Случайные операторы и стохастические интегральные уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ Інститут математики

Г. .1

ч* * 1

2 9 ДПР Ш8

На правах рукопису КУЛИК Олексій Михайлович

ВИПАДКОВІ ОПЕРАТОРИ ТА СТОХ А СТИЧНІ ІНТЕГРАЛЬНІ РІВНЯННЯ

01.01.05 - теорії ймовірностей та МатематиЧйа статистика

' Автореферат

дисертації- на одобуття наукового ступеня кандидату фіанко-матешітіпни* нау* .

Киї* - І998

Дисертацією с рукопис

* £*

Робота виконана в Інституті математики НАІІ України.

Науковий керівник: доктор фіз.-мат. наук ДОРОГОВЦЕВ A.A.

Офіційні опонента: академік НАН Украі'ни ДАЛЕЦЬІШЙ Ю.Л.

' кандидат фіа.-мат. наук

ДЕНИСЬЄВСЬКИЙ м.о.

Провідна устаяооа: Дойецькпй державний університет.

■ У</ -f*T

Захист відбудеться л.тГг 1996 р. о год. па (засіданні спєціаііізоваїїоі вченоі рада Д.01.66.01 пра Інституті математпїц НАН України оа адресою:

252601 Кпїв 4, MC ЇЇ, вуя. Т^рещеиківська 3.

•З дисертацією можна ояпаиоШтпся у бібліотеці інституту. Автореферат розісланий 'f.?....P.!.^тг. 1990 р.

Вчений секретар спедіаліаовакої рада доктор фіо.-мат. наук

ГУСАК Д.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність роботи. Дана робота пов’яоана о таким актуальніш напрямком сучасного стохастичного аналіпу, як теорія стохастігтого інтегрування випадкових процесів іо випереджеп-пйп та оа процссамл, для жнх відсутні нартпнгальні властивості.

Вивчення стохастітшлх інтегральних та дпференціальпих ріп-штпь як природного апарату для дослідження систем, які (знаходяться під тшливом вппадковпх збурень, було папочатко-Еатів па початку 40-х років нашого сторіччя Н.ІІ.Бого.чюбовіш,

Н.М.Крпповям та И.І.ГІхмаиом, та розвинене Й.І.Гіхмашм і

А.В.Скороходом па ослові введеного К.Іто поняття стохастичного іптсгрзпу. Теорія стохастпчнпх інтегральних рівнянь, заснована па понятті стохастичного інтегралу Іто, вазпяпась тісно пов’я-снтаою о теорією нартингаліз, детагіьло розвішеною Дж.Дубом, П.Мсйераіі та багатьма ішішми. Так, використання мартингаль-КПХ ВЯаСТЯ50СТЄІІ вгоерівс~ксго процесу дооволішо отримати ДЛЯ стохастігкпх іитегрлльипх рівнянь са мперівськгш процесом такі фундаментальні результати, дх іспупзлня та едппість розв'язку (Гіхмпіі, Іто), теореїш про великі та малі ухилення (Веятцель, ІСрапоз), опис тоао.тогічосго посіа розподілу розв’япку (Струх,, Варадап), тощо.

О сталиш часом великого ииачеяня набуло вивчиш* рівнянь із стохгстачшш іятегрувапшпм процесів, для ігхпх відсутні умовп пепатзєредіхепості, що унеможливлює застосування стохастігтого інтегралу Іто і вимагає побудезп теорії стохастичного іптегру-тлиш для випереджуючих процесів. Однієи п вихідинх точок у цьому яапршку с введене А.В,Скороходом у 1975 році поняття рооширешго стохастичяого інтегралу за віиерівгькпм П])оцесом.

Стохастичні рівняння із розширеним інтегралом Скорохода можуть виникати, наприклад, як аналог рівняння Еидара у деяких задачах непараметричного оцінювання. Рівняння о інтегралом Скорохода розглядали А.Ю.Шсвліков, H.Kunita, R.Buckdahn,

A.А.Дороговцев, D.Nualart, A.-S. Ustunel та інші. У даній роботі розглядаються лінійні інтегральні рівнішня о розширеним етоха-стичним інтегралом за логарифмічними процесами гладких мір, який був введений у роботах Ю.Л.Далецького,< М.В.Норіна, A.A. Дороговцева та інших, і« узагальненням поняття інтегралу Скорохода, у деяких випадках такі рівняння також можна розглядати як аналог рівняння Бйяера,

Другою важливою конструкцією сгохастичного інтегралу від випереджуючих процесів е введене у 1984 році С.Огавою поняття симетричного стохасги’шого інтегралу та тісно а ним пов’язане поняття розширеного інтегралу Стратоновича, які е узагальненням визначеного дія семімартингаліа стохастичиаг® інтегралу Стратоновича-Іто. Стохастичні рівняння а ромпиреяим іитегра-лом Стратоновича-Огава вивчали, зокрема, E.Pardorax, D.Ooooe,

B.Мацкявічус, D.Nualart, M.Satiz, A.MHlef.. У дисертації розглядається підхід до розв'язання симетричних стохастичних інтегральних рівнянь із випередженням, заснований на використанні рівнянь о внпаджовимн операторами Цей підхід дозволяє, попри відсутність будь-яких мартпнГальннх властивостей, отримати існування Та едияість ртв’ягіку та дослідити деякі його властивості, зокрема отримати опис носія розподілу розв’язку, аналогічний до теореми Сгрукя-ВарпДапа.

Мета роботи. Відомо, *цо симетричнії^ стохастичшш інтеграл Огавп вгасрівським процесом можна визначити як си-

з

метричну суперпозицію о інтегральним випадковим оператором, породженим цим процесом. Метою даної роботи е побудова для деякого класу випадкових процесів операторів стохастичного інтегрування оа цими процесами, шгоначешія симетричного інтегралу оа цими процесами, аналогічного до інтегралу Огави та опис його області зионачеппя, а також розгляд лінійних стоха-стичішх рівнянь із введеним симетричним інтегралом. З цією метою ми вивчаємо рівняння типу Фредгольма з випадковими операторами Гільберта-Шмідта, розподіли яких квазііцваріаптіїі відносно щільно вкладених у пініти носії простори напрямків, і отримуємо для них існування та єдиність розв’язку, а також такі властивості цього розв’язку, як абсолютна неперервність скін-чешюмшірних розподілів та оппс топологічного носія розподілу, авалопчиаіі до теореми Струка-Варадана, після чого аналогічні результаті! можна довести і для снметрігчшіх стохастпчних рівневі типу Фредгоаіма. Крім того, у роботі розглядається задача вивчення стохасгігтпх рівнянь типу Вольтерп а роотлре-ппм сгохасинптм інтегралом па логарифмічними процесами глад-іпх мір, у зп'язгу з чпм виникає потреба у доведенні аналогу теорема Коші-Ковалевської для нескінченповимірних лінійних диференціальних ріпиянь у частинних похідппх першого порядку та отриманні оцінок росту крагяих інтегралів під логарифмічного процесу.

Загальна методика досліджень. У роботі використовуються методи теорії операторів, пескіпчепповпМірного апплізу Та інші методи функціонального аналізу, метод характеристик розв'язали лінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних першого Порядку.

Наукова повнопа результатів роботи:

♦

о Для широкого класу випадкових проце.сів визначені випадкові оператори стохастичпого інтегрування оа цими процесами і визначенні! симетричний стохастігчнші інтеграл, аналогічний до інтегралу Огавц.

в Отримані умови, достатні для того, щоб був визначений симетричний стохастичтгй інтеграл від випадкового процесу, оокрема, отримані нові, достатні умови доя іотувашш інтегралу Огави. '

о Доведено існування та єдиність розв’язку лінійного симетріп-ного стохастичного інтегрального рівнянні тішу Фред-гольма,для розв'язку такого рівняння доведено абсолютну неперервність схінченповпміршіх розподілів та отримано опис носія розподілу, аналогічний до теореми Струка-Варадана.

• Для стохастпчншс інтегро-диференшальнпх рівнянь оа логарифмічними процесами гладких мір доведена теорема існування та єдиності розв’язку.

в Отримано явний вигляд та оцінки росту для кратних інтегралів від логарифмічних процесів гладких мір.

• Для лінійного інтегрального рівняння типу Вольгери о розширеним стохасгпчнпм інтегралом за логарифмічним процесом доведено існування та гдиність розв’язку.

Теоретична та практична цінність. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Всі результати, одержані у дисертації, с новими і можуть бути використані у. теорії випадкових процесів ти і гохастичиому аналізі.

Апробація роботи. Основні положення та результати, викладеш в дисертації, доповідались на міжнародній математичній конференції пам’яті Ганса Гана (Чернівці; 1994), на IV міжнародній конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 1995), на всеукраїнській науковій конференції ’’Сучасні фізико-матецатичні дослідження молодих науковців України” (Кпїв, 199-1), на Другій всеукраїнській науковій конференції ’’Сучасні фізнко-математичні дослідження молодих науковців України” (Кпїв, 1995), на семінарі ”Числення Малявена та його пастосування”, па семінарі відділу теорії випадкових процесів Інституту' математпкп НЛН України.

Публікації. Осповні результати дисертації опубліковані у роботах [1-0].

Структура і об’єм роботи. Дисертаційна робота обсягом 116 машинописних сторінок складається м вступу, трьох ропділів та списку цитованої літератури, що містить 55 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність та важливість питань, що рооглядаються у-дисертації, проводиться стислий огляд бліюь-шх оа напрямом робіт, дається оппс омісту та результатів дисертації. '

У рооділі 1 наведені визначення та доведені технічні регулі,-татп, необхідні для подальшого ропгязду.

У першому пункті розділу вводиться та досліджується клас випадкових елементів, регулярних відносно гауссівгького білого шуму: . .

Впоначеппя 1Л.5. Нсхапнп ґптпірпіаюлгу просторі (Я,Т,Р) падяїтпіігауссівськпіїбітиітумН = (//, (), де II дійсний сспара-бепьтт гільбертів простір, ;і £ - - уплглльнешгн гпуссівсьшп яшідд-

копий елемент у ff о нульовим середній та одиничним жореляцііг-шм оператором. Випадковий елемент т/ іо ¡значеннями у баиахо-вому просторі В називається регулярним відносно білого шуму Ті, якщо існує вкладення j простору Н у деякіш сенарабельний бана-хів простір W таке, що норма ||| • ||| = \\j ■ ||ц/ an Н є вимірною відносно розподілу елементу (, (або, що еквівалентно, відображення j задає у W звичайний випадковіш елемент jQ, та існує неперервна функція Ф : W —* D, для якої ті = $(j() м.п. .

Поняття регулярного випадкового елемента вводиться як оасіб для отримання у другому розділі опису носія рошіоділу розв’язку стохастпчного симетричного рівняння типу Фредгольма. Крім того, вивчення регулярних функціоналів є корисним при дослідженні деяких статистичних падач, оокрема задачі оцінювання невідомого кореляційного оператора гауссівського випадкового елемента. У п.1.1 отримано необхідні та достатні умови регулярності випадкового елементу у термінах його коефіцієнтів розкладу Камерона-Мартина, доведений важливий для подальшого розгляду критерій питання регулярності гаусгівських операторів відносно сумісно а ними гаусгівського білого шуму:

Теорема 1.1.23. Нехай на просторі (ІЇ,?.Р) ппднншг обмежений гауссівськпй випадковий оператор А у сепарабельному гіль-бертовому просторі X. Для того, щоб для будь-якого сумісно о А гауссівського білого шуму (Я, {) з cr(() D сг(А) існував такті регулярний відносно (Н,£) випадковий елемент А io ¡значеннямиу ЦХ), що ■

V.r g .V (,4.i:)(ü,') — Л(а’)г Г— л.н.,

необхідно і достатньо, щоб існував замкнений сепярабельний під-простір S простору С(Х) тами, що /1 6 5 м.н.

Наведений приклад обмеженого гауссівського випадкового оператора, не зосередженого у будь-якому сепарабельному підпро-сторі простору С(Х).

Другий пункт присвячений визначенню для деякого класу випадкових процесів стохастіпдого інтегралу оа цими процо-самн, аналогічного до інтегралу Стратоновіпа-Огави за процесом Пі пора. Для цого вводиться наступний клас спльшіх випадкових операторів у просторі ¿^((ОДІ).

Теорема 1.2.4. ІІехпй на просторі і2([0,1]) оадаїшіі узагальнений випадковіш елемент £, розподіл якого мас тип р > 0, ядро {К(і,.з), (, з, Є ¡0,1]} належать класу

£ з \к І ||/\|І2,оо з Ґ ||/ф, ОІіЬіо,.!) А < +«>},

ІЬді відображення Ак,

(Л|4-/)(<) = и,щ<,•)/(•)) їв им

є гпяьлпм випадковіш оператором у просторі Л-г([0,1]), неперервним у середньому степені р.

Оператор .4 Д- можна розглядати яг; оператор стохастичшгп інтегрування з ядром К відносно вштдїового процесу г/(() = (£>Х[о,())і^ Є [0,1]. Доведеппй опис класу процесів т](■), які можна отримати у такому влгягді. ' ,

Теорема 1.2.7. Нехай і : Хг([0,1]) Э /(•) —*■ Є

1}), ПООНПЧ1ШО через ¡(1 • )і! — Ці* • (¡¿, норму, породжену у І2([0,1]) оператором і*. Для того, щоб випадковий процес ц шв представлення у вигляді г/(£) = (£, і Є [0,1], де £ -- упя-

гяліиєяіш вгтадїовігп елемент у ¿2([0,1]), розподіл якого маг ггш р > 0,, необхідно-і достатньо, щоб тратторії ц(-) були м.н. па-

цратично інтегровніши та для деякого С < +оо

V/Є 1а(10,1J) Е\ j0lri(t)f(t)dt\p<C\\\f\\\p

(uño, що сжвівалентно, щоб простір Камерона-Мартина fíe = {/(•) = /() f(s) ds, f є X2([0,1])} був неперервно вкладеним у простір вимірних лінійних функціоналів від rj, інтегровяих у степені р).

Аналогічно до визначення Огави вводиться симетричний сто-хастичний інтеграл оа процесами rç(-), які задовольняють умови теореми 1.2.7! для випадкового процесу х(') г» квадратично ін-тегровнимя траєкторіями визначений симетричний стохастичний іптеграл ¡¡у K(-,s)x(s) o dr¡(s) відносно процесу r¡ о ядром К Є )С,

k *

якщо визначена симетрична суперпозиція випадкового оператора Ак та випадкового елемента х у просторі L? s Lî([0,1]), тобто для довільного ОНБ {ftt} у £г([0,1J) ряд

ОО

Е(М*Ь ' Ah h . *=і

збігається оа ймовірністю та його сума А к o ¿r не належить від вибору базису, та f¿ /і (•, .í)r(.s) о di/(s) s (/Ід о *)(•). Отримана наступна достатня умова існування симетричного інтегралу від випадкового процесу.

Теорема 1.2.6 Для довільного процесу х із класу

М. = {х — Ту,Т € £г(£г), у - випадковіш елемент у L<¿}

шгаяачена симетрична суперпозиція Ац о х о довільніш о інтегральних операторів Ак, введених у теоремі 1.2.4. ,

Показано, що аналогічно до віцерівського випадку, якщо визначена суперпозиція Ако.с, то для маі'ііке всіх і Є [0,1] відносно міри Лебега випадкова величини (/4к о.т)(<) е аналогом розширеного інтегралу Стратоновпча від процес}1 К (t. ■)!(■), тобто для довільної

послідовності розбпттів {А„ = (0 = '< ... < = 1)}

підрізка [0,1| такої, що |А„| = 5чрк |(* - ¿*_і| —> 0 при п —* +оо, має місце ¡збіжність

па ймовірністю. ,

Крім того, у п.1.2 досліджені умови, ігри яких ромтодіи процесу »/ хвалі»таріантшш відносно осувів на елементи простору Камерона-Мартшіа, Отриманий ряд технічних реоультатіп, оокрема, наступний аналог теореми Сарда для гладких відображень у банаховому просторі о диференційованою мірою.

ПЬорема 1.2.11. Лехай на сепарабельному банаховому просторі В оддано міру р, дифереицііїопну взовж напрямків з лшо-хігнн jII, де II - Деякий сепарябельгтй гільбертів простір, щільно вмадетш у В оператором і для деякого С < +оо має місце нерівність

ШєНІрі(и),і(<іи)<С\\ЩІ

де р/, - логарифмічна, похідна міри /і у напрямку ]Н.

Тоді для довільного відображення Р : В —* В, що має вигляд

Г(п) = Ф Є С1(В,Н),

міра р множини Р({н\СУР)(и) не мае обирнепчго }) дорівнює пулю.

У й.1.3 досліджуються стохастптні інтеграли оа логарифмічними процесами гладких мір. Для довільного випадкового елемента £ па (!),/’, Р) іо значеїшямп у дійсному сепарабельному банаховому просторі В, якітй породжує с-аягебру Т, та розподіл

якого диференційований вздовж напрямків з щільного гільберто-вого иідпростору Н С В, вводитеся визначений на щільній підмио-жшіі простору Ьч{0, Jr, Г) оператор стохастігіцого диференціювання відносно елемента £ із значеннями у Р, Н) та оператор сгохастіггаого інтегрування 1 — D*: Lv(Q,P, Н) —* L2(S2,-T, Р).

Доведені деякі технічні результати, що стосуються введеного

A.A. Дороговцевнм методу розширення області визначення операторів D та /, заснованого на їх локалізації на гладких відкритих множинах, тобто множинах вигляду

А — \а Є G} м.н.,

де а - стохастично диференційована випадкова величина, G С 5R - відкрита нідмножина. Зокрема, доведена наступна теорема, що встановлює існування достатньо великого напасу гладких відкритих множин:

Теорема 1.3.4. Для довільної в/дкригої множини S С В множина {i Є 5} є гладкою відкритою множиною.

Розглянутий випадок, коли В — С®({0,1]), II = 1]), де

І/О = f Є ¿2([0,і)). Доведено, що якщо розподіл як

узагальненого випадкового елемента у ,І2((0>1]) логарифмічної похідної міри // р : ¿‘¿([0,1]) Э /і —* --¡j~ мас тип 2. то існує випадковий процес тїі(-) з квадратично інтегровниші траєкторіями, такий, що »«(<) = (р, Є [*), 1] м.н. Пронес т иаяпвас.тьса логарифміч-

ним процесом міри // та череп /,} г(.ч) позначається значения оператора І иа випадковому елементі г у І2([0Д]).

У термінах стохастігіної похідної процесу (•) отримані умови, достатні для гтохасигшої itti п pormocrl процесу :т(-).

Теорема 1.3.12. Ніхнгі для лоїлрифмі'іпиго процесу т(-) виконуються умова *

В. Для довільного / Є ¿г([0,1]) випадковий елемент /о /(і‘) /!т(,1) е стохастично диференційованим і відображення

В : /-*Д(/о‘/(а) <*,»(*)), /ЄІ.Д[0,1]),

с обмеженим випадковим оператором та існує зростаюча послідовність гладких відкритих множин {С„,п Є Л7}, що прямує до П, така, що на кожній з множин С„ оператор В рівномірно обмежений за нормою як елемент простору £(Ла([0,1])). .

Тоді Для доцільного К Є К для довільного стохастіпно диференційованого випадкового процесу х Є її7' (Я) визначений стоха-стпчнпіі інтеграл

Ак -х(-) = Ув‘А’(-,8)г(й()Лп(в).

Якщо випадковий елемент Ох Ь ¡значениями у просторі Як2 = С2(Н) такий, що а ймовірністю 1 оператор Ох ядорний та похідна Ох, як елемент іо значеннями у просторі ¿і(Я) ядерних операторів па Н, рівномірно обмежена на кожній множині о деякої послідовності гладких відкритих множин, що монотонно збігається до П, то вшшічеяа введена у п.1.2 симетрична суперпо-шщіл /,) Л'(') я)г(») о — Ак о х(-) і

Ак О г(І) = Ак ■ *{і) + 10 К(І,8)Ох{8,8)(І8, і Є [0,1].

У розділі 2 досліджуються інтегральні рішянин ія симгтрич* ним стохастігтпм інтегралом, введенпм у п.1.2 (оокрема, п інтегралом Огавп ;іа віїїерівськпм процесом).

У першому пункті розділу 2 встановлено існування та с/шпість розв’язку рівняння тппу Фредгольма для широкого іпасу випадкових- інтегралі,ішх операторів, введених у п.1.2; прп ньому пп-

являється корисним розгляд рівнянь типу Фредгольма

. * <•

І = У + І0І (1)

о обмеженими випадковими операторами А у деякому сепарабельному гільбертовому просторі X (у - випадковий елемент із плаченім ми у А'). Дня деяких класів обмежених випадкових операторів А доведено існування та єдиність ропв’язку рівняння (1).

Теорема 2.1.2. Якщо А - гауссівськті випадковий оператор у с спар абсльному гільбертовому просторі X, компактніш о ймовірністю 1, та оператор Ех — ЕА має неперервний обернений, то оператор Ех - А о ймовірністю І має обернений.

Тккож у п.2.1 доведені твердження, аналогічні До теореми 2.1.2 для випадкових операторів Гільберта-Шмідта. які є аналітичними функціоналами від ¿ауссівського білого шуму та випадкових операторів Гільберта-Шмідта, рооподілв яких кваоіінваріантні відносно осувів на елементи деякого щільного підпростору лінійного Носії оператора. . '

. Доведено, що у тому випадку, коли ядро К належить до класу К.о тих ядер на [0.1)г, які мають представлення

• ОО

де ряд обітаггься у ггредньому квадратичному, причому

ОО

Л -V < < ЗО < -h^c ; І)/;* ||/,^ < С, k 6 ÍV

íui ' .

(кожне о тякііх ядер належить Л‘). розв'язання інтегрального рівняная витягу

х{1) *)*(«) 0 гіф), °<є(0,1] . (2)

можна овести до розв'язання рівняная вигляду (1) о обмеженим, оператором, отримана наступна теорема існування та єдиності роов’язку рівняння (2). '

Теорема 2.1.5. Нехай К Є випадковий пронес т?() о вдовольняє умову теореми 1.2.7 та ного розподіл у /^([О,1)) гвачі-/нваріантний відносно осувів на елементи простору Камерона-Мартяиа Нц.

Тоді для довільного у 6 Лі рівняння (2) має єдиний розв'язок у класі М.

У другому пункті розділу 2 досліджуються властивості роов’язку стохастичннх рівнянь вигляду (1) та (2). Отриманий, зокрема, наступний результат.

Розглянемо гауссівський компактний оператор А, котрий с сумісно гауссовим о білим шумом (Н, £), тоді А Має розклад відносно пього білого шуму .

Ах — а(я-) + (3(х, £), х Є А,

а Є С(Х^), 0 € С(Х X Я, .V), для Л Є ~Н позначимо Д(Л) Є С(Х) : 0{Ь.)х = /?(*, Л), т Є Л'. 1

Теорема 2.2.1. Нехай оператор Ех — а має обернений. Тоді рівняння (1) мас едшпш розв’язок а-, причому

1) яжшо випадковий елемент у, що приймає значення в X, є регулярніш відносно білого шуму (#,£), У = УІЇЄ), то носій розподілу елемента а: з' АГ дорівнює замиканню множини

{X Є А'Іх = 1'(/Л) + а(х) + /?(*, Н Ь Є Я0}, де ^

Н° — {її е Н\ оператор (Ех — а — /3(А)) має обернений };

2) якщо } Є А' - невнпадкове, то для довільних ..., гт} С А таких, що існують

{Л,,...,ЛП} С Н : <1еІ({(рЛ- - оГ2/3(Мг/,^к}^=1) ^ о,

розподіл випадкового веетора {(х, z\ )х,..., (х, z,„)x} абсолютно неперервний відносно міри Лебега у К"\

Доведення твердження 1) істотно базується на реауаьтатах п.1.1, оскільки розв’язок рівняная (1) мас вигляд ф — (Ех ~ А)-1!/-1!

і А - регулярний відносно (Я,£) елемент у К(Х).

Аналогічні результати доведені для розв'язків інших рівнянь вигляду (1), побудованих п. 2.1. Для роав’яакіп рівнянь типу Фре-гольма (2) доведено абсолютну неперервність скінченновимірішх розподілів та отриманий оппе носія роиіоділу, аналогічний теоремі Струка-Е ірадана.

Теорема 2.2.4. Нехай випадковий процес ц(-) задовольняє умову теорема 2.1.5, К Є «Со, у(-) Є ZadO.lj) - невігаадгоса функція та х - єдиний у класі М роав’маоі інтегрального рівняння (І). Тоді

1) носііі розподілу процесу х(‘) у 1)) дорівнює оашканню шгожини

Ы ) = у(-) + £ А’(-, *)*(*)/*(*) <Ь, А є Я0}, де Я0 - множина таких h Є [0,1}), Для яких оператор

ї(>»): /(•) w j( ) - jf‘ K{-,s)f(s)h(s)d$ .

у L2([0, і)) шс обертана; t

2) для довільних {2-г,...,гВ1} С £г([0,1}) таких, що існують

ffM ssnx

detHf j[0Ip АЧ^*М«)МФ*(0^0"/=і) Ф 0,

розподіл ютадївтто вектора {(.т, гі)іг, ...,(а;,гт)і,} абсолютно всперертвв відвоаю міри Лебега у Ті"'. .

У останньому нункті другого розділу розглядаються нелінійні стозетегпчні Диференціальні рівняння ¡я симетричніш інтегралом

оа логарифмічними процесами. Використовуючи достатню умову існуванні симетричного стохастіппого інтегралу за логарифмічним процесом, доведену у п.1.3, побудований розв’язок стохастич-ного диференціального рівняння .

*(<) = !/ + + « € (0,1],

а, Ь Є СІ(ЧІ X [0,1]), та для розв'язку доведений аналог теореми Струка-Варадана.

У розділі 3 проводиться вивчення стохастпиЕпх інтегральних рійнннь типу Вольтери о розширеним інтегралом за логарифмічним процесом гладкої міри.

У першому пункті розділу 3 досліджуються стохастичні інте-гро-диференціальні рівняння вигляду

*(*) - У(*) + £ £ т)ф) <ітп(т) і«-

' "/о*/о* К(^т)ВФтт)<1т{г)(1а, і Є [0,1], (3)

де гп - логарифмічний процес, що відповідає деякому випадковому елементу £ із значеннями у Со((0,1]), розподіл якого дпферепцій-овішп вздовж напрямків о простору Камеропа-Мартина НТакі рівняння є аналогом нескінченношшіршіх диференціальних рівнянь у частинних похідних першого порядку і далі використовуються для апроксимації розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь о розширеним стохастігчшім інтегралом оа логарифмічним процесом. Зазначимо, що вивчення рівнянь вигляду (3) мас н самостійне значення, оскільки такі рівняння виникають у деяких задачах непарамотрігшого оцінювання.

У припущенні, шо логарифмічний процес т(-) задовольняв умову .

А. Логарифмічншї процес т(-) має вигляд т = А/({) u.a., де фу акціє М : Со([0,1J) —♦ Со([0,1]) аналітична, тобто існують М„ Є ДСо([0,1])", С0([0,1])), п Є JV, гажі, що

V5 Є В М{д) = М0+ £ М„{д,...ід), Um ||ІМ„||}» = 0,

п=1 >1—+оо

для рівшшня (3) побудований аа допомогою методу характеристик розв’язок та доведена теорема сдиності розв’язку, аналогічна до теоремя Коші-Ковалевської.

fbopeMa 3.1.1. Hexan процес у(-) має вигдвд F(^), У : С0([0,1]) —> С1 ([0,1J) - неперервно днференційовпа по Фреше фуш-ція, процес m оадовоаьпес уьюпу А та А" Є С1 ([0,І}2).

Тоді випадковий процес .

а(0= Y(t ~ й',0)ехр[^1 ÿ'(r)dm(r)+

+ £ lD^‘.....g'Aj' K(s, r)Jm(T)) ds\+

+1 ~ >•*'*, *> «trfі’ 5Г '(г)(ігн(г)+ ■

co і iVÄ a »,

+ Е4гІ ^I М*,г)«Мг)) ¿3)*, (4)

Ле^’Ч’) - € C‘(ff),l]X y Ta A'*(-)*=/t>/,'(r)t,T>

c pcos’samii рівняння (3).

Теороггй 3.1.2. Нехай опкепуютьс* yuomt теореми 3.1.1 та процес р мас иіітякд у = і'(£), де- У - аналітична функція на В. Тіщі влп’гідхоапй процес зг оадатііі форнутю (4), е сд;іптг ртв’яотьі рівня ніш (3), котріиЛ можна представши у пиглсді аналітичної фуиіцігьщ елемента

У другому иунїті рооділу 3 дл® яіпїйного tToxatTH'îHorf) дії-фгрттнальког» ргонгвиа па гдагарпфмІ'їнпм процесом

*(#) — bUJ-f- fl} B(s).r(s)ifm(A), <Є(0,1] (5)

отриманий розв'язок за допомогою апроксимації цього рівняння послідовністю інтегро-диференціапьннх рівнянь

*n(<) = у(<) + f0 b(s)xn(s) £ qn(s - T)dm(T)ds-

~ Io Jo 9n(s ~ T)Dx”(a’ T)ir dt* < Є [0,1], (6)

де послідовність функцій {q»,n Є IV} с С*(3і) задовольняє умови Ql: Vn £ fV q„ > 0;

Q2: Vn Є IV kqn(t)dt = l;

Q3: 3{а„} Є 3i+, ап —* 0, rc -+ +oo : supp q„ C [0, а„), n Є IV.

Теорема 3.2.2. Нехай Ь Є С*([0,1]) та процес т оадовольняе ущ>ву

V. Існує процес обмеженої варіації V, який має вигляд V — V(£), де V : В —* Ніс - аналітична функція, такий, що для довільної послідовності функцій {?„}> яка задовольняє умови Q1-Q3, для послідовності випадкових процесів

V„(<) = Jg £ j' Dm(r, e)q„(s - T)i„(e - 9) dr dBdstü [0,1], n Є IV має місце збіжність

VC Є Зі+ sup[— \\DkV — DkVn Пневі/®1) —■* 0, n —♦ -foo,

рівномірно на кожній множині вигляду {||£|| < R).

Тоді для будь-якого випадкового процесу у(-), що має вигляд У — Y(i)i У Є С(В, С'([0,1J)), послідовність роов’яоків побудованих у теоремі 3.1.1, ¡збігається оа ймовірністю у С([0,1]) до процесу х(-), котрий є розв’язком рівняння (5).

Доведено, що цей розв’язок е єдиним у тому сенсі, що наближення Пікара ¡збігаються до цього розв’язку, якщо початкове наближення є аналітичним функціоналом від елемента £. .

Показано, що сім’я розв’язків стохастичнкх диференціальних рівнянь

£Л(*) =»(<) + Ч*)хХ(а)<*т(3)> * Є [0,1], А Є Ж

е породжуючою функцією для послідовності {І„(‘),П > 0},

Л(-) = ¡Л'- ■ • 6(т„)... К Ті) ¿т(тх)... (іт(гп)

крагнп?: інтегралів оа логарифмічним процесом та, як наслідок, отримані наступні оцінки росту кратних інтегралів.

Теорема 2.2.3. Нехай Ь € С'([0,1]), процес у є аналітичного функцією вад £ і для іп виконані умови А, V. Тоді для будь-якого Я < +оо існує послідовність -(с*(/і), к є IV} с Ж+, для якої [сі(Д)]г -+ 0, к 4-оо та на множині {|{£|| < Я)

вир |./*(і)| < сі(Я) м.к., к Є IV. іє[о,і]

У пункті 3 оцінок кратппл інтегралів ьііхорпст^шутьса д;ы оцінювання росту степенів стохастпчного інтегрального оператора типу Вольтерн, доведені оцішш, аналогічні до твердженая теореми 3.2.3. Основним результатом даного иуяЕту є наступна теорема ісігуиапііл та едзності реов’езку гтохисти'шого рівпзши тину Вольтерк ,

г(і) =гД<) + і Є [0,1]. (?)

Теорема 3.3.2. Нехай процес »»(■) о;ідово,шш утни А, В, та V, у( ) е алазгхпчзозі рупуяіею від (, хдро К мас Неперервну іюхідцу А"*} на м;:е;хі:і;і {() < » < £ < 1). То^і вші&діовяп процес х(‘), вадаяпзі рЬтспо , '

х{і) - с^і) + £ Г(т)£(г. і) пт, і Є [0,1], .

де £v(t),£(T,t),0 < г < і < 1 - побудовані у п. 3.2 розв'язки стохастпчтіх дігферепціальних рівнянь

■ *)£»(*) «М*). t Є [0,1] .

та

£(т, і) - 1 + J* К(з, я)£(г, s) dm(s), t Є [г, 1],

а процес F(-) оадовояьляє інтегральне рівняная типу Вольтерit n впїїадкоппн ядром .

F(t) = j‘ K\{t, s)£y(s) dm (з) + j‘ F(r)[j‘ K\(t, *)£(*, r) dm{,)\ dr,

t Є [0,1], а&довольпяє рівняная (7), причому для будь-якого процесу z вигляду z — 2(f), Z : В С'((0,1)) - аналітична функція, послідовність каб.тижгнь

х0 => г, і„(і) = j/(i) + f K(t, «)г„_і(я) dm(s), t Є [0,1], n Є IV

•'0

- ' ‘ s

обігаеться oa ймовірністю до процесах у іг([0,1]).

<5 '9

Основні результати та висновки

1. Для широкого класу випадкових процесів визначені випадкові оператори стохастпчпого інтегрування оа цими процесами та введений симетричний стохастпчніш інтеграл, аналогічний до інтегралу Огави, отримані умови, достатні для існування симетричного стохастпчпого інтегралу від випадкового процесу.

2. Доведено ¿снування та' едцність розв’язку д.тя лінійних симетричних стохастичшіх інтегральних рівнянь типу Фред-гоаьма.

3. Для розв'язку симетричного рівішшя типу Фрсдгольма доведено абсолютну неперервність скшчещювпмірплх роаподілів та отриманий опис носія розподілу, аналогічний до теореми Струїса-Варадана.

4. Побудований роав’язок симетричного стохастичного диференціального рівняння оа логарифмічним процесом гладкої мірн та отриманий оппс носія рооноділу цього розв’язку, аналогічний до теоремп Струка-Варадана.

5. Дпа стохастпчних іитегро-дпференціаямшх рівпякь оа аога-

' рпфмічдами процесамигізадЕих мір дойодепа теорема існування та едяпості розв'язку.

6. Отримано явний вигляд та оцінки росту для кратних інтегралів від логарифмічних процесів гладких мір.

7. Для пінпіпого інтегрального рівняння типу Вольтгрп о роя-швренпм стохастіїтним інтегралом оа логарифмічним процесом доведено існування та едішігті. розв’язку.

Осполаі результати дисертації опубліковані у наступних роботах:

1. Иптсгральпая аппроксимация стохастических дифференциальных уравнений с упреждающими начальними условшімп //Трущл Всеукраппсксіі конференция молодых ученых. - Деп. у ДІІТБ України Ж 07. Sî N 1302 УК - 94. - С. 2G1 - 268.

2. Иптегральпая -аппрогсішатая етсгсасппескнх дпфференци-

• алъпых уравпеяпй с эирслдаюгщтмл палалышмп условиями // Ужр. мат. ггурзал. - 1535. -45. - N 7. - С. 934 - 943.

3. Регулярные гаусстзскпе фузстцпонады и симметрические уравнения тпиа Фредгояьма // Праці Другої Всеукраїнської копференції мо.тадих вчягох. - Деп. у ДНТБ України 28. 08. 95 N 2034 УК - 95. - С. SS - 33.

4. Local properties of solutions of equations with Gaussian strong

rnr.tio-a operators // Tesn Міяшадодпої математичної конференції, Ерисмчекої пам’яті Г. ГЬла, Чернівці, 10-15 ;копт. IS94 p. - С. 77. ■

5. Спыметрпческпе стохастические уравнения тппа Фредголь-иа // Тезя IV міжнародної Еонфєреіщії ім. акад. Кравчука, Ктв, 11-L2 трав. 1595 p. - С. 145.

6. Local properties of solutions ci stochastic integral equations // Stochastic Dynamical Systems: Theory and Applications. First Ukraln - Scandinavian Conference, Uzgorod, September 30 - October 6,1995. - P. 53.

Кулик A.M. ’’Случайные операторы и стохастические интегральные уравнения”

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. Институт математики НАН Украины, Киев, 1996.

Защищается диссертация, поюзачйнвкиа исследованию стохастических интегральных уравнении с укреждевжм. Для стохастических уравнение типа Фредгодзшэ с сшаеагрмчгеким стохастическим кптегралои доказаны *утастЕоіацж е едшютвгннасть ре-шепш, абсолютная ненрерьзззветгь. коамчно-мер-львх распредгпгииа н теорема Струка-Варадава дзет кааете;:» распределение рекасипа. Построено рггиепкг стжїзєтотесколоіуравнения тша Волатсрра е раскыгргнЕъш етгетастыча-еиш интегралом па ж*гарЕфькгїеси>ііу процессу гладкой: меры.

КнїіЬ А.М ’’Random Operators asStochastic kiegral Equations.

Doctor of Philosophy thesis, speciality Ol.M.DG - ргоЬаЬЯг&у tiieery and mathematical statistics. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 1996. .

This thesis is devoted to the investigation of stochastic mtegisl equations- wriib anticipation. The existence and uniqueness e! the so-hxtrca cf tfe sSccbastic Freclholm-type equations with the symjsei-irc sioebaaticr галера! fe ¡'.raved and the absolute continuity of fimte-drmensroiiail disteibtitrra» сш? the Strook-Vnradhati theorem for the snpport of tire dtsttfbtrtrcn ei this solution is demonstrated. The solution! ©! stocbarik Vblterras-type equation with the extended stochastic isrtegral by the logarithmic process Is also pot. . -

Нлшш сизая: вптгадховш! оператор, сішєтрпчна cjnepno-гсящіг, гваті-кварІавтип! міра, топологічний носій, диференційована шраг■ лптарнфмгпгяп йроціч-. гладки відкрита множина.