Смешивание фермионных полей разной четности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

№

На правах рукописи

Кобелева Елена Анатольевна

СМЕШИВАНИЕ ФЕРМИОННЫХ ПОЛЕЙ РАЗНОЙ

ЧЕТНОСТИ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

I о I -Р 2014

Иркутск-2013

005546041

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет» (ФГБОУ ВПО ИГУ).

Научный руководитель:

доктор физико-математических

наук, доцент Калошин Александр Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, ЛТФ ОИЯИ г. Дубна начальник сектора

кандидат физико-математических наук, ИДСТУ СО РАН г. Иркутск

Дорохов Александр Евгеньевич

ведущий научный сотрудник Раджабов Андрей Евгеньевич

Ведущая организация: Институт математики СО РАН г. Новосибирск

Защита состоится 26 марта 2014 г. в 10.00 на заседании диссертационного совета Д.212.074.04 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждения высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет» (ФГБОУ ВПО ИГУ) по адресу: 664003, г. Иркутск, бульвар Гагарина, 20

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО ИГУ.

Автореферат разослан февраля 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Б. В. Мангазеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В настоящее время эффекты смешивания состояний (или полей) хорошо известны в физике нейтрино, кварков и адронов и продолжают являться объектом интенсивных исследований. Это явление, квантомеханическое по природе, возникает в том случае, если рождаются и детектируются не состояния с определенной массой, а их суперпозиция. Что касается теоретического описания явлений смешивания, то с течением времени и развитием эксперимента происходит постепенный переход от упрощенного квантомеханического формализма к методам квантовой теории поля. При этом центральными объектами становятся матричные вершина и пропагатор с учетом петлевых поправок.

Смешивание фермионных полей имеет некоторые особенности по сравнению с бозонными. Фермион и антифермион имеют противоположную Р-четность, поэтому в фермионном пропагаторе содержатся вклады разной четности. Четность фермионного поля - это четность соответствующего решения с положительной энергией. В результате, помимо стандартного смешивания полей с одинаковыми квантовыми числами, для фермионов существуют петлевые переходы между полями противоположной четности, даже если четность сохраняется в вершине. В этом случае при одевании двух фермионных полей возникает также недиагональный собственно-энергетический вклад, что приводит к матричному пропагатору необычного вида и к модификации амплитуд.

Эффект петлевого смешивания указанного типа может проявляться в физике барионных резонансов, различных спинов и четности, поэтому с учетом достигнутой высокой точности парциального анализа это наиболее подходящая реакция для поиска экпериментального проявления изучаемого эффекта.

Цель работы

Целью работы является теоретическое изучение смешивания фермионных полей разной четности при сохранении четности в вершине и поиск экспериментальных проявлений этого эффекта при рождении резонансных состояний

в тгЫ рассеянии.

Научная новизна

В работе впервые построен перенормированный матричный фермионный пропагатор фермионных полей спина 1/2 и 3/2 с учетом смешивания полей разной четности. С использованием полученного пропагатора были построены парциальные амплитуды для барионов / = 3/2, удовлетворяющие многоканальному условию унитарности. Построенные амплитуды впервые были применены для совместного анализа экспериментальных данных парциальных волн з и Аз в 7ГN рассеяния. Впервые адаптирован /(-матричный подход, включающий эффект смешивания фермионных полей разной четности, для совместного описания парциальных волн Рц и ^ 1 в тгМ рассеянии.

Научная и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Исследованная в диссертации задача является частью более широкой проблемы смешивания фермионных полей в квантовой теории поля. Разработанные подходы могут быть использованы в экспериментах по рождению барионных резонансов для более детальной и адекватной интерпретации результатов.

Степень достоверности

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием корректных методов анализа данных. Полученные амплитуды удовлетворяют общим принципам квантовой теории поля и имеют правильные аналитические свойства. В тех случаях, где возможно сравнение, результаты компьютерного моделирования находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Личный вклад автора

Постановка задач, решаемых в диссертационной работе формулировалась автором совместно с научным руководителем. Автору принадлежит основной вклад в разработке программ для расчета амплитуд, их применение для анализа экспериментальных данных и сопоставлении с другими подходами. Автор внес существенный вклад в совместный анализ и физическую интерпретацию полученных результатов.

Апробация работы

Основные результаты докладывались и обсуждались:

1. на Байкальских научных молодежных школах по фундаментальной физике БШФФ-2009, БШФФ-2011, Иркутск;

2. на XX международном Балдинском семинаре по проблемам физики высоких энергий, ОИЯИ, Дубна, 2011;

3. на летних Байкальских школах по физике элементарных частиц и астрофизике БШФЭЧА-2008, БШФЭЧА-2011, Иркутск-Дубна;

4. на 7-м Международном российско-корейском семинаре по современным проблемам ядерной физики и физики элементарных частиц, ОИЯИ, Большие Коты, 2013.

5. на семинаре в ИДСТУ СО РАН, Иркутск.

6. на семинарах кафедры теоретической физики физического факультета Иркутского шсударственнго университета.

Публикации

Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 печатных работах в отечественных и зарубежных изданиях, в том числе 4 статьи из списка ВАК.

Основные положения выносимые на защиту

1. Существует нестандартный тип смешивания, когда на петлевом уровне возникают переходы между фермионными полями разной четности при сохранении четности в вершинах. Это приводит к возникновению матричных перенормированных пропагаторов полей спина 1/2 (или 3/2) и появлению в них вкладов с 75 матрицей.

2. Использование полученных одетых пропагаторов для расчета амплитуд ттЫ —> 7гN приводит к известному соотношению Мак-Дауэлла, связывающему между собой две парциальные амплитуды. При этом резонанс в одной волне порождает фон в другой и наоборот. Наиболее сильно эта связь сказывается в волне с меньшим орбитальным моментом.

3. Обсуждаемый эффект смешивания может быть учтен в рамках ЛГ-матричного подхода, для этого достаточно вычислить древесные амплитуды методами эффективной теории поля. Этотакже приводит к возникновению пары парциальных волн, связанных между собой соотношением Мак-Дауэлла.

4. Эффект смешивания полей разной четности обнаруживается в парциальном анализе реакции 7гЛ^ —> тгЫ в виде заметной по величине интерференции резонанса с фоном, при этом фон коррелирован со свойствами резонанса в другой волне. Наиболее просто эффект идентифицируется в паре парциальных волн Р\з, Аз = 3/2*) и 5] 1, Рц (/р = 1/2±).

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического указателя, содержащего 81 ссылку. Общий объем диссертации — 82 стр, включая 2 таблицы и 11 рисунков.

Краткое содержание работы

Во введении отражена актуальность исследуемой темы, сформулированы цели и задачи работы и излагаются основные результаты.

В первой главе дается описание смешивания фермионных полей с точки зрения квантовой теории поля.

В разделе 1.1. рассматривается стандартная картина петлевого смешивания фермионов с одинаковыми квантовыми числами. Для получения одетого фермионного пропагатора необходимо решить уравнение Дайсона-Швингера:

Ор) = Со + бЕСо.

(1)

Для решения этого уравнения удобно использовать разложение в базисе проекционных операторов А±(р) = 5 ± ). В этом базисе уравнение Дайсона-Швингера сводится к уравнениям на числовые коэффициенты. Коэффициенты в проекционном базисе обладают очевидным свойством:

(2)

При наличии недиагональных переходов , связывающих различные фер-мионные поля уравнение Дайсона-Швингера приобретает матричные индексы. Будем полагать, что фермионные поля Ф; обладают одинаковыми квантовыми числами и в лагранжиане четность сохраняется. Матричный одетый пропагатор в базисе Л± выглядит так:

О(р) = Л+^ЧЮ)"' +Л-(520Г)Г' =

= Л+

у1

А1

+ Л"

22

а2

V2

21 д2

у1

Д1

УР-пц-ЯЪ А]

^12 А2

-ТР- т1 -

\

+

У

(3)

у2

Л2

где

(4)

д, = (чг-т -е!,)0Р-/П2-Е|2)

д2 = ( _ г - тх - Е?!) -т2- Е|2) - Е?2£|, = (Г ->■

Использование проекционных операторов Л'1' разделяет вклады полюсов с положительной и отрицательной энергией. Поскольку матричные коэффици-

енты связаны соотношением Сг(^) = то достаточно перенормиро-

вать только вклады полюсов с положительной энергией (И^).

В разделе 1.2 рассмотрено совместное одевание двух фермионных полей разной четности при сохранении четности в вершине (ОРР-смешивание). Это приводит к тому, что диагональные петлевые переходы содержат только I и р матрицы, а недиагональные £12, £21 обязательно содержат т5. Проекционный базис необходимо дополнить элементами, содержащими 75:

■Рх = Л+, Тг = Л", Р3 = Л+75. = Л~75-В этом базисе матрица одетого пропагатора имеет вид:

(5)

в =ГХ

22

\

V

А] О

О

-тх

д2

+

- т2 - 2.

+Г2

22

уЗ 21

\а2

а2 о

мл

А,

О

+

(6)

+ ^4

/

у4

\А,

И

Д2

о

/

Здесь

(7)

Д1 = -тх- Е},) ( - И? - т2 - £22) - ^12^21, Д2 = ( - 1V -тх- {№-т2- И|2) - £12^21 = А! (№ -> .

В матричном пропагаторе появились вклады с 75 матрицей. Однако при вычислении матричных элементов они умножаются на соответствующие вершины и в адронных амплитудах т5 отсутствуют.

В разделе 1.3 рассмотрено влияние эффекта ОРР-смешивания на процессы рождения барионных резонансов спин-четности ]р = \/2± с изоспином / = 1/2 в 7гЛ/-столкновениях: -кЫ —> (N¡,N2) —> ^тN.

В случае « каналов, амплитуда рассеяния является матрицей размерности

п:

Т = й(р2,з2)Яи(р1,51), (8)

где й(р2,5г) и и(р\, ) четырех-компонентныс спиноры, соответствующие конечным и начальным состояниям нуклона, а /? — матрица той же размерности п, состоящая из пропагатора С и констант связи.

Рассмотрим два состояния разной четности: Л^(1/2)+ и А^(1/2)~ и два канала (7гУУ и т]М). В этом случае матрица /? имеет вид:

Я = - &Л х С х , (9)

\Ш1,пТ Ш2,п/ v £2,тг ё2,п )

и обобщение для случая п каналов и т смешивающихся состояний очевидно.

Используя матричный пропагатор с учетом ОРР-смешивания можно получить двухканальные й- и р- парциальные волны. Полученные амплитуды удовлетворяют многоканальному условию унитарности. Но некоторые качественные вещи видны из древесных амплитуд, которые выглядят следующим образом:

(тгЛГ тгАО - ^ [—— - ^^]. (10)

ТЬеег АТ V ЛП (Е1-т) Г gf.Tr ,__¿?2,тг 1 ,11л

Здесь IV = у/э — полная энергия в системе центра масс, и Е^ - энергия

нуклона в системе центра масс для системы тгЫ (т]А1)

рМ №2 + т%- т\

Можно отметить, что полученные амплитуды (и в частности (10)—(11)) обладают симметрией Мак-Дауэлла [1], связывающей две парциальные волны

/г,+0Г) = (13)

Заметим, что полученные парциальные волны удовлетворяют условию унитарности.

В разделе 1.4 полученные амплитуды используются для пА! парциальных 5- и р-волн, где могут рождаться барионы 1Р = 1/2±. Оценки наблюдаемых эффектов показывают, что смешивание полей разной четности приводит к

-04

-0.5 -

1тР

РеР

-0.6

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 МУ, (ЗеУ

1.9

1.0 1.1 15 1.3 М 1.5 1.6 1-7 1.6 1Э W, веУ

Рис. 1: Слева: результаты расчетов для 5-волновой парциальной волны тМ рассеяния. Сплошные линии - реальная и мнимая части парциальной амплитуды в одноканальном приближе-ниии с параметрами, соответствующими параметрам резонансов. Штриховые линии соответствуют амплитудам без учета эффекта смешивания: Е)^ = £21 = 0. Справа: Реальная и мнимая части р-волновой парциальной волны. Сплошные и штрихое линии совпадают друг с другом. Парциальные волны удовлетворяет одноканальному условию унитарности 1т 5 = |]2 -

вполне заметным по величине эффектам в я-волне, тогда как в р-волне влияние гораздо меньше, как видно на рис.1. Такая картина объясняется величинами констант связи в (10)-(11) |§2,тг| |§1,тг| и видна на качественном уровне из древесных амплитуд. Поскольку мы проводили нормировку с помощью ширины резонанса, это неравенство между константами связи является следствием неравенства 5- и р-волновых фазовых объемов. В 5-волне мы наблюдаем уни-таризированную интерференционную картину «резонанс + фон». При этом фон (происходящий от чужого резонанса) дает отрицательный вклад в фазу й-волнового рассеяния. В результате ОРР-смешивание приводит к связи двух парциальных волн тхЫ рассеяния, причем, как будет показано ниже, эта связь в основном односторонняя: она влияет на амплитуду с меньшим орбитальным моментом.

Во второй главе дается описание смешивания при рождении барионов 3/2±, а также показаны результаты применения полученных амплитуд для совместного описания парциальных волн Р13 и Дз в жЫ рассеянии. Частицы со спином 3/2 в рамках теории поля обычно описывают векторно-спинорным полем Фм, называемым полем Рариты-Швингера [2].

Пропагатор поля Рариты-Швингера имеет вид (см. подробности в [3,4]): С»(р) = Т[1" • б, (Г) + ■ 62(Г) + (5=1/2 вклады), (14)

где элементы базиса

= ^3/2' = ^ гЗ/2

= ^Г = Л-РГ2. (15)

Оператор Р3/2 имеет вид:

где введены единичные вектора, ортогональные между собой

При наличии нарушения четности или при рассмотрении смешивания полей разной четности базис в секторе 5 = 3/2 надо пополнить элементами, содержащими 75.

ег = т>г. от = ^Г.

д,- = -р^Д СГ = К"?-

(18)

3 = 7 , - г2

При наличии нарушения четности или при рассмотрении смешивания полей разной четности базис в секторе 5 = 3/2 надо пополнить элементами, содержащими 75.

Пусть мы имеем два поля Ф" разной четности. При учете унитарного смешивания одетый пропагатор имеет вид

4

= ^ Ом • + (э=1/2 вклады), (19)

м= 1

где йм СМ?) представляют собой матрицы размерности 2 — решения матричного уравнения Дайсона-Швингера.

Далее, действуя по методу, описанному в 1 главе, мы получаем унитарные парциальные амплитуды с учетом смешивания, написанные в двухканальном приближении: пЫ и '¡¡Ы каналы. При написании амплитуд мы должны учитывать ^-зависимый форм-фактор в вершине (так называемый фактор центробежного барьера): g —> g ■ Р(\У2).

Рис. 2: Слева: парциальная волна Дз ttN рассеяния [5] и результаты фитирования нашими формулами с учетом пN и oN каналов (W < 1.7 GeV). Справа: неупругость от PWA [5] и наша кривая, соответствующая левому графику.

Пробуя описать Р13, А3 отдельно (в трехканальном приближении: -ttN, t]N и crN, где aN - некоторый «эффективный» канал [6]), мы установили, что, как и в случае со спином 1/2, эффект OPF-смешивания является более существенным для волн с низшим орбитальным моментом I (волна Я13). Оказывается, что описание Р\з и А3 по отдельности приводит к достаточно хорошему качеству описания, см. рис.2. При этом фоновый вклад в волне Р13, который четко виден в результатах парциального анализа, по знаку и абсолютной величине приблизительно воспроизводится эффектом OPF-смешивания, см. рис.3.

Оба фита хорошо согласуются друг с другом в параметрах резонансов, но расходятся в параметрах форм-фактора. Полученные параметры не противоречат значениям масс и константам связи для волн Аз(1520), Р|з(1720) в таблицах RPP [7]. Что касается совместного фитирования двух парциальных волн, то оно дает только качественное описание. Для лучшего качества описания нужно более аккуратное описание (tvtv)N каналов и учет гладких вкладов

в Аз-

Таким образом, мы видим, что эффект смешивания полей разной четности приводит к значительным эффектам при рождении барионов и может быть идентифицирован в рождении барионных резонансов 3/2* в mV рассеянии. А именно: предсказываемая связь между двумя парциальными волнами Я13, Аз вполне соответствует результатам парциального анализа.

. /. V.-••• ••г

>Л /

; г I

@

1.0 15 1.4 1.8 1.8 2.0 22 2.4

Рис. 3: Парциальная волна жЫ рассеяния [5] и результат фитирования нашими формулами с учетом хЛ/ и аЫ каналов (\¥ < 2.0 ОсУ). Параметры резонанса Дз фиксированы. Кривые 1 и 2 показывают реальную часть фонового вклада от Дз резонанса (£2,» = ёг.о = 0). Справа: неупругость от РУ/А [5] и наша кривая, соответствующая левому графику.

В третьей главе рассматривается Л'-матричный подход для рассмотрения эффекта ОРР-смешивания. При наличии нескольких резонансных состояний и нескольких каналов, описанный в первой главе подход становится слишком громоздким. Л'-матричный подход работает для любого количества каналов и состояний, поэтому используем его для совместного описания парциальных волн 5ц и Рп в 7пУ рассеянии.

В разделе 3.1 показан упрощенный вариант рассмотрения: два резонансных сотояния (1/2+ и 1/2") и два канала {ттЫ и -цЩ. Используя эффективные лагранжианы, можно рассчитать вклады от состояний Ы\ ,N2 в парциальной волне на древесном уровне. Древесные амплитуды были выписаны выше (10)-(11).

Древесные амплитуды содержат как полюса с положительной, так и с отрицательной энергией, которые возникают из пропагаторов полей противоположной четности М и N2. Учет петлевых переходов приводит к одеванию состояний, а также к смешиванию этих двух полей.

Обратим внимание, что замена \У —> — IV дает

4Ж)+ -(4

(20)

поэтому древесные амплитуды обладают симметрией Мак-Дауэлла [1]

В /С-матричном представлении для парциальных амплитуд

[ = К(\-1РК)~\

(22)

диагональная матрица ¿Р, построенная из импульсов в системе центра масс, происходит от мнимой части петли. Таким образом, ЛГ-матрица это просто матрица древесных амплитуд, которые следует отождествить с амплитудами (10Н11). Если затравочные амплитуды обладают симметрией Мак-Дауэлла, то это свойство переносится на /¡"-матричные амплитуды.

В результате мы приходим к представлению парциальных амплитуд для я-и р-волн:

ит = 1 - 1Рк,ту\ ьт = кРт{\ - 1Ркр(щу\ (гз>

где матрицы К3, Кр (т.е. древесные амплитуды (10)-(11))> могут быть записаны в факторизованной форме:

К3 = Кр = —ррКрРр.

(24)

8тг'""""' "" 87Г Здесь р$, рр — диагональные кинематические матрицы, а матрица Р состоит из СЦМ импульсов, как аналитических функций, зависящих от V/. В этом случае «примитивные» Л"-матрицы (К$, Кр) содержат полюса как с положительной так и с отрицательной энергией

( ё1

=

Коп =

МР-ГП!

+

+ УР-Ш!

+

+ т2 2

ё\,ъё2,г, g2.7гg2.r^ ё!,п §2,г,

\W-mi \Р + т2' Г + т2/

/

§1п

—— гп\

+

ё1,тё2,г) , ё2,пё2,у \

+

ё2,1гё2,71 ё\,71 ё2 ,Т,

ТТ7-7- 1 ТТ ТТ '

\-W-mi ' -Ш + т2' -УР-пц кр{Ж) = кя{-№).

-ТР + т2/

(25)

(26)

Напомним, что т\ является массой ]р = 1/2" состояния, а т2 массой состояния ¡р = 1/2+. Обобщение этой конструкции на случай нескольких каналов и состояний очевидно.

Заметим, что наша /^-матричная амплитуда может быть переписана в другом виде, близком к тому, который используется в [8]

ит = +1р5РреК$(№)/(8тг)]-1р3,

8?г (28)

Мы использовали простейшие эффективные лагранжианы для получения древесных амплитуд. Но, как известно, спонтанное нарушение киральной симметрии приводит к тому, что пионное поле входит в лагранжиан в виде производной. Включение производной изменяет древесные амплитуды и, следовательно, /С-матрицу. Это приводит к тому, что в «примитивной» /("-матрице (25) - (26) происходит модификация полюсных вкладов:

£2 > — тд()2, для 5-волны, (29)

§2 ¡2 (^ + ты)2, ДЛЯ рволны. (30)

Появившийся фактор — т^)2 в я-волне очень сильно влияет на пороговые свойства.

В разделе 3.2 показывается использование /С-матрицы для анализа парциальных волн 5ц и Р\\ в области энергий < 2 ГэВ в трехканальном приближении: 7гЫ, Т]N и егЛ/, где последний является «эффективным» каналом, апроксимирующим различные ттттЫ состояния, /^-матрица содержит несколько состояний ]р = 1/2+ и ¡р = 1/2". Отметим, что при описании парциальных волн 1 и Р\ 1 по отдельности р-волна достаточно хорошо описывается нашими формулами при наличии производной в вершине, при этом я-волновые состояния в амплитудах отсутствуют. Вариант использования вершин без производных приводит к ухудшению описания, но при этом нужны также два состояния с приблизительно теми же массами. Оба варианта дают отрицательный вклад фона в 1 волну, сравнимый по величине с другими вкладами, но вариант без производной в вершине приводит к большому по величине фоновому вкладу, быстро меняющемуся вблизи порогов. Разумеется, надо иметь

Рис. 4: Результат совместного фитирования 5ц и Рц волн в -кЫ рассеянии. /С-матрица имеет два 5-волновых и два р-волновых полюса. Пунктирные линии показывают реальную и мнимую часть (унитаризированного) фонового вклада. Мнимая часть фона для р-волны значительно ниже, чем реальная и это не видно на рисунке.

ввиду, что канал сгЫ это некоторый эффективный канал, который может иметь разную природу в этих волнах. Поэтому поведение фонового вклада при низких энергиях (при отсутствии производной в вершине) не слишком жестко фиксировано. Но описание парциальной волны Рц без производной в вершине противоречит данным о 5ц. Наличие производной в вершине приводит к подавлению пороговой области из-за появления фактора (IV — т^)2, но в области резонансов это по-прежнему заметный по величине вклад.

Поскольку соотношение Мак-Дауэлла связывает две парциальных волны, совершенно естественно выполнить совместный анализ амплитуд 5ц и Рц, когда резонансные состояния в одной волне могут генерировать фон в другой. В этом случае /С-матрица (25) - (26) имеет полюса с положительной и отрицательной энергией: мы используем два полюса в я-волне и два в р-волне. Это приводит к заметному улучшению описания, в данном случае Х2/ООБ = 850/190 - рис.4.

Очевидно, что, фон в амплитуде может порождаться не только полюсами с отрицательной энергией, но и другими вкладами. Учесть это можно различным образом: либо включением форм-фактора в вершине, либо добавлением не-полюсных вкладов в /С-матрицу. Мы сделаем это, добавив в упругие ам-

Рис. 5: Результаты совместного фитирования 5ц и Рц волн в пЫ рассеянии. Я-матрица имеет двЗ" я- и два р-вол новых полюса и фон (31).

плитуды жЫ —» -кN гладкие вклады вида:

К^ =А + В(У?-тм)2, Щ =А + В№ + тм)2, (31)

так, чтобы не нарушить свойство симметрии Мак-Дауэлла. Такой вид соответствует полюсным вкладам большой массы в 5- и р-волнах. В результате мы получим совсем неплохое качество описания рис. 5. Заметим, что мы имеем достаточно хорошее качество описания х2Д)ОБ = 584/187.

Таким образом, осуществляемый совместный анализ 5ц и Рц парциальных волн показывает, что ОРР-смешивание дает весьма заметное влияние на рождение 1/2± барионов.

После проведенного анализа результатов парциального анализа были вычислены положения полюсов в комплексной плоскости энергии, которые даются полученными амплитудами. Вычисленные значения полюсных масс и ширин в целом соответствуют результатам других анализов.

Эффект смешивания фермионных полей противоположной четности может быть реализован в рамках /С-матричного подхода. /С-матричный подход использовался для описания парциальных волн 5ц пРц. Сконструированные таким образом волны обладают симметрией Мак-Дауэлла, которая связывает две парциальные волны при замене Это приводит к тому, что ре-

зонанс в одной парциальной волне дает фоновый вклад в другой и наоборот. Обнаружено, что эффект петлевого смешивания полей разной четности виден

в результатах PWA, как связь между двумя парциальными волнами 5ц и Рц.

Таким образом, осуществляемый совместный анализ Sn и Рц парциальных волн показывает, что OPF-смешивание дает весьма заметное влияние на рождение 1/2± барионов.

В разделе 3.3 обсуждается возможность прямого использования полюсной массы и ширины для описания рождения нестабильной частицы вместо привычных теоретико-полевых параметров. Существуют разные схемы перенормировки резонанса при анализе данных. Наиболее часто употребляется схема вычитания на массовой поверхности и полюсная схема. Обычно резонансная амплитуда записывается в терминах масс и констант связи. Выразить через них положения полюсов в комплексной области энергии в конечном виде -не удается, так как возникают трансцендентные уравнения. Однако, как оказалось, в обратную сторону это можно проделать: задав положение полюса в комплексной плоскости можно вычислить теоретико-полевые параметры. В простых случаях это позволяет прямо использовать положения полюсов в качестве параметров при описании экспериментальных данных. Центральную роль при этом играет условие симметрии Шварца G*(s) = G(s") одетого про-пагатора. Такой способ действия довольно просто обобщается на случай совместного одевания двух состояний при наличии смешивания. Наконец, все это легко переносится на случай фермионных состояний, если использовать вне-массовые проекционные операторы вместо традиционного гамма-матричного базиса.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные при работе над диссертацией:

1. Построен и исследован матричный пропагатор фермионных полей спина 1/2 и спина 3/2 с учетом эффекта петлевого смешивания фермионых полей разной четности, при сохранении четности в лагранжиане. Получен матричный одетый пропагатор, содержащий -у5 матрицы.Но так как в вершине четность сохраняется, то матрицы -у5 исчезают при умножении на вершины. Следует отметить, что при решении уравнения Дайсона-Швингера автоматически получаются унитарные амплитуды.

2. Приведенные оценки влияния OPF-смешивания показывают, что эти эф-

фекты дают заметный по величине вклад в волне с меньшим орбитальным моментом I, что объясняется большой разницей в константах связи (следствие неравенства фазового объема для различных /).

3. Полученные амплитуды использовались для описания двух парциальных волн Р{3 и £>1з в 7гN рассеянии. Обсуждаемый эффект воспроизводит все наблюдаемые особенности этих волн, но для качественного совместного описания необходима более точная настройка их свойств. Таким образом можно заключить, что эффект смешивания полей разной четности приводит к значительным эффектам при рождении барионов и может быть идентифицирован в рождении барионных резонансов Jp = 3/2± в irN рассеянии..

4. Проведено исследование проявления OPF-смешивания в парциальных волнах 5ц и Рц в ttN рассеянии, где рождаются барионы 1/2*, I = 1/2. Обнаружено, что эффект смешивания фермионных полей противоположной четности может быть реализован в рамках /Г-матричного подхода. Обратим внимание, что Л"-матрицы для s- и р-волн (25)-{26) содержат полюса с положительной и отрицательной энергией, и связаны между собой соотношением Kp(W) — Ks(—W). Сконструированные таким образом волны обладают симметрией Мак-Дауэлла, которая связывает две парциальные волны при замене W —> —W. Это приводит к тому, что резонанс в одной парциальной волне дает фоновый вклад в другую и наоборот. Для описания парциальных волн 5ц и Р\ \ использовалось трехканальное приближение, где friV это некоторый квазиканал, имитирующий различные состояния irirN. Несмотря на столь грубое приближение, получено достаточно хорошее описание этих парциальных волн, сопоставимое с обширными анализами [9,10].

Основные публикации автора по теме диссертации

1. Kaloshin, А.Е. Mixing of fermion fields of opposite parities and baryon resonances / A.E. Kaloshin, E.A. Kobeleva, V.P. Lomov // Int.J.Mod.Phys. — 2011. - Vol. A26. - P. 2307-2326. - 1009.2845.

2. А.Е. Калошин, E.A. Кобелева. Резонанс в КТП и полюсные параметры / Е.А. Кобелева А.Е. Калошин // Известия вузов. Физика. — 2012. — Т. 5. — С. 95.

3. Kaloshin, А.Е. Opposite parity fermion mixing and baryons l/2± / A.E. Kaloshin, E.A. Kobeleva, V.P. Lomov // Mod. Phys. Lett. A. - 2013. -Vol. 28. - P. 1350156. - 1306.6171.

4. Kaloshin, A.E. Nonstandard mixing in a system of fermions / A.E. Kaloshin, E.A. Kobeleva, V.P. Lomov // Phys.Part.Nucl.Lett. — 2012. — Vol. 9. — P. 772-775.

5. A.E. Калошин, E.A. Кобелева. Унитарное смешивание фермионных полей разной четности / Е.А. Кобелева А.Е. Калошин // Труды XI конференции молодых ученых «Гелио- и геофизические исследования». — 2009. — С. 302.

6. А.Е. Калошин Е.А. Кобелева, В.П. Ломов. Барионные резонансы со спином J = 3/2 и эффекты смешивания / В.П. Ломов А.Е. Калошин, Е.А. Кобелева // Труды XII конференции молодых ученых «Взаимодействия полей и излучения с веществом». — 2011. — С. 294.

7. А.Е. Kaloshin Е.А. Kobeleva, V.P. Lomov. Mixing of fermion fields of opposite parities and baryon resonances / V.P. Lomov A.E. Kaloshin, E.A. Kobeleva // Proc. of XX Int. Baldin Seminar on High Energy Phys. Problems. — 2011. - Vol. 1. - P. 183.

Список цитируемой литературы

1. MacDowell, S.W. Form Factors in Kmu3 and Ke-3 Decay / S.W. MacDowell // Phys.Rev.— 1959.- Vol. 116.- P. 1047-1049.

2. Rarita, William. On a theory of particles with half integral spin / William Rarita, Julian Schwinger // Phys.Rev. — 1941. — Vol. 60. — P. 61.

3. Kaloshin, A.E. The Rarita-Schwinger field: Dressing procedure and spin-parity content / A.E. Kaloshin, V.P. Lomov // Phys.Atom.Nucl. — 2006. - Vol. 69. - P. 541-551. - hep-ph/0409052.

4. Kaloshin, A.E. The Rarita-Schwinger field: Renormalization and phenomenology / A.E. Kaloshin, V.P. Lomov // Int.J.Mod.Phys. - 2007,- Vol. A22.-P. 4495^518,- hep-ph/0702116.

5. Extended partial-wave analysis of ttN scattering data / R.A. Arndt, W.J. Briscoe, I.I. Strakovsky, R.L. Workman // Phys.Rev— 2006— Vol. C74.— P. 045205,- nucl-th/0605082.

6. Ceci, S. Role of bare propagator poles in phenomenological Dyson-Schwinger type models / S. Ceci, A. Svarc, B. Zauner // Eur.Phys.J. — 2008— Vol. C58.— P. 47-56.

7. Nakamura, K. Review of particle physics / K. Nakamura [et al.] // J.Phys. — 2010.- Vol. G37.— P. 075021.

8. Arndt, Richard A. Pion-Nuclean Partial Wave Analysis to 1100-MeV / Richard A. Arndt, John M. Ford, L. David Roper // Phys.Rev.- 1985.-Vol. D32.— P. 1085.

9. Nakamura, S.X. Extraction of P\ \ resonance from piN data and its stability / S.X. Nakamura // AIP Conf.Proc.- 2011,- Vol. 1374,- P. 505-508,1010.0223.

10. Extraction of Pll resonances from irN data / H. Kamano, S.X. Nakamura, T.-S.H. Lee, T. Sato // Phys.Rev.- 2010,- Vol. C81.- P. 065207,- 1001.5083.

Научное издание

Кобелева Елена Анатольевна

СМЕШИВАНИЕ ФЕРМИОННЫХ ПОЛЕЙ РАЗНОЙ ЧЕТНОСТИ

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 15.02.2014. Формат 60x901/16 Усл.-печ. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 12

ИЗДАТЕЛЬСТВО ИГУ 664003, г. Иркутск, бульвар Гагарина, 36

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ФГБОУ ВПО ИГУ)

04201456524 На правах рукописи

Кобелева Елена Анатольевна

СМЕШИВАНИЕ ФЕРМИОННЫХ ПОЛЕЙ РАЗНОЙ

ЧЕТНОСТИ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., доцент Калошин А.Е.

Иркутск - 2013

Оглавление

Введение 4

1 Петлевое смешивание в системе фермионов 19

1.1 Смешивание фермионных полей одинаковой четности .... 20

1.2 Смешивание фермионных полей разной четности..............22

1.3 Амплитуда тгЫ рассеяния с учетом смешивания полей 1/2± . 25

1.4 Численные оценки наблюдаемых эффектов......................29

2 Смешивание в системе барионов 3/2± 32

2.1 Петлевое смешивание для полей спина 3/2 и амплитуды ттЫ рассеяния............................................................32

2.2 Парциальные волны Р\з пЭ^ и эффекты смешивания .... 38

3 Смешивание полей разной четности и А-матричный подход 43

3.1 Применение /Г-матрицы для описания барионных резонансов

]р = 1/2± ..........................................................44

3.2 Совместный анализ парциальных волн 511 и Р11................49

3.3 Полюсная схема для резонанса и условие симметрии..........54

Заключение 64

Список иллюстраций 66

Список таблиц 69

Литература

А Кинематика ттЫ рассеяния

Введение

В настоящее время эффекты смешивания состояний (или полей) хорошо известны в физике нейтрино [1], кварков [2] и адронов и продолжают являться объектом интенсивных исследований. Это явление, квантомехани-ческое по природе, возникает в том случае, если рождаются и детектируются не состояния с определенной массой, а их суперпозиция. Что касается теоретического описания явлений смешивания, то с течением времени и развитием эксперимента происходит постепенный переход от упрощенного квантовомеханического формализма к методам квантовой теории поля(см., например, обзор [3] и более поздние работы [4-11]). При этом центральными объектами становятся матричные вершина и пропагатор с учетом петлевых поправок.

Смешивание фермионных полей имеет некоторые особенности по сравнению с бозонными. Во-первых, это наличие 7-матричной структуры в про-пагаторе. Во-вторых, фермион и антифермион имеют противоположную Р-четность, поэтому в фермионном пропагаторе содержатся вклады разной четности. Четность фермионного поля - это четность соответствующего решения с положительной энергией. В результате, помимо стандартного смешивания полей с одинаковыми квантовыми числами, для фермионов существует смешивание полей противоположной четности, даже если четность сохраняется в вершине. Поэтому при одевании двух фермионных полей возникает также недиагональный собственно-энергетический вклад, что приводит к матричному пропагатору необычного вида и к модификации ампли-

туд.

Диссертация посвящена изучению нестандартного эффекта петлевого смешивания фермионных полей противоположной четности (OPF-смешивание) в рамках квантовой теории поля и поиску проявлений этого эффекта при рождении барионных резонансов.

Одним из основных источников информации о барионных резонансах является процесс упругого itN рассеяния, где проделан парциальный анализ амплитуд на большом статистическом материале [12-24]. В этом процессе рождаются барионные резонансы различных спинов и четности, поэтому с учетом достигнутой высокой точности парциального анализа это наиболее подходящая область для поиска экспериментального проявления OPF-смешивания.

Оказалось, что учет эффекта OPF-смешивания в амплитудах itN —> itN приводит к хорошо известному соотношению Мак-Дауэлла [25] (см. (3.7)), связывающему две парциальные волны. Тем самым, обсуждаемый эффект дает конкретную реализацию общего свойства симметрии Мак-Дауэлла. Но при анализе данных это свойство обычно не используется. С точки зрения наблюдаемых величин это приводит к тому, что резонанс в одной парциальной волне порождает фон в другой и наоборот.

Наиболее простым физическим примером проявления эффекта смешивания являются парциальные волны Р\ з и D\3, где рождаются барионы Jp = 3/2±. Дело в том, что в этих волнах наблюдается только по одному резонансному состоянию в области энергий ниже 2 ГэВ в отличие от других парциальных волн. Другой физический пример проявления эффекта смешивания полей разной четности связан с волнами 5ц,Яц в ttN рассеянии, где рождаются барионы Jp = 1/2±,¡ = 1/2. Наиболее интересным объектом для рассмотрения здесь является так называемый Роперовский резонанс N(1440), который имеет некоторые необычные свойства и для него до сих пор существуют проблемы с описанием [19,20,26-36].

Целью данной работы является теоретическое изучение смешивания фермионных полей разной четности при сохранении четности в вершине и анализ экспериментальных данных парциального анализа irN рассеяния с учетом этого эффекта.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения.

Во введении отражена актуальность исследуемой темы, сформулированы цели и задачи работы и излагаются основные результаты работы.

В первой главе рассматривается смешивание фермионных полей с точки зрения квантовой теории поля.

В разделе 1.1. рассматривается стандартная картина петлевого смешивания фермионов с одинаковыми квантовыми числами. Для получения одетого фермионного пропагатора необходимо решить уравнение Дайсона-Швингера:

G(p) = G0 + GEG0. (1)

Для решения этого уравнения удобно использовать разложение в базисе проекционных операторов Л±(р) = ± В этом базисе уравнение Дайсона-Швингера сводится к уравнениям на числовые коэффициенты. Коэффициенты в проекционном базисе обладают очевидным свойством:

S 2(W) = Zl(-W). (2)

При наличии недиагональных переходов S/y, связывающих различные фермионные поля уравнение Дайсона-Швингера приобретает матричные индексы. Будем полагать, что фермионные поля Ф,- обладают одинаковыми квантовыми числами и в лагранжиане четность сохраняется. Матричный

одетый пропагатор в базисе Л± выглядит так:

в(р) = А+(51(Ю)"1 +Л-(52(1Г))-1 =

- т2 - Е22

= Л+

'12

\

У1 21

V

А,

-т2-Е222

А1 А1

+

/

(3)

Е?

+ Л"

12

\

V

а2 а2

а2

-1Г-/П1 -Е2п

А2

/

где

А1 = (№-т1-Е\1){№-т2-Е|2) - Е^Е?,,

д2 = ( - ^ - гщ - Е^) ( - Г - т2 - Е^2) - Е?2Е|! = А{

■Г). (4)

Поэтому задача смешивания для фермионов с использованием проекционного базиса А± технически ничем не отличается от смешивания бозонов, кроме очевидной замены 5 — т2 -» — т.

Использование проекционных операторов Л* разделяет вклады полюсов с положительной и отрицательной энергией. Поскольку матричные коэффициенты связаны соотношением ^(ТСП = 1^), то достаточно перенормировать только вклады полюсов с положительной энергией С\{№).

В разделе 1.2 рассмотрено совместное одевание двух фермионных полей разной четности при сохранении четности в вершине. Это приводит к тому, что диагональные петлевые переходы Е// содержат только I и р матрицы, а недиагональные Е12, Е21 обязательно содержат 75. Проекционный базис необходимо дополнить элементами, содержащими 75:

Р1=Л+, Г2 = А~, Р3 = Л+75, Р4 = А~7.

(5)

В этом базисе матрица одетого пропагатора имеет вид:

0 \

а =7^1

\

А1 О

+Т2

\ /

Л2

О

а2

о

+

\

п

/

+

(6)

/

о ^

з А1 х!Г 0

\д2

+ Г4

( У4 \

о ^

4 А2

^21 0

/

Здесь

= -тх-Ъ^^-УУ-т2-Е|2) - Е?2Е|1, Д2= (-\F-mi -т2-Т}22) =

(7)

В матричном пропагаторе появились вклады с 75 матрицей. Однако при вычислении матричных элементов они умножаются на соответствующие вершины и в адронных амплитудах 75 отсутствуют.

В разделе 1.3. рассмотрено влияние эффекта ОРР-смешивания на процессы рождения барионных резонансов спин-четности ]р = 1/2± с изоспи-ном / = 1/2 в 7гЛ/-столкновениях: -кЫ —» ттЫ .

В случае п каналов, амплитуда рассеяния является матрицей размерности п:

Т = й{р2, 52)Ли(р\, 5\), (8)

где й(/?2,52) и и{р\,8\) четырех-компонентные спиноры, соответствующие конечным и начальным состояниям нуклона, а Я — матрица той же размерности п, состоящая из пропагатора й и констант связи.

Рассмотрим два состояния разной четности: Л^(1/2)+ и ^(1/2)" и два

канала (кЫ и 7]Ы). В этом случае матрица Я имеет вид:

Д = - х О х , (9)

Я2.7Г) \ §2,п §2,7] )

и обобщение для случая п каналов и т смешивающихся состояний очевидно.

Используя матричный пропагатор с учетом ОРР-смешивания можно получить двухканальные 5- и р- парциальные волны. Полученные амплитуды удовлетворяют многоканальному условию унитарности. Но некоторые качественные вещи видны из древесных амплитуд, которые выглядят очень просто:

(£1 + тм) г ёх

ПШ -> тгЛП = ^ + тм) Г

т\ — 1712

2 гЛ

(10)

тгЛГ) = {Ех ~ т) [ - ё{<* +

(П)

Здесь № = л/б — полная энергия в системе центра масс, и Е^ -

энергия нуклона в системе центра маса для системы (г/УУ)

~ 2\У ' { }

Можно отметить, что полученные амплитуды (и в частности (10)-(11)) обладают симметрией Мак-Дауэлла, связывающей две парциальные волны

ЫГ) = ЧшА-Ю, (13)

Заметим, что полученные парциальные волны удовлетворяют условию унитарности.

В разделе 1.4. мы используем полученные формулы (1.27), (1.29) для 7гА^ парциальных 5- и р-волн, где могут рождаться барионы ]р = 1/2±. Нас интересуют пока лишь оценки наблюдаемых эффектов, поэтому ограничимся одноканальными формулами, а имеющиеся параметры зафиксируем так, чтобы они грубо соответствовали параметрам резонансов. Такие оценки показывают, что смешивание полей разной четности приводит

к вполне заметным по величине эффектам в 5-волне, тогда как в р-волне влияние гораздо меньше. Такая картина объясняется величинами констант связи в (10)-(11) тг| ^ |§1,7г| и видна на качественном уровне из древесных амплитуд. Поскольку мы проводили нормировку с помощью ширины резонанса, это неравенство между константами связи является следствием неравенства 5- и р-волновых фазовых объемов. В я-волне мы наблюдаем унитаризированную интерференционную картину «резонанс + фон». При этом фон (происходящий от чужого резонанса) дает отрицательный вклад в фазу ¿-волнового рассеяния. В результате ОРР-смешивание приводит к связи двух парциальных волн 7тЫ рассеяния, причем, как будет видно ниже, эта связь в основном односторонняя: она влияет на амплитуду с меньшим орбитальным моментом.

Во второй главе описывается смешивание при рождении барионов 3/2^% а также применение полученных амплитуд для совместного описания парциальных волн Р\з и О\з в тсМ рассеянии. Частицы со спином 3/2 в рамках теории поля обычно описывают векторно-спинорным полем называемым полем Рариты-Швингера [37-42].

Пропагатор поля Рариты-Швингера имеет вид (см. подробности в [4143]):

= - + Т^ • б2т + (8=1/2 вклады), (14)

где элементы базиса

V? = А+Р372, V? = А-Р372. (15)

Оператор Ру2 согласно [44] имеет вид:

рт = ег - <п\ - (16)

где введены единичные вектора, ортогональные между собой

^ = + = ^ (Г1ГП1) = 61}. (17)

10

При наличии нарушения четности или при рассмотрении смешивания полей разной четности базис в секторе s = 3/2 надо пополнить элементами, содержащими т5.

Q?v = V^, Qf = Vf,

(18)

Qf = pfV, Qf = pf75.

При наличии нарушения четности или при рассмотрении смешивания полей разной четности базис в секторе s = 3/2 надо пополнить элементами, содержащими 75.

Пусть мы имеем два поля Ф^ разной четности. При учете унитарного смешивания одетый пропагатор имеет вид

4

G^(P) = Y.Qm- бм(Ю + (s=l/2 вклады), (19)

М=1

где Gm(W) представляют собой матрицы размерности 2 — решения матричного уравнения Дайсона-Швингера.

Далее, действуя по методу, описанному в 1 главе, мы получаем унитарные парциальные амплитуды с учетом смешивания, написанные в двух-канальном приближении: ttN и rjN каналы. При написании амплитуд мы должны учитывать lF-зависимый форм-фактор в вершине (так называемый фактор центробежного барьера): g —>• g • F{W2).

Пробуя описать Р\з, Дз отдельно (в трехканальном приближении: ttN, rjN и crN, где (tN - некоторый «эффективный» канал [19,45,46]), мы установили, что, как и в случае со спином 1/2, эффект OPF-смешивания является более существенным для волн с низшим орбитальным моментом I (волна Р13). Оказывается, что описание Р13 и £>13 по отдельности приводит к достаточно хорошему качеству описания. При этом фоновый вклад в волне Pi3, который четко виден в результатах парциального анализа, по знаку и абсолютной величинеприблизительно воспроизводится эффектом OPF-смешивания. Оба фита хорошо согласуются друг с другом в параметрах ре-зонансов, но расходятся в параметрах форм-фактора. Полученные парамет-

ры не противоречат значениям масс и константам связи для волн Дз(1520), Pi3(1720) в таблицах RPP [47]. Что касается совместного фитирования двух парциальных волн, то оно дает только качественное описание. Для лучшего качества описания нужно более аккуратное описание (7Г7Г)N каналов и учет гладких вкладов в D13.

Таким образом, мы видим, что эффект смешивания полей разной четности приводит к значительным эффектам при рождении барионов и может быть идентифицирован в рождении барионных резонансов 3/2± в ttN рассеянии. А именно: предсказываемая связь между двумя парциальными волнами Лз, Аз вполне соответствует результатам парциального анализа.

В третьей главе рассматривается /i-матричный подход для рассмотрения эффекта OPF-смешивания. При наличии нескольких резонансных состояний и нескольких каналов, описанный в первой главе подход становится слишком громоздким. /С-матричный подход работает для любого количества каналов и состояний, поэтому используем его для совместного описания парциальных волн 5ц и Р\ \ в -kN рассеянии.

В разделе 3.1. показан упрощенный вариант рассмотрения: два резонансных сотояния (1/2+ и 1/2") и два канала (irN и r]N). Используя эффективные лагранжианы, можно рассчитать вклады от состояний N\,N2 в парциальной волне на древесном уровне. Древесные амплитуды были выписаны выше(10)-(11).

Древесные амплитуды содержат как полюса с положительной, так и с отрицательной энергией, которые возникают из пропагаторов полей противоположной четности N\ и N2. Учет петлевых переходов приводит к одеванию состояний, а также к смешиванию этих двух полей.

Обратим внимание, что замена W —> — W дает

E^ + mN->-(E^-mN)t (20)

поэтому древесные амплитуды обладают симметрией Мак-Дауэлла [25]

В /Г-матричном представлении для парциальных амплитуд

[ = К(1-1РК) \

(22)

диагональная матрица ¿Р, построенная из импульсов в системе центра масс, происходит от мнимой части петли. Таким образом, /("-матрица это просто матрица древесных амплитуд, которые следует отождествить с амплитудами

(юкп).

В результате мы приходим к представлению парциальных амплитуд для 5- и р-волн:

ит = - 1Рк,ту\ ьт = кр(ю(1-1РкР(ю) \ (23)

-1

где матрицы К5, Кр (т.е. древесные амплитуды (10)-(11)), могут быть записаны в факторизованной форме:

К* = Кр = —рркррр.

(24)

Здесь р5, рр — диагональные кинематические матрицы, а матрица Р состоит из СЦМ импульсов, как аналитических функций, зависящих от В этом случае «примитивные» /("-матрицы (К$, Кр) содержат полюса как с положи-

тельной так и с отрицательной энергией

( А

К5(Ш) =

7Г , §2,п gl.7rg2.77 ,

№ - пц № + т2' V? - тх V? + т2

gl.7rg2.fy g2.7rg2.f7 _ ,

\W-mi № + т2' № + т2/

( ёЬ

(25)

+

gl,7гg2,7^ g2,7rg2 .т? \

gl.Trg2.77 g2.7rg2.77 gl .77 g2.л^

Напомним, что т\ является массой = 1/2" состояния, а ГП2 массой состояния ]р = 1/2+. Обобщение этой конструкции на случай нескольких каналов и состояний очевидно.

Заметим, что наша /С-матричная амплитуда может быть переписана в другом виде, близком к тому, который используется в [13]

Мы использовали простейшие эффективные лагранжианы (3.1)—(3.2) для получения древесных амплитуд. Но, как известно, спонтанное нарушение киральной симметрии приводит к тому, что пионное поле входит в лагранжиан в виде производной. Включение производной изменяет древесные амплитуды и, следовательно, /Г-матрицу. Это приводит к тому что в «примитивной» А-матрице (25) - (26) происходит модификация полюсных вкладов:

Появившийся фактор (УР — гпм)2 в ¿-волне очень сильно влияет на пороговые свойства.

В разделе 3.2. описанная выше /^-матрица используется для анализа парциальных волн 5ц и Р\\ в ттЫ рассеянии в области энергий 2

ГэВ в трехканальном приближении: тгЫ, г]Ы и аЫ, где последний является «эффективным» каналом, апроксимирующим различные жжЫ состояния. К-матрица содержит несколько состояний 1Р = 1/2+ и Зр = 1/2-. Отметим, что при описании парциальных волн 5ц и Р\ 1 по отдельности р-волна достаточно хорошо описывается нашими формулами при наличии производной в вершине, при этом ¿-волновые состояния в амплитудах отсутствуют. Вариант использования вершин без производных приводит к ухудшению описания, но при этом нужны также два состояния с приблизительно те-

ит = +1р5рр5Ш)/{Щ V

!Р(Ю = ^-РрК [1 - 1ррРРркР№)/(Щ ~ V

(27)

ё2 ¡2^ - ГПм)2, для ¿-волны,

§2 + для рволны.

(28) (29)

ми же массами. Оба варианта дают отрицательный вклад фона в 5] 1 волну, сравнимый по величине с другими вкладами, но вариант без производной в вершине приводит к большому по величине фоновому вкладу, быстро меняющемуся вблизи порогов. Разумеется, надо иметь ввиду, что канал аЫ это некоторый эффективный канал, который может иметь разную природу в этих волнах. Поэтому поведение фонового вклада при низких энергиях (при отсутствии производной в вершине) не слишком жестко фиксировано. Но описание парциа�