След и представления элементов С*-алгебр комбинациями специального вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

БИКЧЕНТАЕВ АЙРАТ МИДХАТОВИЧ

СЛЕД И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С*-АЛГЕБР КОМБИНАЦИЯМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 5 мдр 2G12

Казань - 2011

005014316

005014316

Работа выполнена в НИЦ «НИИММ им. Н. Г. Чеботарева» Института математики и механики им. Н. И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Шерстнев Анатолий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

в. н. с. Амосов Григорий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор Асташкин Сергей Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Григорян Сурен Аршакович

Ведущая организация — ФГОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова»

Защита состоится 29 марта 2012 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 в ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, ауд. 337.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

Автореферат разослан « ^ » ^^_2012 г. и размещен на официальном сайте ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»: www.ksu.ru

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.081.10 кандидат физико-математических наук,

доцент

Е. К. Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. Актуальность темы исследования. Теория операторных алгебр занимает центральное место в арсенале средств современной математической физики и является быстро развивающейся областью исследований, для которой характерно тесное переплетение чисто математического и прикладного аспектов. Это обусловлено тем, что на языке алгебр операторов, их состояний, представлений и групп автоморфизмов удается описывать и исследовать свойства модельных систем с бесконечным числом частиц, изучаемых квантовой теорией поля и статистической физикой.

Основным объектом этой теории являются инволютивные топологические алгебры ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве. Основополагающими трудами явился цикл обширных работ Дж. фон Неймана по алгебрам операторов, замкнутых в слабой операторной топологии (30-40-е годы двадцатого века), часть из которых выполнена в соавторстве с Ф. Дж. Мюрреем1. Такие алгебры (их вначале называли "кольцами операторов") именуются теперь И^-алгебрами или алгебрами фон Неймана. Алгебры, замкнутые в топологии нормы, или С*-алгебры, начали изучать в 1943 г. И. М. Гельфанд и М. А. Най-марк2.

Теория алгебр фон Неймана получила развитие в работах X. Дая, И. Капланс-кого, И. Сигала, Ж. Диксмье, Ш. Сакаи, М. Томита, М. Такесаки, Ф. Комба, А. Ко-нна и др. и в настоящее время представляет собой обширную и интенсивно развивающуюся часть общей теории банаховых алгебр, богатую интересными и глубокими результатами и связанную со многими раздачами математики, теоретической и математической физики. Одним из главных разделов этой теории является схема классификации алгебр фон Неймана, опирающаяся на понятие эквивалентности проекторов и на связанные с ним понятия конечного и бесконечного проекторов. Эти понятия позволяют построить теорию относительной размерности на множестве проекторов, определить конечные, полуконечные,

1НейманДж. фон. Избранные труды по функциональному анализу. В двух томах / Дж. фон Нейман. - М.: Наука, 1987. - 376 с. (Т. 1), 372 с. (Т. 2).

2ГельфандИ. М. О включении нормированного кольца в кольцо операторов в гильбертовом пространстве / И. М. Гсльфапд, М. А. НаЯмарк // Матси. сборник. 1943. Т. 12, № 2. С. 197 213.

собственно бесконечные алгебры фон Неймана и построить на этих алгебрах следы. Структура алгебр фон Неймана позволяет использовать геометрические и топологические методы при исследовании свойств этих алгебр, в то же время важные разделы теории алгебр фон Неймана (классификация проекторов, разложение по типам, полярное разложение, существование функции размерности) имеют чисто алгебраическое происхождение.

Йордановы алгебры самосопряженных операторов (JC- и JW-алгебры) являются вещественными неассоциативными аналогами С*- и 1У*-алгебр; в настоящее время их теория продолжает интенсивно развиваться и находит интересные приложения во многих отраслях математики и квантовой теории. Впервые систематическое изложение теории JW-алгебр было дано в 1965 г. Д. Топпингом3, хотя алгебраические предпосылки уже имелись в работе Йордана-фон Неймана-Вигнера4 и в работе фон Неймана5. Глубокие результаты в теории йордановых банаховых алгебр получили Е.Штёрмер, Е.Альфсен, Ф. Шульц, У.Хаагеруп, Ш. А. Аюпов и др.

При обычном походе, основы которого заложены в работах П. Дирака, В. Гей-зенберга, М. Борна и др., квантовомеханическим наблюдаемым сопоставляются эрмитовы операторы в гильбертовом пространстве квантовомеханических состояний 6. При алгебраическом подходе всякой квантовомеханической системе сопоставляется алгебра наблюдаемых, которая является бесконечномерным векторным пространством над полем действительных чисел, и в ней определены алгебраические операции, позволяющие любым двум наблюдаемым, взятым в определенном порядке, однозначно сопоставить третью наблюдаемую. Одна из таких операций - йорданово произведение наблюдаемых, которое при обычной формулировке квантовой механики равно полусумме двух произведений (эрмитовых операторов, соответствующих двум наблюдаемым), различающихся порядком сомножителей. Ключевую роль в алгебраической теории играет

3Topping D. M. Jordan algebras of self-adjoint operators / D. M. Topping // Mem. Amer. Math. Soc. - 1965. -№ 53. - 48 p.

* Jordan P. On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism / P.Jordan, J. von Neumann, E. Wigner // Ann. Math. - 1934. - V. 35, № 1. - P. 29-64.

5Фон Нейман Дж. Обобщение математического аппарата квантовой механики методами абстрактной алгебры / Дж. фон Нейман // Матем. сборник. - 1936. - Т. 1, № 4. - С. 415-434.

®Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики / Дж. фон Нейман. -М.: Наука, 1964.-366 с.

понятие состояния, определяемого как элемент векторного пространства, дуального к алгебре наблюдаемых. В изучении динамического поведения кванто-вомеханических систем важным является вопрос о сходимости (в том или ином смысле) чезаровских средних, составленных из сохраняющих меру преобразований (в частности, абсолютных сжатий) алгебры наблюдаемых, т. е. возникает потребность в различных эргодических теоремах в соответствующих алгебрах. Различные "некоммутативные" эргодические теоремы получили Я. Г. Синай и В. В. Аншелевич, Ш. А. Аюпов, М. Ш. Гольдштейн, Ф. Йедон, Р. Яйте и др.

Оформление общей теории интегрирования относительно унитарна-инвариантных мер в полуконечных алгебрах фон Неймана было осуществлено И. Сигалом7 в 1953 г. Он также осуществил вложение классической теории интегрирования на пространстве с мерой в построенную им схему интегрирования относительно нормального следа, в которой роль измеримых функций играют неограниченные измеримые операторы, присоединенные к алгебре. Теория Сигала нашла эффектные приложения в теории двойственности для унимодулярных локально компактных групп8 и теоретической физике, инициировала целый поток исследований по "некоммутативной" теории вероятностей. Идеи и методы общей теории интегрирования относительно унитарно инвариантных мер позволили изучить важный класс статистических задач, возникающих в теории квантовых измерений, и выходящих за рамки обычной постановки в терминах пространства элементарных событий. Это привело к созданию некоммутативной теории статистических решений. Последовательное построение этой теории осуществлено в трудах А.С.Холево. Дальнейший прогресс в теории некоммутативного интегрирования был стимулирован созданием фундаментальной теории Томита-Такесаки и исследованиями Ф. Комба по теории весов на алгебрах фон Неймана, что позволило описать некоммутативные £р-пространства, ассоциированные с произвольным точным нормальным полуконечным весом. Различные подходы к описанию таких пространств предложены в работах У. Хаагерупа, А. Конна, М. Хил сума, А. Н. Шерстнева, Н.В.Трунова, X. Араки, Т.Масуды, Х.Косаки,

7SegaII. Е. A non-commutative extension of abstract integratioa / I. E. Segal // Ann. Math. - 1953. - V. 57, № 3. - P. 401-457.

8StmespringW.F. Integration theorems for gages and duality for unimodular groups / W. F. Stinespring // Trans. Amer. Math. Soc. - 1959. - V. 90, № 1. - P. 15-56.

O.E. Тихонова (см. монографии9,10). Отметим также исследования Ш. А.Аю-пова и Н. В. Трунова, связанные с построением теории неассоциативного интегрирования на йордановых алгебрах.

Одновременно с развитием теории некоммутативного интегрирования для весов и неограниченных мер на проекторах продолжались исследования различных классов банаховых и F-нормированных пространств измеримых по Сигалу операторов, являющихся некоммутативными аналогами классических идеальных функциональных пространств: Lp-пространств Лебега, пространств Орли-ча, Лоренца, Марцинкевича. Изучались топологии и сходимости, связанные со следом на алгебре фон Неймана. Некоммутативные симметричные пространства измеримых операторов исследовали В.И.Овчинников, Ф.Йедон, В.И.Чилин, М. А. Муратов, X. Косаки, Ф. А. Сукочев, П. Доддс, Т. К. Доддс, Б.деПагтер и др. В случае алгебры В(Н) всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H класс некоммутативных симметричных пространств совпадает с классом симметричных идеалов компактных операторов, теория которых получила развитие в работах Р. Шэттена, И. Ц.Гохберга, М. Г. Крейна, Б. Саймона, М. Ш. Бирмана, М. 3. Соломяка, С. Квапеня, А. Пел-чиньского, Дж. Арази, Ч. Маккарти, Дж. Линденштраусса и др.

Ф.Йедон11 определил алгебру локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана и ввел в ней топологию сходимости локально по мере и сходимость локально почти всюду. Сходимость по мере впервые появилось в 7 как »-сходимость к сходимости почти всюду. Свойства топологий сходимости по мере и локально по мере исследовали также В. Ф. Стаинспринг8, Е.Нельсон12, Ф.Йедон, О.Е.Тихонов, М.Терп13, В.И.Чилин, М.А.Муратов, Т.Фак, X.Косаки, Ф.А.Сукочев, П.Доддс, Т.К.Доддс, Б.деПагтер, Л.Циах

sTakesakiM. Theory of operator algebras. V. II / M. Takesaki. Encyclopaedia of mathematical sciences, 125. Operator algebras and noncommutative geometry, 6. - Berlin: Springer, 2003. - 518 p.

10Шерстнев A. H. Методы билинейных форм в некоммутативной теории меры и интеграла / А. Н. Шерстнев.

М.: Фиэматлит, 2008. 264 с.

"YeadonF. J. Convergence of measurable operators / F. J.Yeadon // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1973. - V. 74, № 2. - P. 257-268.

12NelsonE. Notes on non-commutative integration / E.Nelson Ц J. Funct. Anal. - 1974. - V. 15, № 2. - P. 103-116.

13TerpM. IP-spaces associated with von Neumann algebras / M.Terp. - Copenhagen: Copenhagen Univ., 1981. -100 p.

и др. В полуконечном случае сходимость локально по мере совпадает с грубой сходимостью, введенной в 8. М.А.Муратовым рассмотрены двусторонние сходимости по мере и почти всюду и установлены их связи с (о)-сходимостью. Ш. А. Аюпов и Р. А. Абдуллаев исследовали топологию сходимости по мере, ассоциированную со следом на йордановой алгебре.

Исследования по задачам характеризации следов в классе нормальных весов или функционалов на алгебрах фон Неймана начались в 70-е годы двадцатого века; интересные результаты получили М.С.Матвейчук, Л.Т.Гарднер, Х.Уп-майер, Г. К. Педерсен, Е. Штёрмер, Ш. А. Аюпов, Д. Петц, Я. Земанек, О. Е. Тихонов, А. Н. Шерстнев, Т.Сано, Т. Ятсу, ДиньЧунгХоа, К. Чо и др. Недавние продвижения в теории сингулярных следов на идеалах компактных операторов и важные приложения этой теории в некоммутативной геометрии (см. обзоры14,15) привели к задачам характеризации следов в более широких классах весов на алгебрах фон Неймана. Кроме того, есть много внутренних нерешенных проблем теории операторов и теории некоммутативного интегрирования. Например, проблема существования инвариантного подпространства линейного оператора в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве и проблема У. Хаагерупа о том, будет ли каждый нормальный субаддитивный вес на И^-алгебре а-слабо полунепрерывным снизу16. В § 2.5 диссертации дано положительное решение проблемы У. Хаагерупа для случая абелевых W'-алгебр. В общем случае проблема остается открытой.

Результаты, представленные в диссертации, продолжают исследования в выше перечисленных направлениях. Таким образом, важность решаемых в диссертации задач делает тему диссертации актуальной.

2. Связь работы с крупными научными программами. Работа поддержана Французским математическим обществом (индивидуальный грант за 1993 г.), Единым заказ-нарядом (ФУМА-1 за 1995-2000 г.г.), Российским фон-

14КериА.Л. Следы Днхсмье я некоторые приложения в некоммутативной геометрии / А.Л.Кери, Ф. А.Сукочев // Успехи ыатем. ваух. - 2006. - Т. 61, № 6. - С. 45-110.

15КордкжовЮ. А. Теория двдехса д некоммутативная геометрия на многообразиях со слоением / Ю.А.Кордаоков //Успехи матем. паук. 2000. Т. 64, № 2. С. 73 202.

"Ha&gerup U. Normal weights on li"-algebras / U. Haagerup // j. Funct. Anal. - 1975. - V. 19, № 3. - P. 302-317.

дом фундаментальных исследований (гранты 95-01-00025, 98-01-00103, 01-01— 00129, 05-01-00799), Программой "Университеты России - Фундаментальные исследования" (гранты УР. 1617 (1999 г.), УР.04.01.061 (2002-2003 г.г.)), Федеральным агентством по науке и инновациям (госконтракт 02.740.11.0193 за 2008-2011 г.г.).

3. Цель работы. Основными целями настоящей работы являются:

1. Представления элементов широкого класса С*-алгебр в виде конечных сумм произведений проекторов из алгебры.

2. Получение новых характеризаций следов среди линейных функционалов или весов на С*-алгебрах неравенствами.

3. Исследование топологии сходимости по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана и получение новых характеризаций основных типов таких алгебр.

4. Научная новизна исследования. Все основные результаты, представленные в настоящей работе и выносимые на защиту, являются новыми.

5. Объектом исследования настоящей работы являются проблемы теории операторных алгебр и теории некоммутативного интегрирования.

6. Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту.

1. Получены представления элементов широкого класса С*-алгебр в виде конечных сумм произведений проекторов из алгебры. Доказано, что если алгебра фон Неймана М имеет правильный тип17 (соответственно собственно бесконечна), то каждый оператор X € М представляется в виде конечной суммы X = Хк, где каждое Хк есть произведение не более, чем трех (двух) проекторов из М. Показано, что каждый эрмитов (соответственно косоэрмитов) элемент собственно бесконечной алгебры фон Неймана представляется в виде конечной суммы йордановых произведений (коммутаторов) ее проекторов. Получены приложения к аппроксимативно конечномерным алгебрам.

2. Найдены новые необходимые и достаточные условия коммутирования проекторов в терминах операторных неравенств. Эти неравенства и неравенства Гёльдера, Коши-Буняковского-Шварца, Голдена-Томпсона применены для ха-

17т. е. компонента конечного тина I алгебры М отсутствует или представила в виде прямой сушил М„,{М)® •••ШМ„ДАТ*), гдеЛ',„ некоторые алгебры фон Неймана я 2 < гц» € N. т = 1,...,к.

растеризации следа на алгебрах фон Неймана в классе всех положительных нормальных функционалов. Получена характеризация следа на алгебрах фон Неймана в терминах коммутирования произведений проекторов под знаком веса. Доказано, что каждое из неравенств Пайерлса-Боголюбова и Араки-Либа-Тирринга характеризует следы в классе всех положительных функционалов на С*-алгебре. Получено положительное решение проблемы У. Хаагерупа (1975) о нормальных субаддитивных весах для случая абелевых 1У*-алгебр.

3. Установлены новые алгебраические, топологические и порядковые свойства некоммутативных 1,,-нространств и топологии сходимости по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана. Исследованы свойства топологий локальной и слабо локальной сходимости по мере. Получены характеризации конечных, счетноразложимых, непрерывных, атомических и конечномерных алгебр в классе всех полуконечных алгебр фон Неймана в терминах указанных топологий.

7. Методы исследования. Применены общие методы функционального анализа, теории операторных алгебр, спектральной теории для самосопряженных операторов и стандартные методы из теории топологических и метрических пространств. Использованы структурная теория алгебр фон Неймана, методы теории следов и весов на алгебрах фон Неймана и С*-алгебрах, теории некоммутативного интегрирования.

8. Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена тем, что:

- применяются проверенные, точные и строго обоснованные методы исследования;

- часть результатов диссертации являются обобщением полученных ранее результатов и совпадают с этими результатами в частных случаях;

- все основные результаты диссертации доказаны и опубликованы.

9. Теоретическое и прикладное значение исследования. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они представляют интерес для исследований в рамках теории операторных алгебр, изучении неравенств для операторов и следовых неравенств в теории некоммутативного инте-

грирования. Результаты диссертации были использованы соискателем при чтении специальных курсов для студентов Казанского (Приволжского) федерального университета.

10. Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:

• Итоговые научные конференции Казанского государственного университета в 1990-2011 г. г.

• Воронежские зимние математические школы в 1990, 2002 и 2007 г.г.

• XV конференция молодых ученых Московского государственного университета в апреле 1993 г.

• Международная конференция "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию Н. Г. Чеботарева, Казань, 5-11 июня 1994 г.

• 2-я - 7-я и 9-я - 10-я международные Казанские летние научные школы-конференции 15-22 июня 1995 г., 16-22 июня 1997 г., 13-18 сентября 1999 г., 27 июня - 4 июля 2001 г., 27 июня - 4 июля 2003 г., 27 июня - 4 июля 2005 г., 1-7 июля 2009 г., 1-7 июля 2011 г.

• Международная конференция "XVII Seminar on Stability Problems of Stochastic Models", Казань, КГУ, 19-26 июня 1995 г.

• Международная конференция "Quantum Structures'96", Technische Universität Berlin, Германия, Берлин, 29 июля - 3 августа 1996 г.

• 9-я Всероссийская межвузовская конференция, Самара, Самарский государственный технический университет, 25-27 мая 1999 г.

• Международная научная конференция "Актуальные проблемы математики и механики" в НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева, Казань, 1-3 октября 2000 г.

• Международная конференция "Quantum Structures V", Int. Quantum Structures Association, Fifth Conference, Cesena-Cesenatico, Италия, 31 марта - 5 апреля 2001 г.

• Международная конференция "Kolmogorov and contemprorary mathematics", посвященная 100-летию академика А. Н. Колмогорова, Москва, МГУ, 16-21 июня 2003 г.

• Международная конференция "Linear operators and foundations of quantum mechanics", посвященная 100-летию Джона фон Неймана, Венгрия, Будапешт, 15-20 октября 2003 г.

• Международные конференции "Operator Theory'20", "Operator Theory'21", "Operator Theory'23", Румыния, Тимишоара, West University, 30 июня - 5 июля 2004 г., 28 июня - 4 июля 2006 г., 29 июня - 4 июля 2010 г.

• Международная конференция "Актуальные проблемы математики и механики", посвященной 200-летию Казанского государственного университета, Казань, 26 сентября - 1 октября 2004 г.

• Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященная 100-летию академика С. М. Никольского, Москва, МИРАН им. В. А. Стеклова, 23-29 мая 2005 г.

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И. Г. Петровского, Москва, МГУ, 21-26 мая 2007г.

• Международная конференция "16th St.Petersburg summer meeting in Mathematical Analysis", г. Санкт-Петербург, международный математический институт Эйлера, 25-30 июня 2007 г.

• Международная школа-конференция "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", посвященная 100-летию Башкирского государственного университета, г. Уфа, БашГУ, 1-6 октября 2009 г.

• Международная конференция "Актуальные проблемы математики и механики", посвященная 75-летию НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева Казанского государственного университета, Казань, 10-16 октября 2009 г.

• Международная научная конференция "Современные проблемы анализа и преподавания математики", посвященная 105-летию академика С. М. Никольского, Москва, МГУ, 17-19 мая 2010 г.

• Международная конференция "Banach spaces geometry", г. Санкт-Петербург, международный математический институт Эйлера, 5-11 сентября 2010 г.

• Восемнадцатая Всероссийская Школа^Коллоквиум по стохастическим методам, Казань, Казанский (Приволжский) федеральный университет, 1-8 мая

2011 г.

• Результаты докладывались на научном семинаре Казанского математического общества (руководитель: профессор А. В. Сульдин) в октябре 1992 г.; на научном семинаре Московского государственного университета (руководители: профессоры А. Г. Костюченко, А.М.Степин и А. А. Шкаликов) в 1995 г.; на научном семинаре Московского государственного университета (руководитель: профессор А. А. Шкаликов) в 1995, 2003 (24 октября) и 2005 г.г.; на научном семинаре Московского государственного университета (руководитель: профессор А. Я. Хелемский) в 2005 г.; на научном семинаре Московского государственного университета "Бесконечномерный анализ и математическая физика" (руководители: профессоры О. Г. Смолянов, Е. Т. Шавгулидзе), 21 февраля и 3 октября 2011 г.; на научном семинаре Казанского государственного университета "Алгебры операторов и их приложения" (руководитель: профессор А. Н. Шерстнев), регулярно в 1990-2010 г.г..

• В целом работа доложена на объединенном заседании кафедры математического анализа Казанского (Приволжского) федерального университета и отделения математики НИИММ им. Н. Г. Чеботарева Казанского (Приволжского) федерального университета.

11. Публикации и вклад автора в разработку исследованных проблем. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 34 работах (21 - в журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований), общим объемом 15,68 печатных листов. В [6] постановка (близкой) задачи об исчерпывании проекторно-выпуклыми комбинациями алгебры В(Н), dim Н = оо, восходит к А. Н. Шерстневу. Ему же принадлежит определение 1.5.1 класса (UF). Результаты параграфа 2.4 получены совместно с О.Е.Тихоновым ([10], [32]); лемма 3.8.2, теорема 3.8.3, следствие 3.8.7, пример 3.8.13 а), лемма 3.8.14, теоремы 3.8.15 и 3.8.21 - совместно с А.А.Сабировой [18]. Остальные результаты принадлежат автору.

12. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 19 параграфов и списка цитируемой литературы. В диссер-

тации для лемм, предложений, теорем, примеров, замечаний принята тройная нумерация. Первая цифра обозначает номер главы, вторая - номер параграфа и третья - номер утверждения внутри параграфа. Библиографический список состоит из 34 наименований работ автора и 219 наименований других авторов. Общий объем диссертации составляет 254 страницы.

13. Краткое описание содержания работы по главам. Во введении обоснована актуальность темы исследования, дана общая характеристика работы и приведено краткое содержание работы.

Глава I содержит шесть параграфов и посвящена представлениям элементов С*-алгебр в виде конечных сумм произведений проекторов.

Пусть В{Н) - алгебра всех линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве И. Для X, У е ¡5(4) наряду с обычным произведением ХУ будем использовать йорданово X о У — \(ХУ 4- УХ) и лиево (т. е. их коммутатор) [X, У] = ХУ - УХ произведения. Оператор X € В(Н) называется идемпотентом, если X = Х2\ проектором, если X = X2 — Х'\ полуортого-налъньш проектором, если X*X — (X + Х*)/2.

Для С*-алгебры А через -45Ь, и _Арг будем обозначать ее подмножества эрмитовых элементов, косоэрмитовых элементов, положительных элементов и проекторов, соответственно. Для унитальной А через Аа будем обозначать ее подмножество унитарных элементов. Пусть Д5уга = -А5а (") Ди, Л: = {X € А : ||Х|| < 1}, I - единица ЛиРх = 1- РдляРе Ар*.

Теория следов на С*-алгебрах берет начало с фундаментального результата линейной алгебры: матричный след оператора инвариантен относительно выбора ортонормированного базиса и совпадает со спектральным следом. Роль этого инварианта и его следствий в современной математике и математической физике очень большая. Весом на £7*-алгебре А называется отображение <р : А+ ->■ [0, +оо] со свойствами у{Х + У) = ср(Х) + (р(У), <р(\Х) = \<р(Х) (Х,У € А+, А > 0), (при этом полагается, что 0 - (+оо) = 0). Вес (р на А называется следом, если <р(Е*Е) = <р(И2*) для всех X £ А\ точным, если <р(Х) = 0 => X = 0, X € А+; конечным, если <р(Х) < +оо для всех

х е

Задачи о представлениях операторов в форме комбинаций специального вида постоянно привлекают внимание исследователей. Эта проблематика подробно освещена в обзорах П.By18'19; см. также работы Л.Марку20,21. Такие представления - не только объект изучения, а часто выступают как инструмент. Так, Е. А. Горин22 применил целочисленные комбинации идемпотентов для исследования характеров банаховых алгебр.

В §1.1 приводятся необходимые сведения из теории операторных алгебр и теории некоммутативного интегрирования относительно полуконечного следа на алгебре фон Неймана.

В §1.2 двумя различными способами доказана

Теорема 1.2.1. Если алгебра фон Неймана ЛЛ имеет правильный тип (соответственно собственно бесконечна), то каждый оператор X € М представляется в виде конечной суммы X = Хь, где каждое X* есть произведение не более чем трех (соответственно двух) проекторов из М..

Все утверждения неулучшаемы по числу сомножителей. Наименьшая верхняя граница, равная трем, связана с существованием нетривиального конечного следа на конечных алгебрах правильного типа.

Ключевым моментом в доказательствах является найденное в теореме 433 представление элементов собственно бесконечной алгебры фон Неймана М в виде суммы пяти идемпотентов из М.. Для алгебры фон Неймана правильного типа доказательство опирается на новое представление операторов в виде конечных сумм попарных произведений проекторов и идемпотентов (лемма 1.2.6). Напомним, что алгебра В(Н) собственно бесконечна тогда и только тогда, когда

18WuP. У. The operator factorization problems / P. Y. Wu // Linear Algebra Appl. - 1989. - V. 117, № 1. - P. 35-63.

19 Wu P. У. Additive combination of special operators / P. Y. Wu. In book: Rmct. Anal. Oper. Theory (Warszawa, 1992). Banacli Center Puhl. V. 30. Warszawa: Tolish Acad. Sei., 1994. P. 337 361.

^MarcouxL.W. On the linear span of the projections in certain simple C"-algebras / L- W. Marcoux //' Indiana Univ. Math. J. - 2002. - V. 51, № 3. - P. 753-771.

21Marcoux L. W. Sums of small number of commutators / L. W. Marcoux // Л. Operator Theory. - 2006. - V. 56, № 1. P. Ill 142.

22Горин Б. А. Несколько замечаний в связи с теоремами Гельфанда о группе обратимых элементов банаховой алгебры / Е. А.ГЬрии // Функц. анализ и его прил. - 1978. - Т. 12, Jí» 1. - С. 70-71.

^PearcyC. Sums of small numbers ofidempotents / C.Pearcy, D.M. Topping // Mich. Math. Л. - 1967. - V. 14, № 4. - P. 453-465.

dira Ti — oo.

Пусть A, V - С*-алгебры. Линейное отображение Ф: А —» О называется следовым, если Ф(ХУ) = Ф(УХ) для всех X, К € Л; положительным, если Ф(Х) 6 Т>+ для всех X 6 Из теоремы 1.2.1 вытекают новое доказательство основного результата работы24:

Следствие 1.2.11. Пусть алгебра фон Неймана A4 собственно бесконечна и Л - С*-алгебра. Если положительное линейное отображение Ф : Л4 А является следовым, то Ф(Х) = 0 для всехХ S M. В частности (см., например, с. 31125) на M нет нетривиальных конечных следов.

Получено описание йордановой структуры эрмитовой части алгебры фон Неймана ("алгебры наблюдаемых" квантовой механики) в терминах проекторов (т. е. "вопросов" квантовой механики):

Следствие 1.2.13. Пусть алгебра фон Неймана М. имеет правильный тип. Каждый оператор X € М^ представляется в виде конечной суммы X — Ylk^kt где каждое Xk есть йорданово тройное произведение не более чем трех проекторов, а для собственно бесконечной алгебры M - йорданово произведение не более чем двух проекторов из Ai.

Показано, что для произвольной С*-алгебры А с нетривиальным конечным следом множество всех конечных сумм попарных произведений проекторов и полуортогональных проекторов (взятых в любом порядке) из Л с положительными числовыми коэффициентами не плотно в А (теорема 1.2.18). В своей недавней работе Л. Марку26 назвал выполняющееся для некоторых С*-алгебр равенство

л = {£ PkQkRk : Рь Qk, Rk е Лрг} к

(см. следствие 1.2.15) феноменальным и сопоставил его с тем, что иногда (см.

24ChoiM.-D. TYacial positive linear maps of C-algebras / M.-D.Choi, S.-К.Ъш 11 Proc. Amer. Math. Soc. -1983. - V. 87, № 1. - P. 57-61.

251ЫсеяаЫМ. Theory of operator algebras. V. I / M.Takesaki. - New York-Heidelberg-Berlm: Spring«-, 1979. -415 p.

26MarcouxL. W. Projections, commutators and Lie ideals in C*-algebraa / L. W.Marcoux // Math. Proc. R. Ir. Acad. - 2010. - V. 11 OA, № 1. - P. 31-55.

лемму 1.2.3) множество

\kQkRk : \к G R, Qk, Rk £ ж}

к

даже не плотно в С*-алгебре А-

В §1.3 доказано несколько утверждений о следах и коммутаторах идемпо-тентов в С*-алгебрах. Некоторые из них усиливают и/или уточняют известные результаты. Показано, что если А - унитальная С*-алгебра, Р, Q е ,Дрг и [Р, Q] обратим, то и Р о Q обратим (теорема 1.3.6). С использованием основного результата §1.2 - теоремы 1.2.1 - доказана

Теорема 1.3.7. Каждый косоэрмитов элемент собственно бесконечной алгебры фон Неймана М представляется в виде конечной суммы коммутаторов проекторов из М.

В частности, при dim fi — оо каждый оператор X 6 B(7i)sh представляется в виде конечной суммы коммутаторов проекторов. Для сепарабельного И приведено второе доказательство этого утверждения.

В §1.4 для полной матричной алгебры в терминах конечных сумм коммутаторов проекторов описано множество операторов с нулевым каноническим следом tr и описана область положительности следа tr в терминах конечных сумм попарных произведений проекторов (теорема 1.4.2). Показано (следствие 1.4.4), что матрица X 6 Mn(C)sa является действительной частью некоторой нильпотентной матрицы тогда и только тогда, когда

X = Y1 г'1рь pb Qk € М„(СГ. к

Доказано, что каждая матрица X € МП(С) представляется в виде конечной суммы X = Ylk Хк, где каждое Хк есть йорданово произведение проектора и идемпотента (теорема 1.4.6). Получены приложения к аппроксимативно конечномерным С*-алгебрам (следствия 1.4.5 и 1.4.7).

В §§1.5-1.6 дано решение задачи о представлении элементов С*-алгебр в виде конечных сумм произведений проекторов для широкого класса С*-алгебр. Постановка (близкой) задачи об исчерпывании проекторно-выпуклыми комбинациями алгебры В{%), dim U — oo, восходит к А. Н. Шерстневу. Ему же принадлежит

Определение 1.5.1. Унигпалъная С'-алгебра А обладает свойством унитарной факторизации (запись А € (UF)), если каждый U € Лц является конечным произведением элементов из Л®1™.

В §1.5 с помощью индуктивного процесса (1.5.1) построено представление специального вида для элементов С*-алгебр из класса (UF) (алгебра фон Неймана М е (UF) тогда и только тогда, когда М не имеет прямых слагаемых конечного типа I (предложение 1.5.2)). Результат является новым и для алгебры В{Н).

В §1.6 установлено, что аналогичная задача для алгебры В(Н) при 2 < dim "Н < оо также имеет положительное решение (теорема 1.6.1). Тем самым дан ответ на вопрос Д. X. Муштари и А. Н. Шерстнева.

Основные результаты по перечисленным темам опубликованы в статьях автора [ 3, 7, 8, 12, 21, 29, 33] и в совместной с А. Н. Шерстневым статье [6j.

Глава II содержит пять параграфов и посвящена исследованию задач ха-рактеризации а) следа в классе всех весов на С*-алгебре; б) следовых функционалов в классе всех положительных линейных функционалов на С*-алгебре; в) коммутативности для С*-алгебр.

В §2.1 приведены новые признаки коммутирования проекторов.

Теорема 2.1.3. Для Р, QeB("W)pr следующие условия эквивалентны:

(i) PQ = QP;

(ii) sAPQP) = Sr(QPQ); (Hi) PQP < Q;

(iv) ep®p < e®;

(v) (PQP)P — PQP для некоторого числа p > 1;

(vi) P + Q>PVQ;

(vii) P + Q <l + PAQ.

(viii) \P-Q\<P + Q;

(ix) ep+Q < ep/'2eQep/2;

(x) ep/2e®ep/2 < ep+Ci;

(xi) RePQ<\PQ\;

(xii) Im PQ > 0;

(xiii) PoQ> 0;

(xiv) f{P + Q) < f{P) + f{Q) для некоторой измеримой вогнутой функции f: R+ -4Й с /(0) = 0, строго вогнутой на отрезке [0,1].

Найдены достаточные условия перестановочности проектора с унитарным или эрмитовым оператором (теорема 2.1.1 и предложение 2.1.2). Установлено необходимое и достаточное условие, при котором набор проекторов является попарно ортогональным (теорема 2.1.9).

В §2.2 получены характеризации следов различными неравенствами (теоремы 2.2.6, 2.2.8). В большинстве из них сработали признаки коммутирования проекторов из параграфа 2.1. Выдвинута одна гипотеза о характеризации следов среди всех весов на алгебре фон Неймана и доказана ее справедливость в широком классе весов (теорема 2.2.2).

В §2.3 получены характеризации следов неравенствами Пайерлса-Боголюбова и Араки-Либа-Тирринга (теоремы 2.3.2 и 2.3.6). В частности, дан положительный ответ на старый вопрос Я. Земанека27. Найдено достаточное условие коммутативности С*-алгебры (следствие 2.3.7).

В §2.4 приведены характеризации следов неравенствами монотонности (теорема 2.4.4, следствия 2.4.5 и 2.4.6) и неравенством Юнга для степенных функций (теорема 2.4.1).

В §2.5 дано положительное решение упомянутой выше проблемы У. Хаагеру-па16 для случая абелевых W'-алгебр (теорема 2.5.6) и найден общий вид нормальных субаддитивных весов на этих алгебрах (следствие 2.5.7). Также получено приложение к разложениям сублинейных ожиданий на измеримых функциях28 (следствие 2.5.9).

Основные результаты по перечисленным темам опубликованы в статьях автора [2, 12, 14, 16, 17, 19, 20, 27], и в совместных с О.Е.Тихоновым статьях [10, 32], в совместной с А.С.Русаковым и О.Е.Тихоновым статье [30].

След г на алгебре фон Неймана М называется полуконечным, если т(Л) = sup{r(ß) : В е М+, В < А, г(В) < +оо} для каждого А € М+; нормалъ-

"ZemänekJ. A review Zbl 0942.15015 / J.Zemänek // Zentralblatt MATH. http://www.zentralblatt-math.org

28Лебедев А. А. О монотонных сублинейных доминируемых функционалах на пространстве измеримых функций / А. А.Лебедев // Сибир. матем. журн. - 1992. - Т. 33, № 6. - С. 94-105.

ним, если XiSX (Xh хе м+)=> т(Х) = sup r{Xi).

Пусть т — точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана М, М - *-алгебра всех т-измеримых операторов, Mo - идеал т-компактных операторов в М, М? - множество всех Р е Мрт с т(Р) < оо, £+ = С{]М для С С М.

В *-алгебре М вводится топология tT сходимости по мере12'13, фундаментальную систему окрестностей нуля которой образуют множества

U(e, S) = {X е М : 3 Q е М?* (||XQ|| < £ и r(Qx) < «5)}, £ > 0, <5 > 0.

Известно, что (М, tT) является полной метризуемой топологической ♦-алгеброй, причем М плотно в {М, tT). _

Через Ht{X) обозначим певозрастающую перестановку оператора X € М, т. е. функцию X): (0, оо) [0, оо), заданную формулой

ttt(X) = inf{||XP|| : РбЖ, r(Px) < i}, t> 0-

Пусть m - линейная мера Лебега на R. Некоммутативное ¿^-пространство Лебега (0 < р < оо), ассоциированное с (М,т) может быть определено как

LP{M, т) = {X € М ■ /х(Х) е ЬР(К+, т)}

с F-нормой (нормой для 1 < р < оо) ||Х||Р = ||^(Х)||Р, X е Ьр(М,т). Продолжение г до единственного линейного функционала на линеал М П Li(M,t), а затем и на все Ь\{М,т) обозначаем той же буквой т.

Глава III содержит восемь параграфов и посвящена изучению алгебраических, порядковых и топологических свойств идеальных пространств т-измеримых операторов.

В §3.1 получено положительное решение одной задачи А. Н. Шерстнева (1993): "Пусть X,Y еМ+ и XY € Li(M,t). Будет ли JK^YX1'2 принадлежать ЫМ,Т)Г _

Теорема 3.1.4. Пусть операторы X,Y € М таковы, что XY 6 L]_{M,t). Тогда Xl'2YXxl\ Y^XYx'2 6 L1(M,r)+ u

r{XY) = T(X1/2YX1^2) = т(У^2ХГ1/2).

Установлено, что произведение неотрицательных т-измеримых операторов не может быть нильпотентом (следствие 3.1.7). В предложении 3.1.10 для X, У € М показано, что

ХУ€М0<==> Х^УХ1'2 е М+0 у 1/2Ху1/2 6

В §3.2 выдвинута гипотеза о слабом спектральном порядке по Харди, Литтл-вуду и Пойа, усиливающая теорему 3.1.4. Показано, что если эта гипотеза справедлива для каждой непрерывной полуконечной алгебры фон Неймана, то она верна для всех полуконечных алгебр фон Неймана. Доказана справедливость гипотезы для алгебры В(Ч), снабженной каноническим следом г = и (теорема 3.2.3). С помощью этого результата установлено новое свойство вполне симметричных пространств на (В(Н),Ьг) (следствие 3.2.4).

В §3.3 получено усиление и обобщение (на все идеалы с унитарно-инвариантной нормой (см. гл. III, §229) в В{4)) одной леммы Ф.А.Березина (см. гл. III, с. 14630) в случае, когда оператор С ограничен (теорема 3.3.5). Найдено одно достаточное условие обратимости самосопряженного оператора (следствие 3.3.4).

В §3.4 доказана непрерывность естественного вложения метрического идеального пространства на алгебре фон Неймана М с точным нормальным конечным следом г в *-алгебру измеримых операторов М с топологией ¿т сходимости по мере (теорема 3.4.4).

С помощью этого факта установлено, что топология 1Т не зависит от конкретного выбора такого следа (следствие 3.4.5) и является минимальной среди всех метризуемых топологий, согласованных со структурой кольца на М (теорема 3.4.7). Отсюда получается новое доказательство одной теоремы М. А. Муратова31 (следствие 3.4.11).

Топология и сходимости по мере может быть локализована следующим образом. Для е, 6 > 0 и Р е М1* определим множества

У{е,б,Р) = {х&м-. здемрг (<2<р, ||хо||<£ и т(Р-а)<б)},

ГохбергИ.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряжеиных операторов / И.Ц.Гохберг, М.Г.Крейн. - М.: Наука, 1965. - 448 с.

3°БереэинФ. А. Метод вторичного квантования, 2-е изд., доп. / Ф.А.Березин. - М.: Наука, 1986. - 320 с.

31 Муратов М. А. Сходимости в кольце измеримых операторов / М. А. Муратов // Сбор. науч. тр. Ташкент, ун-та. № 573. Функциональный анализ. - Ташкент: Изд-во ТашГУ, 1978. - С. 51-58.

W(£,6,P) = {X£M: 3Q€7Wpr (Q<P, ||QXQ||<£ и t(P-Q)<ä)}.

Пространство M становится топологическим векторным пространством относительно топологии tri т-локалъной (соответственно tuni слабо т-локальной) сходимости по мере, базис окрестностей нуля которой образует семейство 9 -{V(£,ö,P)}Cts>0;PeM?г (соответственно в = {W{e,S, Р)}Рем?)■

Если М = В{Н) и г = tr - канонический след, то М совпадает с В{Н) и топология tT совпадает с топологией нормы || • ||; trl (соответственно tWTi) совпадает с топологией сильной (соответственно слабой) операторной сходимости. При этом Мо есть идеал компактных операторов в 7i и

00

MX) = Sn(X)x[n-x,»)(«), t > о,

n=l

где {sn(X)};f=1 - последовательность s-чисел оператора X, т. е. собственных

чисел оператора |Х|(= у/Х'Х), взятых в порядке их убьшания с учетом их

кратности29, с. 46; Хл ~ индикатор множества Л С К. Если dim % < оо, то t0

дискретна на B(H)pi.

Если М - абелева (т. е. коммутативна), то М ^ ¿¡»(П.Е.р) и т(/) = f fdfi,

__n

где (SI, E, /х) - локализуемое пространство с мерой, алгебра М совпадает с алгеброй всех измеримых комплексных функций / на (П,Е,/г), которые ограничены всюду, кроме множества конечной меры. При этом топология tT является обычной топологией сходимости по мере; tTi = tWTi и совпадает с известной топо-

— sa

логией сходимости по мере на множествах конечной меры. Сеть {/¿}>е/ С М (о)-сходится тогда и только тогда, когда существует такая / €М , что |/(| < / д-почти всюду и fi /¿-почти всюду сходится. Перестановка fit(f) совпадает с невозрастающей перестановкой32 функции |/|.

Если т(1) < оо, то М состоит из всех замкнутых линейных операторов в И, присоединенных к М и tT — tTi = t,ini-

В §3.5 доказано, что оба отображения X XY (при фиксированном Y) и У н> XY (при фиксированном X) fTl- и ¿„„.(-непрерывны на М (теорема

32Крейн С. Г. Интерполяция линейных операторов / С. Г. Крейн, Ю. И. Петунии, Е. М. Семенов. - М.: Наука, 1978. - 400 с.

3.5.1). Получено обобщение "Основной леммы" теории проекционных методов (см. с. 18-1933) на полуконечные алгебры фон Неймана [М, т) (теорема 3.5.2).

В §3.6 установлена непрерывность некоторых операций и замкнутость в топологиях tTi и/или tWTi нескольких известных классов операторов в M (леммы 3.6.3 и 3.6.7). Доказаны аналоги "теоремы о двух милиционерах" и теоремы Ви-жье для монотонных сетей из M (лемма 3.6.4 и теорема 3.6.13). Описана область значений невозраетающих перестановок идемпотентов относительно т (лемма 3.6.8). Показано, что если алгебра фон Неймана A4 бесконечна, то произведение не является совместно tTi- и ¿«^¡-непрерывным из A4 х Mi в M (теорема 3.6.10).

В §3.7 получены характеризации конечных, счетноразложимых, непрерывных, атомических и конечномерных алгебр в классе всех полуконечных алгебр фон Неймана в терминах топологий ¿,„T¡ и tT¡.

Теорема 3.7.1. Для алгебры фон Неймана M с точным нормальным полуконечным следом т следующие условия эквивалентны:

1) алгебра АЛ - конечна;

2) ¿»ri = tri;

3) произведение совместно tT¡-непрерывно из АЛ х A4 в АЛ;

4) произведение совместно tWTi-непрерывно из A4 х АЛ в АЛ;

5) инволюция ^¡-непрерывна из M в АЛ.

При доказательстве теоремы 3.7.1 установлена метризуемость этих топологий для конечной счетноразложимой алгебры АЛ. Любопытно сопоставить этот факт с метризуемостью топологий сильной и слабой операторной сходимости на ограниченных подмножествах счетноразложимой (не обязательно полуконечной) алгебры фон Неймана34. Как следствие, результат дает новое доказаг тельство одной теоремы Ю. И. Грибанова35. Установлена

33 Böttcher А. Infinite matrices and projection methods / A.Böttcher, A.Dijksma, H. Langer, M. A.Drîtschel, J-Rovnyak, M.A.Kaashoek. Edited by P.Lancaster, Lectores on operator theory and its applications. Fields Institute monographs. - Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1996. - 340 p.

34KadisonR.V. Fundamentals of the theory of operator algebras. V. II. Advanced theory / It. V. Kadison, J. R. Ringrose. - New York - London: Academic Press, 19S6. - P. 399-1074.

35ГрибаловЮ. И. О метризации одного пространства функций / Ю. И. Грибанов // Comment. Math. Univ. Carolinas. - 1963. - V. 4, № 1. - P. 43-46.

Теорема 3.7.12. Пусть т - точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана М. Имеем эквивалентности:

(¡) алгебра М конечна <=> множество Мп ^¡-замкнуто; ^

(и) алгебра М счетноразложима <=> 3 СМ0 такая, что Хп —>

I (п -»■ оо).

(ш) алгебра М атомическая «=> топология £т( локально выпукла; (1у) алгебра М не имеет атомов <=> наМ не существует нетривиального Ьт1-непрерывного линейного функционала.

(у) алгебра М конечномерна <=> топология £т; нормируема. Для полуконечных алгебр фон Неймана получено частичное обобщение классической теоремы С.М.Никольского36 ("обратимый" + "компактный" = "обратимый" + "конечномерный"). Для счетпоразложимой алгебры фон Неймана показано, что (о)-сходимость последовательности проекторов влечет ее иг сходимость (теорема 3.7.9). Также получены усиления и обобщения некоторых

других известных фактов.

В §3.8 доказано, что каждая порядково ограниченная последовательность т-компактных операторов обладает подпоследовательностью, средние арифметические которой сходятся по мере г (теорема 3.8.3). Доказан некоммутативный аналог леммы Прагга для пространства Ь\(М,т) (теорема 3.8.21). Результаты являются новыми даже для алгебры М = В(Н), снабженной каноническим следом т = 1л-. Получено приложение основного результата к пространствам Ьр(М,т), 0 <р<1. Приведены примеры, показывающие необходимость перехода к средним арифметическим и существенность т-компактности мажорирующего оператора в теореме 3.8.3.

Основные результаты по перечисленным темам опубликованы в статьях автора [1, 2, 4, 5, 9, 11, 15, 20, 22-26, 28, 31, 34] и в совместной с А.А.Сабировой статье [18].

Автор выражает глубокую благодарность А. Н. Шерстневу за постоянное внимание к работе и плодотворные беседы, способствовавшие улучшению диссертации.

^Никольский С. М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. - 1943. - Т. 7, № 3. - С. 147-166.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК

[1] Bikchentaev А. М. Majorization for products of measurable operators / A. M. Bikchentaev // Inter. J. Theor. Phys. - 1998. - V. 37, № 1. - P. 571-576. - 0,44 п.л.

[2] Бикчентаев A. M. Об одном свойстве 1/р-пространств на полуконечных алгебрах фон Неймана / А. М. Бикчентаев // Математические заметки. - 1998.

- Т. 64, № 2. - С. 185-190. - 0,44 п. л.

[31 Бикчентаев А. М. О представлении линейных операторов в гильбертовом пространстве в виде конечных сумм произведений проекторов / А. М. Бикчентаев // Докл. РАН. - 2003. - Т. 393, № 4. - С. 444-447. - 0,25 п. л.

[4| Bikchentaev А. М. The continuity of multiplication for two topologies associated with a semifinite trace on von Neumann algebra / A. M. Bikchentaev // Lobache-vskii J. Math. - 2004. - V. 14. - P. 17-24. (http: // ljm.ksu.ru). - 0,50 п. л.

[5| Бикчентаев A. M. О минимальности топологии сходимости по мере на конечных алгебрах фон Неймана / А. М. Бикчентаев // Математические заметки.

- 2004. - Т. 75, № 3. - С. 342-349. - 0,50 п. л.

[6] Бикчентаев А. М. Проекторно-выпуклые комбинации в С*-алгебрах со свойством унитарной факторизации / А. М. Бикчентаев, А. Н. Шерстнев // Математические заметки. - 2004. - Т. 76, № 4. - С. 625-628. - 0,25 п. л.

[7] Бикчентаев А. М. О представлении элементов алгебры фон Неймана в виде конечных сумм произведений проекторов / А. М. Бикчентаев // Сибирский математический журнал. - 2005. - Т. 46, № 1. - С. 32-45. - 0,90 п. л.

[8] Бикчентаев А. М. Проекторно-выпуклые комбинации в С*-алгебрах и проблема инвариантного подпространства. I / А. М. Бикчентаев // Математические заметки. - 2006. - Т. 79, № 2. - С. 311-315. - 0,31 п. л.

[9[ Бикчентаев А. М. Локальная сходимость по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана / А. М. Бикчентаев // Тр. Матем. ин-та РАН им. В.А.

Стеклова. - 2006. - Т. 255. - С. 41-54. - 0,90 п. л.

[10] Bikchentaev А. М. Characterization of the trace by monotonicity inequalities / A. M. Bikchentaev, О. E. Tikhonov // Linear Algebra and its Applications. - 2007.

- V. 422, № 1. - P. 274-278. - 0,31 п. л.

[11] Бикчентаев A. M. Локальная сходимость по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана, II / А. М. Бикчентаев // Математические заметки. - 2007.

- Т. 82, № 5. - С. 783-786. - 0,25 п. л.

[12] Бикчентаев А. М. О представлении элементов алгебры фон Неймана в виде конечных сумм произведений проекторов, III. Коммутаторы в С*-алгебрах / А. М. Бикчентаев // Математический сборник. - 2008. - Т. 199, № 4. - С. 3-20.

- 1,06 п. л. j

[13] Bikchentaev А. М. States on symmetric logics: conditional probability and independence / A. M. Bikchentaev // Lobachevskii J. Math. - 2009. - V. 30, № 2.

- P. 101-106. - 0,44 п. л.

[14] Бикчентаев A. M. Перестановочность проекторов и характеризадия следа на алгебрах фон Неймана. I / А. М. Бикчентаев // Известия вузов. Матем. -2009. - № 12. - С. 80-83. - 0,25 п. л.

[15] Бикчентаев А. М. Об одной лемме Ф. А. Березина / А. М. Бикчентаев // Математические заметки. - 2010. - Т. 87, № 5. - С. 796-800. - 0,32 п. л.

[16] Бикчентаев А. М. Перестановочность проекторов и характеризадия следа на алгебрах фон Неймана / А. М. Бикчентаев // Сибирский математический журнал. - 2010. - Т. 51, № 6. - С. 1228-1236. - 0,54 п. л.

[17] Бикчентаев А. М. Перестановочность проекторов и характеризация следа на алгебрах фон Неймана. II / А. М. Бикчентаев // Математические заметки.

- 2011. - Т. 89, № 4. - С. 483-494. - 0,75 п. л.

[18] Бикчентаев А. М. Мажорируемая сходимость по мере измеримых операторов и свойство Банаха-Сакса / А. М. Бикчентаев, А. А. Сабирова // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2011. - Т. 18, № 1. - С. 78-79. - 0,10 п. л.

[19] Bikchentaev A. M. The Peierls-Bogoliubov inequality in C*-algebras and characterization of tracial functional / A. M. Bikchentaev // Lobachevskii J. Math.

- 2011. - V. 32, № 3. - P. 175-179. - 0,31 п. л.

[20] Бикчентаев A. M. О задаче Хаагерупа о субаддитивных весах на W*-алгебрах / А. М. Бикчентаев // Известия вузов. Матем. - 2011. - № 10. - С. 94-98. - 0,30 п. л.

[21] Bikchentaev А. М. Representation of tripotents and representations via tri-potents / A. M. Bikchentaev, R. S. Yakushev // Linear Algebra and its Applications.

- 2011. - V. 435, № 9. - P. 2156-2165. Доступна с 10.06.2011, doi:10.1016.j.laa.2011.04.003 - 0,63 п. л.

. Публикации в других изданиях

[22] Бикчентаев А. М. F-нормированные идеальные пространства измеримых операторов / А. М. Бикчентаев. Рукопись деп. Казанск. ун-том 04.07.1988, № 5375-В88 Деп. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1988. - 21 с. - 1,32 п. л.

[23] Бикчентаев А. М. К геометрии некоммутативных пространств Lp (0 < р < 1) / А. М. Бикчентаев // Функциональный анализ. Межвуз. сб. науч. тр. -№ 31. - Ульяновск: Изд-во УлГПИ, 1990. - С. 29-34. - 0,31 п. л.

[24] Бикчентаев А. М. Неравенство треугольника для некоторых пространств измеримых операторов / А. М. Бикчентаев // Конструктивная теория функций и функциональный анализ. - № 8. - Казань: Изд-во КГУ, 1992. - С. 23-32. -0,63 п. л.

[25] Bikchentaev А. М. On noncommutative function spaces / A. M. Bikchentaev // Selected Papers in ^-theory. Amer. Math. Soc. Transl. (2). 1992. - V. 154. - P. 179-187. - 0,56 п. л.

[26] Бикчентаев A. M. Подпространства Орлича случайных нормированных пространств / А. М. Бикчентаев // Функциональный анализ. Межвуз. сб. науч. тр. - № 34. - Ульяновск: Изд-во УлГПИ, 1993. - С. 3-15. - 0,80 п. л.

[27] Бикчентаев А. М. Характеризация следов в некоторых классах весов

на алгебре фон Неймана / А. М. Бикчентаев // В сб.: Теория функций и ее приложения. Казань: Казанск. фонд Математика, 1995. С. 8-9. - 0,10 п. л.

[28] Бикчентаев А. М. Об одном неравенстве для эрмитовых операторов / А. М. Бикчентаев // Алгебра и анализ. Матер, конф., поев. 100-летию Б. М. Гагаева. - Казань: Изд-во Казанск. матем. о-во, 1997. - С. 35-36. - 0,10 п. л.

[29] Бикчентаев А. М. Полуортогональные проекторы в гильбертовом пространстве / А. М. Бикчентаев. В кн.: На рубеже веков. Научно-иссл. институт математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанск. гос. ун-та. 1998 - 2002 гг. - Казань: Изд-во Казан, матем. о-во, 2003. - С. 108-114. - 0,50 п. л.

[30] Бикчентаев А. М. Характеризация следа степенными неравенствами / А. М. Бикчентаев, А. С. Русаков, О. Е. Тихонов // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 23. Алгебра и анализ - 2004. Матер, межд. конф., поев. 200-летию Казан, гос. ун-та (Казань, 2-9 июля 2004 г.). - Казань: Изд-во Казан, матем. о-во, 2004. - С. 45-46. - 0,10 п. л.

[31] Бикчентаев А. М. О полуаддитивных весах на W-алгебрах / А. М. Бикчентаев // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 25. Актуальные проблемы математики и механики. Матер, межд. научн. конф. (Казань, 26 сентября -1 октября 2004 г.). - Казань: Изд-во Казан, матем. о-во, 2004. - С. 45-47. - 0,16 п. л.

[32] Bikchentaev А. М. Characterization of the trace by Young's inequality / A. M. Bikchentaev, О. E. Tikhonov // J. Inequalities in Pure and Applied Math. -2005. - V. 6, № 2. - Article 49. - 0,25 п. л.

[33] Bikchentaev A. M. Representation of elements of von Neumann algebras in the form of finite sum of products of projections. II / A. M. Bikchentaev // Operator Theory 20. Proc. Inter. Conf. Operator Theory'20 (Timisoara, Romania, 2004), Theta Series in Advanced Mathematics. V. 6. - Bucharest: Theta, 2006. - P. 15-23. - 0,60 п. л.

[34] Bikchentaev A. M. Local convergence in measure on semifinite von Neumann algebras. Ill / A. M. Bikchentaev // Hot Topics in Operator Theory. Proc. Inter. Conf. Operator Theory'21 (Timisoara, Romania, 2006), Theta Series in Advanced Mathematics. V. 9. - Bucharest: Theta, 2008. - P. 1-12. - 0,75 п. л.

Подписано в печать 16.02.12 Бумага офсетная. Печать ризографическая. Формат 60x84 1/16. Гарнитура «Times New Roman». Усл. печ. л. 1, Уч.-изд. л. 2,01. Тираж 120 экз. Заказ 68/2

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательства Казанского университета

420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел. 233-73-59,292-65-60

1. Akemann С. A. Triangle inequalities in operator algebras / C. A. Akemann, J. Anderson, G. K. Pedersen // Linear Multilinear Algebra.- 1982. V. 11, № 2. - P. 167-178.

2. Alfsen E. M. Geometry of state spaces of operator algebras / E. M. Alfsen, F. W. Shultz. Boston-Basel-Berlin: Birkhauser, 2003. -467 p.

3. Ando T. Matrix Young inequalities / T. Ando // Oper. Theory Adv. Appl. V. 75. 1995. - P. 33-38.

4. Araki H. Hamiltonian for states of von Neumann algebras / H. Araki // Тр. Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова. 1975. - Т. 135, № 1. - С. 18-25.

5. Araki Н. On an inequality of Lieb and Thirring / H. Araki // Lett. Math. Phys. 1990. - V. 19, № 2. - P. 167-170.

6. Arens R. Linear topological division algebras / R. Arens // Bull. Amer. Math. Soc. 1947. - V. 53, № 6. - P. 623-630.

7. Ахиезер H. И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. М.: Наука, 1966.- 544 с.

8. Аюпов Ш. А. Классификация и представление упорядоченных йордановых алгебр / Ш. А. Аюпов. Ташкент: ФАН, 1986. - 123 с.

9. Ayupov Sh. A. Skew commutators and Lie isomorphisms in real von Neumann algebras / Sh. A. Ayupov //J. Funct. Anal. 1996. -V. 138, № 1. - P. 170-187.

10. Banach S. Théorie des opérations linéairs / S. Banach. Ser.: Monografie matematyczne. T. 1. PWN. - Warszawa: Subwncji Funduszu Narodowej VII, 1932. - 254 p.

11. Batty C. J. K. The strong law of large numbers for states and traces of a W*-algebra / C. J. K. Batty // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. -1979. -V. 48, № 2. P. 177-191.

12. BeltiÇâ Daniel. Lie theoretic significance of the measure topologies associated with a finite trace / Daniel Belti^a // Forum Math. 2010. - V. 22, № 2. - P. 241-253.

13. Berberian S. K. Baer *-rings / S. K. Berberian. Die Grundlehren der mathematishen Wissenschaften, Band 195. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1971. - 296 p.

14. Бердон А. Геометрия дискретных групп / А. Бердон. M.: Наука, 1986. - 304 с.

15. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования, 2-е изд., доп. / Ф. А. Березин. М.: Наука, 1986. - 320 с.

16. Birkhoff G. On the structure of abstract algebras / G. Birkhoff // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1935. - V. 31, № 3. - P. 433-454.

17. Биркгоф Г. Теория решеток / Г. Биркгоф. М.: Наука, 1984. -568 с.

18. Бирман М. Ш. Двойные операторные интегралы Стилтьеса / М. Ш. Бирман, М. 3. Соломяк. В сб.: Проблемы математической физики, Вып. 1. Jl.: Изд-во ЛГУ, 1966. - С. 33-67.

19. Бирман М. Ш. Двойные операторные интегралы Стилтьеса. II / М. Ш. Бирман, М. 3. Соломяк. В сб.: Проблемы математической физики, Вып. 2. Л.: Изд-во ЛГУ, 1967. - С. 26-60.

20. Blackadar В. A simple unital projectionless C*-algebra / В. Blackadar // J. Operator Theory. 1981. - V. 5, № 1. - P. 63-71.

21. Blackadar B. Projections in C*-algebras / B. Blackadar. C*-algebras: 1943-1993. Fifty year celebration. R. S. Doran ed. Contemporary Mathematics. V. 167. Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1994. - P. 131-149.

22. Blackadar B. Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras / B. Blackadar. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. V. 122. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 2006. -517 p.

23. Браттели У. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика / У. Браттели, Д. Робинсон. М.: Мир, 1982. - 512 с.

24. Brown L. G. Jensen's inequality in semifmite von Neumann algebras / L. G. Brown, H. Kosaki // J. Operator Theory. 1990. - V. 23, № 1. - P. 3-19.

25. Broise M. Commutateurs dans le groupe unitaire d'un facteur / M. Broise // J. Math. Pures Appl. 1967. - V. 46, № 3. - P. 299-312.

26. Бурбаки H. Теория множеств / H. Бурбаки. М.: Мир, 1965. -458 с.

27. Бурбаки Н. Спектральная теория / Н. Бурбаки. М.: Мир, 1972.- 184 с.

28. Bhatia R. Matrix Analysis. (Graduate texts in mathematics; 169.) -New York: Springer-Verlag, 1997. 347 p.

29. Wang J.-H. The length problem for a sum of idempotents / J.-H. Wang // Linear Algebra Appl. 1995. - V. 215, № 1. - P. 135-159.

30. Wegge-Olsen N. E. i^-theory and C*-algebras. A friendly approach. Oxford Science Publications / N. E. Wegge-Olsen. New York: The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, 1993. - 370 p.

31. Wnuk W. On a continuous embedding into a space of measurable functions / W. Wnuk // Bull. Acad. Pol. Sci. Math. 1986. - V. 34, № 7-8. - P. 413-416.

32. Wright S. On factor states / S. Wright // Rocky Mountain J. Math.- 1982. V. 12, № 3. - P. 569-579.

33. Wu Wei. An order characterization of commutativity for C*-algebras, / Wei Wu // Proc. Amer. Math. Soc. 2000. - V. 129, № 4. - P. 983-987.

34. Wu P. Y. The operator factorization problems / P. Y. Wu // Linear Algebra Appl. 1989. - V. 117, № 1. - P. 35-63.

35. Wu P. Y. Sums of idempotent matrices / P. Y. Wu // Linear Algebra Appl. 1990. - V. 142, № 1. - P. 43-54.

36. Wu P. Y. Additive combination of special operators / P. Y. Wu. In book: Funct. Anal. Oper. Theory (Warszawa, 1992). Banach Center Publ. V. 30. Warszawa: Polish Acad. Sci., 1994. - P. 337-361.

37. Gardner L. T. An inequality characterizes the trace / L. T. Gardner // Canad. J. Math. 1979. - V. 31, № 6. - P. 1322-1328.

38. Гельфанд И. М. О включении нормированного кольца в кольцо операторов в гильбертовом пространстве / И. М. Гельфанд, М. А. Наймарк // Матем. сборник. 1943. - Т. 12, № 2. - С. 197-213.

39. Глазман И. М. Конечномерный линейный анализ / И. М. Глазман, Ю. И. Любич. М.: Наука, 1969. - 476 с.

40. Goldstein S., Paszkiewicz A. Linear combinations of projections in von Neumann algebras / S. Goldstein, A. Paszkiewicz // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. - V. 116, № 1. - P. 175-183.

41. Горин E. А. Несколько замечаний в связи с теоремами Гельфанда о группе обратимых элементов банаховой алгебры / Е. А. Горин // Функц. анализ и его прил. 1978. - Т. 12, № 1. - С. 70-71.

42. Гохберг И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. М.: Наука, 1965. - 448 с.

43. Грибанов Ю. И. О метризации одного пространства функций / Ю. И. Грибанов // Comment. Math. Univ. Carolinae. 1963. - V. 4, № 1. - P. 43-46.

44. Gross J. On semi-orthogonality and a special class of matrices / J. Gross, G. Trenkler, S.-O. Troschke // Linear Algebra Appl. 1999.- V. 289, № 1-3. P. 169-182.

45. Grothendieck A. Espaces Vectoriels Topologiques / A. Grothendieck.- Sao Paulo: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Universidade de Sao Paulo, 1954. 240 p.

46. Davidson К. R. C*-algebras by examples / К. R. Davidson. Fields Institute Monographs. Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1996. - 309 p.

47. Davies E. В. Lipschitz continuity of functions of operators in the Schatten classes / E. B. Davies // J. London Math. Soc. (2). 1988. -V. 37, № 1. - P. 148-157.

48. Данфорд H. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: Изд-во иностр. литер., 1962. - 874 с.

49. Deckard D. On matrices over ring of continuous complex valued functions on a Stonian space / D. Deckard, C. Pearcy // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. - V. 14, № 2. - P. 322-328.

50. Dixmier J. Position relative de deux variétés linéares fermées dans un espace de Hilbert / J. Dixmier //La Revue Scientifique Paris. 1948. - V. 86. - P. 387-399.

51. Dixmier J. Existence de traces non normales / J. Dixmier // C. R. Acad. Sei. Paris. Sér. A. 1966. - V. 262. - P. A1107-A1108.

52. Dixmier J. Les algebres d'opérateurs dans l'espace Hilbertien (algebres de von Neumann), 2nd ed. / J. Dixmier. Paris: Gauthier-Villars, 1969. - 369 p.

53. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления / Ж. Диксмье. М.: Наука, 1974. - 400 с.

54. Dixmier J. C*-algebras / J. Dixmier. North-Holland Mathematical Library, V. 15. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1977. -492 p.

55. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Избранные главы. Пер. с англ. / Дж. Дистель. Киев: Вища школа. Головное изд-во, 1980. - 216 с.

56. Dodds P. G. Noncommutative Köthe duality / P. G. Dodds, T. K.-Y. Dodds, de Ben Pagter // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. - V. 339, № 2. - P. 717-750.

57. Dodds P. G. Lipschitz continuity of the absolute value and Riesz projections in symmetric operator spaces / P. G. Dodds, T. K.-Y. Dodds, de Ben Pagter, F. A. Sukochev //J. Funct. Anal. 1997. -V. 148, № 1. - P. 28-69.

58. Dodds P. G. A non-commutative Yosida-Hewitt theorem and convex sets of measurable operators closed locally in measure / P. G. Dodds, T. K.-Y. Dodds, F. A. Sukochev, O. Ye. Tikhonov // Positivity. -2005. V. 9, № 3. - P. 457-484.

59. Dodds P. G., Dodds T. K., Sukochev F. A. Banach-Saks properties in symmetric spaces of measurable operators // Studia Math. 2007. V. 178, № 2. P. 125-166.

60. Drnovsek R. A characterization of commutators of idempotents / R. Drnovsek, H. Radjavi, P. Rosenthal // Linear Algebra Appl. -2002. V. 347, № 1-3. - P. 91-99.

61. Dugue D. Traité de Statistique Théorique et Appliquée / D. Dugue.- Paris: Masson et Cie., 1958. 313 p.

62. Duncan J. Norm inequalities for C*-algebras / J. Duncan, P. J. Taylor // Proc. Roy. Soc. Edinburg. Sect. A. 1976. - V. 75, № 1. - P. 119129.

63. Dykema K. / K. Dykema, U. Haagerup // Amer. J. Math. 2004. -V. 126, № 1. - P. 121-189.

64. Zelazko W. Metric generalizations of Banach algebras / W. Zelazko.- Warszawa: PWN, 1965. 70 p. (Rozprawy Matematyczne; T. 47).

65. Ji G. On characterizations of commutativity of C*-algebras / G. Ji, J. Tomiyama // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. - V. 131, № 12. - P. 3845-3849.

66. Zemanek J. A review Zbl 0942.15015 / J. Zemanek // Zentralblatt MATH, http://www.zentralblatt-math.org

67. Yeadon F. J. Convergence of measurable operators / F. J. Yeadon // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1973. - V. 74, № 2. - P. 257-268.

68. Yeadon F. J. Non-commutative //-spaces / F. J. Yeadon // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1975. - V. 77, № 1. - P. 91-102.

69. Jordan P. On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism / P. Jordan, J. von Neumann, E. Wigner // Ann. Math. -1934. V. 35, № 1. - P. 29-64.

70. Kadison R. V. Strong continuity of operator functions / R. V. Kadison // Pacific J. Math. 1968. - V. 26, № 1. - P. 121-129.

71. Kadison R. V. Diagonalizing matrices / R. V. Kadison // Amer. J. Math. 1984. - V. 106, № 6. - P. 1451-1468.

72. Kadison R. V. Fundamentals of the theory of operator algebras. V. I. Elementary theory / R. V. Kadison, J. R. Ringrose. Pure and Applied Mathematics, 100. New York - London: Academic Press, 1983. -398 p.

73. Kadison R. Means and convex combinations of unitary operators / R. Kadison, G. Pedersen // Math. Scand. 1985. - V. 57, № 2. -P. 249-266.

74. Kadison R. V. Fundamentals of the theory of operator algebras. V. II. Advanced theory / R. V. Kadison, J. R. Ringrose. New York -London: Academic Press, 1986. - P. 399-1074.

75. Kakutani S. Uber die Metrization der topologischen Gruppen / S. Kakutani // Proc. Imp. Acad. Japan. 1936. - V. 12, № 1. -P. 82-84.

76. Kakutani S. Weak convergence in uniformly convex spaces / S. Kakutani // Tohoku Math. J. 1938. - V. 45, № 1. - P. 188193.

77. Канторович JI. В. О полуупорядоченных линейных пространствах и их применениях в теории линейных операций / Л. В. Канторович // ДАН СССР. 1935. - Т. 4, № 1. - С. 11-14.

78. Kaplansky I. Projections in Banach algebras / I. Kaplansky // Ann. Math. 1951. - V. 53, № 2. - P. 235-249.

79. Kato Y. A characterization of commutative C*-algebras by normal approximate spectra / Y. Kato // Math. Japon. 1979/80. - V. 24. - P. 209-210.

80. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. М.: Мир, 1972. - 740 с.

81. Кери А. Л. Следы Диксмье и некоторые приложения в некоммутативной геометрии / А. Л. Кери, Ф. А. Сукочев // Успехи матем. наук. 2006. - Т. 61, № 6. - С 45-110.

82. Koliha J. J. Range projections of idempotents in C*-algebras / J. J. Koliha // Demonstratio Math. 2001. - V. 24, № 1. - P. 91-103.

83. Koliha J. J Fredholm properties of the difference of orhogonal projections in a Hilbert space / J. J. Koliha, V. Rakocevic // Integral Equat. Oper. Theory. 2005. - V. 52, № 1. - P. 125-134.

84. Combes F. Poids sur une C*-algebre / F. Combes //J. Math. Pures Appl. 1968. - V. 47, № 1. - P. 57-100.

85. Кордюков Ю. А. Теория индекса и некоммутативная геометрия на многообразиях со слоением / Ю. А. Кордюков // Успехи матем. наук. 2009. - Т. 64, № 2. - С. 73-202.

86. Kosaki H. Application of the complex interpolation method to a von Neumann algebra: Non-commutative ¿/-spaces / H. Kosaki // J. Funct. Anal. 1984. - V. 56, № 1. - P. 29-78.

87. Kosaki H. On the continuity of the map ip i—» |(/?| from the predual of a VF*-algebra / H. Kosaki // J. Funct. Anal. 1984. - V. 59, № 1. -P. 123-131.

88. Kosaki H. Unitarily invariant norms under which the map A —> |A| is Lipschitz continuous / H. Kosaki // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 1992. - V. 28, № 2. - P. 299-313.

89. Kosaki H. On an inequality of Araki-Lieb-Thirring (von Neumann algebra case) / H. Kosaki // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. - V. 114, № 2. - P. 477-481.

90. Кострикин А. И. Линейная алгебра и геометрия / А. И. Костри-кин, Ю. И. Манин. М.: Наука, 1984. - 304 с.

91. Crabb М. J. Characterization of commutativity for C*-algebras / M. J. Crabb, J. Duncan, С. M. McGregor // Glasgow Math. J. -1974. V. 15, № 2. - P. 172-175.

92. Крейн M. Г. О некоторых новых исследованиях по теории возмущений самосопряженных операторов / М. Г. Крейн. В кн.: Первая летняя матем. школа. Часть I. Киев: 1964. - С. 103-188.

93. Крейн С. Г. Интерполяция линейных операторов / С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семенов. М.: Наука, 1978. - 400 с.

94. Кругляк С. А. О суммах проекторов / С. А. Кругляк, В. И. Раба-нович, Ю. С. Самойленко // Функц. анализ и его прил. 2002. -Т. 36, № 3. - С. 20-35.

95. Kruglyak S. Decomposition of scalar matrix into a sum of orthogonal projections / S. Kruglyak, V. Rabanovich, Yu. Samoilenko // Linear Algebra Appl. 2003. - V. 370. - R 217-225.

96. Cuntz J. Equivalence and traces on C*-algebras / J. Cuntz, G. K. Pedersen //J. Funct. Anal. 1979. - V. 33, № 2. - P. 135-164.

97. Laurie C. Sums of idempotents / C. Laurie, B. Mathes, H. Radjavi // Linear Algebra Appl. 1994. - V. 208-209. - P. 175-197.

98. Лебедев А. А. О монотонных сублинейных доминируемых функционалах на пространстве измеримых функций / А. А. Лебедев // Сибир. матем. журн. 1992. - Т. 33, № 6. - С. 94-105.

99. Li Qihui. Commutators of orthogonal projections / Qihui Li // Nihonkai Math. J. 2004. - V. 15, № 1. - P. 93-99.

100. Lieberman A. Spectral distribution of the sum of self-adjoint operators / A. Lieberman // Pacific J. Math. 1974. - V. 53, № 1. - P. 211-216.

101. Лидский В. Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след /B. Б. Лидский // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 125, № 3. - С. 485-487.

102. Leen М. Factorization in the invertible group of a C*-algebra / M. Leen // Canad. J. Math. 1997. - V. 49, № 5. - P. 1188-1205.

103. Loebl R. L. A note on ideals of operators / R. L. Loebl // Proc. Amer. Math. Soc. 1986. - V. 96, № 1. - P. 62-64.

104. Любич Ю. И. Линейный функциональный анализ / Ю. И. Любич. В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные на-првления. Итоги науки и техники. Т. 19. М.: ВИНИТИ, 1988.C. 5-316.

105. Maeda S. Probability measures on projections in von Neumann algebras / S. Maeda // Rev. Math. Phis. 1989. - V. 1, № 2-3. -P. 235-290.

106. Mamporia B. Permutations and convergence in probability / B. Mamporia., A. Shangua, V. Tarieladze // Bull. Georgian Acad. Sci. 2005. - V. 172, № 1. - P. 23-25.

107. Manjegani S. M. Inequalities in operator algebras / S. M. Manjegani. Ph.D. Thesis. The University of Regina. Canada, Regina, 2004. -95 p.

108. Marcoux L. W. Unitarily-invariant linear spaces in C*-algebras / L. W. Marcoux, G. J. Murphy // Proc. Amer. Math. Soc. 1998. - V. 126, № 12. - P. 3597-3605.

109. Marcoux L. W. On the linear span of the projections in certain simple C*-algebras / L. W. Marcoux // Indiana Univ. Math. J. 2002. - V. 51, № 3. - P. 753-771.

110. Marcoux L. W. Sums of small number of commutators / L. W. Marcoux // J. Operator Theory. 2006. - V. 56, № 1. - P. 111-142.

111. Marcoux L. W. Projections, commutators and Lie ideals in C*-algebras / L. W. Marcoux // Math. Proc. R. Ir. Acad. 2010. -V. 110A, № 1. - P. 31-55.

112. Матвейчук M. С. Случайные нормы и свойства вероятностных мер на ортопроекторах, присоединенных к фактору / М. С. Матвейчук // Вероятн. методы и кибернетика. Вып. IX. Казань: Изд-во Казане, ун-та, 1971. - С. 73-78.

113. Матвейчук М. С. О кольцах со случайной нормой / М. С. Матвейчук // Вероятн. методы и кибернетика. Вып. X-XI. Казань: Изд-во Казане, ун-та, 1974. - С. 43-50.

114. Matsumoto К. Self-adjoint operators as a real span of 5 projections / K. Matsumoto // Math. Japon. 1984. - V. 29, № 2. - P. 291-294.

115. Maczynski M. J. A numerical characterization of commuting projections in Hilbert space / M. J. Maczynski // Bull. L'Acad. Polon. Sci. Ser. Math. 1981. - V. 29, № 3-4. - P. 157-163.

116. Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов / Дж. Мерфи. М.: Факториал, 1997. - 336 с.

117. Муратов М. А. Сходимости в кольце измеримых операторов / М. А. Муратов // Сбор. науч. тр. Ташкент, ун-та. № 573. Функциональный анализ. Ташкент: Изд-во ТашГУ, 1978. - С. 51-58.

118. Nakamoto R. A spectral characterization of commutative C*-algebras / R. Nakamoto // Math. Japon. 1979/80. - V. 24, № 4. - P. 399-400.

119. Nelson E. Notes on non-commutative integration / E. Nelson //J. Funct. Anal. 1974. - V. 15, № 2. - P. 103-116.

120. Никольский С. M. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. 1943. - Т. 7, № 3. - С. 147-166.

121. Овчинников В. И. О s-числах измеримых операторов / В. И. Овчинников // Функц. анализ и его прил. 1970. - Т. 4, № 3. - С. 78-85.

122. Овчинников В. И. Симметричные пространства измеримых операторов / В. И. Овчинников // Докл. АН СССР. 1970. - Т. 191, № 4. - С. 769-771.

123. Ogasawara Т. A theorem on operator algebras / Т. Ogasawara //J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A. 1955. - V. 18, № 3. - P. 307-309.

124. Ogasawara T. A non-commutative theory of integration for operators / T. Ogasawara, K. Yoshinaga //J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A. -1955. V. 18, № 3. - P. 310-347.

125. Padmanabhan A. R. Some new linear topological spaces (of operators), with trivial and non-trivial duals / A. R. Padmanabhan // Nanta Mathematica. 1976. - V. 10, № 1. - P. 72-76.

126. Padmanabhan A. R. Probabilistic aspects of von Neumann algebras / A. R. Padmanabhan // J. Funct. Anal. 1979. - V. 31, № 2. - P. 139-149.

127. Palko V. The weak convergence of unit vectors to zero in Hilbert space is the convergence of one-dimensional subspaces in the order topology / V. Palko // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. - V. 123, № 3. - P. 715-721.

128. Paszkiewicz A. Any selfadjoint operator is a finite linear combination of projectors / A. Paszkiewicz // Bull. L'Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. 1981. - V. 28, № 7-8. - P. 337-345.

129. Pedersen G. K. Traces on Jordan algebras / G. K. Pedersen, E. St0rmer // Canad. J. Math. 1982. - V. 34, № 2. - P. 370-373.

130. Peck N. T. On non locally convex spaces. II / N. T. Peck // Math. Annalen. 1968. - Bd. 178, H. 3. - P. 209-218.

131. Petz D. Characterizations of the trace / D. Petz, J. Zemanek // Linear Algebra Appl. 1988. - V. 111. - P. 43-52.

132. Pearcy C. Sums of small numbers of idempotents / C. Pearcy, D. M. Topping // Mich. Math. J. 1967. - V. 14, № 4. - P. 453-465.

133. Pop C. Finite sums of commutators / C. Pop // Proc. Amer. Math. Soc. 2002. - V. 130, № 10. - P. 3039-3041.

134. Radjavi H. Products of Hermitian matrices and symmetries / H. Radjavi // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. - V. 21, № 2. - P. 369-372.

135. Radjavi H. On commutators of idempotents / H. Radjavi, P. Rosenthal // Linear Multilinear Algebra. 2002. - V. 50, № 2. - P. 121-124.

136. Rehder W. On the commutativity of two projections / W. Rehder // Elem. Math. 1980. - V. 35, № 5. - P. 120-122.

137. Рид M. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1977. - 360 с.

138. Рид М. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1982. - 430 с.

139. Rolewicz S. Metric linear spaces / S. Rolewicz. Ser.: Monografie matematyczne. T. 56. Polish Sci. Publ. - Warszawa: PWN, 1972. -287 p.

140. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин. М.: Мир, 1975. -443 с.

141. Ruskai М. Inequalities for traces on von Neumann algebras / M. Ruskai // Commun. Math. Physics. 1972. - V. 26, № 4. - P. 280-289.

142. Simon B. Trace ideals and their applications / B. Simon. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1979. - 134 p.

143. Sakai S. C*-algebras and W*-algebras / S. Sakai. Ergeb. Mat. Grenzgeb., 60. New York-Heidelberg-Berlin: Springer, 1971. - 256 p.

144. Sano T. Characterizations of the tracial property via inequalities / T. Sano, T. Yatsu // J. Inequal. Pure Appl. Math. 2006. - V. 7, № 1.- Article 36.

145. Сарымсаков Т. А. Упорядоченные алгебры / Т. А. Сарымсаков , Ш. А. Аюпов, Дж. Хаджиев, В. И. Чилин. Ташкент: ФАН, 1983.- 304 с.

146. Секефальви-Надь Б. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве / Б. Секефальви-Надь, Ч. Фояш. М.: Мир, 1970. - 432 с.

147. Segal I. Е. A non-commutative extension of abstract integration / I. E. Segal // Ann. Math. 1953. - V. 57, № 3. - P. 401-457.

148. Skau C. F. Orthogonal measures on the state space of a C*-algebra / C. F. Skau. In: Algebras in Analysis (Conference Proceedings). -London: Academic Press, 1975. P. 272-303.

149. Скворцова Г. Ш. Выпуклые множества в некоммутативных L1-пространствах, замкнутые в топологии локальной сходимости по мере / Г. Ш. Скворцова, О. Е. Тихонов // Изв. вузов. Матем. -1998. № 8(435). - С. 48-55.

150. Скворцова Г. Ш. О слабой секвенциальной полноте факторпро-странств пространства интегрируемых операторов / Г. Ш. Скворцова // Изв. вузов. Матем. 2002. - № 9(484). - С. 71-74.

151. Stampfli J. G. Sums of projections / J. G. Stampfli // Duke Math. J.- 1964. V. 31, № 3. - P. 455-461.

152. Stinespring W. F. Integration theorems for gages and duality for unimodular groups / W. F. Stinespring // Trans. Amer. Math. Soc.- 1959. -V. 90, № 1. P. 15-56.

153. Столяров А. И. О характеризации следов в терминах некоммутативного интегрирования / А. И. Столяров, О. Е. Тихонов. Рукопись деп. Казанск. ун-том 05.11.1992, № 3186-В92 Деп. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1992. - 9 с.

154. Столяров А. И. Характеризация нормальных следов на алгебрах фон Неймана неравенствами для модуля / А. И. Столяров, О. Е. Тихонов, А. Н. Шерстнев // Матем. заметки. 2002. - Т. 72, № 3.- С. 448-454.

155. Stratila §. Lectures on von Neumann algebras / §. Stratila, L. Zsido.- England: Abacus Press, 1979. 478 p.

156. Stroh A. r-compact operators affiliated to a semifinite von Neumann algebra / A. Stroh, P. Grame West // Proc. Roy. Irish Acad. Sect. A.- 1993. V. 93, № 1. - P. 73-86.

157. Takesaki M. Theory of operator algebras. V. I / M. Takesaki. New York-Heidelberg-Berlin: Springer, 1979. - 415 p.

158. Takesaki M. Theory of operator algebras. V. II / M. Takesaki. Encyclopaedia of mathematical sciences, 125. Operator algebras and noncommutative geometry, 6. Berlin: Springer, 2003. - 518 p.

159. Terp M. .//-spaces associated with von Neumann algebras / M. Terp.- Copenhagen: Copenhagen Univ., 1981. 100 p.

160. Тихонов О. E. Непрерывность операторных функций в топологиях, связанных со следом на алгебре Неймана / О. Е. Тихонов // Известия вузов. Матем. 1987. - № 1. - С. 77-79.

161. Тихонов О. Е. Выпуклые функции и неравенства для следа / О. Е. Тихонов. Конструктивная теория функций и функциональный анализ. № 6. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1987. - С. 77-82.

162. Tikhonov О. Е. On the Losanovskii class of condensing operators and its applications to non-commutative integration / О. E. Tikhonov // Israel Mathematical Conference Proceedings. V. 13. 1999. - P. 204208.

163. Tikhonov О. E. Subadditivity inequalities in von Neumann algebras and characterization of tracial functionals / О. E. Tikhonov // Positivity. 2005. - V. 9, № 2. - P. 259-264.

164. Thompson R. C. Some matrix factorization theorems. I / R. C. Thompson // Pacific J. Math. 1970. - V. 33, № 3. - P. 763-810.

165. Topping D. M. Vector lattices of self-adjoint operators / D. M. Topping // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. - V. 115, № 1. - P. 14-30.

166. Topping D. M. Jordan algebras of self-adjoint operators / D. M. Topping // Mem. Amer. Math. Soc. 1965. - № 53. - 48 p.

167. Трунов H. В. Введение в теорию некоммутативного интегрирования / Н. В. Трунов, А. Н. Шерстнев. В кн.: Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Итоги науки и техники. Т. 27. - М.: ВИНИТИ, 1985. - С. 167-190.

168. Thakare N. К. A unitary as a product of symmetries / N. К. Thakare, A. R. Baliga // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. - V. 123, № 4. - P. 1005-1008.

169. Upmeier H. Automorphism groups of Jordan C*-algebras / H. Upmeier // Math. Z. 1981. - V. 176, № 1. - P. 21-34.

170. Uchiyama M. Commutativity of selfadjoint operators / M. Uchiyama // Pacific J. Math. 1993. - V. 161, № 2. - P. 385-392.

171. Fack T. Finite sums of commutators in C*-algebras / T. Fack // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. 1982. - V. 32, № 1. - P. 129-137.

172. Fack T. Generalized s-numbers of т-measurable operators / T. Fack, H. Kosaki // Pacific J. Math. 1986. - V. 123, № 2. - P. 269-300.

173. Fillmore P. A. On products of symmetries / P. A. Fillmore // Canad. J. Math. 1966. - V. 18, № 5. - P. 897-900.

174. Fillmore P. A. Operator algebras generated by projections / P. A. Fillmore, D. M. Topping // Duke Math. J. 1967. - V. 34, № 2. - P. 333-336.

175. Fillmore P. A. Sums of operators with square zero / P. A. Fillmore // Acta. Sci. Math. (Szeged) . 1967. - V. 28, № 3-4. - P. 285-288.

176. Fillmore P. A. On sums of projections / P. A. Fillmore // J. Funct. Anal. 1969. - V. 4, № 1. - P. 146-152.

177. Fillmore P. A. Real parts of quasi-nilpotent operators / P. A. Fillmore, С. K. Fong, A. R. Sourour // Proc. Edinburg Math. Soc. 1979. -V. 22, № 2. - P. 263-269.

178. Фон Нейман Дж. Обобщение математического аппарата квантовой механики методами абстрактной алгебры / Дж. фон Нейман // Математический сборник. 1936. - Т. 1, № 4. - С. 415-484.

179. Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики / Дж. фон Нейман. М.: Наука, 1964. - 366 с.

180. Fujii J. I. Holub's factorization and normal approximations of idempotent operators / J. I. Fujii, T. Furuta // Math. Japon. 1980. -V. 25, № 1. - P. 143-145.

181. Fukamiya M. On order and commutativity of B*-algebras / M. Fukamiya, M. Misonou, Z. Takeda // Tohoku Math. J. (2). 1954. -V. 6, № 1. - P. 89-93.

182. Furuichi S. Trace inequalities for products of matrices / S. Furuichi, K. Kuriyama, K. Yanagi // Linear Algebra Appl. 2009. - V. 430, № 8-9. - P. 2271-2276.

183. Haagerup U. Normal weights on VF*-algebras / U. Haagerup //J. Funct. Anal. 1975. - V. 19, № 3. - P. 302-317.

184. Haagerup U. On convex combinations of unitary operators in C*-algebras. In: Progress in Mathematics. V. 84. "Mappings of operator algebras". Boston-Basel-Berlin: Birkhaiiser, 1991. - P. 1-13.

185. Halmos P. Products of symmetries / P. Halmos, S. Kakutani // Bull. Amer. Math. Soc. 1958. - V. 64, № 1. - P. 77-78.

186. Halmos P. R. Two subspaces / P. R. Halmos // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. - V. 144. - P. 381-389.

187. Halmos P. Ten problems in Hilbert space / P. Halmos // Bull. Amer. Math. Soc. 1970. - V. 76, № 5. - P. 887-933.

188. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах / П. Халмош. -М.: Мир, 1970. 352 с.

189. Hansen F. An operator inequality / F. Hansen // Math. Ann. 1980. - V. 246, № 3. - P. 249-250.

190. Hance-Olsen H. Jordan operator algebras / H. Hance-Olsen, E. St0rmer. Boston-London-Melbourne: Pitman Publ. Inc., 1984. -183 p.

191. Hartwig R. E. When is a matrix a sum of idempotents? / R. E. Hartwig, M. S. Putcha // Linear Multilinear Algebra. 1990. - V. 26, № 4. - P. 279-286.

192. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу / А. Я. Хелемский. М.: Изд-во МЦНМО, 2004. - 552 с.

193. Hiai F. Means of Hilbert space operators / F. Hiai, H. Kosaki. Lecture Notes in Math., V. 1820. Berlin: Springer, 2003. - 148 p.

194. Khiintchine A. Uber dyadische Bruche / A. Khiintchine // Math. Z.- 1923. Bd. 18, Heft 1. - S. 109-116.

195. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. М.: ИЛ, 1962. - 830 с.

196. Hoa Dinh Trung. Weighted trace inequalities of monotonicity / Dinh Trung Hoa, O.E. Tikhonov // Lobachevskii J. Math. 2007. - V. 26.- P. 63-67.

197. Xoa Динь Чунг. Взвешенные неравенства монотонности для следов на операторных алгебрах / Динь Чунг Хоа, О. Е. Тихонов // // Математические заметки. 2010. - Т. 88, № 2. - С. 193-200.

198. Хоа Динь Чунг. Операторные и следовые неравенства в алгебрах операторов / Динь Чунг Хоа. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казанский (Приволжский) федеральный университет. Казань, 2010. - 89 с.

199. Holland S. S., Jr. Projections algebraically generate the bounded operators on real or quarternionic Hilbert space / S. S. Holland, Jr. // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. - V. 123, № 11. - P. 3361-3362.

200. Holland S., Jr. The eigenvalues of the sum of two projections / S. Holland, Jr. / Rassias, Themistocles M. (Ed). In book: Inner product spaces and applications. Pitman Res. Notes Math. Ser. 376.- Harlow: Longman, 1997. P. 54-64.

201. Hoover Т. B. Quasi-similarity of operators / Т. B. Hoover // Illinois J. Math. 1972. - V. 16, № 4. - P. 678-686.

202. Householder A. S. The singular values of involutory and idempotent matrices / A. S. Householder, John A. Carpenter // Numer. Math. -1963. V. 5, № 3. - P. 234-237.

203. Ciach L. J. Linear-topological spaces of operators affiliated with a von Neumann algebra / L. J. Ciach // Bull. Acad. Pol. Sci. Math. 1983. -V. 31, № 3-4. - P. 161-166.

204. Ciach L. J. Some remarks on the convergence in measure and on a dominated sequence of operators measurable with respect to a semifinite von Neumann algebra / L. J. Ciach // Colloq. Math. -1988. -V. 55, № 1. P. 109-121.

205. Chang D.-W. A matrix trace inequality for products of Hermitian matrices / D.-W. Chang // J. Math. Anal. Appl. 1999. - V. 237, № 2. - P. 721-725.

206. Chilin V. I. Comparision of topologies on *-algebras of locally measurable operators / V. I. Chilin, M. A. Muratov // arXiv:1001.1651vl math.OA] 11 Jan 2010. 2010. - 21 p.

207. Cho K. Young's inequality and trace / K. Cho, T. Sano // Linear Algebra Appl. 2009. - V. 431, № 8. - P. 1218-1222.

208. Choda H. An extremal property of the polar decomposition in von Neumann algebras / H. Choda // Proc. Japan. Acad. 1970. - V. 46, № 4. - P. 341-344.

209. Choda M., Choda H. Some characterizations of certain von Neumann algebras / M. Choda, H. Choda // Proc. Japan. Acad. 1970. - V. 46, № 10. - P. 1086-1090.

210. Choi M.-D. Tracial positive linear maps of C*-algebras / M.-D. Choi, S.-K. Tsui // Proc. Amer. Math. Soc. 1983. - V. 87, № 1. - P. 57-61.

211. Sherman S. Order in operator algebras / S. Sherman // Amer. J. Math. 1951. - V. 73, № 1. - P. 227-232.

212. Sherstnev A. N. Classes of subspaces affiliated with a von Neumann algebra / A. N. Sherstnev, E. A. Turilova // Russian J. Math. Phys. 1999. - V. 6, № 4. - P. 426-434.

213. Шерстнев A. H. Методы билинейных форм в некоммутативной теории меры и интеграла / А. Н. Шерстнев. М.: Физматлит, 2008. - 264 с.

214. Ширяев А. Н. Вероятность / А. Н. Ширяев. Изд. 2-е, доп. М.: Наука, 1989. - 640 с.

215. Шмульян Ю. JI. Операторный интеграл Хеллингера / Ю. JI. Шмульян // Математический сборник. 1959. - Т. 49(91), № 4. -С. 381-430.

216. Szeptycki P. On solid spaces of measurable functions / P. Szeptycki // Bull. Acad. Pol. Sci. Math. 1982. - V. 30, № 3-4. - P. 115-116.

217. Эдварде P. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде. М.: Мир, 1969. - 1072 с.