Смешанная задача для волнового уравнения в области с углом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТКАЧЕВ ДМИТРИЙ ЛЕОНИДОВИЧ

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В ОБЛАСТИ С УГЛОМ

01.01.02. — Дифференциальные уравнения

ДИССЕРТАЦИЯ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

На правах рукописи УДК 517.95

[ Президиум В^лГр^Т^

;( [решение от "Ц « О^ 19 дд г _ №

о С С11 I

НОВОСИБИРСК — 1997

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

1. Три примера постановок задач. 4

2. Исторический обзор. Постановка основной задачи. 7

3. Основное содержание работы. Методы исследования. Структура работы. 22

4. Формулировка основных результатов. 34 ГЛАВА I. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В КООРДИНАТНОМ УГЛЕ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ НА РЕБРЕ. 48

§1. Постановка задач и основные обозначения. 48

§2. Получение априорной оценки решения модельной задачи. 50

2.1. Сведение смешанной задачи (А1о) к смешанной задаче

для симметрической системы. 51

2.2. Условия диссипативности краевых условий (2.4') и (2.5'). Получение априорной оценки решений смешанной задачи (А10) в И/21(Л+). 57

2.3. Исследование матричных неравенств (2.16') и (2.19'). 63 §3. Получение априорной оценки смешанной задачи (А1). 68 §4. Исследование смешанной задачи (АН). Вывод априорной

оценки решения. 74

ГЛАВА II. КОРРЕКТНОСТЬ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ И ОБЩЕГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В КООРДИНАТНОМ УГЛЕ. 84

§1 Априорная оценка решения и условия корректности смешанной задачи (В). 85

ГЛАВА III. ПРИМЕРЫ НЕКОРРЕКТНОСТИ В СМЕШАННОЙ

ЗАДАЧЕ (В). 100

§1 Постановка задачи и основные обозначения. Приведение задачи к каноническому виду. 101

§2 Примеры некорректности в случае двух пространственных переменных и вещественных коэффициентов граничных условий. 108

§3 Примеры Адамара в случае вещественных коэффициентов

граничных условий. Область некорректности задачи. 114

§4 Область некорректности задачи (1.1 )—(1.4) в случае комплексных коэффициентов. 120

ГЛАВА IV. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В КООРДИНАТНОМ УГЛЕ — ПРОБЛЕМА (В0). УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА В W^(Rj). 124

§1 Конструкция формального решения задачи (Во) и его единственность. 124

§2 Получение интегрального представления функций v(t,y) и

z(t,x). 133

§3 Априорные оценки решения. 146

§4 Условия разрешимости задачи (1.26), (1.29) и (1.31) в декартовых координатах. Существование решения. 156

ЛИТЕРАТУРА 167

ВВЕДЕНИЕ

Смешанные задачи для гиперболических систем и уравнений в областях с особенностями на границе (угловые или конические точки, пики, рёбра и т.д.) вызывают большой интерес у математиков ввиду того, что математическое моделирование различных физических задач приводит к необходимости рассматривать подобные проблемы. Ограничусь описанием лишь двух таких весьма близких к реальности ситуаций.

1. Три примера постановок задач.

В физическом плане первая ситуация такова: равномерный поток невязкого, нетеплопроводящего газа, находящегося в состоянии локального термодинамического равновесия, стационарно обтекает плоский клин с углом а.

Для исследования устойчивости такого стационарного гидродинамического течения нужно изучить смешанную задачу для системы уравнений акустики. Именно, А.М.Блохин [5] после ряда упрощающих процедур (и прежде всего — линеаризации уравнений газовой динамики, соотношений Рэнкина - Гюгонио на ударной волне [39] относительно известного разрывного решения) сформулировал такую смешанную задачу: при t > О требуется найти решение системы уравнений

Аи1 + Вих+СМу = 0,

(0.1)

которое удовлетворяет следующим краевым условиям: на границе х = 0:

щ + йщ = 0, щ + щ = 0, и2 = ХГу//1, ^+^ап<7 =/Ш3;

(0.2)

на границе у = ж tañer — условию непротекания газа через твёрдую поверхность клина:

U2 — щ tañer = 0 (0.3)

и начальным данным (t = 0):

U(0,x,y) = U0(x,y), F(0,y) = F0(yl (0-4)

(х,у) € О С R2+<r(x,y) = {{х,у)\х > 0,у > xteina} .

Здесь Ut — (wi, щ, Щ, щ) — малые возмущения вектора скорости, давления и энтропии, х = F(t,y) — малое смещение фронта разрыва, А, В, Са — матрицы четвёртого порядка, часть элементов A ti В зависит от числа Маха М и, наконец, Л, /х, с? — некоторые константы.

При получении априорной оценки автор [5] свёл проблему (0.1)—(0.4) к смешанной задаче в клине уже для волнового уравнения:

(M2L¡ -L\- rf) 0 (0.5)

с граничными условиями:

(mL\ + nL\-рии/М^щ = 0, я = 0; (0.6)

/3^3 = 0, у = tan ах (0.7)

и начальными данными (Li, L2, ту, /3 — некоторые дифференциальные операторы первого порядка; ш, п, ¡3 — параметры).

Вторая ситуация связана с теорией упругости — речь пойдёт о малых деформациях упругой плоской пластины, совпадающей для простоты с первым квадрантом.

При математической интерпретации удобно использовать вектор перемещений й [28]. И для его нахождения (значения на границе известны!) в [19] сформулирована следующая задача (вновь, как и в первом случае,

рассматривается линейное приближение):

d2ii\ д2щ д2щ д2щ

Р — «1 -5-9- + а12 + а2 -^-г- + Х\, otz ох1 охоу ду1

д2щ д2и-2 д2щ d2U2

Р = ai + ап + а2 ^Т" + otl оу1 охоу ох1

О < X, у < оо, 0 < t < f < 00; система уравнений Ламе [28])

u\\x=Q = hi{t,y), и2\х=0 = h2{t,y); щ\у=о = gi(t,x), и2\у=о = g2(t, х)\ dus

(0.8)

(0.9)

Us\t=о =

= Ф8(Х,У), 5 = 1,2. (0.10)

¿=0

т

где а\ — А + 2//, а2 = /г, а^ = А + /л, А, ¡1 — коэффициенты Ламе, Х( (г = 1, 2 — компоненты массовых сил, отнесённых к единице объёма. Кстати, в [19] можно найти и другие постановки задач, например, когда на части границы задаются нужные компоненты тензора деформации или рассматривается иная область — пространственный клин.

Стоит обратить внимание на то, что в отличие от предыдущих задач, граничные условия (0.9) не включают в себя производные решения по времени, что существенно упрощает задачу, позволяя активно использовать факты теории эллиптических проблем [19, 40].

Конечно, перечень формулировок рассматриваемых проблем можно продолжить, однако, ограничусь лишь следующим важным замечанием: "адекватное" математическое моделирование различных физических процессов, происходящих в средах, ограниченных поверхностями с особенностями, зачастую приводит к постановкам смешанных задач для гиперболических систем или уравнений в областях с нерегулярной границей (см., например, [60]).

2. Исторический обзор. Формулировка основной задачи.

Если говорить о смешанных задачах в областях с особенностями типа угловой точки или ребра на границе (геометрия области вблизи особенности того или иного вида требует в каждом случае создания своего математического аппарата!), то попытку получить наиболее общие результаты о корректности смешанной задачи для гиперболической системы первого порядка в двугранном координатном угле (проблема (0.1)—(0.4) легко преобразуется в задачу в квадранте) предпринял Б-ОвЬег в своей работе [61]. Общая задача в области с ребром, полученным как пересечение двух гладких поверхностей, сводится к упомянутой проблеме, правда, вообще говоря, с переменными коэффициентами.

Прежде чем привести точные формулировки фактов, полученных Б.ОзЬ-ег'ом, рассмотрим один любопытный пример [60], который даёт представление о характере возникающих сложностей.

Пусть функция и — решение следующей смешанной задачи:

Щ = С\11х + ¿1Пу, ^

Щ = с2ух - (12Уу, ^х,у> 0, с,-, > 0 (« = 1,2);

Ц0,</,г) = аг;(0,г/,*)+ /(</,*), * = 0, (0.12)

= у = 0; (0.13)

a, Ь — произвольные комплексные числа;

и(х,у,0) = ф,у),

= Ф(х,у), ¿ = 0.

Исследуется вопрос об алгебраической корректности задачи (0.11)-(0.14), т.е. необходимо описать множество значений параметров сг-, б?,-, а,

b, при которых справедлива оценка "по слоям":

и(;Т)|Ц2(ЗД) + |К.Г)|Щм,) + Сг ] (|М,«С(,) + 1К.0111л)) Л+

о

+С21 (Il«(-,t)lli,w + IK,<)lliW) dt < K(T) (|МЩЛ) + М1Ы) +

о

+C3 / \\f(-Ml(y)dt + C4j \\g(-,t)\\l2{x)dt, (0.15)

о о

где С{, К{Т) > 0.

Заметим, что при любых значениях а, Ь Е С на каждой из граней х = 0 и у — 0 выполняется строгое условие Kreiss'a — необходимое и достаточное условие корректности в Ь2 смешанной задачи для гиперболической системы в полупространстве [56, 62]. В силу конечности скорости распространения возмущений [37] и с физической точки зрения это требование вполне оправданно.

С помощью метода интегралов энергии (см., например, [13]) нетрудно получить оценку (0.15), когда

\ab\<y/(c2/d2)(d1/c1) = Z*. (0.16)

Но, оказывается, что если не выполнено соотношение (0.16), то оценка (0.15) уже не имеет места [60]! Так, например, при \ab\ > £ > 1 контрпример даёт следующее решение задачи (0.11)—(0.14) (/ = д = 0):

u{x,y,t) = {dxx + ciy)Pp(t + 7iz + 723/)5 v(x,y,t) = b(dix + dic2y/d2yp{t + 71 ж + 722/),

/3 = — lnab/ln£, ji > 0 — константы, зависящие от параметров сг-, d{, а

функция р(х) Е Cq°(R) с носителем suppp = [ffi,^], > 0, е2 < оо, причём

р(х) > 0 при Е\ < Х < с2•

Дело в том, что ввиду нашего предположения Re/З < —(!), а, с ледова-

2

тельно, при t —> £\ неравенство не соблюдается ни при каких С{ > 0.

Физическая интерпретация этих фактов достаточно проста: решение (0.17) представляет собой плоскую волну, {t + ^\x + ^2y = const), идущую в

начало координат х = 0, у = 0 при t | е\. Она двигается по характеристикам от одной границы до другой, причём, если t f £1, то время прохождения пути от одной границы до другой стремится к нулю. При этом амплитуда волны после каждого цикла отражений увеличивается в \ab\ раз (рис. 1 и проекция его на плоскость (х, у) — рис. 2 иллюстрируют этот процесс).

И для конечности энергии системы (оценка (0.15)) необходимо связать \ab\ (эта величина влияет на амплитуду волны) с угловым коэффициентом характеристик (неравенство (0.16)).

Таким образом, для корректности в Ь2 смешанной задачи для гиперболической системы в угловой области не достаточно лишь выполнения строгого условия Kreiss'a на каждой границе — необходима информация о поведении решения в окрестности особенности.

Известно [24, 25, 31], что решение эллиптических задач в конических или угловых областях ведёт себя степенным образом вблизи особенности, поэтому ввиду возможности применения преобразования Фурье - Лапласа по переменным í, z S.Osher [61] предложил рассмотреть следующие нормы (при фиксированных ü>, s):

2 СЮ

Ke = //(i + H2 + N2)Qx

Р

х£

3=0

о о

2

rdOdr,

оо

Ы2р,<з = /(1 + И2 + М2)сх

Р

хЕ

3=О

о

[xéí §{х>*>8)

dx, (0.18)

где <5 — вещественное число, а Р — целое и неотрицательно, й = г) + г'£, г] > 0, со — двойственные к £ координаты, (г, в) — полярная система координат.

Рисунок 1. 10

Рисунок 2.

Сформулируем теперь результаты работы [61], касающиеся корректности смешанной задачи для гиперболической системы в двугранном угле в пространствах, определяемых нормами (0.18).

Расматривается следующая проблема (коэффициенты — постоянные матрицы) :

т-. , /-У , 7^ 7-,/ ^

Аих + Виу + CjUZj + Du - щ = F(x, у, z, t), з=з

t,x,y> 0; z — ■ • ■, zn), Zi E R, причём система гиперболична в том смысле, что уравнение

(0.19)

ск^ (^Л + гг]В + £ ^зСз - ХЕ1 = 0, С+ + И2 Ф 0

имеет относительно Л только чисто мнимые корни. Предположим, также, что матрица А диагональна:

А =

а\ 0

0

\

а/

«/+1

0

0 а

то

a,j < 0, j — 1, • • •,/; > 0, А; = / + 1,

и существует невырожденная матрица Т такая, что

m

ТВТ

1 Ъг 0 ......... 0Х

о

о ъг

< 0; Ьр+ь---,Ьт > 0. Краевые условия.задаются в таком виде [54]:

и1 = 8ип + х = 0, (0.20)

(Ти)ш = Я (Ти)1У + Ь(.г, г, г), у = 0; (0.21)

начальное условие однородно:

и{х,у,г, 0) = 0. (0.22)

Здесь и1 = и11 = (щ+и - ■ • ,итУ; и111 = (щ, ■ • •, ир)\ и1У =

(ир+1, • • •, ит)и, 5 и К — прямоугольные матрицы размерами I х (т — I) и р х (ш — р) соответственно.

Пусть на каждой грани выполнено строгое условие КтБэ'а [56], которое при х = 0, например, выглядит так:

сЬ^ ([/,-5] [Фь- • • ,Ф/]) Ф 0 для всеха^,^,причём Ле > 0, (0.23)

где в), 3 = 1,2 — набор линейно независимых решений

системы

их + А~1 |'ги2В + г со{С{ — и = 0, Г1е 5 > 0,

экспоненциально убывающих при х —> +оо [54], [/,—5] — прямоугольная матрица I х т.

Предполагая, что ^ = 0, Ь = 0 и решение задачи (0.19)-(0.22) существует, получим, следуя работе [61], необходимое "уголковое условие". Пусть функция V определяется следующим образом:

если 0 < х < оо, 0, если - оо < х < 0.

Тогда, очевидно, V удовлетворяет системе

Аьх + Вьу + (шС-з)у = А6(х)и+(0,у,и,з), у> 0 (0.24)

13

и граничному соотношению

\Ш г „ (Л , . „\ T3frr„.\IV,

{TvYu{x,0,üj,s) - R{Tvyv{x,0,cj,s) = О,

■оо < X < ОС.

(0.25)

\ / { ^ \

+

V

0

/

Нам известно, что

/

Применяя к (0.24) и (0.25) преобразование Фурье - Лапласа по х, приходим к краевой задаче на полупрямой:

уу + В~1({и\А + шС — в)у = м+(0,2/,ш, 5),

(ТУ)1П(ШЪ 0, и, в) - К(ТУ)1У(Ш 1,0,Ы,5) = 0,

которая, если выполнено строгое условие Ктвв'а, при любой финитной и+ однозначно разрешима в классе функций, растущих при у —» оо не быстрее полинома.

Аналогично, пусть

и(х,у,си, в), если 0 < у < оо,

0, если — оо < у < 0.

Естественно, функция т является решением следующей задачи:

Атх + Ви)у + [гюС - з)ги = В8(у)у+(х, 0, и, з), ж>0 (0.26)

ш^О.у.и.в) - 3и)п(0,у,и,з) = д(у}и,в), у > 0, (0.27)

«/(0- 5^/7(0,2/,о;, 5) = у < 0. (0.28)

И с учётом того, что у — решение проблемы (0.24), (0.25), получаем соотношение

[Т„,а - 1] Ф = -Ри>ад, (0.29)

где ТиРш>3 — псевдодифференциальные операторы, определяемые задачами (0.24), (0.25) и (0.26)—(0.28).

Потребуем, чтобы уравнение (0.29) (с заменой правой части на финитную функцию Л (у)) было разрешимо с оценкой

ор о / В \р 2

¡\Ф(у,и,з)\2 ¿у < К! / £ у— %) ¿2/(1 + М2 + МУ» (0.30)

О 0

ду)

при всех вещественных и, в = г\ + г£, т/ > О, К\ > О, К2 — натуральное число, а /<з — вещественно.

При его соблюдении (впрочем, сюда следует добавить и несколько других, но уже менее существенных ограничений) З.ОэЬег [61] обосновал корректность постановки задачи (0.19)—(0.22) и получил следующую априорную оценку:

О? - ^1)1М|о,о + К*=о)1о,о + |%=о)1о,о < < (0.31)

где г} > К\ > 0, 5 = г] +

Основной момент доказательства — построение оператора, близкого по свойствам к " симметризатору" Ктвз'а [56].

К сожалению, на наш взгляд, у этих результатов есть два существенных недостатка:

1) обычно в граничные условия входит целый набор параметров, и выделить область их значений, при которых выполнено " уголковое условие", даже в случае простых по форме постановок практически невозможно, что, по существу, отмечает и сам автор [60];

2) оценка (0.31) — с потерей гладкости, что происходит, отчасти, потому, что не выявлена зависимость показателя степени г и 1пг в асимптотическом разложении решения в окрестности ребра от значений параметров, т.е. нормы (0.18) выбраны не самым удачным образом — они не отвечают сути задачи.

Перейду теперь к формулировке смешанной задачи для волнового уравнения в квадранте — основного предмета настоящего исследования:

Щг ~ ихх - иуу -ро(г,х,у)щ

-Р2&х,у)иу - р3(г,х,у)и = /(г,х,у), (0.32)

г > О, X > 0, у > 0, т.е. (г, ж, г/) Е Д+;

щ - а(^у)их - 6(г,у)иу + с(г,у)и = ¡1 (*,?/), (0.33)

ж

= (),(*, у) е ДЗ. = {(*,2/)|*,2/>0};

щ - а(£, х)иу - ДО, х)их + х)и = /2(г, ж), (0.34)

2/= (),(*,Я) Е =

4=0 = ^,2/): .

(0.35)

м|4=0 = Ф(х,у),

Потребуем, чтобы при х = 0 и у = 0 выполнялось равномерное условие Ло-патинского [58, 64] (аналог строгого условия Ктяв'а (0.23) для уравнений). В терминах коэффициентов граничных условий (0.33), (0.34) это выглядит так [16]:

> 0, < 1, если t,y > 0]

а(г,х)> 0, |/?(г,ж)| < 1, если£,ж>0. (0.36)

Проблема (0.32)—(0.35) носит некоторый модельный оттенок, однако оказалось, что изучение различных её обобщений, например, на случай плоского клина, многранного угла требует лишь усовершенствования техники, но не более того. Поэтому есть прямой резон в исследовании корректности задачи (0.32)-(0.35) в Ц^КВ2^) и выяснении особенностей поведения решения.

(Пространство W2(R2+) снабжено энергетической нормой:

\№)\\тв?+) = I («2 + + + u¡) dxdy). (0.37)

«I

Необходимо отметить, что G.Eskin в [50], опираясь, в основном, на факты эллиптической теории и технику псевдодифференциальных операторов, изучал более общую проблему (сохранены авторские обозначения):

(--Е-

V дхо к=i дх1 )

где ü = R1 х G, хо Е R1 и (^1, • • •, xn) е G, G е Rn — клин, ограниченный плоскостями X2 — 0, у2 = Х\ sin oí — Х2 cos а, х" — (жз,---,жп) Е Rn~2 (на рис. 3 он заштрихован).

Граничные условия таковы:

BI(DI,D2, Д), D")\r+ = hi(x\,XQ, x"), (0.39)

B2(DuD2,D0,D")\T; = h2(yux0,x"), (0.40)

причём Dk = к = 0, • • •, n, Bj(£i, £2, Co? £") — однородные полиномы степени rrij, i = 1, 2, а у\ = —Ж1 cos a — x2 sin а. Начальное условие выбирается в следующем виде:

и = 0 при Xq < 0, х Е П (0.41)

(значит и hj = 0, если xq <0, х Е Гf,j = 1,2).

Чтобы сформулировать основной результат G.Eskin'a, определим некоторые пространства распределений. Пусть i7S)í,!ro(iín+1) — пространство распределений в Rn+l, зависящих от параметра т Е (го,+оо) с конечной нормой

и/С* = su? / (Й+г2+Й+Й+1ПТ№г)|Ч.

(жо,

х,

(0.38)

Рисунок 3.

Как обычно, пространство состоит из распределений в О, имею-

щих продолжение в Яп+1 и принадлежащих Н8>Р)То(Яп+1):

11/112™ = ^ Шм

а т£ берётся по всем таким продолжениям.

Н+ — специальное пространство распределений со свойствами: 1)

и{х) = 0, х0 < 0; 2) е~х°ти(х) £

'Норма элемента и £ #+р/Го(0) определена равенством

и

Аналогичным образом вводятся пространства Я5>Р!Го(Г^), (Г&),

Нз,р,т0{Г?), к = 1,2.

После замены функции мг = е_:СоТ задача (0.38)-(0.41) преобразуется таким образом:

■ д \2 п д2

(0.38')

(0.39') (0.40') (0.41')

Б2(1)1,1)2, Г>0 + «г, 17>г|г+ = ^ В2( А, Аг, А + «Г, А>г|г_ = Л2г,

иг = 0 для жо < 0, ж Е О;

причём ккт = к — 1,2.

Обозначим как А (£ь £2, £о + — символ граничного оператора

Б1(А,А,А + г'г, ¿}") (£г- — двойственны к г = 0,---,п), а через -62^(»7ьСо + символ Б2(А, А, А + г'г, Г>"), но здесь щ двой-

ственны к т/г, 1/2. Тогда равномерное условие Лопатинского выглядит так:

(6, "А, + «V, О / 0, -А, 6 + ¿г,^ 0,

(0.42)

г > 0, (6,^0, г,Г) т^ 0, А = Л(6,ео + гг,Г) = ^/(6 + ^2-|£Т-62,аветвь корня выбрана, исходя из того, что его мнимая часть положительна, когда г > 0.

Пусть, наконец, с = + ¿т)2 — |£"|2, 1ш с > 0, если г > 0, и

/

5+ = 1 +

7Г

а

\

¿ЛаГ§

\/c2-£i2,£o + *r,r)

+

mi + т2

\

i-l=+oo

= s+--,

7Г

а

s_ < s < s+.

(0.43)

Справедлива

Теорема (G.Eskin [50]). Предположим, что Bk удовлетворяет равномерному условию Лопатинского (0.42) на к — 1,2. Тогда при любых s Е (s_,s+), р Е (-оо,+оо), г0 Е (0,+оо) и Е Я5_т1_11?±£1То(Г?), h2T