Теоремы о среднем для волновых уравнений и уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

и Д 8 ¡4

ВОРОНЕЖСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА

На правах рукописи

ПОЛОВИНКИН Игорь Петрович

ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ И УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ

(01.01.02 — дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ПОРОНЕЖ

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Воронежского государственного университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор И. А. Куприянов.

Официальные оппоненты:

1. Доктор физико-математических ¡наук, профессор Е. И. Моисеев.

2. Доктор физико-математических ,наук, профессор В. Д. Репников.

Ведущая организация — Белорусский государственный университет.

Защита диссертации состоится «£{ » ¿ХИ-^МЯ 1992 г. в /б час. ¡М'И'Н. на заседании 'специализированного совета К 063.48.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических яауж в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в «аучной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан « /3 » ЛШфЯБ^ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета В. Г. Задорожный

ОБЩАЯ,ХАРАКТЕРНОтаКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ Одним из качественных свойств дифференциальных уравнений математической физики является теорема о среднем значении. В разных разделах и прикладных задачах под этим понятием часто подразумевают несколько разнородные факты. Так или иначе, многообразные результаты для различных типов уравнений объединяет то, что в них участвует среднее Qдостаточно гладкой функции l£(X),X€R"no сфере Six, 1) с центром в точке X. и радиусом 2. :

где c/<U)j - элемент поверхности сферы R", lf-xl=2j,

= ZiTn'/!i/Г(n/z) - площадь поверхности единичной сферы в

йЛ

Наиболее широко известны георемы о среднем значении для эллиптических уравнений. Базовым результатом для использования в приложениях является следующий классический результат. Для того чтобы непрерывная в области SLC R/1 функция К(х) была гармонической, необходимо и достаточно, чтобы для всякой точки ХбSL и всякого 2>0 , такого, что шар|^-Х|^£ вложен в иЛ-»,её значение в точке X равнялось среднему от неё по сфере S(x,a>. Это утверждение называется теоремой о среднем для уравнения Лапласа. Данная теорема обобщается на эллиптические уравнения второго порядка. В работах В.А.Ильина и Е.И.Моисеева устанавливались формулы среднего для эллиптических операторов более общего вида. Эти формулы использовались авторами при изучении вопросов, связанных со спектральными разложениями. Теорема о среднем переносится также на обыкновенные дифференциальные уравнения. Кроме того, данная теорема справедлива также на ри-мановых многообразиях.

Второй большой круг вопросов, связанных со средними,основан на том, что среднее (I) удовлетворяет уравнению Дарбу. Отправляясь от этого факта, получаются формулы Кирхгофа для решений волновых уравнений и уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. Эти

формулы, выражающие решение задачи Коши через средние от начс.чь-ных функций, позволяют непосредственно усмотреть характер зависимости решения'^т начальньк функций, в частности, установить условия гладкости классического решения и наличие принципа Гюйгенса. Мы придерживаемся определения принципа Гюйгенса в точном смысле по Ж.Адамару в терминологии И.Г.Петровского. Проблемы, связанные с принципом Гюйгенса, изучались в ряде работ.Библиография до 1986 года дана в работах А.М.Габриэлова и В.П.Паламо-дова, Р.Шимминга, в монографии Н.Х.Ибрагимова.

Вопросы, связанные с принципом Гюйгенса для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, как правило, основаны на классическом методе А.Вайнштейна. Как известно, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу имеет в евклидовом пространстве вид

' l!^ + к а^ - а-

at*+ Т ть - а)

& -

. - 'I' ■ г

где KfîÙX,i), хеЦпу Д = 3'Z/Vxf + . .*. + ^ -

оператор Лапласа в £ > k -Сяп/jt . Это уравнение содержит в левой части оператор Бесселя по переменной Ь .

Изучение дифференциальных уравнений с оператором Бесселя и теории соответствующих весовых пространств берег начало от ре- / зультатов И.А.Киприянова, которым разработаны методы применения преобразования Фурье-Бесселя к таким уравнениям. Следует отметить ' качественную особенность, возникающую при рассмотрении уравнения (2): появление принципа Гюйгенса в четномерных пространствах. Это подмечено в работах Х.Хорниха, И.А.Киприянова, Л.А.Иванова. Дальнейшее рассмотрение уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и его обобщений связано с именами К.Штельмахера, Д.Фокса, П.Понтера, Х.Хорниха, Ж.Соломона. Для римановых пространств с постоянной кривизной И.Н.Олевским доказано, что среднее по геодезической сфере удовлетворяет уравнению Дарбу. Это в свою очередь позволило рассмотреть задачу Коши в указанных пространствах для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и, в частности, для так называемого "обобщенного" волнового уравнения. Известно, что теорема о среднем такого типа имеет место и в произвольном однородном симметрическом римановом пространстве. Дальнейшее развитие проблемы принципа Гюйгенса в неевклидовых пространствах

■ .

связано с теорией рассеяния и именами Б.С.Павлова, Л.Д.Фадеева, П.Лакса и Р.Филлипса. Проблеме принципа- Гюйгенса посвящен ряд работ И.АДипфиянова и Л.А.Иванова. Ими уточнено понятие волнового уравнения и уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в рима-новых пространствах, построены аналоги формул Кирхгофа для волновых уравнений в пространствах с постоянной кривизной.

Наконец, третье направление исследований с использованием средних значений связано с известной георемой Асгейрсона. Известен следующий результат.(теорема о среднем для уравнения колебаний струны): если функция двух переменных является регулярным решением уравнения

= к*х > (V

\

то она удовлетворяет равенству

ЩъЛЛ + ии^Ь^^Щх^ЬгКгКх,,^), (у)

где £=¿,¿,3,У, суть последовательно пронумерованные

вершины прямоугольника, образованного хараперистическими для уравнения (3) линиями

Справедливо и обратное утверждение: если

функция ие С (А )

удовлетворяет равенству (4) для всякого прямоугольника, образованного линиями (5), то она является регулярным решением уравнения (3)(обратная теорема о среднем). Это по-видимому впервые отмечено А.М.Нахушевьм. Теорема о среднем для уравнения колебаний струны была обобщена. В.Барановым и Ж.Кюнецом, а затем 'Е.И. Моисеевым, В.В.Тихомировым и Е.А.Козловым на случай двумерного гиперболического уравнения с переменными кусочно-непрерывными коэффициентами. Многомерное обобщение формулы (4) для класса уравнений переменного типа в области гиперболичности принадлежит А.В.Бицадзе и А.М.Нахушеву. В тех случаях, когда справедлив принцип Гюйгенса, эта теорема связывает сумму значений решения в двух точках с его интегралом по пересечению характеристических коноидов с вершинами в этих Точках, размерность которого t на два меньше общего числа переменных. Если принцип Гюйгенса не выполняется, то вместо интеграла по пересечению коноидов появляется интеграл по поверхности, размерность которой на ег.н-

ницу меньше общего числа переменных.

В проблеме, связанной с теоремой о среднем для гиперболичес ких уравнений имеются некоторые пробелы. Так, например, в отличие от теоремы о среднем для уравнения Лапласа оставался невыясненным вопрос об обратимости теоремы о среднем для многомерного волнового уравнения, принадлежащей А.В.Бицадзе и А.М.Наху-шеву. Кроме того, не были известны теоремы о среднем для уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу и волновых уравнений в симметрических пространствах.

ЦЕЛИ РАБОТЫ. Изучение свойств средних от решений волновых уравнений (обратная теорема о среднем для волнового уравнения в евклидовом пространстве, прямые и обратные теоремы о среднем для волновых уравнений в пространствах с постоянной кривизной и уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. Изучение влияния полученных свойств на- постановку и корректность краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типа.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе использованы методы, основанные на конформной инвариантности волновых уравнений и принципа Гюйгенса, применявшиеся в работах Л.Лакса и Р.Филлипса.Б.Орсте-

немецкими математиками П.Гюнтером, Р.Шиммингом и другими. Лриме'не.ние этих методов в отечественной школе связано с именами Н.Х.Ибрагимова, Е.В.Мамонтова и других. Также разработаны методы применения теорем о среднем для изучения качественных свойств решений волновых уравнений и' уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу в римановых пространствах. Эти исследования представляют собой развитие подхода А.В.Бицадзе' и А.М.Нахушева.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации решены следующие вопросы:

- обращение теоремы о среднем для многомерного волнового уравнения в евклидовом пространстве;

- получение теорем о среднем для волновых уравнений с инволютив-ным сдвигом;

- получение теорем о среднем для различных классов уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу ;

- доказательство•теоремы о среднем для волнового уравнения на сере пространстве Лобачевского;

'- приложение теорем о среднем для исследования различных неклассических краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типа.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Основные результаты диссертации док-

ладывались на ХП школе по теории операторов в функциональных пространствах (Тамбов, 1987г.), на У1 Украинской Республиканской конференции 'Нелинейные задачи математической физики"(Донецк, 1987г.), на второй и третьей Северокавказских конференциях по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Махачкала,1988,1991гг.), на Всесоюзной .конференции "Интегральные уравнения и краевые задачи Математической физики" (Владивосток, 1990г.), на конференции по дифференциальным уравнениям в Самаре (1990г.), на ХХ1У Воронежской зимней математической школе (1991). на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений ВГУ, научных сессиях ВГУ (198б-1991гг.).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме- диссертации опубликовано семь работ , С13-[7]. В работах \_I-Z] Л.А.Иванову принадлежит постановка задач.

СТРУКТУРА И ОБЬЕМ РАБОТ. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 95 наименований. Полный обьем работы - 123 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава состоит из четырех параграфов. В §1.1 мы приводим теорему о среднем для волнового уравнения в многомерном евклидовой пространстве, принадлежащую А.В.Бицадзе и А.М.Нахушеву.

Пустьй- - евклидово пространство точек (Х,1) = (Х1>...,ХЛ,Ь).

Пусть С Х^ ) = (Х^,... , , Т}), - пара точек в

й"*1, удовлетворяющих условию

1х1-х21 ^ т-т»1. (б).

Обозначим через Бр оператор,-»определяемый (формулой

ЬМ-ушА- .А

\n--f

при ХА 4 Х1 и

'М-р • ,

при Xi-X2 , где матрица А; получается из ортогональной ма-

Мь-1)

заменой L -го столбца нулями. Грусть = ]/lTi-T2 |г-|ХгХ I*

Введем в рассмотрение оператор В ~В (rtjXi/Ji» Хг,Ъ) 110 формуле

¥(Ы * ? \ ri-Krrwdz),

Bix=i л Р (9>

Mfcf} Ф&Ч*'*"""'»-

Здесь Г(п)^(яГ1-п»г, Ъ/2рг l/p'9/Vp,c/u>f~

элемент поверхности с|юры|//=р в пространстве R.п . Далее, пусть Ах - "Э1/ Эх? +.

, Teopcf.ii J,£,2 (прямая теорема о среднем для волнового уравнения). Пусть функция 1С (х, t) является регулярным решением волнового уравнения • . ■

= M .

Тогда для любой пары точек С Xj > , j = 1,2., удовлетворяющей условию (6), выполняется равенство

" te (Xi,Ti)+«■(Xl,Te) = flù. (il)

При нечетном П интеграл в правой части берется по пересечению характеристических конусов с вершинами в точках (Xj,Тг) , что вполне1 согласуете^! с принципом Гюйгенса,имеющим место в данном случае. -

§1.2 посвящен обращении теоремы о среднем I.I.2 на гладких функциях.Пусть

Спьоух { П.т1, (a + â)/2j , n^Kmodi),

H Г r ' , ii2>

»

Тпорома Г.2.1 (обратная теорема о среднем). Пусть функция

U.ÎX,i) е С ' С R.nu) для любой пары точек (Xj. ,Ti), (Хг ,Тг )f

удовлетворяющих условию (6), удовлетворяет равенству (II). Тогда оня является регулярным решением волнового уравнения (10).

Ь

Техника, использованная при доказательстве теоремы 1.2Л, применяется также для доказательстве-теоремы Асгейрсоиа (теории-1.2.2).

§1.3 посвяо(ен теоремам о среднем значении для волношл уравнений с инволютивным сдвигом. Впервые такие уравнения раесм:. • тривались А.А.Андреевым. В данном параграфе решена задача Коши для уравнений подобного типа, а также доказанаы теоремы о среднем для различных разновидностей таких уравнений.

Пусть и (X, i и (асА,..¿ ) £ Сг(Ип>к\ се к 1-

фиксированный вектор. Обозначим через V оператор иннолютивцогп сдвига по X : ТИ - и(С-Х}{\- Рассматривается'уравнение

Для этого уравнения даны условия классической разрешимости задачи Коши, доказаны аналоги прямой и обратной теорем о среднем (теоремы 1.3.1 и 1.3.2). Отдельно рассмотрен случай /1=4 . Рассмотрено также уравнение

' ГГГ ¡еиа.,

для которого доказаны варианты прямой и обратной теорем о среднем (теорема 1.3.3).

В § 1.4 устанавливаются формулы среднего значения для уравнения Эйлера-Пуассона -Дарбу в И :

Щ + Ж =Л ¿г. (13)

Решение уравнения (13) обозначаем через ^¿¡^ Г ЭС?, ^ ^ .Пусть

£ (П-й )/2}П-Цто4и). Обозначим через Н конечную область простанства й."*1 , ограниченную плоскостью и характеристическим конусом К*. 1Х.1 = 2-Ь , £ Пусть <£ С2Ш)П С (Н ) является в Н решением уравне-нвд (13). Пусть, кроме того, функция имеет непрерывные в Н по совокупности переменных производные по переменной Ь до порядка ¿/о1 включительно. Тогда справедлива формула среднего значения

% {X, 0) + ^ (О,г) = в ^ ,

гдэ )Х [¿-Z , оператор В введен формулой (9),

/ - -JSL— ,

LM Г(/н*/2) t ЫV t ,

!».- гамма-функция Эйлера. '

Пусть теперь в уравнении (13) J4 7 (п-4.)/Z .Тогда справедлива (формула

Ж f+f*'.**)*** t"-' SrL^v-^ it,

о

где if (п.) - '{/Г" , оператор S.J. введен формулами (7) и (8),

Вторая глава диссертации состоит из четырех частей-параграфов и посвящена теоремам о среднем для волновых уравнений на сфере и в пространстве Лобачевского. • •

В § 2.1 вводится волновое уравнение на сфере и устанавливается его локальная связь с волновым уравнением в евклидовом пространстве. Аусть R.nfi~ евклидово пространство точек (Х$

Пусть Sn - единичная сфера в R.nU, заданная уравнением,'iwNi i где и)-Ы,?.). Пусть Ли - оператор Лапласа-Бельтраминна единичной сфере. Рассмотрим волновое уравнение на сфере • п ,

+ ' Ul)

Если функция "U-lXfifb ) ' удовлетворяет уравнению (14) при m>lu>*tl , то функция V(X.,T) = fU , где (ziceiif-W* Tf- -bin t / (г ± Cost) , Х - X/a± ил t) • удовлетворяет евклидову волновому уравнению

'Цгг-Лх1Г

s

в конусе /%! |Т| • Справедливо и обратное. ■ Б § 2.2 доказаны прямая и обратная теоремы о среднем для волнового уравнения на сфере.

' Теорема 2.2.1. Пусть (iCj, , = пара точек в

'ЬПХ(0,ЗГ) , лежащих внутри области |Z:l>|CöStl и удовлетворяющих условию

(ti-ta)

Пусть функция U(X,l,t) является регулярным в области IZbfCoitl решением уравнения (14). Тогда справедливо равенство

Ux± costi)'"-15'2 UiXlf2lfii)i. + Ut±,U*U)in~i)'ZU(*t,ltiizY=-ß(fU)t (17)

где оператор В определен формулой (9), а в правой части

U = Ы( х(Х,Т), 2(Х,Т), t <£,"П).

Таким образом, при У1-i (modz) линейная комбинация значений функции, стоящая в левой части формулы (17), целиком определяется значениями на пересечении характеристических поверхностей уравнения (14) с вершинами в точках ('Xj » Zj , ij ) , J = i}2.

Теорема 2.2.2. Пусть функция И 6 С S„ х(0,%)), где I определяется формулой (12), для всякой пары точек из области |ll>|Cö»»tl , удовлетворяющих условию (16), удовлетворяет равенству (17). Тогда она является регулярным при l£l >|CO-i~tl решением сферического волнового уравнения (14). . / ■ В § 2.3 рассматривается волновое уравнение в пространстве / Лобачевского и устанавливается erö связь с волновым уравнением в евклидовом пространстве. / Мы реализуем геометрию Лобачевского на полупространстве

с метрикой

dtl = + (ig)

Волновое уравнение в пространстве Лобачевского имеет виц

ю

ш)

- оператор Лапласа-Бельтрамл в метрике (16). Пион,ем отображение П X ЯЯ"** с помощью формул

{ е1а + 1х!г)/хп,

Теорема 2.3.1. Функция 11 (X, Ь ) тогда и только тогда яв-;|-1..ги;,1 ]к!гул.!рш-м решением уравнения (19), когда функция

» (гг - ¡Х!*)""1"4 и ( -X С*, П) является регу-

л/.рньп решением волнового уравнения .

в конусе < | евклидова пространства Я- точек

Б § 2.4 устанавливается справедливость теоремы о среднем значении (прямой и обратной) для волнового уравнения в пространстве Лобачевского.

Теорема 2,4.1. Пусть функция 11 (X, £) является регулярным решением уравнения (19). Пусть (Х^,^ ) = (х^, , j =1,

пара точек в П X К. , удовлетворяющая условию

- еи*и >о. . (24) «.

Тогда справедливо равенство

где { = (Тг-1Х1*)П~П)/\ > оператор в

определен формулой О). ^

Теорема 2.4.2. функция И £ С ( П х К.) , где С определяется формулой (12), удовлетворяющая равенству (22) для всякой пары точек (Х^р , связанных условием (21), является регулярным в Пхй. решением уравнения (19).

В третьей главе мы иллюстрируем возможности применения теорем о среднем значении к исследованию краевых ззнач для некото-

к

рык уравнений гиперболического и смешанного типа.

§ 3.1 посвяаен краевым задачам для волновых уравнении. Рассмотрим волновое уравнение (19) в пространство Лобачевского и предположим, что решение 1А. (X, Ь) не зависит тт X'. Вводя обозначение ЭСЦ , получаем уравнение

и - и*- (и1~п Уи- )4-/п~:(

(гз)

В рамках теории рассеяния для автоморёных функций уравнение (23) рассматривалось П.Лаксом и Р.$иллипсом при П. = И .В диссертации установлена теорема о среднем для этого уравнения.

Теорема 3.1.1. Всякое регулярное при у >0 решение уравнения (23) удовлетворяет равенству

где ("Ус,1=1,2,3, Ч} суть последовательно пронумерованные вер'шшы- криволинейного четырехугольника, образованного линиями

у. * СОгиЛ , 1 = - £п у СОгиЛ.

Задача 3.1.1 (характеристическая задача). Пусть О - область плоскости ),'ограниченная линиями ± (% >±). Требуется найти регулярное в области Т) решение К(у^) уравнение (23), непрорывное в Т> , удовлетворяющее условию

С помощью теоремы 3.1.1 доказано, что если функция Ц> имеет непрерывные производные до второго порядка вдоль кривых

Ь = ( у > 4. ) , совпад-т^цие в смысле предельного перехода

п точ'се (1,0), то задача 3.1.1 иг/сет единственное релонпе.

Укат.ем теперь аналоги нелокальной краевой задачи, рассмотренной А.В.1м!Ц->игзз и Л.М.Пахушэвым.

В пространстве П X Я. , где П - пространство Лобачечс-кого ничетизй рчпморчости П. , обозначим через Н конечную е''-! кп'ь, ограниченную поверхностями К:(е*-Х„.)= С1

Пусто и обозначает ту часть поиопчч'. "гч М » ТО'ИШ которой упопч»'1 гппряют условия Лг-ССл)(е4Хч-1)>С11

Задача З.Ь2. Найти регулярное в- Н решение уравнения (19) непрерывное в Н и удовлетворяющее краевым условиям

йт 1><Я), &({ и)= УГзс), 1хЛ)еЪ.

/ |

Здесь В- Ь оператор, определенный формулой (9)

при следующем выборе точек (в соответствие с формулами (20):

Х4 = Х(0,1;0)=0, ТА =Т <0,1; о) = 1,

■ Хг = х (х', 0СЛ, и), Тг = г (X', х„., £е), ^ = (г / *

Ое С(п + 1)/г , у 6 С Гп+3)/г . Показано, что задача 3.1.2 однозначно разрешима.

Рассмотрена аналогичная задача на сфере (задача 3.1.3) Условия однозначной разрешимости соответствуют условиям задачи 3.1.2 с естественными требованиями на ограниченность длин геодезических. |

! § 3.2 содержит исследование с помощью теорем о среднем краевых задач для уравнений смешанного .типа.

! Пусть - область плоскости переменных $, » огра-

ниченная линиями £ = О, £= 4 , Через Ъ* обоз-

начим область в полуплоскости Ь <0 , ограниченную линиями ¿ = 0 и гладкой кривой 0> с концами в точках о),орто-

гональной к линии 1-0 . Пусть 5 обозначает интервал (е'^Ё1^) оси

Оц . Рассмотрим уравнение ■ ' |

Задача 3.2.1 (задача Дирихле). Найти решение

1/В ) П С(Б+иП") имеющее непрерывную производную на Б и удовлетворяющее краевым условиям

ии1/г,1) = С-ь>, ' о £

Следующая нелокальная задача для уравнения смешанного типа ' также является аналогом задачи, рассмотренной А.В.Бицадзе и

А.М.Нахушевым. Пусть П - пространство Лобачевского нечетной размерности М с метрикой (18). Пусть 0~ - конечная область в П X Й. , ограниченная поверхностями К: ~

Пусть <=> - гладкая поверхность в П * Я. » расположенная в полу-простанстве "Ъ "Ь0 , ортогональная к М и удовлетворяющая условию

Клм = ёлм«?..

Обозначим через область, ограниченную поверхностями 6 иМ. Пусть 5 обозначает множество точек (ос. ',х„)еП ' удовлетворяющих неравенству

и пусть £ = { (Л^о): хе 5} • Пусть 6= 8 (п;Х1;Ыг,Тг)-

оператор, введенный формулой (9). Выбор точек (Х^Т^, (Х-гЛг) осуществим также, как в задаче 3.1.2 и положим в соответствии с формулами (20), -М-СЗСД) = гс(Х( (*,т)), £СХ X)-

Пусть Дю - оператор Лапласа-Бе ль трами в метрике (18). Задача 3.2.2. Найти решение 1Х. 6 С2( Ъ*и1)~)а С(1)+иВ~) уравнения - ■

удовлетворяющее краевым условиям

1) непрерывна в области ^^СБ'и и интегрируема по £0 }

2) 1Л, ГэеД)= Ч>(*,£),

3) е> = Х65,Ы.,

где ЧЧхД) еСГг,*3)/2(ё), ЧЧх)бСгп+3>/2(5).

Метод решения задачи 3.2.I состоит в сведении её с помощью теоремы 3.1.1 к последовательно решаемым задачам Дирихле и начально-краевой задачи. Задача 3.2.2 также эквивалентно в смысле однозначной разрешимости сводится к задаче Дирихле с помощью теоремы 2.4.1 и к задаче Коши для волнового уравнения в пространстве Лобачевского.

Автор приносит сердечную благодарность научному руководите-

Ik

лю профессору И.А.Кипри.?нову за постановку задач и постоянное " i внимание к работе. Большую благодарность автор выражает веду- 1 щему научному сотруднику Л.А.Иванову за многочисленные ценные консультации и беседы, способствовавшие написанию работы. Автор признателен доктору физико-математических наук В.З.Мешкову, об- ' ратившему внимание на ряд публикаций по теме диссертации и высказавшему ряд полезных-замечаний при её подготовке, '

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих ' работах. „" ,

1. Иванов Л.А., Половинкин И.П. Теоремы о среднем для некрто^ уравнений с отклоняющимся аргументом. Воронеж, 1987. - 16с. - 1 Деп.. в ВИШИ 25.08.87,' № 6210-В87. - , |

2. Иванов Л.А.', Половинкин И.П. Теорема о среднем для волнового уравнения с отклоняющимся аргументом. // ХП школа по теории! one раторов в функциональных пространствах: Тез.докл. - Тамбов, 1987.

- 4.1'- С.84. ' j

3. Половинкин И.П.. Задача Коши для уравнения с отклоняющимся аргументом // У1 Украинская Республиканская конференция "Нелинейные задачи математической физики": Гез.докл. - Донецк, 1987 -С.НО.

'4. Половинкин И.П. Об одном классе задач для уравнения с отклоняющимся аргументом // 2-я Северокавказская региональная конференция по функционально-дифференциальным уравнениям и их | приложениям: Тез.докл. - Махачкала, 1988. - С.169. |

5. Половинкин И.П. Формула среднего значения для волнового! уравнения на сфере // Интегральные уравнения и краевые задачи \ математической физики: Тез. докл. Всесоюзной конференции 22-26 1 октября 1990. - Владивосток 1990. - С. 127.

6. Половинкин И.П. Георема о среднем значении для волнового уравнения в пространстве Лобачевского // 3-я Северокавказская региональная конференция по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям: Тез.докл. - Махачкала, 1991. - C.I29.

7. Половинкин И.П. Обращение теоремы о среднем значении для волнового уравнения // Дифференц.уравнения.- 1991. - Т.27, №11.-СЛ987-1990.