Свойства гиперболических уравнений на сетях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГАРШИН СТАНИСЛАВ ВАЛЕНТИНОВИЧ

Свойства гиперболических уравнений на сетях

01.01 02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2005

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководите 1ь

доктор физико-математических наук, профессор Покорный Юлий Витальевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Глушко Андрей Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Пенкин Олег Михайлович

Ведущая организация: С -Петербурге кий государе твенный университет

Защита состоится 29 ноября 2005 г в 15 40 на заседании диссертационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном университете по адресу 394693. г Воронеж, Университетская площадь, 1, В ГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронеже кого государственного университета.

Автореферат разослан о?0 октября 2005 г Учёный секретарь

диссертационного совета К 212.038 05 доктор физико-математических наук

профессор

Глнклих Ю Е

М9ЗД49

з

Актуальность темы. Диссертация посвящена перенесению метода Рима на на случай гиперболического уравнения на Г х R где Г - геометричес кий граф Такие уравнения моде чиру ют самые ратные задачи естество-знания процессы в сетях волноводов колебания упругих сеток распространение электрических импульсов в нейроне и т.п На сегодня достаточно полно изучены соответствующая спектральная задача (см , напр обзорную часть в монографии Ю В Покорного и др ФИЗМАТЛИТ, 2004), а также волновое уравнение uXI = utt на Г х К. для которого получены аналоги формулы Д&ламбера и для некоторых к лассов геометрических графов описаны профили прямой и обратной волн (F Aii-Mehineti. 1994- Ю В Покорный В Л Прядиев, А В. Воровских, А В Коиы-тин, серия работ 1999-2003; С Cattaneo и L Fontana, 2003). Для уравнения же ( непостоянными коэффициентами на Г х R в (лучае когда метод ра ^деления переменных неприменим, результаты, полученные здесь до недавнего времени носят общий характер - характер теорем о существовании и единственности обобщенных решений начально-краевых задач (F Ali-Mehmeti 1994) Таким образом, получение для гиперболического уравнения на Г х R аналога формулы Римана представ чяется актуарным

Цель работы. Перенесение метода Римана на случай ГхЖ, 1де Г - iромеч-рический граф типа дерева

Методика исследований. В диссертации используются методы математи-че<кой физики, интегральных уравнений и дифференциальных уравнений на геометрических графах

Научная новизна. Все ре чу/штаты диссертации являются новыми В чне ie наибо!ее важных следует отметить- для гиперболического уравнения на Г х R. где Г - геометрический граф-звезда, 1) установлено существование и единственное ть решения аналога задачи Гурса специального вида, когда характеристики пересекаются в точке оси R 2) в случае коэффициентов, значения которых зависят только от расстояния до единственной вершины Г. найдено необходимое и достаточное условие на характеристические данные (нелокального характера) для существования гладкого решения аналога задачи Гурса общего вида. 3) получен аналог формулы Римана для решения начальной задачи; для гиперболическою уравнения во второй канонической форме с двумя независимыми

переменными найдены неулучшаомые достаточные условия (в терминах регу-1ярности коэффициентов) применимости классического метода Римана

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретиче-(кий характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике и теории дифференциальных уравнений на геометрических графах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIII" -"Современные методы в теории краевых задач" в г Воронеже в 2002 году: на Воронежской весенней математической шкопе "Понтрягинские чтения - XV" -"Современные методы в теории краевых задач" в г Воронеже в 2004 году, на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XVII" - "Современные методы в теории краевых задач" в г Воронеже, в 2005 году; па Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам в 2005 году: на научной сессии ВГУ в 2005 году, на семинаре по качественной теории краевых задач (Воронежский госуниверситет руководитель проф. Ю.В. Покорный)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения трёх глав объединяющих в общей сложности 16 пунктов, и списка литературы Объем диссертации 119 (тр Библиография содержит 79 наименований Текст иллюстрируют четыре рисунка Нумерация формул организована по порядку в соответствии с номером главы и пункта.

Краткое содержание работы Первая глава посвящена постановке задачи.

В пункте 1.1 определяется конечный и связный открытый геометрический граф Г в К" представляющий собой связное объединение конечного числа интервалов, открытых лучей и некоторого подмножества множества концов этих интервалов и лучей Данные интервалы и лучи мы назовём ребрами Г и обозначим 7, (г = 1,т, где т - количество ребер Г), а их концы, вошедшие в Г, - внутренними вершинами Г .Граничными вершинами Г называются концы

рёбер, не вошедшие в Г Предполагается что 7, ПтУ = 0 ПРИ 1 Ф J Степенью вершины назовем количество примыкающих к ней рёбер.

Объединение ребер 7, обозначим через Д(Г), множество внутренних вершин Г обозначается через J (Г)

Циклом геометрического графа называется его подмножество, гомсоморф-ное ощлжности Геометрический граф без циклов называется деревом Если некоторая вершина дерева является концом каждого из его рёбер, то такой геометричеч кий граф мы будем называть звездой

Всюду далее рассматриваются только связные открытые геометрические грат фы-деревья не имеющие граничных точек и степень каждой внутренней вершины ко горых превышает единицу

В пункте 1 2 определяются необходимые функциональные пространства на Г, в том числе определяются функции, дифференцируемые на Г (в соответствии с мощи рафией Ю В Покорного и др , ФИЗМАТ ТОТ, 2004).

Пространство функций, непрерывных на Г и обладающих на каждом ребре 7 (для л\'ча 7 - на каждом его подынтервале) равномерно непрерывной производной) обозначим через ¿^(Г)): через С2(Д(Г)) обозначим пространство функций из С'(Я(Г)), обладающих на каждом ребре 7 (для луча 7 - на каждом ею подынтервале) равномерно непрерывной производной второго порядка Вектор h € R" единичной длины назовем допустимым в вершине а графа Г, если (о + eh) 6 Г для достаточно малых положительных е Множество допустимых в вершине а векторов обозначим через D(a) Для функции и Г —> R, Л ш любой ве;>1шшы а и любого h, £ D(a) опредетается

+ и(а + eh) ~ и(а) ul(a)= lim —-—

" г-»+0 е

В пункте 1 3 определяется основной объект исследования - уравнение ги-пербо шческого тина на декартовом произведении геометрического графа Г н R.

(p(r)ujx t))j - q(x)u(x, t) + f(x,t) = p(x)utt{x,t) + ß(x)ut(x,t)

(x e Г, t 6 R), (1)

где функции р(т), q(x), p(x), p(x) определены и непрерывны на Д(Г). причём выполнено 1) для любой а е <7(Г) геометрического графа Г и любого

h e D(a) пределы p(a + 0 • h), q(a + 0 • h), p(a + 0 • h), ß(a + 0 ■ h) существуют и конечны- 2) функции p(s) и р(х) положительны на Я(Г) и их пределы p(a+0h) и p(a+0-h) также положительны, V(o 6 J(T), h € D(a))- 3) функция / определена и непрерывна на Я(Г) х К причём для любого ребра 7 ее сужение на 7 х R доопределяемо по непрерывности в точках вида (а, t) где а - любой из концов 7.

Уравнение (1) при х 6 Й(Г) понимается в соответствии с введенным дифференцированием функций, определённых на Г. А при х = а £ J{Г) - как выполнение равенства

j

р(а + 0 • h)u£(a, t) — 0.

heD( а)

Предполагается что для любого t 6 К функция щ{х, t). как функция переменного х непрерывна на Г- для любого ребра 7 все частные производные !%, ихх и их, непрерывны на 7 х R , причем сужение любой из этих функций на 7 х R доопределяемо по непрерывности в точках вида (a,i), где а - любой из концов 7-

Для уравнения (1) рассматривается следующая начальная задача

и(х, t) = <р0(х, t) (х, t)eG un(x,t) = <pi(x,t) (x,t)eG,xeR(r) '

где G С (Г x R) есть график функции t = принад 1ежащей

1р(х)

C1{R{Г)) и такой, что |Ф'(:г)| < \ Через п обозначена нормаль к G в

у PW

точке (ж, i), а через и„ - производная и{х, t) по направлению п (при фиксированном t). '

Относительно функций щ и <р\ предполагается, что-1) Щ{х) = Ф(х)) принадлежит С2(Д(Г)), 2) 91(2;) = Ф(ж)) непре- <

рывна на Г и дифференцируема Д(Г), причем для любых а 6 J7(r), h е D(a) существуют и конечны пределы + 0 ■ Л) В пункте 1.4 сформулирована основная цель настоящей работы - перенесение метода Римана на уравнение (1). Точнее говоря, эта цель состоит в получении описания решения v(x,t) задачи (1), (2) через начальные данные ¡ро и ipi.

Также обсуждаются проблемы, связанные с перенесением метода Римапа на уравнение вида (1) и определяющие тем самым структуру работы.

Вторая глава носит в основном вспомогательный характер В ней изучаются условия применимости метода Римана для уравнения вида (1) Рассматривается задача

и доказывается следующая теорема:

Теорема 2.1.1. Пусть в задаче (3) о, 6, с, F обладают непрерывными производными как по х, так и по у, a ipi и - дважды непрерывно дифференцируемы Toi да у решения задачи (3) все вторые частные производные существуют и непрерывны в прямоугольнике П = [0;Жо] х {0: г/о] Также доказывается

Утверждение 2.2.1. Если в задаче (3) функция с имеет вид с(х -I- у) или с(х — у), то для выполнения утверждения Теоремы 2 11 достаточно потребовать ох с только непрерывность (оставляя остальные требования к коэффициентам пои шенными)

Существование и непрерывность производных ихх и иуу даёт возможносл ь реализовать метод Римана для уравнения вида (1)

Показывается неулучшаемость достаточных условий Теоремы 2 I 1 без дополните чьиых предположений на коэффициенты. Даiiee рассматривается задача Коши

в ко юрой а 0 7 и Ф облидаки непрерывными производными но х и по у, функции ц и $ дважды, а функция ф один раз непрерывно дифференцируемы, причем |//(а.)| < 1. Под решением данной задачи понимаем функцию, у которой все производные второго порядка непрерывны На основании предыдущих результатов главы доказываемся следующие две теоремы.

Теорема 2.4.1 Задача (4), при оговоренных только что условиях на коэффициенты а, ¡3. 7 и Ф н начальные данные уи, и гр, имеет единственное решение,

' иху + аих + buy + си — F (0 < х < х0, 0 < у < у0)

«|x=o = Vi (у) {0<У<Уо)

. и|„=о = <¿>2 (х) (0 < х < xQ)

(3)

«XX - + аих + виц + 7U = Ф

(4/

определяемое равенством и(х, у) = у(х + у,х — у), где V — г}) есть решение задачи

ь^ + аь( + ¡Зь,, + 7« = Ф ^

где а, ¡3 7 и Ф есть, соответственно функции ^(о + ¡3), — /3), ^(7) и ~(Ф) £ + 77 £-77 _

при х = —-— и у = —-—, /х - функция, неявно определяемая как зависимость т/ от £ из равенства —-— — /и ( —-—I, а ф и хр даются формупами

_ Л±Ш\

Ф(£) - V ^ ' 11 = ^ ^ чтом ^1Я 1 имеет место

формула Римана-

где (£г,г]г) есть точки пересечения характеристик с: кривой г] — /«(£)• С, 77) - функция Римана для уравнения из (4'). Теорема 2.4.2. Пусть в задаче (4) функция Ф имеет вид

Ф = Ф1(х,у)Ф2{х) + Ф3(х, уЩ(у),

1де Ф^ и Ф3 обладают непрерывными первыми частными производными, а Фг и - непрерывны Пусть все остальные предположения о коэффициентах неизменны. Тогда утверждение Теоремы 2.4.1 выполнено.

Так же в Главе 2 выводятся оценки на решение задачи (4') и его производные, используемые при доказательстве теорем из Главы 3

Третья глава посвящена перенесению метода Римана на задачу (1). (2) в < 1уча<>. когда Г - геометрический гряф-чвечдя Данный метод позволяет выразить в явном виде (через ¡рц, 1рх и аналог функции Римана) решение задачи (1) (2) в произвольной точке области Г х К Результаты главы с одной стороны носят самостояте гьный характер, а с другой - могут служить базой индукции при перенесении метода Римана на случай произвольного графа-дерева

Уравнение (1) рассматривается в случае когда Г ={а} и 71 и 72 7з, 'Ж о - точка из К", 7, - различные лучи с началом в точке о.

Рассматривается следующая задача для уравнения (1)

и{а -)- хкг, Ь)\1=Ьо-х'(х) ~ т'(х)> 0 < х < х„ г = ТД (5)

./ N ? р(а + зк,) , , .

где £0 " любое вещественное число, Х(х) = \\1~,-ГТ«5> г* е Г ,

о у Жа +

причем т'(0) = т2(0) == г3(0), х, > 0, г = 1,3. Ставится вопрос о существовании и единственности решения задачи (1), (5) на множестве (считаем, что хЧ^О < тгп{х2(х2У, Х3Ы})-II = П1 и П21) Пз, где П, = {(а + х!гг; £) | 0 < х < х„

* + Х*(-0 6 [Ь>-2хЧ*1),Ш-х'(х) 6 [¿о -2х'{х1)-М]} г = М

Задача (5) представляет собой специальный случай аналога задачи Гурса. характеристики £ = £0 — хЧИ^ ~ а11)> 1-1,3 пересекаются в точке (а,¿о), 1ежящей на оси £, однако, этот специальный г ну чай является главным, т.к к нему чегко сводится воггрос о существовании и единственности решения ана юга задачи Гурса общего вида

Далее задача (1) (5) сводится к задаче

(£'«•)(»,4) .= !&(»,«) - уп{у,1) + р(уны)+

+г'(уУ1)(у^) + д1(уУ(уЛ) = Г(уЛ) (((х)-Чу)Л)€тт), ¿=1Д (6)

3

53^(0.0 = 0, «1(0,0 = г2(0,0=«3(0,0 (—2уо < £ < 0), (7)

1=1

1'1{у, -у) = ©Чз/) (0 < У < Уо), г = 173, (8)

в которой а (у) ~ —--. , , ■ ■ , а (у) = —77—, .. ,,,

* у) р'их'гчу)) р'ихтъ)) г'(у) = -\(НрУШхГЧу)))', Пул) = Г((х') \у)Л),

- = "Ч(х') т. = ч/(р* -Рг)(0), для

О V Р

г = 1,3 (дачес к, - направляющий вектор луча 7,) р1(х) = р{а + ж/г,), <?'(х) = д(а + хкг), р'(х) — р(а + хкг), р'{х) = р,(а + жй,) Г{х,Ь) = /(а + хНг,£) ж > 0, а также и'(х, £) = и(а + хкг, £) - для х > 0, г = 1,3

В пункте 3 3 рассматривается задача (6)-(9) в предположении, что

д'(г) = ¿»(г), ДМ) = /'(*,*). г'(г) - ¿(г), ¿(г) ^ ¿4{г)

Уг 6 [0, +оо), г = 373, ] = ТТЗ. (9)

Доказывается теорема-Теорема 3.3.1 Пусть

(а) коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям 1)-3) из пункта 1 3 и условию (9),

(б) функции (р')' (/?')'. (//')', и (рУ )" непрерывны на ¡0:4 оо) для каждого г,

(в) для каждого г = 1,3 функция /'(х, принадлежит класс\ ^ функций

вида ХЛ-Ы*.*) • Д,(х) + Дг(М) ■ Д,(4)}- где сумма по ; конечна Д, Д, 1

~ функции, обладающие в {{х,£) | а: > 0, £ € Ж} непрерывными частными производными первого порядка, а /2, /4, - непрерывны- Д, - па [0. +оо). а Д,

- наЕ,

(г) (рУ)'(0) = 0 (г = р),

(Л) (0)=0и(^ (0) — 0 (г = ТТЗ),

(е) /х>(0) = 0 (г = й) Тогда задача (1), (5) имеет определённое на П решение причем единственное В пункте 3 4 выводится условие на характеристические данные, необходимое и достаточное для разрешимости аналога общего вида задачи Гурса для уравнения (1), это условие носит нелокальный характер

тс п, О С (Г х Е) есть график функции Ь = а С' в [0 +оо) х Е

- график ее сужения 4 = Ф'(('!К,)~1(у)) |Ш ({"} и7') х ® Для точки М(ум^м) лежащей в об нити опредс ¡ения г1 определим область в которой нам потребуется существование аналога функции Римана Для :»того проведем через нее характеристики < = у 4- Ьм — у и, £ = —у + £д,/ + ум Пусть характеристика ^ ~ У + ^м - ум не пересекается сС',а заканчивается точкой В(0Лв) Точку пересечения характеристики Ь ~ -у + £у + Ум и С1 обозначим А В областях определения V2 и V3 проведем из точки В характеристики £ - —у + до пересечения с (72 и & в точках Я2 (1/2. ~У2 + £в) и Я3(уз, —уз + 'в), соответственно

Также проведем линию £ = —у + Ьдв области определения у1 до пересечения с б1 в точке В}{у1, —2/1 + £д) Функцией Римана назовём набор функций V1, г = 1,3, удовлетворяющих системе (6) на на \ В Я, Пг, Оз, соответственно условиям сопряжения (7) и краевым условиям

= 01(у). о <у<ум

= ©Кг/). ум<у<уа

Л=-у+гв = ©2(у), 0<У<У2 ' ь = 03Ы, 0 < у < у3

гдеП! -={(у,0|0<»<ул, ФЧСх1)-1^)) < Й < У + ¿Л/ - УЛ/,

П.:={(»,0|0<у<у„ ФЧСХ*)"1^)) <«< -у + «в}, « = 2,3.

Доказывается, что д1я гладкости функции Римана на необходимо и достаточно, чтобы

3(в})'(0) + 2(62)'(0) + 2(©3)'(0) =

(7 \7" (} \ (7 \

— ехР| ~ / / ехр / (©2)'(г/м)ехр -/ ф)(к ,

V«» Л» V / /

где /(£) и с(0 - функции, определяемые по данным задачи.

В пункте 3 5 снимается условие (9) симметричности коэффициентов и доказывается

Теорема 3.5.1. Пусть выполнены условия Теоремы 3.3.1 за исключением условия (9) Тогда утверждение Теоремы 3.3 1 сохраняется Доказательство Теоремы 3 5 1 основано на результатах Главы 2 и вспомогательных результатах Главы 3, устанавливаемых в п. 3.6.

В п. 3 7 выводится формула. аналогичная формуле Римана для начальной задачи (1), (2) Предполагая, что коэффициенты (1) удовлетворяют условиям Теоремы 3 5 1 и переходя к новым независимым переменным £ = у + t, т\ — у — Ь получим задачу, единственное решение которой будет также единственным решением (1), (2).

! ДР и

(£ + //> 0), г = 1,3.

з

= 0 г 6М,

! = 1

-г) = и2(г,-г) =и3(г,-г) г 6 К,

= .-Т73

= е Я', + > 0), * = 173

(10) (П) (12)

(13)

гЧ(хГЧ^)) м'Нх'ГЧЦ1))

Ь'(^) =-4 +-4 -

гЧОсГ1^)) ¿'((хГЧ—1))

Lz.IL 2

Вводится оператор, формально сопряженный оператору г = 1,3

и доказывается следующая теорема

Теорема 3.7.1. Пусть иг(£,1]) (? — 1,3) - решения Задачи (10)-(13) при всех сделанных выше предположениях Пусть

к к к

Ф = У"(Р,Ч - Р^П) - I(Р^ - Р^г,) - I- Р&г,),

я5

где для г = 1,3

Р< - [I

,ду>

■ ъ

ю

1 ( ,ди1 ,дуг . ы , ,

Пусть -и1, V3 {] = 2,3) - решения задачи

М1«1^) = 0 € \ ВЯ1), Л/М*,»/) - 0 («,7?) € П,),

з

ЕС™ , X С'и , . „

+ =0 ,€й

— Т7,77) — У3(—г},Г)) г] € Я.

/*'« \

vм <п< 1\а

-Пм < £ < ?АГ,

=- ехр| Jс'^'.г/у)^'! т]М <Ц< т)Л1

им

, дь] п т

причём гг и -г— непрерывны на ГЬ Тогда дг)

з

= 1 - «'"Чв +Л2|д2 + Л3И + ¿У[¿(^Г^ч)^ - Ф

12,

В заключение автор хотел бы выразить глубокую признательность своему научному руководителю профессору Ю В Покорному и доценту В Л Пряди-еву — за постановку задач и полезные советы в ходе исследования.

Результаты днс< ертации опубликованы в работах

[1] Гаршин С В Нелокальные условия разрешимости дна тога задачи Гуреа для гиперболического уравнения на декартовом произведении графа-звезды и вещественной оси / С В Гаршин // Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения - XV" материалы Воронеж весен мат шк -Воронеж, 2004 - С 246-247

[2] Гаршин С В Разрешимость первой краевой задачи и формула Грина для гиперболического уравнения на пространственной сети / С В Гаршин 7/ Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения - III" материалы Воронеж весен мят шк - Воронеж 2002 - С 35

13] Гаршин С В Метод Римана для уравнения гиперболического типа на декартовом произведении графа-звезды и М1 С В Гаршин / Труды молодых учёных Воронежского государственного универс птета - 2004 JV" 2 -С 3-0

(4] Гаршин С В Разрешимость аналога задачи Гурса для уравнения i инербо-лического тина на простейшем геометрическом графе / С В Гарп.ин Воронеж гос ун-т - Воронеж 2005 - 13 с - Деп В ВИНИТИ 02 06.05 № 798-В2005

[5] Гаршин С В Нелокальное условие разрешимости аналога задачи Гурса для гинербо шческого уравнения на 1рафе-звезде С В Гаршин / Международная конфер но диф уравнениям и динамическим системам i-ез док i -Суздаль, 2004 - С 55-5G

Заказ .N#¿¡7 mBJO. 2005г Тираж/$Я7экз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

с

?

«820 0 5 6

РНБ Русский фонд

2006-4 18579

i

Введение

1 Основной объект исследования и постановка задачи

1.1 Понятие связного геометрического графа

1.2 Классы функций, определённых на геометрическом графе

1.3 Уравнение гиперболического типа на декартовом произведении геометрического графа и R

1.4 Постановка задачи и её обсуждение

2 Результаты вспомогательного характера.

2.1 Достаточные условия существования и непрерывности вторых производных у решения характеристической задачи для гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными

2.2 Теорема 2.1.1 для частногоучая коэффициента

2.3 Неулучшаемость достаточных условий без дополнительных предположений

2.4 Достаточное условие корректности формулы Римана в случае гиперболического уравнения во второй канонической форме

2.5 Вспомогательные оценки

3 Метод Римана для уравнения гиперболического типа на Г х R, где Г - геометрический граф-звезда

3.1 Постановка задачи, аналогичной задаче Гурса

3.2 Некоторые преобразования задачи (1.3.1), (3.1.1) и дополнительные предположения на коэффициенты

3.3 Случай симметричных коэффициентов уравнения (1.3.1).

3.4 Нелокальное условие разрешимости аналога задачи Гурса в общем виде для уравнения (1.3.1)

3.5 Случай несимметричных коэффициентов уравнения (1.3.1)

3.6 О существовании и непрерывности (Я4)^ и

3.7 Метод Римана

Настоящая работа посвящена исследованию уравнения гиперболического типа р(х)их(х, t))x - q(x)u(x, t) + f{x, t) = p(x)utt(x, t) + р(х)щ(х, t) xer,te R), в котором Г - геометрический граф (в смысле [17]). Основная цель, которая преследуется в работе, состоит в перенесении метода Римана на уравнение данного вида.

Несколько слов об истории исследований линейных дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.

Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных стратифицированных множествах, одномерных клеточных комплексах) началось сравнительно недавно, около 25-30 лет назад. К подобным уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [17, 74, 77]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [17, 77, 41, 71, 76]), деформаций упругих сеток (см., например, [17, 77]) и струнно-стержневых систем [3, 48], диффузии в сетях [17, 77, 25], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [79, 73, 66], бифуркаций вихревых течений в жидкости [68], гемодинамики (см., например, [42]), колебаний сложных молекул (см., например, [43, 13, 17]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [15]); приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [44, 27, 76, 26]).

Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений достаточно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, адекватных закону Кирхгофа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существования полугруппы); построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов - см. [17] и цитированную там литературу. Часть этих результатов была получена и в случае обобщения условий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как 5— и 5'—взаимодействие в узлах сети [17, 55, 67, 1].

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на геометрических графах могут рассматриваться как частный случай уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах, теория которых к настоящему времени развита до аналогов неравенства Пуанкаре, принципа максимума, неравенства Гарнака, теоремы о среднем, формулы Пуассона, метода Перрона - см., например, [46, 45, 47, 7, 34, 17].

Аналоги классических результатов (разрешимость, существование сильно непрерывной полугруппы) получены и для уравнений параболического типа - см., например, [25, 75].

На результатах исследований уравнений гиперболического типа на геометрическом графе1 остановимся более подробно. Прежде всего, если говорить о волновом уравнении на геометрическом графе (т.е. об уравнении (1) при р — 1, q — 0, р = 1, / = 0, fi = 0), то, помимо исследования структуры и ассимптотики спектра и оценок резольвенты (об этом выше уже шла речь), следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера [50, 69, 70, 5, 31, 30, 57, 72]. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косинус-функции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичность -см. [57, 29, 31, 32, 78, 51], 2) обосновать корректность начальной задачи [28], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о среднем [59]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недифференциальных) уравнений с конечным числом запаздываний [52, 53, 54, 58]. Предприняты и первые попытки исследования задач управления [56, 14] и задач управляемости [6] (последнее в духе работ [20]-[24], [63, 64]) при краевых условиях пока только первого рода. На повестке дня и перенесение методов задач наблюдения (см., например, [19, 18]) на волновые уравнения на геометрических графах. В случае

1 Точнее, на декартовом произведении геометрического графа и К1. волнового уравнения на геометрическом графе при условиях трансмис

V сии, описывающих S— и 6'—взаимодействие в узлах сети, для некоторых классов геометрических графов, краевых условий и условий трансмиссии получены формулы, содержащие конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простейших преобразований начальных данных, означающих сдвиг графика и его симметричное отображение (см. [37, 38, 39]).

В свете вышеизложенного изучение возможности перенесения метода Римана на уравнение (1) (на декартовом произведении геометрического графа и R) представляется и актуальным, и естественным продолжением уже проведённых исследований для волнового уравнения на геометрическом графе. Настоящую работу можно рассматривать как один из шагов в этом направлении, но полностью задачу о перенесении метода Римана на случай уравнения (1) на геометрическом графе не решающий: например, остался не изученным случай геометрического графа с циклами. Во многом это объясняется тем, что перенос метода Римана на уравнение (1) (на геометрическом графе) реализуется не столь легко, как это казалось в начале предприятия, и основных причин здесь две. Первая: условия трансмиссии в вершинах геометрического графа не удалось преодолеть путём поочерёдного применения классического метода Римана сначала на одном ребре, затем, "перевалив"через вершину, на другом и так далее - и это не смотря на то, что условия трансмиссии рассматриваются в работе адекватные закону Кирхгофа2 - самые, пожалуй, изученные и популярные у большинства исследователей дифференциальных уравнений на геометрических графах. Вторая причина и вовсе неожиданна:

2В [49] эти условия названы условиями а—гладкости. изучение литературы3 показало, что обоснование корректности метода Римана для уравнения (1) даже в случае, когда Г есть отрезок, или прямая, или луч, отсутствует по той причине, что излагается метод Римана только для уравнения иху + а{х, у)их + b(x, у)иу + с(х, у)и = F(x, у)

- гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными в так называемой первой канонической форме. Исключение составляет лишь хорошо известная монография [65], в которой, однако, данное обоснование не является исчерпывающим. Эту недосказанность в настоящей работе мы были вынуждены устранить.

Перейдём к краткому описанию основных результатов данной диссертации.

Первая глава посвящена постановке задачи. В ней делаются основные предположения, вводятся понятия, используемые в ходе исследования. Даётся подробное описание всех объектов исследования.

В пункте 1.1 определяется конечный и связный открытый геометрический граф Г в Мп (следуя [17]), представляющий собой связное объединение конечного числа интервалов {Аа + (1 — Л)6 | а, 6 £ Rn, 0<А< 1} и открытых лучей {а + Xh | а G 1", А > О, h - единичный вектор в Rn } и некоторого подмножества множества концов этих интервалов и лучей. Данные интервалы и лучи мы назовём рёбрами Г и обозначим ^ (г — 1,т, где т - количество рёбер Г), а их концы, вошедшие в Г, -внутренними вершинами Г. Граничными вершинами Г называются кон

3Доступной и известной, в которой упоминается метод Римана - см. [60, Введение, §2], [33, Часть I, глава II], [2, глава И, п.42], [4, глава III, §4], [16, глава XXVI], [35, глава V, §5], [36, глава V, §4], [61], [62, лекция V]. цы рёбер, не вошедшие в Г. Также предполагается, что 7г П 7/ = ^ ПРИ г ф j. Степенью вершины будем называть количество примыкающих к ней рёбер.

Объединение рёбер 7г- обозначим через Л (Г), множество внутренних вершин Г обозначается через ^Г(Г).

На Г рассматривается топология, индуцированная из Еп евклидовой нормой. Циклом геометрического графа будем называть его подмножество, гомеоморфное окружности. Геометрический граф без циклов будем именовать деревом. Если некоторая вершина дерева является концом каждого из его рёбер, то такой геометрический граф мы будем называть звездой.

Всюду далее будем рассматривать только связные открытые геометрические графы-деревья, не имеющие граничных точек и степень каждой внутренней вершины которых превышает единицу.

В пункте 1.2 определяются функциональные пространства на связном открытом геометрическом графе. На Г вводятся в рассмотрение веще-ственнозначные непрерывные функции. Множество равномерно непрерывных функций на каждом из рёбер Г (если ребро - луч, то на каждом его подынтервале) обозначается через C(R(T)).

На Г вводится ориентация рёбер: каждому ребру 7* графа Г ставится в соответствие один из двух коллинеарных ему единичных векторов /гг-(для луча - сонаправленный с ним).

Определение 1.2.1. Будем говорить, что функция и, действующая из Г в Ж, дифференцируема на если для любого i = 1, т и любого х € 7г существует конечный предел и(х + ehi) — и(х)

Km-£->0 естественно определить в этом случае производную функции и(-) в смысле заданной ориентации Г как функцию и(х + shi) — и(х) и'(х) = lim —-- (х Е 7j, г = 1 ,т).

4 ' е->о е 4 '

Пространство функций непрерывных на Г и обладающих на каждом ребре 7i (для луча 7г- - на каждом его подынтервале) равномерно непрерывной производной) обозначим через С\й(Г)); через C2(R(T)) обозначим пространство функций из Cl(R(T)), обладающих на каждом ребре 7i (для луча 7j - на каждом его подынтервале) равномерно непрерывной производной второго порядка.

Определение 1.2.2. Вектор h еЖп единичной длины назовём допустимым в вершине а графа Г, если (а + eh) G. Г для достаточно малых положительных е.

Множество допустимых в вершине а векторов обозначим через D(a).

Если и G C1(i2(r)), то для любой вершины а и любого h е D(a) существует правосторонняя производная функции и в вершине а по направлению /1, т. е. существует и(а + eh) - и(а) щ(а) = lim —----—. hX } е->+0 е

По аналогии вводится понятие правосторонней производной второго порядка, для функции из C2(R(Г)).

В пункте 1.3 приводится основной объект исследования - уравнение гиперболического типа на декартовом произведении геометрического графа и R: р(х)их(х, t))x - q(x)u(x,t) + f(x, t) = p(x)utt(x, t) -f ц(х)щ(х, t) хеГ ,te R), (1) где функции р{х), q{pc), р{х), р,(х) определены и непрерывны на #(Г), причем выполнено: 1) для любой а £ с7(Г) геометрического графа Г и любого h £ D(a) пределы р(а + 0 • /г), q(a + 0 • /г), р{а + 0 • h), ц(а + 0 • h) существуют и конечны; 2) функции р{х) и р{х) положительны на Л(Г), и их пределы p(a+0-h) и p(a+0- h) также положительны, У (а £ J{ Г), h £ D(a))] 3) функция / определена и непрерывна на -Й(Г) х М, причем её сужение на 7* х К (г = 1,ттг) доопределяемо по непрерывности в точках вида (а, £), где а - любой из концов 7.

Уравнение (1) при я £ -Й(Г) понимается в соответствии с введённым дифференцированием функций, определённых на Г. А при ж = а £ как выполнение равенства heD(a)

Для любого t 6 1 функция u(x,t), как функция переменного ж, принадлежит С2(Я(Г)); для любого £ £ К. функция ut(x,t), как функция переменного х, непрерывна на Г; все частные производные utt, ихх и uxt непрерывны на 7* х R (Vi = 1, m), причём сужение любой из этих функций на тi х Л доопределяемо по непрерывности в точках вида (а, £), где а - любой из концов 7^.

Для уравнения (1) рассматривается следующая начальная задача: u{x,t) = <pQ{x}t), (x,t)eG,

0 = <), (ж, t) £ G, x e R(Г), где G С (Г x Ж) есть график функции £ = принадлежащей

1р(х\

Cl(R(T)) и такой, что < J —^-у. Через п обозначена нормаль к G в точке (ж, t), а через ип - производная u(x,t) по направлению п (при фиксированном t).

Относительно функций щ и ipi предполагается, что: v 1) ^о(ж) = <ро(х, ^(х)) принадлежит С2(Д(Г)); 2) Щ(х) = cpi(x,^(x)) принадлежит C2(R(T)). Также предполагается, что функция (cosа и cos /3 - направляющие косинусы нормали к G)

Ч> 1 — <£о ' cos а cos /3 — cos а ■ Ч?'(х) непрерывна на Г и выполено: р(а + 0 • Л)Ыл(а) = 0 a Е J (Г). h<=D{a)

В пункте 1.4 сформулирована основная цель настоящей работы - перенесение метода Римана на уравнение (1). Точнее говоря, эта цель состоит в получении описания решения u(x,t) задачи (1), (2) через начальные данные сро и <pi.

Коротко напоминается идея метода Римана для линейного гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными вида г w л , .ди ,, sdu . ч . , .

Lu){x, у) = + а{х, у)— + 6(®, у)— + с(а?, у)и = F(x, у)\ (5) хеш ,2/gR),

Также обсуждаются проблемы, связанные с перенесением метода Римана на уравнение вида (1) и определяющие тем самым структуру работы.

Вторая глава содержит результаты, которые в первую очередь носят вспомогательный характер, представляя, впрочем, и самостоятельный интерес. В данной главе исследуются условия применимости метода Римана для уравнения вида (1), а также содержатся некоторые вспомо гательные оценки.

В начале Главы 2 ищутся достаточные условия существования и непреv рывности вторых производных у решения характеристической задачи для гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными.

Рассматривается задача / иху + аих + buy -f си = F (0 < х < xq, 0 < у < уо) < и\х=ъ = (pi{y) 0 < у < Уо (3) и\у=о — <Р2(х) 0 < х < х0 и доказывается следующая теорема:

Теорема 2.1.1. Пусть в задаче (3) а, 6, с, F обладают непрерывными производными как по ж, так и по у, а <р\ и ср2 - дважды непрерывно дифференцируемы. Тогда у решения задачи (3) все вторые частные производные существуют и непрерывны в прямоугольнике П = [0; а?о] х [0; уо]-Существование и непрерывность производных ихх и иуу даёт возможность реализовать метод Римана для уравнения вида (1).

Дальнейшие исследования вынуждают искать пути реализации метода Римана для уравнения (1) в случае лишь непрерывного коэффициента с(х,у). Исходя из этого доказывается следующее утверждение.

Утверждение 2.2.1. Если в задаче (3) функция с имеет вид с(х + у) или с(х — у), то для выполнения утверждения Теоремы 2.1.1 достаточно потребовать от с только непрерывность (оставляя остальные требования к коэффициентам неизменными).

Далее показывается неулучшаемость указанных достаточных условий без дополнительных предположений на коэффициенты. Поочереди мы уменьшаем предполагаемую регулярность коэффициента и показываем, что в этом случае у решения характеристической задачи может не суще* ствовать одной из вторых частных производных.

Кроме вопроса о существовании вторых частных производных у решения задачи Гурса, в Главе 2 обсуждается достаточное условие корректности формулы Римана в случае гиперболического уравнения во второй канонической форме.

Рассматривается задача Коши в которой а, /?, 7 и Ф обладают непрерывными производными по х и по у, функции (л и (р дважды, а функция ф - один раз непрерывно дифференцируемы, причём \у>'(х)\ < 1. Под решением данной задачи понимаем функцию, у которой все производные второго порядка непрерывны. На основании предыдущих результатов главы доказывается следующие две теоремы.

Теорема 2.4.1 Задача (4), при оговорённых только что условиях на коэффициенты а, (3, j и Ф и начальные данные /л, <р и if), имеет единственное решение, определяемое равенством: uXx ~ uyy -f aux + (3uy -f = Ф < U\y=Kx) = V(X) uy\y=li{x) =

4) u(x,y) -v(x + y,x-y), где v = г]) есть решение задачи

Vfr + + Pvjj + 7V = Ф

2.4.2) где a, /?, 7 и Ф есть, соответственно функции |(а + (3), |(а — /?), J(7) и |(Ф) при х = ^ и у — ^j1, ft - функция, неявно определяемая как зависимость rj от £ из равенства -1 = ц (^р) > а Ф и Ф даются формулами ф(£) = <р и ф(£) = -ф этом Для v имеет место формула Римана:

1 1 ч) = ^K-ith m; f, rj) + mi C, »?)fi(f,4) где (Съш) есть решение системы S+sL i±a + bn 2 ~ 2 2^2 относительно V), a (£2^2) - решение системы

2 ~ 2 2 ' 2 R{i',r}'\ £,77) - функция Римана для уравнения из (4).

Теорема 2.4.2. Пусть в задаче (4) функция Ф имеет вид

Ф = Ф1(х,у)Ф2{х) + Ф3{х,у)Ф4(у), где Ф1 и Ф3 обладают непрерывными первыми частными производными, а Ф2 и Ф4 - непрерывны. Пусть все остальные предположения о коэффициентах неизменны. Тогда утверждение Теоремы 2.4.1 выполнено.

Так же в Главе 2 выводятся оценки на решение краевой задачи и его частные производные, которые (оценки) используются при доказательстве теорем из Главы 3.

Третья глава посвящена описанию аналога метода Римана для задачи (1), (2) в случае, когда Г - геометрический граф-звезда. Данный метод позволяет выразить в явном виде решение задачи (1), (2) в произвольной точке области Г х R. Результаты главы с одной стороны носят самостоятельный характер, а с другой - могут служить базой индукции при перенесении метода Римана на случай произвольного графа-дерева.

В начале третьей главы осуществляется постановка задачи, аналогичной задаче Гурса.

Уравнение (1) рассматривается на Г х R, где Г С Rn - геометрический граф-звезда, представляющий собой объединение трёх различных лучей с общим началом. Г можно представить в виде Г = {a} (J71 (J Т2 U Тз > где а - точка из Rn, 7$ - соответствующие лучи.

Рассматривается следующая задача для уравнения (1): и(а + xhi, t)\t=to-xi(x) = тг(х), 0 < х < хи i = ТД (5) где to - любое вещественное число, хг(х) d~ Г * тг € С2[0: хА,

J0 у р(а -f shi) причём т1(0) = г2(0) = т3(0); ж,- > 0, г — 1,3. Ставится вопрос о существовании и единственности решения задачи (1), (5) на множестве (для определенности считаем, что x1(a;i) 5: wim{x2(®2)j Х3(гсз)}): n = n1Un2Un3, где

П,- = {(а + xhi] t)\0<x<xi,t + е [to ~ 1xl{xi)\h}, t-xKx)e[to-2Xi(x1)]to\} г = 17З.

Уравнение t = to — хг(||аг — а||) является уравнением характеристики для уравнения (1), рассматриваемого на ({a}U7i) х R- Задача (5) представляет собой специальный случай аналога задачи Гурса: характеристики t — to — хг(11ж ~ all)> i = 1,3 пересекаются в точке (a, to),

16 лежащей на оси £; однако, этот специальный случай является главным, т.к. к нему легко сводится вопрос о существовании и единственности решения аналога задачи Гурса общего вида. Далее задача (1), (5) сводится к задаче:

LV)(y, t) := t4(y, t) - t) + t)+

-1/

1Шу{у, t) + q\y)v\y, t) = Г(у, t) (((;хГШ) e mffl), г = 1,3,

6) 3

Vit/j(0,f) = 0 (-22/0 < t < 0), (7) г=1 v\Q,t) = u2(0,*) = u3(0,£) (-2y0 <t< 0), (8) v% -У) = (0 < У < Vo)i г = ТД (9) в которой w ~ рЧХ'УЧУ))' 9 w ~ SW-W г'(у) = -НЧ^УЖх'ГЧг/)))', /•(</,«) = /'((хГ'Ы,*),

0 1 v%t) = «<((х,')"1(з/),0» ** = vV-^XO) для г = 1,3 (/ij - направляющий вектор луча 7$) рг(х) = <уг(сс) = q(a + xhi), рг(х) — р(а + xhi), р?(х) = р(а + xhi), fl(x, £) = /(а + xhi, t) - для x > 0, а также иг(х, t) = и(а + xhi, t) ~ для х > 0, г = 1,3.

При этом мы, конечно, считаем, что функции (рг • рг)(х) дифференцируемы.

В пункте 3.3 рассматривается задача (6)-(9) в предположении, что q^z) = £'(*), f(z,t) = fi{z,t), ?{z) = faz) =

17 z G [0; +00), г = 1,3, j = 1,3. (S)

Данное предположение используется по существу. Доказательство существования и единствености решения такой упрощённой задачи является этапным перед доказательством общего случая. Доказывается теорема: Теорема 3.3.1 Пусть а) коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям 1)-3) из пункта 1.3 и заданы таким образом, что выполнены условия симметричности (S), приведённые выше в настоящем пункте б) функции (ргу, (рг)г, (//)', ql и (ргрг)" непрерывны на [0; +оо) для каждого г, в) для каждого i = 1,3 функция fl(x,t) принадлежит классу F функций вида J2{hj(x> 0'hjix) + /з;(®> 0 * /у (*)}> где сумма по j конеч-з на, V? выполнено: /у, /з;- - функции, обладающие в {(ж, t) | х > 0, t 6 М} непрерывными частными производными первого порядка, а Д/, /у ~ непрерывны: /у - на [0; +00), a /у - на К, г) (рУУ(О) = 0 (г = 173), д) для каждого г = 1,3 выполнены равенства (^j (0) = 0 и = о, о) /г'(0) = 0 (г = 175).

Тогда задача (1), (5) имеет определённое на П решение, причём единственное.

В пункте 3.4 выводится условие на характеристические данные, необходимое и достаточное для разрешимости аналога общего вида задачи Гурса для уравнения (1); это условие носит нелокальный характер. Под аналогом общего вида задачи Гурса понимается характеристическая задача в области, заключенной между кривой, на которой заданы начальные условия и характеристиками, опущенными на неё из произвольной точки Г х М, а не из точки, принадлежащей {а} х R, как рассматривалось в предыдущих пунктах.

Пусть G С (Гх1) есть график функции t = а G1 6

0; -f оо) xl - график её сужения t = Ф'((хг)1Ы) на (WUlO х Для точки М(ум,Ьм), лежащей в области определения v1, определим область, в которой нам потребуется существование функции Римана. Для этого проведём через неё характеристики t = у + Ьм — Ум, t = —У + ^м + Ум- Пусть характеристика t = у + Ьм — Ум не пересекается с G1, а заканчивается точкой Б(0, Точку пересечения характеристики t = — у + tM + Ум и G1 обозначим А. В областях определения v2 и v3 проведём из точки В характеристики t = — у + ts до пересечения с G2 и G3 в точках R2(y2,—y2 + ^в) и Я3(уз,—уг + Ьв), соответственно, эти линии можно интерпретировать как продолжение характеристики t — у + tM — Ум- Также проведем линию t — —у + te в области определения v1 до пересечения cG1 в точке Rl(yi, —у\ + ts) (см. Рис. 3 на стр. 71). Под функцией Римана мы в данном случае понимаем набор функций v\ i = 1,3, удовлетворяющих системе (6) на fii \ BR, fi^, соответственно, условиям сопряжения (7), (8) и краевым условиям vl\t=y+tM-yM = 0 <У<УМ vl\t=-y+tM+yM = ®2 fe)' УМ < У <УА v2\t=-y+tB = ®2(У), 0<y<y2 к Л^-y+ta = е3(у), о < у < уг fil := {(y,t) I 0 < у < У At Щ{х1Г\у)) <t<y + tM-yM,

Of := {(y,t)\0<y < Уг, ЩхТЧу)) <t<-y + tB}, i = 2,3.

Доказывается, что условие гладкости функции Римана на выглядит следующим образом:

-ПО —щ в

- f ф) ds г f c(t) dt

3(0})'(О) + 2(©2)'(0) + 2(©3)'(0) = e «> f(s) ds+

-40 - / c(s) ds

1)'(Ум)е «> где /(£) и c(£) - функции, определяемые по данным задачи.

Замечание: Функциями 9} и "жестко"(однозначно) определяется только сумма (62)'(0) + (03)'(О).

Полученное нелокальное условие является самостоятельным результатом и не участвует в дальнейших исследованиях, т.к. оказалось, что для получения формулы Римана для уравнения (1) достаточно гладкости функции Римана на области, рассматриваемой в пункте 3.3.

В пункте 3.5 снимается условие (S) симметричности коэффициентов и доказывается

Теорема 3.5.1. Пусть выполнены условия Теоремы 3.3.1, за исключением условия (S). Тогда утверждение Теоремы 3.3.1 сохраняется. Доказательство Теоремы 3.5.1 основано на результатах Главы 2 и вспомогательных результатах Главы 3, устанавливаемых в п. З.б.

В заключительной части третьей главы выводится формула, аналогичная формуле Римана для начальной задачи (1), (2). Предполагая, что коэффициенты (1) удовлетворяют условиям Теоремы 3.5.1 и переходя к новым независимым переменным £ = у + t, 77 = у — t, получим задачу, единственное решение которой будет также единственным решением (1),

К + ту>0), г =173, (10) з

7Г<[Ц(г>-г) + Ц(г>-г)] = 0 * G R, (11) i=i

U^z.-z) = u2(z,-z) = u3(z,-z) (12) if£ + V

I . I/- 7)1 I- П . '/, = I Л

13)

К, rj) eH\i = 1,3 где v —J,

4 4

9%V) = 4" ((X')-1 , F%n) = f ((хГ1

Далее, следуя обозначениям, введённым в пункте 3.4, обозначаем область, заключенную внутри контура ARlKBM через Qi, область внутри KBR2 - через 0,2, область внутри КВВ? - через Q3. Отрезок BR1 разбивает f2i на две области, которые мы обозначим через ЗД (ту, что лежит внутри контура KBR1) и через Q'( (ту, что лежит внутри контура AMBR1).

Вводится оператор, формально сопряженный оператору L%, i = 1,3: дЧ d(6V) <9(cV) . . и доказывается следующая теорема.

Теорема 3.7.1. Пусть ul(£,rj) (i = 1,3) - решения задачи (10)-(13) при всех сделанных выше предположениях. Пусть к к к

Ф = J - P^drj) - J {P?d£ - Pidrj) - J (P*d£ - Р23оВД, в? где для i = 1,3 р; =

1 ( ди1 dvl\ ■ ■ ■ pi > гг в? пусть г*2, г = 1,3- решение задачи

М*У%Г1) = 0, (&г))еПг г = 2,3), 3 \dv%, ч dvl, ' Е г=1 0 7]£ R frHWW

V\ri=VM = *M v\-Г/, Г]) = v2{—r\, Г]) = Уг(-Г], rf) rieR m <i <va -Г]м < £ < m < г] < VR* f WmW

-ЧМ

I b2{-T,M^)di f cHt'.wW

VM < V < T]R2

V -1M

I bH-VMV'W f сНИ'лмЖ X

1 dvl причем vL и -7— непрерывны на Qj. Тогда

ОГ) з i=1 Sli

Замечание. Все рассуждения, проведённые для геометрического графазвезды с тремя рёбрами, очевидным образом переносятся на случай лю з бого числа рёбер - надо лишь заменить "г = 1,3" на "г = 1, тп" и г=1 m на г=1

Основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в [8]-[12].

Эти результаты докладывались на: Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIII" - "Современные методы в теории краевых задач" в г. Воронеже, в 2002 году; на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XV" - "Современные методы в теории краевых задач" в г. Воронеже, в 2004 году; на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения -XVII" - "Современные методы в теории краевых задач" в г. Воронеже, в 2005 году; на Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам, в 2005 году; на научной сессии ВГУ в 2005 году; на семинаре по качественной теории краевых задач Воронежского госуниверситета под руководством профессора Ю.В. Покорного.

Об организации текста. Диссертация состоит из введения, трёх глав, объединяющих в общей сложности 16 пунктов и списка литературы. Объём диссертации 119 стр. Библиография содержит 79 наименований. Текст иллюстрируют четыре рисунка. Нумерация формул организована по порядку, в соответствии с номером главы и пункта.

1. Абдулмаджид М. Колеблемость ветвящихся решений уравнений второго порядка - спектральная теория : дис. . канд. физ.-мат. наук / М. Абдулмаджид. - Воронеж, 1992. - 101 с.

2. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с чатными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. М. : Наука, 1978. - 352 с.

3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики / А.В. Бицадзе. -М. : Наука, 1976. 296 с.

4. Боровских А.В. О распространении волн по сети / А.В. Боровских, А.В. Копытин // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1999. - С. 21-25.

5. Бурлуцкая М.Ш. Граничное управление системой из трёх струн с одним закреплённым концом / М.Ш. Бурлуцкая // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 45-46.

6. Гаврилов А.А. Аналог леммы о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве / А.А.Гаврилов, О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 2000. - Т. 36, N 2. -С. 226-232.

7. Гаршин С.В. Метод Римана для уравнения гиперболического типа на декартовом произведении графа-звезды и R1 / С.В. Гаршин // Труды молодых учёных Воронежского государственного университета. 2004. - № 2. - С. 3-9.

8. Гаршин С.В. Разрешимость аналога задачи Гурса для уравнения гиперболического типа на простейшем геометрическом графе / С.В. Гаршин; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2005. - 13 с. - Деп. В ВИНИТИ 02.06.05, № 798-В2005.

9. Гаршин С.В. Нелокальное условие разрешимости аналога задачи Гурса для гиперболического уравнения на графе-звезде / С.В. Гаршин // Международная конфер. по диф. уравнениям и динамическим системам : тез. докл. Суздаль, 2004. - С. 55-56.

10. Герасименко Н.И. Задача рассеяния на некомпактных графах / Н.И. Герасименко, Б.С. Павлов // Теоретическая математ. физика. 1988. - Т. 74, № 3. - С. 345-359.

11. Глотов Н.В. О колебаниях с трением на сети / Н.В. Глотов, B.J1. Пря-диев // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягин-ские чтения IV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 39-40.

12. Гудзовский А.В. К расчёту гидравлических сетей / А.В. Гудзовский // Докл. АН. 1988. - Т. 358, № 6. - С. 765-767.

13. Гурса Э. Курс математического анализа : в 3-х т. / Э. Гурса // Том 3, М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит. 1933. 276 с.

14. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный и др.]. М. : Физматлит, 2004. - 272 с.

15. Знаменская JI.H. Задача граничного наблюдения за упругими колебаниями // Современные методы в теории краевых задач: "Понтря-гинские чтения XV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2004. - С. 97.

16. Знаменская JI.H. Управление упругими колебаниями / JI.H. Знамес-кая. М. : Физматлит, 2004. - 176 с.

17. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В.А. Ильин // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № 11. - С. 1517-1534.

18. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце / В.А Ильин // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № 12. - С. 1640-1659.

19. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В.А Ильин // Диф. уравнения. 2000. - Т. 36, № И. - С. 1513-1528.

20. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии / В.А. Ильин // Докл. РАН. 2001. - Т. 376, № 3. - С. 295-299.

21. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса / В.А. Ильин, В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № 5. - С. 692-704.

22. Каменский М.И. О полугруппе в задаче диффузии на пространственной сети / М.И. Каменский, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Докл. РАН. 1999. - Т. 368, № 2. - С. 157-159.

23. Комаров А.В. О приближении многомерных объектов одномерными : автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. / А.В. Комаров. Воронеж, 2003. - 18 с.

24. Комаров А.В. О спектре равномерной сетки из струн / А.В. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Изв. вузов. 2000. - Т. 463, № 4. - С. 23-27.

25. Копытин А.В. Об ограниченности обобщённых решений волнового уравнения на сети / А.В. Копытин // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIII": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2002. - С. 80-81.

26. Копытин А.В. Об аналоге формулы Даламбера и спектре лапласиана на графе с соизмеримыми рёбрами / А.В. Копытин, B.JI. Пряди-ев // Вест. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Матаматика. 2001. -№ 1. - С. 104-107.

27. Копытин А.В. Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетях : дис. . канд. физ.-мат. наук : 010102 / А.В. Копытин. Воронеж, 2002. - 77 с.

28. Копытин А.В. Об одном представлении решения волнового уравнения на сети / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Современные методы теории функций и смежные проблемы : тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк., (дополнит, вып.). Воронеж, 2001. - С. 307.

29. Копытин А.В. Решение волнового уравнения на пространственной сети / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2000. - С. 19-23.

30. Кошляков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1962. - 768 с.

31. Куляба В.В. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах / В.В. Куляба, О.М. Пенкин // Докл. РАН. 2002. - Т. 386, № 4. - С. 453-456.

32. Курант Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. М. : Мир, 1964. - 832 с.

33. Курант Р. Методы математической физики : в 2-х т. / Р. Курант, Д. Гильберт; перевод с нем. З.Г. Либина, ЮЛ. Рабиновича ; под ред. Л.А. Чудова. М.-Л.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1951. - Т. 2. - 544 с.

34. Найдюк Ф.О. Краевое условие третьего рода в задаче на графе / Ф.О. Найдюк, В.Л. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 96-97.

35. Найдюк Ф.О. О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами : дис. канд. физ.-мат. наук / Ф.О. Найдюк. Воронеж, 2004. - 134 с.

36. Найдюк Ф.О. Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода / Ф.О. Найдюк, В.Л. Прядиев // Вестник Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2004. - - С. 115-122.

37. Нахушев A.M. Гурса задача / A.M. Нахушев // Математическая энциклопедия М., 1977. - Т. 1 : А-Г. - С. 239.

38. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети / А.В. Боровских и др.] // Докл. РАН. -1995. Т. 345, N 6. - С. 730-732.

39. Осреднённая нелинейная модель гемодинамики на графе сосудов / А.Я. Буничева и др.] // Дифференциальные уравнения. 2001. -Т. 37, N 7. - С. 905-912.

40. Павлов Б.С. Модель свободных электронов и задача рассеяния / Б.С. Павлов, М.Д. Фадеев // Теоретическая математ. физика. 1983. - Т. 55, № 2. - С. 257-269.

41. Пенкин О.М. Некоторые вопросы качественной теории краевых задач на графах : дис. . канд. физ.-мат. наук / О.М. Пенкин. Воронеж, 1988. - 89 с.

42. Пенкин О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 1998. - Т. 34, № 10. - С. 1433-1434.

43. Пенкин О.М. О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 1997. - Т. 33, № 10. - С. 1404-1409.

44. Пенкин О.М. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах /О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Диф. уравнения. 1998. - Т. 34, № 8. - С. 1107-1113.

45. Перловская Т.В. О краевой задаче нелокально взаимодействующих уравнений разного порядка / Т.В. Перловская // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 110.

46. Покорный Ю.В. Теоремы Штурма для уравнений на графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин // Докл. АН. 1989. - Т. 309, № 6. - С. 13061308.

47. Покорный Ю.В. Волновое уравнение на пространственной сети / Ю.В. Покорный, B.JI. Прядиев, А.В. Боровских // Докл. РАН. -2003. Т. 388, № 1. - С. 16-18.

48. Прядиев B.JI. О непериодических колебаниях упругих сеток / B.J1. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: "Понтря-гинские чтения XI": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2000. - С. 158.

49. Прядиев B.JI. Свойства фундаментального решения смешанной задачи для волнового уравнения на графе // Современные методы теории функций и смежные проблемы : тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 202-203.

50. Прядиев В. JI. Ядро интегрального оператора, обращающего одну начально-краевую задачу для волнового уравнения на пространственной сети // Тр. матем. ф-та, вып. 9 (нов. серия). Воронеж: ВорГУ, 2005. - С. 78-92.

51. Прядиев B.JI. Теоремы Штурма для разрывных уравнений на графе / B.JI. Прядиев, М. Абдульмаджид; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. - 20 с. - Деп. В ВИНИТИ 15.04.92, № 1288-В92.

52. Прядиев B.JI. Об управлении колебаниями сети / B.JI. Прядиев, Н.В. Глотов / / Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 203204.

53. Прядиев B.JI. К вопросу о периодичности колебаний упругих сеток / B.JI. Прядиев, А.В. Копытин, А.В. Боровских // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения X": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 1999. - С. 198.

54. Прядиев В. JL, Коровина О. В. О представлении решений волнового уравнения на одномерной пространственной сети // Соврем, методы в теории краевых задач: Матер. Воронеж, весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения XVI". - Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 129-131.

55. Прядиев B.JI. Правило параллелограмма для волновых уравнений на сетях. Визуализация решений / B.JI. Прядиев, С.С. Шаталов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 206-207.

56. Риман Б. Сочинения / Б. Риман ; перевод с нем. B.JI. Гончарова ; под ред. B.JI. Гончарова. M.-JL: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1948. - 543 с.

57. Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов // М. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1978. 425 с.

58. Соболев С.Jl. Уравнения математической физики. // М.-Л. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1950. 424 с.

59. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. I / В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. 2002.- Т. 38, № 3. С. 393-403.

60. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. II / В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. -2002. Т. 38, № 4. - С. 529-537.

61. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А.Самарский. М. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит. 1953. -680 с.

62. Уравнения электрического поля дендрита нервной клетки / Ю.В. Покорный и др.] // Дифференциальные уравнения и их применения: тез. докл. Второй международ, науч.-практ. конф. СПб, 1998.- С. 147-148.

63. Функция Грина разрывной задачи Дирихле на графе / Ю.В Покорный и др.]; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. - 8 с. - Деп. В ВИНИТИ 03.06.92, № 1836-В92.

64. Ali-Mehmeti F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti // Mathematical Research. 1994. - V. 80. - 174 p.

65. Ali-Mehmeti F. Splitting of the energy of dispersive waves in a star-shaped network / F. Ali-Mehmeti, V. Regnier // University of Valenciennes. Preprint LMACS 99.7. - Valenci., - 2003. - 18 p.

66. Cattaneo C., Fontana L. D'Alambert formula on finite one-dimensional networks // J. of Math. Anal, and Appl. 2003. - V. 284, N 2. - P. 403424.

67. Dependence of intracellular potentials on ramification of dendrites / Yu.V. Pokorny etc.] // Mechanisms of Adaptiv Behavior: Int. Symp. Dedicated to Academician Ivan Pavlov's 150-anniversary: Abstr. -St.Petersburg, 1999. P. 140.

68. Kuchment P. Graph models of wave propagation in thin structures / P. Kuchment // Waves in Random Media. 2002. - V. 12, № 4. - P. 1-24.

69. Nicaise S. Approche spectrale des problemes de diffusion sur les reseaux / S. Nicaise // Lecture Notes in Math. 1987. - V. 1235. - P. 120-140.

70. Pryadiev V.L. On the laplacian spectrum on a graph with commensurable edges / V.L. Pryadiev, A.V. Kopytin // Spectral and Evolutional problems: Proc. of the Eleventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol, 2001. - V. 11. - P. 167172.

71. The problem of intracellular and extracellular potentials of dendritic trees / Yu.V. Pokorny etc.] // Electrical Activity of The Brain: Mathematical Models & Analytical Methods: Proc. of The 1-st International Symposium. Pushchino, 1997. - P. 22-24.