Случайные колебания нелинейных механических систем релейного типа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

pro ОД/ 'Г ^ 1 - - »

ОАШ'-ШШ^'ГСКД ГОСШРСГБШНЫЙ ТЕШЧЁОКИЙ УНИ85РСЮТ

На правах рутошии

а«ЯЦ 0Я8Г ИВАНОВИЧ

<ДОЧШШ КСДЕБАШШ НКЯШВЙШЯ МЕХАНИЧЕСКИ! СИСТЕМ РШЙНОГО ТИПА

Специй-тыле*!» ÖI.02.0I - ¥Осрв*ич9акяя мвзмимм

ABÎOfEMEPAÎ

даоoeptama яа оокскаянв учеяай ста пани кандидата физяко-nateaatirteoKM я»?it

Сяяет-ПатеГ'йург .1993

l'ator« выполнена в

у

1'вхнич<*скок уНйверек'.чгх-й

Синкт -Ueteîsijrproioîj r<«.ï да»1С-»иен!ые

Научкнй PlfKuiWAHTO.L - яо«тор тиаиичес*;« ujïï. nixKi^fi'--; • ' • Н.ОЛ'ИДЬЧЫОКЧв

Официальные опаонеиты - ййЙс-увмч-ояьнйл чаы, а*плчи-л# tijaacm.tm!

Росса», эдсДОанаЬыЬ диет.*:it, кауак m teaim*«: даато& re KK-w.i:t.ut. Яроч^осор И .Г UllJUA/Míi

- сандага* фйаиио-н.зтлиа+кчис*«* imy*,«,«.^ .ft.H.COfliitî

беяуйав ер1анмэЕЦй« - Вочиио-■niAHcnotmart йнсти-ííí

kut>!»hnj|0|>ojehhi ïîoâm и bw.üku* coobri'hüä

Зздн-fu соотонтси "...t^?.^. 1 р<36 г. 8 чяmm

йо заседании ямсеер-гчцкониого Сотетр Е 083 30,20 ¡3.п«те1*;у[>гс*<>1 г-осудмрсч-вонносо teiHBxecBoro университета по адресу UlbZM Г.С.Петербург, ул.Поля+ехничемчя, 24 В ' яуя-fi уч<шног

корпуср,

ГЧОИМЙ nt!lí№TÜPt

анссегтяаясишого Совет« К ОвЗ.38.20

в.и.посоя

ОБЩАЯ ХАРАКТЕ ¡НОТ Ж А РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория случайных колебаний принадлежит к числу перспективных направлений повременной прикладной механики. Вероятностная постановка задач механики общепринята в таких ей разделах, как прикладная гироскопия, теория транспортных машин, механика сейсмических явлений, механика зернистой среды, теория виброзашяты, теория надежности я многих других. Учтоды линейной статистической динамики детально разрчботанн и успешно применяются на практике. Между тем реальные системы, как правило, оодержат те или иные нвлинейнпти. В настоящее время разработка методов нелинейной теория существенно отстает от потребностей п^ктяки. Это относятся и к весьма важному для приложений массу яеляяей-яостей релейного типа (HFT), которые применяются для описания начальных несовершенств сю теш (зазоров, люфтов в кинематических цепях, трещин, предварительно.подаатнг пружяя а т.п.), оухого треияя, характеристик коррекции гироскопячеокях уотройотв, отключающихся воэмущеняй., длительности выбросов в яр« Данная тема была предложена автору А.А.Свешниковым.

■ Даль работы состоит в оиотематическом изучения статистической динамики систем релейного типа (СРТ), включая следуйте аспекта »той проблемы: обоснование механической постановки задачи} общий вывод уравнения Пугачева-Свешникова; существование я аналитичность его решения} метод рэаеяжя указанного урйвяэяяя} применение оФлей тооряя к конкретйкм прикладным задача«.

¡¿аучяад новизна, Обоснована цвлеоообряяноат» ввделепяя HFT в оом!мЯ масс нелияейноотей, отличатиюя в по вившему виду, я по методам яселвцошшя. Показана »йдктивяост* ив т<ми характеристической Фуяиим для стохастически СРТ. Для сЗве» СРТ едаедаио

-4~

уравнение Пугачева-Свешникова. Установлена связь этого уравнения о традиционно применяемым уравнением Фоккера-Планка-Колмого-рова. Доказаны тес. зш существования и аналитичности решения. Разработан аналитический метод решения уравнения Пугачева-Свешникова. Применительно к релейным системам выделены три специальных их класса, для которых задача разрешима аналитически. О единнх позиций. я по единообразной методике решен целый ряд конкретных прикладных задач. Проведено сравнение точного решения о приближенным, полученный методом статистической линеаризации.

Практическая ценность работи соотоит Ь тем, что ей результаты позволяю» аналитически рашиН целый класс практач&скя аиачямш нелинейны* ото^шотачеоких аадач.

Апробации забота. Результаты диосертацм докладывались на международном конгрессе по компьютерным системам в прикладной »га-тематика (Саяк*-Пегер($ург, 1993)} семинаре памяти А.А.Свешникова (Ленинград, ЛЙТМС 1582)1 обсуждались на X боеооюаном научном семинаре "Метода потенпала а конечны! элементов в автоматизированных иоолздовайкях иияанврню конструкций" (Ленинград, 1989) I на вовсоюзном семинаре "Актуальные проблемы механики" (Санкт-Петербург, 1991)! на озкции строительной механики и сопротивления материалов им. Ё.К.Снатко Санкт-Петербу^гокого Дома учены* РАН (1988-1998)) па семинаре "Проблемы механики аернистнх сред" (Санкт-Петербург, 1993)$ яа научних оемадараг кафедрн прикладной математики Саякг-Петерйургокого геоударотвэияого технического университета (1878-1694). -.,•

: Публикации. По материалам диооертвдш опубликовано 16 ивчат-жх работ. <

Структура я объем работа. Даоеертацяя состоит я? введения, -а-

трех глав, заключения, описка литературы (152 наименования) и приложений; содержит б таблиц. Объём основной части диссертации 208 страниц, приложений - 33 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Евэденад обооновываетоя актуальность тэмг освещается история вопроса, дается краткая характерно тика разделов диссертации в сформулированы положения, выносимые на защиту.

Первая глава яылвтоя вводной и содержат материал, необходимый для пояснения механического гмнола задачи, е8 математичеокоЙ постановки я целей дальнейшего изложения. Приводится вероятноот-вое описание наиболее важных видов случайных воздействий естественного происхождения: нерегулярного волнения моря, неровностей автодорог, сейсмического воздействия я др. Акцент делается на том, что употребительные в приложениях модели подобных возмущений допускают применение теория марковских процессов. Дается оволка основных формул »той теории. В коялэ главы помещен обзор конкретных механических задач, оформленный в виде сводной таблица, вялшаяяэй уравнения дветейяя оютемн, ях мвханачеокув трактовку, библиографический источник, тип еяогемы по кллосифя-кшги автора.

Вторая у дави » осяойяая в диссертационной работе в Является аекоячаиянм введением в статистическую динамику СРТ. 0о~ яоввим ов^шягом «ооледоаани* является стохастическая СРТ аего в?л»;

где U - фазовый вектор размерности h. ; Uc - его начальное значение; - гаусс оно кий центрированной т» -марныЙ белый шум_ с единичной матрицей интбнсивностей (^Vi »г ); С t И - постоянные матрицы; у? - векторная НРТ о компонентами

%Cú)^J¿0, й4- с Ф з г * * ^ (2)

1 J - г w "

где - постоянные, & ip,. - произвольные HPT, fio ©пределе-

V

ни» функция Ф(эс) называется НРТ, если существует такое число а^-0 • ЧТ0 "Р* 4MS8N <P(x)-~$Ltjh(x) t где. как обыч-

но,

. , / 1 1 * > о i

i о , А- С о ^ (3)

С - f J ЛГ < С? .

Вначале в п.2Л приводится традиционная постановка задачи в тервдах ошгнооти вероятности, основанная на уравнении Фокке-ра-Планка-Колмагорова (ЛПК)- £6 недостатки таковы: I) переменные в уравнении #ЛК не равделя&тоя; П) яра наличии у №Т раз-

рывов или углових точек ураьление ХПК на выполняется на в&кото-рых гиперповерхностях, где ставятся условия сопряжения; ®) в слу чае вырожденной матрицы диффузии уравнение ФГЕ принадлежат к ие-класоическому ультрапараболичвекому типу. Заверияыпяй п.2Л. обзор райот ш реианию уравнения ФПК для GPT йида (I) свидетельствует о недостаточной эффективности оуществупдях методов.

Альтернативный метод основан на переходе от плотности fcapo-ятнсюти к характеристической функции. Обзор садяовин* ра<5от атога направления дан в н.2,2. Общее уравнение для характеристической функции было подучено В.С.Пугачевым еще е сороковые годи. На предпочтительность »того метода в кусавдо--лииеШ>ых задачах указывал А.Н.Колмогоров. Применительно к СРТ и» польгоьа/ract И.Е.Ка-

гаков, С.В.Мальчиков, А.А.Свешников, Р.Л.Стратонопич и другие ученые. Насколько известно автору, до настоящего времени попытка разработки общего аналитического метода решения уравнения Пугачева в клаоое СРТ не увенчались успехом.

А.А.Свешников преобразовал интегральный член уравнения Пугачева для СГТ к виду сингулярного интегрчла типа свертки. Это преобразование - не проато технический приём, оно имеет глубокий оо-держлтелышй смысл. Обнаруживается, что для СГТ уравнение Пугачева объединяет в себе черты двух хорошо известных клаооов уравнений математической физика: дифференциалы!ого уравнения в чаотннх производных первого порядка и сингулярного интегрального уравнения типа свертки. В результате открываются новые дополнительные возможности как для изучения качественных свойств решения, так ■ для ({актичвокого получения последнего. Обоуждавмое уравнение было названо автором уравнением Пугачева-Свеииякова (ПС).

Вывод уравнения ПС для СРТ (I) даетая в п.2.3 ■ базируется на ряде общих теорем, доказанных автором. Обычная форма записи уравнения Пугачева для системы (I) такова:

гдi £(¿¡1?) - мрактериотячеокая функция V(i~) t С * -матрица лаваЯпой чести я матрица интенсивное твй шумов & О) t

t - «mitraff едящий} T - оимвол траяапоияроваии«} Rn - евклидово пространство размерности j </t£ ...е/х^ ж e/v^ « djr^ ... Jp - элементы о<Ч8ма R?L .

Согласно теореме 2.1 , мякая ввадтнвя пвубнваюш НРТ прод-~5—

ставима в вида

где- символ главною значения интеграла, а ^ навивается трансформантой" а выражается » ¡¡аде

Б соответствии о теоремой 2.2 траКоформанта есть четная, наотри-цательно определенная целая функция экспоненциального тепз, удовлетворяющая условию к(о) 1.

?еррема 2.8. Пусть произведение (</) абсолптно интегрируемо в бйсконевдых пределах при к » 0,1. Тогда для ллбоИ НРТ ^ имеем!

<>& - ¿5.

где Е - изображение / по Фурье, а /7 - трансформанта

V •

Эта теорэма лежит в ооновв преобразования интегральных членов уравнения (4) по Свешникову, ь результата которого получаем уравнение ПС (см. теорему 2.4):

'ЩЕ + (ГНН*1 + ¿г1)1 + (М

+ к V* (ЗД^«}. в,

где Пу^ «. трансформанта. , Данное уравнение решается при начальном условия

в . " 1«)

-л»

в кагором Еа обозначает харак»ерист«чввку»> функцию 0о .

Раздел 2.4 йооаямея качественной теория уравнения (&). Вначале в п.2.4Л устажщяева овяаь мегду упевдемжрмя £ГСК и ПС.

-6-

ФПК и условиям сопряжения, то е8 преобразование Фурье подчиняется уравнению ПС (теорема 2.5). Справедливо и обратное утверждение (теорема 2.6), а также аналогичные теоремы 2.7 и 2.8 для стационарною случая.

Анализу овойотв аналитичности £ относительно компонент if посвяшек п.2.4-2. Если начальный вектор распределен

по нормальному закону, то при любом конечном Т > О £• явдчетоя

целой функцией ?£ , гп (теорема 2.9). Существование момен-- *

тов компонент [JQ до второго порядка включительно гарантирует Существование математических оляданяй -М LUt-(r)J при любом конечном Т > ¿7 (теорема 2.10). Для того, чтобы предельная характеристическая функция E^J3 fi'm Е была целой относительно воех гj (теорема 2.11) или хотя бы некоторых из них (теорема 2.12), приходятся накладывать дополнительные ограничения на матрицу линейной части сиотемн С » Свойства аналитичности £г оу-вественны для развиваемого в п.2.б метода решения уравнения ПО.

Теорэмы существования доказываются в п.2.4.3 в предположении невырожденности матрицы диффувйи ННГ процеооа (I). Доказано, что решение уравнения (0) существует в любом конечном интервала т е ( о, 11 , для любых HPT ifi. , при любых коэффициентах dy*

' -« J К <! -

я для всякой даявды двфференцяруемой по воем ярпгментам начальной функции Е0(Т)Ш. теоремы 2.13 а 2.14).

Цептргимщм во второй главе яяляетоя раздел 2.6, посяяшенннй кзлеиеняю метода реаеяяя уравяеявя ПС. В нем делается ряд допол-Яйтел&яьпг уптощапцих пред положений. Вначале в пг.2.5.1 припаяется, что пой зи&к нелсшайиости в (1) входят только какая-то одад Jfn-эдзз«е каарятага (/ш otrpeявятяовгя - \Ji ), то eon dy' ~О

:ю)

= I гг> ••'•» и °пРеДе-*иы интеграл типа Кошй

а также ею предельные значения на вещественной оси

Л* (И)

Известно, что Р и Р аналагичии по , соответственно, в верхней и нижней полуплоскости.

Используя формулы С.В.Солоцкого, уравнение (83 и обаЬит~ ную теорему Е.Ляувшш, получаем пару уравнений:

где , Ж*,«)-- ¿Щ^сьНЗА ,

в правой части которых стоит одна и ча хя целая фуияэдя ^ ар^ментов , ?„.

В п.2.5.2 делаете» добаеощдак прея положение, что ситма является релейной, так, что . В этом случае

£ = 0 , а функция <э превращаемся в падниом пераей сиепеяя относительно ^¡с а при втом

^[Гш/^ » (13)

Нвязвеотвые фунюща (э0 ■ , входящие в правую часть пари уравнения (13), определяются яв того условия, чтобы вала аяалитичиа по «Ц в верхней, а в владей полуплоокоо-

тв, причем шмм бит» чШтъпу печальные условие

Р^/ыв \ (14)

■ -У-

1ДЦ 'о 1ил ЧР^ЧО О лат и *

Искомая характеристическая функция элементарно выражается через краевые значения Г" по первой формуле Сьхоцкого

(И)

Поэтому в предлагаемом методе единственной нестандартной математической задачей является проблема восстановления функций ■ иа условии аналитичности . В раздела 2.5 ввдилены три класса релейных сиет«м, для которых 9та проблема разрешима аналитически: системы нулевого типа (с нулевой матрицей С ), оиота-мы первого типа (ненулевые элементы сосредоточены Ь первой стйлбдо С ) и систем» второго типа (ненулевые влемевты имеютоя только в и-м столбце С , Л ).

Для систем нулевого 1 первого типов стационарны! режим я* существует, для них строится ньотациояаряоа решение методом преобразования Лапласа. В сиотетх второго типа возможны как наота-циоиэрныЯ, так я стационарны! режимы. В двоовртацаж подробно «о-оледуетсч последний, при »том используютоя методы теории интерполяции целых Функций. Для каждого иа перааолвяяих типов оаотем обиая теория иллюстрируется конкретным примерами, имеющими оа-моотоятелъный интерес. В раздала 2.5 уравнения дважания записываются в отандартязованио! форма о иопольаованяем безразмерных фазовых координат и безразмерных числовых параметров. В автореферата »те уравнения для больна! мглядиооти приводятся а исходили виде без отяндчртизчтиш,

Ечя систем нулевого типа реяеяи следуем* «адата*. I) Обоб-»члчча Т.Кохи о расчете окороота таотяцы при (галячия оу-■"и постоянного сноса (п.2.5.3.1):

где и - окорооть частицы, гп - ее маооа, - коэффициент оухого трения, £ - уокоренае силы тяжести, ^ - постоянная оеля онооа - интенсивность тэзмущений, ио - начальная окорооть. П) Задача В.Фвллера для координаты невесомой броуновокой частицы при наличии вязкого трения (п.2.6.4.1):

и- О, - £ [. и (и, > и (а)- о, (17)

где Ох - координата ч&отицы, Ц^ - время, проведенное ею на положительной полуоси. Ш) Задала Феллвра для скорости весомо® чаотяцы при наличии сухого.трения (п.2.5.4.1):

О, (16)

где и^ - окорооть частицы, и*. - время движения в положительном направлении. Ш Задача С.Крендвлла о скольжении о трением частицы по югоокости, оовершащей оейсмичеокие колебания (п.2.5.4.1): ^

V, уз -VI)>ч- у, \(о) :■ ь: (19,

8деоь « 14 *• скорости частицы и основания, оотальаы? обоаначенвя совпадают о (16).

Применительно к с во темам первого тип« ранения приводятся для следующих мдач: I) Задача, аналогичная (16), но при одно-врвкенном действии в оухого, в вязкого трения (и.8,5.3.2):

9

+ ,и(а) г (гп)

Где о( - коэффициент вязхого трения, П) Зада® евллэра для окорости ввоомой частица при пали ч» а вязкого трения (и.3.^.4.2 Р:

^и^-^и^^гц^^^^ь^н,^). о. 181-

Ш) Задача А.А.Свешникова об ухо« гироскона калрпмемвя при —Го -

уотановившайся качке основания я оухом трении в оси подвеса (П.2.Б.4.2.1)»

и^-Л^^г, = (22)

гди Ол - углоьая скорость бортовой качки основания (у , -заданные положительные постоянные), Ь^,, ■» {','т ЦС*-) , -угол ухода гироскопа, - момент сухого трения, М0 - кинетический момент гираюкопа. 1У) Задача Кренделла (19). Райчв» дутв частицы в относ ателье 1м движении (п.2.6.4.2.2)!

1''г ^ г ^ 5 и (о}, ^ (23)

Эдеоь 1/, обозначает относительную скорость, -

путь в относительном движений.

Стационарному режиму в релейных оиотемах поовящеи п.2.б.б. В об1Дус схему решения уравнения ПС адаоь требуется внести лишь мянииальнне коррективы. Так, интеграл типа Кош (10) уже яэ будет зависеть от параметра тг , Осаовяое уравнение (10) упрощается .

Г*+(нуЪ ги б<(?% (24)

причем неизвестные функций * * (>), Начальные условия

(14) заменятся условием нормировка

+ (23)

1 с "о

Стационарная вадача алемеитарио реяаетоя для овотем первого порядка вида (16) я (20) (ом. п.2.5.5.1).

Дня внетвм второго порядка второго тнтй

~ ~ (26) 0, = -С^Ц -

в п.2.б.5.2 установлены условия существования отационярного ре-яги», неторм вмвчт вид (теорема 2Л6)?

<- (<-

■¿¿>0, (27) .

;?тод восстановления функций б* изложен в п.2.5.5.3 и основы^ аается на теории интерполяции целых функций. В качестве примера решена задача об осцилляторе с вязким трением и нелинейной восстанавливающей силой

^^Ы!! (26)

где ¡о и Г^ - постоянные, удовлетворяющие условии ) } < I ^ , а также некоторые другие примеры систем вида (26).

Общая теория п.2.5 позволяет выявить принципиальное различие

введенных типов релейных оистем. Так, для систем нулевого типа

_ + •

краевые значения интеграла типа Коли ' имеют по паре полюсов, лежащих в конечной част« плоскости. В случае систем первого типа Ь ~ аиалитичны в любой конечной чаоти плоскооти, но имеют существенно особую точку на бесконечности. Наконец, при втором -м гг +-

оистем '--есть мероморфные функции оо счетным множеством

люоов.

Тр^ть^ глав^ посвящена механическим приложениям уравнен*; ПС. В ней в основном используются готовые решения из второй однако к ним добавлен и ряд новых.

В п.3.1 исследуптся вынужденные алучайные колебания материальной частицы в приоутотвии сил сопротивления, описываомнр уравнениями : .

ру , 1/"=гV, (28)

5 = IV» , Т* -

при нулевых начальных условиях. Здесь V - скорость частицы, Ц" - ей координата, - пройденный путь, Т* -лреме движения в положительном направлении. Ддц трех способов аздаДО? см еаггро-

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Заяц О.И. Об аналитической разрешимости некоторых существенно нелинейных стохастических задач/ ЛПИ.Д.,1960. Деп, в ВИНИТИ 15.07.80, » 3090-80 ДЕП.СЛ-15,

2. Заяц О.И. Об аналитическом исследовании существенно нелинейных систем методами теории марковских процесоов/ ЛПИ. Л.,1982. Деп. в ВИНИТИ 05.08.62, * 4326-82ДКЛ. С.1-14.

3. Заяц О.И. Аналитическое решение уравнения.Колмогорова о разрывными коэффициентами снооа// Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решонля прикладных задач. Тула:Ивд~во Тульок. по-летеxii. а-та, 1983. С.29-38.

4. Ваян, Ö.W. Об аналитическом решении уравнения Колмогорова

о разрывными ноэффациентами/Лруды ДИТМО. Случайные процессы в САУ. Л.,1984. С.68-76.

5. Заяц О.И. Решение уравнения Фокжера-Плаяка-Колмогорова в задачах статистической динамика систем релейного типа (обаор)/ ЛПИ. Л.. 1987. Деп. в ВИШИ 10.07.87, J» 4938-В87. С.1-36.

6. Заяц Решение уравнения В.С.Пугачева в форме А.А.Свешникова для одной релейной системы/ ЛПИ. Л.,1987. Дэп. в ВИНИТИ 23.10.87, » 7462-В87. C.I-2I.

7. Заяц О.И. Об аналитических свойствах решения уравнения В.С.Пугачева в форме А.А.Свешяйкова/ЛПИ. Д., 1907. Деп. в ВИНИТИ 23.10.87, * 746I-B87. С.I-I6.

8. Заяц О.И. Теоретическое аооладоваяяа процесоов торможения экипажа на неровной дороге// Исследования по прикладной математике/ ЛПИ. Л., 1990. Деп. в ВИНИТИ И.05.90, » 2655-В90. С.64-83.

9. Заяц О.И. Статистическая динамика систем релейного теги

а уравнение Пугачева-Свешяйхова// Йввеатяй вуаов, Приборостроение, 1992. Я 1-2. С.8-16.

10. Заяц О.И. Об уравнении Пугачава-Свешнйкова// Вероятностные методы исследования динамических оиотем. СПб:Й8Д-во и-та гота, механики я оптики, 1992. C.23-3I,

11. Заяц O.K., Незлобия А.Н., Сарагчуя В.Г., Скряпяичвяко H.A. Иеолвдоваяяв вероятностных характеристик отрыва колео от дорога при равномерном движение якяпажа//йоолвдо»аиия по прикладной мате-матякч/ЛПИ. Л.,И?0. Дрп. в ВИНИТИ 11.05.90, » 2655-В90.0.84-93.

-•iS"-

12. Заяц О.И., Незлобии А.Н., Червменоый В.Г. О некоторых задачах механики зернисто-упругой среды// Прикладная математика. СПб: СПбГГУ, 1992. С.65-74.

13. Заяц О.И., Незлобии А.Н., Череменский. Б.Г., Доброва Н.М. Плоская задача о сдвижении комбинированной зернисто-упругой олоио-той среды под действием поверхноотннх и объемных сил/ Лен.НИИ проект. Л.,1990. Деп. в ВИНИТИ 04.10.90, * 5253-В90. C.I-I02.

14. Заяц О.И., Саранчук В.Г. К расчету оиотемы пидрвссоря-вания многоосных транспортных машин при движении по случайному дорожному профилю//Мапиноведение', 1982.* 2. С.26-31.

15. Заяц О.И., Спешников A.A. Об одной нелинейной .задаче прикладной теорьи гироокопов//11эвеотил АН СССР. Механика твердого тела. 1977. * 6. С.'Э-15.

16. Заяц О.И., Череменский В.Г. Об одной задаче многократного достижения границы 1гроцес'сом Уленбека-Орнштейна о восстановлением/ Л ПИ. Л. ,1964. Деп. в ВИШИ 31.0Í.65, * 932-85 ДЕП. C.I-2I.

■17. Za^nti 0,1. Tht Puß<ic(,rv - Syrsbn,'lov Cfuo{/fn

m(iinc<{ t'h s1ai;d,'ca( cfjhatyiícs tf {/\(?

i%f><! Suterns // J,t iernait'cnaC. ci^feis, ö» Cvtnpitltr

Systeme, and tnaihrmaifez CßAM .

n£ylrocU. St. Mertí'urj í W3. А 12 <z.

Pofmov- "VT, Sorvnc Lu v: Q,t Opilmaß cintre,£ vthí'ft v ¡ét-ní ¡e>n v ar^ünq ■tra verы С // ?e¡ífeht,ft- .{¿r апкао^е

MoihmaiHt Uh¿ htdamí. ?. ß. 67. /V. 12. S. Í¡7-¿,

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Г, Выведано общее интегральное представление нел шейноотей-релейного типа, обоонована эффективность метода харакгериотичео-кой функции в задачах статиотачеокой динамики систем релейного типа.

2. Выведено уравнение Пугачева-Свешникова (ПС) для общей системы релейного типа. Предложена математическая постановка стационарной к нестационарной задач для этого уравнения. Установлена связь между ним и уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова. Доказаны теоремы существования > аналитичности решения.

3. Предложен аналитический метод решения уравнения ПО. Для релейных енотем задача сведена к проблеме воостановления двух неизвестных функций в правой частя пары линейных дифференциальных уравнений в чаотных производных первого порядка.

4. Выделены три специальных аналитически разрешимых класса релейных задач. Для оистем нулевого я первого типа решена нестационарная задача методом преобразования Лапласа.

б. Для сиотем второго типа установлены условия существования стационарного решения а разработал метод его нахождения, основанный на теории интерполяции целых функций.

6. Методом уравнения ПС о единых позиций и tro единообразной методике решай ряд прикладных задач для релейных систем первого в второго порядка. Проведено сопоставление о известными сешвнил-ы полученными ранее другнкя методами.

7. Наследована тсчнооть метода стагиагпвоксй линеаризации

i

в релейных задапах дли трех «го варсаятоя; яяу* стандартна* { по Казакову) я усовершенствованном (ад Креядвллу) •

тивления: без тренал (с< = 0), сухое трение (р, «■ 0,о(. ,

вязкое трение = I) получены точные значения моментов первого в второго порядка величии V , IVI , U , IUI , S , Т* (при конечном t и асимптотические при t ),а также приближенные аначения тех же моментов найденные методом статистической линеаризации.

Нужно оказать, что некоторые иа задач, решенных в п.3.1, Формально говоря, выходят sa рамки общей теории, авложепной во второй главе, однако, как разъясняется в п.3.1.1, область применения данной теории существенно шире первоначальных нредпсложений. 'Так, например, практически без изменения эта теория перенооитоя на случай, когда нелинейности берутоя не в виде (2), à в более общем мде ^

</. (Ü) ( и)+ > (29)

где J)¿0> и ироизваяьныв полиномы первой степени относи-

тельно компонент U . Это позволяет, например, последовать распределение пути частицы. Упомянем и другой обобщение, когда под знаком нединейн&ст!« присутствует не одна, а яеоколько различных Фчэавых координат. Здесь вмеето однократного интеграла типа Коти { Ш) применяется соответствующий многократный интеграл типа Ковш.

В п.3.2 решается ?адача об уходе гироокопа направления npi наличии сухога грел «я к Неуравновешенности опор подвеса

Ц" -я,*-** ify+WjjÜfo)-}}. (30)

Эта задача обаб'даег задачу (22) в том отношении, что мсмент сухого трения зависят от направления врсшишп карданова гольца.Здесь предполагается, что < .

8 «йклиительяом п.а.З подробно рвшаетоя вадазд. Креиделла

Ü5>.