Спектральная теория самосопряженных граничных задач для дифференциально-операторного уравнения типа Штурма-Лиувилля с вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах ру

БОНДАРЕНКО Николай Петрович

СПЕКТТАЛЬНАЯ^таОРиЯ" ~

САМОСОПРЯЖЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ {ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ

ТИПА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

01.01.01 —- математичесзий анпппп

Автореферат

диссертации на сойсзапие ученой степени кандидат* фпппко-математипескнх наук

Киев • 1994

Работа выполнена на кафедре математического анализа Киевского государственного университета им. Т.Г.Шевченко. ,

Научный руководитель : доктор физико-математических наук профессор ГОРБАЧУК М.Л.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук ВАЙНЕРМАН Л.И.

кандидат.физико-математических наук ЛЕВЧУК В.В.

Ведущая организация : Львовский государственный университет

Защита состоится " _" __ 1994 г. в__час

на заседании специализированного совета Д. 016.50.01 при Институте математики HAH Украиня по адресу! 252601, Киев-4 , ГСП , ул. Терещенкввокая, 3.

С днссертадией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат рязоллвк "______________ 1994 г.

?чшый."оехретрр1- ("V; ■

•тепивли?»']лп>?нног'! со та ГУСАК г<, S,

ОЫШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ'

-------Актуальность тень-. Настоящая работа поевяшеиа спектрально!!

теорки граничных -"¡дач для т-'Аеренциально-опзуатсрного"уртг"-нения нида

где А - самосопряженный полуограшпенкый снлзу оператор о сепа-рабелъном гильбертовом пространстве. Н , - нгПрег^ЕИ 1Я пс-ло.ш'.телькая на (0,<) гумкай я. К ураьненлям такого сорта приводят многие задачи спектральной теорки обыкноаенньт: дяЭДереици -Г-*??,«}Г? урчрчттй» уршнеим * -«„¿«¡дл; . _ «тагт» -

ИТ.ррореш«!ыьних и друг/х уьттс.,,-.!.

3 случае, когда <?Ш * 1 на Со, £] , спектральная теория граничных задач для уравнения /I/ Сила развита и работах многих математиков: А.Г.Коствчеико и Б..'¿.Левитана, ¿.С.Рсре-Еекето^а, З.З.Лянце и О.Г.Сторожа, В.И.Гсрбачук и У.Л.Гсрбачука, М.Л.Гор -бачука, А.Н.КочуОея, Л.И.Вайнерманй, В.М.Брука, В.А.Михайлеца, В.В.Левчука, Б.Й.Княха, Г.Д.Орудхвва, М.Зоуз я др.

• В случае, когда на концах интервала шрохдается илд обращается в бесконечность, исследования до сих пор проводилась главным образом в конечномерном Н /см, М,Ц.ГохбергГ.КреЗя. "Теория йольтерроввх операторов в гильбертоясы пространстве и ее Приложения" - Ы.: Наука,1967 /, В случае бесконечномерного И исследования, вообще гогоря, не было, хотя она представляет янч-читвяьиый интерес для уравнений мзтематическоЯ '»изкмг ,т.пу хяк з силу неограниченности оператора А уравнение /I/ ссдер.гит г» себе многие уравнения в чзотннх произведших.

Заметим* что вырождение ^(Ь) на концах :'лс ^рналз, а так.«п т^огрйютеннесть оператора А приводят к появлетто ноя.кх -ЭДчр-тсгв по сравнении с коиечнюмфкод ситуацией в елучзд <?(!) и бесконечномерной ситуацией при отсутстви я-чу-«- му>н?!!г.

Цель дайкой работа - построение спйх-грзлы'пК теор г я с^гх граничных задач дяя уравнения Л/.епкеаняв мякгяу«*1ивх

тгтвнвх /в том гаЬегопря^еяннд/ -плач •й*<У880~згп'»

г

ри ИХ СиЬкТЩ,

Штора исследования. В работе попользуются методы спектрадь -ней теория операторов, теории бинарных отношений ь гильбертовом пространства.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следувдие результаты:

I/ исслвдовааа структура областей определения шдашаяьного и максимального операторов,связанных с уравнением /!/•,

2/ дано оаисакйз всех максимальных диссипатквных, в частности, самосопряженных граничных задач для уравнения /I/;

3/ в случае, когда спектр оператора А .фигурирущвго в уравнении /I/, является дискретным, описан класс максимальных диссипв-тйвннх граничных задач, спектр которых дискретен.

Адробаккя работы.-Результаты диссертации докладывались на семинаре по ди$'£еренщ!аяьным уравнениям в частных производных Института математики ПАН Украины, на международной математической кон-фер^кции» посвященной памяти академика М.Ф.Кравчука /1992 г./.

ЩСлгкации. Основные результаты диссертации опубликована в ро-Зстях, список которых пряведгн в конце автореферата.

Об"ем рабсты. Диссертация состоят из введения, двух глав,списка тапируекой литературы из 3? наименований и зандаэет 78 стрэ-ияп мотшормясгс толста.

СОИТЖУЖЕ РАБСУШ

Р глаиг-1 опгевпа структура областей.опредвлегая максимально-гс г :«?нтий!!сгг орерзгсров.снязаяиых о уравнением /I/, к дан ск$-аиЗ грв;т'!"т'Л№ ус.аегк*!, аоро*рд»кик каксвиолькнв дкссяяатвзняв я вктр'уяктг.йН'.'г, в частное:«, ечкзеэпряяекнке расшраняя минвмаж.- -ного опера гор* «рз >о_яс.чха, что ] < «»

¡¡я т-коггпм ?гЛПевТ->|= вида » где

гп - лч»оз г'гсгггч.ьч-с чково. £ Й(Аг) - ойлзс» оп~

р.-м«ь«я сг.-р»ллг.?./, С" (О,О / 0^(0,- пноте'.;тво

п; сг^-гтрр 1-1 Ц у - » ГЛ5

i ГуШ) » r-y"(t}+A\(t)l, /8/

• : Как это следует из формулы интегрирования по частям, оператор Ц,

эрмитов. Замыкание L0 оператора L'0 ^пространстве 1^(8,(0,1?),--------

называется ^игжальнш оператсхюм .пороз-дпяным ^нрэжэние?'. /2/.Сопряженный к L0 й оперцтор L^ называется максимальным.

Пусть G( А) - скалярная непрерывная на £о,<*>) фу ¡пап: п тлнад. что 0< С< G(A> .где с = const и jW £(А) = 00 .Область определения D(G(А)) самеоопрягенного оператора G (А)- H^AVi Fx >

■ ■ 0

где гд - pa3v"C'T.6irae единицы оператора А .образует ггльЧертово пространство Но 'ЫйС¡diiTWrsTTo етлярното проиаЫдйша

/(.,.} - скалярное произведение в Н /,являющееся пространством 6 позитивной нормой э смысле Ю.М.Березанского. Пространство с негативной кермой,сопряженное к относительно (. > <) .обозначим . 1аким образом,змеем цепочку плотно й непрерывно вяоженннх друг з друга пространств

HfrCHcH^

Пространство Не »построенное по функггли G(A) = еЛ ,оЗознгт.».м Не .сопряженное к нему - Hé « Пусть А - замакание в H¿ сужения оператора А на 3}(еА) • Тогда А С Д. , А - самое:п-ряженннй положительный оператор в . Наряд!' с выракекиеь; /2/ рассматривается также выражение

Положим

fio этим функциям строим соответственно пространства Нс'. Не • Нев *Б дальнейшем через Н^ и Hé+о будем с§ознпа-чата пространства,отвечающий функция?! вица А^ б-(А)' , fy в R .

Д е м и а 1.4 . Область определения £) (L*) .'/зкепм&ль'-.тс оператора L* , порожденного mipaxoi^ev, /2/ в La(H,(o,5),y(tj) ,

состоит из тех и только тех векторн|>ункций ЦШе1.а(Н До, которые имеют вид

где£е , , к№ и(Н,(о,«,*(#),

Теорема 1.Г . Бектор-функцкя Ц

принадлежат 20(1-о) тогда и только тогда, когда;

а/ у'(Ь) существует и является абсолютно непрерывной функцией в пространстве Н^ ^ э на Со, ив пространстве Ь на (о,{]° ; . , б/ бСуЗе 1а(Н,(М)>?(£)) .

На 5) (С*) оператор I.* действует, как ^ и = 6 Су7

Обозначим через множество вектор-пункций \jj\t) : Со,< -» Н таких, что: г

а/ иШ - дважды непрерывно дифференцируема в Н наГо,<3; б/ е »(А*) уееСо,«3 * Б/Суз «и(Н .(о,«,*«)) . Из. формулы интегрирования по частям следует, что Я) с £0(1.*), и I* у - ¿Су] на множестве 9У , Пусть I.' - сужение оператора на .

X е о р е м а 1.2 . Оператор 1_0 совпадает с замыканием оператора I/ в пространстве 1_а(Н,(о,б), у (О)

Из представления /5/ вытекает, что вектор-функция у(£)£2>(0 является непрерывно дифференцируемой на (0,£) в пространстве Н, гсктор^ункщш + непрерывна в Не<> на Со,й) ,а

ерк1 ср-ч^ункщм Ауа)- неврерввяа в пространстве

к* (0,0 . Положим

= кт - ч\о)+Цю е ,

^'»fe-.w^'.e/ai^Jshoh. ft/

Теорем a" 1.3 ■ Для"произвольных: вектор-Функци!i^i^it), Z(t)G2i(Lp) имеет место формула Грика

Отправляясь от теоремы I.I о структуре области определения максимального оператора и используя формулу Гринз, приходим к

Теорема 1.4 Область определят 5>(Ц>) минямя пмгого • оператора L^ »порожденного выражением /2/,состоит из тех и только тех вектор-функций U(t)6SD(L*) , для которых u(oMj'(oh

*y<6)= у'(«)=<> . 3 *

Из представления /5/ для вектор-функция U{t)G 3X1*) следует, что у(0)6 Но0 , у'(о)ей£в+,, , .

На вопрос, верно ли обратнод, утверждение,положительный ответ дает ^ Д е м _. Пусть G Н£е 3 & е , 6 ,

% € Hq • Вектор-функции y(t),2 (t) 6 £>(l£) , удовлетворявшие условиям

суп'естьуют тогда и только тогда, когда

Я?>4еН&о , Ад, - дй е И&€ .

Оказывается, -по для лэбой йарн F, F'Q. Н@Н существует векмр-функикя е 5D(L*) такая, что F= У , F'=V' ; здесь V й V строятся по у(£)па формулам /?/. Этот факт я формула Грана /8/ дают возможность установить,что тройка (НФН,^,^) где Qy^V , Г2у =V - операторы из 50(1-*) в Н&Н V V и V определяются по y(t) 6 JD(I^) о помощью /7/,являгтел пространством граютнэх зггачагай /п.г.з./ в смысле'А.Н.Кочусоч-

Ь.¡i.Бруш. Дна rom чхобь. получить ооисадае различных классов рао-щфышй миьиыавдого оператора 10 .являющихся сужениями , на -¡юпнид некоторые сведедня из теории расширений абстрактных ситьь-рнческих операторов,

лшшйнш! оператор В s oújíacTbío определения 2)(б) .плотной ь ciubóepToaoi.: пространстве называется дяссипативным /аккумул*-таиШ»'/,аоии Зщ ({) * 0 / {) 4 0 /для всех

5) (В) • Дгсе-щатиьнуй /аклуиулятаmu'á/ оператор называется юн-ангмгушрш доши'атзькыи /ьзькскыяльщад аккумулятивным/, если он не

не^чгьиалыщх, i.*. отллчнык от самого В , диссипативнщ: /а^умулятиЕНых/ расПоскольку £ккуыул.тгвыше операторы г.случаюгср из дизоипагивнь'х ушодеаием на -4 , все результаты , аолучеяннв относительно дяоскпадивдог операторов, автоматически переносятся tía аккумуяятцвнке.

Дчссипативдый оператор ьсегда допускает затекание. Зашкание ц.юснпатт'-йного одоратора - дасоипативный оператор, максимальный скссипативнй'г оператор всегда зададут,

Всякш! .тесшишивный оператор допускает расширение до макси -нальн^го дкссйпатавного. Симметрически.! оператор является одновременно яйсояпатнвнгл и апкумулятгвнш. Оператор является одновре -peíalo ustnwí?.jiéiiw диосапаигеным и максимальным аккумулятивша» тси'аа только тогда, когда он оамссопсяден.

Й случае, когда j p(t)dt<oú и о <i<°° , оператору яял.'-téioü слжэтрйческпм é бесконечшдак дефектными числа«, а пото-

допугдаэт бесконечное множество макстальнюс дяссклативиых, в том ir самосопряженных расширений, которые в терминах гранич-

на условий описываются следугаей теоремой.

, Т е о р е и а 1,5 . Каково бн не было сжатие К г НФН , сужгнае оператора L* на множество векторов y(t) € Sd* ) » влегвгряхгшх условия '

(K-f)Vt í<K+E)y'*o Ы

((k-e)V - l(Kte)v^o) до/

предетаслеег соСол максимальное диссипатиБКое /максимальное акку-муляттоисе/ ?асшзренае оператора L0 . Обратно, всякое -макси-па пьт-z гассЕпатквное /максимальное аккумулятивное/ расширение

оператора 1_„ является сужением опаратора на ugo?ec?eo моторов ^ 6 Я)( , удовлетьорода х /3/ //10//, щ ihôsi csavat К - определяется расшарекйО!. одас^ь'ачно,

а&кс:лш<ьниб сй'.ще1ричеср4с- рагздрлшПГицйт^рг'Ч^^Щ^*"" ра^стье Ц(H,(M),yíi)) огшсгмю-гоа ¡cjotuvv: /У/./Kv', ¿ которых К - изометрический опер}-?ор, Зтн уело ад»: npa».dHH05 р&слцреняе Lc тогда тольк.- тогда, шгдз К ¡va -тарен. J3 последнем ляучае /9/ к /10/ эгэ.гьалеьтаы yaio¡ ¿y

(cûSC)V - (siaC)y. о,

гце С - сатмпря*екяцй ояг-рагар в H id H , К - \

а у,у' ¡ю MÍL}£ 3&ÍÍ.J) /и/.

Б частности, еелл в /ïi/ ^.¿¿¡ítí С . fcr - met*.-

Hua оператор в НФН « то по^уч:::; сакосопрдааньс* р.п •

шлренае, задаваемое граничит.« уомудшгп у(0)= у(é) - О /задача Дпрл.хле/, Такое рас.глраяце обомзч?« L^ . Eexi a /il'

ПОЛОЖИТЬ

с =

•axct^ A Go (А)

о ~aict(¡.AGgíA)

■го получим самосопряженное раямре^яе .эадазазыо? з^м-^.а - 0 > >¿'(6) ~ 0 /яалача Немалы. Глава П г.освяиена язучбпяа структур;; огвкхря самэоопрлэд расширений минимального оператора |_0 •

Будем обозначать через класс ыюлнв непрерывные •

торов в гильбертовом простракстье, для р ; 0<р<°° ©р « £ з/(в)<со] - з^В) - з--,*-

ола оператора в т.е. Sj<в) = ( УВ^В ) '~

СО0П7" ¡ШПЙ

идеал в кольце все* линейных ограниченных операторов г разсиэтрк-

вевные числа оператора/. Мллясстро бр образует двусторонний

ваемом гильбертовом пространстве, ¡;оторай сам. является баиахоюм пространством относительно нормы |IBip-(L 3^(8))^

Оператора из класса называется ядерными, а хз масса ~ операторами Гяльбсрта-ЦЬидта.

Говорят, что спектр оператора L дискретный, веет дл* торого комплексного А оператор ( í_-A H ^ . одределев »¡a see;.« ар,-

8 u '

«TfîHcste и виол vit непрерывен. Б случае конечномерного п спектр

;.i:cero самосопряженного расширения a La.(H>{o,i),S"(t)) /о<ie<x>}

J <оо / минимального оператора L0 , порожденного

м; р аж сияем /2/, дискретный, причем собственные числа всех рас ~ шлрский имеьт одинаковую асимптотику ка бесконечности. Если же H бесконечномерно к в сыракенли /2/ Д = О , то можно пока -зать, что у Le не существует самосопряженных расширений с дискретным спектром. Такая же картина имеет место, когда в выражении /2/ спектр неограниченного оператора А не является дискретным . Точнее, е этом случае спектр всякого самосопряженного расширения оператора А не является дискретным.

Особый интерес цредстьакяет тот случай, когда спектр оператора А в выражения /2/ дискретный, ибо тогда существуют само-согрячекние расширения минимального оператора как с дискретным, так и с непрерывным спектром. Описание максимальных дяссипатив-нь'Х,в частности, самосопряженных расшроний о дискретным спектром содержится в следующей теореме.

Теорема 2,2 . Если спектр оператора А дискретный , то спектр максимального диссппатявного /максимального аккумулятивного/расширения минимального оператора 1е является дискретным тогда и только тогда, когда оператор К+£ вполне непрерывный^ .

В основе доказательства гтой теоремы лепат два факта: I/ если спектр оператора А в выражении /2/ дискретный,то спектр самосопряженного расширения > соответствующего задаче Дирихле, также дискретен;

- 2/ условие резольвентной сравнимости, состоящее в том, что если К, К» - сяатия в Н@Н » -резольвентное

множество оператора, Lк , L«0 - расширения мяншального оператора i.,0 . состветствушие по формулам /9/,/10/ этил скатите, ( LK ) - ( L к 'i* ÊÎ' * резольвента оператора L к , ц с ff(LH)n П Ç ( L ) • 10 имеет место соотношение эквивалентности

R/id-^-R^d^eSp- , lipioo K-K0eSp.

Из теоремы 2.2 получаем, что необходимом и достаточным условием для дискретности спектра самосопряженного расширения Lc минимального оператора L0 в предположении А"46 S« является вполне непрерывность оператора cos С «

При условии, что спектр с;;ераторя Л даскретчий, дадео ас- ' следуется вог-рос о цранадделюста классу ядирн;.'* тли-

—раторов,•йзказкнавтся,-что.1"|>.б 6,_____гогда_д только тсг;ч,

гда А"4 - ядерны?, оператор, Уелоиле щ. лнадитюс ta классу ядерких операторов ш'-гсл о слкдуоиЛ теор-ш.

Т е о р е у. а 2.й . Пусть А*'б <5, в пространстве Н . Для того что<5ы R^L^S©* / 2mj*<0 / прстранстпа La(H,

где - максимальное длсслватиг;.с>е расшгр:;-нимвльнсго оператора, ссответствуякего граяячкспу у ело:,а» /Г?/, неоСходамо и достаточно, чтобы К-» Е € (У, в НО Н .

Услозяа принадлежности (1к) >'■ классу <5а дайтея и tw-

рема

Теорема 2,Ь . Пусть А ь "a, a Н - '■■'

того чтобы R^<tK)6 6a / л и(Н}<0,6),9Ш) , ги

Lj, - максимальное диссапатявиое распглреняе оператора L0 , со:г-ветствущее граничному условия /9/, необходимо и дзстатлхэ.чтУл! К+ в € <5Л в пространстве Ц©Н .

Назовем максимальное дясстшатизков рясширенлв' 1К »эни'.'альчэ-го оператора гладким, если вектор-Туккщ".; за его области определения ñsnppp'jcHu «a ] в пространстве Н , и максимальна ма-дкпм - если она непрерывны .в пространстве H(jt) /для прсстсты считаем, что функция J(t) ведет себя одлнчгом на концах «рем;-жутка Г J » а потому функции G0 (А) я (А) э*в*8алм»т«ы} G(A) - их общее обозначение/. В работе jerab^вдело ne.>?xr..r.!voi а достаточное условие гладкости .1 акгзвагадьчсХ гладосга оп-р-гг'-ра Lj< , а именно, ямеет место

Теорема 2.С ,. Для того чтсС'Ы тхекаалькое дтес.ш.чтгг-ное расширение LK оператора 1„ Сыло мже, »есДдоде») « достаточно, чтобы оператор Q(Á)Í£*K) Сад агдрерыгкнм v %-ос.х-ранотве Н®Н • Дзя гладкости LK необходима и до-

статочно, ЧЮОН оператор Л Q (Д lift К) йш км7р*ры?мнм в пространстве Н©Н ; здесь

Из этой георегы пе*;г'3<гу : ол-?дст?/р, что «ела ••"c-rtrp «us» ратора А в /2/ дкскр^гньД, -о веяюв гладив -знла-здм.с.в дасскпатявкое рассорь»':«? tK /водаыю я мгкси!«ш>но глчдкое/ яй-

iO

дяется расширением с дксп.етнык спектром. ^

До сих i,op рассматривался случай, когда J y(t)dt-tfoo . В г том случае иккикалышЛ оператор янляется симметрическим и имеет бК1Колбчные дефектные числа. Еоли .те j>(t) на концах пятерхша такова, чю je?(t)& г <» и = » 0<Е< '

то ояяэнгается, что в этом случае он.самосопряжен, j

1' е о р я и а <, Пусть J"ep(t)<it = «> г J flt)dt*oo

у 0V I

/ 0<С< i/a . /. Тогда ушшмальный оператор L0 , порожденный выражением /¿/ в пространств La(H,(0,i),ff(t)) » еакссопря Жв!1. ^

Пользуясь случаем, приношу глубокую благодарность своему научному руководителя Мирославу Львовиту Гор^ечуку за помощь в работе.

Ос»Ъв!>Ш П0Л1К6НИЯ ttrcСррт^ÜVtH опублккпВЙНК В СЯйАЗПСЩИХ рабОТЯХ;

I» Боидаревко Н.П» Самосопряженные расширения минимального опера; .тсра, порожденного выро.чяашиися дгффервкщгально-операторным

уравнением Штурка-Лиувилля // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1987. -' & 8. - С. 3 - 6,

2. Бсйдарекко Н.П. Самосопряженные граничите задачи о дискретным , спектром для некоторых дя'йсреняиапьно-операторних уравнении// Гг агагпше падачи для дифференциально-операторных уравнений. .» Клез: Ин-т математика АН УССР, 1991, - 0» 4 - б.

3. Еондаренко Н.П. Условие самосопряженности минимального оператора, порожденного некотором Ей$ференциал£но-операторнш выражением в гильбертовом пространстве // Тези допов!деВ конферанс цП, присватано! пбы"ят! академfка М.П.Кравчука, Кй!й, Луцы*:, 22-28 верес4 1992 р, - Кй!в: 1й-т математика АЯ Укра?ни, 1992. - С,- 23.

Гоядарчяко И.П. "Сявктральяая теория свмосовряхвяпих грая»гаяга 31ДЯЧ для д*^|вро«ц»гально-опер9тор.1их уравявчяй ?*ла Отугмч- .Тяу-

— вилля_с выроадеякем". ________

Диссертация ва сог.скачге учоиой стексякаяпидьта том irinocxex яаук по спец«: иль-.остг, 0.1.01,01 - шт^«'л«чйскг.4 ana-лгз, Л.чстгтут г.гатомягпки IIAil Украины, Г<гвв, 1994.

¡лшадается диссертация, а которой построена сгшктра.^'мя гйо-р*я сьносояряхелянх граяяччнх задач зчя ди^врвядиялмо-сзаои <\. мл ур-зптэякй тепа Шгуоиа-Лгувялля с внроядеякем. Длю он^сгтя» 75 тпр-игяах гр&чг'инт усзоькР всех слмосжрят.еяпхх расперея*!! ».». ,?-лм> го оператора, поро.-^еляого д^чрэ'щкальло-опере.торшм yj> ¡sreinifr* ¿<ша 1'.j ¡vizexit г ?«■»»<»/>» теям ягогапахх меяезг-

Mui сдвигт*л:~ г г"

Beniarenko Н.Р. "Spectral thoory of self-adjoint boundarr-r-Jui )?roblema for differential-operator equations Sturm-Ыоит!H? type wlth degeneration.

Thin dieeerteation ia for finding.of acisntlnt position of the . candidita of physiscv-mathomAtiea scl^nceg 03 npecializ'tion 01 .Ot.OI-matheaeticnl «rmlje,Institute for p. kbfcmtlcs of HAS of incrnine.Krtv, 1994.

01es«stfctlon,ln whiih oreetrel tlworj of s?lf---J joint Ъоиг.Злгч T'lue rroi>lc7.a for differ«iikiil-opei"5tor eqmtJonn 3turr»-Houvilla type with degojieraUo-? ia built,io 4efending.Inscription In tar-riv of ЬстЛп.гу-твХие conditions of vll aelf-idjoint "ilatsaca oi aintnal operator,rhloh -т« born by .11 fforintinl-орчтаtor cnn-'lor. atwrr-blnorille tjr>4 witii aoe'!ner:>tlon,in glv»n.fb<> nt r>« j of Jift-or>?t e^ostr of th? ояав bounJ-irjr-value ргсМчча nrt obtTii"".'1.

с."-».*»: c™«rr;>, ^»склптгв&ы о.чара тор, »^-'«.¡.¿.чив.