Собственные акустические колебания около тонкостенных препятствий в каналах и трубах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Хасанов Наиль Алфатович

Собственные акустические колебания около тонкостенных препятствий в каналах и

трубах

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 АПР 2015

НОВОСИБИРСК - 2014

005566456

005566456

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте гидродинамики имени М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель:

Сухинин Сергей Викторович - доктор физико-математических наук, ФГБУН Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, ведущий научный сотрудник.

Официальные оппоненты:

Бардаханов Сергей Прокопьевич - доктор физико-математических наук, ФГБУН Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, главный научный сотрудник,

Кузнецов Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, ФГБУН Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН, заведующий отделом теплофизики многофазных систем.

Ведущая организация:

ФГУП Центральный аэродинамический институт им. профессора Н.Е. Жуковского, г. Жуковский.

Защита состоится «34 -»<хл.рел-% 2015 года вГ^ часов на заседании диссертационного совета Д 003.035.02 на базе Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, Новосибирск, ул. Институтская 4/1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН по адресу ул. Институтская 4/1, Новосибирск, 630090, http://itam.nsc.ru/ru/thesis/.

Ваш отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью учреждения, просим высылать по адресу: 630090, Новосибирск, ул. Институтская 4/1, ИТПМ СО РАН, ученому секретарю диссертационного совета.

Автореферат разослан « {% »Utc!ртй 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор технических наук 'И^с^е Засыпкин И.М.

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена исследованию акустических собственных колебаний, локализованных около тонкостенных препятствий в каналах и трубах различной геометрии.

При обтекании потоком газа препятствий возникают эоловы тона — акустические колебания, вызванные срывом вихрей. Впервые эоловы тона были обнаружены в 1878 году Струхалем. В 1896 году лорд Рэлей показал, что возникновение эоловых тонов связано с неустойчивостью вихревых структур в следе за препятствием и колебания самого препятствия не обязательны для генерации этих тонов. Первые исследования аэроакустических резонансных явлений около решетки пластин в потоке газа в канале были проведены Паркером в 1966 году, где показано, что колебания газа могут быть чисто акустическими, обусловленными упорядоченными структурами в следе за пластинами и не связанными с колебаниями самих пластин. Было показано, что амплитуда колебаний убывает экспоненциально и поэтому стремится к нулю при бесконечно большом удалении от решетки. Данная модель была исследована им с помощью конечно-разностных методов, полученные результаты хорошо согласовались с экспериментальными данными.

Большой вклад в теоретическое исследование резонансных эффектов, возникающих около препятствий в каналах и трубах внесли как отечественные (В.Б. Курзин, P.M. Гарипов, П.И. Плотников, В.И. Налимов, C.B. Сухинин, В.П. Рябченко, А.И. Макаров, М.А. Ильяченко, B.C. Юрковский и др.), так и зарубежные специалисты (Hein S., Koch W., Ursell F., Evans D.V., Porter R., Linton C.M., Callan M. и др.).

Существенный вклад в экспериментальные исследования эоловых тонов внесли следующие специалисты: С.П. Бардаханов, О.В. Белай, В.В. Козлов, H.H. Яненко, М.А. Ильяченко, А.Н. Руденко, Leipmann H.W., Cumpsty N.A., Whitead D.S. и др.

Существование собственных акустических колебаний около тонкостенного цилиндрического препятствия в однородном круглом цилиндрическом канале впервые предсказаны C.B. Сухининым в 1999г., экспериментально обнаружены С.П. Бардахановым, О.В. Белаем в 2000г.

Актуальность рассматриваемой задачи обусловлена ее многочисленными приложениями в технике. Изучение акустических собственных колебаний в каналах и трубах, содержащих тонкостенные препятствия, имеет важное прикладное и научное значение, так как этот вид неограниченной области является типичным, часто встречается в технике и доступен для исследования. Автоколебания, возникающие в реальных конструкциях, обусловлены, как правило, нелинейными источниками: образованием когерентных структур в потоке жидкости, вибрационным горением и тому подобным.

Существенным условием возникновения интенсивных автоколебаний является совпадение частоты источника колебаний с акустической собственной частотой открытой бесконечной области и неортогональность источника соответствующей собственной функции.

Широкое использование различного рода ребер жесткости в системах вентиляции, использование компрессоров и турбин различной геометрии в воздушно-реактивных двигателях, использование решеток для управления потоком газа в системах кондиционирования и других технических устройствах определяет актуальность работы.

Цели Работы

• Исследовать акустические собственные колебания около нескольких тонкостенных цилиндрических препятствий в однородном цилиндрическом канале, установить влияние геометрических параметров препятствий и их взаимного расположения в канале на собственные частоты и механику собственных колебаний.

• Установить влияние неоднородности канала на частоты собственные колебаний около препятствий.

• Исследовать акустические собственные колебания около радиаль-но расположенных тонкостенных препятствий в канале кольцевого сечения, изучить влияние геометрических параметров канала и препятствий, а также количества препятствий на собственные частоты и механику собственных колебаний.

Научная новизна результатов работы заключается в том, что впервые:

1. Исследованы собственные колебания газа около нескольких вложенных цилиндрических препятствий, получено влияние размеров вложенных препятствий и их количества на собственные частоты и механику собственных колебаний газа.

2. Исследовано взаимное влияние разнесенных по оси канала препятствий произвольного размера на собственные колебания около друг друга. Установлено, что если препятствия разнесены на расстояние превышающее диаметр канала, то их с большой степенью точности можно считать изолированными.

3. Изучено влияние ступенчатых сужений канала на собственные частоты и вид собственных колебаний около препятствий, расположенных в канале.

4. Установлено влияние геометрических параметров радиально расположенных тонкостенных препятствий в кольцевом канале и их количества на частоты и вид собственных колебаний.

Личный вклад автора в работу по теме диссертации состоит в постановке задач исследований, обработке и анализе полученных результатов, подготовке публикаций по результатам исследований. Основные научные результаты, включенные в диссертацию и выносимые автором на защиту, получены соискателем самостоятельно.

Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов согласовано с соавторами.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что они могут быть использованы для предупреждения и устранения нежелательных резонансных явлений в технике, а также при создании котлов пульсирующего горения, паяльных ламп и других технических устройств, в которых собственные колебания используются для интенсификации процессов горения.

Достоверность результатов подтверждается использованием хорошо апробированных аналитических и численных методов решения волновых задач. Результаты работы хорошо согласуются с известными экспериментальными и теоретическими исследованиями, не противоречат выводам выполненных ранее работ других авторов, являясь их продолжением и развитием.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на общеинститутском семинаре ИТПМ СО РАН «Теоретическая и прикладная механика» под руководством академика РАН В.М. Фомина (2014г.), на семинаре отдела прикладной гидродинамики ИГиЛ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН В.В. Пухначева (2013г.), на семинаре «Аэрогазодинамика» ИТПМ СО РАН (2014г.), на семинарах лаборатории гидроаэроупругости ИГиЛ СО РАН (2012, 2013гг.), на семинаре кафедры гидродинамики НГУ (2012г.), а также на научных конференциях по механике:

1. ХЬУП Международной научной студенческой конференции «Студент и научно технический прогресс», в г. Новосибирске, (2009г.);

2. Международном семинаре «Акустика неоднородных сред» в г. Новосибирске (2009г.);

3. Всероссийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» в г. Новосибирске (2009г.);

4. VII Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория эксперимент и новые технологии» в г. Новосибирске (2009г.);

5. Всероссийской молодежной конференции «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей» в г. Новосибирске (2010г.);

6. Международной конференции по методам аэрофизических иссле-

дований «ICMAR 2010» в г. Новосибирске (2010г.).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах [1-7]. Работы [2,3,6] выполнены в соавторстве с C.B. Сухининым. Вклад авторов в совместных работах является равным.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 109 страниц состоит из введения четырех глав, заключения, 38 иллюстраций и списка литературы из 72 наименований.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Каждая глава разделена на параграфы.

Во введении обоснована актуальность работы, изложены основные идеи и методы, используемые в диссертации, дано краткое описание диссертации.

В первой главе исследуются осесимметричные продольные акустические колебания трехмерной сплошной среды, вызванные срывом вихрей при обтекании потоком газа нескольких вложенных цилиндрических препятствий в бесконечном однородном цилиндрическом канале. Параметры среды скорость звука с и плотность ро предполагаются заранее заданными. После преобразований Прандтля-Глауэрта задача сводится к задаче на собственные акустические колебания около препятствий в канале. Введены декартова (ж, у, z) и полярная (г, ip, z) системы координат, оси которых г совпадают с осями цилиндрического канала и препятствий (рис. 1).

Рис. 1.Два вложенных цилиндрических препятствия. Ь - длина препятствий, и /г2 - радиусы препятствий, пронумерованные в порядке возрастания.

Установившиеся колебания потенциала акустического возмущения скорости описываются при помощи уравнения Гельмгольца и краевых условий, соответствующих физической постановке задачи.

ихх + иуу + uzz + oj2u = 0 u(x,y,z,t) = Re(e~iul4u(x,y,z))

6

(1)

Е(и)= [{\и\2 + \Чи\г)<К1<оо. (3)

J п

( с+ ехр(г^) + Еп=1ехр(+ггу/^§), г > 1/е

и(г,г) = < „ /-^г

I с0"ехр(-г^) + )ехр(-«^ "&),*<

(4)

Здесь (1) - уравнение, описывающее установившиеся колебания потенциала акустического возмущения скорости и с частотой из*, из = Низ*/с, Н - радиус цилиндрического канала. Далее в безразмерных переменных предполагается Я = 1, если не оговорено иное. (2) - граничные условия Неймана, которые должны быть выполнены на стенках канала и на препятствиях, п - вектор нормали к соответствующей поверхности. (3) - условие конечности энергии, О - область колебаний. (4) - условие излучения, е - достаточно маленькое число 1/е > Ь/2, /Зп ~ собственные значения оператора Лапласа в круге единичного радиуса с граничными условиями Неймана, пронумерованные в порядке возрастания.

/ ехр(гизг)и(х,у, г)(Ю, = 0. (5)

Уп

Параграф 1.2 посвящен сужению пространства допустимых решений при помощи условия ортогональности решения поршневой моде ехр (гизг) (5), которая является обобщенной собственной функцией канала как содержащего так и не содержащего тонкостенные препятствия.

В параграфах 1.3-1.4 сформулировано условие конечности энергии в окрестностях кромок препятствий и доказано существование собственных колебаний.

Рис. ^.Зависимость собственных частот от длин препятствий: а) для случая одного препятствия; б) для двух препятствий; в) для трёх

препятствий.

Параграф 1.5 посвящен акустическим собственным колебаниям около нескольких вложенных тонкостенных цилиндрических препятствий

одинаковой длины в канале (два вложенных препятствия показаны на рис. 1). Для одного, двух и трех препятствий получены зависимости собственных частот от длины препятствий Ь (рис. 2). Точками на рис. 2,а показаны результаты экспериментальных исследований аэроакустического резонанса в аэродинамической трубе ИТПМ СО РАН С. П. Бардаханова и О. В. Белая, сплошными линиями приведены результаты численного исследования собственных частот. Видно, что результаты численных исследований хорошо совпадают с полученными экспериментальными данными.

Из рис. 2 видно, что с увеличением длины препятствия Ь значения резонансных частот уменьшаются. Кроме того, увеличение количества препятствий ведет к увеличению количества мод собственных колебаний. Необходимо отметить, что Д = 3.831 является пороговой частотой для всех мод колебаний (например, первая собственная частота стремится к /?1 при Ь —у 0).

Рис. ^.Направление акустических скоростей потока около двух препятствий: а) - для первой моды собственных колебаний, б) - для второй моды собственных колебаний.

На рис. 3,а показано поле акустических скоростей потока около двух вложенных препятствий для первой моды собственных колебаний в фазе разрежения внутри первого препятствия и сжатия между вторым препятствием и цилиндрическим каналом. На рис. 3,6 изображено поле акустических скоростей потока около двух препятствий для второй моды собственных колебаний. Фаза разрежения здесь наблюдается внутри первого препятствия и между вторым препятствием и цилиндрическим каналом, а фаза сжатия - между препятствиями.

Проведенные исследования позволяют понять механику собственных колебаний для первых двух мод собственных колебаний около двух препятствий в канале. По оси г укладывается примерно половина стоячей волны. Из рис. 3,а следует, что собственные колебания есть перетекание

газа из области I в область III через области II, IV и V (рис. 1) и, наоборот, в зависимости от фазы колебаний. Для первой моды собственных частот существует одна область сжатия и одна область разрежения, колебания в областях I и III находятся в противофазе. Для второй моды наблюдаются две области разрежения и одна область сжатия, или наоборот, две области сжатия и одна область разрежения в зависимости от фазы колебаний. Колебания в области II находится в противофазе с колебаниями в областях I и III.

Рис. 4-Два вложенных цилиндрических препятствия разной длины в канале. Ь — длина внутреннего препятствия, Ь + 2Ь\ - длина внешнего препятствия, кг и /12 - радиусы внутреннего и внешнего препятствий,

соответственно.

Параграф 1.6 посвящен акустическим собственным колебаниям около вложенных тонкостенных цилиндрических препятствий разной длины (рис. 4). На рис. 5,а показана зависимость собственных частот от расстояния между кромками препятствий Ь\ для фиксированных радиусов препятствий = 1/3 и = 2/3 при фиксированной длине общей части препятствий Ь = 2. Из рисунка видно, что существуют два различных типа мод собственных колебаний, один из которых не зависит от расстояния между кромками препятствий Ь\, соответствующие ему собственные частоты являются собственными частотами внутреннего препятствия длины Ь. А соответствующие собственные колебания являются собственными колебаниями около внутреннего препятствия. Собственные частоты, которые зависят от Ь\ являются собственными частотами внешнего препятствия длины Ь+2Ьг, а собственные колебания являются собственными колебаниями около внешнего препятствия.

На рис. 5,6 показано поле акустических скоростей потока около препятствий для первой моды собственных колебаний (моды внешнего препятствия).

На рис. 5,в изображено поле акустических скоростей потока около препятствий для второй моды собственных колебаний (моды внутреннего препятствия). Фаза разрежения здесь наблюдается внутри препятствия, а фаза сжатия - между внутренним и внешним препятствиями. Эти колебания происходят около внутреннего препятствия, внешнее препятствие играет роль конечного канала.

Рис. 5. а) - Зависимость собственных частот от расстояния между кромками Ьъ Направление акустических скоростей потока около препятствий: б) - для первой моды собственных колебаний, в) - для второй моды собственных колебаний.

Во второй главе исследуются собственные акустические колебания около двух разнесенных по оси канала препятствий (рис. 6).

Рис. ^.Разнесенные по оси канала препятствия. Ь - минимальное расстояние между плоскостями, в которых находятся кромки препятствий; Ь^ и 1ц - длина и радиус левого препятствия; Ь2 и к2 -длина и радиус правого препятствия.

Собственные частоты слабо зависят от расстояния между препятствиями, это обусловлено условиями излучения (4), согласно которым взаимное влияние препятствий убывает по экспоненциальному закону, при удалении препятствий. Кроме того, количество собственных частот зависит только от длин препятствий и не зависит от расстояния между ними.

На рис. 7,а показана зависимость собственных частот от длины правого препятствия Ь2, Ь = 1 для Ьг = 2. Следует отметить, что существуют собственные частоты левого препятствия, не зависящие от Ь2 и собственные частоты правого препятствия, не зависящие от Ь\. При Ь2 —> 0 и Ьх = 2 собственные частоты стремятся к собственным частотам одного препятствия длины 2.

Рис. 7.а - Зависимость собственных частот от длины правого препятствия Ь2 для Ь\ = 2. Направление акустических скоростей потока около препятствий: б) - для первой моды собственных колебаний, в) - для второй моды собственных колебаний.

Для исследования механики собственных колебаний около препятствий в канале, произведены расчеты при (Ь = 1,1-1 = 2,Ь2 = 1,/п = 1/3, Л.2 = 2/3) для двух первых мод собственных колебаний. На рис. 7,6 показано поле акустических скоростей потока около препятствий для первой моды собственных колебаний (моды левого препятствия) в фазе разрежения внутри препятствия и сжатия между препятствием и цилиндрическим каналом.

На рис. 7,в изображено поле акустических скоростей потока около препятствий для второй моды собственных колебаний (моды правого препятствия). Фаза разрежения здесь наблюдается внутри препятствия, а фаза сжатия - между препятствием и цилиндрическим каналом.

В третьей главе исследуется влияние ступенчатых сужений канала на собственные колебания около находящегося в канале препятствия (рис. 8).

-Д~[лгД—л I ( А^хЛ—А

щрВзВда

а б 8

Рис. 8. Область колебаний около тонкостенного препятствия: а -двустороннее сужение, б - одностороннее сужение, в - двухступенчатое сужение. Тонкостенный цилиндр, вложенный в неоднородный канал, является препятствием - резонатором.

Зависимость собственных частот от величины сужения радиуса канала I исследовалась численно для Ь = 2,к = 1/2 и Ь = = 1/2, где Ь - длина препятствия, /г - радиус препятствия. На рис. 9 показана

зависимость собственных частот от величины сужения радиуса канала I для двустороннего сужения канала (рис. 8,а), пунктирными линиями показаны собственные частоты для Ь = 1, точками показаны собственные частоты для Ь = 2, сплошными линиями показаны собственные частоты препятствия в однородном канале, для сравнения. Сплошная линия ш = (3\/к\ является границей непрерывного спектра, = I — I - радиус суженной части канала. Из рисунка видно, что с увеличением I собственные частоты уменьшаются, а количество собственных частот может увеличиваться (собственные частоты могут появляться из непрерывного спектра). В данной задаче собственные частоты лежат в интервале 0 < и> < /З1/Л1 = /3\/( 1 — I), пороговая частота /З1/Л1, очевидно, увеличивается (рис. 9). При I —> 0 канал стремится к однородному, а собственные частоты препятствия в неоднородном канале стремятся к собственным частотам препятствия в однородном канале.

со

4.54 3.5 32.5-----------—-— _..............

2- '

1.5- _

О 0.05 0.1 0.15 / 0.2

Рис. 9. Зависимость собственных частот от величины изменения радиуса канала двустороннего сужения I (рис. 8,а). Показаны: пунктир,

— для Ь = 1; точки ... для Ь = 2; сплошные линии для колебаний в однородном канале. Нижняя граница непрерывного спектра оператора —Л (частота отсечки) и> = /З1Д1 — I).

На рис. 10,а пунктирными линиями показана зависимость собственных частот от изменения радиуса канала I для одностороннего сужения (рис 8,6) при Ь = 2, Н = 1/2, сплошными линиями показаны собственные частоты препятствия в однородном канале. Характер зависимости собственных частот от I существенно не отличается от случая двустороннего сужения канала (рис. 9), однако, собственные частоты убывают менее интенсивно. Следует отметить, что с точки зрения вариационной оценки, не имеет значения в какой плоскости г = ¿/2 или г = —Ь/2 происходит изменение радиуса канала, собственные частоты от этого зависеть не будут.

На рис. 10,6 показана зависимость собственных частот от изменения радиуса канала I для одностороннего двухступенчатого сужения (рис.

8,в) при Ъ — 2, /х — 1/2, /ц = 4/5. Этот случай отличается от двух предыдущих тем, что уменьшение радиуса канала происходит в области, содержащей цилиндрическое препятствие. Из рисунка видно, что с увеличением I, собственные частоты увеличиваются, при этом количество собственных частот может уменьшаться (собственные частоты могут уходить в непрерывный спектр). При I —> 0 собственные частоты двухступенчатого сужения стремятся к собственным частотам одностороннего сужения канала для I = 0.2.

а б

Рис. 10. Зависимость собственных частот от величины уменьшения радиуса I: а - для одностороннего сужения канала (рис. 8,6), б - для двухступенчатого сужения канала (рис. 8,в). Сплошными линиями показаны собственные частоты колебаний около цилиндрического препятствия в однородном канале.

Механика собственных колебаний в неоднородном канале существенно не отличается от механики собственных колебаний около тонкостенного препятствия в однородном канале.

Четвертая глава посвящена резонансным явлениям около радиально расположенных тонкостенных препятствий в кольцевом цилиндрическом канале (рис. 11).

х

Рис. 11.Препятствия в кольцевом канале, /г - внутренний (меньший) радиус кольцевого канала, Ь - длина препятствий по оси г.

Зависимость собственных частот от длины препятствий исследовалась численно, для К = 1/2, N = (3,4,6), где N - количество препятствий в канале. На Рис. 12,6 приведена зависимость собственных частот

от длины препятствий для ./V = 4. Следует отметить, что для малых величин Ь всегда существуют три подмоды 1-й моды собственных колебаний, соответствующие симметричному повороту на угол п = 1,2,4 (здесь и далее будут использованы обозначения для этих мод щ, п2 и пд). Механика колебаний на этих подмодах следующая: вдоль профиля пластин (по направлению г) укладывается примерно половина волны, амплитуды этих колебаний сдвинуты по фазе по окружной переменной (рис. 13).

§1

\А

..............^

¿20

Рис. ^^.Зависимость частот собственных колебаний от длины препятствий: а) - для N — 3; б) - для N = 4; в) - для N = 6.

На рис. 12 показаны зависимости собственных частот от длины препятствий для трёх и шести препятствий, соответственно. Для N = 3 существует только два различных типа колебаний (щ и пз), а для N = 6 четыре (щ, п2, щ и щ).

Рис. 13. Направление акустических скоростей потока первой моды колебаний: а) - случай 711; б) - случай п2, в) - случай щ.

Для исследования механики собственных колебаний около препятствий в канале, произведены расчеты окружной компоненты колебаний при (I/ = 1, N = 4). На рис. 13 показано поле акустических окружных скоростей потока первой моды колебаний п2 и щ, соответственно.

В каждый момент времени существует одна область сжатия и одна область разрежения для колебаний щ, две области сжатия и две области разрежения для колебаний п2 и четыре области сжатия и четыре области разрежения для колебаний п4. Собственные колебания п2 обладают симметрией относительно поворота на 7Г. Собственные колебания щ обладают симметрией относительно поворота на тт/2.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в ходе проведенных исследований

1. Акустических колебаний около нескольких тонкостенных цилиндрических препятствий в однородном круглом цилиндрическом канале.

• Получены зависимости собственных частот от количества вложенных препятствий, от их геометрических параметров и от их взаимного расположения.

• Получены зависимости собственных частот от геометрических параметров разнесенных по оси канала препятствий и от расстояния между ними, Показано, что разнесенные по оси канала препятствия слабо влияет на собственные частоты и собственные колебания около друг друга.

• Получены поля скоростей и распределения плотности газа для собственных колебаний, соответствующих первым модам частот собственных колебаний.

2. Влияния ступенчатых сужений цилиндрического канала на собственные частоты препятствий, расположенных в этих каналах.

• Получены зависимости собственных частот и их количества от геометрических параметров канала.

• Показано, что собственные частоты колебаний около тонкостенного препятствия понижаются при сужении канала, не содержащего препятствия, для всех мод собственных колебаний и повышаются при сужении той части канала, в которой содержится препятствие.

3. Акустических колебаний около радиально расположенных препятствий в однородном кольцевом цилиндрическом канале.

• Получены зависимости собственных частот от количества препятствий и от их геометрических параметров.

• Изучены собственные колебания около трех, четырех и шести радиальных препятствий в канале, получены поля скоростей и распределения плотности газа для первых частот собственных колебаний.

Список работ автора по теме диссертации

1. Хасанов H.A. Акустические колебания газа вблизи вложенных тонкостенных цилиндрических препятствий в канале //ПМТФ. 2011. вып. 4. С. 91-99.

2. Хасанов H.A. Сухинин C.B. Собственные акустические колебания около тонкостенных препятствий в кольцевом цилиндрическом канале// Сибирский журнал индустриальной математики. 2013. т.16, №1. С.116-125.

3. Хасанов H.A. Сухинин C.B. Собственные осе-радиальные акустические колебания около тонкостенного препятствия в цилиндрическом канале со ступенчатыми сужениями// Сибирский журнал индустриальной математики. 2013. т.16, №4. С.132-141.

4. Хасанов H.A. Акустические колебания около цилиндрических препятствий в канале. // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», Новосибирск 2009 С. 214-216.

5. Хасанов H.A. Акустические собственные колебания около системы цилиндрических препятствий в канале // Тезисы докладов VII всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория эксперимент и новые технологии», Новосибирск 2009 С. 145-146.

6. Khasanov N.A., Sukhinin S.V. Acoustic oscillations of the system of cylindrical obstacles in channel // Proc. of ICMAR-2010. Vol. 2. P. 105-107.

7. Хасанов H.A. Собственные акустические колебания около тонкостенного препятствия в цилиндрическом канале со ступенчатыми сужениями // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Современные проблемы науки и образования в техническом вузе», Стерлитамак 2013 С. 40-44.

Ответственный за выпуск Хасанов H.A. Подписано к печати 10.02.2015

Формат 60x84 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии «Издательство ФГБОУ ВПО НГПУ» 630126, Новосибирск, Вилюйская 28.