

Задача А.

Жидкость занимает ограниченную область О пространства В?. Требуется найти поле скоростей и : давление р* : Я? 4 Л и вязкость жидкости ¡л : Ят —> Я, Ят = О х [0,Т], удовлетворяющие следующим уравнениям и начальным и граничным условиям:

Dtu + £ Mi A« - di vfaW) = f- (x, t) e QT (1.15)

i= 1

3

Ajt + I>iA/x = 0, (x,t)eQT (1.16)

i= 1

divw = 0, (x,t)£QT (1.17)

«(s,i)|<=o = щ(х), x e Q (1.18)

=0, ju(x,t)lt=0 = Mx) (1-^)

0 < 771 < juo(x) < M < oo, m, M = const , X e 0. (1.20)

Относительно W предполагается выполнение следующего условия: /iW £ дФ(Ю(и)), дФ(Б(й)) - субдифференциал функционала Ф(х) = \hQ(x,x(x))dx, где

0(х у(х)) = { ПРИ 1x1 - М

v 'AV \ +оо, при 1x1 > м, М = const < +оо

в точке х = D{u).

Определение 1.1. Обобщенным решением задачи А называется пара функций {u(x,t), fi(x,t)} таких, что

и £ Lp(0,T; V(Q)) П ^(О.Т;^)), \D(u(t))\ < M при п.в. t £ [0,T], ¡1 e Loo(Qt), rh < n(x,t) < M при п.в. (x,t) 6 Qt и выполняются вариационное неравенство

JQt Dt<p(<p - u)dxdt + J D{u)\p~2D(u) : D(0 - u)dxdt

- JQtU®u:V(0-ujdxdt > J f(0 - u)dxdt (1.21)

и интегральное тождество

f fi(Dtip + uV,ip)dxdt + Jn {¿(x, 0>)ф{х, 0)dx = 0. (1.22)

Здесь $ e Lp(0,T;V(tt)) - произвольное поле, удовлетворяющее условиям Dt<p G £Р(0,Г;7(П)), \D($)\ < M, £|t=0 = Щ, Ф € C\QT) -произвольная функция такая, что ip\t=r = 0.

Доказывается теорема существования обобщенного решения задачи

А:

Теорема 1.1. Пусть

/ е 1/(0,Т;У'(0)), < М 20>е = /,

гГ0€Я(П), р(гГ0)М|<М, р"1 + (У)-1 = 1,

Тогда существует обобщенное решение задачи А.

Далее, эта задача рассматривается с начальными данными для вязкости ¡л в виде

„Г* 01-1 1. *€П\Уо,

Здесь Уо есть объединение непересекающихся подобластей У0^, I = 1,..., ТУ с гладкими (липшицевыми) границами Е^.

Доказывается, что при е —> 0 последовательность обобщенных решений задачи А сходится к обобщенному решению задачи Б о движении твердых тел в неньютоновской жидкости под действием гидродинамических реакций, которая состоит в следующем. Задача Б.

Требуется найти области I = 1,..., N, моделирующие твер-

дые тела, поле скоростей й : Ят \ Уг -» Я3 и давление внутри жидкости р, : где^г = {(У(*),*),*е[0,Т]}, У{1) = ¿¡У««, удовлетворяющие системе, включающей в себя уравнения движения жидкости

= М) £ От \ Ут, (1-23)

г=1

<н™ = 0, (м) (1-24)

и уравнения Эйлера движения твердых тел под действием гидродинамических реакций в неподвижной декартовой системе координат [27]:

Ж

с

тп

йг

= + С1"25)

(«7^ + 2т^х^рг^РI — т^-и^ ® х^

-т<4° ® + (J{1) + - ®

tit

= jvV)p®{xxj)dx + J^xx(Tn)da: / = 1,..., iV. (1.26)

Замечание 1.1. Вязкость жидкости считается постоянной и равной 1 во всем объеме жидкости.

К уравнениям (1.23)-(1.26) добавляются начальные и граничные условия

И')(о) = V0{1\ Z = 1,..., iV, (1.27)

u(z,i)|i=o = u0(s), x£Q\Vq, (1.28)

u(s,i)U2 = 0, (1.29)

«(ж,*)^ x ix~xc(t))) ldvT, (1-30)

= u\t=Q = = я?, ar G F0. (1.31)

В формулах (1.25)-(1.31) обозначено E^ - поверхность твердого тела ft - нормаль к Е^ , внешняя по отношению к р^ > 0 -плотность твердого тела, в рассматриваемой задаче положим р^ = 1 для любого /, 1 < I < N, т® > 0 - масса тела, J^ - тензор инерции тела в главных осях инерции, jf-> = Sij fyw p^(xf_1 + xf+1)dx, i,j = 1,2,3, v^ - скорость центра инерции тела, х^ - радиус-вектор центра инерции тела, и^ - угловая скорость тела, Т = ||rij||ij=i _ тензор напряжений вязкой жидкости, гг-;- = — + W, р* - внутреннее давление жидкости, / - вектор внешних массовых сил.

Введем в рассмотрение функцию, характеризующую расположение твердых тел

Mxty=ll> хеУ {х* } \ о, х eci\v{t).

В терминах этой функции начальное условие (1.27) можно записать в виде

л(м)=лом={;; (1-з2)

Следуя [6], введем в рассмотрение некоторые специальные функциональные классы и сформулируем понятие обобщенного решения задачи Б :

Char(E') — класс характеристических функций подмножеств множества Е,

К(х) = [Ф в НЦП)\В(ф)(х) = О, X £ S(x)h ^ * G Char(fi), S(x) = {xett\x(x) = i}.

Определение 1.2. Обобщенным решением задачи Б называется пара функций {и,Л} таких, что й G 2^(0, Т; Н(С1)) П LP(Q,T;V(Q)), и G К (А), |£>(ЗД)| < М при п.в. t G [О, Г]; Л G Char(QT); Л G С(0,Т; L#(Q)), i9 < оо и для которых имеют место интегральное неравенство

[ Dt<p(<p - ujdxdt + [ \D{u)\p~2D{u) : D(<p - ujdxdt

J QT J QT

— I и ® и : V(<p — ujdxdt > f f(<p — ujdxdt (1.33)

J Qf J Qx

и интегральное тождество

/ A(D^ + u4ii)dxdt+( = (1.34)

jqt jq

Здесь ф G Lp(0,T;V(Q)) - произвольное векторное поле, удовлетворяющее условиям Dt<p G Lp(0,T; V(O)) ф G K(Л), < M, (p\t=Q = u0, ф G C1{Qt) ~ произвольная функция такая, что ф^=т = 0.

Теорема существования обобщенного решения задачи Б формулируется следующим образом:

Теорема 1.2. Пусть щ G Я(О) П К(А0), \D(uQ)| < М п.в. в QT,

fe Lp/(0,T;F'(Q)), \D(F)| < M, г<?е DtF = /,

f1 + (/r1 = i) p>j.

Тогда существует обобщенное решение задачи Б.

Замечание 1.2. Из того факта в определении обобщенного решения, что и G К(Л), следует, что эволюция во времени I = 1,..., N является твердотельным движением, поскольку решениями уравнения D(uj(x) = 0 являются функции и(х) = vc + и х (х — хс), где vc, хс и и не зависят от х [3, с.70].

Замечание 1.3. Класс пробных функций для неравенства (1.33) зависит от решения задачи. Как будет видно, такой выбор пробных

функций не вызывает недоразумений при доказательстве существования обобщенного решения. Заметим, что пробные функции, зависящие от решения, уже рассматривались в формулировках обобщенных решений в работах [4,6].

О характере взаимодействия тел и границы между собой. При доказательстве теоремы 1.2 показывается, что поле скоростей й(х, t) почти липшицево, откуда по теореме Осгуда следует, что траектории движения точек жидкости и тела определяются единственным образом в Qt. Таким образом, несложно видеть, что если два тела (или тело и граница) соприкасались в начальный момент времени, то они будут соприкасаться при любом t £ [О ,Т] и иметь друг относительно друга нулевую скорость, а если два тела (или тело и граница) не имели общих точек, то они не "столкнуться" ни при каком t £ (О, Т].

1.3 Содержание главы 2.

Одной из задач, связанных с уравнения переноса вида

Dtp(x, t) + v(x, t) ■ Vxp(x, t) = 0, (x, t) £ QT, (1.35)

Qt £ fi x [0, T], Q С -R2, является задача об эволюции особенностей бы-строосциллирующих решений уравнения вида (1.35), которая может быть сформулирована следующим образом. Имеется некоторая сла-босходящаяся последовательность ps решений уравнения (1.35), р* = w-\imp£. Требуется описать множество слабых пределов f*(x,t) = ии- lim f(p£(x,t)) для всевозможных непрерывных функций /. В работе

[28] Л.Тартара была предложена конструкция Я-меры, которая содержит информацию о слабых пределах последовательностей реА\р^ где А - произвольный псевдодифференциальный оператор нулевого порядка. В плоском случае ü-мера определяется при п.в. t £ [0, Т] посредством равенства

< Ни а<Р№ >= ^mfQ(pi(pe ~ Р*)АМРе ~ P*)]dx, (1.36)

в котором <pi, ip2 £ Co(Q), А : L2(jR2) -»• L2(R2) - псевдодифференциальный оператор нулевого порядка с символом а £ С1^1), где S1 -единичная окружность.

Так как множество функций {^1^2«} плотно в Со(0х5:), то, как показано в [28], эта формула определяет при п.в. t £ [0,Т] неотрицатель-

ную борелевскую меру на Q х 51. Семейство ii-мер {fit}, зависящих от t как от параметра, служит решением кинетического уравнения JI. Тартара

DtiH+ diYx(fit v) + Dy(fit Y :V^) = 0, (t,x,y) G [0,Г] x Q x S\

(1.37)

где Y(y) = \\Yij{y)\\i,j=i,i ~ матрица, Уц G С°°(Д).

Возникает вопрос об отыскании минимальных условий на поле скоростей обеспечивающих корректность задачи Коши для уравнения (1.37) в классе борелевских мер. В настоящей работе дается ответ для соленоидальных векторных полей v(x,t):

Теорема 1.1. Пусть v G 1^(0,Т; Vo(х>у) есть неотрица-

тельная борелевская мера на Q х S1, принадлежащая пространству распределений

(1/2(0, С(5Х)))* и абсолютно непрерывная относительно меры Лебега на Q,, тогда существует единственное решение pit(x,y) задачи Коши для уравнения (1.37), имеющее следующие свойства:

1).