Сложение кратностей спектра и инвариантные пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

У /

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ • ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи -УДК 517.98

КАРАЕВ МУБАРИЗ 'ГАЦЦЫГ ОГЛЫ

•СЛОЖЕНИЕ КРАТНОСТЕЙ СПЕКТРА И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени канпицата физико-математических наук

БАКУ - 1991

. Работа выполнена в лаборатории математического анализа Санкт-Петербургского отделения математического института им. В.Л.Ствклова и в Институте математики и механики АН Азербайджанской Республики.

РУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор НИКОЛЬСКИЙ Н.К., кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ВАСЮНИН В.И.

донтор физико-математических наук, профессор ГОРИН Е.А. (Московский Педагогический институт); доктор физико-математических наук ГУСЕЙНОВ Ф.В. (Бакинский государственный университет им.М.А.Расулзаде)

Ведущее предприятие - Санкт-Петербургский государственный университет

д/< и«л

_I99J2 года

Защита состоится "_6_"

в 'I V час. на заседании Специализированного Совета К 004.01.01 Института математики и механики АН Азерб.Республики по адресу: 370602 ГСП, Баку, ул.Ф.Агаева, квартал 553, п. 9 (5 этаж).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотете Института математики и механики АН Азерб.Республики. _____

Автореферат разослан 6 - ОШюс^^ш г.

Ученый секретарь /ъ/^?^4 д.ф.-м.н.

Специализированного Совета

•ЯП У Б.Р

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию нратности спектра прьыых сумм линейных операторов и описанию инвариантных подпространств операторов типа оператора интегрирования.-Понятия кратности спектра и инвариантные поппрос'транства играют большую роль в спектральном и гармоническом анализе операторов.

Кратность спектра линейного непрерывного оператора А , действующего з банаховом пространстве X > ~ это число (или символ Оэ )

А)=. : : н7/о} ;>

то есть наименьшее число элементов X. , ... , Хм таких, что

г-

множество векторных полиномов ^Р-СА^Х^ , р. пробегают иночество (Р всех полиномов'от комплексного переменного -5- , плотно в пространстве X • Кратность спектра - важный инвариант оператора, и в некоторых разделах теории операторов и ее приложений он играет ключевую роль. Напомним некоторые из этих разделов. Разумеется, понятие циклического множества (т.е. такого множества С , что ^ралл, £ ; совокупность всех таких конечных множеств С обозначим символом С^с. (А) ) важно в связи с общей проблемой существования инвариантных подпространств (поскольку оператор А не имеет нетривиальных ян-вариантных подпространств тогпа и только тогпа, когда ХёгО^с(А) для любого Х\{.©) ). Линейная теория управляемых динамических систем Калмана полностью зависит от описания множества С^с(А) для основного (передаточного) оператора системы. Циклические векторы (и системы векторов) ваяны в теории весовой полиномиальной аппроксимации. Есть и другие разделы анализа (например, теория С* - алгебр), где понятие кратности спектра иг-

рает важную роль.

Изучением кратности спектра операторов занимались Брэм, Халмош, Б.С. Напь, Фояш, Херреро, Н.К.Никольский, В.И.Васгонин, Б.Ы.Соломяк, А.Л.Вольберг, By и пр.

Одним из важных вопросов теории кратности спектра операторов является вопрос о вычислении кратности спектра пля прямых •сумм операторов, Это обусловлено тем, что многие классы операторов, как известно из теории линейных ограниченных операторов, представляются в каком-либо смысле в виде прямых сумм операторов. Таким образом, поведение кратности спектра прямых сумм операторов в зависимости от кратностей спектра слагаемых, весьма существенно пля понимания этой характеристики вообще.

Для кратности спектра прямой суммы А © £> двух операторов А , В I действующих в соответствующих (банаховых) пространствах X и Y* . справедливы следующие почти очевидные неравенства:

WvCLA

КраИниэ случаи-(т.е. случаи, когда одно из неравенств превращается в равенство) особенно интересны. Левое неравенство обращается в равенство, грубо говоря, когда действие операторов А и В совершенно независимо одно от другого, скажем, если спектры б"(А) и Ь) хорошо разделены. Например, в работе II.К.Никольского*^ показано, что

I) И.К.Никольский, Наброски к вычисления кратности спектра ортогональных сумм // Зап. научн. секли. ЛОМИ. - 1983. - Т.126. - С. 150-158

¡ели полиномиально выпуклые оболочни спектров не пересекаются, {апомним также более рьнную работу Брэма^', гае показано, что ¡ели Айв- нормальные операторы в гильбертовом простран-:тве, то для них справедлива формула (2) тоща и только тогпа,' torna т.е. спектральные меры А) и бСВ)

)заимно сингулярны. Обстоятельства, при которых правое неравен-:тво (I) перехопит в равенство, изучены значительно слабее. Сле-1ует ожипать, что пля сложение кратностей

^ С А ©В)=-|<(М + ^СВ) (3)

«обхопимо, чтобы опии из операторов (хотя бы на некотором поп-1ространстве) "мажорировал" пругой оператор. Опной из целей ра-5оты и является попытка припать точный смысл этим словам.

Вторая часть диссертации посвящена применениям свертки пля описания инвариантных поппространств оператора интегрирования, з также некоторых операторов взвешенного спвига. Поеопом пля изучения структуры решетки инвариантных поппространств оператора интегрирования стала проблемная заметка И.М.Гельфанпа*"', где, в частности, запавался вопрос об описании всех циклических векторов оператора интегрирования 3 (3-£)(*.)= S^^^ в

,2- о

пространстве Лебега L LO, 0,] , гае OCCL¿+oo. К настоящему времени ответ на этот вопрос получен многими авторами, и более того, описаны все инвариантные подпространства этого оператора. Здесь укажем фамилии лишь некоторых из этих авторов: Донохью, М.С.Бропский, Л.А.Сахнович, Налиш, Сарасон. Более подробно эти

I) 1 BtCUvc , op^boÁoZS.-^uMc lUaAk.Ü. ,

v.ZÍ.Yl, р.?S--94.

'¿) Гельфанд И.М. Задача // Успехи матем. наук. - 1938. - * б, С. 233.

вопросы изложены, например, в обзорной статье Н.К.Никольского*^.

Инвариантные поппространства оператора 3 в пространствах Соболева Wp[o,-13 ) и пространстве*- Со> 1J описаны в работе Э.Р.Цекановского*^ и П.В.Остапенко, В.Г.Тарасова"^. Основная цель главы 2 - получить аналогичные результаты в более общей ситуации.

Цель работы. Цель настоящей работы следующая:

- рассмотреть случай "зависимых" операторов, то есть таких операторов А и Ь , пля которых, скажем, || Р(А) || больше, чем II РС&) || для любого полинома Р , и исслеповать формулы сложения кратностей;

- также рассмотреть такое свойства "номинирования", которое действовало на целый класс операторов, то есть если А - фиксированный оператор, го требуется искать класс операторов & , которые "подчинены" А в том смысле, что р Ф В) = = ji(A)+p{ß) для всех ßfeCS ;

- вычислить кратности спектра ортогональных сумм операторов из специальных классов;

- разработать единый подход для описания инвариантных подпространств операторов типа оператора интегрирования в более общих ситуациях.

1) Никольский Н.К. Инвариантные поппространства в теории операторов и теории функций»// В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ, 12. - М.: изп-во ВИНИТИ, 1974. С.199-412.

2) Цекановский Э.Р. Об описании инвариантных подпространств одноклеточное™ оператора интегрирования в пространстве . // Успехи ыатем.наук. - 1965. - Т. 20, № 6. - С. 169-172.

3) Остапенко П.В., Тарасов В.Г. Об одноклеточности оператора ин-■ тегрирования в некоторых функциональных пространствах // Теория функций, функ. анализ и их приложения. - 1977. - вып.27 - С. 121-128.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты.

1. Изучена степень зависимости слагаемых прямой суммы операторов, котс.ая влечет справедливость формулы сложения кратнос-тей (3). На примерах показано, что достаточные признаки сложения кратностей, найденные в'работе, близки к необходимый,

2. Доказана более общая теорема о сложении кратностей, которая справедлива для общих (сепарабельных) банаховых алгебр (без предположения о существовании в алгебре (опного) порождающего). Как следствие этой теоремы получена формула сложения для рациональных кратностей.

3. Получена явная формула для кра-чости спектра ортогональной суммы ^Ф $>*К©Ц"<з?Т » где S - чистая изометрия,

- чистая тензометрия, - унитарный оператор, "Г - сяа- ■ тис из класса Секефальви-Иазья и Фояша С0 . 3 частности., показано, что ^ = 2, что является ответом на вопрос П.Хал-моша.

4. Дано аксиоматическое описание пространств гладких Функций на отрезке , непрерывно вложенных в С Со, 1] , с котором оператор интегрирования о одноклеточен. аналогичные результаты получены также для операторов взвешенного сдвига.

Методика исследований. 3 работе используются общие методы функционального анализа, теория операторов, техника банаховых алгебр, методы теории аналитических функций, а такке техника функциональной модели.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Результаты работа могут быть использованы в теории инвариантных подпространств, в теории несамосопряясенных операторных алгебр, в теории весозой полиномиальной аппроксимации, в теории управлений динамических систем и в других вопросах функционального ана-

лиза.

Апробация рабсгты. Результаты работы поклапывались на семи наре ЛОМИ им. В.А.Стеклова по функциональной мопели, на общеинститутском семинаре Института математики и механики АН АзерС Респ., неопнократно поклапывались на семинаре отпела функционального анализа ШМ по операторным алгебрам.

Публикации, Основные результаты писсертации опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферат

Структура и объем работы. Диссертация состоит из ввепенш пвух глг.в и списка литературы. Объем писсертации - 123 страницы машинописного текста. Список литературы соперлит 74 наймет вания.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается цель исследования, обосновывается актуальность темы, дается обзор работ по теме писсертации.

Первая глава диссертации посвящена изучению вопроса о сл кении кратностей спектра для прямых сумм операторов. Она сост пт из восьми параграфов.

В § I сформулирована точная постановка задачи.

В § 2 предлагается схема, которая зависит от оценок исчи ления (т.е. от нормы; "доминирует" тот оператор, у которого

|| Р(А)Ц больше для любого полинома р ). Чтобы сформулиг вать результат этого параграфа, нам понадобятся следующие обе качения.

Пусть ОЬ - коммутативная банахова алгебра с единицей и 7YL-1Yl(_0t) - пространство ее максимальных идеалов. Пусть О,-- строка с элементами из ОХ. . Если ее мс

VAHO пополнить по квадратной матрицы . ,, > ^ij-^j O-j-

обратимой в алгебре матриц над Q^ , то строка называется i

)Лняемой. Очевипным необходимым условием пля этого служит су-¡ствование элементов , éjfeOt таких, что

1 aj 6j - е м

<ли что то же, ипеал, порожденный набором CL должен совпасть с

a ). Будем говорить, что алгебра ОС обладает свой-твсм дополняемости строк, если из условия (х) слепует, что трока С- дополняема.

Теперь сформулируем теорему, показанную в § 2. Теорема 1.2.2.*) Пусть ОХ, - банахова алгебра функций, со-ержащих полиномы как плотное подмножество и обладающая свойст-юм дополняемости строк. Пусть Ъ - оператор, умножений; на тЬ , в алгебре ОТ. и А : ){—> X - линейный ограниченный опе-итор в банаховом пространстве X такой, что

li Р(А) II - С ¡I Р 11^

1ля любого полинома р и для некоторой постоянной С> О (то зсть г\ попускает

01 -исчисление). Тогда

В § 3 приведены следствия и многочисленные примеры применения теоремы 1.2.2 из § 2, а также приведены некоторые контрпримеры. Эти примеры связаны с ростом резольвенты или степеней данного оператора. Характерными из них являются, например, следующие. р

Следствие 1.3,4. Если S - сдвиг в гае W^

удовлетворяет условию '

х) нумерация утверждений сохранена такой же, как в диссертации.

и зсли

А 61-СХ)

таков, что-7 —, то

= 1+р (А)

Пример 1.3.7. Пусть 3 , ( 3 ^ (£ ) - ^ (+) Л - оператор

о

интегрирования в алгебре Винера \л/Ч1Р) . Если !_.( X ,) таков, что II ¿С^Ц - »то

/ (з Ф х) - р. (з;+/(1с) = 1 (^.

Следствие 1.3.II. I) Если Дб|_(Х,) „ ЦАНЦ= СЧи^щоо

то

^Сйфа)А), (4)

где Ь — £ - оператор умножения на независимую переменную (оператор сдвига) в пространстве — { $ - анали-

тична в © = 1ге<Г : и бСА(Ю/)} , > или

в любой алгебре ОХ, , содержащейся в .

2) То же заключение (4) справедливо и при условии

Следующие два примера опираются на известные утверждения: оценку

, для любого обратимого

__ А

оператора ) в гильбертовом пространстве, для .которого

£м-р{_ЦТи1| ". ие и теорему сложения 1_1рс*

Пример 1.3.16. Если \\Тп\\*+оо ,Те1-(.Юи Н -- £

гильбертово пространство, то •

где в - оператор сдвига в любой банаховой алгебре

01

, топо-

логически содержащейся в писк-алгебре Сд (К. Сд (ID) .

Пример 1.3.17. Если и Т - оператор в банаховом

пространстве, для которого Su-p ЦТ*II ¿+оо , то

И7/0

— (Т,) » гпе S - оператор сдвига в любой банаховой алгебре, топологически содержащаяся в 1—.

Параграф заканчивается некоторыми контрпримерами. Эти примеры показывают, что в приведенных нами достаточных условиях для сложения кратностей, нельзя существенно ослабить условие подчинения одного оператора другому. Вот один из контрпримеров.

Пример 1.3.18. Пусть ОС-С^,' V\7/ О и -

сколь угодно медленно стремящаяся к бесконечности монотонная последовательность, обладающая свойством субмультипликативности

(¿1 ¡nfic ' иj i^-^ С • Тогда существует обратимый

оператор , действующий в гильбертовом пространстве, такой,

что

I "Г * II - С С K-f О ¡9"

J К

\T'lU ± L ,

и т)-£ » где ^ - оператор сдвига в алгебре Сд

§ 4 содержит один из основных результатов этой главы, обобщающий результат из второго параграфа.

Пусть

01 - коммутативная банахова алгебра с единицей 6. Для унификации терминологии будем говорить, что элемент Л&ОХ. является циклическим пля

(Я , если сЬ&Шх) — (УС , гпе ^ {О-Х- ' С(6 (X) . в этом случав также будем писать . Очевидно, что элемент X

цинличен для ас тогда и только тогда, когда он обратим; в частности, £ Поэтому естественно считать, что Ц (ОС) ~ ^ •

' - 12 -

Пусть Г", р ; i>L(X)- непрерывный гомоморфизм из ОХ. в • LC X ) . Положим & Ы oUs^. (ОС $ Г01) -{СЬФ Га. • . Теперь сформулируем основную теорему.

Теорема 1.4,I. Пусть пля алгебры Gl выполняется усло-■ Bi ; дополняемости строк. Torna

В качестве слепствия в этом параграфе привгтено, например, следующее предложение пля наборов оператора А — (Ai у-">А ч J

Следствие 1.4.3. ПустьT^Tj =lj Т; и ,4 : Aj = для

любого L+j С с, j = wv^) ^ к пусть /UT>i. Если II PiAj.-v с1|Р(Т|,.'уТк)Лпля любого полинсна р от

И. переменных, при некотором С > О , то

Ц(ТФА )=/<Ш +/<(A; = i+/ua;

В § 5 с помощью общей теоремы I.4.I получены формулы пля рациональных кратностей. (Рациональная кратность спектра оператора Л t

lcx;

определяется по формуле

Например, можно отметить следующий результат. Теорема I.5.I. Пусть А и Т - коммутирующие наборы операторов , А = { АI у^ , Т^ iTt 1 и пусть

Н UA)II ¿с II г CTJ II

для всех рациональных функций Z- , пля которых Z CTJ — — £ CTi j • • «/Гц.) имеет смысл. Тогда

В этом параграфе также показано, что если J^ (S )> , то формула , вообще говоря, неверна.

В § 6 предлагается вторая схема, когда имеет место "слабая", зависимость операторов, то есть свойство "доминирования" проверяется на функционалах. Доказана следующая теорема.

Теорема I.6.I. Пусть Н - пространство функций, в котором содержатся и плотны полиномы. Пусть S>, -£(-2-^-- оператор умножения в Н на независимую переменную ä Пусть

/ULCX) такой, что H(A)=-i. и существует вектор У 6 X , У £ О > пля которого отображение рн=> Р( А) У , ре Ф . слабо непрерывно (т.е. непрерывно как отображение из (Н,1Ы1) в пространство X , снабженное слабой топологией б" (X*, X) ). Тогда Ц (s© A)=/<(S)+y<.(Aj = £. '

В § 7 формула сложения кратностей спектра получена при о.д-::ой специальной зависимости операторов. А именно, показала следующая теорема.

Теорема I.7.I. Пусть CK - банахова алгебра относительно двух умножений - * и vr . Пусть (f' - генератор алгебры (GZ)*1?) с единицей О, и пусть А <£ 1_(Х_) , )\ - банахово пространство. Предположим, что выполняются следующие условия:

(А) — и А допускает (ОХ. } *) -исчисление.

2) II Ptf)(A)x

Ц - И Pf А} X Ц для любого полинома Р и для всех X £ X , при некотором С > О .

3) Если 'f обратим б (0[ , , то fC А) ф {) .

Тогда у<( .

Отметим одно следствие этой теоремы.

Следствие 1.7.2. ЦустьЛб1_( X) , IIА ¡¡¿1 ,/<(А)~£ и А не обратим. Пусть 3 - оператор интегрирования в пространстве

. Если

ЖА,)х1|±С||р(А)х ||

пля любого ХёС^с(А) и пля любого полинома р , гпе ^ -полином и ^ДИ) = , то ЦСЗ ФА) —Л

§ 8 занимает важное место в этой главе. В нем содержится явная формула пля кратности спектра ортогональной суммы операторов следующих классов: унитарного оператора, чистой изометрии, чистой конзометрии и сжатия класса С 0 .

Доказана следующая теорема

Теорема 1.8.1. Имеет место следующая формула

/Чи © б'фь*1"© т) = , И+«хос (р(ил) (т;, }

Здесь ^ щ ¿г при \пл — О и О при ьлу о .

В частности, }(( 5 © > что является ответом на воп-

рос Халмоша.

3 конце этого параграфа приведено одно необходимое условие для сложения ¡¡ратностей.

Вторая глава диссертации' посвящена применениям свертки пля описания инвариантных подпространств оператора интегрирования и операторов взвешенного сдвига в банаховых пространствах. Сна состоит из трех параграфов.

В § I с использованием свертки сипа г Х

Ъ

доказана опноклеточность оператора интегрирования в некоторых банаховых пространствах функций, непрерывно вложенных в'ССсш Чтобы сформулировать доказанную в этом параграфе общую теорему, отметим следующее.

Пусть X - банахово пространство, состоящее из некоторого класса непрерывных на [ОДЗ функций. Через Ъ(л) обоз-

начим наибольшее из чисел С У/ О , пля которых существует непрерывная производная пля всех функций из X . Пусть

если, конечно, полиномы содержатся в X , и пусть

Хд^бХ : 4(Х)= О ,хе СоУА]}

Положим

г

А. Л-Ь /

К с1х^

где ^ ) Я Хк = О) иПроизведение © будем назы-

V

вать произведением Дюамсля в А^ . Теорема 2.1.1. Пусть

°> О (непрерывное вложение) - банахово пространство такое, что:

1) ) Xй \ - полная система в X

2) Опепатор интегрирования , £) (X)—о! 4: явля-

V 0 ется компактным оператором в д .

3) Х^

- банахова алгебра относительно © пля любого ,

и.

и. й $

Тогда \-а£СЗ)-1Хл> Хи. } (о^Д^Х ) И •= ОБ) ,

то есть 3 - одноклеточен в X •

Частные случаи этой теоремы, когда А есть

\л/р Со, и

п

( 1 к р ¿f- 00 ) или L fcülj - хорошо известен (см. сноски 2) и 3) на странице 6).

Следствие 2.1.4. Пусть & X и Kf ; ^ $ — Р* ^

- ^(x-iJQi-t) .oli - оператор свертки в X • Предположим,

что i f - полная система в Хи. С И=0> ) (при

L т/ JK7/0 v-И-

К-О положим по определению —г ). Тогда

-16 -

т.е. одноклеточен в X .

В 5 2 применяется пискретннй аналог свертки пля доказательства опноклеточности операторов взвешенного спвига в абстрактных банаховых пространствах. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2.1. Пусть X - банахово пространство ö базисом . ДусгьТ,Теи=Аие*н. Аи^о . -взвешенный спвиг, непрерывно пействующий в К , и пусть

Vn= Л0 ••• > id L . Предположим, что выполняются следующие условия:

I) Для любого I?/О существует /VС такой, что

ZW

£) Н^^ид!/^^ С Цб^н^ IlC^II^ для всех и, ил О

Тогда Lcd СТ) = [Х^ (<= о,

то есть

т

- опноклеточен в X . Теорема 2.2.5. Пусть X - банахово пространство, € и - полная в X минимальная последовательность с тотальной биор-тогональной Q . Пусть ~Г" - оператор взвешенного сдви-

га в к , Теи~Зиеи+1 . Ли-ФО , И*<? . Если ^

= АсР-р-Ди., > w0id L и w 31/й1 т J^IK^S II Iiet^il не? II

то оператор

т

одноклеточен, то есть любое его замкнутое инвариантное подпространство имеет вид.

Xwr^P^^K • К?/ ки } , М 7/ ± . Отметим, что теорема 2.2.5.содержит аналогичную теоре;лу

Н.К.Никольского из его работы*^.

§ 3 в основном носит метопологический характер. В нем приведены некоторые простые рассуждения, показывающие равносильность следующих трех хорошо известных теорем: I) теоремы Титчмарша о свертке; 2) теоремы типа Фояша; 3) теоремы Бропского-Сахновича-Донохью, в том смысле, что Из справедливости любой из них вытекает справедливость двух других.

В конце параграфа приведено одно обобщение теоремы Даниэля2) об одноклеточности сверточньтх операторов вида £ к! ) (X) —

— ^ к(Х~Ь) ^С^) • К0Т0Рая состоит в следующем:

о V

Теорема 2.3.5. Пусть \ - пространство Фреше, элементами

которого являются суммируемые наСо>1_, функции. Пусть выполняются следующие условия:

1) К - алгебра относительно свертки -к- , имеющая аппрокснма-тив11ую единицу относительно *

2) Если ''С 6 )\ и не существует Я > О , цля которого Ч3 ~ О

I) Никольский H.H. Современное состояние проблемы спектрального анализа - синтеза. Трупы I школы-симпозиума по линейным операторам в функциональных пространствах. - Новосибирск) СО из.п-ва

2) DGL#vie£ V. W, , Covo/o&xiiou. opeta£cric> ои ьраесъ

fct -fcUt' U оД- (¿«Jt.-TtÄus ,A./U.S.,l9fJL,*lb4t p:4W-4%%.

то есть оператор одноклеточен в X.

'Наука", 1977. С. 240-282.

Считаю своим приятным долгом выразить благодарность моим научным руководителям Н.К.Никольскому и В.И.Васюнину за их большую помощь при выполнении настоящей работы.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Караев М.Т. Использование свертки для доказательства опнокле-точности // Зап. научн. семин. ЛОМИ. - 1984. - Т. 135. -

С. 66-68.

2. Васюнин В.И., Караев М.Т. Кратность спектра некоторых сжатий // Зап. научн. семин. ЛОМИ. - 1987. - Т.. 157. - С. 23-29.

3. Караев М.Т. О кратности спектра ортогональных сумм операторов

. // Спектральная теория операторов и ее приложения / Баку: Элм, 1990. - вып. 10. - С. 165-167.

4. Караев М.Т. Об описания инвариантных подпространств оператора интегрирования в »банаховых пространствах аналитических функций // Материалы семинара-совещания по функ.анализу и его прилож., посвящ. памяти акад. З.Й.Халилова: Тез.докл. - Баку, 1991.

С. 37.