Обратные задачи спектрального анализа для некоторых дифференциальных операторов в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Дубровский, Владислав Владимирович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Магнитогорск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2006
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Дубровский Владислав Владимирович
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
01.01.02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
I
Стерлитамак - 2006
Работа выполнена на кафедре математического анализа государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Магнитогорский государственный университет"
Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,
доцент
Седов Андрей Иванович
Официальные оппоненты: доктор физико математических наук,
профессор
Султанаев Яудат Талгатович
Ведущая организация: Механико-математический факультет
Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
Защита диссертации состоится 26 мая 2006 года в 14 30 часов на заседании диссертационного совета К 212.315 01 при Стсрлитамакской государственной педагогической академии по адресу: 453103, г. Стерлитамак, пр Ленина, 49
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии.
Автореферат разослан 2006 года.
Ученый секретарь
кандидат физико-математических наук, доцент
Кожевникова Лариса Михайловна
диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор
В Н Кризский
2оо£ А
S&3S
Общая характеристика работы
Постановка задачи. В сепарабельном гильбертовом пространстве £2(П) рассматривается оператор То, определяемый краевой задачей Дирихле либо краевой задачей Неймана для однородного уравнения Гельмгольца, где П — прямоугольная область, у которой отношение квадратов сторон — иррациональное число.
оо
Вводится степень оператора То, т. е. оператор Т =
о
где Е(А) — спектральное разложение единицы оператора То, ß > 1, Xß > 0 при А > 0.
Пусть Р — действующий в Li{П) оператор умножения на вещественную функцию р € ¿2(П). Оператор Р называется оператором возмущения, а функция р — потенциалом.
Через {At}^ обозначена последовательность однократных собственных чисел оператора Т, занумерованных в порядке возрастания, а через {/ii}^ — последовательность собственных чисел оператора Т + Р, занумерованных в порядке возрастания их действительных частей с учетом кратности. Оператор Т + Р называется возмущенным оператором.
Рассматривается следующая обратная спектральная задача:
пусть дана последовательность комплексных чисел близ-
ких в некотором смысле к собственным числам Аt. При различных ß > 1 требуется доказать существование и единственность оператора Р такого, что спектр а(Т+Р) совпадает с последовательностью
Актуальность темы исследования. Наиболее полно изучены обратные спектральные задачи для оператора Штурма — Лиувилля
Ау =-у" + g{x)y. (1)
Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Амбар-цумяну1. Он доказал следующую теорему
Пусть Ао < Ai < А2 < ... — собственные значения задачи Штурма — Лиувилля
-У" + q{x)y = А у, у'(0) = з/(тг) = 0,
1 Ambarzumian V.A. Ueber eine Frage der Eigengworttheorie // Zeits.f. Phisik. - 1929 - № 53 -S 690 - 695. _____
Гяос национальная! библиотека I
' i» m *
j XßdE(X),
где q G C[0, тг]. Если Xn = n2, n = 0,1,..mo q(x) = 0.
Однако приведенный результат является исключением, и одного спектра, как выяснилось впоследствии, недостаточно для однозначного восстановления оператора (1).
В связи с этим в дальнейших исследованиях по решению обратных задач спектрального анализа помимо спектра задавались еще и дополнительные спектральные характеристики краевых задач. Обычно для этого используют: спектральные данные {А„, а„}п>о, где Л„ - собственные числа, ап = f ip2(x, An)dx — нормировочные (весо-
х
вые) числа, <р(х, А„) — собственные функции; несколько спектров краевых задач. Вместо спектральных данных часто задают спектральную функцию, которая для классической задачи Штурма Лиувилля есть функция скачков. Отметим основные методы в которых используются эти спектральные характеристики.
Метод операторов преобразования заложен в работе Б.М. Левитана2. Операторы преобразования для произвольных операторов Штурма - Лиувилля были построены А.Я. Повзнером3 и использовались И М. Гельфандом и др. Для дифференциальных операторов высших порядков обратная задача в различных постановках исследовалась в работах А.Ф. Леонтьева4, М.К. Фаге5 и др.
Метод спектральных отображений появился в работах Н. Ле-винсона6. В развитии и становлении этого метода активное участие принимали Е.А. Баранова, З.Л. Лейбснзон, М.М. Маламуд, В.А. Юрко и др.
В методе эталонных моделей строится последовательность модельных операторов, которые, в опреденном смысле, приближают искомый оператор и позволяют строить потенциал "шагами". Метод дает эффективный алгоритм решения обратной задачи и работает для многих важных классов обратных задач, в то время как другие методы оказываются неприменимыми.
2Левитан Б.М. Теория операторов обощеняого сдвига. - М.: Наука, 1973. - 312 г.
3Повзнер А.Я. О дифференциальных операторах типа Штурма - Лиувилля на полуоси // Математ. сб. - 1948 - 23(65). - С. 3 - 52.
4 Леонтьев А.Ф. Оценка роста решения одного дифференциального уравнения при больших значениях параметра // СМЖ. - 1960. - № 3. - С. 456 - 487.
5Фаге М.К. Интегральные представления операторно-аналитических функций одной неза-
висимой переменной // Труды Моск. матем. о-ва - 1959. - Т 8. - С 3-48
"Levinson N. The inverse Sturm - Liouville problem // Math Tidssk. - B. 1949 - P. 25 - 30
Метод Борга основан на базисности по Риссу произведения собственных функций рассматриваемых краевых задач. Этот метод для сингулярных операторов был развит в работах В.В. Дубровского и В.А. Садовничего.
Теория обратной задачи Штурма — Лиувилля изложена в монографиях Б.М. Левитана7, Б.М. Левитана и И.С. Саргсяна8, В.А. Марченко9.
Значительно более сложными для изучения являются обратные задачи для операторов с частными производными. Этим задачам посвящены работы Ю.А. Аникова, А.Л. Бухгейма, М М. Лаврентьева, Л.П. Нижника, А.И. Прилепко, А.Г. Рамма, В.Г. Романова, К. Шадана, Л.Д. Фаддеева и других математиков.
Обратная спектральная задача для оператора Лапласа с потенциалом была впервые поставлена в работах Ю.М. Березанского10.
Дальнейшее развитие теория обратных задач для оператора Лапласа с потенциалом получила в работах В.А. Садовничего, В.В Дубровского и их учеников.
В работе В.А. Садовничего, В.В. Дубровского11 доказана теорема единственности решения обратной задачи только по одному спектру для абстрактных операторов и при условии "малости" возмущения Результаты применяются к степени оператора Лапласа, заданного на прямоугольнике П с потенциалом из £г(П). К этой работе по своей тематике и методам примыкает статья В.В. Дубровского12, где сформулированы условия, при которых потенциал может быть восстановлен в классе ограниченных по максимуму функций. В работах
'Левитан Б.М Обратные задачи Штурма - Лиувилля - М : Наука, 1984. - 240 с.
'Левитан Б.М., Саргсян И С. Операторы Штурма - Лиувилля и Дирака. - М.: Наука, 1988 -432 с.
9Марченко В.А Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения - Киев- Навукова Думка, 1977. - 350 с.
10Березанский Ю.М Об обратной задаче спектрального анализа для для уравнения Шре-дингера // ДАН СССР. - 1955. - Т. 105. № 2. - С. 197 - 200.
Березанский Ю.М. О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // Труды Моск. математ. о-ва. - 1958. - Т 7. - С. 3 - 51.
11Садовничий В.А , Дубровский В.В. О некоторых свойствах операторов с дискретным спектром // Дифференц. уравнения. - 1979. - Т. 15 №7 - С. 1206 - 1211
12Дубровский В.В Теорема о единственности решения обратных задач спектрального анализа // Дифференц уравнения. - 1997. - Т 33. № 3. - С. 421 - 422.
B.B. Дубровского, A.B. Нагорного13'14 разработан метод восстановления потенциала по спектру невозмущенного оператора и доказана единственность его восстановления. В вышеперечисленных работах В.А. Садовничего, В.В. Дубровского, A.B. Нагорного рассматривались операторы, которые имеют ядерную резольвенту. Для того чтобы обеспечить ядериость резольвенты, вводилась степень оператора Лапласа. Однако, в квантовой механике практический интерес представляют именно операторы, полученные из оператора Лапласа в результате "малого" возмущения, а не их степени. Поэтому задача по уменьшению показателя степени ß является весьма актуальной. Но при ß — 1 резольвента оператора Лапласа становится неядерным оператором и решение поставленной задачи значительно усложняется.
Данная диссертация лежит в русле упомянутых выше исследований по изучению обратных задач для оператора Лапласа с потенциалом.
Методы исследования. Для решения поставленной задачи используются методы теории регуляризованных следов операторов, разработанные научной школой академика РАН В.А. Садовничего, методы теории возмущений, спектрального и функционального анализа.
Научная новизна. Результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми и состоят в следующем:
1. Доказаны теоремы существования и единственности решения обратных задач для возмущенной степени оператора Лапласа с ядерной резольвентой, причем этот оператор задается на прямоугольнике либо краевой задачей Дирихле, либо Неймана.
2. Доказаны теоремы существования решения обратных задач для возмущенного оператора Лапласа с неядерной резольвентой, при этом оператор Лапласа задается на прямоугольнике либо краевой задачей Дирихле, либо Неймана.
3. Доказаны теоремы существования решения обратных задач
13Дубровский В.В., Нагорный A.B. К обратной задаче для оператора Лапласа с непрерывным потенциалом //Дифференц. уравнения - 1990. - Т 26. № 9 - С. 1563 - 1567
14Дубровский В.В., Нагорный А В. Обратная задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из L2 // Дифференц уравнения - 1992 - Т 28. JV" 9 - С 1552 - 1561
для воэиуш.енной степени оператора Лапласа с неядерной резольвентой, причем данный оператор задается на многомерном
параллелепипеде либо краевой задачей Дирихле, либо Неймана.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы специалистами, работающими в различных областях спектральной теории и дифференциальных уравнений. Также результаты диссертации могут найти применение в квантовой механике и вычислительной математике.
Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались:
• на Международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи"(г. Москва, МГУ, 2001);
• на Международной конференции "Дифференциальные уравнения в частных производных" (г. Алушта, 2003);
• на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2004);
• на Международной конференции по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004);
• на Всероссийской конференции "Современные методы теории краевых задач "(г. Воронеж, 2004);
• на Всероссийской конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения "(г. Саратов, 2004);
• на Всероссийской конференции "Современные проблемы физики и математики"(г. Стерлитамак, 2004);
• на Всероссийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи"(г. Самара, 2005);
Результаты работы обсуждались на семинаре по спектральному анализу под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Дубровского В.В. (г. Магнитогорск, 2000 — 2002 г.г.); на научно-исследовательском семинаре под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Свиридюка Г.А. и кандидата физ.-мат. наук, доцента Седова А.И. в Магнитогорском государственном университете (г. Магнитогорск, 2002 — 2006 г.г.); на семинаре под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Султанаева Я.Т. в Башкирском государственном университете (г. Уфа, 2006); на семинаре по диф-
ференциальным уравнениям под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Сабитова К.Б. и доктора физ.-мат. наук, профессора Калиева И.А. в Стерлитамакской государственной педагогической академии (г. Стерлитамак, 2006).
Диссертационная работа была поддержана Министерством образования РФ и Правительством Челябинской области (шифры проектов 001.01.01.-04БМ, 001.01.01.-05БМ), грантом для аспирантов вузов Министерства образования РФ (шифр проекта АОЗ-2.8-59), стипендией Президента Российской Федерации (2004 г.) и стипендией Законодательного собрания Челябинской области (2003 г.).
Публикации автора. Результаты диссертации опубликованы в 20 работах, основные из них приведены в автореферате. В совместных работах [1] - [3j, [5], [6], [10] В.А. Садовничему, В.В. Дубровскому, А.И. Седову принадлежит постановка задач. Получение конкретных результатов принадлежит диссертанту.
Структура и объем диссетрации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих одиннадцать параграфов, и изложена на 121 странице. Список литературы содержит 108 названий работ отечественных и зарубежных авторов, а также работ автора, составляющих базу диссертации.
Краткое содержание работы
Во Введении приводится постановка задачи, формулируются цели диссертации, описываются методы исследования, дается обзор работ, относящихся к теме диссертации, и кратко изложено содержании диссертации.
В Первой главе доказан ряд вспомогательных утверждений, используемых в последующих главах. Также в ней вводятся обозначения, применяемые в формулировках основных результатов: Ro(\) = (Т ~ ХЕ)-\ АеС\а(Г);
At+i + At . г |А< - At_i| |At+i - Afh . , at = ——, rt = mm{---;---}, r0 = mf rt;
7r, = {A 6 С : |Аг - A| = r,};
/ 00 2\ 1/2 5= ЕгКл^||ад||0 ,0<r-<min{—;r0};
Ür = {А G с : |At - A| > r}, R = max ||До(А)||2;
Aeíír
нормирующие множители At ф О выбраны из условия /г(Х}) — Stl,
j, t G N, Stj - символ Кронекера;
А
9t(X) = I ft{z)dz-
& = sup (|A|2 • |/í(A)|).
R<>A>0
В § 1.1. приводятся необходимые сведения из теории симметрично-нормированных идеалов компактных операторов. В § 1.2. рассматривается понятие степени оператора Лапласа. В § 1.3. вводятся аналитические функции ft и доказывается их ограниченность в правой полуплоскости. § 1.4. содержит оценки числовых рядов, используемых в дальнейшем. В § 1.5. доказаны основные спектральные тождества для возмущенного оператора Лапласа и его степеней.
Вторая глава посвящена обратным спектральным задачам для возмущенного оператора Лапласа и его степеней на прямоугольных областях в случае краевой задачи Дирихле.
В § 2.1. доказываются теоремы существования и единственности решения обратной задачи для возмущенной степени оператора Лапласа на прямоугольнике П = {(ж, у) : 0 < х < о, 0 < у < 6}, а > О, b > 0. Для решения задачи вводится множество Mi функций р из пространства Ьг(П), обладающих следующими свойствами:
р(х, Ь — у)= р(х, у) = р(а — х, у) для почти всех (х, у) € П, (2)
JI р(х, у) eos dxdy = jj р(х, у) eos dxdy = 0,
п п
(m,п = 0,1,...), (3)
iblrf (4)
Справедлива
з
Теорема 2.1.1.1ЬЕсли 0 > - и для последовательности ком-
¿1
плексных чисел выполняется неравенство
\
00
Г ,
Elfc-A^kl-o;),
t=i
где ш = 3rS < 1, то в М\ существует единственный потенциал р такой, что для любого i £ N имеет место равенство ßt = где
Накладывая более жесткие требования на последовательность
можно усилить этот результат. Пусть
CmO := lim (£mn - Aron), m = 1, оо;
Соп := Нт (£тп - Лт„), п = 1, оо;
га-Юо
Стп •— (,тп ^тп СтО Сот ТП,П — 1, ОО.
Пусть М2 - множество функций р из пространства П), обладающих свойствами (2), (4) и
II'
р(х, y)dxdy = 0. (5)
п
Доказана
3
Теорема 2.1.2. Если ß > - и для последовательности комплексных чисел {£тп}т,п=1 выполняется неравенство
°° I 00 I 2 00 I |2 1/2
(V2 J2 |Cmn|2 + + ) ^ ~ W)>
т,п=1 m=1 п=1 »
где uj = 3rS < 1, то в замкнутом множестве М2 существует единственный потенциал р такой, что для любых ш, п € N имеет место равенство цтп = £тп, где {Мтп}т,п=l = aiT +
В § 2.2. доказывается теорема существования решения обратной задачи для возмущенного оператора Лапласа на прямоугольнике.
15Нумерация утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.
Для решения задачи вводится множество М3 функций р из пространства ¿^(П), обладающих свойствами (2), (3) и НрН^п) < Несправедлива
Теорема 2.2.1. Если для последовательности комплексных чисел
существует подпоследовательность С та-
кая, что выполняются неравенства 00 Я
(1)ы = 2Г0Д2Х;-<1,
00 Е
¿=1
Л,<С(
то в М3 существует потенциал р такой, что для любого Ь € N имеет место равенство
Е Л(^) = Е
М«* 161«*
Также доказывается
Теорема 2.2.2. Если ¡3 > 1 и для последовательности комплексных чисел {£г}г^1 существует подпоследовательность С {ой}^! такая, что выполняются неравенства
~ А
¿=1
<к
00 £
«=г
£ - £
<2(1-»),
то в М3 существует потенциал р такой, что для любого < £ N имеет место равенство
Е 9М = Е
В § 2.3. доказывается теорема существования решения обратной задачи для возмущенной степени оператора Лапласа на п-мерном параллелепипеде Пп = {х = (х\,х2, ■ ■. ,хп) : 0 < х3 < —
1, ...,п}, о; > 0. Для решения задачи вводится множество М4 функций р из пространства (Пп), обладающих следующими свойствами:
р(а\ - хъ 13,..., хп) = - ^2, • • ■, хп) = ...
= р(хьХ2,...,а„- хп) = • • ■,
для почти всех (а^, %2, ■ ■ ■, х„) Е П„, (6)
J - ^ Р(Х = 0 при
НрИь^П,,) <
Цш, = 0, т, =0,1,..., (7)
го 2 '
(8)
Справедлива
п
Теорема 2.3.1. Если 0 > — и для последовательности комплексных чисел существует подпоследовательность С такая, что выполняются неравенства
ооЕ
t=\
Е - Е л(^)
К,!«*
то е М4 существует потенциал р, такой, что для любого £ 6 N имеет место равенство
Е = Е
Ы<с» |(,|<С4
Третья глава посвящена обратным спектральным задачам для возмущенного оператора Лапласа и его степеней на прямоугольных областях в случае краевой задачи Неймана. При этом специфика рассматриваемой задачи позволила ослабить требования к последовательности В каждом параграфе этой главы множества Мг (г = 1,2,3,4) определяются также как и в § 2.1 — 2.3.
В § 3.1. рассматривается возмущенная степень оператора Лапласа на прямоугольнике и доказывается следующая
3
Теорема 3.1.1. Если ¡3 > - и для последовательности комплексных чисел {£тп}т,п=о выполняется неравенство \
Е Iи - Атп|2 < -(1 - и>),
т,п=1
где ш = 3г5 < 1, то в М\ существует единственный потенциал р такой, что для любых т, п € N имеет место равенство: ¡лтп = €тп, где {Цтп}т,п=0 = + Р)-
В § 3.2. исследуется возмущенный оператор Лапласа на прямоугольнике, для которого доказана
Теорема 3.2.1. Если для последовательности комплексных чисел существует подпоследовательность {й}" х С такая, что выполняются следующие неравенства
" 'А
«=1
с*
НЕ'
4=1
Е ~ Е
то в Мз существует потенциал р такой, что для К, выбранно-
го в соответствии с нумерацией чисел А4 = имеет место равенство
7г2т2
ТГ2П2
Ь2
-, т,п €
Е = Е
где Ы-^аСГ + Р).
Штрих у суммы обозначает, что суммирование ведется по тем t, для которых тп,п> 0.
В § 3.3. изучается возмущенная степень оператора Лапласа на п-мерном прямоугольном параллелепипеде и доказывается
71
Теорема 3.3.1. Если /3 > — и для последовательности комплексных чисел существует подпоследовательность С такая, что выполняются следующие неравенства:
(г)ш = 2п-1г0Е2У'^<1
Гл
(н)Е'
¿=1
¿=1
с*
Е - Е
161«*
то в М4 существуем потенциал р такой, что для * е выбранного е соответствии с нумерацией чисел ^ = [ —] > причем т3 £ М, имеет место равенство
3=1
Е ЯМ = Е
гй = *(Т + Р).
Штрих у суммы обозначает, что суммирование ведется но тем Ь. для которых т^ > 0.
Благодарности
Автор выражает искреннюю благодарность академику РАН, доктору физ -мат наук Садовничему Виктору Антоновичу и своему научному руководителю кандидату физ.-мат. наук Седову Андрею Ивановичу за постановку задачи, ценные советы и конструктивные замечания, ректорату, кафедре математического анализа и кафедре прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета за поддержку и интерес к работе.
Работа посвящается светлой памяти моего отца Владимира Васильевича Дубровского
Список публикаций по теме диссертации
[1] Садовничий В.А., Дубровский В.В., Дубровский В.В. (мл) Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом на прямоугольнике // Докл. РАН.
2001. Т. 377. - № 3. - С. 310 - 312.
[2] Садовничий В.А., Дубровский В.В., Дубровский В.В. (мл.), Пузанкова Е.А. О восстановлении потенциала в обратной задаче спектрального анализа // Докл. РАН. - 2001. - Т. 380. -№ 4. - С. 462 - 464.
[3] Дубровский ВВ., Дубровский В.В. (мл.) К теореме существования решения обратной задачи спектрального анализа // УМН. - 2001. - Т. 56. - Вып. 1. - С. 161 - 162.
[4] Дубровский В.В.(мл.) Восстановление потенциала на параллелепипеде в обратной задаче спектрального анализа по спектру // Вестник МаГУ. Математика. - Вып. 4. - Магнитогорск: МаГУ, 2003. - С. 39 - 48.
[5] Седов А.И., Дубровский В В.(мл.) К обратной задаче для возмущенного оператора Лапласа с потенциалом на прямоугольнике // Современные проблемы физики и математики Труды всерос. научн. конф. - Стерлитамак, 2004. - Т. I. - С. 103 - 108
[6] Седов А.И , Дубровский В.В. (мл.) Обратная задача спектрального анализа для одного дифференциального оператора в частных производных с неядерной резольвентой // Электромагнитные волны и электронные системы - 2005. - Т. 10 - № 1 2. С. 4 - 9.
[7] Дубровский В.В. (мл.) К обратной спектральной задаче для степени оператора Лапласа с неядерной резольвентой на п-мерном параллелепипеде // Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. второй всерос. научн. конф. 1-3 июня 2005. - Самара, 2005. - С. 89 - 92.
[8] Дубровский В.В. (мл.) К обратной спектральной задаче для дифференциального оператора Лапласа, порожденного крае-
вой задачей Неймана // Наука - вуз - школа: Сб. науч. тр. молодых исследователей / Под ред. З.М. Уметбаева, A.M. Колобовой - Магнитогорск: МаГУ, 2005. - Вып. 10. - С. 360 -363.
[9] Дубровский В.В. (мл.) Обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов в частных производных / В.В.Дубровский (мл.); Магнитогорск, гос. ун-т. - Магнитогорск, 2005. - 78 с. - Деп. в ВИНИТИ. 13.07.2005, Л» 1021-В2005.
[10] Седов А.И., Дубровский В.В.(мл.) Обратная задача для степени оператора Лапласа с симметричным потенциалом на прямоугольнике // Вестник МаГУ. Математика. - Вып. 6. - Магнитогорск: МаГУ, 2005. - С. 53 - 65.
и
I
I i
I
I 'i
и
ш
Ч/
ДООбД &В38 Р - 8 8 3 Ъ
Регистрационный № 1348 от 09.03.2004 г. Подписано в печать 20.04.2006 г. »»
Формат 60х84'/1б. Бумага тип № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,00. Уч.-изд л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ № 235. Бесплатно.
Издательство Магнитогорского государственного университета 455038, Магнитогорск, пр. Ленина, 114 Типография МаГУ
Обозначения и соглашения
Введение
Глава 1. Вспомогательные утверждения
§ 1.1. Предварительные сведения.
§ 1.2. Оператор Лапласа и его степень.
§ 1.3. Об одной аналитической функции.
§1.4. Некоторые свойства одной числовой последовательности
§ 1.5. Основные спектральные тождества
Глава 2. Обратные спектральные задачи для возмущенного оператора Лапласа и его степеней в случае краевой задачи Дирихле
§ 2.1. Возмущенная степень оператора Лапласа с потенциалом на прямоугольнике.
§ 2.2. Возмущенный оператор Лапласа с потенциалом на прямоугольнике
§ 2.3. Возмущенная степень оператора Лапласа с потенциалом на п-мерном параллелепипеде.
Глава 3. Обратные спектральные задачи для возмущенного оператора Лапласа и его степеней в случае краевой задачи Неймана
§ 3.1. Возмущенная степень оператора Лапласа с потенциалом на прямоугольнике.
§ 3.2. Возмущенный оператор Лапласа с потенциалом на прямоугольнике
§ 3.3. Возмущенная степень оператора Лапласа с потенциалом на п-мерном параллелепипеде.
Диссертация посвящена решению обратных задач спектральной теории для дифференциальных операторов в частных производных. Под обратными задачами спектрального анализа понимают задачи восстановления возмущающего оператора по его некоторым заданным спектральным характеристикам, к которым можно отнести спектры при различных краевых условиях, спектральную функцию, нормировочные числа и т.д.
Постановка задачи. В сепарабельном гильбертовом пространстве 1>2(П) рассмотрим оператор То, определяемый краевой задачей Дирихле либо краевой задачей Неймана для однородного уравнения Гельмгольца, где П — прямоугольная область, у которой отношение квадратов сторон — иррациональное число. где -Е'(А) — спектральное разложение единицы оператора То, /3 > 1, X13 > О при А > 0.
Пусть Р — действующий в 1/2 (П) оператор умножения на вещественную функцию р 6 1/2 (П). Оператор Р называется оператором возмущения, а функция р — потенциалом.
Обозначим через {Аг}^ последовательность однократных собственных чисел оператора Т, занумерованных в порядке возрастания их величин, а через {¿¿г}^ — последовательность собственных чисел оператора Т + Р, занумерованных в порядке возрастания их оо
Введем степень оператора То, т. е. оператор Т = о действительных частей с учетом кратности. Оператор Т + Р называется возмущенным оператором.
Рассмотрим следующую обратную задачу спектрального анализа пусть дана последовательность комплексных чисел близких в некотором смысле к собственным числам Л{. При различных (3 > 1 требуется доказать
ОЗ) существование и единственность оператора Р такого, что спектр а(Т + Р) совпадает с последовательностью
Актуальность темы диссертации. Центральное место в исследовании обратных задач занимают проблемы существования и единственности решения. Что касается проблемы существования, то и до настоящего времени нет четких критериев глобального решения данного вопроса. Имеются ряд теорем существования для малых потенциалов, но даже в этом случае задачи не были полностью решены. Это связано со значительными математическими трудностями, вызванными нелинейностью уравнений, к которым сводятся обратные задачи. Нужно также заметить, что многие обратные задачи имеют неединственное решение. Поэтому одним из основных вопросов в исследовании проблемы единственности является выявление дополнительных условий, обеспечивающих единственность решения обратной задачи. Основная идея приложений обратных задач заключается в следующем: по результатам измерений определенных спектральных характеристик пытаются получить информацию об интересующих физических величинах. Обратные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют множество приложений в естествознании, например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, в радиоэлектронике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний, в геофизике и т. д.
В настоящее время теория обратных спектральных задач интенсивно развивается благодаря появлению новых приложений в естественных науках.
Историография вопроса. Наиболее полно изучены обратные спектральные задачи для оператора Штурма — Лиувилля
Ту = -у" + д(х)у. (0.0.1)
Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Амбар-цумяну [81]. Он доказал следующую теорему:
Пусть A0<A1<A2<. собственные значения задачи Штурма — Лиувилля
-У" + Ч{х)у = А у, у\0) = у'( 7г) = 0, где ц £ С[0,7г]. Если Хп = п2, п = 0,1,.то ц = 0.
Однако результат В.А. Амбарцумяна является скорее исключением, и одного спектра, как выяснилось впоследствии, недостаточно для однозначного восстановления оператора (0.0.1).
В связи с этим, в дальнейших исследованиях по решению обратных задач спектрального анализа помимо спектра задавались еще и дополнительные спектральные характеристики. Обычно используют спектральные данные {Ап,ап}п>о, где Ап — собственные числа, ап = / (р2(х, Ап)с1х — нормировочные (весовые) числа, <р(х, Лп) — соб-х ственные функции краевой задачи.
Вместо спектральных данных часто задают спектральную функцию, которая для классической задачи Штурма — Лиувилля есть функция скачков
Р(А) = Е функцию Вейля, которая для той же задачи имеет вид оо ^ или ее обобщение — матрицу Вейля. Из этих спектральных характеристик однозначно определяют другие. Опишем основные методы использующие эти спектральные данные.
Метод операторов преобразования. Впервые операторы преобразования появились в теории обобщенного сдвига в работе Б.М. Левитана [37]. Операторы преобразования для произвольных уравнений Штурма — Лиувилля были построены А.Я. Повзнером [49] и использовались при решении обратных задач И.М. Гельфандом [15], Б.М. Левитаном [36], В.А. Марченко [46] и др. Основной результат фундаментальной работы В.А. Марченко [47] заключается в следующем: спектральная функция оператора Штурма — Лиувилля определяет этот оператор. Для дифференциальных операторов высших порядков с интегрируемыми коэффициентами
71—2
Ту = у{п)+ п > 2
3=О обратная задача более сложна для изучения по сравнению с оператором Штурма — Лиувилля. В различных постановках она исследовалась в работах А.Ф. Леонтьева [42], М.К. Фаге [66], И.Г. Хача-тряна [69], где выяснено, что оператор преобразования при п > 2 имеет сложную структуру, что затрудняет его использование для решения обратной задачи. Однако, в случае аналитических коэффициентов операторы преобразования имеют такой же "треугольный" вид, как и для оператора Штурма - Лиувилля ([59], [69]). В частности, М.Г. Гасымов [12], И.Г. Хачатрян [72] исследовали обратную задачу восстановления самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по спектральной функции, а также обратную задачу рассеяния с помощью "треугольного" оператора преобразования.
Более универсальным методом в теории обратных задач является метод спектральных отображений. Он позволяет эффективно исследовать обширный класс обратных задач для дифференциальных операторов произвольных порядков, дифференциальных операторов с особенностями и точками поворота, пучков дифференциальных операторов и многих других. Метод спектральных отображений можно рассматривать как вариант метода контурного интеграла, адаптированный к решению обратных задач. Заключается он в применении интегральной формулы Коши к специально построенной по спектральным данным аналитической по А функции. Тем самым сводят обратную задачу к основному уравнению, которое является линейным в соответствующем банаховом пространстве последовательностей. Идеи метода контурного интеграла к исследованию обратных задач для случая оператора Штурма — Лиувилля первым применил Н. Левинсон [84]. Дальнейшее развитие метод получил в работах Е.А. Барановой [3], [4], З.Л. Лейбензона [39] - [41], М.М. Маламуда [44], В.А. Юрко [76], [77], [79] и др.
В методе эталонных моделей строится последовательность модельных операторов, которые, в опреденном смысле, приближают искомый оператор и позволяют строить потенциал "шагами". Метод дает эффективный алгоритм решения обратной задачи и работает для многих важных классов обратных задач, в то время как другие методы оказываются неприменимыми. Например, В.А. Юрко [78] исследовал так называемые неполные обратные задачи для дифференциальных операторов высших порядков, когда только некоторая часть спектральной информации доступна для измерения, но имеется априорная информация об операторе или его спектре. Однако этот метод можно применять при довольно сильных ограничениях на оператор. Например, для оператора Штурма — Лиувилля метод работает в классах кусочно-аналитических потенциалов.
Четвертый метод решения обратных задач носит имя шведского математика Г. Борга. В своей работе [82] Г. Борг предложил совершенно иную постановку обратной задачи: найти потенциал по двум известным спектрам двух краевых задач с общим дифференциальным оператором и одним общим краевым условием. В методе Борга обратная задача сводится к нелинейному интегральному уравнению, которое может быть решено локально. Для вывода и исследования нелинейного уравнения Борга используется полнота или базисность по Риссу произведения собственных функций рассмотренных краевых задач. Хотя для операторов Штурма — Лиувилля метод Борга слабее, чем возникший позднее метод спектральных отображений, однако он оказывается полезным, когда другие методы не работают, как, например, в работах [55], [69].
Теория обратной задачи Штурма — Лиувилля изложена в монографиях Б.М.Левитана, Б.М.Левитана и И.С. Саргсяна [36], [38], В.А. Марченко [47].
Обратные задачи для уравнений с частными производными исследовались в работах Ю.Е. Аниконова [1], А.Л. Бухгейма [8], [9], М.М. Лаврентьева [33], [35], Л.П. Нижника [48], А.И. Прилепко [85], А.Г. Рамма [50], В.Г. Романова [52], [53], К. Шадана [74], Л.Д. Фаддеева [68] и других математиков.
Обратная спектральная задача для оператора Лапласа с потенциалом была впервые поставлена Ю.М. Березанским в работах [5], [6]. В работе [6] было доказано, что в уравнении, заданном в некоторой конечной или бесконечной области С? трехмерного пространства,
Аи + с(р)и = А и, 1тс(р) = 0 с граничным условием ди ! \ — + а(р)и = 0, где сг(р) — непрерывная вещественная функция точки р на границе Г области О, спектральная функция р(р1 q, Л) (р, € I, —оо < Л < оо) однозначно определяет коэффициент с(р) в классе кусочно - аналитических коэффициентов, а также граничное условие на некоторой части границы Г, т. е. функцию сг(р). Таким образом, Ю.М. Бере-занский связывает решение многомерной обратной задачи с ее спектральной функцией. В этой же работе Ю.М. Березанский отмечает, что, к сожалению, так и не найден "эффективный" метод восстановления потенциала.
Дальнейшее развитие теория обратных задач для оператора Лапласа с потенциалом получила в работах В.А. Садовничего, В.В. Дубровского и их учеников [10], [24] - [30], [55] [56], [60].
В работе [55] доказана теорема единственности решения обратной задачи только по одному спектру для абстрактных операторов и при условии "малости" возмущающего оператора. Результаты применяются к степени оператора Лапласа, заданного на прямоугольнике П с потенциалом из 1>2(П). К этой работе по своей тематике и методам примыкает статья [25]. Здесь сформулированы условия, при которых потенциал может быть восстановлен в классе ограниченных по максимуму функций. В работах [27], [28] разработан метод восстановления потенциала по спектру невозмущенного оператора и доказана его единственность. Результаты этих работ можно сформулировать следующим образом.
Рассмотрим в 1^2 (П) краевую задачу:
Ау = г>|дп = 0, 13 где То = —А — оператор Лапласа, dli — граница прямоугольника а2
П = {(х, у) : 0 < х < а, 0 < у < &}, — иррациональроо ное число). Введем оператор Т= Xl3dE(X) и обозначим через
J о vkmn (k,m,n = 1,2,.) его собственные ортонормированные функции, отвечающие собственным значениям А^тп, расположенным в порядке возрастания. Обозначим dk = min |А& —As|. Пусть Р — оператор умножения на функцию р Е L2 (П), удовлетворяющую условиям р(а - х, у) = р(х, у) = р(ж, Ь - у) для п. в.(х, у) € П, (0.0.2)
JJ р(х, у) cos ^ dxdV = JJ р(х1 у)cos dxdy = m, п = 0,1,., сю). (0.0.3)
N N
Если /? > 3, У^с1к1 < оо и ^ — Ад.| < Се ^ < оо), то в за-к=1 к=1 мкнутом шаре С/(0, ¿г) = {р{х,у) : ||р|коо(п) < £} существует один и только один потенциал, удовлетворяющий условиям (0.0.2), (0.0.3) и такой, что числа & являются собственными значениями оператора Т + Р. Если же в качестве оператора возмущения Р рассмотреть оператор умножения на функцию р € Ь2(П), удовлетворяющую условию (0.0.2) и
Лр(х,у)(1х(1у = 0, (0.0.4) то при Р > 2, 5 для последовательности чисел
6 = ^ктп +ОСт + Рп+ 7тп, такой, что
ОО ОО 1 ОО ]
ЕЫ' + Е^2)*^1' ( Е Ь™\2У<62, т= 1 п=1 т,п—1 где ¿1 = ¿1(У), 62 = 62(е), в шаре 11(0, е) = {р(х,у) : ||р||ь2(п) < е} существует единственный потенциал, удовлетворяющий условиям (0.0.2), (0.0.4) и такой, что числа ^ являются собственными значениями оператора Т + Р.
В работе [29] исследуется устойчивость решений обратных задач, полученных в [27], [28].
В статьях [27], [28], [29], [55] рассматривались операторы, которые имеют ядерную резольвенту. Для того чтобы обеспечить ядер-ность резольвенты, вводилась степень оператора Лапласа. Однако, в квантовой механике практический интерес представляют именно операторы, полученные из оператора Лапласа в результате "малого" возмущения, а не их степени. Поэтому задача по уменьшению показателя степени (5 является весьма актуальной. Но при ¡3 = 1 резольвента оператора Лапласа становится неядерным оператором и решение поставленной задачи значительно усложняется.
Данная диссертация лежит в русле упомянутых выше исследований по изучению обратных задач для оператора Лапласа с потенциалом.
Целью данной работы является доказательство теорем существования и единственности решения обратных спектральных задач для возмущенного оператора Лапласа и его степеней, порожденного краевой задачей Дирихле либо краевой задачей Неймана на прямоугольнике и многомерном параллелепипеде.
Методы исследования. Для решения поставленной задачи используются методы теории регуляризованных следов операторов, разработанные научной школой академика РАН В.А. Садовничего, теории возмущений, спектрального и функционального анализа.
Научная новизна. Результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми и состоят в следующем:
1. Доказаны теоремы существования и единственности решения обратных задач для возмущенной степени оператора Лапласа с ядерной резольвентой, причем этот оператор задается на прямоугольнике либо краевой задачей Дирихле, либо Неймана.
2. Доказаны теоремы существования решения обратных задач для возмущенного оператора Лапласа с неядерной резольвентой, при этом оператор Лапласа задается на прямоугольнике либо краевой задачей Дирихле, либо Неймана.
3. Доказаны теоремы существования решения обратных задач для возмущенной степени оператора Лапласа с неядерной резольвентой, причем данный оператор задается на многомерном параллелепипеде либо краевой задачей Дирихле, либо Неймана.
Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих одиннадцать параграфов, и списка литературы. Во Введении приводится постановка задачи, формулируются цели диссертации, описываются методы исследования, дается обзор работ, относящихся к теме диссертации, и кратко изложено содержании диссертации.
1. Апиконов, Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений / Ю.Е. Аниконов. - Новосибирск: Наука, 1978. - 118 с.
2. Аткиисои, Н.Д. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Н.Д. Аткинсон. М.: Мир, 1968. - 350 с.
3. Баранова, Е.А. О восстановлении дифференциальных операторов высших порядков по их спектрам / Е.А. Баранова // ДАН СССР. 1972. - Т. 205, № 6. - С.1271 - 1273.
4. Баранова, Е.А. Об обратной задаче спектрального анализа для одного класса задач с параметром в краевых условиях /Е.А. Баранова // Дифференц. уравнения 1972. - Т. 7, № 8. - С.2130 - 2139.
5. Березанский, Ю.М. Об обратной задаче спектрального анализа для для уравнения Шредингера /Ю.М. Березанский // ДАН СССР.- 1955.- Т. 105, № 2.- С.197 200.
6. Березанский, Ю.М. О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера /Ю.М. Березанский // Труды Моск. математ. о-ва.- 1958.- Т. 7 С.З -51.
7. Бехери, С.Э. О восстановлении регулярного двучленного оператора произвольного четного порядка по спектру /С.Э. Бехери, А.Р. Казарян, И.Г. Хачатрян // Уч. зап. Ереванского ун-та. Естеств. науки.- 1994.- Т. 181, № 2.- С.8 22.
8. Бухгейм, A.JI. Уравнения Вольтерра и обратные задачи / A.JI. Бухгейм. Новосибирск: Наука, 1983. - 207 с.
9. Бухгейм, A.JI. Введение в теорию обратных задач / A.JI. Бухгейм. Новосибирск: Наука, 1988. - 181 с.
10. Великих, A.C. Обратные задачи спектрального анализа: : ав-тореф. дис. канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 / A.C. Великих. -Владимир, 1999. 16 с.
11. Гасимое, М.Г. Определение уравнения Штурма Лиувилля с особенностью по двум спектрам / М.Г. Гасымов // ДАН СССР.- 1965. Т. 161, № 3.- С.274 - 276.
12. Гасымов, М.Г. Обратная задача рассеяния для системы уравнений Дирака порядка 2п / М.Г. Гасымов // Труды Моск. матем. о-ва. - 1968. - Т. 19. - С.41 - 119.
13. Гасымов, М.Г. Единственность решения обратной задачи теории рассеяния для одного класса обыкновенных дифференциальных операторов четного порядка / М.Г. Гасымов // ДАН СССР. 1982. - Т. 266, № 5 - С.1033 - 1036.
14. Гасымов, М.Г. Определение дифференциального оператора по двум спектрам / М.Г. Гасымов, Б.М. Левитан // УМН. 1964.- Т. 19, № 2. С.З - 63.
15. Гельфанд, И.М. Об определении дифференциального уравне-. ния по его спектральной функции / И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан // Известия АН СССР, сер. матем. 1951. - Т. 15. - С.309- 360.
16. Гласко, В.Б. Обратные задачи математической физики / В.Б. Гласко. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 112 с.
17. Гохберг, И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И.Ц. Гохберг, И.Г. Крейн. М.: Наука, 1965.- 448 с.
18. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Дан-форд, Дж. Т. Шварц. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 896 с.
19. Данфорд, Н. Линейные операторы. Спектральная теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 1064 с.
20. Денисов, A.M. Введение в теорию обратных задач / A.M. Денисов. М.: Изд-во МГУ, 1994. - 208 с.
21. Денисов, A.M. Единственность решения некоторых обратных задач / A.M. Денисов // ЖВМ и МФ. 1982. - Т. 22, № 4. -С.858 - 864.
22. Дубровский, B.B. Теория возмущений и следы операторов: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / В.В. Дубровский; МГУ М., 1992. - 145 с.
23. Дубровский, В. В. К асимптотике спектральной функции дифференциальных операторов в LP(M) / B.B. Дубровский // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, № 1. - С.69 - 75.
24. Дубровский, В.В. Восстановление потенциала по собственным значениям разных задач / В.В. Дубровский // УМН. 1997. -С.155 - 156.
25. Дубровский, В.В. Теорема о единственности решения обратных задач спектрального анализа / В.В. Дубровский // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33, № 3. - С.421 - 422.
26. Дубровский, В. В. Обратные задачи спектрального анализа и интерполяция по JI. Карлесону / В.В. Дубровский // Математ. заметки. 2001. - Т. 70, № 3. - С.468 - 471.
27. Дубровский, В.В. К обратной задаче для оператора Лапласа с непрерывным потенциалом / В.В. Дубровский, A.B. Нагорный // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 9. - С.1563 - 1567.
28. Дубровский, В. В. Обратная задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из L2 / В.В. Дубровски! i, A.B. Нагорный // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, № 9. - С.1552 - 1561.
29. Дубровский, B.B. Устойчивость решения обратных задач / В.В. Дубровский, A.B. Нагорный // Дифференц. уравнения. 1992.- Т. 28, № 5. С.839 - 843.
30. Дубровский, В. В. Теорема о существовании решения обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа / В.В. Дубровский, A.C. Великих // Электромагнитные волны и электронные системы. 1998. - Т. 3, № 5. - С.6 - 9.
31. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като.- М.: Мир, 1972. 740 с.
32. Курант, Р. Методы математической физики. Т. 1. / Р. Курант, . Д. Гильберт. М.: ГТТИ, 1933. - 476 с.
33. Лаврентьев, М.М. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений / М.М. Лаврентьев, В.Г. Васильев, В.Г. Романов. Новосибирск: Наука, 1969. - 68 с.
34. Лаврентьев, М.М. Одномерные обратные задачи математической физики / М.М. Лаврентьев, К.Г. Резницкая, В.Г. Яхно. -Новосибирск: Наука, 1982. 88 с.
35. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа /М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишат-ский. М.: Наука, 1980. - 286 с.
36. Левитан, Б.М. Обратные задачи Штурма Лиувилля / Б.М. Левитан. - М.: Наука, 1984. - 240 с.
37. Левитан, Б.М. Теория операторов обощенного сдвига / Б.М. Левитан. М.: Наука, 1973. - 312 с.
38. Левитан, Б.М. Операторы Штурма Лиувилля и Дирака / Б.М. Левитан, И.С. Саргсян. - М.: Наука, 1988. - 432 с.
39. Лейбензон, З.Л. Единственность решения обратной задачи для обыкновенных дифференциальных операторов порядка и преобразования таких операторов / З.Л. Лейбензон // ДАН СССР. 1962. - Т. 142, № 3. - С.534 - 537.
40. Лейбензон, З.Л. Обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов высших порядков / З.Л. Лейбензон // Труды моек, матем. о-ва, 1966. К2 15. - С.70 - 144.
41. Лейбензон, З.Л. Спектральные разложения отображений систем краевых задач / З.Л. Лейбензон // Труды моек, матем. о-ва. 1971. - № 25. - С.15 - 58.
42. Леонтьев, А. Ф. Оценка роста решения одного дифференциального уравнения при больших значениях параметра / А.Ф. Леонтьев // СМЖ. 1960. - № 3. - С.456 - 487.
43. Лидский, В.Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след / В.Б. Лидский // ДАН СССР. 1959. - Т. 125. № 3. - С.485 -487.
44. Маламуд, М.М. Подобие вольтерровых операторов и смежные вопросы теории дифференциальных уравнений дробных порядков / М.М. Маламуд // Труды Моск. матем. об-ва. 1994. — № 55. - С.73 - 148.
45. Маламуд, М.М. Вопросы единственности в обратных задачах для систем дифференциальных уравнений на коненом интервале / М.М. Маламуд // Труды Моск. матем. о-ва. 1999. - № 60. - С.199 - 258.
46. Марченко, В.А. Спектральная теория операторов Штурма -Лиувилля / В.А. Марченко. Киев: Навукова Думка, 1972. -220 с.
47. Марченко, В.А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложения / В.А. Марченко. - Киев: Навукова Думка, 1977. - 350 с.
48. Нижник, Л.П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений / Л.П. Нижник. Киев.: Наукова думка, 1991.- 232 с.
49. Повзнер, А.Я. О дифференциальных операторах типа Штурма- Лиувилля на полуоси / А.Я. Повзнер // Математ. сб. 1948. 23(65). - С.З - 52.
50. Рамм, А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния / А.Г. Рамм. М.: Мир, 1994. - 496 с.
51. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. С.-Надь. М.: Изд-во иностр. лит., 1954. - 499 с.
52. Романов, В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа / В.Г. Романов. Новосибирск: Наука, 1972. - 164 с.
53. Романов, В.Г. Обратные задачи математической физики / В.Г. Романов. М.: Наука, 1984. - 263 с.
54. Садовничий, В.А. Теория операторов / В.А. Садовничий. М.: Высшая школа, 1999. - 368 с.
55. Садовничий, В.А. О некоторых свойствах операторов с дискретным спектром / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15, № 7. - С.1206 - 1211.
56. Садовничий, В.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на прямоугольнике / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Е.А. Пузанкова // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, № 12. - С.1695 - 1698.
57. Садовничий, В.А. Регуляризованный след оператора с ядерной резольвентой, возмущенного ограниченным / В.А. Садовничий, C.B. Конягин, В.Е. Подольский // Докл. РАН. 2000. - Т. 373, № 1. - С.26 - 28.
58. Садовничий, В.А. О корректности обратной задачи Штурма -Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями / В.А. Садовничий, Я.Т. Султанаев, A.M. Ахтямов // Докл. РАН. 2004. - Т. 395, № 5. - С. 592 - 595.
59. Сахнович, Л. А. Обратная задача для дифференциальных операторов порядка п > 2 с аналитическим коэффициентами / JI.A. Сахнович // Мат. сб. 1958. Т. 46 (88), № 1. - С.61 - 76.
60. Смирнова, JI.B. Математическая модель восстановления гладких потенциалов в обратных задачах спектрального анализа: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук : 05.13.18 / JI.B. Смирнова. Челябинск, 2002. - 16 с.
61. Сташевская, В. В. Об обратных задачах спектрального анализа для одного класса дифференциальных уравнений / В.В. Ста-шевская, // ДАН СССР. 1953. Т. 93, № 3. - С.409 - 412.
62. Султанаев, Я.Т. Асимптотическое поведение решений сингулярного уравнения Штурма Лиувилля / Я.Т. Султанаев // Доклады РАН. - 1994. Т. 335, № 6. - С.67 - 70.
63. Титчмарш, Э. Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка / Э.Ч. Титчмарш. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. - 555 с.
64. Тихонов, А.Н. О единственности решения задачи электоразвед-ки / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский // ДАН СССР. 1949. - Т. 69, № 6. - С.797 - 800.
65. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М.: Наука. 1986. - 288 с.
66. Фаге, М.К. Интегральные представления операторно-аналитических функций одной независимой переменной / М.К. Фаге // Труды Моск. матем. о-ва. 1959. - Т. 8. - С.З -48.
67. Фазуллин, З.Ю. Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора / З.Ю. Фазуллин, Х.Х. Муртазин // Ма-темат. сборник. 2001. - Т. 192, № 5. - С.87 - 124.
68. Фаддеев, Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния / Л.Д. Фаддеев // УМН. 1959. - Т.14, № 4. - С.57 - 119.
69. Хачатряи, И. Г. О восстановлении дифференциального уравнения по спектру / И.Г. Хачатрян // Функцион. анализ и его прилож. 1976. Т. 10. № 1. - С. 93 - 94.
70. Хачатрян, И. Г. Об операторах преобразования для дифференциальных высших порядков / И.Г. Хачатрян // Изв. АН Арм. ССР, сер. матем. 1978. Т. 13. № 3. - С. 215 - 237.
71. Хачатрян, И. Г. О единственности восстановления дифференциального оператора с аналитическими коэффициентами по его спектральной матрице-функции / И.Г. Хачатрян // ДАН Арм. ССР. 1980. Т. 71. № 2. - С. 91 - 97.
72. Хачатряи, И. Г. О некоторых обратных задачах для дифференциальных операторов высших порядков на полуоси / И.Г. Хачатрян // Функцион. анализ и его прилож. 1983. - Т. 17, № 1. - С. 40 - 52.
73. Хермандер, Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. (Псевдодифференциальные операторы) / Л. Хермандер. М.: Мир, 1987. - 470 с.
74. Шадан, К. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния / К. Шадан, П. Сабатье. М.: Мир, 1980. - 408 с.
75. Шубин, М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория / М.А. Шубин. М.: Наука, 1978. - 280 с.
76. Юрко, В. А. О восстановлении дифференциальных операторов четвертого порядка / В.А. Юрко // Дифференц. уравнения. -1983. № 11. - С. 2016 - 2017.
77. Юрко, В.А. Единственность восстановления двучленных дифференциальных операторов по двум спектрам / В.А. Юрко // Математ. заметки. 1988. - № 43. вып. 3. - С. 356 - 364.
78. Юрко, В.А. Восстановление дифференциальных операторов высших порядков / В.А. Юрко // Дифференц. уравнения. -1989. Т. 25. № 9. - С. 1540 - 1550.
79. Юрко, В.А. Обратная задача для дифференциальных операторов / В.А. Юрко. Саратов: Изд-во СГУ, 1989. - 176 с.
80. Юрко, В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения / В.А. Юрко. Саратов: Изд-во СГПИ, 2001. - 499 с.
81. Ambarzumian, V.A. Ueber eine Frage der Eigengwerttheorie / V.A. Ambarzumian // Zeits.f. Phisik. 1929. - № 53. - S. 690- 695.
82. Borg, G. Eine Umkehrung der Sturm Liouvilleschen Eigenwertaufgabe / G. Borg // Acta Math. - 1946. - Bd. 78. №. - S. 1 - 90.
83. Isakov, V. Inverse Problems for Partial Differential Equatuons / V. Isakov // Springer-Verlag, New-York. 1998. 360 p.
84. Levinson, N. The inverse Sturm Liouville problem / N. Levinson // Math. Tidssk. - B. 1949. - P. 25 - 30.
85. Prilepko, A.I. Methods for solving inverse problems in mathematical physics / A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin 11 Marcel Dekker, New York. 2000. 723 p.
86. Yurko, V.A. On higher-order differential operators with a singular point / V.A. Yurko 11 Inverse Problems. 1993. - V. 9. - P. 495- 502.
87. Yurko, V.A. An inverse problems for operators of a triangular structure / V.A. Yurko // Result in Mathematics. 1996. - V. 30. - P. 346 - 373.Публикации автора по теме диссертации
88. Дубровский, В.В. (мл.) Восстановление потенциала на параллелепипеде в обратной задаче спектрального анализа по спектру / В.В. Дубровский (мл.) // Вестник МаГУ. Математика. 2003. Вып. 4. - С. 39 - 48.
89. Дубровский, В. В. (мл.) Обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов в частных производных /В.В.Дубровский (мл.); Магнитогорск, гос. ун-т. Магнитогорск, 2005. - 78 с. - Деп. в ВИНИТИ. 13.07.2005, № 1021-В2005.
90. Дубровский, В. В. К теореме существования решения обратной задачи спектрального анализа / В.В. Дубровский, В.В. Дубровский (мл.) // УМН. 2001. - Т. 56, Вып. 1. - С. 161 - 162.
91. Садовничий, В.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом на прямоугольнике / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, В.В. Дубровский (мл.) // Докл. РАН. 2001. - Т. 377, № 3. - С. 310 - 312.
92. Садовничий, В.А. О восстановлении потенциала в обратной задаче спектрального анализа / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, В.В. Дубровский (мл.), Пузанкова Е.А. // Докл. РАН. -2001. Т. 380. № 4. - С. 462 - 464.
93. Седов, А.И. Обратная задача для степени оператора с симметричным потенциалом / А.И. Седов, В.В. Дубровский (мл.) //Вестник МаГУ. Математика. 2005. Вып. 6. - С. 53 - 65.
