Спектральная теория и возбуждение открытых двухмерных резонаторов с неоднородными диэлектрическими и плазменными включениями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

АКАДЕМШ НАУК УКРАИШ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ РАДИОФИЗИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ

На правах рукописи УДК 537.874.6

БРОВЕНКО Андрей Викторович

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРШ И ВОЗБУЖДЕНИЕ ОТКРЫТЫХ ДВУХМЕРНЫХ РЕЗОНАТОРОВ С НЕОДНОРОДНЫМИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИ И И ПЛАЗМЕННЫМИ ВКЛШЕНШМИ

( 01.04.03 - Радиофизика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Харьков - 1992

Работа выполнена в ордена Трудового Красного Знамени

Институте радиофизики и электроники АН Украины

Научный руководитель . -

Официальные оппоненты

Ведущая организация

академик АН Украины, доктор физико-математических , наук, профессор ШЕСТОПАЛОВ Виктор Петрович

доктор физико-математических наук Сиренко Юрий Константинович (ИРЭ АН Украины)

доктор физико-математических наук

Азаренков Николай Алексеевич (ХГУ)

) , ■

Днепропетровский государственный университет

Защита состоится "2.6 1993 г. в час.

на заседании специализированного совета Д 016.64.01 при 1РЭ АН Украины (ЗЮОФ, Харьков-65,ул.Акад.Проскуры,1Е).

С диссертацией ыохно ознакомиться в библиотеке ИРЭ АН Украины.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат.наук

«&ЬпГде.1<10_5ра. 1992 г.

К.А.ЛУКИН

4е.ч

ГОСУД/ :.... Н. л?, ;,п

бивлкогькА

- 3 - —' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В связи с освоением коротковолновых диапазонов электромагнитных волн (от сантиметровых до миллиметровых и суб-ыиллиметровых) широко применяются открытые резонаторы (ОР), состоящие из металлических незамкнутых поверхностей различной формы.

С помощью ОР можно, например, определять поверхностные свойства металлов, степень поглощения энергии в газах, осуществлять диагностику плазмы и электронных потоков. Кроме того, открытые резонаторы используются в квантовой и дифракционной электронике при создании генераторных и различного рода усилительных устройств.

Такое широкое использование ОР требует разработки эффективных численных алгоритмов расчета спектра их собственных частот (колебаний). Особенно это касается электродинамических структур типа открытых резонаторов с внутренними неоднородностями (диэлектрики, ме-таллодиэлектрики, магнетики, плазменные среды и др.) Теоретическое исследование ОР, содержащих различные неоднородности, длительное время проводилось асимптотическими методами.

Асимптотическая теория пустых ОР /1-3/, основанная на предположении малости длины волны по сравнению со всеми характерными размерами резонатора, позволяет определить только часть спектра. До сих пор в полной мере не решен вопрос о границах области применимости этой теории / 3 /. В то же время в технике миллиметровых1(мм) и субмиллиметровых (субмм) волн обычно размеры ОР всего в несколько раз превышают длину волны. Ситуация значительно усложняется, когда ОР содержит неоднородности, размеры которых порядка длины волны (резонансные неоднородности). В этих случаях для описания явлений дифракции волн в таких открытых структурах асимптотические теории уже напригодны.

В работах / 4,5 / впервые в строгой постановке получено математически обоснованное и эффективное решение краевых задач а свобод-* них и вынужденных электромагнитных колебаниях для одного класса двухмерных открытых резонаторов с однородными диэлектрическими включениями. Зеркала ОР этого класса моделировались конечной системой. бесконечно тонких идеально проводящих незамкнутых круговых цилиндрических областей, заполненных однородными изотропными средами с комплексными диэлектрической и магнитной проницаемостями. Длина волны, геометрические параметра зеркал ОР, их взаимное расположение,а также параметры включение изменялись в широких пределах. В частности^ волновые размеры (Р -с включениями были и такими, когда существующие

- 4 -

асимптотические модели неприемлемы.

Для различных областей радиофизики, биофизики, физики плазмы, акустики, гидродинамики и др. большой интерес представляют исследования дифракционных и спектральных свойств ОР с различными неоднородными включениями, в которых материальные параметры включений зависят от пространственных координат либо, что важно для физики плазмы, от частотных параметров структуры.

С теоретической точки зрения интерес к задачам на собственные частоты (колебания) и задачам возбуждения для такого класса электродинамических структур обусловлен тем, ,что не существует общих строгих методов решения этих задач, когда включения в ОР имеют -произвольную форму и произвольные свойства. Анализ электродинамических 'свойств самого неоднородного включения уже представляет существенную трудность.

Создание полупроводниковых приборов различного назначения,работающих "в мм диапазонах длин волн, требует детального и широкого изучения свойств различных плазменных структур. Ддя этих целей, как уже отмечалось, используются открытые резонаторы. Однако диагностика плазмы с помощью ОР основывается на методе малых возмущений /б/, либо на асимптотических методах /I/. Эти подходы обладают рядом недостатков. Так, при осуществлении диагностики плазмы с помощью метода малых возмущений (метода Слетера) предполагается,что наличие плазмы в резонаторе приводит к незначительному смещению частоты "пустого" резонатора. При этом метод Слетера математически обоснован только для применения его при исследовании закрытых электродинамических структур. Кроме того, метод Слетера и методы /I/ в случае, когда резонансная длина волны соизмерима с геометрическими параметрами резонатора или плазменного включения, становятся неприемлемыми.

В данной диссертационной работе, впервые в строгой постановке получены математически обоснованные и эффективные решения задач о свободных и вынувденных колебаниях круговых двухмерных открытых резонаторов с включением в вцце:

1. кругового слоисто-радиального цилиндра, каждый слой которого заполнен однородной изотропной средой с комплексными проница-емостями (рис,1а);

2. кругового изотропного цилиндра, проницаемости которого-аналитические функции его радиуса (рис.16);

3. однородного анизотропного плазменного цилиндра (рис.1в).

Целью работы является:

1. Построение строгой в математическом отношении спектральной теории для двумерных открытых резонаторов с указанного вида неод-нородностями.

2. Создание эффективных вычислительных алгоритмов для расчета спектра собственных частот и колебаний такого класса электродинамических структур.

3. Проведение детального количественного и качественного анализа спектральных и дифракционных характеристик исследуемых структур.

Научная новизна и достоверность. В работе на основе метода задачи Римана-Гильберта (ЗРГ) с использованием свойств аналитических (мероморфных) оператор-функций впервые получены математически обоснованные и эффективные решения задач на собственные и вынужденные колебания рассматриваемого класса открытых электродинамических структур.

В итоге впервые разработаны эффективные вычислительные алгоритмы для численного анализа спектральных и дифракционных характеристик исследуемых электродинамических структур, что дало возможность провести их количественный и качественный физический анализ.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием строгих методов решения задач, наличием численной сходимости

и предельных переходов к соответствующим "эталонным" краевым задачам.

Практическая ценность работы заключается в том, что в ней построены строгие математические модели, не требующие априорных ограничений на параметры ОР, диэлектрических либо плазменных включений.

Проведены исследования электродинамической системы г ОР с многослойным диэлектрическим включением, которая может быть представлена, как строгая модель резонансной ячейки радиоспектрометра магнитного резонанса, работающего в мм диапазоне длин волн.

Результаты такого веда исследований могут быть полезными при создании радиоспектроскопических комплексов, обеспечивающих измерение пространственной структуры парамагнитных центров в диэлектриках.

Кроме того задача.об открытом резонаторе с включением в виде многослойного диэлектрического цилиндра представляет практический интерес для анализа процессов, происходящих в плазменно-Лучковых системах.

Проведенные исследования ОР с плазменным включением могут быть использованы при диагностике магнитоактивной плазмы; ■

Методика исследования. При решении задач на собственные- частоты (колебания) и задач возбуждения использовались метод разделения переменных в локальных полярных системах координат, теоремы сложения для цилиндрических функций и метод регуляризации краевых задач в форме метода ЗРГ.

Диссертационная работа содержит 135 страниц основного текста, 49 рисунков, список литературы на 10 страницах из 90 наименований, включая публикации автора. ...

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации обоснована актуальность темы» сформулированы цели работы, описана применяемая методика, кратко охарактеризовано содержание- диссертации и приведены основные результаты и выводы, выносимые на защиту. ;Г

В первой главе' описаны постановки и решения спектральных задач для открытого резонатора с включением в виде кругового' слоисто-радиального цилиндра, кавдый слой которого'заполнен однородной изотропной средой с комплексными проницаемостями £ ; - Д/ ; лг' -

= 1,2,3,...л/ ; />/ -число слоев, а также в вцце кругового изотропного цилиндра с проницаемостями, зависящими от пространственных координат :

£(г)= ¿^„е", о* г<

п п = 0 --4 = 0

где о - радиус цилиндра; £Ц = \Да+уг , (У, у) - система координат в поперечном сечении цилиндра.

Пусть А -риманова поверхность аналитического продолжения по частоте функции Грина уравнения Гельмгольца. Задача состоит в определении значений спектрального параметра ьл (собственной частоты ой = С I С - скорость света в вакууме), при которых существуют ненулевые решения уравнения

(В и) (х,у) + у) К (к </> о,(х, у)е (Ли 4-) \ В 53, (I)

удовлетворяющие однородным краевым условиям

= о ( j =1»2) В Е -случае либо

^ (2)

0 - =1'2) В Н ^"У4^' ;

условиям сопряжения

(3)

/ + -\] о ( , 1 - п

(ц - ц Нъ£ Шэг - То эг )1Ъ£-°>

условию Мейкснера и условию излучения Рейхардта: существует О такое, что для всех 2 > Я0 функция и (X, у) представляется в ввде:'

- /77=- ОО

г '

ли

Здесь (В и) (X, у) =

- 8 -

Д - оператор Лапласа в полярных координатах;

Г Ш в Н-случае ffe^о

= J У)= \

I ß(S) в £-случае, [ОД/^); &

П - внешняя нормаль к Sj , L - внешняя нормаль к границе 53—Ъ S3 ; Lii » S-Ц ~ - предельные значения £-£ и ^^ на гЗз ~ изнутри OL53 и "-" - извне).

Функция

Г Е в Е-случав

и= {

I В (-(-случае,

а все остальные компоненты собственного поля определяются из однородной системы уравнений Максвелла.

В случае,, когда, S3 ~ круговой,, слоисто-радиальный цилиндр, условия (3) преобразуются к виду:

J

f М; в Е -случае

у. = FJ --

J l£j в H - случае

j Lj -окружность

радиуса 2 .

Методом разделения переменных в локальных полярных системах координат с учетом теорем сложения для цилиндрических функций и стандартной процедуры метода ЗРГ задача (1)-(4) сведена к системе линейных, однородных алгебраических уравнений

2а= t,L.P£(fi)*k5-i'2'5iie'Z' (5)

О р=1 т о

матричные элементы Рат которой -мероморфные функции

спектрального параметра 0 $ е /[ .

Асимптотические оценки для Fqm(&) > S i р =1 »2,3 при Iо /т) —> 00 с учетом асимптотической оценки для

' ^исыващей неоднородность (в частности слоис-то-радиальность) диэлектрического включения, аналогичны оценкам в /4,5/, следовательно, в пространстве £ матрицы Ц (ß)j/

задают ядерные конечномероморфные оператор-функции при $ е

Поэтому, систему (5) можно рассматривать как операторное уравнение в гильбертовом пространстве

л

Н= 2

ZJ 2& z3

п _ +00 я2

• Z = Cz ) e^n=i;2;3

' v, со »

. вида

где I -единичный оператор в Н , б -нулевой элемент в ¡-j ;

pc^iipfrmuJ,

Показано, что \-> {R)-ядерная оператор-функция, аналитическая как функция £ и Jtf в случае, когда включение в ОР - круговой слоисто-радиальный диэлектрик, и конечномероморфная как оператор-функция от & _£ У\. (либо, что тоже самое, на римановой поверхности (р.п.) функции Ln(k) )

Используя аналитические свойства операторнозначных функций в гильбертовых пространствах, установлено, что спектральная задача (1)-(4) и задача на характеристические числа оператор-функции 1 - Р(^) эквивалентны.

В итоге построен эффективный вычислительный алгоритм для приближенного расчета с помощью ЭВМ спектра собственных частот исследуемых структур. Он состоит в том, что корни полученного дисперсионного уравнения d&t(i~ P(k))= 0 аппроксимируются с любой наперед заданной точностью корнями уравнений

det(J - Vfi/Р (&)Va/) - О • Здесь V/V -ортопроектор на конечномерное подпространство пространства j-j , а ^ - порядок редукции. Возможность такой аппроксимации обоснована свойствами Р(ё) (ядерность, конечномероморфность) согласно операторному обобщению теоремы Руше /7/.

Во второй главе ставится задача о вынувденных колебаниях (задача на построение функций Грина), состоящая в следующем:

Пусть' в некоторой точке М С R с координатами (*<>! Уо) £ 53 сосредоточен точечный монохроматический источник (временная зависимость выбрана в виде е-1"10^ ) и пусть

'"Т^ГОИ + f(b У)ё4

G(M =

- 10 -

0 ; &= /¿оJ4о » 60 ~ частота источника; £0 , pg -параметру среды^ причем jL (£„) и J0; £= 1/(*-х0)*+(</-у0)г;

Функцию 2) ((no (*> У> x°> )) называем функцией Грина,

если для нее справедливы следующие условия:

I. Geo fa, £/> - решение неоднородного операторного

уравнения вида:

(В у, *о, Уо))х> у + у)

2« Geo & У> i/o) удовлетворяет однородным краевым условиям: типа Дирихле ( Е -колебания); типа Неймана (Н -колебания) на Sj / j =1,2/.

н) удовлетворяют условию Мейкснера на любом компакте в I не содержащем точки М и наконец £ удовлетворяет условиям сопряжения на 9 S3 вида:

4. (G4- С~)1Ъ5=о; )lds/°-

Здесь У" У») - функция Дирака, а а - внешняя

нормаль к Ъ Бз .

Аналогично изложенному ранее, получаем, что задача на определение (Ц; г) , а точнее ' эКвивалентна системе

линейных алгебраических уравнений 3--

э =1,2,3; £ е 2 , где ^ е [ .

Пусть $ =. ($а)з=4 • Тогда (6) представляется как операторное уравнение в веда:

где £ = - аналитическая оператор-функция $: Зт($)V 0.

Из (7) получаем:.

2 = = , а Яр (&) г- (I- РС®~'-1-резольвента

-л я Фредгольма.

Зная значения 2=2 (к) при £ •' Лт ($) ^ О ,

получаем ^ > где ~ Их коэффициенты Ьурье, а следо-

вательно и саму функцию Грина (к; 2) для случаев Е и Н -поляризованных колебаний.

Для 2) доказаны теоремы существования и единствен-

ности, исследованы их свойства как функций от $ ; , ^ и углов раскрыва зеркал резонатора /5 =1,2/.

В итоге обоснована возможность и построено аналитическое продолжение С- Ф> 2) по $ с верхней полуплоскости комплексной плоскости до функции, мероморфно зависящей от $ на р.п. функции 1_п ($) > причем множество ее полюсов при этом совпадает со спектром собственных частот соответствующей спектральной задачи.

В третьей главе на основе построенного вычислительного алгоритма (систематические расчеты показали, что для вычисления собственной частоты с точностью 4-5 значащих цифр достаточно выбирать А* по формуле,

. где [.. . ] - целая часть числа) с помощью ЭВМ проведен количественный и качественный физический анализ двухзеркального открытого резонатора с включениями вида:

1. двухслойного диэлектрического цилиндра, слои которого заполнены однородной изотропной средой с комплексными диэлектрическими проницаемостями;

2. двухслойного металлодиэлектрического цилиндра, внешняя граница которого - диэлектрическая, а внутренняя - идеально проводящая .

Исследования проводились для - поляризованных колебаний.

- изучены зависимости резонансной частоты, дифракционных потерь и добротностей основных типов собственных колебаний при вариации геометрических и материальных параметров рассматриваемых структур;

- исследованы так называемые.; "междутиповые колебания" с помощью морсовских критических точек и установлено, что взаимная трансформация колебаний (на примере собственных колебаний Ноз" и

Н щ -типов) происходит как при вариации геометрических так и материальных параметров, находящегося в резонаторе диэлектрического включения, а замена одной из границ ("внутренней") двухслойного

диэлектрика на идеально проводящую может приводить к "разрушению" "связи" собственных колебаний.

Кроме задач на свободные колебания детально исследованы характеристики вынувденных колебаний рассматриваемого класса электродинамических структур (задачи возбуждения исходных структур плоскими волнами).

В результате построен ряд толографий (линий равных амплитуд 1Н?1 = cons^ ) электромагнитных полей, 'позволяющий визуально определять характер колебательных процессов в исследуемых структурах, что может быть использовано при экспериментальных исследованиях.

В четвертой главе строго в математическом отношении рассмотрены спектральные задачи для открытого резонатора с круговым плазменным цилиндром, состоящие в определении значений спектральных параметров /? еУ1 (р.п. функции 1п (А) ), при которых существуют ненулевые решения следующих краевых задач (в качестве спектрального параметра здесь также выбрана частота СО = $ с );

А. Случай £ - колебаний

Ли + = 0; сх, у) е /?\ (5, и 5г)\ 53 (д)

ДЯ +. &ги - & №(& + М) И= 0; (х,у)е53

-а

(ю)

Кроме того 1£(х,у) (Ц ~ £ должна удовлетворять условию Мейкснера и условию Рейхардта.■ ■

Б. Случай - колебаний

д\/ + ^=0;(х,у)е/у с/ \ 53

Ъп

= 0 /У=У, 2/

(12)

3

(V-v-J/av«"13"

Р/Ь&ж^+яПь"-

Аналогично случаю El - колебаний \/ (x, y )(V= H 2) Д0Л)КНа Удовлетворять условиям Мейкснера и Рейхардта„

Здесь Л = » ? = » гДе

г , (Dp2 (¿J + ¿y) . _ u)p gje_

Cf .Gd((üj+L\j¡)a-ÉOc«J ' W^üTTÜJT^ , a

и)р= У^^т ^ ~ плазменная частота, и). = е -электронная

г ' т о с. т с

циклотронная частота ( /-/ - постоянное магнитное поле, направленное вдоль оси цилиндра) и - эффективная частота столкновения электронов, а 6 - и т - соответственно заряд и масса электрона, А/ - концентрация электронов; к^ = , Кс=_-~ и V = ^ внешняя нормаль к поверхности (¿3 = и 35^),

причем ^^ н75Е. ' У*) А и '53 - '

Аналогично изложенному выше спектральные задачи А и В эквивалентным образом сведены к задачам на характеристические числа матричных фредгольмовых оператор-функций вида:

где (3(к)= В (Ь, Ир, #с, V, ... ) - ядерная оператор-функ-

ция, конечномероморфная как функция Ц на р.п. Ьп (к) .. _

Следовательно, для оператор-функции I - &р>

имеет смысл характеристический определитель

¿е-е (I- в ^

Лр ($) -собственные значения оператора В ( $ ) •

Нули введенного таким образом определителя, т.е. £ р. п. с/е{ (I - В )) = 0 и будут искомыми значе-

ниями соответствующей спектральной задачи.

Наряду с задачами А^ч р исследованы "предельныеспектральные задачи при $ + I ± й± ^ и

$ , где и полагались кошмексными.

Для определения : с/е£СГ~_в ® составлен па-

кет прикладных программ и для случая У =0 методом Ньютона с помощью ЭВМ проведен рад численных экспериментов в предположении,что / ^ 1&1 ^ -полагалась вещественной).

Р *

В итоге

- исследованы спектральные характеристики (Re(fta) , Ут($а) , Lg (Q) ) при вариации плазменной частоты, диаметра-плазменного

цилицдра и электронной циклотронной частоты для колебаний. Ноз ~ и H^d ~ типов в диапазоне их "связи";

- построены линии равных амплитуд f-| 2 - компоненты вынужденных колебаний при-различных значениях диаметра плазменного цилиндра; - _

- на примере: колебаний Но{~ и Но2 -типов исследованы зависимости собственных частот и добротностей собственных колебаний при изменении расстояния между зеркалами.

п , п

В приложении I. приведены выражения для величин Кт ,

И Л^ » а та1®е ¡1гп И <рг » использовавшихся в первой главе. • -

В приложении■П приводятся линейные афинные' замены эе = & (эе, £а) ; ^п-^яС^' • которые преобразуют квад-

ратичную Форму Р(дё, £п) = А дег + ¿В ве £п + С ^ +5" • к вцду - /Г(эе, 4>= эе2+ ¿^б1 .

В приложении Ш " содержатся исследования матричных элементов В^п С ПРИ больших значениях электронных циклотронных

частот с . .

ОСНОВШЕ РЕЗЖ)ТА1Ы И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1,1. Получены решения краевых задач о свободных и вынужденных электромагнитных колебаниях двухмерных открытых резонаторов с неоднородностями ввда:

а) кругового слоисто-радиального циливдра, каждый слой которого заполнен однородной изотропной средой с комплексными лроницае-. мостями; ,

б) кругового, изотропного цилиндра с проницаемостями, аналитически зависящими от его радиуса;

в) однородного анизотропного плазменного цилиндра.

2. Показано,-что спектр собственных частот рассматриваемого класса открытых электродинамических структур - дискретный и .конеч— нократный. -.'.>■

3. Построены математически корректные вычислительные алгоритмы для расчета спектра собственных частот исследуемого класса

- 15 -

открытых электродинамических структур.

П. В результате проведенных численных экспериментов установлены следующие закономерности:

- показано, что внесение,в открытый резонатор диэлектрической трубки приводит к смещению его собственных частот для всех рассмотренных типов колебаний в длинноволновую область;

-для колебаний Н ог~ и Н<2 -типов показано, что наибольшие значения добротности при вариации диэлектрической проницаемости среды внутреннего слоя достигаются в случае, когда их резонансные длины волн соизмеримы с диаметром внутреннего слоя, находящегося в резонаторе, двухслойного диэлектрического цилиндра;

- показано, что для колебания Ног -типа введение в область внутреннего слоя идеальной среды (в отличие от вакуума и среды с поглощением) существенно изменяет зависимость дифракционных потерь от диаметра внешнего слоя.

С помощью морсовских критических точек исследованы явления "мевдутиповой связи" колебаний , возникающие при вариации как геометрических, так и материальных параметров такого класса структур.

Ш. Предложен новый подход к исследованию спектральных и дифракционных характеристик, открытого резонатора с однородным анизотропным плазменным цилиндром кругового поперечного сечения.

Показано, что

- увеличение диаметра плазменного цилиндра в отличие от диэлектрического приводит к смещению собственных частот всех типов колебаний структуры в более коротковолновую область;

- в доконфокальной области расстояний между зеркалами (на-примере колебаний Hol" и Ноа ~типов) увеличение плазменной частоты приводит к повышению добротности резонатора, а в законфо-кальной к понижению.

Публикации, отражающие содержание работы.

1. Бровенко A.B. О вынужденных колебаниях открытого резонатора с.• неоднородным диэлектрическим включением.-Физикаи техника мм и субмм волн. Харьков, 1986.-С.3-8- (Препринт/АН УССР.Ин-т радиофизики и электрон.; J£5).

2. Бровенко A.B. Численный алгоритм для расчета спектральных характеристик двумерного открытого резонатора с неоднородными диэлектрическими включениями //ДАН УССР, серия А.-1988,№1С.51-64.

3. Бровенко A.B., Мелекик П.Н., Поединчук А.Е. Спектральные характеристики открытых ыеталлодиэлектрических резонаторов //Всесоюзная конференция "Проектирование радиоэлектронных устройств" на диэлектрических волноводах и резонаторах". Тез.докл.-Тбилиси: 1988.-С.83-89.

4. Бровенко A.B. Спектральные характеристики двумерного открытого металлодиэлектрического резонатора //Областная научная конференция молодых ученых и специалистов. Тез.докл.- Харьков:1989.С.4.

5. Бровенко A.B. Меадутиловые колебания открытого двухмерного двух-зеркального резонатора с диэлектрическим включением //Областная научная конференция молодых ученых и специалистов. Тез.докл.-Харьков: 198Э.С.5.

6. Бровенко A.B."О спектре двухмерного открытого металлодиэлектрического резонатора //Областная конференция молодых ученых и специалистов РИ АН УССР. Тез.докл.-Харьков: 1989.С.22.

7. Бровенко A.B. О морсовских критических точках и их связи с собственными мездутиповыми колебаниями двухмерных открытых метал-лодиэлектрических резонаторов //I Украинский симпозиум "Физика и техника мм и субмм радиоволн".Тез.докл.-Харьков; I99I.4.I.-С.67-68.

8. Бровенко А.В.,Меледик П.Н., Поединчук А.Е. О спектральных характеристиках двухмерного открытого резонатора с плазменным включением //I Украинский симпозиум "Физика и техника мм и субмм радиоволн". Тез.докл.-Харьков; I99I.4.I.-C.69-70.

Цитируемая литература

1. Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы.-М.: Сов.радио, 1966.-475с.

2. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн.-М. :Наука, 1972.-456с.

3. Арнольд В.Н. Моды и квазимоды. Функ.анализ и его приложения, 1972, Т.6, в.2,С.12-20.

4. Шестопалов В.П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур.- Киев: Наук.думка, 1987.-288с. ,

5. Строгая теория открытых двумерных резонаторов с диэлектрическими включениями /В.Н.Кошпаренок, П.Н.Мележик, А.Е.Поединчук,

B.П.Шестопалов.-Изв.ВУЗов,сер.Радиофизика,1986, Т.28, »10,

C.I3II-I32I.

6. Слетер Д. Электроника сверхвысоких частот: Пер. с англ./Под ред. С.Д.Гвоздева, К.: Советское радио, 1948. 191с.

7. Гохберг И.Ц., Сигал Е.И. Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы Руше. Матеы.сб.,1971,Т.84,в.4.,

С. 607-629.