Спектральный анализ операторов иррационального поворота с весом в пространстве L2 ( π ) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

СЛИКТ-ПЕТЕРБУРГШЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИЗЕРСИТЕГ

На правах рукописи

ГРОМОВ Андрей Львовэт

СПЕКТРАЛЫШ АНАЛ1В ОПЕРАТОРОВ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО ПОВОРОТА С ВЕСОМ В ПРОСТРАНСТВЕ I 2 ( Т)

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фмзико-мзтематзиеских наук

Санкт-Петербург - 1991

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

НАУЧНШ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических паук, профессор Н.К.НИКОЛЬСКИЙ

ОСИЩАЛШЫЕ ОППОНЕНТЫ- доктор физико-математических наук, профессор С.Н.НАБОКО

кандидат физико-математических наук,

доцонт л.и.пяоткш

ВВДУЩ/Ш ОРГЛНИЗЛЩЯ: Пинский государственный университет.

—

Защита состоится "ВО" ср-С^/гл^и. 1992г. в ">3 час. на заседании специализированного совета К 063.57.29 по присуждения ученой степени кандидата физико-математических наук в Слнкг-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Старый Петергоф, Библиотечная пл., д.2, ыатенатико-механическиЯ факультет.

С диссертацией ыоию ознакомиться в научной библиотеке им.М.Горького Санкг-Потербургского государственного университета.

Автореферат разослан " iQ " 199£г.

УЧЕЩЛ СЕКРЕТАРЬ СПЕЦШИЗИРОЗАННОГО СОВЕТА

КАВДЩАТ ¿иаисмдтешичЕских НАУК

О.И.РЕЙНОВ

- 3 -

' \ СЩАЯ ХАРАКТЕРКСТШ. РАБОТЫ

: АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Диссертация посвящена изучении спектральных свойств обратимых операторов иррационального поворота о весом на окрувности в пространствах ¿_ р . Интерес к тати операторам, восходящий, по-внднмому, к работам Дт.фон Неймана, в последние горы усилился. В работах А.Я.Китовера, Л.В.Лебедева и Ю.Д.Латупкина исследовались более общие операторы - операторы постановки с весом. Этими автора!«!, в частности, бил описан спектр таких операторов. В изучении вопроса о сущестпопа-нии инвариантных подпространств операторов поворота с весом наиболее полные результаты принадлежат А.М.Дэви, который заметил связь мезду алгебраически.!« свойства:.!!! поворота и споростью роста резольвенты вблизи спектра. К операторам поворота с весом приводят такте некоторые задачи спектральной теории динамических систем. Так, в работах Г.Хельсона в связи с изучением коциклов на окружности получены интересные свойства спектральных инвариантов унитарных операторов поворота с весом. Приложения таких операторов к функциональна.! уравнения.! мсзнс найти в работах А.Б.Антоневича. Однако многие ваяние вопросы, связанные с операторами поворота с весом (например, вопрос о существовании нетривиальных инвариантных подпространств у всех таких операторов), до сих пор открыты.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основная цель работы - исследование вопроса о существовании инвариантных подпространств операторов иррационального поворота с весом, описание спектральных инвариантов унитарных опораторса поворота с весом (т.е.функции кратности и спектрального типа) а терминах веса и поворота, а также приложение этих результатов к решения гомологического уравнения на окружности.

ОБЩАЯ Г.ЕТОДНКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации используются методы анализа Фурье на окрузности и на более общих компактных абелевых группах, спектральной теории унитарных операторов и эргодической теории.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены стедуетцие новые результаты:

- рано достаточное условие неквазианалиткчности операторов поворот« с весом, которое на массе всех пасов с гладки.! логарифмом является точны.!;

- описан класс инвариантных подпространств, существование которых обусловлено арифметическими свойствами поворота;

- описаны общие спектральные свойства унитарных операторов подстановки с весом в случае, когда подстановка эргодична и имеет чисто дискретный спектр;

- приведен пример вычисления кратности спектра унитарных операторов подстановки с весом;

- получено полное описание спектрального типа унитарных операторов поворота с весом в случае, когда логари$».! веса лежит в некотором классе гладких функций на окружности;

- дано необходимое и достаточное условие разрешимости гомологического уравнения на окружности с правой частью из некоторого класса гладких функг;ий.

ПРАКТИЧЕСКАЯ цЬшОСТь. Робота носит теоретический характер. Результаты и методы могут быть полезны в теории операторов и в эргодической теории.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на конференциях молодых ученых натеыатико-моханического факультета Ленинградского университета и на семинаре по спектральной теории функций и теории операторов в ЛСШ км.В.А.Стекяова.

ДОБШШЩ. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приводится в конца автореферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем работы 93 страница мапинописного текста. Список литературы содержит 19 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основным объектом рассмотрения в диссертации являются операторы, действующа в ¿р(о,1) ( реЦ, *>] ) по формуле

(Г{)(х) - &<х) ¿({х+а!) / (1)

где а£ I- , « - иррациональное число из (0,1) , I • I

обозначает дробную часть числа, функция называется ве-

сом, а число о1 - сдвигом на [о, О , или поворотом на единичной окружности Т J учитывая естественное отождествление [0,1) и Т :

зс н» соср (гтгс х) ( хе Со, 1) )

Глава I носит вводный характер. В параграфах I и 2 вводятся некоторга характеристики сдвига и веса. Выпилен наиболее существенные из них. Положим

¿Гл(п)"Щп. { /« - И / : те И } I ае 2 ч {о] ) ,

- 3/Л )

Q = ; 4 /Щ ]

Через 2 обозначь множество тех элементов п. множества <2 , для которых рациональная дробь вида на которой реализу-

ется наилучшее приблизение > несократима. Пусть

) М) - занумерованные в порядке возрастания элементы 2 П N. Числа 9^ суть знаменатели несократимых дробей, которые хорошо (в терминах ) приближают <*- • Величины 9,- и <Га I ч^) и являются удобными характеристиками сдвига а..

Мы будем рассматривать только те веса л ¡ос) 1 которые имеет непрерывную на [о, 1 3 ветвь логари£ш. Такие веса молно записать в виде

а(х) - Св(х-) , 9 (х)= Ах + , (2)

где ^ е . Кроне того, мы будем предполагать, что

/ 9 (х) о! ос о . Это условие - просто норлировка оператора

Т } выбранная так, чтобы спектр 7~ совпадал с единичной

окружностью Т . Введем при ре 1 + следующие классы функций:

01, = {*е с'+'со.и : < " V) = 0 (/-о, р> ,

_ 6 -

01 = ¡ Áx +t • 0Lt i IR) ;

Ot = U И

a,Me 2,. * t-1

В третьем параграфе доказаны две леммы технического характера.

Вторая глава посвящена задаче о существовании инвариантных подпространств операторов (I). В отой главе ми рассматриваем только такие веса, у которых в представлении (2)

Л-О , МеСг10/1] , М'(о) = M'd)

Первый параграф посвяден проверке для оператора Т условия неквазианалиткчносги:

~ ¡CogfíT*,H

Обозначил чер?з ^л мне-voctco всех / из LP(oJi)¡ дтя которых функция ( Т - АI)'1 i аналитически продоявима через лмбую точку ÁoéT^A , где /\ с. Т . Дж.Вермер показал, что если оператор Т неквззианшштическиП, то NА является нетривиальным гиперинвариплтпим подпространством Т при любом замкнутом А , Л $ Т ■ А.М.Дэви доказал, что условно (3) выполняется при любом а £ (О, I) ч Л ; гда SL состоит из всех иррациональных чисел я е (р, i), д*я которь-х существует последовательность натуральных чисел ( t„) (ríe l\l) J такая что

к ( ^) < • Ото условие на oí , однако, на учиты-

вает свойств веса. Следующая теорема испривляот данный недостаток. Обозначим через Á)(к) к-ií коэффициент <?урье И (K£~Z) ТЕОРЕМА 2.1. Половим

0 = Z ¡M(K9)\ (jí!N)

t£2 4 ícj Если выполняется условно

Ic*' ТЩ) K 00 > (4)

- 7 -

то оператор Т - неквазнзнолиткчсский.

Условие (Л) замечательно том, что на описетягоы вш» классе весов оно является точнгм. При И е ci (pelfj) условие (4) i.'.cs-¡10 переписать в виде

£ fo* Ф^Г)< - (5)

ТЕОРШ. 2.2, Пусть N , Л/ - пг[0.Т0 к-пя.-ая функция из Pip . Тогда для оператора Т условия (3) и (5) ¡эквивалентны.

Заботим, что при любом р с /¡V условие (5) слабее условии а <? (о, 1} Ä .

Во втором параграфе рассматривается класс J "^х иррациональных чисел «■ из Сс, /), для которых существует число {{} } которое делит все достаточно большие элемента Q . Если од риг ^ лотат в J , то гледугппл теорзмл позволяет строить инвариантные подпространства для оператор! 7".

Пусть heL°°(o,i). Обозначим через / /.. подпространство в Le j состоящее из функций вчда ^р Ь , где 3 ~ "l*. ~ перия^итвокая функция из L f(o, i).

ТПОРЕУА 2.3. Для г:';ого e-e J существует ¿е C(R/V-)t тская что подпростршстЕО /1 4 лгстястся инвариантным для ЗЛ'.ЬЧЛНИЗ. Инвариантны;.)« дтя оператора Т ягх/ггтел Tnife подпространства вида к

У з-зер (г т Ii х) ■ L > (б}

,/-- i

где /V « / •-■ , j п символ V обозна-

чает гтвкаппе лииеПнсй оболочки укаяекгнге п-улростряяетп.

Чтоби теорема 2.3 стала свдорчатз.чьноЯ, необходимо привести примеры чисел из СГ . Пусть р е ff-J \ {1} и

■ - I- е.< Р

(7)

4'

где V - взаимно простые с р чае« из / о, .... % G ^ ' 'Vi > ^ i'V (/с

ТЕОРЕМА 2.4. Если - число вида (7), то при любом </е N V - Р ^

Теорема показывает, что вида (7) лезит в а в

качестве моги о брать числа Р с любым т е М. Таким

образа;, ш ыогем построить бесконечно много инвариантных подпространств.

Пусть теперь оператор Т вида (I) действует в I (о,1). Один из возможных путей обобщения теоремы 2.3 - попытка рассмотреть подпространства вида сое/> ¿у , где 4 е С СИ?/ 2 ) > Ус 2 , а

^ у -{ Z «« : £ С.г(У)}

кеу . еу

Пусть в представлении (2) функция 9 - чисто мнимая. Следув-щая теорема утвервдает, что в отом случае такой подход не дает ничего нового.

ТЕ0РЭ1А 2.5. Пусть 9 - чисто мнимая функция из А (0,1) 1 а. сх.) в есср с о ¡х.) , V <= "2. . Если оператор Т имеет инвариантное подпространство I. описанного вше вида, то либо X имеет вид (б), либо Т имеет собственную функцию.

2АМННАНИЕ. Теорема 2.5 верна и для вещественной © но, вообще говоря, неверна при произвольной Ое ¿м (0,1).

Третья и четвертая главы посвящены унитарным операторам подстановки с весом в пространствах /г. В третьей главе рассматриваются операторы в 1г(х, ъ), действующие по формуле

(ТП (х) = о.1х.)/Г их), хе X (8)

Здесь (X, Ъ) - пространство с вероятностной мерой, 1а(х)1* * при 9 -почти всех V - автоморфизм пространства г

на который накладывается два ограничения.

1. V эргодшен, то есть Не)"о или для любого -измеримого множества е <= X, такого что

О С (ие N е) и» о

2. V имеет чисто дискретный спектр, то есть существует полная ортогональная система (тп) (пе 1\1) в I 8 (X, ¡>); такая что

- 9 -

L U*) =■ V^ fx) при ? -почти всех ж.

Централыпг/и в первом параграфе являптся следующие результаты.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть 7" - оператор зкда (3), причем /ai = f ? -почти везде, а V - эргодичзский автоморфизм пространства X с чисто дискретным спектром. Тогда функция кратности оператора Т однородна.

ТЕОРИЙ 3.2. Пусть оператор Т удовлетворяет условия.» предыдущей теоремы. Тогда его спектральный тип является чистым, то есть либо абсолютно непрерывны:«, либо непрерывном сингулярным, либо чисто дискретны-!.

В частном случае операторов вида (I) эти результаты получены Г.Хельсонсм. Все три ситуации, описанные в теорема 3.2, moîho реализовать. Это следует из результатов даси 4. Описание функции кратности операторов вида (8) сводится к вычислении кратности спектра. Во втором параграфа приводится пртаер операторов (8), кратность спектра которых хорояо вычисляется. Пусть - компактная абелева группа, -мера Хаара на H,

Х-Т * К. . Положим U (ъ, х.) ' a-ï , ж-ц (геТ,х£К), где il. S) - эргсдический сдвиг на X . Полеты такте

Н°°( X)-{fe L"(X): f(.,x)6 H"(J) при /< -почти всех JcsKj

Пусть Т - оператор вида СО) с описанной зиеэ подстановкой V.

ТЕОРЕМА 3.3. Если вес "-(г) оператора Т лечит в н°°(х), то Т унитарно эквивалентен оператору умножения на а. (х).

СЩСТВИЕ. В случае X • Т теорема 3.3 позволяет строить примеры унитарных операторов поворота с весом о лэбегокз» спектром любой кратности. Это извостний результат, тая*о полученный Г.Хельеоном.

Четвертая гласа посвящено исследоэанет спектрального типа унитарных операторов вида (I), действующих a L'(o,i). Полная спектральная классификация получена для случая, когда йтацяя б из представления (2) летит в ¡-лассо Л-, или, иначе, Mé otp при некотором ре 2+ . Сформулируем критерии ебсо-

лютной непрерывности и дискретности спектра оператора Т~ с весом о-(х) и сдвигом к..

TaOPß.'A4.I. Пусть = еър ¿(Ах + МСх)) , Me СПр

при некотором ¡>е Z f . Спектр 7" абсолютно непрерывен тогда и только тогда, когда

Л i гтгЪ \ Joj О)

Заметим, что условие абсолютной непрерывности спектра зависит только от приращения непрерывной ветви аргумента Q, вдоль отрезка Со, i] и не зависит от сдвига а . В условие дискретности спектра 7* уже будут входить величины <•"*«. ( ij) .

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть f е 2 + , а сх) = I (Ах + МЫ) , Me Otf . Спектр 7 дискретен тогда и только тогда, когда А - о и

£ (—t_

Смысл теоремы 4.2 состоит в том, что для дискретности спектра Т .функция 0 (л) из представления (2) должна быть достаточно гладкой :<ак функция на ¡R / Z ( ото учитывается условием Ä = о и величиной параметра р ), а число ^ не должно слишком быстро приближаться рациональными числами (ото учитывается величинами fr и (?j) ). Точное количественное соотношение отих требований дается условием (10).

ТЮРЕМА 3.2, 4.1 и 4.2 дают следующее

СПНДСТЕ1Е. Пусть ре 2 + а (х.) = охр i (Ах 4 М Сх)) J М £ Olfi . Спектр оператора Т является непрерывным сингулярным тогда и только тогда, когда либо Аф 27 , либо А = о , но

но выполнено условие (10).

Если функция М из представления (2) есть вещественная аналитическая функция на R. /2 , то критерием абсолютной непрерывности спектра оператора Т вновь является условие (9) (теорема 4.3). Однако при произвольной Me COR./Z) из условия (9) не следует, вообще говоря, абсолютная непрерывность спектра Т ( теорема 4.5).

С задачей о нахождении критерия дискретности спектра унитарных операторов вида (I) тесно связано гомологическое урлвна-

со

ПГ\\

нив на окруяности:

¿({х+а-И - {(х.) 0(х) 1x6 10,1)) (Ц)

где ^ - известная, п { - неизвестная нзмеримиэ функции на (о, I) . Известии условия рнэрес-мости я условия неразрешимости уравнения (II). Теорема 4.2 позволяет получить следуизутЯ критерий разреимости уравнения (II) в случае В е С1 .

ТЕОРИЙ 4.4. Пусть ре "2 + , Ле /% , О - подостренная функция из а. , $ особых . Уравнение (II) разро-лимо

о

тогда и только тогда, когда Л = о и Ецлоотено условие (10).

СЛЕДСТВИЕ. Если уравнение (II) с описанной года правой частью разрешаю, то лябоз его рг::ение летят з 1 *№,<) и даеет вид

_ 9 (к) ех.р СНГ о кзО

{(х) /Г -г—--- с >

гдэ се <Г, ВIк) - к-й коэффициент £урьо функции О •

Автор вира^гет глубокуя б.-пгодарность А.К.Китовэру за постановку звдччи и Н.К.Никольскому за поаеянлэ обсуждения и редакция текста.

Работу автора по теме диссертации:

1. Громов А.Л. Об инворионткис подпространствах взпгяеннш: операторов подстяновки/Л'ункц.енял. и его прил.,Ш30, т.22, вш.2, с.75-76.

2. Громов А.Л. О спектральных свойствах унитарные спзратороа подстановки с весом//Зункц.анал.и его пратг. ,1990, т.24, вьет.З, с.74-75.

3. Громов А.Л. Спектральная классификация некоторых типов унитарных операторов .юдстпновки о Еессы//Алг.и диад. ,1991, т'.З, вып.5.