Геометрические свойства решений уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Половинкин, Игорь Петрович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Старый Оскол
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2014
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Половинкин Игорь Петрович
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Белгород — 2014
1 5 МАЯ 2014
005548338
005548338
Работа выполнена в Старооскольском технологическом институте им. А. А. Угарова (филиале) ФГАОУ ВПО "Национальный исследовательский технологический университет "Московский институт стали и сплавов".
Научный консультант: д.ф.-м.н., профессор
Официальные оппоненты.
Алхутов Юрий Александрович - д.ф.-м.н., профессор кафедры математического анализа ФГБОУ ВПО "Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых".
Муравник Андрей Борисович - д.ф.-м.н., руководитель проекта, департамент инновационных технологий, ОАО "Концерн "Созвездие", г. Воронеж.
Федоров Владимир Евгеньевич - д.ф.-м.н., профессор,
заведующий кафедрой математического анализа математического факультета ФГБОУ ВПО "Челябинский государственный университет".
Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова", факультет вычислительной математики и кибернетики
Защита состоится 20 июня 2014 г. в 14-00 на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при ФГАОУ ВПО "Белгородский государственный национальный исследовательский университет "по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корпус 1, ауд. 407.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГАОУ ВПО "Белгородский государственный национальный исследовательский университет" и на сайте www.bsu.edu.ru. Автореферат разослан "16" мая 2014 г.
Ученый секретарь Гриценко С.А.
Мешков Виктор Захарович
диссертационного совета
Актуальность темы диссертации.
Диссертация посвящена геометрическим аспектам изучения качественных математических свойств моделей, построенных на основе использования дифференциальных уравнений в частных производных. Исследования проводятся в следующих направлениях.
Вывод и изучение теорем о среднем значении. В
разных разделах и прикладных задачах под этим понятием часто подразумевают несколько разнородные факты. Так или иначе, многообразные результаты для различных типов уравнений объединяет то, что в них участвует среднее (¿(и, х, г) достаточно гладкой функции и(х), х £ Мп, по сфере Б(х,г) с центром в точке х и радиусом г.
Наиболее широко известны теоремы о среднем для эллиптических уравнений. Базовыми для использования в приложениях являются классические теоремы Гаусса о среднем значении гармонической функции. Этот факт обобщается на эллиптические уравнения второго порядка. В работах В. А. Ильина и Е. И. Моисеева устанавливались формулы среднего для эллиптических операторов более общего вида. Эти формулы использовались авторами при изучении вопросов, связанных со спектральным разложением по собственным функциям эллиптических операторов. Теорема о среднем переносится и на обыкновенные дифференциальные уравнения в работах этих же авторов. Т. Е. Моисеевым доказана формула среднего значения для гармонической функции в круговом секторе. Кроме того, теорема о среднем указанного типа переносится и на римановы многообразия. Обратная теорема о среднем для собственных и присоединенных функций оператора Лапласа в евклидовом пространстве доказана О. В. Каштановым. Следует отметить работы В. В. Волчкова, в которых существенно ослаблено условие обратной теоремы о среднем для гармонической функции и работы Л. Зальцмана и А. В. Покровского.
Второй большой круг вопросов, связанных со средними значениями, основан на том, что сферическое среднее удовлетворяет уравнению Дарбу. Отправляясь от этого факта, получаются формулы Кирхгоффа для решений волновых уравнений и уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. Эти формулы, выражающие решение задачи Коши от начальных функций, позволяют непосредственно усмотреть характер зависимости
\
решения от начальных функций, в частности, установить условия гладкости классического решения и наличие принципа Гюйгенса. Подробное описание вопросов, связанных с принципом Гюйгенса, а также библиографию см. в монографии Н.Х. Ибрагимова, в комментарии А. М. Габриэлова и В. П. Паламодова к работе И. Г. Петровского, в работе Р. Шимминга. Методы исследования, связанные с принципом Гюйгенса для сингулярных уравнений и, прежде всего, уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, как правило, основаны на классическом методе А. Вайнштейна. Как известно, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД) содержит в левой части оператор Бесселя по временной переменной Изучение дифференциальных уравнений с оператором Бесселя берет начало от И. А. Киприянова. Следует отметить качественную особенность, возникшую при рассмотрении уравнения (ЭПД): появление принципа Гюйгенса для уравнений с четным числом пространственных переменных (см. в этом направлении работы И. А. Киприянова, Л. А. Иванова, В. А. Зайцева). Дальнейшее рассмотрение уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу связано с именами К. Штельмахера, Д. Фокса, П. Гюнтера, X. Хорниха, Ж. Соломона. Для римановых пространств с постоянной кривизной М. Н. Олевским доказано, что среднее по геодезической сфере удовлетворяет уравнению Дарбу. Это в свою очередь позволило рассмотреть задачу Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и для так называемого обобщенного волнового уравнения. Известно, что теорема о среднем такого типа имеет место и в произвольном однородном симметрическом пространстве. Дальнейшее развитие проблемы принципа Гюйгенса связано с теорией рассеяния и именами П. Лакса, Р. Филлипса. Проблеме принципа Гюйгенса посвящены многие работы И. А. Киприянова и Л. А. Иванова. Ими уточнено понятие волнового уравнения и уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и получены аналоги формул Кирхгофа в пространствах с постоянной кривизной.
Наконец, третье направление исследований с использованием средних значений связано с известной теоремой Асгейрссона.
Теорема о среднем для класса уравнений переменного типа в области гиперболичности принадлежит (в том числе, для волнового уравнения) А. В. Бицадзе и А. М. Нахушеву. В тех случаях, когда справедлив принцип Гюйгенса, эта теорема связывает сумму значений решения в двух точках
с его интегралом по пересечению характеристических конусов с вершинами в этих точках, размерность которого на два меньше общего числа переменных. Если принцип Гюйгенса не выполняется, то вместо интеграла по пересечению конусов появляется интеграл по поверхности, размерность которой на единицу меньше общего числа переменных. Теорема о среднем для уравнения колебаний струны на случай двумерного гиперболического уравнения была обобщена В. Барановым и Ж. Кюнецом, а затем Е. И. Моисеевым, В. В. Тихомировым и Е. А. Козловым.
Теоремы о среднем такого типа применяются для исследования корректности и решения задач для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа, для построения приближенных методов решения гиперболических уравнений.
Изучение геометрической структуры множества кратных нулей решений линейных эллиптических уравнений. Исследуется вопрос об оценке сверху размерности такого множества.
Приложение геометрических методов к изучению некоторых математических моделей макроэкономики. Прежде всего к изучению свойств указанных моделей применяются доказанные в диссертации теоремы о среднем значении для некоторых эллиптических и гиперболических уравнений, которые описывают распределение дохода в достаточно большом регионе при условии межрегиональной торговли, результаты о размерности множества стационарных нулей решений эллиптических уравнений и некоторые другие методы.
Методика исследований. В диссертации используются методы математического анализа, теории распределений.
Основные результаты диссертации и их научная новизна.
Следующие результаты диссертации являются новыми.
1. Разработаны подходы к получению формул среднего значения для эллиптических уравнений из формул среднего для гиперболических уравнений. Доказана обратная теорема о среднем значении для волнового уравнения. Доказаны новые двухточечные прямая и обратная теоремы о среднем
для уравнения Лапласа, а также двухточечные теоремы о среднем для других эллиптических уравнений. Доказано обращение теоремы о среднем для уравнения типа Гельмгольца с оператором Лапласа-Бельтрами в римановой метрике с постоянной кривизной, принадлежащей В.А. Ильину, прямая и обратная теоремы о среднем для присоединенных функций этого оператора.
2. Разработан символический подход к изучению свойств средних значений решений уравнений в частных производных. В диссертации продемонстрировано, как этот подход позволяет выводить некоторые новые теоремы о средних значениях и о других свойствах решений для уравнений в частных производных. Это позволяет найти формулы среднего значения для широкого класса уравнений с постоянными коэффициентами с двумя переменными с помощью ранее известных формул среднего. В частности доказано, что линейное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами с двумя независимыми переменными в случае однородного символа оператора эквивалентно некоторому разностному уравнению. Рассмотрено распространенение результатов на случай сингулярных уравнений.
3. Изучен вопрос о размерности множества кратных нулей решения линейного эллиптического уравнения.
4. Рассмотрен вопрос о границах применимости разработанных методов. Показано, что в порождающей В-эллиптический оператор метрике отсутствует нетривиальная транзитивная группа изометрий.
5. Указаны приложения развитых геометрических методов к изучению экономико-математических моделей: дана трактовка формул средних как разновидностей законов сохранения в макроэкономических моделях; найдены соотношения входных данных в макроэкономических моделях, приводящие к принципу Гюйгенса; в случае стационарной макроэкономической модели распределения дохода в условиях межрегиональной торговли с помощью теоремы о структуре множества нулей решения эллиптического уравнения с двумя переменными выявлено, что множество стационарных нулей решения стационарного решения уравнения распространения дохода состоит из изолированных точек. Рассмотрена проблема устойчивости стационарных решений уравнения Хотеллинга роста и распространения популяции и уравнения Т. Пу роста и распространения
численности населения с учетом производства. С помощью сведений о геометрии области, в которой рассматривается уравнение, были улучшены результаты Т. Пу о достаточных условиях устойчивости.
Практическая и теоретическая
значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивное описание математических объектов. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных и в математическом анализе.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих семинарах и конференциях.
1. В Московском государственном университете на семинаре по дифференциальным уравнениям на кафедре общей математики под руководством академика В. А. Ильина. 2. В Московском государственном университете на кафедре дифференциальных уравнений на семинаре "Качественная теория дифференциальных уравнений "(руководители - проф. И. В. Асташова, проф. А. В. Боровских, проф. Н. X. Розов, проф. И. Н. Сергеев ). 3. В Санкт-Петербургском отделении Института математики им. В.А. Стеклова на семинаре по математической физике им. В. И. Смирнова. 4. В Воронежском государственном университете на семинаре по математическому анализу и дифференциальным уравнениям (координатор — проф. И. Я. Новиков). 5. Воронежская зимняя математическая школа. 6. Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения. 7. Международная научная школа-семинар "Системное моделирование социально-экономических процессов". 8. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам
— г.Суздаль. 9. Прикладные задачи математики и механики: международная научно-техническая конференция - Севастополь. 10. Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел: Международная конференция -Белгород. 11. Дифференциальные уравнения и смежные вопросы
- XXIII сессия, посвященая 110-й годовщине И. Г. Петровского.
Перейдем к краткому изложению диссертации. Сохраним при этом нумерацию формул и теорем из основного текста диссертации.
Раздел 1 посвящен теореме о среднем значении для волнового уравнения, доказанной А. В. Бицадзе и А. М. Нахушевым. В разделе 1.1 эта теорема цитируется для полноты дальнейшего изложения. Приведем ее и здесь.
Рассмотрим в пространстве Кп+1 пару точек ] —
1,2, где ХЮ = (х[3\х^\...,х^), з = 1,2, удовлетворяющих условию
-Х(2)| < -¿(2)|. (1.1.1)
Построим матрицу А по следующему правилу. Зафиксируем некоторый индекс г € {1,...,п} и положим а^ = (х^ — — ] = 1,... ,п. Остальные элементы этой
матрицы достроим из условий ААТ = 7, ск^ А = 1, где — матрица, транспонированная к матрице А, I — единичная матрица. Пусть Аг обозначает матрицу, полученную из матрицы А заменой г-го столбца нулями. Обозначим через Р величину,
определяемую равенством 2Р = " ¿(2))2 " - Х(2,|2.
Введем оператор усреднения 5'г по формуле:
Б, = = 7(п) У V (т/, т) - Х<2>| > 0, (1.1.3)
1€М
где 7(п) — \/7г1_",
= {¿(1) | ^ 71 ~~ |Х(!) - - ¿(2))2 - |Х(!) - Х(2)|2 2
_ ¿(1) _(_ ¿(2)
¿¿^ — элемент площади поверхности сферы |£| = £ в Еп. При Х^ = Х^ оператор St определим формулой
54 = 5> = 7(п) I у(хМ + £,*{1)+21{2)\ (1.1.4)
Далее введем оператор по формулам
(п-1
* п = 1(,гох12), (1.1.5)
в'"=»=^ (4) 7 "т• -- о(то<12)-(1л-6»
О
Теорема 1.1.1. (теорема о среднем для волнового уравнения). Если функция у(х\,... ,хп,£) является регулярным в К" решением волнового уравнения
V- /1 1 ^
к=1 К
то для любой пары точек j = 1,2, удовлетворяющих
условию (1.1.1), имеет место равенство
¿(1)) + «ре*2),**2*) = ВР V. (1.1.8)
Раздел 1.2 посвящен обращению теоремы о среднем значении для волнового уравнения. Пусть I — тах{гг — 1, если п = 1(тос12), I = тах{п, + 1]}, если п = 0(тос12).
Теорема 1.2.1. (обратная теорема о среднем для волнового уравнения). Пусть функция у(х, ¿) Е С'(МП+1) для любой пары точек з = 1,2, удовлетворяющих условию (1.1.1),
удовлетворяет и соотношению (1.1.8). Тогда она является регулярным решением волнового уравнения (1.1.7).
В диссертации построен пример дважды непрерывно дифференцируемой функции трех пространственных переменных и времени, удовлетворяющей формуле среднего и не являющейся регулярным решением волнового уравнения. При этом использовалась методика обнаружения фокусировки волн Ф. Иона.
Раздел 1.3 посвящен следствиям из теоремы о среднем для волнового уравнения. Эти следствия представляют собой
двухточечные формулы средних значений для эллиптических уравнений, получаемые с помощью метода спуска Адамара, а также формулы средних значений для некоторых гиперболических уравнений. В п. 1.3.1 доказана двухточечная теорема о среднем значении для гармонической функции:
Теорема 1.3.1. Пусть область С Яп содержит точки О и а = (ах, 0..., 0). Пусть область, ограниченная эллипсоидом
Ф, определенным уравнением
+ + (1 344)
г2 г2 — а\
вместе со своим замыканием лежит в области Г2. Тогда справедлива двухточечная формула среднего значения
и{а) + и(0) = Ври. (1.3.40),
где оператор В{ = В"и определен формулами (1.1.5) и (1.1.6), 2Р — у/г2 — а'(, оператор определен формулой
&« = 7(п) [ .....(1-3-38)
] * л/т - а(
Теорема 1.3.3. При Х^ = = X^ в случае
п = 1(тос12) формула среднего (1.3.40) совпадает с известной формулой среднего Гаусса для гармонической функции для сферы радиуса г/2:
= 15^=1 / 5 = г'2- (1-3'47)
Теорема 1.3.4.(обратная двухточечная теорема о среднем для гармонической функции). Пусть функция и(х) £ С1(П), О. € М", для любой пары точек Х^ е П, 3 = 1,2, для любого г > 0, такого, что замыкание области, ограниченной эллипсоидом, задаваемым в системе координат, в которой Х^ = (0,..., 0), Х& = а = (аь0, ...,0) уравнением
(1.3.44), вложено в П, удовлетворяет, соотношению (1.1.8). Тогда она является гармонической в Г2.
В п. 1.3.2 доказана формула среднего значения для регулярного решения й(х\,х2,ь) гиперболического уравнения
д2й д2и д2й о— /•. о
^ = ^ + ^ + (1-3"68)
которая имеет вид
, „ , 28 1 Г рсЦс^/ г2 - р2) «(0,0,0) + «(а, 0, г) =
Г (а р cosö . Л г ар cos в \ \ .
х У Ч 2+ 2 - V^J dedp)> (L3-72)
где t = Р = Vr2 - (у2/2. Для уравнения
d2U d2U ,2м (Л Q -7QN
___ + сы = 0 (1.3.73)
получена формула среднего значения, имеющая вид
и(х, t) + и(х, —t) =
x+t
= iy «(£, 0)(7o(c^2 - (£ - X)2)) - L0(c^ - (£ - rr)2)) de, x—t
(1.3.76)
где
rn_V (Ф)2т+" r = V (z/2)2m+I/+1
- Z^ ш!Г(т + I/ + 1)' 14 ; Г(т + 3/2)Г(т + u + 3/2)
m=0 m=0 ' 4
суть модифицированная функция Бесселя первого рода порядка г/ и модифицированная функция Струве порядка v соответственно.
В п. 1.3.3 доказана формула среднего для уравнения Гельмгольца
д2и д2и о „
щ+щ+*и=0 (1-3-77)
в М2. Она имеет вид
и(0,0) + «(a,0) =
/ 1 /- *
2 д I 1 Г рсЪ.(с\/г2 — р2) Г fa pcosO
(1.3.79)
= 2| 1 ГрсЦсУг2-р2) Г fa pcosO \
vdt I t J y^r2 - p2 J \2 v/r2-«2'^ У H 1
rдet = P= у/г2 - а2/2.
Глава 2 посвящена свойствам средних значений решений некоторых линейных уравнений в частных производных в неевклидовых пространствах.
В разделе 2.1 рассматривается п-мерная область Г2 с заданной римановой метрикой
п п
ds2 = (2.1.1)
¿=1 j=l
где дц е С2(П),г = 1 = 1, ...,п, - положительно
определенная в П квадратная матрица п х п. Пусть \\дгз\\ -матрица, обратная к матрице ||3г;||5 <7 = д(х) — (1еЬ\\д13\\. Как обычно, оператор Бельтрами в метрике (2.1.1) определяется формулой
* п п о о
с"-«
у г=1
Будем расстояние в метрике (2.1.1) между множествами С? и <2 обозначать через ¿(С?, О), а если множество С? состоит из одной точки х, то будем писать с1(х, О). Через 80, обозначим границу области П.
Зафиксируем точку х £ и обозначим через Ь'г(х) геодезическую сферу с центром в точке х радиуса г < с1(х, £Т2).
Через A(r, х) обозначим площадь сферы. Будем предполагать, что площадь сферы зависит только от ее радиуса.
Следуя В. А. Ильину и Е. И. Моисееву, введем в рассмотрение семейство функций щ(х) с помощью рекуррентных соотношений:
1. (ро(г,х, Л) - регулярное решение уравнения
+ £ + Vo = 0, (2.1.5)
которое удовлетворяет условию
lim <fo(r, х, А) = 1. (2.1.6)
г—>+0
2. <рт(г,х, = т = 1,2,... (2.1.8)
Обозначим теперь через Мк(г,х) = М (г, х, ик) сферическое среднее от функции ик.
Теорема 2.1.1. Систелш функций ио(х),и!(х),... из класса С2(П) тогда и только тогда удовлетворяет уравнениям
Аит + \ит = ит-1, х € П, 771 = 0,1,2,..., (2.1.11)
где 1 = 0, х £ П, когда она связана с системой функций 1рт(т, х, Л), ш = 0,1,2,..., соотношениями
т ^
Мт{г,х) = — (рк{г,х,\)ит-к(х), 771 = 0,1,2,... (2.1.13) А=0
В разделе 3 предлагается символический подход к теоремам о средних значениях.
Через / будем обозначать преобразование Фурье распределения / € 5. Этим же символом /(и>) мы будем пользоваться и для обозначения преобразования Фурье -Лапласа (в терминологии Л. Хермандера) распределения / с
компактным носителем, представляющего собой в этом случае целую аналитическую функцию комплексной переменной -ш Е С". Далее, пусть = з = 1, •.., п, £> = (£>ь ..., £>„), ха =
Всюду в работе предполагается, что мультииндекс а имеет неотрицательные целые координаты. Через 5д(хо) мы обозначаем сферу в Еп, через |5П| — площадь поверхности единичной сферы в Мп. Через 5(х — х0) обозначается мера Дирака, сосредоточенная в точке хо, через - мера
Дирака, сосредоточенная на сфере о).
Пусть Р(и>) - многочлен порядка т. Рассмотрим уравнение
Р{Р)и = 0. (3.1.1)
Определение 3.1.1. Распределение Ф с компактным носителем назовем сопровождающим (сопровождением) уравнение(я) (3.1.1) (оператор(а) Р(О)), если для любого решения и(х) Е С°°(МП) имеет место равенство
(Ф, и) = 0, (3.1.2)
называемое формулой среднего значения.
Теорема 3.2.1. Для того, чтобы распределение Ф с компактным носителем являлось сопровождающим уравнение (3.1.1), где Р(ю) — многочлен порядка т, необходимо и
достаточно, чтобы функция Ф(и>)/Р(—ш), т £ С" была целой аналитической.
Примечание. Пусть М = (М\,...,Мп) — вектор с натуральными компонентами, р, - борелевская мера с носителем
в замкнутом шаре 5х(0), — область в Д", п > 1, <Ф,и) = Ju(x + гмЬ) ¿ц(г) = 0
ее Е С, г > 0, Вм{х,г) = {х+гмЬ : £ £ В^О)} С С, оператор Р(£>) удовлетворяет следующему условию однородности относительно вектора М: для каждой частной производной, входящей в рассматриваемое уравнение, скалярное произведение вектора, составленного из порядков этой производной по всем переменным, на вектор М, не зависит от порядка этой производной. При
этих предположениях А. В. Покровским доказан результат, аналогичный теореме 3.2.1. Вообще же подход, связанный с сопровождающим распределением, можно считать восходящим к работе Л. Зальцмана 1973 г., хотя можно указать и на более раннюю работу 1962 г., авторами которой являются В. Баранов, Ж. Кюнец, в которой символический подход применен к выводу формулы среднего для уравнения гиперболичен кого типа.
В разделе 3.4 рассматривается вопрос о возможности получения новых формул среднего значения для операторов, раскладывающихся на множители. Пусть Р(0) Р\(В)Р2{0), где Р\ и Р<2 суть многочлены. Пусть Ф; — распределение с компактным носителем, сопровождающее оператор Р;(£>), I = 1,2.
Теорема 3.4.1. Распределение Ф = Ф1 * Ф2 является сопровождающим оператор Р(В) — Р\(0)Р2(0).
С помощью теоремы 3.4.1 доказаны следующие формулы среднего значения:
— для уравнения
формула среднего значения имеет вид
^(-1)'-' и(Мк) -к=1
Ь / «(0^1=0;
Зц(Мк) )
— для бигармонической функции формула среднего значения имеет вид
(хо) Зц2 (хо)
I / <ЗА17)
5Л2(0) ЯД ¿у)
В разделе 3.5 на основании теоремы 3.4.1 показано, что в случае дифференциального оператора с постоянными коэффициентами с двумя независимыми переменными с однородным символом теоремы о среднем значении могут быть получены из простейших формул среднего для операторов первого порядка и для эллиптических операторов второго порядка. Более точно, для оператора
с постоянными коэффициентами аа, а = (ах, 0.-2) можно указать сопровождающее распределение, представляющее собой свертку сопровождающих распределений составляющих этот оператор сомножителей первого порядка и эллиптических операторов второго порядка, причем таких сопровождений бесконечно много. Кроме того, имеет место следующее утверждение.
Теорема 3.5.1. В рассматриваемом случае двух переменных можно указать разностный оператор Т (вообще говоря, с комплексными точками и комплексными коэффициентами), применение которого к решению и(х,у) уравнения (3.1.1) приведет к равенству
Другими словами. при выполнениии условий теоремы дифференциальному уравнению соответствует точная разностная схема.
В разделе 3.7 обсуждается возможность получения новых формул среднего значения для уравнений вида
Р(£>Н + Аик = ик-ь к = 0,1,2,..., = 0 (3.7.29)
с однородным символом Р(ги). Пусть известно некоторое сопровождение Ф(ж) = Р(-0)ф{х), ф е £ оператора Р{В). Тогда распределение вида
удовлетворяет на решениях ик{х) € С°°(ЕП) уравнения (3.7.29)
Р
Ти = 0.
Фк = (Р(-£») + А)*Ф0, Ф0 = Ф + Аф,
(3.7.30)
равенству
(Ф к,ик) =0,
(3.7.31)
которое естественно называть формулой среднего для уравнения (3.7.29).
С помощью такой методики получена формула среднего значения для уравнения
+ = (3.7.38)
ах£ оу£
которая имеет вид
и{хо, уо + И) + и(х0, уо - Ь) - и(х0 + Л, у0) - и(х0 - Л, 2/о)+
+А/2^ J и{х,у)йхйу - 0.
|х-ю|+|у-уо|<Л
В главе 4 некоторые результаты, связанные со свойствами средних значений решений уравнений в частных производных перенесены на случай сингулярных уравнений.
Мы рассматриваем функции, определенные в части евклидова пространства точек
К^-{х=(х', х"), х'=(хи-,Хп), х"=(хп+1, ...,Х^),Х!>0, ...,хп>0}.
Число п фиксировано, 1 < п < N. Через Г2+ будем обозначать конечную область, прилегающую к гиперплоскостям х^ — 0,...,хп — 0. Граница области состоит из двух частей: Г+, расположенной в части пространства Щу и Го, принадлежащей пшерплоскостям Х\ — 0,..., хп = 0.
Пусть - прилегающая к границе Го внутренняя
подобласть области все точки которой находятся на
расстоянии более чем 6 от части границы Г+ области Г2+. Тогда область будем называть симметрично внутренней (в -внутренней) подобластью области Г2+.
Обозначим через С1еу(0,+) линейное пространство функций, обладающих следующими свойствами.
1. Каждая функция (р € С1еь(£1+) непрерывна вместе со всеми своими частными производными до порядка I включительно в
2. При четном продолжении по переменным х' функции <р G Clev(fl+) не теряют гладкости, оставаясь в классе Cl(Q), где Q - область, полученная объединением области Г2+ с ее симметричным образом относительно подпространства х' — 0.
Функции, допускающие гладкое четное продолжение по соответствующим переменным, следуя И.А. Киприяпову, будем называ ть четными по этим переменным.
Обозначим через Clev Q{il+) линейное пространство функций ср 6= Clev(€l+), обращающихся в нуль вне некоторой (своей для клзкдой функции) s - внутренней подобласти "блести Г?'1".
Пусть 7 = (71,..-,7п), (хУ = П,П=1Ж7'. 7i > 0 суть фиксированные числа. В случае совпадения и символ R^ мы будем иногда опускать и писать просто Lp.
Пусть ft С R^ — объединение множества и
множества О , полученного из симметрией относительно пространства х' = 0. Через Vev(Q+) (£ev(Q.+) будем обозначать множество всех сужений четных по переменным х' функций из пространства V(fl) (£(ii)) на множество Топология в Vev(Q+) индуцирована топологией пространства Т>(О) (£си(П+)). Через Sev обозначим линейное пространство функций <р(х) 6 С'^'(М^), убывающих при |х| —» оо вместе со своими производными быстрее любой степени |х|-1. Топология в <Sev вводится таким же образом, как и в пространстве S. Сопряженное к Vev(Q+) (£ev(il+), Sev) пространство со своей слабой топологией будем обозначать (£'ev(Cl+), S'ev). Действие функционала / на пробную функцию tp во всех трех случаях будем обозначать как
(№Mx))1 = <f{x)M*))- (4.1.1)
В разделе 4.1 понятие сопровождающего распределения распространяется на операторы, определяемые равенством вида
Ри= Yl b0Bz'Dx"> (4-1-8)
2|/3'|+1/3"1<™
действующие на четные по группе переменных х' функции. Здесь /3 — (/?', /3") - мультииндекс с неотрицательными целыми
компонентами, /?' = (/?ь/32,.. •,/?„), Р" = (Рп+1, ••• ,/%)• Через з'
Вобозначен оператор, определенный равенством
Я' а „я „л „ 92и 71 ди .
в^ = в*в£...в£и, + г = 1,..., п,
й"
где В^ - оператор Бесселя. Через обозначен оператор,
действующий по формуле
В%,ПХ\Х»)= №\ = Рп+1 + ... + 0М- (4.1.4)
°хп+1 • • •XN
Преобразование Фурье-Бесселя определяется формулой
ЫуО*', *")](£) = ! (4.1.5)
где + ... + хп£п, х"-£"=хп+1£п+1 + ... +
= ик — {1к ~ 1)/2, Л = 1,...,п
,]1/к (■) — функция Бесселя первого рода.
Определение 4.1.1. Распределение Ф 6 ¿^„(М^) назовем сопровождающим уравнение Ри — 0, если для любого решения и(х) Е С^(МП) имеет место равенство (Ф,и)у = 0. Будем также в этом случае называть распределение Ф сопровождением оператора Р и уравнения Р и = 0.
Теорема 4.1.3. Если образ Фуръе-Весселя распределения Ф £ нацело делится на символ Р(—,..., —С2, ^С"))
оператора Р, то есть РВ[Ф](С) - Ф(С)^(-С?>■••, ~Сп. НС"))» где Ф(С) — целая функция, то распределение Ф является сопровождением оператора Р.
В разделе 4.2 введено весовое сферическое среднее, порожденное обобщенным сдвигом.
Часть шара |х| < г, = (х\ +... + ж2 )1/2, принадлежащую М+, будем обозначать через В+(п). Граница Б+(п) состоит из
части сферы (га) = {х € : \х\_= г} и из частей
координатных гиперплоскостей XI = 0, г = 1, п, таких, что \хг\ < г.
Будем считать, что / - интегрируемая с весом х7 = X}1 ... х~пп функщш, четная по каждой координате своего аргумента. Рассмотрим многомерный обобщенный сдвиг
¿=1
отвечающий мультииндексу 7, где каждый из одномерных обобщенных сдвигов Тх\ определен равенством
(Т%1)(х) = (Т%тхих*) =
7Г
ч/тгГ(7^/2) 7 о
Весовое сферическое (в.сф.) среднее, порожденное многомерным обобщенным сдвигом, функции /, имеет вид
М?Пх) = М](х;г)= * ., [ ТУНх^Щу), (4.2.12)
3 Р1 нь у
Я+(п)
где коэффициент |5^(п)|7, называемый весовой площадью части сферы в вычисляется по формуле
5+(п)
-1 п
Такие конструкции сферических средних изучались в работе И. А. Киприянова и Ю.В. Засорина. Л. Н. Ляховым применялось в.сф. среднее, порожденное смешанным обобщенным сдвигом, где собственно обобщенный сдвиг действовал лишь по одной переменной.
Далее отмечены основные свойства в.сф. осреднения, среди которых линейность, сохранение знака, а также равенство
{^)хМ]{х-, г) = МДД7/(а;)). (4.2.13)
В разделе 4.3 рассмотрено ядро (не смешашюго, многомерного) преобразования Фурье-Бесселя, которое
п
представляет собой функцию ,]7(.-£,£) = Д
1=1
Преобразование Фурье-Бесселя с ядром 3-у{х, £) используется при исследовании сингулярных дифференциальных уравнений.
Теорема 4.3.1. В.сф. среднее ядра (многомерного) преобразования Фуръе-Бесселя определяется равенством
ВД7(:Г, О = ^(х, Ш(п+|7|-2)/2(г|е|). (4.3.18)
В разделе 4.4 доказана
Теорема 4.4.1. В.сф. среднее любой дважды непрерывно дифференцируемой функции / = /{х), четной по каждой из своих независимых переменных х\,..., хп, удовлетворяет следующему уравнению (типа уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу):
(А1)хМ](х- г) - (Вц)гМ](х-) г), ц = п + |7| - 1, (4.4.28) и условиям
М](:г; 0) = /, (М])'г(х; 0) = 0. (4.4.29)
В разделе 4.5 приводится обобщение теоремы Асгейрссона для сингулярного ультрагиперболического уравнения и обратное утверждение. Это утверждение опубликовано в совместной работе [9].
Во второй части диссертации рассматриваются некоторые вопросы, связанные с описанием уравнений в частных производных с позиций дифференциальной геометрии.
Глава 5 посвящена изучению структуры (более точно -размерности) множества нулей решения линейного однородного эллиптического уравнения.
Рассмотрим область ii G Mn, п > 2. Пусть Р = P{x,D) -эллиптический оператор, определенный равенством
Р(х, D)u = Pa{x)Dau, (5.1.1)
где х = (хь...,хп) G fi,. а = (аь...,«п) € (N U {0})п -мультиин деке,
|а| =e*i+ ... + «„, Dau =
д^и
ЭхЧ1... дх%»'
ра(х) е С°°(П), |а| < в, s > 2.
Рассмотрим в Í2 линейное однородное эллиптическое уравнение
P{x,D)u = 0. (5.1.2)
Согласно теореме Ароншайна-Кордеса при s = 2 ненулевое решение и(х) уравнения (5.1.2) в области 17 не может иметь нулей бесконечного порядка. Поэтому если G Q является нулем решения и(х) уравнения (5.1.2), то в некоторой окрестности точки хй при некотором m > 1 имеет место представление
u(x) = Qm(x-x°) + Rm+i(x), (5.1.4)
где
Qm(x-x°) = Y1 Ьа(х-х°У
- главная часть в представлении Тейлора, которая является однородным многочленом (формой) порядка т, а функция ЯТп+1 (х), будучи остаточным членом в представлении Тейлора, удовлетворяет условиям
£>аДт+1 = (I® - х°Г+1-|а|), 0 < И < т - 1. (5.1.5)
При s > 3 наложим на оператор Р(х, D) дополнительное условие, заключающееся в том, что решение уравнения (5.1.2) не должно иметь нулей бесконечной кратности, в следствие чего представление (5.1.4) должно иметь место и в этом случае, если х° е П является нулем решения и(х) уравнения (5.1.2).
Требование отсутствия нулей бесконечной кратности равносильно тому, что оператор удовлетворяет так называемой сильной теореме единственности.
Первой теоремой единственности для линейных уравнений с частными производными с аналитическими коэффициентами была теорема Коши-Ковалевской. Первую теорему единственности для линейных уравнений с частными производными с неаналитическими коэффициентами доказал Торстен Карлеман с помощью очень интересных неравенств, которые теперь называют неравенствами Карлемана. А именно он доказал, что если и(х) - решение уравнения
Au + q(x)u = О,
где Д = J2k=1 э^ ~ опеРатоР Лапласа в Rn, q{x) - непрерывная
функция, такое, что |гх(ж)| < Ст\х\т при каждом т > 0 с некоторой постоянной Ст > 0 в окрестности начала координат в Rn\{0}, то и(х) = 0. Результаты такого типа принято называть сильными теоремами единственности, или теоремами о сильном нуле. Для эллиптических уравнений второго порядка с непрерывно дифференцируемыми старшими коэффициентами этот результат был получен в 50-е годы 20-го века и известен теперь под названием теоремы Кордеса-Ароншайна. В 60-х гг 20-го века Анджей Плись построил примеры эллиптических уравнений, коэффициенты которых удовлетворяют условию Гельдера с показателем, меньшим единицы, для которых, однако, сильная теорема единственности неверна. Тот же А. Плись построил пример эллиптического уравнения четвертого порядка с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, которое в Rn имеет финитное решение. Для него не выполняется даже слабая теорема единственности. Под слабой теоремой единственности понимают следующее утверждение: если решение уравнения равно нулю на некотором открытом подмножестве области, то оно в этой области тождественно равно нулю. Эти примеры показывают, что ситуация с теоремами единственности весьма сложна. По крайней мере сформулировать в терминах
символа оператора условие, при котором будет иметь место сильная теорема единственности, не представляется возможным. Вообще, относительно теорем единственности известно немного. Например, для уравнения
выполняется сильная теорема единственности. Этот результат принадлежит В. 3. Мешкову и вытекает из неравенства В. 3. Мешкова.
Ограничимся рассмотрением кратных нулей, кратность которых не ниже порядка уравнения (5.1.2). Показано (теоремы 5.3.2 и 5.3.3), что при этих предположениях размерность множества кратных нулей решения уравнения (5.1.2) не превосходит п —2, а в случае п = 2 это множество может состоять лишь из изолированных точек.
В главе 6 обсуждается вопрос о границах применимости предлагаемых геометрических методов исследования моделей. В качестве примера пространства, в котором нет достаточно богатой группы изометрий и неприменимы в чистом виде рассмотренные методы, рассмотрено пространство с римановой метрикой, в которой оператор Лапласа-Бельтрами с точностью до множителя совпадает с В-эллиптическим оператором, изучению которых посвящено много работ И. А. Киприянова и его учеников.
В разделе 6.2 найдена описанная метрика. Пусть
Пусть функция и(х',хп) дважды непрерывно дифференцируема в Я". Определим оператор Лву формулой
Ати + ^ аа(х)Ваи = О
|а|<т
Я™ = {(ж;, хп) € Дп : х' = (хг,..., ж„_1), хп > 0}, п > 2.
(6.2.1)
где
^ д2
(6.2.2)
- оператор Лапласа в Д" В1 - оператор Бесселя.
Лемма 6.3.1. При п > 3 в метрике ||3у||, элементы которой задаются с помощью формул
9ij = fiij^n ' h J = ■ ■ ■ > п>
где К = 27/(п — 2), 6ij - символ Кронекера, оператор Лапласа-Белътрами с точностью до множителя совпадает с оператором (6.2.1).
Будем такую метрику называть К-однородной, а множество Д", снабженное этой метрикой, будем рассматривать как риманово пространство, которое мы обозначим через К1п.
При п = 2 задача о нахождении такой метрики не имеет решения.
В разделе 6.3 изучаются некоторые геометрические характеристики К-однородной метрики (6.2.13). Найдены символы Кристоффеля первого и второго рода, компоненты тензоров Римана и Риччи. Кривизна пространства К1п вычисляется по формуле
_ Кп(п - 2) _ 27п
К ~ ГК+2 - (27+2п-4)/(П-2) " Хп
В разделе 6.5 проводится исследование возможности изометрических преобразований в пространстве с К-однородной метрикой.
Теорема 6.5.1. Если К ф 0 (т.е. у ф 0, а метрика не является евклидовой), К ф -2, (т.е. пространство К1п не совпадает с пространствол1 Лобачевского), то всякое дважды непрерывно дифференцируелюе изометрическое преобразование пространства К1п с необходимостью является изометрическим преобразованием евклидова пространства Rn~l переменных Х~1, . . . , Хп — 1.
Часть III посвящена приложениям рассмотренных методов к исследованию непрерывных экономико-математических моделей, построенных с помощью дифференциальных уравнений в частных производных.
В главе 7 изложенные методы применяются к исследованию линейной непрерывной модели Т. Пу распределения дохода при
межрегиональной торговле. В разделе 7.1 приводятся отправные факты, приводящие к этой модели. Линейное уравнение распределения дохода при условии межрегиональной торговли имеет вид
д2У дУ
- (V - 1 - а) — + (а + з)У = тАУ. (7.1.7)
Здесь í - время, х, у - географические координаты точки, У = У(х, у, ¿) — отклонение уровня дохода от стационарного состояния в точке (х,у) в момент времени сбережения 5 находятся в заданном отношении я = я(£) (доля сбережений) к доходу, V = г>(<) означает отношение между основным капиталом К и доходом (доля инвестиций), тп — коэффициент пропорциональности, характеризующий склонность к импортированию, точка сверху означает производную по времени.
Если коэффициенты з, V постоянны, то уравнение (7.1.7) примет вид
д2У ЗУ
£_£._(„_!_ 5)_ + «Г = тАУ. (7.1.8)
В разделе 7.2 формула среднего перенесена на уравнение (7.1.8), а в разделе 7.3 двухточечная формула среднего перенесена на стационарный вариант этого уравнения. Эти формулы устанавливают связь между некоторой линейной комбинацией доходов в близких точках распределением доходов в некоторой окрестности этих точек.
Далее результаты главы 5 применяются к изучению стационарной модели Т. Пу (этому посвящен раздел 7.4).
Назовем точку (х°,у°) точкой безнадежности модели Т. Пу (7.3.14), если
У(х°,У0) = ЪУ(х0,у°) = 0. (7.4.16)
Равенства (7.4.16) следует расценивать как отсутствие отклонения от фиксированного уровня дохода и отсутствие теденции к отклонению. Это и оправдывает принятое нами название.
Множество всех точек безнадежности назовем множеством безнадежности модели Т. Пу.
Теорема 7.4.1. Множество безнадежности модели Т. Пу может состоять лишь из изолированных точек безнадежности.
На основании этой теоремы можно заключить, что почти всюду имеется тенденция к изменению дохода.
Раздел 7.5 посвящен принципу Гюйгенса в модели Т. Пу. Показано, что принцип Гюйгенса имеет место в следующих случаях входных данных.
l.s = s{t) = s0e-\ v = v(t) = soe_t + 1 - (7.5.17)
2. s(t) = v(t) = soe-t, m(t) = l + i (7.5.18)
С точки зрения рассматриваемого здесь приложения принцип Гюйгенса означает следующее. Начальное отклонение дохода, локализованное на плоскости, повлечет за собой в точках плоскости отклонение дохода, локализованное во времени, то есть отклонения дохода будут иметь место лишь в течение конечного промежутка времени, после которого доход вернется к стационарному состоянию.
В разделе 7.6 доказано следующее утверждение.
Теорема 7.6.1. Пусть
у € С3(Е3), ф 6 C2(R3), \<р(х)\ < M, < M, х € Ж3.
Тогда справедливы следующие оценки:
, / х / ч, h(ct)-ct 1 c2i2\ Iuc{x,t) - u0(x,t)\ < M ( —i-i-+ ch(ci) - 1 - — J ,
\uc{x,t) - u0{x,t)\ < Lc2t3,
где L не зависит от с и t.
Здесь uc(x,t) — решение задачи Коши
fe = Ех g + С2^, х € M3, i > о, с > О,
и(х, 0) = tp(x), X eR3,^{x,0) = гр{х), хеЕ3.
При с = 0 решение этой задачи Коши удовлетворяет принципу Гюйгенса, а при сф 0 не удовлетворяет ему.
В главе 8 рассматриваются два нелинейных уравнения в частных производных, которые моделируют некоторые физические, а также биологические и социальные процессы.
Рассмотрим в плоскости переменных х, у ограниченную область с кусочно гладкой границей Г и диаметром й. Рассмотрим в области Л уравнение Хотеллинга
% = А(з-р)р + ВАр, (8.1.1)
от
где р - искомая функция, р = р(х,у,Ь) 6 С2(П) С1^) при каждом £ > О,
дх2 ду2
- оператор Лапласа, А, В, в суть заданные положительные постоянные. Уравнение (8.1.1) описывает рост и распространение популяции. При этом входящие в уравнение величины имеют следующий смысл: А - темп роста популяции, В - темп распространения, в - коэффициент насыщенной плотности, р -плотность популяции, £ - время. Эта модель была предложена (по сведениям, содержащимся в монографии Т.Пу - см. список литературы там) Хотеллингом в 1921 году.
Пусть 7г(а:,у) - стационарное решение уравнения (8.1.1).
Теорема 8.1.1. Пусть тт € С2(П)Г|С1(^) - регулярное решение уравнения (8.1.2), удовлетворяющее условию
Тогда тт - асимптотически устойчивое стационарное решение уравнения (8.1.1) относительно малых отклонений г(х,у,€) (г3 и 0), таких, что г |г= 0.
Рассмотрим в области О уравнение, предложенное Т.Пу для описания процессов миграции населения с учетом производства:
^ = р{1 + а(0р2 - р3) - 7Р) + ¡Ма(3(5р2 - 2р3)). (8.2.8)
где р = р(х, у, £) е С2(П) П с1^) при каждом £ > 0, а > О, /3 > О, 7 > 0.
Пусть тт(х,у) - стационарное решение уравнения (8.2.8).
Теорема 8.2.1. Пусть тт € С2(Г2)ПС1(^) ~ регулярное решение уравнения (8.2.8), г(х,у,Ь) = р{х,у,£) — 7г (х,у) - отклонение от стационарного решения, удовлетворяющее условию г |г= 0. Тогда условие
¿1=1 + а(3/?тг2 - 4тг3) - 277Г < атг(/3 - тг)/й2
является достаточным условием устойчивости стационарного решения тт относительно малого отклонения г.
Теоремы 8.1.1 и 8.2.1 улучшают результаты Т. Пу.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [25]. Общее количество публикаций по теме диссертации - 39. Издания, в которых опубликованы работы [1] - [24], входят в рекомендованный ВАК РФ "Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук". В работе [9] теорема 1 и теорема 2 доказаны соискателем, а теоремы 3 и 4 доказаны соавторами, однако постановка задачи для теоремы 4 (формулировка) принадлежит соискателю.
Соискатель выражает сердечную благодарность научному консультанту проф. В. 3. Мешкову за постановку проблем и постоянное внимание к исследованиям, отраженным в диссертации.
Публикации автора по теме диссертации
[1] Половинкин, И. П. Обращение теоремы о среднем значении для волнового уравнения / И. П. Половинкин // Дифференциальные уравнения. - 1991. - Т. 27, № И. - С. 1987 - 1990.
[2] Иванов, Л. А. О некоторых свойствах оператора Бельтрами в римановой метрике / Л. А. Иванов, И. П. Половинкин // Доклады Академии наук РФ. - 1999, - Т. 365, № 3. - С. 306 - 309.
[3] Meshkov, V. Z. Mean value properties of solutions of linear partial differential equations / V. Z. Meshkov, I. P. Polovinkin // Journal of Mathematical Sciences. - 2009. - Vol. 160, № 1. — P. 45 - 52.
[4] Мешков, В. 3. О получении новых формул среднего значения для динейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / В. 3. Мешков, И. П. Половинкин // Дифференциальные уравнения. — 2011. — Т. 47, Л'5 12. — С. 1724
- 1731.
[5] Половинкин, И. П. Дополнения к свойствам средних значений решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / И. П. Половинкин // Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т. 47, № 11. - С. 1669 - 1671.
[6] Половинкин, И. П. К исследованию линейной модели Т.Пу динамики доходов с учетом межрегиональной торговли / И. П. Половинкин // Дифференциальные уравнения. — 2012. — Т. 48, № 6. - С. 902 - 903.
[7] Половинкин, И. П. О стационарных нулях решений линейных эллиптических уравнений / И. П. Половинкин // Дифференциальные уравнения. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 132 -136.
[8] 'Половинкин, И. П. К теоремам о среднем значении для линейных уравнений в частных производных / И. П. Половинкин // Труды семинара имени И. Г. Петровского. — 2013. — Вып. 29. — М. : Издательство Московского государственного университета, 2013.
- С. 396 - 404.
[9] Ляхов, Л. Н. Об одной задаче И.А. Киириянова для сингулярного ультрагиперболического уравнения / Л. Н. Ляхов, И. П. Половинкин, Э. Л. Шишкина // Дифференциальные уравнения. - 2014. — Т. 50, № 4. — С. 516 - 528.
[10] Мешков, В. 3. Об устойчивости стационарного решения уравнения Хотеллинга / В. 3. Мешков, И. П. Половинкин, М. Е. Семенов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2002. — Т. 9, вып. 1. - С. 226 - 227.
[11] Половинкин, И. П. О свойствах одного семейства римановых метрик / И. П. Половинкин // Вестник Воронежского государственного университета. - Серия: Физика. Математика. — 2005. - № 1. - С. 208 - 209.
[12] Половинкин, И. П. Двухточечные теоремы о среднем для некоторых уравнений второго порядка / И. П. Половинкин // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2006. — Т. 13, вып. 3. - С. 533
[13] Половинкин, И. П. О некоторых аспектах принципа Гюйгенса в экономико - математических приложениях / И. П. Половинкин // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2006. — Т. 13, вып. 3. - С. 533 - 534.
[14] Половинкин, И. П. Приближение волн, удовлетворяющих принципу Гюйгенса, диффундирующими волнами / И. П. Половинкин // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. - Т. 14, вып. 2. - С. 333 - 335.
[15] Мешков, В. 3. О свойствах средних значений решений линейных уравнений в частных производных / В. 3. Мешков, И. П. Половинкин // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2008. — Т. 15, вып. 1. — С. 161 - 162.
[16] Половинкин, И. П. О множестве безнадежности в линейной непрерывной модели Пу распределения дохода / И. П. Половинкин // Системы управления и информационные технологии. — 2008. — № 1.2(31). - С. 253 - 256.
[17] Половинкин, И. П. О принципе Гюйгенса в линейной непрерывной модели Пу распределения дохода. / И. П. Половинкин // Системы управления и информационные технологии, — 2008. — № 3(33). — С. 18 - 20.
[18] Половинкин, И. П. Об одном семействе сингулярных гиперболических уравнений, удовлетворяющих принципу Гюйгенса / И. П. Половинкин // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2005. — Т. 12, вып. 3. — С. 762.
[19] Мешков, В. 3. О символическом подходе к изучению свойств средних значений решений линейных дифференциальных уравнений / В. 3. Мешков, И. П. Половинкин // Системы управления и информационные технологии. — 2009. — № 3.1(37). - С. 167 - 170.
[20] Половинкин, И. П. О некоторых следствиях из теоремы о среднем A.B. Бицадзе и А.М. Нахушева для волнового уравнения и их применениях / И. П. Половинкин // Системы управления и информационные технологии. — 2009. — № 3.1(37). — С. 193 - 195.
Г J
[21] Половинкин, И. П. К свойствам решений линейных уравнений в частных производных / И. П. Половинкин // Вестник Челябинского университета. Математика. Механика. Информатика. Выпуск 12. — 2010. — № 23 (204). — С. 59 - 66.
[22] Половинкин, И. П. О стационарных нулях решений линейных эллиптических уравнений в частных производных / И. П. Половинкин // ''Научные ведомости БелГУ". серия "Математика. Физика". — 2011 — № 5 (100), выпуск 22. — С. 99 -105.
[23] Половинкин, И. П. Об одном следствии из теоремы о среднем A.B. Бицадзе и A.M. Нахушева / И. П. Половинкин // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. — 2011. - Т. 13, № 11. - С. 49 - 56.
[24] Половинкин, И. П. К исследованиям линейной непрерывной модели Т. Пу распределения дохода / И. П. Половинкин // "Научные ведомости БелГУ". серия "Математика. Физика". — 2011 - № 17 (112), выпуск 24. — С. 111 - 124.
[25] Ляхов, Л. Н. О сопровождающих распределениях сингулярных дифференциальных уравнений / Л. Н. Ляхов, И. П. Половинкин, Э. Л. Шишкина // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной научной конференции 26-30 июня 2013, г. Стерлитамак. — Уфа: РИЦ БашГУ. — 2013. — С. 179 - 184.
Подписано в печать 03.03. 2014. Формат 60 х 84 1/16 Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ №3<á ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный университет инженерных
технологий" (ФГБОУ ВПО "ВГУИТ") Отдел полиграфии ФГБОУВПО ''ВГУИТ" Адрес университета и отдела полиграфии: 394036, Воронеж, пр. Революции, 19
Старооскольский технологический институт имени А. А. Угарова (филиал) Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Национальный исследовательский технологический университет "Московский институт стали и сплавов"
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Научный консультант — д.ф.-м.н., проф. Мешков В.З.
На правах рукописи
Половинкин Игорь Петрович
Старый Оскол — 2014
Оглавление
I Формулы средних значений решений линейных уравнений в частных производных различных типов 41
1 Теорема о среднем значении для волнового уравнения в евклидовом пространстве и ее следствия 42
1.1 Теорема о среднем значении для волнового уравнения в евклидовом пространстве......43
1.2 Обращение теоремы о среднем значении для волнового уравнения в евклидовом пространстве. 45
1.3 Некоторые следствия из теоремы о среднем
для волнового уравнения.............. 55
1.3.1 Двухточечная теорема о среднем для гармонической функции.......... 55
1.3.2 Формула среднего для телеграфного уравнения.................. 65
1.3.3 Двухточечная теорема о среднем для уравнения Гельмгольца........... 68
2 Свойства средних значений решений некоторых линейных уравнений в частных производных в неевклидовых пространствах 69
2.1 Формулы средних значений для присоединенных функций оператора Лапласа-Бельтрами в римановой метрике с постоянной кривизной...................... 70
2.2 Формулы средних значений для присоединенных функций оператора Лапласа-Бельтрами в метрике евклидова пространства, сферы и пространства Лобачевского ...... 76
3 Символический подход к теоремам о среднем 80
3.1 Понятие сопровождающего распределения оператора...................... 80
3.2 Связь теоремы о среднем для линейного однородного дифференциального оператора с
его символом..................... 84
3.3 О получении новых формул средних для гармонических функций и для уравнения теплопроводности.................. 87
3.4 Свойства средних для операторов, раскладывающихся на множители........94
3.5 Сопровождающие распределения линейных однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами с двумя независимыми переменными............100
3.6 Замечания об обращении теорем о среднем ... 105
3.7 О получении новых формул средних для уравнений вида Р{Б)ик + Хщ = щ-1 и Р(Б)ио + А^о = 0 .................106
4 Свойства средних значений решений
некоторых сингулярных дифференциальных
уравнений 116
4.1 О сопровождающих распределениях
сингулярных дифференциальных уравнений. . 117
4.2 Некоторые сведения о сферических средних, порожденных обобщенным сдвигом........124
4.3 Весовые сферические средние функции £). 128
4.4 Дифференциальное уравнение для весовых сферических средних................133
4.5 Сингулярное ультрагиперболическое уравнение и теорема типа теоремы Асгейрссона.............138
II Некоторые приложения методов дифференциальной геометрии к
исследованию свойств линейных
уравнений в частных производных 149
5 О структуре множества кратных
нулей решения линейного однородного
эллиптического уравнения. 150
5.1 О свойствах главной части решения эллиптического уравнения в окрестности кратного нуля....................151
5.2 Предварительные результаты о размерности многообразия кратных нулей...........159
5.3 Окончательные результаты о размерности многообразия кратных нулей...........161
6 О границах применимости геометрических
методов. 163
6.1 Постановка проблемы...............163
6.2 К-однородная метрика, связанная с пространствами Кипрянова............164
6.3 Вычисление геометрических характеристик
для К-однородной метрики............169
6.4 Исследование геодезических линий для К-однородной метрики................173
6.5 Исследование возможности изометрических
преобразований для K-однородной метрики. . . 176
III Приложение рассмотренных методов к исследованию непрерывных экономико-математических моделей. 181
7 Линейная модель Т. Пу распространения
дохода. 182
7.1 Вывод линейного уравнения дохода.......182
7.2 Формула среднего для уравнения дохода с постоянными темпами инвестиций и сбережений 184
7.3 Стационарное линейное уравнение дохода. . . . 186
7.4 Множество безнадежности в модели Т. Пу . . . 187
7.5 О принципе Гюйгенса в модели Т. Пу......188
7.6 Приближение волн, удовлетворяющих принципу Гюйгенса волнами, обладающими диффузией.....................192
7.7 Об одном семействе сингулярных гиперболических уравнений, удовлетворяющих принципу Гюйгенса......197
8 О достаточных условиях устойчивости
стационарных решений некоторых нелинейных
уравнений в частных производных 202
8.1 Об устойчивости стационарного решения уравнения Хотеллинга ..............203
8.2 Об устойчивости стационарного решения уравнения Пу....................207
Введение
Настоящая работа посвящена некоторым геометрическим аспектам изучения качественных математических свойств моделей, построенных на основе использования дифференциальных уравнений в частных производных. Наше исследование проводится в следующих направлениях.
Вывод и изучение теорем о среднем значении. В
разных разделах и прикладных задачах под этим понятием часто подразумевают несколько разнородные факты. Так или иначе, многообразные результаты для различных типов уравнений объединяет то, что в них участвует среднее и, х, г) достаточно гладкой функции и(х), по сфере 5 (ж, г) с центром в точке х и радиусом г:
<2(щх,г) =-Ф (0.0.1)
где - элемент площади поверхности сферы 5,(х,г) , соп =
2тгп/2/Г(п/2) - площадь поверхности единичной сферы в Мп . Наиболее широко известны теоремы о среднем для эллиптических уравнений. Базовым для использования в приложениях является следующий классический результат (см., напр., [24], [63], [73]), восходящий к Гауссу: для того, чтобы непрерывная в области Г2 С Йп функция и(х) была гармонической в Г2, необходимо и достаточно, чтобы для всякой точки х € О и всякого значения г > 0, такого, что замыкание шара В(х,г) = {£ е : — х\ < г} вложено в О,, ее значение в точке х равнялось среднему (0.0.1). Это утверждение называют теоремой (Гаусса) о среднем для уравнения Лапласа. Этот факт обобщается на эллиптические уравнения второго порядка. В работах В. А. Ильина и Е. И. Моисеева (см. [54] - [58], [79] - [82]) устанавливались формулы среднего для эллиптических операторов более общего вида. Эти формулы использовались авторами при изучении вопросов, связанных со спектральным разложением по собственным функциям эллиптических операторов. Теорема о среднем для уравнения Лапласа в круговом секторе доказана в [84]). Теорема о среднем переносится и на обыкновенные дифференциальные уравнения. В связи с этим см. работы В. А. Ильина [56] и Е. И. Моисеева [81]. Кроме того, теорема о среднем указанного типа переносится и на римановы многообразия (см. [92]). Обратная теорема о среднем для собственных и присоединенных функций оператора Лапласа в евклидовом пространстве доказана в [71]. Следует также отметить работы [17], [18], в которых существенно ослаблено условие обратной теоремы о среднем для гармонической функции.
Второй большой круг вопросов, связанных со средними
значениями, основан на том, что среднее (0.0.1) удовлетворяет уравнению Дарбу (см. [63], [73], [95], [117]). Отправляясь от этого факта, получаются формулы Кирхгоффа для решений волновых уравнений и уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (см. [73], [117]). Эти формулы, выражающие решение задачи Коши от начальных функций, позволяют непосредственно усмотреть характер зависимости решения от начальных функций, в частности, установить условия гладкости классического решения и наличие принципа Гюйгенса. Мы придерживаемся определения принципа Гюйгенса по Ж. Адамару [107] в терминологии И. Г. Петровского [89]: Задача Коши для гиперболического оператора удовлетворяет принципу Гюйгенса, если для каждой точки размерность области зависимости решения от начальных данных меньше размерности пространства. Подробное описание вопросов, связанных с принципом Гюйгенса, а также библиографию см. в монографии Н. X. Ибрагимова [34], в комментарии А. М. Габриэлова и В. П. Паламодова [19] к работе И.Г. Петровского [89] в работе Р. Шимминга [114]. Методы исследования, связанные с принципом Гюйгенса для сингулярных уравнений и, прежде всего, уравнения ЭйлерагПуассона-Дарбу, как правило, основаны на классическом методе А. Вайнштейна [117]. Как известно, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу имеет вид
д2и кди . ,п л .
где и = и(х, £), х е Мп, А = д2/дх\ +... 4- д2¡дх\ — оператор Лапласа в Мп . Это уравнение содержит в левой части оператор Бесселя по переменной t. Изучение дифференциальных уравнений с оператором Бесселя берет начало от И. А. Киприянова [64]. Следует отметить качественную особенность, возникшую при рассмотрении уравнения (0.0.2): появление принципа Гюйгенса для уравнений с четным числом пространственных переменных (см. в этом направлении [39] - [43], [28] - [33], [108]). Дальнейшее рассмотрение уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу связано с именами К. Штельмахера [116], Д. Фокса [102], П. Гюнтера [104] - [106], X. Хорниха [108], Ж. Соломона [115]. Для римановых пространств с постоянной кривизной М. Н. Олевским [86] доказано, что среднее по геодезической сфере удовлетворяет уравнению Дарбу. Это в свою очередь позволило рассмотреть задачу Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и для так называемого обобщенного волнового уравнения [87], [88]. Известно [93], что теорема о среднем такого типа имеет место и в произвольном однородном симметрическом пространстве. Дальнейшее развитие проблемы принципа Гюйгенса связано с теорией рассеяния и именами П. Лакса, Р. Филлипса [111].
Проблеме принципа Гюйгенса посвящены работы И. А. Киприянова и Л. А. Иванова [35] - [52]. Ими уточнено понятие волнового уравнения и уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и получены аналоги формул Кирхгофа в пространствах с постоянной кривизной.
Наконец, третье направление исследований с использованием средних значений связано с известной теоремой Асгейрссона (см. [63], [73], [95]). Аналоги теоремы Асгейрссона для неевклидовых пространств доказаны в [86], [93]. Известен следующий результат (теорема о среднем для уравнения колебаний струны, или одномерный принцип Асгейрссона): если функция двух переменных и(х,Ь) является регулярным решением уравнения
Щг=ихх, (0.0.3)
то она удовлетворяет равенству
и(х1,Ь) + и(х3^3) = и(х2^2) + и(х4^4), (0.0.4)
где (х1,и) , г =1,2,3,4, суть последовательно пронумерованные вершины прямоугольника, образованного характеристическими для уравнения (3) линиями
х±г = хг ±и, ¿=1,2,3,4 (0.0.5)
Справедливо и обратное утверждение: если функция и(х, £) б С2(В,2) удовлетворяет равенству (0.0.4) для всякого прямоугольника, образованного линиями (0.0.5), то она является регулярным решением уравнения (0.0.3) (обратная теорема о среднем).
Многомерное обобщение формулы (0.0.4) для класса уравнений переменного типа в области гиперболичности см. в [9] - [11]. В тех случаях, когда справедлив принцип Гюйгенса, эта теорема связывает сумму значений решения в двух точках с его интегралом по пересечению характеристических конусов с вершинами в этих точках, размерность которого на два меньше общего числа переменных. Если принцип Гюйгенса не выполняется, то вместо интеграла по пересечению конусов появляется интеграл по поверхности, размерность которой на единицу меньше общего числа переменных. Теорема о среднем для уравнения для уравнения колебаний струны на случай двумерного гиперболического уравнения была обобщена В. Барановым и Ж. Кюнецом [3], а затем Е. И. Моисеевым, В. В. Тихомировым и Е. А. Козловым [83].
Теоремы о среднем такого типа применяются для исследования корректности и решения задач для гиперболических уравнений и
уравнений смешанного типа, для построения приближенных методов решения гиперболических уравнений.
Изучение геометрической структуры множества кратных нулей решений линейных эллиптических уравнений. Исследуется вопрос об оценке сверху размерности такого множества.
Приложение геометрических методов к изучению некоторых математических моделей макроэкономики. Здесь исследования также разветвляются на следующие направления.
Прежде всего к изучению свойств указанных моделей применяются доказанные в диссертации теоремы о среднем значении для некоторых эллиптических и гиперболических уравнений, которые описывают распределение дохода в достаточно большом регионе при условии межрегиональной торговли.
Далее для указанных уравнений указываются случаи, когда имеет место принцип Гюйгенса. Дается экономическая интерпретация принципа Гюйгенса и обсуждаются последствия его реализуемости для хозяйствующих субъектов.
Отдельно рассматривается случай стационарного уравнения распределения дохода. Здесь кроме теорем о среднем значении изучается вопрос о размерности множества кратных нулей решения однородного эллиптического уравнения. Для рассматриваемого случал это интерпретируется как проблема нулевого дохода и отсутствия тенденций к изменению дохода.
Рассматриваются уравнения роста и распространения популяций с учетом и без учета производства и обсуждается вопрос об устойчивости их стационарных решений. С помощью учета геометрических свойств области удалось ослабить достаточное условие устойчивости, доказанное в [91]
Перейдем к краткому изложению диссертации. Сохраним при этом нумерацию формул и теорем из основного текста диссертации.
Первая часть диссертации посвящена формулам среднего значения для решений линейных уравнений в частных производных различных типов.
Глава 1 посвящена теореме о среднем значении для волнового уравнения (см. [9] - [11]). В разделе 1.1 эта теорема цитируется для полноты дальнейшего изложения. Приведем ее и здесь.
Рассмотрим в пространстве Мп+1 пару точек где
Х^ = • •., Хп^), з = 1,2, удовлетворяющих условию
(1.1.1)
Построим матрицу А по следующему правилу. Зафиксируем некоторый индекс г 6 {1,..., п} и положим
Остальные элементы этой матрицы достроим из условий
ААТ = I, (ЫА = 1,
где Ат — матрица, транспонированная к матрице А , I — единичная матрица. Пусть Аг обозначает матрицу, полученную из матрицы А заменой г -го столбца нулями. Обозначим через Р величину, определяемую равенством
2 Р = ^/(¿(1)-£(2))2_|Х(1)-Х(2)|2. (1.1.2)
Следуя [9] - [11], введем оператор усреднения по формуле:
& = 5?17 = 7(п) I у^т) ёшь \ХМ-Х&\ >0, (1.1.3)
КМ
где 7(п) = \/7г1—тг,
Ц~ - - ¿(2))2 - - Х(2)|2 +
ХЮ+Х™ +—2— + ¿(1)+£(2) \xw-xw\ti
т = -
2 л/^(1)_^(2))2_|Х(1)_Х(2)|2'
— элемент площади поверхности сферы |£| = £ в Еп . При X^ = оператор ^ определим формулой
Бг = 8?у = 1(п) I (1.1.4)
Далее введем оператор -Е?£ по формулам
п-1
Вг = В? у = г 2 п = 1(шоё2), (1.1.5)
— ^
в<==^ Ш 7 »=0(то<12)' (ы-б)
о
Теорема 1.1.1. (теорема о среднем для волнового уравнения [9] - [11]). Если функция у{х\, ..., хп, £) является регулярным б1п+1 решением волнового уравнения
д2у _ -А дЧ
то для любой пары точек j = 1,2, удовлетворяющих
условию (1.1.1), имеет место равенство
у. (1.1.8)
Раздел 1.2 посвящен обращению теоремы о среднем значении для волнового уравнения. Пусть
п + 3
I = тах{п - 1, ——-}, п = 1(тос12) (1.2.9)
I = тах{п,
2
п + 3
+ 1
}, п = 0(тос12) (1.2.10)
Теорема 1.2.1. (обратная теорема о среднем для волнового уравнения). Пусть функция у (х,Ь) е С1(Шп+1) для любой пары точек з = 1,2, удовлетворяющих условию (1.1.1), удовлетворяет и соотношению (1.1.8). Тогда она является регулярным решением волнового уравнения (1.1.7).
Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В условии теоремы 1.2.1 к функции у(х,у) предъявляется требование, более высокое, чем требование непрерывности. Более того, условие теоремы требует, чтобы функция имела частные производные более высокого порядка, чем входящие в уравнение (1.1.7). Это существенно отличает обратную теорему о среднем значении для волнового уравнения от обратной теоремы о среднем для уравнения Лапласа. Приведем пример, иллюстрирующий, что такое требование существенно. Будем при этом исходить из методики обнаружения фокусировки волн, приведенной в [100]. Функция
представляет собой сферическую волну в трехмерном пространстве и для любой пары функций а(г), (3(г) 6 С2(М) является регулярным решением волнового уравнения (1.1.7) всюду в четырехмерном пространстве переменных (х\,х2, £3, £) , кроме, может быть, оси |ат| = О . Положим в формуле (1.2.31)
а(г) = ^г(рк{г), /3(г) = ^г<рк(г), (1.2.32)
где (рк(г) £ С3(М), к = 1,2,..., - четные функции. Подставляя при п = 3 (1.2.32) в (1.1.7), мы получим функцию
= + М-*).
2
^(pk{\x\+t)-cpk{\x\-t)
+t 2|ж| , я; ^ и,
vk(x,t) = ipk(t)+tcp'k(t), x = Q. (1.2.33)
При ipk € С3 (М) функция (1.2.33) является регулярным решением уравнения (1.1.7) при п = 3 и поэтому удовлетворяет формуле среднего (1.1.8). Пусть теперь последовательность функций (рк £ С3(М) сходится равномерно к функции ср € C2(R) . Тогда функция, определенная условиями
^ _ р(М + *) + Р(М ~ *) , ММ + *) ~ Р(М ~ *) ^ / П
V\X,Z) — 2 -г с 5 ж 7е и)
t) = ip(t) + tip'(t), x = 0, (1.2.34)
удовлетворяет формуле среднего (1.2.33). Однако при этом функция г» € С1(М3) П С2(Е3 \ {0}) , определенная условиями (1.2.34), может и не являться регулярным решением уравнения (1.1.7). Чтобы в этом убедиться, достаточно взять
<р(г) = г3 sign г.
<р'(
