Смешанные вариационно-сеточные методы теории криволинейных стержней тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Обзор ортогональных финитных функций

§ 1. Ортогональные финитные функции первой степени

§2. Ортогональные финитные функции второй степени

Глава 2. Вариационно-сеточные методы решения линейных задач 26 статики криволинейных стержней

§1. Постановка и решение задачи о напряжённо-деформированном 26 состоянии полукольца в проекциях на оси естественного трёхгранника

§2. Постановка и решение задачи о напряжённо-деформированном 35 состоянии полукольца в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат

Глава 3. Вариационно-сеточные методы решения нелинейных задач 85 статики криволинейных стержней

§1. Постановка нелинейной статической задачи о напряжённо- 85 деформированном состоянии тонкого криволинейного стержня

§2. Вариационно-сеточные методы и решения нелинейных 88 статических задач о напряжённо-деформированном состоянии тонкого криволинейного стержня

Глава 4. Вариационно-сеточные методы решения задач динамики 118 криволинейных стержней в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат

Одним из основных средств решения краевых и эволюционно-краевых задач механики деформируемого твердого тела (МДГТ), составляющих математические модели механических систем с распределенными параметрами, являются вариационно-сеточные методы (ВСМ), основанные на вариационных принципах МДГТ.

В методе конечных элементов совершается переход от сплошного тела с бесконечным числом степеней свободы к механической системе с конечным числом степеней свободы. При создании МКЭ существовавшие апробированные алгоритмы расчета статически неопределимых стержневых систем были использованы для решения двумерных и трехмерных задач теории упругости. В начале развития метода тело разбивалось на составные части, заменявшиеся стержнями, которые были связаны между собой в узлах. Неизвестными выступали узловые перемещения. В дальнейшем вместо стержней стали применять двухмерные и трёхмерные элементы заданной формы. Требуемое решение полностью определялось значениями в узловых точках. Первые вычислительные матричные процедуры МКЭ были созданы без применения вариационного исчисления. Основной работой развития метода конечных элементов в этом направлении была статья Р. Нтепшкой' [134]. В работах И Г Бубнова [7] были предложены проекционные методы решения краевых задач. Он доказал [7], что уравнения метода Ритца могут быть получены без использования вариационной процедуры. Б. Г. Галёркин [16] развил и применил в расчетах конструкций метод И Г. Бубнова вне связи с какой-либо вариационной задачей. Первое математическое обоснование метода Бубнова-Галёркина применительно к интегральным уравнениям дал Ю.В. Репман [88]. Г.И. Петров [80] получил аналогичные результаты для дифференциальных уравнений и обобщил данный метод. Методы Бубнова, Галёркина. Петрова служат базой для построения общих алгоритмов решения краевых задач, которые в определенных случаях без использования вариационных принципов дают те же уравнения, к которым приводит метод конечных элементов. R, Courant [126] построил приближенное решение краевой задачи на основе вариационного принципа минимума потенциальной энергии с использованием кусочно-линейных аппроксимаций на треугольных элементах, что привело к стандартной пятиточечной разностной схеме для уравнения Лапласа. В данной работе была установлена связь между вариационными и разностными методами и определена вариационная основа метода конечных элементов. Впервые в методе конечных элементов стали применяться базисные функции с конечными носителями, что стало главным отличием вариационного метода конечных элементов от классических вариационных численных методов. Матрица сеточных уравнений приобрела ленточную структуру, что улучшило её обусловленность и позволило использовать методы решения ленточных систем алгебраических уравнений. J.H. Argyris [113] выявил связь не только метода перемещений, но и метода напряжений, с вариационными принципами механики, показав общность метода конечных элементов и вариационно-сеточных методов.

Основное развитие вариационно-сеточных методов механики деформируемого твёрдого тела было связано с применением вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно, отражающих экстремальные свойства одноименных функционалов. Функционал Лагранжа имеет в стационарной точке минимум, а функционал Кастильяно - максимум, что позволяет вводить так называемые энергетические нормы и соответствующие гильбертовы пространства, а также исследовать существование, единственность и сходимость решений. При их совместном использовании можно давать апостериорную оценку точности приближенных решений. У вариационно-сеточных методов "в перемещениях", построенных на основе вариационного принципа Лагранжа, есть ряд существенных недостатков, а именно: из-за высокого порядка входящих в функционал производных требуется высокая гладкость базисных функций; кинематические краевые условия необходимо выполнять заранее; низкая гладкость приближенных решений для деформаций и напряжений, получаемых дифференцированием приближенных решений для перемещений; присутствие производных вектора перемещений в силовых краевых условиях. Основные недостатки вариационно-смешанных методов "в напряжениях", основанных на вариационном принципе Кастильяно, состоят в необходимости использования тензорных полей напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и силовым краевым условиям, а также в сложности определения перемещений по приближенному решению для напряжений.

Е. НеШгщег [135] и Е. Ле188пег [164] сформулировали вариационный принцип теории упругости, в котором независимо варьируются перемещения и напряжения. В отечественной литературе данный принцип называется вариационным принципом Рейсснера, а в зарубежной - Геллингера-Рейсснера. В вариационно-сеточных методах, связанных с вариационным принципом Рейсснера, перемещения и напряжения аппроксимируются независимо, что сближает гладкость и точность приближенных решений для кинематических и силовых функций. При помощи вариационного принципа Рейсснера все краевые условия и уравнения удовлетворяются уравновешенно, в отличие от вариационного принципа Лагранжа. в котором из-за низкой гладкости приближенных решений силовых функций уравнения равновесия и силовые краевые условия нарушаются по крайней мере локально, особенно в областях с большими градиентами напряжений. Н.С. Ни [137], К. "УУазЫхи [176] предложили вариационный принцип механики сплошных сред, в котором независимо варьируются перемещения, напряжения и деформации. Кроме того, что вариационный принцип Ху-Васидзу избавляет от операции дифференцирования перемещений при получении приближенных решений для деформаций и напряжений, он не требует, чтобы уравнения состояния были разрешены относительно деформаций. Развитие и исследование смешанных вариационных принципов является актуальной задачей и продолжается в настоящее время (см. [92, 133, 134]). В смешанных вариационных принципах Рейсснера и Ху-Васидзу все краевые условия являются естественными.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В настоящее время для решения краевых задач механики деформируемого твёрдого тела вариационно-сеточными методами наиболее часто применяются методы решения в перемещениях, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Функционал Лагранжа, имеющий экстремум, обеспечивает сходимость приближенного решения, получаемого для перемещений, при соответствующем выборе системы базисных функций. Используемые кинематически возможные поля перемещений обладают геометрической наглядностью и с помощью финитных базисных функций легко аппроксимируются в областях сложной формы. Но напряжения находятся дифференцированием приближенного решения для перемещений. Это приводит к значительному снижению точности и гладкости приближённых решений для напряжений. В вариационно-сеточных методах, следующих из вариационного принципа Кастильяно, приближенные решения для напряжений находятся непосредственно, что повышает их точность. Однако функционал Кастильяно определен на статически возможных полях напряжений, построение которых является трудной задачей. Численные методы решения краевых задач механики деформируемого твёрдого тела, основанные на смешанных вариационных принципах, обладают рациональными алгоритмами и дают приближенные решения для перемещений и напряжений с уравновешенной точностью и гладкостью в широких классах задач теории стержней. Это определяется, в частности, следующими причинами: смешанная форма постановки задачи сводит изменение модели сплошной среды, как правило, к трансформации лишь уравнений состояния, во многих случаях незначительной; геометрические и физические параметры механической системы находятся в уравнениях движения и состояния вне дифференциальных операторов; краевые условия формулируются, как правило, без использования производных и поэтому в контактных задачах они также записываются в наиболее простой форме; не возникает особенностей при решении задач для механически несжимаемых материалов. В смешанных вариационно-сеточных методах снижаются требования к базисным функциям. Это вызвано отсутствием ошибки аппроксимации производных геометрических и физических параметров, а также производных в краевых условиях. В результате повышается точность и гладкость приближенных решений, особенно в задачах с большими градиентами перемещений и напряжений и с особенностями в решениях. Одним из важных преимуществ является сравнительная простота программной реализации смешанных методов. Развитие численных методов, основанных на смешанных вариационных принципах, направлено на эффективное использование перечисленных возможностей. Оно берёт своё начало в 60-х годах двадцатого столетия и продолжается в настоящее время (см. [139, 147, 150, 157, 160]). Главным недостатком вариационно-сеточных методов является высокая размерность систем алгебраических сеточных систем уравнений для неизвестных узловых величин. Он усиливается в смешанных вариационно-сеточных методах. Вследствие одновременной и независимой аппроксимации перемещений и напряжений увеличивается число сеточных неизвестных. Недостатки смешанных методов устраняются при использовании систем ортогональных финитных функций. Исключение части узловых неизвестных до начала решения задачи на ЭВМ, возможное благодаря применению ортогональных финитных функций, делает смешанные вариационно-сеточные методы сравнимыми по числу арифметических операций, необходимых для получения численного решения, с вариационно-сеточными методами, основанными на вариационном принципе Лагранжа. В задачах, где требуется нахождение как кинематических, так и силовых факторов, за счет исключения с части узловых неизвестных число операций существенно меньше аналогичного числа, характеризующего методику, основанную на совместном применении вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно. Смешанные вариационно-сеточные методы, основанные на применении ортогональных финитных функций, являются эффективными при решении динамических задач механики сплошных сред, т.к. матрица Грама базисной системы ортогональных финитных функций становится диагональной, что устраняет необходимость её обращения после выполненного согласно методу Канторовича перехода от эволюционно-краевой задачи к задаче Коши. Это особенно важно в задачах аэрогидроупругости, где элементы матрицы, умноженной на вектор производных по времени неизвестных функций приближенного решения, зависят от времени и поэтому возникает необходимость обращения матрицы на каждом шаге итерационной процедуры решения.

До работ аВа«1е [115], ЮаиЬесИев [127], У.Меуег [152], Ю^гбтЬе^ [172], РкТсЬатйсЫап [173], Р ОХетапе' [141], в которых предложены первые непрерывные вейвлеты, в том числе ортогональные вейвлеты с компактными носителями [127], считалось, что условие ортогональности непрерывных базисных функций несовместимо их финитностью. В работах [127,22] построена теория ортогональных вейвлетов с компактными носителями и приведены примеры таких базисов, полученных с помощью кратномасштабного анализа [22]. Но главными недостатками функций [127, 22] являются их несимметричность и сложная структура. Полная симметрия непрерывных вещественных ортонормированных базисов вейвлетов с компактными носителями, как показано в [127, 22], недостижима. Регулярность ортогональных вейвлетов с компактными носителями [22] является линейной функцией ширины конечного носителя. Характер функций, которые во многих случаях являются недиффе-ренцируемыми, а также их производных, если они существуют, осложняет применение функций в численных методах решения краевых задач. Ортонор-мированные базисы вейвлетов с компактными носителями, как правило, не удается записать в аналитической форме, и хотя их можно построить с произвольной точностью с помощью определенных алгоритмов, это также значительно осложняет использование таких базисных функций в численных методах решения краевых задач. ШаиЬесЫез [127] удалось соединить в одном вейвлет-базисе три свойства, привлекательные для численного анализа: взаимную ортогональность базисных функций, все базисные функции получаются посредством сдвигов и растяжений одной порождающей функции, компактность носителей базисных функций. В тех задачах, в которых требуется симметрия и гладкость базисных функций, базисы IDaubechies проигрывают базисам, построенным при помощи сплайнов. Поэтому разработка симметричных ортогональных финитных функций одной переменной, имеющих простую структуру и высокую гладкость для областей с криволинейными границами является актуальной задачей. Ее решение создает основу для построения смешанных вариационно-сеточных методов, обладающих рациональными алгоритмами и не имеющих недостатков классических смешанных вариационно-сеточных методов, а также основу для математического моделирования технических устройств, механических и других процессов. Построение таких вариационно-сеточных методов является актуальной задачей.

Значительный вклад в создание и развитие вариационных принципов МДТТ, численных методов МДТТ внесли: Н.П. Абовский, В.И. Агошков, Н С. Бахвалов, И.И. Ворович, В.П. Кандидов, А.И. Лурье, Г.И. Марчук, С.Г. Мих-лин, Б.Е. Победря, В.А. Постнов, Л.А. Розин, A.A. Самарский, В.И. Сливкер, С.С. Чесноков, В.М. Фридман, J.H. Argiris, I. Babuska, J.H. Bramble, F. Brezzi, P.G. Ciariet, R. Courant, G. Fix, E. Hellinger, H.C. Hu, J.T. Oden, T.H.H. Pian, W. Prager, C.A. Prato, P.A. Raviart, J.N. Reddy, E. Reissner, G. Strang, К. Washizu, O.C. Zienkiewicz. Большой вклад в создание и развитие теории вейвлетов внесли: G. Battie, C.K. Chui, A. Cohen, I. Daubechies, S. Mallat, Y. Meyer, J.O. Stromberg. Значительный вклад в развитие теории вейвлетов внесли H M Астафьева, М.З. Берколайко, В.А. Желудев, В.Ф. Кравченко, P.A. Лоренц, Т.П. Лукашенко, С М. Машарский, В.Н. Малоземов, И. Я. Новиков, В. И. Пустовойт, В.А. Рвачев, A.A. Саакян, М.А. Скопина, С.Б. Стечкин, H.A. Стрелков, Ю.Н. Субботин, Н И. Черных.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является:

- построение ортогональных финитных функций второй степени, обладающих аппроксимирующими свойствами;

- построение эффективных смешанных вариационно-сеточных методов решения линейных и нелинейных статических задач и линейных динамических задач теории криволинейных стержней, в которых в качестве базисных берутся ортогональные финитные функции, построенные В.Л. Леонтьевым, а также ортогональные финитные функции, предложенные в данной работе;

- сравнение приближённых решений, полученных предложенными методами, с приближёнными решениями, полученными при помощи классических методов и с точными решениями;

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе вводятся новые непрерывные финитные функции второй степени, обладающие свойством ортогональности. На основе этих функций, а также других ортогональных финитных функций, предложенных и исследованных В.ДЛеонтьевым и его учениками, строится несколько смешанных вариационно-сеточных методов решения краевых и эво-люционно-краевых задач теории криволинейных стержней. Построены алгоритмы методов в линейных и геометрически нелинейных задачах статики криволинейных стержней, в задачах динамики криволинейных стержней. Созданы компьютерные программы, реализующие эти алгоритмы, выполнены расчеты на компьютере, на основе результатов которых проводится сравнение методов и исследование их сходимости.

Предложенные в работе и другие используемые для построения вариационно-сеточных методов ортогональные финитные функции обладают превосходством перед известными ортогональными финитными функциями [ОаиЬесЫев, ,.]. Они имеют более простую структуру, являются финитными и непрерывными суммами четных и нечетных функций, образуют системы ортогональных функций. Такие свойства делают эти функции предпочтительными для применения в алгоритмах численных методов. Сравнение с известными результатами показало высокую практическую точность методов, которая сочетается с апгоритмическимн достоинствами, порожденными ортогональностью и другими свойствами применяемых функций.

ДОСТОВЕРНОСТЬ результатов, полученных в диссертации, обеспечивается строгостью постановки задач, сравнением предложенных методов их решения с классическими, сравнением приближённых решений одной из линейных статических задач с точными, сравнением приближённых решений на разных сетках, сравнением приближённых решений нелинейных статических задач с приближёнными решениями линейных статических задач.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Созданные системы ортогональных финитных функций и вариационные принципы являются средством математического моделирования физико-механических, технических устройств и процессов, а также построенные вариационно-сеточные методы являются инструментом исследования механизмов и конструкций, при котором проводится анализ перемещений и напряжений (функций и их производных). Полученные в диссертации результаты, отражённые в предложенных математических моделях и программах, могут быть использованы в практике научно-исследовательских и проектно-конструкторских организаций, связанных с решением прикладных задач, элементами которых являются криволинейные стержни.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ эффективные смешанные вариационно-сеточные методы приближённого решения задач теории криволинейных стержней, а именно:

- четыре метода решения линейных статических задач в проекциях на оси естественного трёхгранника (системы с постоянными параметрами), в которых в качестве базисных функций используются ортогональные финитные функции, построенные В. Л. Леонтьевым (два вида функций первой степени и один вид функции второй степени), а также предложенные в диссертации ортогональные финитные функции второй степени;

- два метода решения линейных статических задач в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат (системы с переменными параметрами), в которых в качестве базисных функций используются ортогональные финитные функции, построенные В.Л. Леонтьевым (два вида функций первой степени);

- метод построения системы дифференциальных уравнений, отвечающей геометрически нелинейной статической задаче теории криволинейных стержней;

- два метода решения нелинейных статических задач в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат (системы с переменными параметрами), в которых в качестве базисных функций используются ортогональные финитные функции, построенные В.Л. Леонтьевым (два вида функций первой степени);

- два метода решения линейных динамических задач в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат (системы с переменными параметрами), в которых в качестве базисных функций используются ортогональные финитные функции, построенные В.Л. Леонтьевым (два вида функций первой степени).

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Построены новые финитные функции и исследованы их аппроксимирующие свойства. Получены значения для параметров, при которых функции являются ортогональными.

2. Построены и реализованы новые смешанные вариационно-сеточные методы для решения линейных статических задач теории криволинейных стержней.

3. Построены и реализованы новые смешанные вариационно-сеточные методы для решения геометрически нелинейных статических задач теории криволинейных стержней.

4. Построены и реализованы новые смешанные вариационно-сеточные методы для решения линейных динамических задач теории криволинейных стержней.

5. Проведены сравнение всех предложенных методов с классическими, сравнение приближённых решений одной из линейных статических задач с точными, сравнение приближённых решений на разных сетках, сравнение приближённых решений нелинейных статических задач с приближёнными решениями линейных статических задач. Проведён анализ полученных результатов, на основе которого определены наиболее эффективные методы из всех предложенных.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1978, 288 с.

2. Алберг Дж. Нилъсон Э. Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. Пер. с англ. М.: Мир, 1972,316с.

3. Астафьева ИМ. Вейвл ет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физич. наук, т. 166, N11, 1998, с. 1145-1170.

4. Бахвалов КС. Численные методы. ML: Наука, 1973, 631 с.

5. Берколайко М.З., Новиков И .Я. Базисы всплесков в пространствах дифференцируемых функций анизотропной гладкости // Доклады РАН, т. 323, N 4, 1992, с. 615-618.

6. Бирюков Д.Б., Постоев B.C. Метод конечных элементов в напряжениях // Математич. моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов: Доклады XVII Международной конф. -СПб.: НИИХ СпбГУ, 1999, с. 49-53.

7. Бубнов И Г. Отзыв о работе проф. С.П.Тимошенко "Об устойчивости упругих систем" // Избранные труды. Л.: Судпромгиз, 1956, с. 136-139.

8. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. Пер.с англ. М.: Мир, 1987. 542 с.

9. Варвак П.М . Бузун И М., Городецкий АС, Пискунов В.Г., Толокнов Ю.Н. Метод конечных элементов: Уч. пособие. Киев: Вища школа, 1981,176 с.

10. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы / Отв. ред. Г.ИМарчук. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1983, 214 с.

11. Вибрации в технике: Справочник. Т.1 / Под ред. В.В.Болотина М.: Машиностроение, 1978, 352 с.

12. Вибрации в технике. Справочник. Т.З / Под ред. Ф.М.Диментберга, К. С. Колесникова М.: Машиностроение, 1980,544 с.163

13. Волков Е.А. Численные методы. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1982, 256с.

14. Ворович ИИ. Метод Бубнова-Галеркина, его развитие и роль в прикладной математике // В книге: Успехи механики деформируемых сред. К 100-летию со дня рождения акад. Б.Г.Галеркина. М.: Наука, 1975, с. 121-133.

15. Ворошко П.П. Формулировка вариационных принципов типа Рейсснера для классических задач термоупругости // Доклады АН УССР, N3, 1984, с. 31-34.

16. Галёркин Б.Г. Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР, т. 1, 1952.

17. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Пер. с англ. М.: Мир, 1984,428 с.

18. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. Пер с англ. М.: Радио и связь, 1985, 304 с.

19. Де Вебеке Б.Ф. Новый вариационный принцип в теории упругости с конечными перемещениями // В книге: Успехи механики деформируемых сред. К 100-летию со дня рождения акад. Б.Г.Галеркина. М.: Наука, 1975, с. 194210.

20. Деклу Ж. Метод конечных элементов. Пер. с фр. М.:Мир, 1976, 95с.

21. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. Пер. с англ. М.: Мир, 1969,424 с.

22. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Пер. с англ. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001,464 с.

23. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. Пер. с англ. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1982, 568 с.

24. Желудев В. А. О вейвлетах на базе периодических сплайнов И Доклады РАН, т. 335, N 1,1994, с. 9-13.

25. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Пер. с англ. М.: Мир, 1975, 541 с.

26. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. Ортогональные методы / Под ред. Фадеева Д. К М.: Наука, 1984, 190 с.

27. Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных линейных систем. Прямые методы. М.: Наука, 1988, 157 с.

28. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978,287 с.

29. Кандидов В.П., Чесноков С.С., Выслоух В.А. Метод конечных элементов в задачах динамики. М.: Изд-во МГУ,1980,165 с.

30. Колтунов М.А., Кравчук А.С., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1983,349 с.

31. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000, 262 с.

32. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А., Пустовойт В.И. Ортонормированные системы типа wavelet на основе атомарных функций // Доклады РАН, т. 351, N1, 1996, с. 16-18.

33. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969,456 с.

34. Леонтьев В Л О скорости сходимости одного вариационно-разностного метода // Привел, матем. и механика. Исслед. по механике сплошных сред. Межвуз. научн. сб., вып.5, Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1990, с. 78-83.

35. Леонтьев В.Л. О смешанных вариационно-сеточных методах, связанных с использованием простейших базисных функций // Материалы Всесоюзной конф. "Актуальные проблемы прикл. матем.", 20-22 мая 1991 года, том 1, Саратов, с. 55-58.

36. Леонтьев В.Л Метод конечных элементов теории упругости. Смешанные вариационные формулировки. Ульяновск: изд-во Средневолжского научн. центра, 1998, 168 с.

37. Леонтьев В.Л., Мелентьев А.Ю. Ортогональные финитные функции в вариационно-сеточном методе теории криволинейных стержней // Труды 9-й межвуз. конф. "Математич. моделир. и краевые задачи", 25-27 мая 1999 года, часть 1, Самара: СамГТУ, с. 120-123.

38. Леонтьев В.Л., Лукашанец Н.Ч. О сеточных базисах ортогональных финитных функций // Журнал вычислит, математики и матем. физики. 1999, т. 39, N7, с. 1158-1168.

39. Леонтьев В.Л., Мелентьев А.Ю. Вариационно-сеточный метод теории криволинейных стержней // Ученые записки Ульян, гос. ун-та. Фундамент, проблемы матем. и механики. Вып. 1, т. 8,2000, с. 75-79.

40. Леонтьев В.Л., Мелентьев А.Ю. Методы конечных элементов теории криволинейных стержней // Труды 3-й Междунар. конф. "Математич. моделир.физич., экономич., социальных систем и процессов", 26-30 июня 2000 года, Ульяновск: УлГУ, с. 26.

41. Леонтьев В.Л, Леонтьев А.В. Ортогональные финитные функции в задачах на собственные колебания упругих оболочек // Математическое моделирование, т. 12, N3, 2000, с. 31-32.

42. Леонтьев В.Л., Мелентьев А.Ю. Численный метод решения задач динамики криволинейных стержней // Труды 11-й межвуз. конф. "Математич. моделир. и краевые задачи", 29-31 мая 2001 года, часть 2, Самара: СамГТУ, с. 74-77.

43. Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции в задачах на собственные значения // Журнал вычислит, математики и матем. физики, том 41, N6, 2001, с. 874-880.

44. Леонтьев В.Л, Лукашанец Н.Ч. Ортогональные финитные функции на треугольных сетках и смешанный вариационно-сеточный метод, связанный сих применением // Журнал вычислит, математики и матем. физики, том 41, N7,2001, с. 1090-1098.

45. Леонтьев В. Л. О методах конечных элементов, связанных с применением ортогональных финитных функций // Обозрение прикл, и промышл. математики, т. 8, вып. 1, 2001, с. 252-253.

46. Леонтьев В. Л. Ортогональные финитные функции на треугольных сетках // Обозрение прикл. и промышл. математики, т.8, вып. 2,2001, с. 632-633.

47. Леонтьев В. Л. О сходимости вариационно-разностного метода // Труды Средневолжского математического общества, т.3-4, N1,2002, с. 221-223.

48. Леонтьев В.Л., Мелентьев А.Ю. Ортогональные финитные функции в вариационно-сеточных методах теории криволинейных стержней // Математическое моделирование, т. 14, N 2, 2002, с. 39-50.

49. Леонтьев В. Л. Ортогональные сплайны и вариационно-сеточный метод // Математическое моделирование, т. 14, N 3, 2002, с. 117-127.

50. Леонтьев В.Л. О сходимости смешанного вариационно-сеточного метода // Сибирский журнал вычислит, математики, т. 5, N1, 2002, с. 25-34.

51. Леонтьев В.Л. Мелентьев А.Ю. Вариационно-сеточный метод в нелинейных задачах теории криволинейных стержней // Труды 12-й межвуз. конф. "Математич. моделир. и краевые задачи", 29-31 мая 2002 года, часть 1, Самара: СамГТУ, с. 113-116.

52. Лоренц P.A., Саакян A.A. О подпространствах, порожденных всплеск-системами //Матем. заметки, т. 63, N 2, 1998, с. 299-302.

53. Лукашенко Т.П. Всплески на топологических группах // Доклады РАН, т.332, N 1, 1993, с.15-17.

54. Лурье А. И. О малых деформациях криволинейных стержней // Труды Ле-нингр. политехнич. ин-та, N 3,1941, с. 48-157.

55. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1970,940 с.

56. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1980,512 с.

57. Малоземов В Н., Машарский С.М. Хааровские спектры дискретных сверток // Журнал вычислит, матем. и математич. физики, т. 40, N6, 2000, с. 954-960.

58. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1980, 536 с.

59. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1981,416 с.

60. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. Пер. с англ. М.: Мир, 1981,216 с.

61. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: ГИТТЛ, 1957,476 с.

62. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.; Физмат-гиз, 1966,432 с.

63. Новиков И Я. Онделетты ИМейера оптимальный базис в С(0,1) // Матем. заметки, т. 52, N 5,1992, с. 88-92.

64. Новиков И.Я., Стечкин С Б. Основы теории всплесков /У Успехи матем. наук, т. 53, N 6 (324), 1998, с. 53-128.

65. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985, 392 с.

66. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. Пер. с англ. М.: Мир, 1976, 464 с.

67. Пановко Я.Г. Ведение в теорию механических колебаний. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1971, 240 с.

68. Пановко Я.Г., Губанова И И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1979, 384 с.

69. Пацко Н А., Субботин Ю.Н. В-сплайны в методе конечных элементов // Журнал вычислит, математики и математич. физики, т. 38, N1, 1998, с. 1524.

70. Петров Г. И. Применение метода Галёркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости. // Прикл. матем. и мех., т. 4, вып. 3,1940.

71. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: изд-во МГУ, 1981,343 с.

72. Постнов В. А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974, 341 с.

73. Прагер В. Вариационные принципы линейной статической теории упругости при разрывных смещениях, деформациях и напряжениях // В сб. переводов "Механика" №5 (117), 1969, с. 139-144.

74. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. Пер. с нем. М.: ИЛ, 1963, 311с.

75. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999, 132 с.

76. Петухов А.П. Периодические всплески // Матем. сборник, т. 188, N 10, 1997, с. 69-94.

77. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. Пер. с англ. М.: Мир, 1988, 410 с.

78. Репман Ю.В. К вопросу математического обоснования метода Галеркина решения задач об устойчивости упругих систем. // Прикладная математика и механика, т. 4, вып. 2, 1940.

79. Роженко А.И. Абстрактная теория сплайнов: Учебное пособие. Новосибирск: Изд. центр НГУ, 1999,176 с.

80. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977,128 с.

81. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1978, 224 с.

82. Розин Л.А. Вариационные постановки смешанных задач теории упругости в форме наименьших квадратов // Известия вузов. Стр-во, N8, 1999, с 2228

83. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1987, 288 с.

84. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.:Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1978, 592 с.

85. Санкин Ю.Н. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределенными параметрами. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1977,312 с.

86. Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей. М. : Машиностроение, 1978.

87. Скопина М.А. О нормах полиномов по системам периодических всплесков в пространствах Lp // Матем. заметки, т. 59, N 5, 1996, с. 780-783.

88. Сливкер В.И. Метод Ритца в задачах теории упругости, основанный на последовательной минимизации двух функционалов // Известия АН СССР, Механика твердого тела, N2,1982, с. 57 64

89. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976,248 с.

90. Стрелков Н А. Универсально оптимальные всплески // Матем. сборник, т. 188, N1, 1997, с. 147-160.

91. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. Пер. с англ. М.: Мир, 1977, 349 с.

92. Субботин Ю.Н. Почти-ортогонализация в методе конечных элементов // Журнал вычислит, математики и математич. физики, т. 36, N3, 1996, с. 101-108.

93. Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Всплески в пространствах гармонических функций // Известия РАН, серия математика, т. 64, N 1,2000, с. 145-174.

94. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976,328 с.

95. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. Пер. с англ. / Под ред. Шапиро Г.С. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1979,560 с.

96. Тимошенко С.П. Курс теории упругости / Под ред. Григолюка Э.И. Киев: Наукова думка, 1972,501 с.

97. Тонти Э. Вариационные принципы в теории упругости // В сб. переводов "Механика", N5 (117), 1969, с. 124-138.

98. Фаворский А.П. Об использовании вариационных принципов в численном моделировании // В книге: Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1982, с. 312-320.

99. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970, 736 с.

100. Фридман В.М., Чернина B.C. Видоизменение метода Бубнова-Галеркина-Ритца, связанное со смешанным вариационным принципом в теории упругости // Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1969, N1, с. 64-78.

101. Чуй К. Введение в вейвлеты: Пер. с англ. М. : Мир, 2001,412 с.

102. Ясницкий Л Н Метод фиктивных канонических областей в механике сплошных сред. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1992,128 с.

103. Babuska I. The finite element method with Lagrangian multiplies // Numer. Math., 20, N3, 1973, p. 179-192.

104. Battle G. A block spin construction of ondelettes.Part I: Lemarie' functions // Comm. Math. Phys., 110,1987, p. 601-615.

105. Beltran F .J., Alarcon E. Accuracy estimates based on multifield variational principles // Eur. J. Mech. A., 11, N4, 1992, p. 487-518.

106. Bramble J.H., Hilbert S.R. Estimation of linear functional on Sobolev spaces with application to Fourier transforms and spline interpolation // Siam. J. Numer. Anal, 7, N1, 1970, p. 113-124.

107. Brandari D R., Oden J.T. General mixed finite element methods of nonlinear continua // Z angew. Math, und Mech., 53, N8,1973, p. 441-451.

108. Brezzi F. On the existence, uniqueness and approximation of saddle-point problems arising from Lagrangian multipliers // Rev. Française Automat Informal Recherche Opérationnelle, Ser. Rouge Anal. Numer., 8, N2 , 1974, p. 129151.

109. Chui C.K., Li X. Generalized wavelet decompositions of bivariate functions // Proc. Amer. Math. Soc., 121, N1, 1994, p. 125-131.

110. Chui C.K., Shi X. Characterizations of fundamental scaling functions and wavelets // Approxim. Theory and Appl., 9, N3,1993, p. 37-52.

111. Ciarlet P.G. Quelques methodes d'elements finis pour le problème d'une plaque encastree // Lect. Notes Comput. Sci., 10,1974, p. 156-176.

112. Cohen A., Conze J.P. Re'gularite' des bases d'ondelettes et mesures ergodiques // Rev. Mat Iberoam., 8, N3,1992, p. 351-365.

113. Cohen A., Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets III: Better frequency localization// SLAM J. Math. Anal., 24, 1993, p. 520-527.A

114. Coifman R.R., Meyer Y. Remarques sur l'analyse de Fourier a' fenetre // C.R.Acad. Sei. Paris 1,312,1991, p. 259-261.

115. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations // Bull. Amer. Math. Soc., 49, N1, 1943, p. 1-23.

116. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Comm. Pure and Appl. Math., 41,1988, p. 909-996.

117. Daubechies I. Wavelet transforms and orthonormal wavelet bases // Differ. Per-spect. Wavelets: Amer. Math. Soc. Short Course. San Antonio, Tex., Jan. 1112, 1993. Providence (R.I.), 1993, p. 1-33.

118. Dokmeci M.C. Dynamic variational principles for discontinuous elastic fields // J. of Ship Research, 23, N. 2,1979, p. 115-122.

119. Fix G.J., Strang G. Fourier analysis of the finite element method in Ritz-Galerkin theory // Studies in Appl. Math., 48, 1969, p. 265-273.

120. Greene B E., Jones R.E., McLay R.W., Strome D.R. Generalized variational principles in the finite-element method // AIAA Journal, 7, N7, p. 1254-1260.

121. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionen-Systeme // Math. Ann., 69, 1910, p. 331-371.

122. He J.-H. Further study of the equivalent theorem of Hellinger-Reissner and Hu-Washizu variational principles // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed., 20, N5, 1999, p. 545-556.

123. He J.-H. Generalized Hellinger-Reissner principle // Trans. ASME J. Appl. Mech., 67, N2, 2000, p. 326-331.

124. Hellinger E. Dir allegemeinen Ansätze der Mechanik der Kontinua // In: Ency-clopädie der Mathematischen Wissenschaften, Bd. 4, Teil 4, Teubner, Leipzig, 1914, p. 601-694.

125. Hrenikoff A. Solution of problems in elasticity by the framework method // J. Appl. Mech., 8, 1941, p. 169-175.

126. Hu HC. On some variational principles in the theory of elasticity and plasticity It Scintia Sinica, 4, N1, 1955, p. 33-54.

127. Hugjhes T.J.R., Taylor R.L., Hilber H. Reduced finite element systems in dynamics which retain full rate of convergence // 3rd Int. Conf. Struct Mech. React. Technol., London, 5, PartM, 1975, Amsterdam, p. 1.9/1-1.9/14.

128. Kim J G., Kim Y.Y. A new higher-order hybrid-mixed curved beam element // Int. J. Numer. Meth. Eng., 43, N5,1998, p. 925-940.

129. Krysko V.A., Pavlov S.P. Finite element scheme based on the mixed variation wording for biharmonic problem // International Conf. "Optimization of finite element approximations", Abstracts, June 25-29, 1995, St.-Petersburg, Russia, p.65-66.

130. Lemarie' P.G. Une nouvelle base d'ondelettes de L2(Rn) // J. Math. Pures et Appl., 67, 1988, p. 227-236.

131. Lemarie'-Rieusset P.G. Ondelettes ge'ne'ralise'es et fonctions d'e'chelle a' support compact//Rev. Mat Iberoam., 9, N2,1993, p. 333-371.

132. Leontiev V.L. Variational principles of continuum mechanics // Abstracts of International Conference "Space, time, gravitation", May 23-28, 1994, St-Petersburg, Russia, p.54-55.

133. Li X., Crook A.J.L., Lyons L.P.R. Mixed strain elements for non-linear analysis // Eng. Comput, 10, N3, 1993, p. 223-242.

134. Li X.K.,Cescotto S., Duxbury P.G. A mixed strain element method for pressure-dependent elastoplasticity at moderate finite strain // Int. J. Numer. Meth. Eng., 43, N1, 1998, p. 111-129.

135. Maikus D. S., Huríes T. Mixed finite element method reduced and selective integration techniques: a unification of concepts // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 15, N1, 1978, p. 63-81.

136. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L2(R) // Trans. Amer. Math. Soc., 315, N1,1989, p. 69-87.

137. Meftah F., Revnouard J.M. A multilayered mixed beam element in gradient plasticity for the analysis of localized failure modes // Mech. Cohesive-Friction. Mater., 3, N4, 1998, p. 305-322.

138. Mercier B. Numerical solution of the biharmonic problem by mixed finite elements of class C° // Boll. Unione Mat. Ital., 10, N1,1974, p. 133-149.

139. Meyer Y. Ondelettes sur l'intervalle // Rev. Math. Iberoamericana, 7, 1992, p. 115-133.

140. Miyoshi T. A finite element method for the solutions of fourth order partial differential equations // Kumamoto J. Sci. (Math.), 9, 1973, p. 87-116.

141. Noor A.K. Multipleconfiguration analysis via mixed method // J. Struct. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 100, N9,1974, p. 1991-1997.

142. Oden J.T., Reddy J.N. Some observations on properties of certain mixed finite element approximations // Int. J. Numer. Meth. Eng., 9, N4,1975, p. 933-938.

143. Oden J.T., Reddy J.N. On dual-complementary variational principles in mathematical physics//Int. J. Eng. Sci., 12, N1, 1974, p. 1-29.

144. Pereira E.M.B.R, Freitas J.A.T. A mixed-hybrid finite element model based on orthogonal functions // Int. J. Numer. Meth. Eng., 39, N8, 1996, p. 1295-1312.

145. Pian T.H.H. Variational and finite element methods in structural analysis // Isr. J. Technol., 16, N1-2,1978, p. 23-33.

146. Prato C.A. Shell finite element method via Reissner's principle // Int J. Solids and Struct., 5, N10,1969, p. 1119-1133.

147. Quadrelli B.M., Atluri S.N. Analysis of flexible multibody systems with spatial beams using mixed variational principles // Int. J. Numer. Meth. Eng., 42, N6, 1998, p. 1071-1090.

148. Raviart P.A. Hybrid finite element methods for solving 2nd order elliptic equations // Top. Numer. Anal. 2, London New York, 1975, p. 141-155.

149. Reddy J.N. A note on mixed variational principles for initial-value problems // Quart. J. Mech. and Appi. Math., 28, N1,1975, p. 123-132.

150. Reddy J.N., Oden J.T. Mixed finite-element approximations of linear boundary-value problems if Quart. Appl. Math., 33, N3,1975, p. 255-280.

151. Reissner E. On a variational theorem in elasticity // J. Math. Phys., 29, No. 2, 1950, p. 90-95.

152. Reissner E. Variational considerations for elastic beams and shells // J. Engin. Mech. Div., Proc. ASCE, 88, No. EMI, 1962, p. 23-57.

153. Reissner E. A note on variational principles in elasticity // Int. J. Solids and Struct., 1, N 1, 1965, p. 93-95.

154. Reissner E. On a certain mixed variational theorem and a proposed application // Int J. Numer. Meth. Eng., 20, N 7,1984, p. 1366-1368.

155. Ritz W. Uber eine neue Methode zur Lo sung gewisser Variations Probleme der Mathematischen Physik // J. reine und angew. Math., 135,1908, p. 1-61.

156. Strang G. Approximation in the finite element method // Numer. Math., 19, 1972, p. 91-98.

157. Strang G. Wavelets 11 Amer. Sci., 82, N3,1994, p. 250-255.

158. Strang G., Fix G. Fourier analysis of the finite element method in Ritz-Galerkin Theory// Stud. Appl. Math., 48, N3,1969, p. 265-273.

159. Stromberg J.O. A modified Franklin system and higher order spline systems on Rn as unconditional bases of Hardy spaces // Repts. Dep. Math. Univ. Stockholm, N21,1981,21 p.

160. Tchamitchian Ph. Biorthogonalite' et the'one des ope'rateurs li Rev. Math. Iberoamericana, 3, 1987, p. 163-189.

161. Valid R. The structural stability criterion for mixed principles // Hybrid and mixed finite elem. meth. Int. Symp., Atlanta, 8-10 Apr., 1981, Chichester e.a., 1983, p. 289-323.

162. Voros G.M. Variational principle for discontinuous stress-displacement field // Теоретична и приложна механика. Трети Конгрес, 13-16. IX, Варна, 1977, София, р. 344-347.

163. Washizu К On the variational principles of elasticity and plasticity // Massachusetts Institute of Technology, Aeroelastic and Structures Research Laboratory, Technical Report 25-18, Cambridge, Massachusetts, March 1955.

164. Wempner G. The complementary potentials of elasticity, extremal properties and associated functionals // Trans. ASME, 59, N3, p. 568-571.

165. Yang J.S. A generalized variational principle for piezoelectromagnetism in an elastic medium //Arch. Mech., 43, N6, p. 795-798.

166. Zheludev V.A. On signal processing by means of periodic spline wavelets // International Conference "Optimization of finite element approximations", Abstracts, June 25-29,1995, St.-Petersburg, Russia, p. 93.

167. Zienkiewicz О С The generalized finite element method state of the art and future directions // Trans. ASME: J. AppL Mech., 50, Dec. 1983, p. 12101217.